Θεωρία Μεθοδολογία Ασκήσεων Ερωτήσεις -Προβλήματα. Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου - Ταλαντώσεις

Transcript

1 Θεωρία Μεθοδολογία Ασκήσεων Ερωτήσεις -Προβλήματα Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου - Ταλαντώσεις ΝΙΚΟΣ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 Στοιχεία επικοινωνίας

3 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.1 Περιοδικά φαινόμενα Απλή Αρμονική ταλάντωση 1.3 Μεθοδολογία επίλυσης ασκήσεων στις μηχανικές ταλαντώσεις 1 Λυμένες ασκήσεις..6 Πλαστική κρούση και απλή αρμονική ταλάντωση...39 Ερωτήσεις στις μηχανικές ταλαντώσεις 47 Ασκήσεις στις μηχανικές ταλαντώσεις..63 ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ.1 Εισαγωγικές έννοιες Περιγραφή φαινομένου Μεθοδολογία επίλυσης ασκήσεων στις μηχανικές ταλαντώσεις...90 Λυμένες ασκήσεις...97 Ερωτήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις..103 Ασκήσεις στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις 110 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 3.1 Φθίνουσες ταλαντώσεις 115 Ερωτήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις Ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.15 Ερωτήσεις στις εξαναγκασμένες ταντώσεις Ασκήσεις στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις 131 ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 4.1 Γενικά στοιχεία Ειδικές περιπτώσεις σύνθεσης ταλαντώσεων.133 Ερωτήσεις στη σύνθεση ταλαντώσεων Ασκήσεις στη σύνθεση ταλαντώσεων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΕΝΘΕΤΟ 143 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 145

4

5 ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1.1 Περιοδικά φαινόμενα Πολλά από τα φυσικά φαινόμενα που συμβαίνουν γύρω μας επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε ίσα μεταξύ τους χρονικά διαστήματα. Τα φαινόμενα αυτά ονομάζονται περιοδικά. Για παράδειγμα οι κινήσεις των πλανητών γύρω από τον ήλιο σε ελλειπτικές τροχιές, η κίνηση των φυσικών δορυφόρων γύρω από τους πλανήτες η κίνηση των τεχνιτών δορυφόρων γύρω από τη γη, οι αναλαμπές του φλας ενός αυτοκινήτου ή ενός φάρου είναι μερικά από τα πολλά περιοδικά φαινόμενα που υπάρχουν στον κόσμος μας. Κάθε περιοδικό φαινόμενο χαρακτηρίζεται από δύο μεγέθη, την συχνότητα ( f ) και την περίοδο (T). H περίοδος είναι ο χρόνος που χρειάζεται το φαινόμενο για να κάνει μια πλήρη επανάληψη ενώ η συχνότητα εκφράζει το πόσο συχνά επαναλαμβάνεται το φαινόμενο και ορίζεται από το αριθμό τον επαναλήψεων του φαινομένου στη μονάδα του χρόνου. Έτσι η συχνότητα και η περίοδος ενός μεγέθους ορίζονται ως παρακάτω : f ό ή ί ή ά t T ί ή ά ό ή t N Από τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι τα δύο αυτά μεγέθη συνδέονται με τη σχέση f 1 T ή 1 f Μονάδες μέτρησης στο Διεθνές σύστημα μονάδων (S.I.) της συχνότητας είναι το 1Ηz (Hertz) ή 1 s -1, ενώ της περιόδου το 1 s (sec). Ένα άλλο μέγεθος χαρακτηριστικό για τα περιοδικά φαινόμενα είναι η γωνιακή (ή κυκλική) συχνότητα που τη συμβολίζουμε με το γράμμα ω. Η γωνιακή συχνότητα συνδέεται με την περίοδο και την συχνότητα της ταλάντωσης με τις παρακάτω σχέσεις: ω = π/ Τ και ω = π f και στο διεθνές σύστημα μονάδων έχει ως μονάδα μέτρησης το 1 rad/s. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 1

6 Από τα πιο σημαντικά περιοδικά φαινόμενα είναι οι περιοδικές κινήσεις.ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει μια τέτοια κίνηση που ονομάζεται ταλάντωση και τα χαρακτηριστικά της θα μελετήσουμε παρακάτω. 1. Απλή Αρμονική ταλάντωση Μια περιοδική κίνηση που γίνεται γύρω από ένα σταθερό σημείο, ανάμεσα σε ακραίες θέσεις που ισαπέχουν από αυτό ονομάζεται ταλάντωση. Η κίνηση αυτή είναι μια παλινδρομική κίνηση γύρω από ένα σημείο. Παραδείγματα ταλαντώσεων είναι οι κινήσεις π.χ. ενός απλού εκρεμμούς,ενός σώματος που είναι συνδεδεμένο με οριζόντιο ή κατακόρυφο ελατήριο κ.α. Ιδιαίτερα αν η ταλάντωση γίνεται πάνω σε ευθεία γραμμή δηλαδή η τροχιά του είναι ευθεία τότε η ταλάντωση αυτή ονομάζεται γραμμική. u x=0 x Aν σε μια γραμμική ταλάντωση η θέση ή αλλιώς απομάκρυνση του σώματος σε σχέση με το κέντρο της τροχιάς του είναι αρμονική (περιοδική) συνάρτηση του χρόνου t,τότε η ταλάντωση χαρακτηρίζεται απλή αρμονική. Μερικά παραδείγματα περιοδικών κινήσεων που κατά προσέγγιση μπορούν να θεωρηθούν αρμονικές είναι π.χ. η ταλάντωση του κρυστάλλου του χαλαζία σ ένα ρολόι, η κίνηση του εκκρεμούς,οι ταλαντώσεις των μορίων, το ηλεκτρικό ρεύμα σ ένα κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος κ.α. Η απλή αρμονική ταλάντωση (Α. Α. Τ.) είναι ένα χρήσιμο προσεγγιστικό μοντέλο για τη μελέτη περιοδικών κινήσεων. Πολλές περιοδικές κινήσεις μπορούν να θεωρηθούν προσεγγιστικά ως Α. Α.Τ. αρκεί το πλάτος τους να είναι τόσο μικρό ώστε η δύναμη F που προκαλεί την κίνηση να είναι κατά προσέγγιση ανάλογη με την θέση π.χ. ταλαντώσεις ατόμων και μορίων στα στερεά σώματα. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός

7 1..1 Εξίσωση απομάκρυνσης με τον χρόνο στην Α.Α.Τ. Την κίνηση κάθε σώματος την αντιλαμβανόμαστε πάντα όταν το σώμα αλλάζει θέση ως προς ένα σταθερό σημείο που το ονομάζουμε συνήθως σημείο αναφοράς. Όπως και σε κάθε κίνηση έτσι και στην ταλάντωση είναι σημαντικό να γνωρίζουμε κάθε χρονική στιγμή τη θέση του σώματος ως προς το σταθερό σημείο που είναι και το κέντρο της τροχιάς του. Έστω ένα σώμα που κινείται παλινδρομικά με ταχύτητα μεταξύ των σημείων P & P, πάνω σε μια ευθεία (άξονας x x), γύρω από ένα σημείο Ο που είναι το μέσο της τροχιάς του. Στην περίπτωση αυτής της γραμμικής ταλάντωσης που είναι απλή αρμονική ταλάντωση η θέση (απομάκρυνση) του σώματος είναι αρμονική (περιοδική) συνάρτηση του χρόνου t. Αν ορίσουμε το σημείο Ο ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων (χ = 0), θετική τη φορά προς τα δεξιά και τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα ξεκινά την ταλάντωση του από το σημείο Ο με φορά προς τα δεξιά, τότε κάθε χρονική στιγμή t μπορούμε να υπολογίσουμε τη θέση x του σώματος από τη σχέση: Στην Α.Α.Τ. η θέση (απομάκρυνση) σώματος είναι αρμονική (περιοδική) συνάρτηση του χρόνου t και δίνεται στη γενική περίπτωση από τη σχέση x = A ημ(ωt+φ 0) x = A ημ (ω t), x = A ημ (πf t), x = A ημ ( t) (1) Στην παραπάνω σχέση με Α συμβολίζουμε τη μέγιστη απόσταση (x max = A) που μπορεί να φθάνει το σώμα από το σημείο Ο και ονομάζεται πλάτος της ταλάντωσης.τόσο το πλάτος όσο και η γωνιακή συχνότητα ω είναι δύο σταθερά μεγέθη χαρακτηριστικά της κάθε ταλάντωσης. Στο παρακάτω πίνακα φαίνονται οι θέσεις ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές σε σχέση με την περίοδο του σώματος καθώς και η αντίστοιχη γραφική παράσταση που δείχνει την θέση του σώματος κάθε χρονική στιγμή. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 3

8 Χρόνος t Θέση x 0 0 T/4 A T/ 0 3T/4 -A T 0 Η μορφή της εξίσωσης (1) που μας δίνει κάθε χρονική στιγμή της θέση του σώματος εξαρτάται από τις συνθήκες με τις οποίες ξεκινά το σώμα την ταλάντωση του. Έτσι η σχέση x = Aημ(ωt) έχει τη μορφή αυτή μόνο αν τη χρονική στιγμή ( t=0 ) που ξεκινάμε να μελετάμε την κίνηση αυτή, το σώμα βρίσκεται στο σημείο Ο ( χ= 0) της τροχιάς του και κινείται κατά την θετική φορά. Αν αυτό δεν συμβαίνει και τη χρονική στιγμή t = 0,το σώμα ξεκινά την ταλάντωση από κάποια άλλη θέση που απέχει απόσταση d από το σημείο Ο τότε η σχέση αυτή αλλάζει και γίνεται : x = A ημ (ωt+φ 0 ) Η φάση καθορίζει τη θέση του σώματος που ταλαντώνεται κατά μήκος της τροχιάς του σε κάθε χρονική στιγμή. Η γωνία φ = ωt+φ ο ονομάζεται φάση της ταλάντωσης και η γωνία φ ο,αρχική φάση της ταλάντωσης. Η αρχική φάση εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες της ταλάντωσης. Δηλαδή από την θέση και την ταχύτητα με την οποία ξεκινά η ταλάντωση. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 4

