Επιχειρησιακή Έρευνα I

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis

2 Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός Προγραμματισμός Βελτιστοποίηση δικτύων Μαθηματικός Προγραμματισμός - Ακέραιος Προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Δυναμικός προγραμματισμός Μαθηματικός Προγραμματισμός - Μη γραμμικός προγραμματισμός 2

3 Περιεχόμενα EE 1 Εισαγωγή Γραμμικός Προγραμματισμός Μοντελοποίηση Προβλημάτων Επίλυση Προβλημάτων Γραφική μέθοδος Μέθοδος Simplex Μέθοδος μεγάλου Μ Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές - Δυϊκότητα Βελτιστοποίηση δικτύων Πρόβλημα της συντομότερης διαδρομής Πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου Πρόβλημα μέγιστης ροής Πρόβλημα ροής ελαχίστου κόστους 3

4 Ανάλυση Ευαισθησίας (Sensitivity Analysis)

5 Ανάλυση Ευαισθησίας Η εύρεση της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού ολοκληρώνει την θεωρητική προσέγγιση στο πρόβλημα υπό μελέτη. Στην πραγματικότητα, το μοντέλο του προβλήματος βασίζεται σε πρακτικά δεδομένα που μπορεί να μεταβληθούν ή που μπορεί να μην έχουν συλλεχθεί με ακρίβεια. Στο γνωστό παράδειγμα της Wyndor Glass, η παραγωγική δυναμικότητα κάθε εργοστασίου (δεξί μέλος) μπορεί π.χ. να βασίζεται σε συμφωνία των εργαζομένων με την διοίκηση οπότε και είναι πιθανό να αλλάξει. Επίσης, το κέρδος ανά παρτίδα (συντελεστές αντικειμενικής συνάρτησης) βασίζεται σε συνθήκες τις αγοράς και επίσης είναι πιθανό να αλλάξει. Π1 (δυνατότητα παραγωγής Π2 (δυνατότητα παραγωγής Παραγωγική δυναμικότητα (ώρα) παρτίδας ανά ώρα) παρτίδας ανά ώρα) Ε Ε Ε Κέρδος ( ) /παρτίδα

6 Ανάλυση Ευαισθησίας Σε ένα πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού η ανάλυση ευαισθησίας μελετά την περίπτωση της μεταβολής της βέλτιστης λύσης ενός όταν αλλάξουν ορισμένα από τα αρχικά δεδομένα του. Πιο συγκεκριμένα, οι μεταβολές στο μοντέλο μπορεί να αφορούν: μεταβολή στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης μεταβολή των διαθέσιμων ποσοτήτων των πόρων (δεξί μέλος) μεταβολή των συντελεστών του συστήματος των περιορισμών (αριστερό μέρος) προσθήκη ή/και αφαίρεση μεταβλητών προσθήκη ή/και αφαίρεση περιορισμών Ο κύριος σκοπός της ανάλυσης ευαισθησίας είναι η εύρεση των ευαίσθητων παραμέτρων του προβλήματος. Μια παράμετρος είναι ευαίσθητη παράμετρος εάν μια οριακή αλλαγή στη τιμή της παραμέτρου επιφέρει αλλαγή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 6

7 Ανάλυση Ευαισθησίας Ας εξετάσουμε την μεταβολή στους συντελεστές κέρδους για κάποιο/α από τα προϊόντα στην αντικειμενική συνάρτηση. Οι αλλαγές αυτές, επηρεάζουν άμεσα την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλά και την κλίση της ευθείας της αντικειμενικής συνάρτησης. Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 H τιμή της αντικειμενικής για x 1,x 2 = (2,6) είναι 36. 7

8 Ανάλυση Ευαισθησίας Ας εξετάσουμε την μεταβολή στους συντελεστές κέρδους για κάποιο/α από τα προϊόντα στην αντικειμενική συνάρτηση. Οι αλλαγές αυτές, επηρεάζουν άμεσα την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης αλλά και την κλίση της ευθείας της αντικειμενικής συνάρτησης. Ας αλλάξουμε π.χ. το κέρδος του προϊόντος 1 από 3 σε 6, στο γράφημα του προβλήματος: Ζ = 6x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 Προφανώς αλλάζει η τιμή της αντικειμενικής στην βέλτιστη λύση σε 42 (από 36). Αλλάζει η βέλτιστη λύση του ΠΓΠ; 8

