Prvo predavanje. Vladimir Dananić. 28. veljače 2012.
|
|
- Βαράκ Μιχαλολιάκος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Prvo predavanje Vladimir Dananić 28. veljače 2012.
2 ii
3 Sadržaj 1 Električne pojave i sile Kratki povijesni pregled poznavanja fundamentalnih sila Sveprisutnost elektriciteta Coulombov zakon Električno polje iii
4 SADRŽAJ SADRŽAJ iv
5 POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE Poglavlje 1 Električne pojave i sile 1.1 Kratki povijesni pregled poznavanja fundamentalnih sila Elektromagnetska sila je jedna od četiriju poznatih fundemantalnih sila.u nekim svojim vidovima ta je sila jako slična gravitacijskoj sili, koja je također fundamentalna sila. Povijesni razvitak znanosti svjedoči o toj činjenici jednostavno tako što su te dvije sile bile poznate od davnine, premda nisu bile matematički opisane. Ali i onda kada su obje bile opisane i uobličene u teorije, to znači Newtonov zakon gravitacije (17. stoljeće) 1, kojega je naslijedila Einsteinova 2 teorija opće gravitacije, i Maxwellova 3 teorija klasične elektrodinamike koja je proizašla iz domišljatih pokusa Michaela Faradaya 4, te dvije teorije bile su prve koje je ljudski um pokušao ujediniti u jedinstvenu teoriju sila. To je pokušao Einstein 20.-tih godina 20. stoljeća, no bez uspjeha. Međutim, tijekom druge polovice 20. stoljeća elektromagnetska sila bila je ujedinjena, ali ne s gravitacijskom nego sa slabom nuklearnom silom. To je poznato kao Weinberg-Salamov 56 standardni model. Gravitacijska sila ostala je po strani, tako da još uvijek nemamo općeprihvaćenu i pokusima potkrijepljenu ujedinjenu teoriju sila. Mi se ovdje ne ćemo baviti ujedinjavanjem elektromagnetske sile s ostalim silama, ali ćemo se ipak baviti svojevrsnim ujedinjavanjem. Naime, elektricitet i magnetizam bile su poznate kao dvije nezavisne i nepovezane sile. Tako je to bilo sve dok Ørsted 7 nije slučajno otkrio da se magnetska igla pomiče u blizini žice 1 Sir Isaac Newton, , engleski prirodoslovac, utemeljitelj zakona dinamike i zakona gravitacije. Za više potankosti vidjeti 2 Albert Einstein, , njemački fizičar, utemeljitelj posebne i opće teorije relativnosti (gravitacije). Njegovo je ime postalo istoznačnicom za genija u modernoj fizici. Za više potankosti vidjeti 3 James Clerk Maxwell, , škotski fizičar, utemeljitelj klasične elektrodinamike. Za više potanksti vidjeti 4 Michael Faraday, , engleski fizičar, poznat po domišljatim pokusima. Za više potankosti vidjeti 5 Steven Weinberg,rođen 1933., američki teorijski fizičar. Za više potankosti vidjeti http: //en.wikipedia.org/wiki/steven_weinberg 6 Mohammad Abdus Salam, , pakistanski teorijski fizičar. Za više potankosti vidjeti 7 Hans Christian Ørsted, , danski fizičar i kemičar. Za više potankosti vidjeti 1
6 1.2. SVEPRISUTNOST.. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE Slika 1.1: Statički elektricitet djeluje jednako na ljude i na ostala živa bića. protjecane električnom strujom. Sam naziv elektromagnetska sila upućuje na tu povijesnu činjenicu. Dakle, elektromagnetizam već je jedna teorija ujedinjenja. A sada idemo vidjeti što ćemo ujediniti s čime, zašto i kako ćemo to učiniti. 