9 1.. Ταχύτητα και επιτάχυνση Το να γνωρίζω πως κινείται ένα σώμα σημαίνει ότι είμαι σε θέση κάθε χρονική στιγμή να υπολογίζω εκτός από τη θέση του και το ρυθμό με τον οποίο αλλάζει θέση δηλαδή με άλλα λόγια την ταχύτητα του. Αν ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει θέσεις ένα σώμα είναι σταθερός τότε η κίνηση χαρακτηρίζεται ομαλή ενώ όταν δεν είναι,μεταβαλλόμενη. Στην περίπτωση της μεταβαλλόμενης κίνησης μας ενδιαφέρει και ο ρυθμός με τον οποίο αλλάζει το σώμα την Η ταχύτητα είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της θέσης του Η επιτάχυνση είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας του, ταχύτητα του, δηλαδή την επιτάχυνση του. Τόσο η θέση όσο και η ταχύτητα αλλά και η επιτάχυνση είναι διανυσματικά μεγέθη. Δηλαδή εκτός από το μέτρο τους πρέπει να γνωρίζουμε και την κατεύθυνση τους. Όπως και η απομάκρυνση έτσι και η ταχύτητα αλλά και η επιτάχυνση ενός σώματος στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι μεταβαλλόμενα μεγέθη και συγκεκριμένα περιοδικές αρμονικές συναρτήσεις του χρόνου. Παρακάτω φαίνονται οι σχέσεις με τις οποίες μπορούμε να υπολογίζουμε κάθε χρονική στιγμή την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σώματος στην Α.Α.Τ. u = u max συν(ωt) ) ή u = u max ημ(ωt+π/) () a = -a max ημ(ωt) ) ή α = a max ημ(ωt+π) (3) Την ποσότητα umax= ωα την ονομάζουμε μέγιστη ταχύτατα ενώ την ποσότητα amax = ω Α την ονομάζουμε μέγιστη επιτάχυνση Οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τροποποιούνται κατάλληλα όπως φαίνεται παρακάτω στην περίπτωση που η ταλάντωση έχει αρχική φάση. Χωρίς αρχ. Φάση u = umax συν(ωt) ή umax ημ(ωt+π/) a = -amax ημ(ωt) ή amax ημ(ωt+π) Με αρχ. Φάση u = umax συν(ωt+ φο) a = - amax ημ(ωt+ φο) Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 5

10 Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται η γραφική παράσταση I. της απομάκρυνσης (μορφή καμπύλης ημίτονο) II. της ταχύτητας (μορφή καμπύλης συνημίτονο) III. της επιτάχυνσης ( μορφή καμπύλης αρνητικό ημίτονο), σε συνάρτηση με τον χρόνο, ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. χωρίς αρχική φάση. T u α 0 umax 0 T/4 0 -αmax T/ -umax 0 3T/4 0 αmax T umax 0 Χρήσιμες πληροφορίες Από τη προσεκτική μελέτη των παραπάνω διαγραμμάτων για την απλή αρμονική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση προκύπτει ότι : Στο σχεδιασμό ή στην χρήση αυτών των διαγραμμάτων να έχουμε υπόψη μας ότι η ταχύτητα προηγείται της απομάκρυνσης κατά π/ (έχουν διαφορά φάσης π/) ή χρονικά διαφέρουν κατά Τ/4. Αν δηλαδή η ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή έχει την μέγιστη τιμή της,τότε η απομάκρυνση θα γίνει μέγιστη μετά από χρόνο Τ/4. Αντίστοιχα η επιτάχυνση προηγείται της απομάκρυνσης κατά π (έχουν διαφορά φάσης π ή Τ/ ενώ της ταχύτητας κατά π/. Δύο μεγέθη λέμε ότι εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορά φάσης (Δφ) όταν δεν παίρνουν ταυτόχρονα τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή τους. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 6

11 Το χρονικό διάστημα 0 T t το σώμα κινείται προς την θετική ακραία θέση,η 4 ταχύτητα του μειώνεται, ενώ η επιτάχυνση αυξάνεται προς την αρνητική μέγιστη τιμή της T T Το χρονικό διάστημα t το σώμα κινείται προς το κέντρο της τροχιάς του η 4 ταχύτητα του αυξάνεται, ενώ η επιτάχυνση μειώνεται μέχρι να μηδενιστεί. T 3T Το χρονικό διάστημα t το σώμα κινείται προς την αρνητική ακραία θέση του. 4 Το χρονικό διάστημα 3 T 4 θέση. t T το σώμα κινείται για να επιστρέψει στην αρχική του Όταν το σώμα βρίσκεται στην θετική ακραία θέση του, η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν ενώ η επιτάχυνση έχει πάρει την αρνητική μέγιστη τιμής της. Όταν το σώμα περνά από την θέση ισορροπίας του, η ταχύτητα του σώματος γίνεται μέγιστη ενώ η επιτάχυνση γίνεται κι αυτή μηδέν. Η επιτάχυνση με τη θέση του σώματος έχουν πάντα αντίθετη φορά (άρα και πρόσημο). Όταν το σώμα κινείται προς τη θέση x =0 (Θ.Ι.) η κίνηση που κάνει το σώμα είναι επιταχυνόμενη αφού η ταχύτητα του αυξάνεται οπότε η ταχύτητα και η επιτάχυνση Θα είναι ομόρροπα διανύσματα έχουν δηλαδή την ίδια φορά (ίδιο πρόσημο). Όταν το σώμα κινείται προς τις ακραίες θέσεις η κίνηση που κάνει το σώμα είναι επιβραδυνόμενη αφού η ταχύτητα του μειώνεται οπότε η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι αντίρροπα διανύσματα, έχουν αντίθετη φορά (αρά και πρόσημο). Αν η ταλάντωση μας έχει αρχική φάση οι καμπύλες αυτές μεταβάλλονται ανάλογα με την γωνία που αντιστοιχεί στην αρχική φάση. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 7

12 ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ a = -a max ημωt = - ω Αημωt α = - ω x (4). Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίζουμε τη επιτάχυνση ενός σώματος αν γνωρίζουμε την θέση του μια χρονική στιγμή και αντίστροφα. Η σχέση αυτή είναι της μορφής y = αx,άρα η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία Η κλίση στο διάγραμμα επιτάχυνση-απομάκρυνσης είναι αριθμητικά ίση με το τετράγωνο της γωνιακής συχνότητα,, δηλαδή ανάλογη της συχνότητας και αντιστρόφως ανάλογη της περιόδου. ΣΧΕΣΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΑΠΟΜΑΚΡΥΝΣΗ Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε αντίστοιχα Υψώνουμε τις δύο σχέσεις στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη οπότε έχουμε & Από τη σχέση αυτή αν λύσουμε ως προς την ταχύτητα προκύπτει η σχέση u= x Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι το σώμα σε κάθε θέση του αντιστοιχούν δύο ταχύτητες ανάλογα με την κατεύθυνση της κίνησης του σώματος. ΣΧΕΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Αποδεικνύεται εύκολα ανάλογα με την προηγούμενη απόδειξη ότι η ταχύτητα και η επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. σε μια χρονική στιγμή συνδέονται με τη σχέση : Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 8

13 1..3 Η Δύναμη στην ταλάντωση Η μορφή και τα χαρακτηριστικά στοιχεία κάθε κίνησης, προκύπτουν από τις ιδιότητες του αιτίου που προκαλεί την κίνηση αυτή. Δηλαδή της συνολικής δύναμης που προκαλεί και συντηρεί την κίνηση. Η συνολική δύναμη που δέχεται ένα σώμα και είναι υπεύθυνη για την κίνηση του υπακούει στον θεμελιώδη νόμο της μηχανικής : F ma Από τη σχέση αυτή και με τη βοήθεια της σχέσης (3) έχουμε για το μέτρο της δύναμης : ΣF = ma = - m amax ημωt = - mω Αημωt, (5) όπου D = m ω μια σταθερά αναλογίας που την ονομάζουμε σταθερά επαναφοράς και εξαρτάται από τη φύση των δυνάμεων που ενεργούν στο σώμα, με μονάδα μέτρησης το 1 N/m στο S.I. Από τη σχέση (5)προκύπτει ότι η συνολική δύναμη στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι I. Ανάλογη και αντίθετη με την απομάκρυνση του σώματος II. Έχει φορά πάντα προς το κέντρο της τροχιάς του. Συνισταμένη Δύναμη = Δύναμη επαναφοράς Τη συνολική ή συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω στο σώμα την ονομάζουμε δύναμη επαναφοράς γιατί πάντα τείνει να φέρει το σώμα που ταλαντώνεται προς το κέντρο της τροχιάς του, το σημείο Ο. Στο σημείο αυτό ισχύει x = 0, οπότε και ΣF= 0 και έτσι το σημείο Ο είναι θέση ισορροπίας. Για να θεωρηθεί η κίνηση ενός σώματος ως απλή αρμονική ταλάντωση θα πρέπει η συνισταμένη δύναμη που δρα πάνω του να είναι ανάλογη με την απομάκρυνση και να έχει αντίθετη φορά από αυτήν. Η σχέση ΣF= - D x αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για να εκτελεί ένα σώμα Α.Α.Τ. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 9

14 Η θέση ισορροπίας δεν σημαίνει θέση ακινησίας. Αντίθετα στη θέση αυτή το σώμα που εκτελεί ταλάντωση έχει το μέγιστο μέτρο της ταχύτητας του. H δύναμη και η επιτάχυνση φορά. είναι πάντα ομόρροπα διανύσματα, έχουν ίδια Γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με την απομάκρυνση και τον χρόνο t χ Fεπ T/4 A Fmax = - DA T/ 0 0 3T/4 -A Fmax = DA ΣF - mω Αημωt T 0 0 Γραφική παράσταση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x. Ρυθμός μεταβολής της ορμής Στην Α.Α.Τ η συνισταμένη δύναμη είναι ίση με τη δύναμη επαναφοράς του σώματος που ταλαντώνεται, συνεπώς ο ρυθμός μεταβολής της ορμής θα είναι ίσος με τη δύναμη επαναφοράς. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα ο ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι ίσος με το μέτρο της συνισταμένης δύναμης που ενεργεί πάνω του. Η ορμή P ενός σώματος είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που το μέτρο του δίνεται από το γινόμενο της μάζας επί την ταχύτητα του σώματος P=mu Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 10

