Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Transcript

1 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 1/3

2 Πρόβληµα Εχουµε να καλύψουµε ένα σύνολο εργασιών X = {x 1,... x m }. Παρουσιάζεται ένα σύνολο ανθρώπων F = {A 1,... A n }, που ο καθένας Ϲητάει µια αµοιβή c(a j ) για να διεκπαιρεώσει ένα σύνολο υπηρεσιών A j X. Ζητείται ένα υποσύνολο S F υποψηφίων που ελαχιστοποιεί το κόστος, και καλύπτει όλες τις εργασίες. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 2/3

3 Κάλυψη Συνόλου Είναι το NP-hard πρόβληµα Κάλυψης Συνόλου Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Set Covering). Είναι γενίκευση του προβλήµατος Ελάχιστου Κόστους Κοµβικής Κάλυψης Ακµών (Vertex Cover). Στο Vertex Cover µπορούµε να ϑεωρήσουµε κάθε κόµβο σαν ένα σύνολο που καλύπτει τις προσκείµενες ακµές. Επιπλέον κάθε ακµή καλύπτεται από (συνδέει) ακριβώς δύο κόµβους (σύνολα). Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 3/3

4 Επίλυση Στη γενική του περίπτωση το πρόβληµα προσεγγίζεται από τον άπληστο αλγόριθµο: 1. Οσο X επανάλαβε: 2. A arg min A F (c(a)/ A X ). 3. S S {A }. 4. X X A. 5. F F {A }. Ο λόγος προσέγγισης είναι ανάλογος του log X = log m. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 4/3

5 k-set Covering Η ειδική εκδοχή του προβλήµατος, όπου το πολύ k σύνολα καλύπτουν κάθε x X είναι k-προσεγγίσιµη από τον primal-dual αλγόριθµο των Bar-Yehuda και Even (1981): 1. Οσο X επανάλαβε: 2. Πάρε ένα x X. 3. A arg min{c(a) A F, x A}. 4. S S {A }. 5. ϑέσε c(a) = c(a) c(a ) A F: x A. 6. X X A Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 5/3

6 Γραµµικό Πρόγραµµα Πίνακας A m n : a ij = 1 αν x i A j. Αντικειµενική συνάρτηση: min Z = n j=1 c j x j Κάλυψη κάθε στοιχείου του X: n j=1 a ij x j 1 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 6/3

7 Πρόβληµα ίνονται m αποθήκες και n καταστήµατα. Κάθε i αποθήκη διαθέτει µια ποσότητα d i από ένα υλικό. Κάθε j κατάστηµα έχει ανάγκη από b j ποσότητα από το υλικό. Για τη µεταφόρα υλικού από την αποθήκη i στο κατάστηµα j υπάρχει ένα κόστος c ij ανά µονάδα υλικού που µεταφέρεται. Ζητείται ένα δίκτυο ελάχιστου κόστους που τροφοδοτεί τα καταστήµατα. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 7/3

8 Σχεδιασµός ικτύων Το πρόβληµα είναι γνωστό ως το Πρόβληµα της Μεταφοράς (Transportation Problem). Είναι ένα πρόβληµα σχεδιασµού δικτύου (Network Design). Η λύση του περιλαµβάνει καθορισµό: συνδέσεων µεταξύ αποθηκών και καταστηµάτων, και ποσότητας υλικού που διοχετεύεται από κάθε σύνδεση. Αν οι σταθερές του προβλήµατος είναι ακέραιες, το πρόβληµα επιδέχεται ακέραια ϐέλτιστη λύση (δηλ. το πολύεδρο του γραµµικού του προγράµµατος έχει ακέραιες κορυφές)! Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 8/3

9 3 αποθήκες. 5 καταστήµατα. Αποθ./Καταστ. K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A Απαίτηση Συνολικά: 30 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 9/3

10 Λύση 6 K 1 A K 2 A K 3 A K 4 K 5 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 10/3

11 Γραµµικό Πρόγραµµα Μεταβλητές απόφασης x ij R +, i = 1...m, j = 1... n. είχνουν τη διακινούµενη ποσότητα από την i στο j. Οι χρησιµοποιούµενες συνδέσεις (i, j) είναι αυτέ µε x ij > 0. Κόστος: Z = m n c ij x ij i=1 j=1 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 11/3