1.2 Sveprisutnost elektriciteta Moderno doba, u kojem smo se navikli rabiti elektricitet na bezbroj načina, nije doba otkrića elektriciteta nego njegove primjene. Svakodnevno iskustvo nam pokazuje postojanje elektriciteta i to se iskustvo ne bi jako promijenilo čak i kada bismo ostali bez ikakvih modernih naprava, poput televizora i računala, mikrovalnih pećnica i mobitela i svakovrsne umjetne rasvjete. Dovoljno je posjedovati i nositi vuneni dio odjeće pa da se vlastitim osjetilima uvjerimo da postoji nekakva sila koja čini da nam kosa (ako ju imamo) strši zato što ju je nešto nevidljivo privuklo, ili da nam iz prstiju iskoči iskra pri dodiru s metalnim predmetom. I sve to ako imamo sreće da nas nikada ne udari munja iz oblaka. No, ono što je najuočljivije, toliko uočljivo da to ne možemo vidjeti, nego s pomoću toga vidimo, je sama svjetlost. Činjenica da je svjetlost elektromagnetski val postala je poznatom tek u drugoj polovici 19. stoljeća. Svjetlo je, dakle, najuočljivi primjer ujedinjenja dviju pojavnosti elektriciteta i magnetizma. Statički elektricitet može se proizvoditi jednostavnim postupkom. Naprimjer, obično trljanje jantarnog štapa vunenom krpom proizvodi električni naboj. No, postoje i živa bića koja mogu trenutno proizvesti toliko statičkog elektriciteta da se mogu obraniti od napadača. Primjeri navedeni u slikama zorno svjedoče o tome da je električni naboj svakodnevna i sveprisutna pojava. Sada tu pojavu trebamo opisati tako da ju apstrahiramo na sličan način kao što se apstrahira broj. Kad kažemo broj, onda ne moramo reći što brojimo.tako ćemo postupiti i s električnim nabojem. Kao prvo, jasno je da postoji količina naboja. Ta veličina mora biti skalarna, jer nije uočeno da ona ovisi o smjeru. Dakle, električni je naboj veličina poput mase. No, s jednom bitnom razlikom. 2
7 POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE 1.2. Slika 1.2: Električna jegulja (Electrophorus electricus) može proizvesti dovoljno veliku količinu naboja i dovoljno veliki električni napon da ubije čovjeka. Za više potankosti vidjeti wikipedia.org/wiki/electric_eel Kad bismo masu htjeli proizvoditi na sličan način kao što to možemo činiti s električnim nabojem, naprimjer trljanjem dvaju predmeta, možemo to učiniti. Ali znamo da smo tim procesom jednom tijelu oduzeli ( ostrugali ) nešto mase, tako da je masa tijela nakon toga manja. Dakle, imamo zakon očuvanja mase; nju ne možemo ni iz čega stvoriti ili ju u ništa pretvoriti. No, kad imamo električni naboj, onda trljanjem dvaju tijela oba tijela dobiju naboj. Znači li to da električni naboj možemo stvoriti ni iz čega? Naravno da ne znači. Moramo biti sumnjičavi kada nam se prividno nudi mogućnost da nešto stvorimo ni iz čega. Očiti izlaz iz ovog prividnog kršenja zakona očuvanja je vrlo jednostavan. Naime, postoje dvije vrste naboja: pozitivan i negativan. Zbroj sviju naboja u zatvorenu sustavu očuvan je. Ako je taj zbroj jednak 0, onda govorimo o električki neutralnom sustavu. Za razliku od mase, električki naboj može biti i pozitivan i negativan, a masa je samo pozitivna veličina. Ako je tako, a svi pokusi pokazuju da je to istina, onda se moramo zapitati kako to da su materijalna tijela uglavnom električki neutralna. Moramo zaključiti da tvar teži k električkoj neutralnosti, tj. da se pozitivni i negativni naboji vole. Preciznije, to nas navodi na zaključak da se pozitivni i negativni naboji međusobno privlače, da između njih postoji privlačna sila. Znamo da se mase uvijek privlače, ali sve su mase pozitivne. Ovdje smo naišli na sasvim drugačiju pojavu privlače se naboji različitog predznaka, pa su tijela zato električki neutralna. Sljedeće pitanje koje se nameće je kako međusobno djeluju naboji istoga predznaka? Ako bi i između njih, tj. između naboja istoga predznaka, djelovala također privlačna sila, onda bismo u prirodi morali moći naći tijela koja su električki nabijena i koja se nastoje što više skupiti, upravo kao što se zbog gravitacijskog