15 Έργο της δύναμης επαναφοράς Η δύναμη επαναφοράς δεν έχει σταθερό μέτρο,έτσι για να βρούμε το έργο W που παράγει σε μια μετακίνηση του σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. από μια αρχική σε μια τελική θέση, θα κάνουμε εφαρμογή του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε) ή θεώρημα έργου ενέργειας. Δηλαδή : Οπότε : 1 mu 1 mu ή = 1 1 Dx Dx 1..4 Η Περίοδος στην απλή αρμονική ταλάντωση Από τη σχέση D=m ω προκύπτει ότι στην απλή αρμονική ταλάντωση η περίοδος T δίνεται από τη σχέση T m ( 6) ενώ η συχνότητα από τη σχέση D 1 D f (7) ακόμη από τη σχέση D=m ω προκύπτει ότι π m D D. m m Από τη σχέση (6) φαίνεται ότι Η μάζα m ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. είναι ανάλογη με την περίοδο T της ταλάντωσης και αντιστρόφως ανάλογη με τη συχνότητα f. H περίοδος της ταλάντωσης δεν εξαρτάται από το πλάτος ή την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αλλά εξαρτάται από τα κατασκευαστικά στοιχεία του ταλαντωτή μέσω της σταθεράς D. Δηλαδή ταλαντώσεις με διαφορετικά πλάτη μπορεί να έχουν ίδιες συχνότητα και περίοδο. Σύμφωνα με το Θ.Μ.Κ.Ε η μεταβολή ΔΚ = Κ τελ. Κ αρχ. της κινητικής ενέργειας του σώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των έργων όλων των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα κατά τη διάρκεια της κίνησης του. ΔΚ= Κ τελ. Κ αρχ =ΣW Επειδή στην Α.Α.Τ. η περίοδος δεν εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης, μπορεί να χρησιμοποιηθεί το διαπασών ως μέτρο ύψους για τον ήχο. Το διαπασών ταλαντώνεται πάντοτε με την ίδια συχνότητα χωρίς αυτή να επηρεάζεται από το πλάτος της ταλάντωσης, δηλαδή από το πόσο δυνατά θα χτυπήσουμε το διαπασών. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 11

16 1..5 Η Ενέργεια στην απλή αρμονική ταλάντωση Για να εκτελέσει ένα σώμα μια Α.Α.Τ. θα πρέπει με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F να το απομακρύνουμε από τη θέση ισορροπίας του σε κάποια απόσταση. Στη συνέχεια αν το αφήσουμε ελεύθερο θα εκτελέσει ταλάντωση. Μέσω του έργου W της δύναμης F μεταφέρεται ενέργεια από τον εξωτερικό παράγοντα στο σώμα η οποία αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια U ταλάντωσης. Το έργο αυτής της μη σταθερής δύναμης F που είναι συνεχώς ίση και αντίθετη με τη δύναμη επαναφοράς, (δηλ F = Dx ), υπολογίζεται γραφικά από το διάγραμμα δύναμης απομάκρυνσης (εμβαδόν ) και για απομάκρυνση x από τη Θ.Ι δίνεται από τη σχέση: U W F 1 Dx όπου D η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης και χ η απόσταση από τη θ.i. σε συνάρτηση με την μέγιστη ταχύτητα Σ ένα σώμα που εκτελεί Α.Α.Τ. η ενέργεια που του προσφέρθηκε μέσω του έργου της εξωτερικής δύναμης, εμφανίζεται κατά την διάρκεια της ταλάντωσης με δύο μορφές: Την Δυναμική ενέργεια ( U ) λόγω της θέσης του (την απομάκρυνση ) από τη θ.ι. του. Την Κινητική ενέργεια ( K ) λόγω της κίνησης του. Η δυναμική ενέργεια δίνεται από τη σχέση : 1 U Dx (8) σε σχέση με τη θέση χ του σώματος και από τη σχέση 1 1 U D( t ) U D t (9) σε σχέση με το χρόνο t. Η Κινητική ενέργεια υπολογίζεται από τη σχέση : 1 mu (10) συνάρτηση με την ταχύτητα u και από τη σχέση 1 1 m( umax t) K mumax t (11) σε σχέση με το χρόνο t Το έργο W μιας σταθερής δύναμης που ενεργεί σε ένα σώμα υπό γωνία φ σε σχέση με την μετατόπιση Δx δίνεται από τη σχέση W F=FΔxσυνφ Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 1

17 Αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης (Α. Δ. Ε. Τ.) Σε μια Α.Α.Τ. αν θεωρήσουμε ότι δεν ασκείται κάποια άλλη δύναμη π.χ. τριβή ή κάποια δύναμη που να αντιστέκεται στην κίνηση του σώματος και αφαιρούν μηχανική ενέργεια, η κίνηση αυτή επαναλαμβάνεται ασταμάτητα με την συνολική ενέργεια να παραμένει σταθερή. Σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσης του το σώμα έχει και δυναμική και κινητική ενέργεια, το άθροισμα τους θα είναι : Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής του ενέργειας είναι σταθερό και το ονομάζουμε συνολική ενέργεια της ταλάντωσης. Την ενέργεια αυτήν την συμβολίζουμε με το γράμμα Ε και είναι ίση με : Κατά την διάρκεια μιας Α.Α.Τ. η συνολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης διατηρείται. Είναι πάντα ίση με το άθροισμα της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας που έχει το σώμα κατά την διάρκεια της ταλάντωσης του. Δηλαδή είτε την μέγιστη δυναμική είτε τη μέγιστη κινητική ενέργεια Η παραπάνω διατύπωση είναι γνωστή και ως η αρχή διατήρησης της ενέργειας της ταλάντωσης (Α. Δ. Ε. Τ). (1) Στη σχέση (1) στη θέση της ολικής ενέργειας Ε μπορούμε να βάλουμε κάθε μια από τις δύο μορφές της. Αν ένα σώμα εκτελεί Α. Α. Τ. σε δύο διαφορετικές θέσεις x 1 & x της τροχιάς του, θα έχει αντίστοιχα ταχύτητες u 1 & u. Λόγω της ΑΔΕΤ θα έχουμε : Dx1 mu1 Dx mu (13) Από τη σχέση (13) είναι εύκολο να υπολογίσουμε κάποια από τα τέσσερα παραπάνω στοιχεία (θέσεις ή ταχύτητες ) αρκεί να γνωρίζουμε τα άλλα 3. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 13

18 Στη φύση συνήθως η ενέργεια ταλάντωσης δεν παραμένει σταθερή αλλά μετασχηματίζεται σε άλλη μορφή καθώς η ταλάντωση λόγω τριβών χάνει ενέργεια και μετά από λίγο σταματά εκτός αν προσφέρουμε συνεχώς την απαιτούμενη ενέργεια. Στο παρακάτω πίνακα φαίνεται ποιες τιμές παίρνει η δυναμική και η κινητική ενέργεια σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές στις οποίες βρίσκεται σε συγκεκριμένες θέσεις. Έτσι στην θέση ισορροπίας το σώμα που έχει μέγιστη ταχύτητα έχει μόνο κινητική ενέργεια και μάλιστα μέγιστη ενώ στις ακραίες θέσεις του που η ταχύτητα του είναι ίση με μηδέν έχει μόνο δυναμική ενέργεια η οποία είναι και αυτή μέγιστη. T Δυναμική ενέργεια U Κινητική ενέργεια K 0 0 T/4 0 T/ 0 3T/4 0 T 0 Ενέργεια - τρόποι διέγερσης Η ολική ενέργεια μιας ταλάντωσης είναι ανεξάρτητη από τα στοιχεία του συστήματος που ταλαντώνεται, αλλά εξαρτάται και είναι ίση μόνο από την ενέργεια που δαπανήθηκε για να ξεκινήσει η ταλάντωση και η οποία καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης. Η ενέργεια αυτή μπορεί να προσφερθεί με διάφορους τρόπους : Απομακρύνουμε το σώμα που θα κάνει Α.Α.Τ. από τη Θ.Ι. κατά απόσταση d με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης και το αφήνουμε ελεύθερο. Στην περίπτωση αυτή το σώμα ξεκινά την ταλάντωση με μηδενική ταχύτητα και η ταλάντωση ξεκινά από μια ακραία θέση. Η απόσταση d θα είναι ίση με το πλάτος A της ταλάντωσης και η ταλάντωση θα έχει αρχική φάση ± π/. Η ενέργεια ταλάντωσης θα είναι ίση με : Δίνουμε μια στιγμιαία ώθηση με ταχύτητα u στο σώμα από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. Αυτή η ταχύτητα θα είναι και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος u=umax,και η αρχική φάση της ταλάντωσης ανάλογα με τη φορά της ταχύτητας μπορεί να είναι μηδέν ή π. Η ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 14

19 Απομακρύνουμε το σώμα που θα κάνει Α.Α.Τ. από τη Θ.Ι. κατά απόσταση x και του δίνουμε ταχύτητα u. Στην περίπτωση αυτή η απόσταση αυτή χ δεν είναι το πλάτος της ταλάντωσης, η ταλάντωση σίγουρα έχει αρχική φάση την οποία θα τη υπολογίσουμε αφού πρώτα με την βοήθεια της Α.Δ.Ε.Τ υπολογίσουμε το πλάτος της ταλάντωσης A. Η ενέργεια ταλάντωσης θα είναι ίση με το άθροισμα της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας που έχει το σώμα στη θέση αυτή. Γραφικές παραστάσεις της ενέργειας σε σχέση με τον χρόνο,τη θέση και την ταχύτητα Από τις σχέσεις U 1 1 D t και mu max t και με βοήθεια των τριγωνομετρικών σχέσεων προκύπτουν οι σχέσεις: και που δείχνουν ότι και η δυναμική και η κινητική ενέργεια ταλάντωσης είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου με περίοδο T ίση με το μισό της περιόδου Τ της ταλάντωσης. Δηλαδή. Μέσα στην πρώτη περίοδο μιας Α.Α.Τ. η κινητική είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια στις θέσεις στις οποίες ισχύει η σχέση στιγμές και στις Γραφική παράσταση της ενέργειας E,U,K σε συνάρτηση με τον χρόνο t Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 15