12 Γραµµικό Πρόγραµµα Κάθε αποθήκη πρέπει να ξοδεύει τη διαθέσιµη ποσότητα: n j=1 x ij = d i, i = 1...m Κάθε κατάστηµα πρέπει να λαµβάνει την απαιτούµενη ποσότητα: m i=1 x ij = b j, j = 1...n Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 12/3

13 Μεταφορά της ιαθέσιµης Ποσότητας: x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 = 11 x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 = 12 x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 = 7 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 13/3

14 Λήψη της Απαιτούµενης Ποσότητας: x 11 + x 21 + x 31 = 6 x 12 + x 22 + x 32 = 6 x 13 + x 23 + x 33 = 3 x 14 + x 24 + x 34 = 2 x 15 + x 25 + x 35 = 13 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 14/3

15 Ιδιότητες mn µεταβλητές απόφασης, m + n περιορισµοί. Αν αθροίσουµε τους m πρώτους περιορισµούς και τους n τελευταίους: m n = m d i, n m = n b j i=1 j=1 i=1 j=1 i=1 j=1 Αρα πρέπει να ισχύει m i=1 d i = n j=1 b j, για να είναι εφικτό το σύστηµα! Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 15/3

16 Ιδιότητες Επιπλέον, κάθε περιορισµός είναι γραµµικός συνδυασµός των άλλων. Είναι δηλαδή γραµµικά εξαρτηµένοι. Μπορούµε να σπάσουµε τη γραµµική εξάρτηση, διαγράφοντας έναν περιορισµό (π.χ. τον τελευταίο από τους n). Μία εφικτή λύση του προβλήµατος είναι δέντρο (δεν έχει κύκλους). Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 16/3

17 Επίλυση Το πρόβληµα επιλύεται µε µια απλή εκδοχή της simplex. Παράγουµε µία εφικτή λύση. Κοιτάµε τους περιορισµούς του δυϊκού προβλήµατος. Επιλέγουµε να επιδιορθώσουµε τον περισσότερο ανέφικτο δυϊκό περιορισµό, τροποποιώντας την εφικτή λύση. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 17/3

18 Μέθοδος Β Γωνίας Γράφουµε τον m n πίνακα. Αρχίζουµε από την κυψέλη (1, 1) και δίνουµε την τιµή: x 11 = min(d 1, b 1 ) το οποίο οδηγεί στον κορεσµό είτε της γραµµής 1, είτε της κολώνας 1. ιαγράφουµε την κορεσµένη γραµµή/κολώνα και επαναλαµβάνουµε στο µειωµένο πίνακα. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 18/3

19 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A 1 11 A 2 12 A 3 7 Απαίτηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

20 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A 2 12 A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

21 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A 2 12 A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

22 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 x 22 = min(6 5, 12) = 1 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

23 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 x 22 = min(6 5, 12) = 1 x 23 = min(3, 11) = 3 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

24 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 x 22 = min(6 5, 12) = 1 x 23 = min(3, 11) = 3 x 24 = min(2, 12 4) = 2 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

25 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A 3 7 Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 x 22 = min(6 5, 12) = 1 x 23 = min(3, 11) = 3 x 24 = min(2, 12 4) = 2 x 25 = min(12 6, 13) = 6 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

26 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A Απαίτηση x 11 = min(6, 11) = 6 x 12 = min(11 6, 6) = 5 x 22 = min(6 5, 12) = 1 x 23 = min(3, 11) = 3 x 24 = min(2, 12 4) = 2 x 25 = min(12 6, 13) = 6 x 35 = min(7, 13 6) = 7 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 19/3

27 Εφικτή Λύση 6 K 1 A K 2 A K 3 A K 4 K 5 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 20/3

28 Βελτίωση Η ϐελτίωση γίνεται µέσω του δυϊκού προβλήµατος. Θυµόµαστε ότι στη ϐέλτιστη λύση του πρωτεύοντος προβλήµατος, αντιστοιχει µια ϐέλτιστη εφικτή λύση του δυϊκού. Κοιτάµε το δυϊκό, ϐρίσκουµε τον περισσότερο παραβιασµένο περιορισµό, και κάνουµε µια αύξηση στο πρωτεύον. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 21/3

29 Εύρεση του υϊκού Μία δυϊκή µεταβλητή y i R, για κάθε περιορισµό, i = 1...m και µία y j R, j = 1...n. Ενας δυϊκός περιορισµός (i, j), i = 1...m, j = 1...n, για κάθε µεταβλητή x ij. Οι δυϊκές µεταβλητές είναι πραγµατικές, διότι έχουµε περιορισµούς ισότητας. y m+n = 0, διότι αγνοούµε τον τελευταίο περιορισµό στην επίλυση του προβλήµατος. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 22/3