9 Ανάλυση Ευαισθησίας Η μεταβολή στους συντελεστές κέρδους για κάποιο/α από τα προϊόντα στην αντικειμενική συνάρτηση αλλάζει την κλίση της ευθείας της αντικειμενικής. Opt z(x 1,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 κλίση c 1 /c 2 Ο 1ος περιορισμός είναι μη δεσμευτικός (η βέλτιστη λύση δεν βρίσκεται στην ευθεία του περιορισμού) Για τον 2ο περιορισμό, η κλίση είναι 0 Για τον 3ο περιορισμό, η κλίση είναι -3/2 Ζ = 3x 1 + 5x 2 Υπό περιορισμούς: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 Άρα -3/2 >= -c 1 /c 2 >= 0 3/2 <= c 1 /c 2 <= 0 0>=c 1 /5 c 1 <=0 c 1 /5<=3/2 c 1 >=-7.5 Όσο η κλίση της ευθείας (της αντικειμενικής) περιορίζει την ευθεία (της αντικειμενικής) ανάμεσα στις ευθείες των περιορισμών, τότε η βέλτιστη λύση παραμένει η ίδια (x 1 =2, x 2 =6) 9

10 Ανάλυση Ευαισθησίας Ας εξετάσουμε την αλλαγή στους διαθέσιμους πόρους (δεξί μέλος) και συγκεκριμένα, πόσο αλλάζει η τιμή της αντικειμενικής (Z) όταν αλλάζει ένας πόρος κατά μια μονάδα (αλλάζει και η εφικτή περιοχή του προβλήματος). Π.χ. για τον 2 ο περιορισμό Από 12 σε 13, στο γράφημα του προβλήματος: Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 Προφανώς αλλάζει και το x1, x2 στην βέλτιστη λύση: Από 2 5/3 = 1.66 Από 6 13/2 =

11 Ανάλυση Ευαισθησίας Για τον περιορισμό 1 (b 1 ): από 4 σε 5. Λύνουμε το πρόβλημα και παρατηρούμε ότι η Ζ παραμένει 36 (ΔΖ = 0) Για τον περιορισμό 2 (b 2 ) : από 12 σε 13. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37,5 (ΔΖ = 3/2) Για τον περιορισμό 3 (b 3 ) : από 18 σε 19. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37 (ΔΖ = 1) Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 5 2x x 1 + 2x 2 19 x 1 0, x 2 0 Opt z(x 1,, x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n με περιορισμούς: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n (, )b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n (, )b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n (, )b m x 1, x 2,...,x n 0. Ο κύριος σκοπός της ανάλυσης ευαισθησίας είναι η εύρεση των ευαίσθητων παραμέτρων του προβλήματος. Μια παράμετρος είναι ευαίσθητη παράμετρος εάν μια οριακή αλλαγή στη τιμή της παραμέτρου επιφέρει αλλαγή στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης. Π.χ. η b 2 στο παράδειγμα μας είναι ευαίσθητη παράμετρος και η b 1 δεν είναι. 11

12 Σκιώδεις Τιμές (Shadow Prices)

13 Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές Είδαμε ότι αυξάνοντας την τιμή του δεξιού μέλους μιας εκ των ανισώσεων (π.χ. της 2 ης που αναφέρεται στον 2 ο πόρο ή αλλιώς στην παραγωγική δυναμικότητα του εργοστασίου 2) κατά μια μονάδα αυξάνεται η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης από 36 σε 37.5 άρα ΔΖ = +3/2 = Η μεταβολή είναι θετική, επομένως η αύξηση στην παραγωγική δυναμικότητα του εργοστασίου E2 κατά 1 ώρα επέφερε μια αύξηση του κέρδους κατά 1.5 (1500ευρώ). 13

14 Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές Η αύξηση της τιμής αντικειμενικής συνάρτησης κατά 1500 ευρώ έχει ιδιαίτερη σημασία στην Οικονομική Επιστήμη και λέγεται Σκιώδης Τιμή (Shadow Price). Κάθε περιορισμός στο ΠΓΠ, έχει μια σκιώδη τιμή. Η Σκιώδης Τιμή αποτελεί την μεταβολή (ΔΖ) στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που προκύπτει από μια μεταβολή κατά μια μονάδα του δεξιού μέλους ενός εκ των περιορισμών. Η Σκιώδης Τιμή είναι ενδεικτική της «ευαισθησίας» στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης εξαιτίας μια μεταβολής στο δεξί μέλος κάποιου από τους περιορισμούς και δείχνει την αξία 1 μονάδας διαθέσιμων πόρων (δεξί μέλος) σε μια δραστηριότητα (περιορισμό/ανίσωση). Με πρακτικούς όρους: Αν αυξήσουμε την παραγωγική δυνατότητα του εργοστασίου 2 από 12 σε 13 μονάδες, τότε προκύπτει επιπλέον κέρδος στην επιχείρηση ίσο με Στην επιστήμη της Διοίκησης Επιχειρήσεων, η Σκιώδης Τιμή είναι η μέγιστη ποσότητα που το μάνατζμεντ της επιχείρησης είναι πρόθυμο να πληρώσει για μια επιπρόσθετη μονάδα διαθέσιμου πόρου. 14