privlačenja nastoje skupljati tijela koja združuju svoje mase. Međutim, već sam pogled na Sliku 1. govori nam da tu nije riječ o skupljanju, nego o međusobnom odbijanju. Dakle, naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju. To je vrlo jednostavno pokazati pokusom. No, ta činjenica dovodi do sljedećeg teškog pitanja, na koje još uvijek nemamo sasvim zadovoljavajući odgovor. A to pitanje je sljedeće: ako se naboji istoga predznaka međusobno odbijaju i ako je električki naboj kontinuirana veličina, kako to da uopće onda postoji bilo što što ima naboj jednog te istog predznaka? Naime, zbog odbijanja naboj bi se morao raspršiti, potpuno nestati. Postoji li onda nekakva druga nepoznata, ne-električka, sila koja jedan te isti naboj uopće drži na okupu? Odgovor na to pitanje je sasvim jednostavan i, zapravo, još uvijek neshvatljiv električki naboj nije kontinuirana veličina, nego se pojavljuje u cjelobrojnim jedinicama elementarnog naboja. U kemiji su naročito poznate te jedinice naboja: pro- 3
8 1.2. POGLAVLJE 1. ELEKTRIČNE POJAVE I SILE ton i elektron, pozitivna i negativna jedinica električkog naboja. Pitanje što drži na okupu tu jedinicu naboja preteško je za ovaj kolegij i zadire u najdublje teorije moderne fizike. Kvantiziranost naboja uzet ćemo kao datost za koju priznajemo da ju uopće ne razumijemo. Činjenicu kvantiziranosti električkog naboja prvi je dokazao Millikan 8. No, jedno moguće teorijsko objašnjenje za kvantiziranost električkog naboja dao je Dirac. 9. Međutim, to teorijsko objašnjenje pretpostavlja postojanje magnetskih naboja (monopola) i poznavanje kvantne mehanike. Ali magnetski monopoli nisu nikada bili sa sigurnošću ustanovljeni ni u kojem pokusu. Na kraju ovoga kratkoga pregleda sakupimo osnovne činjenice o elektricitetu Električki naboj je skalarna veličina, koja može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. U zatvorenu sustavu ukupni električki naboj je očuvan. To znači da je u zatvorenu sustavu promjena količine naboja jednaka 0: q = 0 (1.1) Naboji istoga predznaka međusobno se odbijaju, a naboji različitog predznaka međusobno se privlače. Količina naboja je kvantizirana, tj. pojavljuje se samo kao cjelobrojni umnožak osnovne količine naboja. To znači da za svaki naboj q vrijedi gdje je e neka elementarna količina naboja. q = Ne, N Z (1.2) Elementarna količina naboja u SI sustavu mjernih jedinica iznosi e = 1, C. 8 Robert Andrews Millikan, , američki fizičar. Za više potankosti o njemu i o čuvenom pokusu kojim je dokazao kvantiziranost električkog naboja vidjeti wikipedia.org/wiki/robert_andrews_millikan 9 Paul Adrien Maurice Dirac, , engleski fizičar. Zaslužan je za razvoj kvantne teorije polja. Više o njemu i njegovim dubokim teorijskim uvidima vidjeti na wikipedia.org/wiki/paul_dirac 4
9 Poglavlje 2 Coulombov zakon Slično kao i kod ustanovljenja Newtonovog zakona gravitacije, gdje smo govorili o zakonu privlačenja točkastih masa, tako ćemo i ovdje zamisliti naprije točkaste naboje. Zapravo ćemo zamisliti male kuglice koje na sebi imaju neku količinu naboja. Kuglice su tijela koja najviše sliče točci i zato ih uvijek uzimamo kada želimo smanjiti utjecaj geometrijskog oblika na promatranu silu. Metalne kuglice iste veličine imaju zgodno svojstvo: ako jednu nabijenu metalnu kuglicu dodirnemo s nenabijenom metalnom kuglicom iste veličine, naboji će na te dvije kuglice biti isti nakon dodira. Zašto? Iskustvena je činjenica da se naboji lako gibaju po metalnim površinama, a po nekim drugim površinama se ne gibaju uopće. Metali su dobri vodiči električkog naboja, a ostali