20 Γραφική παράσταση της ενέργειας E σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x Γραφική παράσταση της ενέργειας Ε σε συνάρτηση με την ταχύτητα u Από γραφική παράσταση της ενέργειας με το χρόνο προκύπτει ότι μέσα σε μια περίοδο η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης γίνεται ίση με την κινητική ενέργεια ταλάντωσης (K=U) 4 φορές μέσα σε μια περίοδο Τ. Ενώ από τη γραφική παράσταση της ενέργειας με την απομάκρυνση φαίνεται ότι αυτό γίνεται σε δύο θέσεις αντίθετες μεταξύ τους. Με την εφαρμογή της Α.Δ.Ε.Τ. μπορούμε να βρούμε την τιμή της απομάκρυνσης ή της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή που η κινητική και η δυναμική του ενέργεια είναι ίσες μεταξύ τους. Αν K=U θα έχουμε : Mε την επίλυση μιας απλής τριγωνομετρικής εξίσωσης από την εξίσωση της ταλάντωσης προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει τις χρονικές στιγμές Ανάλογα μπορούμε να εργαστούμε αν οι δύο ενέργειες συνδέονται με κάποια άλλη σχέση π.χ. K = 3U ή μας ζητάνε αντί τη τιμή της θέσης να βρούμε την τιμή της ταχύτητας του σώματος. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 16

21 Ρυθμός μεταβολής της κινητικής και της δυναμικής ενέργειας Σύμφωνα με το θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ίσος με : K t w Fx t t D Fu Dxu t (1) Στην Α.Α.Τ. λόγω της AΔΕΤ ξέρουμε ότι ισχύει ΔK=-ΔU έτσι αντίστοιχα ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης θα δίνεται από τη σχέση : U t w t F x t F u Dxu Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι θετικός όταν η κινητική ενέργεια αυξάνεται δηλ. όταν το σώμα κινείται προς τη θέση ισορροπίας του και αρνητικός όταν κινείται προς τις ακραίες θέσεις όπου η ταχύτητα του μηδενίζεται και αντίστοιχα ο ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας θετικός όταν το σώμα κινείται προς τις ακραίες θέσεις του. Aπό τη σχέση (1) προκύπτει ότι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας γίνεται μέγιστος όταν ημ(ωt) = ±1. Aπό τη επίλυση αυτής της τριγωνομετρικής εξίσωσης προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει της χρονικές στιγμές και τότε Tα αντίστοιχα ισχύουν και για το ρυθμός μεταβολής της δυναμικής ενέργειας μόνο που όταν η δυναμική ενέργεια αυξάνεται με μέγιστο ρυθμό η κινητική ενέργεια μειώνεται με μέγιστο ρυθμό. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 17

22 1..6 Ειδικές περιπτώσεις απλής αρμονικής ταλάντωσης Για να αποδεικνύουμε, όταν χρειαστεί, ότι η κίνηση που μελετούμε είναι απλή αρμονική ταλάντωση αρκεί να δείξουμε ότι η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται πάνω στο σώμα έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά : ο φορέας της να είναι πάνω στην ευθεία στην οποία γίνεται η ταλάντωση το μέτρο της να είναι ανάλογο με την απομάκρυνση του σώματος και να έχει φορά αντίθετη από αυτήν δηλαδή ότι η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής Σ = -D προσδιορίζοντας με τι ισούται η σταθεράς επαναφοράς. Αντίστροφα,αν ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. τότε στο σώμα ασκείται δύναμη που είναι ανάλογη με την απομάκρυνση του σώματος και έχει φορά αντίθετη από αυτήν. Σώμα που είναι προσδεμένο σε ελατήριο σταθεράς k Από τις πιο χαρακτηριστικές κινήσεις που εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι απλή αρμονική ταλάντωση είναι η κίνηση ενός σώματος που είναι συνδεδεμένο στο ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ή κατακόρυφου ελατήριου. Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να γνωρίζουμε κάποια στοιχεία για τα ελατήρια. Πιο συγκεκριμένα χαρακτηριστικά στοιχεία για κάθε ελατήριο είναι : Η σταθερά του k που εκφράζει πόσο σκληρό είναι το ελατήριο Η θέση φυσικού μήκος. Είναι η θέση που στο ελατήριο δεν ασκείται καμία δύναμη οπότε αυτό δεν έχει παραμορφωθεί και έχει το φυσικό του μήκος. Η δύναμη ελατηρίου Fελ που ασκεί το ελατήριο στο σώμα που είναι συνδεδεμένο πάνω του και ακολουθεί το νόμο του Hooke σύμφωνα με τον οποίο: το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου είναι ανάλογο με την επιμήκυνση ή την συσπείρωση x του ελατηρίου από τη θέση φυσικού του μήκους (Fελ=k x) και τείνει να φέρει το ελατήριο στη θέση του φυσικού του μήκους Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 18

23 Ελαστική δυναμική ενέργεια Στην περίπτωση που ένα σώμα συνδεδεμένο είτε με οριζόντιο είτε με κατακόρυφο ελατήριο εκτελεί Α.Α.Τ., εκτός από τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης που σχετίζεται με την απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, και αναφέρεται στο σώμα που εκτελεί ταλάντωση,θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας και μια άλλη μορφή ενέργειας την ελαστική δυναμική ενέργεια του ελατηρίου που αναφέρεται στο ελατήριο και σχετίζεται με την (παραμόρφωση) επιμήκυνση ή τη συσπείρωση l του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος και δίνεται από τη σχέση : U 1 kl Στο οριζόντιο ελατήριο οι δύο αυτές ενέργειας ταυτίζονται καθώς συμπίπτουν και η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου με τη θέση ισορροπίας του σώματος (χ = l) Uταλ = Uελ Στο κατακόρυφο ελατήριο οι δύο αυτές ενέργειας δεν ταυτίζονται καθώς δεν συμπίπτουν η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου με τη θέση ισορροπίας του σώματος : U ταλ U ελ, U 1 kx & U 1 k( l x) Συνοπτικά θα πρέπει να έχουμε υπόψη μας τον παρακάτω πίνακα Σώμα που εκτελεί ταλάντωση Ελατήριο Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης U 1 Dx Μέτρο της δύναμης επαναφοράς F επ= Dx χ : η απομάκρυνση από τη Θέση Ισορροπίας Η δύναμη επαναφοράς έχει φορά πάντα προς τη θέση ισορροπίας Ελαστική Δυναμική ενέργεια U 1 kl Μέτρο της δύναμης του ελατηρίου F ελ= kl l : η συνολική παραμόρφωση του ελατηρίου σε σχέση με το φυσικό του μήκος. Η δύναμη του ελατηρίου έχει πάντα φορά προς τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 19

24 I. Σώμα συνδεδεμένο με οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k Για να αποδείξουμε ότι το σώμα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία : I. Αρχικά σχεδιάζουμε ένα οριζόντιο ελατήριο το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε ακλόνητο σημείο και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος αφού καμιά δύναμη δεν ασκείται πάνω του. II. Στη συνέχεια στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου προσδένουμε ένα σώμα μάζας m το οποίο παραμένει ακίνητο. Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του,με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F εξ και κινηθεί. III. το αφήνουμε ελεύθερο να Σε μια τυχαία θέση της κίνησης του που απέχει απόσταση χ από τη Θ.Ι. αλλά και από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, σχεδιάζουμε τις 3 δυνάμεις που ενεργούν πάνω του. Το βάρος W του σώματος, τη δύναμη Ν από το έδαφος και τη δύναμη από το ελατήριο F ελ με μέτρο F ελ=k x.. Οι δυνάμεις W & N αλληλοεξουδετερώνονται οπότε στο σώμα ενεργεί μόνο η δύναμη του ελατηρίου. H συνισταμένης δύναμη είναι ίση με την δύναμη F ελ και είναι της μορφής : ΣF=F ελ =-k x ικανοποιεί δηλαδή την αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. με τη σταθερά επαναφοράς D να είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου (D = k),οπότε το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με συχνότητα f 1 π k m Στην Α.Α.Τ. που εκτελεί ένα σώμα συνδεδεμένο με ένα οριζόντιο ελατήριο η σταθερά επαναφοράς D είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου Αντίστοιχα η περίοδος θα είναι T m k Παρατηρούμε ότι η συχνότητα f είναι ανάλογη με τη σταθερά του ελατηρίου και αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα του σώματος που κρέμεται από ένα ελατήριο. Ενώ η περίοδος T είναι αντιστρόφως ανάλογη με τη σταθερά του ελατηρίου και ανάλογη με τη μάζα του σώματος που κρέμεται από ένα ελατήριο. Π.χ. μια αύξηση της μάζας ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. θα προκαλέσει αύξηση της περιόδου. Δηλ. το σώμα θα χρειαστεί περισσότερο χρόνο για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 0

25 II. Σώμα συνδεδεμένο με Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k I. Στην περίπτωση σχεδιάζουμε ένα κατακόρυφο ελατήριο το πάνω άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε ακλόνητο σημείο και αρχικά έχει το φυσικό του μήκος αφού καμιά δύναμη δεν ασκείται πάνω του. II. Στη συνέχεια στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου προσδένουμε ένα σώμα μάζας m το οποίο αφού προκαλέσει μια επιμήκυνση lο στο ελατήριο από το φυσικό του μήκος, ισορροπεί στη θέση ισορροπίας του. Στη θέση αυτή σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω του,το βάρος W του σώματος και τη δύναμη από το ελατήριο με μέτρο F ελ=kl ο. Επειδή το σώμα ισορροπεί η συνισταμένη τους θα είναι ίση με μηδέν. Ισχύει : (1) Απομακρύνουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίας του,με την επίδραση μιας εξωτερικής δύναμης F εξ και το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. III. Σε μια τυχαία θέση της κίνησης του που απέχει απόσταση χ από τη Θ.Ι. και l απ τη θέση φυσικού μήκος του ελατηρίου σχεδιάζουμε πάλι τις δυνάμεις που ενεργούν πάνω στο σώμα,το βάρος W του σώματος, και τη νέα δύναμη από το ελατήριο F ελ με μέτρο F ελ=kl. Η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στο σώμα σ αυτή τη θέση της ταλάντωσης του, είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα της δυνάμεων του βάρους και της δύναμης από το ελατήριο. Θεωρώντας θετική φορά κίνησης προς τα κάτω, έχουμε : F ελ Άρα αφού η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF= - Dx ικανοποιεί δηλαδή την αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ.,με τη σταθερά επαναφοράς D να είναι ίση με τη σταθερά του ελατηρίου (D = k) ελατηρίου, το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ με συχνότητα 1 k f. π m Στην Α.Α.Τ. που εκτελεί ένα σώμα συνδεδεμένο με ένα κατακόρυφο ελατήριο η σταθερά επαναφοράς D είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου Αντίστοιχα η περίοδος θα είναι T m k Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 1

