Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι"

Transcript

1 Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται την είσοδο έτσι ώστε α) υπολογίζει τη σωστή απάντηση με μεγάλη πιθανότητα, ή β) υπολογίζει πάντα τη σωστή απάντηση αλλά εκτελείται αποδοτικά κατά μέσο όρο

2 Η συμπεριφορά ενός τυχαιοκρατικού αλγόριθμου εξαρτάται όχι μόνο από την είσοδο αλλά και από τιμές που παράγονται από μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών Γεννήτρια τυχαίων αριθμών Έστω ακέραιοι a,b με a b. τυχαία(a,b) : επιστρέφει ακέραιο x τέτοιον ώστε a x b με ίση πιθανότητα επιλογής 1/(b-a+1).

3 Επίλυση ανταγωνισμού Διεργασίες ενός κατανεμημένου συστήματος προσπαθούν να αποκτήσουν πρόσβαση σε μια βάση δεδομένων Η μπορεί να εξυπηρετεί μόνο μία διεργασία σε κάθε διακριτή χρονική στιγμή (γύρο). Αν δύο ή περισσότερες διεργασίες προσπαθήσουν να προσπελάσουν τη στον ίδιο γύρο τότε μένουν μπλοκαρισμένες σε όλη τη διάρκεια του γύρου Θέλουμε να σχεδιάσουμε έναν αλγόριθμο πρόσβασης στη διεργασίες δεν μπορούν να επικοινωνήσουν μεταξύ τους όταν οι

4 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή η δεν προσπαθεί να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Έχουμε και η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως

5 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα, επομένως Η πιθανότητα να συμβεί το για μεγιστοποιείται

6 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε

7 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Αναλύουμε την κατάσταση της διεργασίας τη χρονική στιγμή Δυνατά γεγονότα η καταφέρνει να προσπελάσει τη τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα να συμβεί το μεγιστοποιείται για οπότε έχουμε Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές

8 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές όπου άρα

9 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Επίσης θέλουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος η δεν καταφέρνει να προσπελάσει τη τις χρονικές στιγμές Για έχουμε Για έχουμε

10 Επίλυση ανταγωνισμού Τυχαιοκρατικός αλγόριθμός: Κάθε διεργασία προσπαθεί σε κάθε γύρο να αποκτήσει πρόσβαση στη με πιθανότητα Τέλος, θα υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα του γεγονότος το πρωτόκολλο αποτυγχάνει μετά από γύρους (υπάρχουν διεργασίες που δεν κατάφεραν να προσπελάσουν τη βάση δεδομένων) Από το όριο ένωσης (union bound) έχουμε Για έχουμε

11 Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

12 Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

13 Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

14 Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής

15 Καθολική ελάχιστη τομή Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Θέλουμε να χωρίσουμε τις κορυφές σε δύο μη κενά σύνολα και έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το βάρος της τομής Θα εξετάσουμε ένα απλό αλγόριθμο «συρρίκνωσης» για την περίπτωση όπου για κάθε ακμή

16 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

17 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

18 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής μπορεί να εμφανιστούν παράλληλες ακμές

19 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

20 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

21 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

22 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

23 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής ακμές εξαφανίζονται όλες οι παράλληλες

24 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές Μετά τη συρρίκνωση μιας ακμής ακμές εξαφανίζονται όλες οι παράλληλες

25 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

26 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

27 Καθολική ελάχιστη τομή Αλγόριθμος συρρίκνωσης Σε κάθε βήμα επιλέγει μια ακμή ομοιόμορφα τυχαία και τη συρρικνώνει Συνεχίζει με τον ίδιο τρόπο μέχρι να μείνουν δύο κορυφές

28 Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και.

29 Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την πρώτη συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος (κάθε κορυφή έχει βαθμό και το άθροισμα των βαθμών όλων των κορυφών είναι διπλάσιο του αριθμού των ακμών) Άρα η πρώτη ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

30 Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Εξετάζουμε την j-οστή συρρίκνωση: Το γράφημα πρέπει να έχει ακμές αφού η ελάχιστη τομή έχει μέγεθος και υπάρχουν κορυφές Άρα η j-οστή ακμή που συρρικνώνεται ανήκει στο με πιθανότητα το πολύ