15 Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές Η Σκιώδης Τιμή y * i του περιορισμού b i είναι η μεταβολή (ΔΖ) στην τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης που προκύπτει από μια μεταβολή κατά μια μονάδα του δεξιού μέλους (διαθέσιμος πόρος) ενός εκ των περιορισμών (b i ). Γενικότερα, η Σκιώδης Τιμή που συσχετίζεται με τον κάθε περιορισμό οποιουδήποτε προβλήματος ΓΠ (με δυο συντελεστές απόφασης) μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: Σκιώδης Τιμή ΔΖ = ΔΧ 1 *c 1 + ΔΧ 2 *c 2 όπου c 1, c 2, είναι οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης. x 1, x 2 στην βέλτιστη λύση: Από 2 5/3 = 1.66 Από 6 13/2 =

16 Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές Η μέθοδος simplex μπορεί να μας δώσει απαντήσεις που σχετίζονται με την ανάλυση ευαισθησίας των παραμέτρων του προβλήματος ΓΠ. Ας δούμε και πάλι την αλλαγή στους διαθέσιμους πόρους (δεξί μέλος) και συγκεκριμένα, πόσο αλλάζει η τιμή της αντικειμενικής (Z) όταν αλλάζουν οι πόροι. Για τον περιορισμό 1: από 4 σε 5 ώρες. Η Ζ παραμένει 36 (ΔΖ = 0) Για τον περιορισμό 2: από 12 σε 13 ώρες. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37,5 (ΔΖ = 3/2) Για τον περιορισμό 3: από 18 σε 19 ώρες. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37 (ΔΖ = 1) Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x

17 Ανάλυση Ευαισθησίας Σκιώδεις Τιμές Η μέθοδος simplex μπορεί και υπολογίζει τις σκιώδεις τιμές ως τους συντελεστές των χαλαρών μεταβλητών στην γραμμή της αντικειμενικής συνάρτησης στην τελική μορφή του πίνακα simplex Για τον περιορισμό 1: από 4 σε 5. Η Ζ παραμένει 36 (ΔΖ = 0) Για τον περιορισμό 2: από 12 σε 13. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37,5 (ΔΖ = 3/2) Για τον περιορισμό 3: από 18 σε 19. Η Ζ μεταβάλλεται από 36 σε 37 (ΔΖ = 1) Ζ = 3x 1 + 5x 2 κάτω από τις συνθήκες: x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x 2 0 x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δ /3-1/ / /3 1/ /

18 Δυϊκότητα (Duality)

19 Δυϊκότητα - Παράδειγμα της Wyndor Glass Δεδομένα του προβλήματος: 2 προϊόντα (Π1 και Π2) 3 εργοστάσια (Ε1, Ε2 και Ε3) Παραγωγική δυναμικότητα για κάθε εργοστάσιο (εβδομαδιαία) Κέρδος ανά παρτίδα (20 μονάδες) για κάθε προϊών. Π1 (χρόνος παραγωγής, Π2 (χρόνος παραγωγής, Παραγωγική δυναμικότητα (ώρα) ώρα/παρτίδα) ώρα/παρτίδα) Ε Ε Ε Κέρδος ( ) /παρτίδα

20 Δυϊκότητα - Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι μία συνεργαζόμενη εταιρία Dual Glass, θέλει να νοικιάσει χρόνο από τα εργοστάσια ώστε να μπορεί να παρασκευάσει μερικές παρτίδες. Ποια τιμή (σε /ώρα) για κάθε εργοστάσιο θα πρέπει να ζητήσει ώστε το αποτέλεσμα να είναι δίκαιο, δηλαδή κανένα κέρδος ούτε ζημιά και για τους δύο συνεργάτες; 20

21 Παράδειγμα (2) Μεταβλητές απόφασης: y i = τιμή ( /ώρα) για την ενοικίαση χρόνου (πόρων) στο εργοστάσιο i Η Dual Glass στοχεύει στην ελαχιστοποίηση της συνολικής τιμής που θα πρέπει να πληρώνει για το χρόνο που νοικιάζει από τα τρία εργοστάσια Η συνολική τιμή μπορεί να εκφραστεί ως ο μέγιστος διαθέσιμος πόρος (χρόνος) ανά εργοστάσιο * τιμή για την ενοικίαση χρόνου ( /ώρα) ανά εργοστάσιο. Στόχος : min w = 4y y y 3 21

22 Παράδειγμα (3) Οι περιορισμοί πρέπει να εξασφαλίζουν ότι η συνολική τιμή που αντιστοιχεί στην παραγωγή μίας παρτίδας κάθε προϊόντος δεν πρέπει να είναι μικρότερη από το κέρδος ( /παρτίδα) που βγάζει η Wyndor Glass Η συνολική τιμή που αντιστοιχεί σε κάθε προϊόν μπορεί να εκφραστεί ως ο χρόνος που χρειάζεται για την παραγωγή κάθε παρτίδας (ώρα/παρτίδα) * την τιμή για την ενοικίαση χρόνου ( /ώρα) Περιορισμός που αντιστοιχεί στο προϊόν 1 : y y 3 3 Περιορισμός που αντιστοιχεί στο προϊόν 2 : 2 y y 3 5 Π1 (χρόνος παραγωγής, Π2 (χρόνος παραγωγής, Παραγωγική δυναμικότητα (ώρα) ώρα/παρτίδα) ώρα/παρτίδα) Ε Ε Ε Κέρδος ( ) /παρτίδα

23 Παράδειγμα (4) Το μοντέλο για την Dual Glass, που λέγεται δυϊκό μοντέλο: Min W = 4u 1 +12u 2 +18u 3 υ.π. u 1 + 3u 3 3 2u 2 + 2u 3 5 u 1 0, u 2 0, u 3 0 Μοντέλο για την Wyndor Glass, που λέγεται πρωτεύον μοντέλο: Max Z = 3x 1 +5x 2 υ.π. x 1 4 2x x 1 + 2x 2 18 x 1 0, x

24 Δυϊκότητα (ορισμός) Ας θεωρήσουμε το ΓΠ μεγιστοποίησης: max Z = υ.π. n j= 1 a και ij x x j j n j= 1 b i c j x για 1 0, για 1 j i j p n Για κάθε γ.π. ορίζεται ένα δυϊκό γ.π. (dual) το οποίο έχει: τόσες μεταβλητές u>=0, όσοι οι περιορισμοί. Και τόσους περιορισμούς όσες και οι μεταβλητές απόφασης του αρχικού ΠΓΠ. 24

25 Δυϊκότητα (ορισμός) Το αρχικό πρόβλημα λέγεται πρωτεύων (primal) και το δυϊκό του ορίζεται ως εξής: minw = υ.π. p i= 1 a και ij u u i i p i= 1 c j b u i για1 0, για1 i j i n p 25

26 Δυϊκότητα - Παράδειγμα Max z = 4x 1 +3x 2 υ.π. x 1 8 x 2 6 x 1 + 2x x 1 + x 2 18 x 1 0, x 2 0 Πρωτεύον Min w = 8u 1 +6u 2 +15u 3 +18u 4 υ.π. u 1 + u 3 + 2u 4 4 u 2 + 2u 3 + u 4 3 u 1 0, u 2 0, u 3 0, u 4 0 Δυϊκό 26

27 Σχέση Πρωτεύοντος- Δυϊκού Πρόβλημα μεγιστοποίησης Πρόβλημα ελαχιστοποίησης Περιορισμός i τύπου Μεταβλητή (συντελεστής απόφασης) u i 0 Περιορισμός i τύπου Μεταβλητή (συντελεστής απόφασης) u i 0 Μεταβλητή (συντελεστής απόφασης) x j 0 Μεταβλητή (συντελεστής απόφασης) x j 0 Συντελεστής Α.Σ. Συντελεστής δεξιού μέλους Περιορισμός j τύπου Περιορισμός j τύπου Συντελεστής δεξιού μέλους Συντελεστής Α.Σ. 27

28 Θεώρημα δυϊκότητας Εάν z* είναι άριστη λύση του πρωτεύον προβλήματος, το δυϊκό του έχει επίσης μία άριστη λύση y* και ισχύει: Max z = z* = y*= Min y. 28

29 Δυϊκότητα - Σχετικά κόστη Στη βασική εφικτή λύση του πρωτεύοντος προβλήματος, η αντικειμενική συνάρτηση γράφεται ως: z = 36 (3/2) x 4 x 5 Οι μεταβλητές x 4 και x 5 είναι οι μη-βασικές μεταβλητές και οι συντελεστές - 3/2 και -1 είναι τα σχετικά κόστη. Εάν αυξήσουμε κατά μία μονάδα την x 4, το κέρδος μειώνεται κατά 3/2. Όμως η x 4 είναι η χαλαρή μεταβλητή που αντιστοιχεί στο περιορισμό δυναμικότητας του εργοστασίου 2: η αύξηση της x 4 κατά μία μονάδα, αντιστοιχεί στην μείωση του συντελεστή του δεξιού μέλους κατά μία μονάδα x1 x2 x3 x4 x5 Ζ Δ /3-1/ / /3 1/ /