26 1.3 Μ Ε Θ Ο Δ Ο Λ Ο Γ Ι Α Ε Π Ι Λ Υ Σ Η Σ Α Σ Κ Η Σ Ε Ω Ν Σ Τ Ι Σ Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ Στοιχεία ταλάντωσης εξισώσεις ταλαντώσεις Σε μια άσκηση απλής αρμονικής ταλάντωσης σημαντικά στοιχεία της κίνησης του σώματος που θα πρέπει να γνωρίζουμε ή να τα υπολογίζουμε κάθε φορά είναι : o Το πλάτος της ταλάντωσης o Η περίοδος ή η συχνότητα ή η γωνιακή συχνότητα o Και η αρχική φάση της ταλάντωσης Αν γνωρίζουμε τα τρία αυτά στοιχεία τότε μπορούμε να βρούμε και τις χρονικές εξισώσεις (ή εξισώσεις ταλάντωσης ) της απομάκρυνσης της ταχύτητας και της επιτάχυνσης για την συγκεκριμένη ταλάντωση. I. Περίοδος Τ Η περίοδος μπορεί να υπολογιστεί εάν δίνεται ή μπορεί να υπολογιστεί κάποιο από τα παρακάτω χρονικά διαστήματα : 1) Το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται το σώμα για να πάει από τη θέση χ=0 (Θ.Ι) σε κάποια από τις ακραίες θέσεις. Ισχύει Δt = Τ/4. ) Το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται το σώμα για να πάει από τη θέση χ =0 (Θ.Ι) στην αρνητική ακραία θέση αφού πρώτα περάσει από την θετική ακραία θέση. Ισχύει Δt = 3Τ/4. 3) Το χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται το σώμα για να πάει από τη μια ακραία θέση του στην άλλη. Ισχύει Δt = Τ/ 4) Από τον αριθμό των ταλαντώσεων - επαναλήψεων Ν που εκτελεί σε ένα χρονικό διάστημα Δt (βλέπε σχέση ). 5) Από τη σχέση. 6) Την περίοδο μπορούμε να την υπολογίσουμε αν μετρήσουμε πόσες φορές n διέρχεται το σώμα από τη θέση ισορροπίας σε ορισμένο χρονικό διάστημα t. θα έχουμε όπου Ν ο αριθμός των Στην Α.Α.Τ σε χρόνο μιας περιόδου Τ το σώμα διέρχεται φορές από το κέντρο της τροχιάς ή τη θέση ισορροπίας του. ταλαντώσεων που εκτελεί σε χρόνο t 7) Από ένα από τα διαγράμματα,αν μας δίνεται, της θέσης, της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης με τον χρόνο, σημειώνοντας στον οριζόντιο άξονα των χρόνων, το χρονικό διάστημα στο οποίο βλέπουμε την καμπύλη να επαναλαμβάνετε. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός

27 Αν υπολογίσουμε την περίοδο την συχνότητα ή την γωνιακή συχνότητα μπορούμε να τις υπολογίσουμε από τις γνωστές σχέσεις και II. Πλάτος Το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται αποκλειστικά από την ενέργεια που προσφέρεται στο σύστημα για να εκτελέσει την ταλάντωση. Το πλάτος μπορούμε να το υπολογίσουμε αν γνωρίζουμε : 1) το μήκος της τροχιάς του σώματος ή την απόσταση των Μήκος τροχιάς είναι η δύο ακραίων θέσεων του απόσταση ανάμεσα στις ) το συνολικό διάστημα που διανύει σε χρόνο μιας περιόδου δύο ακραίες θέσεις της τροχιάς του σώματος και 3) την αρχική απομάκρυνση αν το σώμα το αφήνουμε αρχικά είναι ίση με Α ενώ το ελεύθερο να ταλαντωθεί διάστημα που διατρέχει το 4) την θέση και την ταχύτητα του σώματος κάποια χρονική στιγμή (από ΑΔΕΤ ) σώμα σε χρόνο ίσο με μια περίοδο Τ είναι ίσο με 4A. 5) την συνολική ενέργεια ταλάντωσης και την σταθερά επαναφοράς από τη σχέση 6) Από ένα από τα διαγράμματα,αν μας δίνεται, της θέσης, της ταχύτητας ή της επιτάχυνσης με τον χρόνο, σημειώνοντας από τον κατακόρυφο άξονα είτε τη μεγίστη απομάκρυνση (βλ πλάτος),είτε την μεγίστη ταχύτητα αν το διάγραμμα είναι ταχύτητας χρόνου ( u max=ωα), είτε την μέγιστη επιτάχυνση αν το διάγραμμα είναι επιτάχυνσης χρόνου( α max=ω Α). Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 3

28 III. Αρχική φάση φ ο Ειδικότερα για τον υπολογισμό της αρχικής φάσης μιας ταλάντωσης,αρκεί να γνωρίζουμε τις παρακάτω αρχικές συνθήκες κίνησης : α. την απομάκρυνση d του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0. β. την κατεύθυνση προς την οποία κινείται τη στιγμή αυτή (δηλ. το πρόσημο της ταχύτητας του ). Ξεκινάμε από τη σχέση της απομάκρυνσης x = Aημ(ωt+φο), στην οποία θέτουμε όπου t, t = 0 και όπου χ, χ=d ( την απομάκρυνση d του σώματος τη στιγμή t = 0),οπότε έχουμε : d = Aημφ ο ημφ ο= A d = ημθ, η λύση αυτής της τριγωνομετρικής εξίσωσης μας δίνει για τη γωνία φ δύο λύσεις σε σχέση με τη γωνία θ. Δηλαδή : φ ο=κπ+θ & φ ο=(κ+1)π-θ κ=0,1.. Σε μια περίοδο η φάση μεταβάλλεται από τη τιμή 0 έως την τιμή π, οπότε στις παραπάνω σχέσεις θέτουμε όπου κ=0 και έχουμε φ ο=θ & φ ο=π-θ από τις δύο αυτές τιμές της γωνίας φ ο επιλέγουμε εκείνη για την οποία η ταχύτητα από τη σχέση u= u maxσυν(ωt+φ ο) και για t =0 συμφωνεί με την κατεύθυνση (θετική ή αρνητική) της ταχύτητας του σώματος τη στιγμή t=0 που μας δίνεται από την εκφώνηση της άσκησης. Στην τελική επιλογή της σωστής τιμής της αρχικής φάσης μιας Α.Α.Τ. καθοριστικό ρόλο παίζει η φορά της ταχύτητας με την οποία ξεκινά την ταλάντωση το σώμα.. Γενικότερα θα πρέπει να αναζητήσουμε αρχική φάση στην ταλάντωση μας σε περιπτώσεις στις οποίες τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα που ταλαντώνεται : α. ξεκινά από άλλη θέση εκτός από τη Θ.Ι. β. ξεκινά από θέση στην οποία δεν έχει μέγιστη ταχύτητα ή μηδενική επιτάχυνση. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 4

29 Ειδικές περιπτώσεις αρχικής φάσης 1. Όταν ένα σώμα εκτρέπεται κατά απόσταση +d από τη θέση ισορροπίας του και αφήνεται ελεύθερο να ταλαντωθεί την χρονική στιγμή t = 0 (προσοχή στην έκφραση αυτή), η ταλάντωση που θα κάνει έχει αρχική φάση ίση με φ ο = π/ και η απόσταση d είναι ίση με το πλάτος Α της ταλάντωσης d=a.. Αν το σώμα ξεκινά την ταλάντωση από τη θέση x = 0 με αρνητική ταχύτητα ( u= - u max ) τότε φ ο = π. 3. Αν το σώμα ξεκινά την ταλάντωση από τη θέση x = -Α, τότε ο ο 4. Αν η εξίσωση της ταλάντωσης είναι της μορφής x = Aσυνωt τότε η σχέση αυτή μπορεί να γραφεί χ = Αημ(ωt+π/) οπότε φ ο = π/ Ειδικές περιπτώσεις αρχικής φάσης x=α, u=0 φ ο=π/. x=0 u>0 φ ο=0. x=0 u<0 φ ο =π x=-α, u=0 φ ο=3π/ Εύρεση στοιχείων ταλάντωσης με γνωστή την εξ. Ταλάντωσης. Αν μας είναι γνωστή κάποια από τις εξισώσεις της ταλάντωσης π.χ. της απομάκρυνσης με το χρόνο ή της ταχύτητας με το χρόνο, μπορούμε να υπολογίσουμε τα στοιχεία της ταλάντωσης δηλ το πλάτος, την γωνιακή συχνότητα,την περίοδο,την αρχική φάση κλπ, αν συγκρίνουμε τη χρονική εξίσωση της ταλάντωσης με την αντίστοιχη στην γενική της μορφή. Υπολογισμός στιγμιαίας θέσης,ταχύτητας και επιτάχυνσης Αν μας είναι γνωστή η χρονική εξίσωση της θέσης ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ μπορούμε να βρούμε τη στιγμιαία θέση χ του σε μια χρονική στιγμή κάνοντας αντικατάσταση την τιμή του χρόνου t στην αντίστοιχη εξίσωση. Για να υπολογίσουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση ενός σώματος που εκτελεί Α.Α.Τ. μπορούμε να εργαστούμε ανάλογα με τα δεδομένα ως εξής : A. Αν μας δίνεται η χρονική στιγμή t και οι χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης : u = u max συν(ωt+φ ο ) & α = -α max ημ(ωt+φ ο ), Αντικαθιστούμε στις παραπάνω εξισώσεις τον χρόνο και κάνουμε πράξεις. B. Αν δεν μας δίνεται ο χρόνος και πιθανά δεν έχουμε τις παραπάνω σχέσεις,αλλά ξέρουμε τη θέση του χ και το πλάτος Α της ταλάντωσης, τότε : a) από ΑΔΕΤ έχουμε : u= x b) από τη σχέση επιτάχυνσης απομάκρυνσης α = - ω x Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 5