su materijali izolatori i po njima se naboji teško, ako uopće, gibaju. Budući da su dvije metalne kuglice iste veličine, pri njihovu dodiru naboj će s jedne kuglice lako prelaziti na drugu sve dok se ne postigne ravnoteža. Kuglice se ni po čemu ne razlikuju, pa prema tome ne možemo tvrditi da se razlikuju po količini naboja ako su kuglice u jednom trenutku bile u dodiru. Zato što se naboji istoga predznaka međusobno odbijaju i zato što se lako gibaju po metalnim površinama, intuitivno je jasno da će se naboji po dvjema geometrijski jednakim kuglicama savršeno podjednako raspodijeliti kad se kuglice dodirnu. Taj je postupak sličan postupku u kojem pretačemo tekućinu iz jedne u drugu posudu sve dok se razine tekućine u dvjema posudama ne izjednače. No, kod spojenih posuda imamo izjednačavanje hidrostatskog tlaka, a ne sile. Pitanje je, dakle, što se pri spajanju metalnih površina izjednačava, što ima ulogu hidrostatskog tlaka? Ustvari, u 18. stoljeću, ljudi i jesu bili zamišljali električki naboj kao svojevrsni fluid. Isto su tako bili zamišljali i toplinu. Tok topline s jednoga tijela na drugo prestaje kada se temperature tijela izjednače. Slično je i s tokom naboja s jednog metalnog tijela na drugo, ali tok naboja ne prestaje s izjednačavanjem temperature temperature mogu na samom početku biti iste, a naboj će i dalje teći dok se to nešto, što nije ni temperatura ni hidrostatski tlak, ne izjednači. To nešto se uspostavlja dodirom metalnih površina. Postojanje toga nečega može se ustanoviti jednostavnim pokusom. Dakle, vrlo lako možemo dobiti dvije kuglice s istom, premda nepoznatom, količinom naboja q. Zapravo, zgodno je imati četiri takve jednake kuglice, od čega su dvije slobodne, a dvije su stavljene na torzijsku vagu. Primičući slobodne kuglice kuglicama na vagi možemi izravno mjeriti silu kojom jedna kuglica djeluje na drugu istoga naboja. Upravo takav je pokus bio izvršio 5
10 2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON Slika 2.1: Torzijska vaga jako jednostavan i jako učinkovit način mjerenja sile. Coulomb 1 Taj je pokus bio izveden 10 godina prije Cavendishova 2 pokusa u kojem je mjerio gravitacijsku silu, također s pomoću torzijske vage. I što je Coulomb bio ustanovio? Ustanovio je da je odbojna sila među kuglicama razmjerna količini naboja na njoj i obrnuto razmjerna kvadratu udaljenosti između kuglica. Dakle, sila među nabojima istoga predznaka odbojna je. Naravno da je potrebno biti domišljat i smisliti način kako postići da na jednoj kuglici bude količina naboja q, a na drugoj, naprimjer, količina naboja q, da bsimo tako mogli mjeriti privlačnu silu između naboja suprotnih predznaka. Matematički je oblik Coulombova zakona sljedeći: sila F 12 na točkasti naboj q 1 u točci r 1 kojom na njega djeluje točkasti naboj q 2, koji se nalazi u točci r 2, jednaka je q 1 q 2 F 12 = k r 1 r 2 3 ( r 1 r 2 ) (2.1) Elektrostatska sila djeluje na spojnici naboja i za tu silu vrijedi treći Newtonov zakon. U jednadžbi (2.1) konstanta k samo odražava sustav mjernih jedinica. Iz izraza za silu vidimo da ona jako naliči na gravitacijsku silu, pri čemu bi naboji imali ulogu mase, a konstanta k ulogu gravitacijske konstante. Koliko danas znamo, ne postoje nabijene čestice bez mase. Naprimjer, elektron i proton imaju i masu i naboj. Zato se među elementarnim česticam može uspoređivati gravitacijska i elektrostatska sila. Naime, omjer tih dviju sila ne će ovisiti o udaljenosti među česticama. Pokazuje se da je taj omjer takav da uz postojanje elektrostatske sile gravitacijsku silu među česticama možemo posve