31 Καθολική ελάχιστη τομή Ιδιότητα Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω μια ελάχιστη τομή με μέγεθος (δηλαδή υπάρχουν ακμές μεταξύ των συνόλων και ). Έστω το σύνολο των ακμών μεταξύ και. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ο αλγόριθμος να επιστρέψει την τομή δηλαδή να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του. Συνολικά η πιθανότητα να μη συρρικνωθεί καμία ακμή του επαναλήψεις του αλγόριθμου είναι τουλάχιστον στις

32 Καθολική ελάχιστη τομή Ενίσχυση της πιθανότητας επιτυχίας Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω ότι εκτελούμε τον αλγόριθμο φορές και κρατάμε την ελάχιστη τιμή που επιστρέφει. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι το πολύ

33 Καθολική ελάχιστη τομή Ενίσχυση της πιθανότητας επιτυχίας Ο αλγόριθμος συρρίκνωσης επιστρέφει μια ελάχιστη τομή με πιθανότητα Έστω ότι εκτελούμε τον αλγόριθμο φορές και κρατάμε την ελάχιστη τιμή που επιστρέφει. Η πιθανότητα αποτυχίας είναι το πολύ

34 Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2,,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων.

35 Πρόβλημα πρόσληψης Εξετάζουμε υποψήφιους 1,2,,n διαδοχικά μέχρι να βρούμε τον πιο κατάλληλο βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Σε κάθε είσοδο κάνουμε n συγκρίσεις, αλλά πόσες είναι οι προσλήψεις; Έστω ότι θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε τον αριθμό τον προσλήψεων. n προσλήψεις στη χειρότερη περίπτωση αναμενόμενη περίπτωση;

36 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ

37 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε

38 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

39 Ιδιότητα: Γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής Έστω τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ. Ισχύει

40 Ιδιότητα: Γραμμικότητα αναμενόμενης τιμής Έστω τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ. Ισχύει

41 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

42 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε Επιπλέον

43 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε Επιπλέον

44 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά

45 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά προσλαμβάνεται αν είναι καταλληλότερος από τους 1,2,3 και

46 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά προσλαμβάνεται αν είναι καταλληλότερος από τους 1,2,3 και

47 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

48 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε n-οστός αρμονικός αριθμός

49 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Έχουμε

50 Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

51 Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

52 Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα

53 Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα:

54 Προσέγγιση αθροίσματος μέσω ολοκληρωμάτων μονότονα αύξουσα: μονότονα φθίνουσα: Έχουμε

55 Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα.

56 Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί.

57 Το πρόβλημα του συλλέκτη Κάθε κουτί ενός προϊόντος περιέχει ένα δώρο από n διαφορετικά δώρα. Το είδος του δώρου μας γίνεται γνωστό μόνο εφόσον ανοίξουμε το κουτί. Πόσα κουτιά πρέπει να αγοράσουμε μέχρι να βρούμε όλα τα n δώρα; Χειρότερη περίπτωση; Αναμενόμενη περίπτωση;

58 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1

59 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1

60 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 1 2

61 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i

62 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i

63 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i

64 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i

65 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i

66 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

67 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί.

68 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

69 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

70 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

71 Το πρόβλημα του συλλέκτη Άρα

72 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε i-1 είδη δώρου. Έστω η πιθανότητα να βρούμε νέο δώρο στο επόμενο κουτί. Έχουμε

73 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

74 Το πρόβλημα του συλλέκτη Αναμενόμενη περίπτωση : Υποθέτουμε ότι κάθε δώρο έχει την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε κουτί τυχαίες μεταβλητές αριθμός κουτιών που αγοράζουμε μέχρι να βρούμε το i-στο είδος δώρου όταν έχουμε ήδη i-1 : συνολικός αριθμός κουτιών

75 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. Α Β Γ Δ Έστω η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή

76 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

77 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη

78 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. Ποια η πιθανότητα να πάνε ακριβώς σε μία συγκεκριμένη κάλπη; διωνυμική κατανομή τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

79 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη

80 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη αναμενόμενος αριθμός σφαιριδίων σε μία κάλπη Ο υπολογισμός με τη βοήθεια δεικτριών τυχαίων μεταβλητών είναι πολύ πιο απλός!

81 Ρίψη σφαιριδίων σε κάλπες Έχουμε Έστω κάλπες στις οποίες τοποθετούμε σφαιρίδια με τυχαίο τρόπο. η πιθανότητα ένα σφαιρίδιο να πάει σε μία συγκεκριμένη κάλπη. Έχουμε. Ρίχνουμε σφαίρες. τυχαία μεταβλητή αριθμός σφαιριδίων σε μία συγκεκριμένη κάλπη η i-οστη σφαίρα δεν πάει στο συγκεκριμένο κουτί η i-οστη σφαίρα πάει στο συγκεκριμένο κουτί Έχουμε

82 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει;

83 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει; Εκτελούμε μία τυχαία μετάθεση των υποψηφίων!