30 Υπολογισμός χρονικής στιγμής Αν ζητούμενο είναι η χρονική στιγμή t που η θέση του σώματος παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή x χρησιμοποιούμε πάλι την αντίστοιχη εξίσωση και αφού αντικαταστήσουμε τη τιμή της θέσης χ, λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση που προκύπτει,επιλέγοντας εκείνη τη λύση που αντιστοιχεί στην ζητούμενη χρονική στιγμή. Παράδειγμα Ποια χρονική στιγμή η θέση του σώματος γίνεται ίση με Α/ για πρώτη φορά αν η εξίσωση για το σώμα είναι πάλι χ = 10ημ10πt (S.I) ; Με αντικατάσταση προκύπτει η τριγωνομετρική εξίσωση t ή 10t ή 10 t 6 Η λύση αυτής της εξίσωσης θα μας δώσει παραμετρικές λύσεις της μορφής 10πt=κπ + π/6 ή 10πt=(κ+1)π π/6 κ Ζ. Η απάντηση στο ζητούμενο θα προκύψει δίνοντας διάφορες τιμές στη μεταβλητή κ και στις δύο λύσεις, επιλέγοντας τη μικρότερη θετική τιμή. Για κ=0 έχουμε t=1/60 sec ή t=5/60 sec.άρα η ζητούμενη τιμή είναι η t=1/60 sec Συνοπτικός Πίνακας στοιχείων βασικών μεγεθών στην Α.Α.Τ Χρόνος Θέση Ταχύτητα Επιτάχυνση Δυναμική Κινητική Δύναμη T X U α ενέργεια ενέργεια επαναφοράς U K F 0 0 u max mu max 0 T/4 A 0 -α max 1 DA 0 Fmax = - DA T/ 0 -u max mu max 0 3T/4 -A 0 α max 1 DA 0 Fmax = DA T 0 u max mu max 0 Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 6

31 Σώματα Παράσταση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης με στρεφόμενο διάνυσμα Κάθε μέγεθος που μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο παριστάνεται με στρεφόμενο διάνυσμα που έχει μέτρο όσο το πλάτος Α του μεγέθους και στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω όσο η γωνιακή συχνότητα του μεγέθους (ω =πf). Ας θεωρήσουμε: 1. Δυο κάθετους άξονες και έστω x'x o κατακόρυφος άξονας. Ένα διάνυσμα μέτρου Α που τη χρονική στιγμή t 0 = 0 σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα γωνία φ 0 (αρχική φάση ) και στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω και περίοδο Τ. Καθώς το διάνυσμα Α στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και το άκρο του διαγράφει κύκλο ακτίνας Α, η προβολή του άκρου στον κατακόρυφο άξονα δίνει ένα σημείο Μ το οποίο εκτελεί ταλάντωση με ακραίες θέσεις τα P και Ρ και κέντρο το Ο (σχήμα α). Τη χρονική στιγμή t το στρεφόμενο διάνυσμα έχει διαγράψει γωνία Δφ= ωδt = ω(t - t 0) = ωt και σχηματίζει με την αρχή γωνία φ = ωt + φ 0 (σχήμα β). χ χ ω M P φ ο t 0 =0 ω M x P A φ φ=ωt+φ ο t Δφ=ωt t 0 φ ο O O P' P' χ χ (σχήμα α) (σχήμα β) Από το γραμμοσκιασμένο τρίγωνο έχουμε: ημφ= x/α ή ημ(ωt+ φ 0 )= x/α ή x=αημ(ωt+φ 0) Άρα κάθε απλή αρμονική ταλάντωση μπορεί να παρασταθεί από ένα στρεφόμενο διάνυσμα που έχει μέτρο ίσο με το πλάτος Α της ταλάντωσης και στρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω, ίση με την κυκλική συχνότητα. Η προβολή του άκρου του διανύσματος στον κατακόρυφο άξονα, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στον άξονα αυτόν με θέση ισορροπίας την αρχή Ο του άξονα. Η γωνία φ = ωt + φ 0 δίνει τη φάση της ταλάντωσης γι' αυτό και ο οριζόντιος άξονας χαρακτηρίζεται ως άξονας φάσεων. Η αρχική φάση φ 0 είναι η γωνία που σχηματίζει το στρεφόμενο διάνυσμα την t = 0 με τον άξονα των φάσεων. Το περιστρεφόμενο διάνυσμα είναι ένας πιο πρακτικός τρόπος επίλυσης και εύρεσης στοιχείων μιας Α.Α.Τ όπως π.χ η αρχική φάση της ταλάντωσης ή το χρονικό διάστημα για να μεταβεί το κινητό από μια θέση στην άλλη. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 7

32 Σώματα σε επαφή που εκτελούν Α.Α.Τ. υπό συνθήκη Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 8

33 Λ υ μ έ ν ε ς α σ κ ή σ ε ι ς Παράδειγμα 1 Ένα σώμα μάζας m=0, kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση όπου η απόσταση d ανάμεσα στις δύο ακραίες θέσεις του είναι 0, m και το σώμα μεταφέρεται από τη μια ακραία θέση στην άλλη σε χρόνο t=1s. Αν τη χρονική στιγμή t=0 η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του είναι x=0,05m και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση, α) να υπολογιστεί το πλάτος και η συχνότητα της ταλάντωσης, β) να γραφούν οι εξισώσεις της απομάκρυνσης, τα ταχύτητας και της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο, γ) να βρεθεί η ενέργεια της ταλάντωσης και τι ποσοστό της ενέργειας ταλάντωσης είναι η δυναμική ενέργεια τη χρονική στιγμή t=1s, δ) να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης τη χρονική στιγμή t=0 ε) να υπολογιστεί το μέτρο της μέγιστης τιμής της δύναμης επαναφοράς, Στ) Ποια χρονική στιγμή κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης η κινητική του ενέργεια είναι τριπλάσια από τη δυναμική για πρώτη φορά ; θεωρήστε π 10. Λύση α ) Η απόσταση d είναι ίση με φορές το πλάτος της ταλάντωσης. ενώ ο χρόνος t στον οποίο διανύει αυτή την απόσταση είναι ίσος με T/ από τη σχέση β) H εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με τον χρόνο στην γενική της μορφή είναι : x = A ημ(ωt+φ ο) για να γράψουμε την εξίσωση στην συγκεκριμένη ταλάντωση θα πρέπει να γνωρίζουμε το πλάτος, την γωνιακή συχνότητα και την αρχική φάση. Το πλάτος το υπολογίσαμε στο προηγούμενο ερώτημα,τη γωνιακή συχνότητα ω μπορούμε να την υπολογίσουμε από τη σχέση. Την αρχική φάση θα την υπολογίσουμε την διαδικασία που περιγράψαμε παραπάνω Στη σχέση x = Aημ(ωt+φ ο),θέτουμε όπου t = 0 και χ=0.05,οπότε έχουμε : 0,05 = 0,1ημφ, η λύση αυτής της τριγωνομετρικής εξίσωσης μας δίνει για τη γωνία φ δύο λύσεις. Δηλ.: { ο π π ο π π κ Є Ζ. για κ=0 έχουμε { ο ο Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 9

34 από τις δύο αυτές τιμές της γωνίας επιλέγουμε εκείνη για την οποία η ταχύτητα από τη σχέση u= u maxσυν(ωt+φ ο) και για t =0 μας δίνει θετική τιμή, καθώς το σώμα κινείται με θετική ταχύτητα στην έναρξη της ταλάντωσης. Με απλή εφαρμογή επιλέγουμε την τιμή π/6. Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι η : x = 0,1ημ(πt+ (S.I) Οι εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι αντίστοιχα : u = umax συν(ωt+ φο) & α = - αmax ημ(ωt+ φο) Θα υπολογίσουμε την μέγιστη ταχύτητα και επιτάχυνση u max=ωα =π 0,1=0,1π m/s α max=ω Α=π 0,1= 1 m/s Eτσι οι παραπάνω εξισώσεις γίνονται u = 0,1π συν(πt+ π/6) & α = - ημ(πt+ π/6) (S.I.) γ) Η ενέργεια της ταλάντωσης μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση : Αφού πρώτα υπολογίσουμε την σταθερά επαναφοράς από τη σχέση D=mω =0,π = Ν/m Έτσι To ποσοστό της ενέργειας ταλάντωσης που είναι η δυναμική ενέργεια τη στιγμή t=1s προκύπτει ως εξής : ( ) )100% = )100% = 100%=5%, Άρα δ) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση μπορούν να υπολογιστούν με τρόπους, I. Την ταχύτητα από Α.Δ.Ε.Τ με απόδειξη της σχέσης που προκύπτει για αυτήν, m/s Την επιτάχυνση από τη σχέση : α = - ω Α ημ(ωt+ φο)=- ω χ = -π χ= -10 0,05=-0,5 m/s, 0,5 m/s II. Από τις δύο χρονικές εξισώσεις : u = 0,1π συν(πt+ π/6) & α = - ημ(πt+ π/6) θέτοντας όπου t=0 και κάνοντας πράξεις καταλήγουμε στα ίδια με τα παραπάνω αποτελέσματα. ε) Fεπ=-Dx η μέγιστη τιμή θα είναι Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 30