zanemariti. Budući da je Coulombov zakon, opisan jednadžbom (2.1), matematički istovjetan s Newtonovim zakonom gravitacije, možemo odmah zaključiti da za silu (2.1) postoji potencijalna energija q 1 q 2 E pot = k r 1 r 2 (2.2) 2.1 Električno polje Nastavljajući dalje sa sličnošću Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovog zakona, uvest ćemo pojam električnog polja na sličan način kako smo uveli pojam gravitacijskom polja. Gravitacijsko polje je omjer sile na probnu masu 1 Charles Augustin de Coulomb, , francuski fizičar. Za više potankosti o njemu vidjeti na 2 Henry Cavendish, , engleski fizičar. Više o njemu na org/wiki/henry_cavendish 6
11 POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE Slika 2.2: Silnice električnog polja pozitivnog i negativnog točkastog naboja i probne mase kada probna masa teži k 0. Na sličan način električno polje definiramo kao omjer električne sile na probni naboj i probnog naboja kada probni naboj teži k 0. Recimo da je u jednadžbi (2.1) naboj q 2 probni naboj. Tada se on nalazi u električnom polju što ga stvara naboj q 1. Recimo da smo naboj q 1 smjestili u ishodište koordinatnog sustava, tako da imamo r 1 = 0, a položaj probnog naboja q 2 označit ćemo jednostavno s r, tj. stavit ćemo r 2 = r. Električno polje što ga stvara naboj q 1 tada je jednako F E 1 ( r) = lim 12 = k q 1 q 2 0 q 3 r (2.3) 2 r Grafički prikaz vektora električnog polja dan je na slici 2.2. Na nabijenu česticu q u električnom polju E djelovat će sila F = q E (2.4) Pozitivni naboji osjećat će silu u smjeru električnog polja, a negativni naboji suprotno smjeru električnog polja. Ta lako shvatljiva činjenica, što slijedi iz jednadžbe (2.4), ima za posljedicu pojavu polarizacije. Naime, kada neutralni sustav naboja stavimo u električno polje, pozitni naboji će se pomaknuti u smjeru polja, a negativni suprotno njemu. Doći će do razmicanja naboja, tako da će jedan kraj sustava biti pozitivno nabijen, a drugi negativno, premda će u cjelini sustav ostati i dalje neutralan. Ta pojava u kemiji ima jako velike posljedice. Jedna od najvažnijih posljedica polarizacije su van der Waalsove sile, 3 odgovorne za ukapljivanje plinova na niskim temperaturama. Ako stavimo metalni predmet u električno polje, onda govorimo o električnoj influenciji zato što se naboji lako gibaju po metalnim površinama. No, kakav god bio sustav koji stavimo u električno polje, uvijek imamo razmicanje pozitivnog i negativnog naboja. Takav, razmaknuti naboj, kojemu je ukupna vrijednost jednaka 0, zovemo električni dipol. Dakle, kada električno polje djeluje na neutralni sustav, ono u njemu inducira električni dipol. O tome malo više kasnije. Za električno polje vrijedi zakon superpozicije, koji kaže da je električno polje 3 Johannes Diderik van der Waals, , nizozemski fizičar. Više o njemu na http: //en.wikipedia.org/wiki/johannes_diderik_van_der_waals 7
12 2.1. ELEKTRIČNO POLJE POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON Slika 2.3: Silnice električnog polja i ekvipotencijalne plohe za neke nabijene sustave. sustava točkastih naboja u svakoj točci jednako zbroju električnih polja od pojedinačnih naboja u toj točci. Dakle, ako imamo sustav točkastih naboja q i, i = 1, 2,..N. onda će ukupno električno polje biti jednako N N q i E ( r) = E i ( r) = k r r i 3 ( r r i) (2.5) i=1 i=1 Nastavljajući prispodobu Newtonovog zakona gravitacije i Coulombovog zakona za elektrostatsku silu, možemo lako definirati električni potencijal. Prisjetimo se: gravitacijski potencijal smo definirali kao omjer potencijalne energije čestice