30 Σκιώδες τιμές (Shadow Price) Εάν η Wyndor Glass νοικιάσει στην Dual Glass μία ώρα παραγωγής του εργοστασίου 2: Η δυναμικότητα του εργοστασίου 2 μειώνεται κατά μία ώρα (συντελεστής δεξιού μέλους μειώνεται κατά μία μονάδα) Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης μειώνεται κατά 3/2. Για να βρει ένα ίδιο συνολικό κέρδος (36), τότε αυτή την ώρα πρέπει να την νοικιάσει 3/2 = 1.5χρημ. μονάδες (1500 ). Γενικότερα κάθε ώρα χρήσης του εργοστασίου E2 έχει αξία Γενικά η άριστη λύση του δυϊκού ισούται με τα αρνητικά σχετικά κόστη των μεταβλητών διαφοράς (χαλαρές και πλεονασμού). Λέγονται επίσης σκιώδες τιμές. Για το παράδειγμα της Wyndor Glass y* 1 = 0, y* 2 = 3/2, y* 3 = 1 30

31 Σκιώδες τιμές Η τιμή της μεταβλητής y* 1 = 0. Η Wyndor Glass δεν απαιτεί τίποτα για μία ώρα ενοικίασης στην Dual Glass. Έχει χρόνο διαθέσιμο που δεν αξιοποιεί. Με μία τιμή > 0 θα έβγαζε επιπλέον κέρδος (παραβιάζει την αρχική υπόθεση για δίκαιο αποτέλεσμα μεταξύ συνεργατών). Η τιμή των υπόλοιπων μεταβλητών είναι > 0 Εφόσον, ο χρόνος στα υπόλοιπα εργοστάσια αξιοποιείται πλήρως, η ενοικίαση μίας ώρας στην Dual Glass αντιστοιχεί σε μία απώλεια μίας ώρας παραγωγής και συνεπώς μία απώλεια κέρδους. Για να βρει ένα ίδιο συνολικό κέρδος, θα πρέπει να ζητήσει μία τιμή ίση με την σκιώδη τιμή (= - σχετικό κόστος) 31

32 Δυϊκότητα - Παρατήρηση Σε πολλά προβλήματα απόφασης που προσεγγίζονται με τη μεθοδολογία του γ.π. είναι προτιμότερο από πλευράς υπολογιστικής να επιλύεται το δυϊκό γ.π. απ ότι το πρωτεύον (ειδικότερα όταν η πλειοψηφία των περιορισμών είναι τύπου ). Έτσι αποφεύγεται η εισαγωγή και εξαγωγή τεχνητών μεταβλητών. 32

33 Παραδείγματα

34 Παράδειγμα 1 max z = 6x x 2 Υπό συνθήκες: 5x 1 + 2x 2 20 x 1 + 2x 2 10 x 1 0, x

35 Παράδειγμα 2 min z = 25x x 2 Υπό συνθήκες: 6x 1 + 3x 2 3 3x 1 + 4x 2 1 5x 1 + 5x 2 4 x 1 0, x

36 Άσκηση 1 Έστω το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Κατασκευάστε το δυϊκό πρόβλημα του προηγούμενου πρωτεύων. Βρείτε την βέλτιστη λύση με ένα άμεσο τρόπο. Αν υποθέσουμε ότι c1, ο συντελεστής της μεταβλητής x1, στην αντικειμενική συνάρτηση του πρωτεύων προβλήματος, μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Για ποιες τιμές του c1, το δυϊκό πρόβλημα δεν έχει εφικτή λύση? Για αυτές τις τιμές, τι συμπεράσματα μπορείτε να βγάλετε για το πρωτεύων πρόβλημα. (θεωρία δυϊκότητας) 36

37 Άσκηση 2 Να παραστήσετε γραφικά (χωρίς την βοήθεια της μεθόδου simplex) μια βέλτιστη λύση του παρακάτω γραμμικού μοντέλου : 37

38 Άσκηση 3 Έστω το ακόλουθο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού: Κατασκευάστε το δυϊκό πρόβλημα του. Λύστε το δυϊκό πρόβλημα με γραφική μέθοδο. Επιβεβαιώστε τα προηγούμενα αποτελέσματα λύνοντας το πρωτεύων πρόβλημα με simplex. 38