35 στ) Στην Α.Α.Τ. ισχύει η ΑΔΕΤ δηλαδή Ε=Κ+U. Αν Κ=3U θα έχουμε Ε=4U, οπότε Καθώς το σώμα αρχικά κινείται προς τη θετική κατεύθυνση θα πάρω τη θετική τιμή και με αντικατάσταση στην εξίσωση της απομάκρυνσης θα λύσω την παρακάτω τριγωνομετρική εξίσωση με άγνωστο το χρόνο t, x = 0,1ημ(πt+ 0,05=0,1ημ(πt+ ) ( ) ( ) { ια κ=0 & δηλαδή t=0 & t = Δεκτή είναι η τιμή t=/3 sec Παράδειγμα Σώμα μάζας m=0,5kg εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση της ταλάντωσης τη x = 0,ημ(0πt+ (S.I.). Να βρεθούν : α) η περίοδος,το πλάτος και την αρχική φάση και η μέγιστη κινητική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος β) η δυναμική ενέργεια του σώματος τη χρονική στιγμή t = 0,1s.. γ) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t=t/1 δ) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν η δύναμη επαναφοράς έχει μέτρο 00Ν ε) το έργο της δύναμης επαναφοράς κατά την μετατόπιση του σώματος από τη θέση χ= 0 εως τη θέση χ=0,1m στ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος όταν η ταχύτητα του είναι ίση με το μισό της μέγιστης τιμής της. Δίνεται π 10 Λύση α ) Συγκρίνοντας τη εξίσωση της συγκεκριμένης ταλάντωσης με την γενική της μορφή { ο προκύπτει ότι το πλάτος Α της ταλάντωσης είναι Α= 0,m η γωνιακή συχνότητα ω=0π rad/s, από εδώ Τ= και η αρχική φάση φ ο =π/6 rad. Η μέγιστη κινητική ενέργεια δίνεται από τη σχέση Η μέγιστη ταχύτητα είναι u max=ωα=0π 0,=4π m/s, οπότε =40J Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 31

36 β) Η δυναμική ενέργεια υπολογίζεται από τη σχέση Η σταθερά επαναφοράς D=mω =0,5(0π) =000 Ν/m. Άρα, ( ) ( ) ( ) ( ) γ ) ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t=t/1 υπολογίζεται από τη σχέση: ( ) ( ) ( ) Kgm/s δ) Από τη σχέση Fεπ=D x x = Από την ΑΔΕΤ u= x m/s ε) To έργο της δύναμης επαναφοράς μπορούμε να το υπολογίσουμε ως εξής : 1 1 = Dx Dx Με αντικατάσταση έχουμε WFεπ=0- = = -10J στ) ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας είναι ίσος με : K t Fu Dxu, π m Από την ΑΔΕΤ Οπότε J/s Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 3

37 Παράδειγμα 3 Ένα σώμα μάζας m=0,1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Στο παρακάτω βλέπουμε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης με το χρόνο. διάγραμμα α) Να βρεθεί η συχνότητα και το διάστημα που διανύει σε μια περίοδο β) Να βρεθεί αν υπάρχει η αρχική φάση της ταλάντωσης γ) Πόσες φορές διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του σε χρόνο t=π/3 sec δ) να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης και ταχύτητας της ταλάντωσης σε συνάρτηση με τον χρόνο και να γίνει η γραφική τους παράσταση. ε) να γίνει η γραφική παράσταση της δυναμικής της κινητικής ενέργειας και της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με την απομάκρυνση. Λύση α ) Από το διάγραμμα βλέπουμε ότι η καμπύλη επαναλαμβάνεται κάθε π/15 sec άρα η περίοδος και η συχνότητα H μέγιστη επιτάχυνση σύμφωνα με το διάγραμμα έχει μέτρο α max=9 m/s. Από τη σχέση α max=ω Α και αφού η γωνιακή συχνότητα ω=πf=30 r/s, προκύπτει ότι το πλάτος της ταλάντωσης Α είναι =0,01m. Γνωρίζουμε ότι το διάστημα s που διανύει τo σώμα σε μια περίοδο είναι ίσο με 4Α άρα s=4a=0,04m β ) Από το διάγραμμα φαίνεται ότι η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=0 έχει μηδενική τιμή και στη συνέχεια η τιμή της αυξάνεται προς τη μέγιστη θετική τιμή της. Καθώς γνωρίζουμε ότι η επιτάχυνση του είναι μηδέν στη θέση ισορροπίας του,άρα το σώμα ξεκινά από την ταλάντωση του από τη θέση αυτή και επειδή η επιτάχυνση γίνεται μέγιστη θετική το σώμα κινείται προς τη αρνητική ακραία θέση του. Άρα έχει αρχική φάση και μάλιστα αποδεικνύεται ότι είναι ίση με π rad. Όντως, σύμφωνα με τη γνωστή διαδικασία στη σχέση x = Aημ(ωt+φ ο),θέτουμε όπου t = 0 και χ=0,οπότε έχουμε : 0 = 0,01ημφ, η λύση αυτής της τριγωνομετρικής εξίσωσης μας δίνει για τη γωνία φ δύο λύσεις. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 33

38 Δηλ.: φ ο=κπ & φ ο=(κ+1)π κ Є Ζ. για κ=0 και έχουμε φ ο=0 rad & φ ο= π rad από τις δύο αυτές τιμές της γωνίας επιλέγουμε εκείνη για την οποία η ταχύτητα από τη σχέση u= u maxσυν(ωt+φ ο) και για t =0 μας δίνει αρνητική τιμή, αφού το σώμα κινείται προς τη αρνητική κατεύθυνση. Με απλή εφαρμογή επιλέγουμε την τιμή π. γ ) Σε χρόνο ίσο με μια περίοδο γνωρίζουμε ότι το σώμα διέρχεται φορές από τη θέση ισορροπίας του. O χρόνος t=π/3 βρίσκουμε ότι αντιστοιχεί σε, πέντε ταλαντώσεις. Άρα στο χρόνο αυτόν θα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του 10 φορές. δ ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι χ=0,01ημ(30t+π) (S.I.) και της ταχύτητας u=u maxσυν(30t+π)=ωασυν(30t+π) 0,3 συν(30t+π) (S.I.) H σχέση χ=0,01ημ(30t+π) είναι αντίστοιχη με την χ=-0,01ημ(30t) (S.I.) και η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω : H σχέση u=0,3 συν(30t+π) είναι αντίστοιχη με u=-0,3 συν(30t) (S.I.) και η γραφική της παράσταση φαίνεται παρακάτω : Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 34

39 ε ) Η δυναμική ενέργεια δίνεται ως γνωστόν από τη σχέση η δύναμη επαναφοράς από τη σχέση F επ=-dx. Για να γίνουν τα διαγράμματα θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τη σταθερά επαναφοράς D καθώς και τις μέγιστες τιμές των δύο μεγεθών. D=mω =0,1 900=90 N/m H μέγιστη της δυναμικής ενέργειας είναι ίση με = J H μέγιστη της δύναμης επαναφοράς θα είναι Το διάγραμμα δυναμική ενέργειας - απομάκρυνσης Το διάγραμμα δύναμης επαναφοράς - απομάκρυνσης Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 35

40 Παράδειγμα 4 Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων Α και Β των οποίων τα άλλα άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα, ισορροπούν δύο σώματα με ίσες μάζες. Απομακρύνουμε και τα δύο σώματα προς τα κάτω κατά d και τα αφήνουμε ελεύθερα, ώστε αυτά να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Αν η σταθερά του ελατηρίου Α είναι τετραπλάσια από τη σταθερά του ελατηρίου Β, ποιος είναι τότε ο λόγος των μέγιστων ταχυτήτων των δύο σωμάτων; α. β.1 γ. Να επιλέξετε την σωστή απάντηση δικαιολογώντας την επιλογή σας Λύση α ) Αν απομακρύνουμε και τα δύο σώματα κατά απόσταση d και τα αφήσουμε ελεύθερα η απόσταση αυτή θα αποτελεί και πλάτος της κάθε ταλάντωσης δηλαδή d=a. Σε κάθε μια από αυτές τις ταλαντώσεις η σταθερά επαναφοράς D είναι ίση με τη σταθερά του ελατηρίου k και ισχύει D=k=mω,. Οπότε ο λόγος Όταν σε μια Α.Α.Τ. απομακρύνουμε ένα σώμα κατά απόσταση d και το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει ταλάντωση, η απόσταση αυτή είναι ίση με το πλάτος της ταλάντωσης. Άρα σωστή απάντηση είναι το γ Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 36

41 Παράδειγμα 5 Ένα σώμα δένεται στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατήριου το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε ακλόνητο σημείο και εκτελεί Α.Α.Τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα έχει μάζα 1kg και η σταθερά του ελατηρίου είναι k = 100N/m. To σώμα τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση χ = +0,3 m με ταχύτητα υ = 0,4π m/s απομακρυνόμενο από τη θέση ισορροπίας. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης και το πλάτος της ταλάντωσης Λύση α ) Το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με D=k, οπότε η περίοδος δίνεται από τη σχέση T m. k Με αντικατάσταση έχουμε π π και β ) Το σώμα στη θέση που βρίσκεται τη στιγμή t=0 έχει και δυναμική αλλά και κινητική ενέργεια αφού κινείται με ταχύτητα u. Σύμφωνα με την ΑΔΕΤ το άθροισμα των μορφών ενέργειας θα είναι ίσο με την συνολική ενέργεια Ε. Παράδειγμα 6 Eνα σώμα μάζας m = 1kg ισορροπεί δεμένο στο ελεύθερο άκρο του κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k, το πάνω άκρο του οποίου είναι σταθερά δεμένο σε ακλόνητο σημείο. Το σώμα προκαλεί επιμήκυνση στο ελατήριο από το φυσικό του μήκος κατά l o =0,1m. Κάποια στιγμή εκτρέπουμε το σώμα προς τα πάνω ώστε το ελατήριο να συσπειρωθεί κατά l = 0,05m σε σχέση με το φυσικό του μήκος και τη στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο οπότε αυτό εκτελεί Α. Α.Τ. Να υπολογίσετε: α) την σταθερά k του ελατηρίου β) το πλάτος της ταλάντωσης και την αρχική φάση της ταλάντωσης γ) το μέτρο της επιτάχυνσης του σώματος τη στιγμή που το σώμα διέρχεται από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. δ) Ποια είναι η χρονική στιγμή που αυτό γίνεται αυτό για πρώτη φορά; ε) το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς και της μέγιστης δύναμης του ελατηρίου που ασκείται στο σώμα στ) το λόγο της μέγιστης δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης προς τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Δίνεται: g = 10m/s, και θεωρήστε θετική τη φορά προς τα πάνω. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 37