30 υϊκό Γραµµικό Πρόγραµµα maxw = (i,j)(b i y i + d m+j y m+j ) y i + y m+j c ij, Μειωµένα Κόστη: i = 1...m, j = 1...n r ij = c ij y i y m+j, i = 1...m, j = 1...n Πρέπει r ij 0, για να έχουµε εφικτό δυϊκό. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 23/3

31 Μέθοδος Βρίσκουµε τα y i, y j. Υπολογίζουµε τα r ij, για τις µεταβλητές x ij = 0. Επιλέγουµε να αυξήσουµε το µηδενικό x ij µε το πιο αρνητικό r ij. Αυξάνεται κατά ένα το πλήθος των ϑετικών µεταβλητών. ε συνιστούν δέντρο πλέον. Πρέπει να επιλέξουµε να µηδενίσουµε µία από τις ϑετικές µεταβλητές, ώστε να σπάσουµε τον κύκλο. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 24/3

32 Εύρεση των y i εδοµένου y m+n = 0, και από πρωτεύσουσες συνθήκες συµπληρωµατικής καθυστέρησης: Εχουµε: x ij > 0 y i + y m+j = c ij y 1 + y 4 = 1, y 1 + y 5 = 1, y 2 + y 5 = 3 y 2 + y 6 = 4, y 2 + y 7 = 8, y 2 + y 8 = 8 y 3 + y 8 = 10, y 8 = 0 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 25/3

33 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

34 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

35 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

36 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

37 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

38 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

39 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

40 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

41 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θα αυξήσουµε την x 15 κατά µια ποσότητα Θ > 0 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 26/3

42 Κύκλος A 1 A 2 A 3 Θ Θ +Θ +Θ K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Με την αύξηση δηµιουγείται περίσσεια. Προσθέτουµε/αφαιρούµε Θ εναλλάξ στις ακµές του κύκλου. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 27/3

43 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A Θ +Θ 11 A Θ Θ 12 A Απαίτηση Θ =; Για να σπάσουµε τον κύκλο αρκεί να µηδενίσουµε µία από τις προηγούµενα ϑετικές µεταβλητές (ελάχιστη εφικτή αύξηση): Θ = min{5, 6} = 5 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 28/3

44 Νέα Λύση Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A Απαίτηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 29/3

45 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

46 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

47 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

48 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

49 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

50 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

51 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

52 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

53 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση y i A A A Απαίτηση Σύνολο: 30 - y j r ij = c ij y i y m+j Θα αυξήσουµε την x 31 κατά µια ποσότητα Θ > 0 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 30/3

54 Κύκλος A 1 A 2 +Θ Θ +Θ K 1 K 2 K 3 A 3 K 4 Θ K 5 Με την αύξηση δηµιουγείται περίσσεια. Προσθέτουµε/αφαιρούµε Θ εναλλάξ στις ακµές του κύκλου. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 31/3

55 Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A 1 6 Θ 5 + Θ 11 A A 3 +Θ 7 Θ 7 Απαίτηση Θ =; Για να σπάσουµε τον κύκλο αρκεί να µηδενίσουµε µία από τις προηγούµενα ϑετικές µεταβλητές (ελάχιστη εφικτή αύξηση): Θ = min{7, 6} = 6 Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 32/3

56 Νέα Λύση Α/Κ (x ij ) K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 ιάθεση A A A Απαίτηση Η λύση αυτή είναι ϐέλτιστη. οκιµάστε να υπολογίσετε τα r ij, για να διαπιστώσετε ότι όλα είναι ϑετικά. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 33/3

57 Σχόλια Η µέθοδος αυτή είναι ακριβώς η primal-dual simplex. Είναι απλοποιηµένη για την ειδική περίπτωση του προβλήµατος µεταφοράς. Βασικό χαρακτηριστικό: επιλέγεται κάθε ϕορά µία µηδενική µεταβλητή να γίνει ϑετική, και µία ϑετική να γίνει µηδέν (εισαγωγή/εξαγωγή µεταβλητής από τη ϐάση). Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 34/3

58 Σχόλια ιαφορά από την primal-dual µέθοδο προσέγγισης: δουλεύουµε στο πρωτεύον πρόβληµα αξιοποιώντας πληροφορία από το δυϊκό. Στην primal-dual µέθοδο κάναµε το αντίστροφο. Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση π. 35/3