u gravitacijskom polju i njezine mase. Slično tomu, električni potencijal definiramo kao omjer potencijalne energije točkastog naboja u električnom polju i naboja: E pot Φ ( r) = lim = k q 1 (2.6) q 2 0 q 2 r To je električni potencijal što ga točkasti naboj q 1 stvara u prostoru oko sebe. Ta je veličina skalarna. Električno se polje dobiva iz električnog potencijala deriviranjem po prostornoj koordinati: E = Φ ( r) (2.7) Čestica naboja q u polju električnog potencijala Φ ima potencijalnu energiju: E pot = qφ (2.8) Točke u prostoru koje imaju istu vrijednost električnog potencijala čine ekvipotencijalnu plohu. Silnice električnog polja okomite su na ekvipotencijalne plohe. Orijentacija električnog polja uvijek je od područja (plohe) višeg potencijala prema području (plohi) nižeg potencijala. Električni potencijal je ono nešto što se izjednačava pri dodiru metalnih ploha. Metalne su plohe ekvipotencijalne plohe Zašto? Ako ne bi tako bilo, onda bi na metalnoj plohi električno polje imalo sastavnicu tangencijalno na plohu. No, zato što se 8
13 POGLAVLJE 2. COULOMBOV ZAKON 2.1. ELEKTRIČNO POLJE naboji lako gibaju po metalnoj plohi, takvo tangencijalno električno polje pomaknulo bi naboj na njoj. Dokle će ga pomicati? Kada će to pomicanje završiti? Pomicat će ga dotle dok se ne uspostavi upravo takva razdioba naboja na plohi koja više ne će imati tangencijalno električno polje, tj. dotle dok metalna ploha ne postane ekvipotencijalnom. Pomaci okomito na plohu nisu mogući (barem ne u nekakvim normalnim situacijama) jer neke druge, recimo kemijske, sile drže naboj prikovanim za plohu. Dakle, u statičkom slučaju metalna ploha je uvijek ekvipotencijalna. Slično kao što vrijedi za električno polje, zakon superpozicije vrijedi i za električni potencijal: N N q i Φ ( r) = Φ i ( r) = k r r i i=1 i=1 (2.9) Skalarne veličine je uvijek jednostavnije zbrajati nego vektorske veličine. Zato je za sustav naboja uvijek bolje izračunati, ili izmjeriti, električni potencijal i ekvipotencijalne plohe nego samo električno polje. Text 9
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραSADRŽAJ. 1. Električni naboj 2. Coulombov zakon 3. Električno polje 4. Gaussov zakon 5. Potencijal elektrostatičkog polja
ELEKTROSTATIKA 1 SADRŽAJ 1. Električni naboj 2. Coulombov zakon 3. Električno polje 4. Gaussov zakon 5. Potencijal elektrostatičkog polja 1. Električki naboj Eksperiment Stakleni štap i svilena krpa nakon
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραGravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa
Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit VARIJANTA A
Osnove elektrotehnike I popravni parcijalni ispit 1..014. VARIJANTA A Prezime i ime: Broj indeksa: Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. A C 1.1. Tri naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραGauss, Stokes, Maxwell. Vektorski identiteti ( ),
Vektorski identiteti ( ), Gauss, Stokes, Maxwell Saša Ilijić 21. listopada 2009. Saša Ilijić, predavanja FER/F2: Vektorski identiteti, nabla, Gauss, Stokes, Maxwell... (21. listopada 2009.) Skalarni i
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότερα5. predavanje. Vladimir Dananić. 27. ožujka Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka / 16
5. predavanje Vladimir Dananić 27. ožujka 2012. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 1 / 16 Sadržaj 1 Magnetske pojave O magnetizmu Gaussov zakon za magnetsko polje Nabijena čestica u magnetskom
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότερα1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5.