42 Λύση α ) Στη θέση ισορροπίας του σώματος η δύναμη του βάρους του σώματος είναι ίση με τη δύναμη του ελατηρίου. Θα ισχύει : Με αντικατάσταση έχουμε : β ) Αφού συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά απόσταση l αφήνουμε ελεύθερο το σώμα να ταλαντωθεί τη στιγμή t=0, η απόσταση d που απέχει το σώμα από τη θέση ισορροπίας του θα αποτελεί και το πλάτος της ταλάντωσης δηλαδή d=a. Από το σχήμα προκύπτει ότι d=l+lo=0,15m. Άρα Α=0,15m. Αφού τη στιγμή t=0 είναι χ=+α=0,15m,η ταλάντωση έχει αρχική φάση και ίση με π rad γ) Η επιτάχυνση δίνεται από τη σχέση a = -a max ημ(ωt+φ ο ) = - ω Αημ(ωt+φ ο ) α = - ω x. Στη θέση φυσικού μήκους η απομάκρυνση χ=lo=0,1m. H σταθερά επαναφοράς D είναι ίση με τη σταθερά του ελατηρίου k και ισχύει D=k=mω. Έτσι α =. Οπότε δ) H εξίσωση της επιτάχυνσης είναι : a = -a max ημ(ωt+φ ο ) = - ω Αημ(ωt+φ ο ) -15ημ(10t+π/) (S.I.) Με α max= ω Α=15, ω=, φ ο =π/. Στην εξίσωση της επιτάχυνσης θέτουμε α=-10 και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση ως προς t. Δηλαδή -10=-15 ημ(10t+π/) ( ) ( ) { { Αφού θέλουμε για πρώτη φορά,θέτουμε κ=0 έχουμε t π sec ε) Tην μέγιστη τιμή η δύναμη ελατηρίου την παίρνει όταν το σώμα βρίσκεται στην κάτω ακραία θέση εκεί που το ελατήριο έχει την μέγιστη επιμήκυνση. Από το σχήμα έχουμε: Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 38

43 στ) Ο ζητούμενος λόγος είναι : Παράδειγμα 7 Σώμα μάζας m = kg είναι δεμένο και ισορροπεί στο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 N/m το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο ακλόνητα στο έδαφος. Απομακρύνουμε το σώμα απ' τη θέση ισορροπίας του προς τα πάνω μέχρι το ελατήριο να βρεθεί στο φυσικό του μήκος και από τη θέση αυτή, τη χρονική στιγμή t = 0, το εκτοξεύουμε με ταχύτητα μέτρου m/s προς τα κάτω.. α) Να δείξετε ότι το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. β) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης. γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας δ) Να χαράξετε το διάγραμμα της φάσης της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο. ε) Να βρείτε τη μεταβολή της ορμής του σώματος στο χρονικό διάστημα Δt που χρειάζεται το σώμα για να μεταβεί για πρώτη φορά μετά από τη χρονική στιγμή t = 0, στην ακραία θέση της ταλάντωσή του. στ)για να αυξήσουμε το πλάτος ταλάντωσης κατά 0%, πόση πρέπει να είναι αντίστοιχα η ποσοστιαία % αύξηση της ενέργειας ταλάντωσης; θετική φορά θεωρείται προς τα επάνω,δίνεται g = 10 m/s Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 39

44 Λύση α ) Στη θέση ισορροπίας (σχήμα 1), σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα και εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροπίας (1). Στη συνέχεια σε μια τυχαία θέση που βρίσκεται σε απομάκρυνση x από τη Θ.Ι. του (σχήμα ), σχεδιάζουμε και πάλι τις δυνάμεις που δέχεται το σώμα, και υπολογίζουμε τη συνισταμένη τους: Βλέπουμε ότι ικανοποιεί την ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ., άρα το σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά επαναφοράς D = k = 00 N/m. Οπότε η περίοδος της ταλάντωσης θα δίνεται από τη σχέση: =0,π sec β ) Τη χρονική στιγμή t = 0, το σώμα έχει και δυναμική και κινητική ενέργεια οπότε εφαρμόζουμε την αρχή Διατήρησης της Ενέργειας (ΑΔΕΤ) για την ταλάντωση, και έχουμε Ε = U + Κ (3). Υπολογίζουμε την κινητική ενέργεια m 3 J, ενώ τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης από τη σχέση όπου x η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του. Επειδή όμως ότι x = lo, από τη σχέση (1): k l o = mg l = 0,1 m έτσι η δυναμική ενέργεια είναι = 1 J. Από τη σχέση (3) η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι: Ε = Ε = 4 J. γ ) Η εξίσωση της απομάκρυνσης με το χρόνο περιγράφεται γενικά από τη σχέση : x = A ημ(ωt+φ ο) Το πλάτος το βρίσκουμε από τη ενέργεια της ταλάντωσης :. Την γωνιακή συχνότητα. Τέλος την αρχική φάση με τη γνωστή διαδικασία. Στην γενική μορφή της εξίσωσης της απομάκρυνσης θέτουμε t=0 και χ=0,1m και λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση ως προς φ ο Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 40

45 επειδή όμως τη χρονική στιγμή t = 0, το σώμα αποκτά αρνητική ταχύτητα (κίνηση προς τη θέση ισορροπίας του), θα πρέπει να ελέγξουμε ποια από τις δύο λύσεις ικανοποιεί αυτό το δεδομένο. Οπότε η αρχική η αρχική φάση είναι π rad και η εξίσωση της απομάκρυνσης θα είναι : ( ) και της ταχύτητας u=u maxσυν t+ ωασυν t+ ) συν t+ ) (S.I.) δ) Η φάση της ταλάντωσης (γενικά) περιγράφεται από τη σχέση φ = ωt + φ o και στη ταλάντωση μας φ = 1 t (S.I.), και το διάγραμμά της σε συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα ε) Η μεταβολή της ορμής υπολογίζεται από τη σχέση Τη χρονική στιγμή t=0 η ταχύτητα του είναι ενώ στην ακραία θέση του η ταχύτητα είναι μηδέν. Έτσι η μεταβολή της ορμής θα είναι : Δp=0- = στ) Η ποσοστιαία αύξηση του πλάτους κατά 0% γράφεται : Επομένως πρέπει να αυξήσουμε την ενέργεια κατά 44 %. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 41

46 Π λ α σ τ ι κ ή κ ρ ο ύ σ η κ α ι α π λ ή α ρ μ ο ν ι κ ή τ α λ ά ν τ ω σ η Ιδιαίτερη περίπτωση ασκήσεων είναι αυτή κατά την οποία πριν ή κατά τη διάρκεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης που συνήθως εκτελεί ένα σώμα συνδεδεμένο σε οριζόντιο ή κατακόρυφο ελατήριο,το σώμα συγκρούεται πλαστικά με άλλο ακίνητο ή κινούμενο σώμα. Σε κάθε περίπτωση εφαρμόζουμε τα όσα έχουμε μάθει σχετικά με την απλή αρμονική ταλάντωση και επιπλέων κάνουμε χρήση της αρχής διατήρησης της ορμής που ισχύει σε κάθε κρούση. Καθώς η κρούση είναι ένα φαινόμενο που διαρκεί πολύ λίγο χρόνο, οι εξωτερικές δυνάμεις - αν υπάρχουν - είναι αμελητέες κατά τη διάρκεια της κρούσης σε σχέση και με τις ιδιαίτερα ισχυρές εσωτερικές δυνάμεις που αναπτύσσονται μεταξύ των σωμάτων. Έτσι το σύστημα των σωμάτων που συγκρούονται μπορεί να θεωρηθεί μονωμένο, για τη χρονική διάρκεια της κρούσης, επομένως η ορμή του συστήματος διατηρείται. Η συνολική ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων, παραμένει σταθερή. P P ( ) ( ) ( ) ( ) Η παραπάνω διατύπωση είναι γνωστή ως αρχή διατήρησης της ορμής Κατά τη διάρκεια μιας πλαστικής κρούσης δύο σωμάτων με μάζας m 1 και m που κινούνται με ταχύτητες 1 και αντίστοιχα,έχουμε τη δημιουργία συσσωματώματος δηλ. τα δύο σώματα συνενώνονται σε ένα με μάζα mσυσ = m1+m που κινείται με κοινή ταχύτητα συσ. Τη ταχύτητα συσ θα την βρούμε από την εφαρμογή της αρχής διατήρησης της ορμής. p r p r p r Δηλαδή θα έχουμε : 1 Στη πλαστική κρούση έχουμε την δημιουργία συσσωματώματος (ένωση των σωμάτων). Η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων δεν διατηρείται αλλά μειώνεται Επιλέγοντας μια φορά ως θετική φορά γράφουμε την παραπάνω σχέση αλγεβρικά και m u m u ( m m ) u λύνουμε ως προς u συσ, u m u m u ( m m ) Στην πλαστική κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των σωμάτων δεν διατηρείται αλλά μειώνεται αφού ένα μέρος της μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια και ενώ ένα άλλο καταναλώνεται στην μόνιμη παραμόρφωση λόγω της κρούσης. Γενικά οι εσωτερικές δυνάμεις μπορούν να μεταβάλλουν ή να μεταδώσουν ορμή από το ένα σώμα στο άλλο αλλά δεν μπορούν να μεταβάλλουν τη συνολική ορμή. Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 4

47 I. Πλαστική κρούση σε σώμα συνδεδεμένο με οριζόντιο ελατήριο Παράδειγμα Ακίνητο σώμα μάζας m 1 =0,09 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στη ελεύθερη άκρη του οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k=1000 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη. Δεύτερο σώμα μάζας m = 0,01 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου u = m/s, συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση α) Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης του συσσωματώματος β) Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά τη κρούση και το πλάτος της ταλάντωσης. γ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Λύση α ) Μετά τη κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί Α.Α.Τ. με σταθερά επαναφορά D=k και η περίοδος της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση β) Η ταχύτητα του συσσωματώματος u συσ μπορεί να υπολογιστεί από αρχή διατήρησης της ορμής. Δηλαδή Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα αριστερά έχουμε: m1u 1 mu ( m1 m ) u u m u m u ( m m ) =10 m/s γ) Η σύγκρουση των δύο σωμάτων γίνεται στη θέση ισορροπίας του σώματος m 1. Μετά τη κρούση η θέση ισορροπίας δεν αλλάζει οπότε η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά τη κρούση θα είναι και η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης που θα εκτελέσει και η κινητική του ενέργεια ίση με τη ενέργεια Ε της ταλάντωσης. Στο οριζόντιο ελατήριο μετά την κρούση δεν αλλάζει η θέση ισορροπίας Δηλαδή ισχύει : Οπότε Νίκος Κυριαζόπουλος Φυσικός 43