84 Πρόβλημα πρόσληψης βέλτιστος 0 για i 0 έως n αν υποψήφιος i > βέλτιστος τότε βέλτιστος i προσλαμβάνουμε τον βέλτιστο Ανάλυση του αναμενόμενου αριθμού προσλήψεων Ορίζουμε τυχαία μεταβλητή Χ που μετρά τον αριθμό των προσλήψεων. Θέλουμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή της Χ Για κάθε υποψήφιο έχουμε δείκτρια τυχαία μεταβλητή ο υποψήφιος i δεν προσλαμβάνεται ο υποψήφιος i προσλαμβάνεται oπότε Υπόθεση : Οι υποψήφιοι εισέρχονται σε τυχαία σειρά Τι γίνεται όταν η αυτή η υπόθεση δεν ισχύει; Εκτελούμε μία τυχαία μετάθεση των υποψηφίων!

85 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα

86 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θέλουμε μία μέθοδο που να μας δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση n αντικειμένων Κάθε δυνατή μετάθεση πρέπει να εμφανίζεται με πιθανότητα Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i]

87 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά

88 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Απόδειξη Αρκεί να δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. Παρόμοια απόδειξη ισχύει για οποιαδήποτε άλλη μετάθεση.

89 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι

90 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό

91 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i] Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό

92 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i] τάξη π[i] Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό

93 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Σε κάθε αντικείμενο αναθέτουμε έναν αριθμό αντικείμενο i αριθμός p[i] τάξη π[i] Ποια είναι η πιθανότητα το αντικείμενο 1 να λάβει τον μικρότερο αριθμό

94 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε

95 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Θα δείξουμε ότι η μετάθεση έχει πιθανότητα. ενδεχόμενο Η ζητούμενη πιθανότητα είναι Έχουμε Άρα

96 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Χρόνος : (για την ταξινόμηση n αριθμών) Ιδιότητα : Η ταξινομική μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση με την προϋπόθεση ότι όλα τα p[i] είναι διαφορετικά Πόσο πιθανό είναι αυτό;

97 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι

98 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Ταξινομική Μετάθεση για i 1 έως n p[i] = τυχαία(1,n) ταξινόμησε τα αντικείμενα με κλειδιά τα p[i] Έχουμε για κάθε ζεύγος Άρα η πιθανότητα να υπάρχει ζεύγος αντικειμένων με τον ίδιο αριθμό είναι Αν επιλέξουμε τότε η πιθανότητα να έχουν όλα τα αντικείμενα διαφορετικό αριθμό είναι τουλάχιστον

99 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Επιτόπια Μετάθεση για i 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n) Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα

100 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης k-μετάθεση = διάταξη k αντικειμένων από n Υπάρχουν δυνατές k-μεταθέσεις Διατάσσουμε τα αντικείμενα με τρόπους Η σειρά για τα τελευταία τη σειρά για τα πρώτα αντικείμενα δεν επηρεάζει

101 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Επιτόπια Μετάθεση για i 1 έως n εναλλαγή του i-oστού αντικειμένου με αυτό της θέσης τυχαία(i,n) Ιδιότητα : Η επιτόπια μετάθεση δίνει ομοιόμορφα τυχαία μετάθεση k-μετάθεση : ακολουθία k στοιχείων από ένα σύνολο n στοιχείων

102 Παραγωγή τυχαίας μετάθεσης Αναλλοίωτη συνθήκη (loop invariant): Ακριβώς πριν την (k+1)-οστη επανάληψη τα πρώτα k αντικείμενα που έχουμε διατάξει σχηματίζουν μία δεδομένη k-μετάθεση με πιθανότητα Απόδειξη με επαγωγή Έστω Ε 1 το ενδεχόμενο οι πρώτες (k-1) επαναλήψεις να έχουν σχηματίσει μία δεδομένη (k-1) μετάθεση. Έστω Ε 2 το ενδεχόμενο οι η k-οστή επανάληψη να επιλέξει ένα δεδομένο στοιχείο.

103 Όρια Chernoff Τυχαία μεταβλητή όπου είναι ανεξάρτητες δείκτριες τυχαίες μεταβλητές Αν τότε για κάθε Αν τότε για κάθε

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση

Πίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )

Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων

Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Ειδικά θέματα Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων (ΠΛΕ073) Απαντήσεις 1 ου Σετ Ασκήσεων Άσκηση 1 α) Η δομή σταθμισμένης ένωσης με συμπίεση διαδρομής μπορεί να τροποποιηθεί πολύ εύκολα ώστε να υποστηρίζει τις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ 5η Εργασία ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Ακαδημαϊκό Έτος : 2013-2014 ΞΑΝΘΗ 15/3/2014 Ασκήσεις: 1. Να δείξετε ότι η μέση τιμή Τ.Μ. που υπακούει στη διωνυμική κατανομή, είναι ίση np. Επειδή η Τ.Μ. που

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή

( ) ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή ΘΕΜΑ 1 κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι τα εβδομαδιαία έσοδα μιας επιχείρησης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 1000 και τυπική απόκλιση 15. α. Ποια η πιθανότητα i. η επιχείρηση να έχει έσοδα

Διαβάστε περισσότερα

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη

Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης. Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μέχρι στιγμής εξετάσθηκαν μέθοδοι ταξινόμησης µε πολυπλοκότητα της τάξης Θ ) ή Θlog ). Τι εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων

Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Κ Σ Ι Ενδεικτικές Λύσεις 1ου Σετ Ασκήσεων Παναγιώτα Παναγοπούλου Άσκηση 1. Υποθέστε ότι οι διεργασίες ενός σύγχρονου κατανεμημένου συστήματος έχουν μοναδικές ταυτότητες (UIDs), γνωρίζουν ότι είναι συνδεδεμένες

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση

Δομές Αναζήτησης. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση Δομές Αναζήτησης χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου

Ανάλυση αλγορίθμων. Χρόνος εκτέλεσης: Αναμενόμενη περίπτωση. - απαιτεί γνώση της κατανομής εισόδου Ανάλυση αλγορίθμων Παράμετροι απόδοσης ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, επικοινωνία (π.χ. σε κατανεμημένα συστήματα) Προσπάθεια υλοποίησης Ανάλυση της απόδοσης Θεωρητική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Δοκιμές Bernoulli Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία (σειρά) πειραμάτων στην οποία ισχύουν τα επόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή

Δυναμικά Σύνολα. Δυναμικό σύνολο. Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής. διαγραφή. εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής και διαγραφής διαγραφή εισαγωγή Δυναμικά Σύνολα Δυναμικό σύνολο Tα στοιχεία του μεταβάλλονται μέσω εντολών εισαγωγής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 7β: Όρια Αλγόριθμων Ταξινόμησης Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ

ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΙΣΗ Τα μη γραμμικά μοντέλα έχουν την πιο κάτω μορφή: η μορφή αυτή μοιάζει με τη μορφή που έχουμε για τα γραμμικά μοντέλα ( δηλαδή η παρατήρηση Y i είναι το άθροισμα της αναμενόμενης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008 ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 8. Να προσδιοριστούν με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων οι συντελεστές a και b της εξίσωσης y = be a, ώστε να περιγράφει τα πειραματικά σημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Συμβόλων. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση

Πίνακες Συμβόλων. εισαγωγή αναζήτηση επιλογή. εισαγωγή. αναζήτηση Πίνακες Συμβόλων χειρότερη περίπτωση μέση περίπτωση εισαγωγή αναζήτηση επιλογή εισαγωγή αναζήτηση διατεταγμένος πίνακας διατεταγμένη λίστα μη διατεταγμένος πίνακας μη διατεταγμένη λίστα δένδρο αναζήτησης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)

Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method) Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 2018 Σειρά Α Θέματα 3 ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Ι Φεβρουάριος 8 Σειρά Α Θέματα ως 7 και αναλυτικές (ή σύντομες) απαντήσεις ΘΕΜΑ : Το δοχείο Δ περιέχει 6 άσπρες και 4 μαύρες μπάλες ενώ το δοχείο Δ περιέχει 5 άσπρες και μαύρες μπάλες.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Approximation Algorithms for the k-median problem

Approximation Algorithms for the k-median problem Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 23 Μαρτίου 2017 1 / 20 Επιλογή Το πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 008 Κατ οίκον Εργασία Σκελετοί Λύσεων Άσκηση Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης μέσης περίπτωσης της κάθε εντολής if ξεχωριστά: if (c mod 0) for (k ; k

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού και κατασκευή BFS δένδρου σε σύγχρονο γενικό δίκτυο Παναγιώτα Παναγοπούλου Περίληψη Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Ορισμός του προβλήματος Ο αλγόριθμος FloodMax

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής:

Η πιθανότητα επομένως που ζητείται να υπολογίσουμε, είναι η P(A 1 M 2 ). Η πιθανότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως εξής: Άσκηση 1: Ένα κουτί περιέχει 3 άσπρες και 2 μαύρες μπάλες. Αφαιρούμε τυχαία δύο μπάλες διαδοχικά. Ποια η πιθανότητα η πρώτη μπάλα να είναι άσπρη και η δεύτερη μπάλα να είναι μαύρη; Λύση: Αρχικά ορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος

Μορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 μονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέμπτη 21 Ιουνίου 2012 16:30-19:30 Υποθέστε ότι θέλουμε

Διαβάστε περισσότερα

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ Α... Β ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιούλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης. P (B) P (A B) = 3/4. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207-8. Λύσεις του φυλλαδίου ασκήσεων επανάληψης.. Αν P (A) / και P (A B) /4, βρείτε την ελάχιστη δυνατή και την μέγιστη δυνατή τιμή της P (B). Το B καλύπτει οπωσδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 ΗΔιωνυμική κατανομή για (πολύ) μεγάλα ν και (πολύ) μικρά p Η χρήση του τύπου ν x ν x f ( x)

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543

viii 20 Δένδρα van Emde Boas 543 Περιεχόμενα Πρόλογος xi I Θεμελιώδεις έννοιες Εισαγωγή 3 1 Ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες 5 1.1 Αλγόριθμοι 5 1.2 Οι αλγόριθμοι σαν τεχνολογία 12 2 Προκαταρκτικές έννοιες και παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Θεωρία Πληροφορίας. Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Θεωρία Πληροφορίας Διάλεξη 4: Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα Διακριτή πηγή πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Κατακερματισμός (Hashing)

Κατακερματισμός (Hashing) Κατακερματισμός (Hashing) O κατακερματισμός είναι μια τεχνική οργάνωσης ενός αρχείου. Είναι αρκετά δημοφιλής μέθοδος για την οργάνωση αρχείων Βάσεων Δεδομένων, καθώς βοηθάει σημαντικά στην γρήγορη αναζήτηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 4η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 4η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται κυρίως στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β.

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτατες διαδρομές

Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος s 3 t 7 x 5 3 y z Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εκλογή αρχηγού σε σύγχρονο δακτύλιο: Οι αλγόριθμοι LCR και HS. 1 Ο αλγόριθμος LCR (Le Lann, Chang, and Roberts)

Εκλογή αρχηγού σε σύγχρονο δακτύλιο: Οι αλγόριθμοι LCR και HS. 1 Ο αλγόριθμος LCR (Le Lann, Chang, and Roberts) Κ Σ Ι Εκλογή αρχηγού σε σύγχρονο δακτύλιο: Οι αλγόριθμοι LCR και HS Παναγιώτα Παναγοπούλου 1 Ο αλγόριθμος LCR (Le Lann, Chang, and Roberts) Ο αλγόριθμος LCR είναι ένας αλγόριθμος εκλογής αρχηγού σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Έξι βαθμοί διαχωρισμού

Έξι βαθμοί διαχωρισμού Έξι βαθμοί διαχωρισμού Βασισμένα στα 1. http://snap.stanford.edu/class/cs224w-readings/kleinberg99smallworld.pdf 2. http://snap.stanford.edu/class/cs224w-readings/kleinberg01smallworld.pdf Το πείραμα του

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων

Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων ΕΠΛ 1 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Σεπτέμβριος 009 Κατ οίκον Εργασία 1 Σκελετοί Λύσεων Άσκηση 1 Αρχικά θα πρέπει να υπολογίσουμε τον αριθμό των πράξεων που μπορεί να εκτελέσει ο υπολογιστής σε μια ώρα,

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Ιανουάριος 2015 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού

200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 9 Ιουνίου (διάρκεια ώρες και λ) Διαβάστε προσεκτικά και απαντήστε

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 2ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. (Μπάλες Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ (αʹ Έστω A το ενδεχόμενο να επιλέξουμε τουλάχιστον μια άσπρη μπάλα. Θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία

Διαβάστε περισσότερα