ELEKTROSTTIK II 1. Rad sila u el. polju i potencijalna energija 2. Električni potencijal 3. Vodič u električnom polju 4. Raspodjela naboja u vodljivom tijelu 5. Dielektrik u električnom polju 6. Električki
Διαβάστε περισσότεραELEKTROSTATIKA. Električni naboji. Električna sila, električno polje. Električni potencijal. Električna potencijalna energija
ELEKTROSTATIKA Električni naboji Električna sila, električno polje Električni potencijal Električna potencijalna energija Pokusi pokazuju da postoje dvije vrste električnih naboja: pozitivni i negativni
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα1. Osnovni pojmovi o elektricitetu
1. Osnovni pojmovi o elektricitetu 1.0. Uvod U ljetnim olujnim danima nastaju žestoke munje, koje imaju razornu moć. Svatko se zapita odakle munji ta energija. To su pitanje ljudi postavljali stoljećima.
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραSlika 1. Električna influencija
Elektrostatika_intro Naboj, elektriziranje trenjem, dodirom i influencijom za vodiče i izolatore, Coulombov zakon, električno polje, potencijal i napon, kapacitet, spajanje kondenzatora, gibanje naboja
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραE L E K T R I C I T E T
Coulombov zakon E L E K T R I C I T E T 1. Dva sitna tijela jednakih naboja međusobno su udaljena 0,3 m i privlače se silom 50 μn. Koliko iznosi svaki naboj? Q = 2,2 10 ⁸ C 2. Odredi kolikom će silom međusobno
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραElektricitet i magnetizam. 1. Elektricitet
1. Elektricitet Podsjetnik Dodatna literatura:, E.M.Purcel. Udžbenik fizike Sveučilišta u Berkeleyu. Najelementarnije: Fizika 2. V. Paar i V. Šips. Školska knjiga. 2 Povijest elektriciteta Tales iz Mileta
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραElektricitet i magnetizam. 2. Magnetizam
2. Magnetizam Od Oersteda do Einsteina Zimi 1819/1820 Oersted je održao predavanja iz kolegija Elektricitet, galvanizam i magnetizam U to vrijeme izgledalo je kao da elektricitet i magnetizam nemaju ništa
Διαβάστε περισσότεραILIŠTA U RIJECI Zavod za elektroenergetiku. Elektrostatika. Električni potencijal Električni napon. Osnove elektrotehnike I: Elektrostatika
TEHNIČKI FKULTET SVEUČILI ILIŠT U RIJECI Zavod za elektoenegetiku Studij: Peddiplomski stučni studij elektotehnike Kolegij: Osnove elektotehnike I Pedavač: v. ped. m.sc. anka Dobaš Elektostatika Elektični
Διαβάστε περισσότεραElementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton,
Elementarne čestice Elementarne ili osnovne ili fundamentalne čestice = Najmanji dijelovi od kojih je sastavljena tvar. Do 1950: Elektron, proton, neutron Građa atoma Pozitron, neutrino, antineutrino Beta
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραVerovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića
Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραOvo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na
. Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραMasa, Centar mase & Moment tromosti
FAKULTET ELEKTRTEHNIKE, STRARSTVA I BRDGRADNE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba Masa, Centar mase & Moment tromosti Ime i rezime rosinac 008. Zadatak:
Διαβάστε περισσότεραΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών
Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραNewtonov opdi zakon gravitacije
Predavanje 3 Newtonov opdi zakon gravitacije F=Gm 1 m 2 /R 2 r Jedinični vektor G=6.67 10-11 Nm 2 kg -2 gravitacijska konstanta (Sir Henry Cavendish 1798) G nije isto što i g Gravitacijska sila djeluje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότεραVrijedi relacija: Suma kvadrata cosinusa priklonih kutova sile prema koordinatnim osima jednaka je jedinici.
Za adani sustav prostornih sila i j k () oktant i j k () oktant koje djeluju na materijalnu toku odredite: a) reultantu silu? b) ravnotežnu silu? a) eultanta sila? i j k 8 Vektor reultante: () i 8 j k
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα