Ελευθέριος Πρωτοπαπάς. Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου

Transcript

1 Ελευθέριος Πρωτοαάς Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου Δεκέμβριος 04

2

3 Περιεχόµενα o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

4 4o Θέμα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Θέµα Σελίδα Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

5 ο Θέμα Ταξινόµηση των θεµάτων Ενότητα σχολικού βιβλίου Ενότητα βοηθήµατος.. Αριθµός ου θέµατος Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

6 4ο Θέμα Ενότητα σχολικού βιβλίου Ενότητα βοηθήµατος Αριθµός 4ου θέµατος Οι εκφωνήσεις των ασκήσεων της Τράεζας θεμάτων στην Άλγεβρα B ΓΕΛ ανά ενότητα Ενότητα σχολικού βιβλίου Σελίδα Ενότητα σχολικού βιβλίου Σελίδα Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

7 Τράεζα θεμάτων ςτην Άλγεβρα Β Λυκείου ο Θέμα Δεκέμβριος 04

8 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους µε συντελεστές διαφορετικούς του µηδενός, το οοίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 0) β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δύο εξισώσεις του συστήµατος ου ορίσατε στο α) ερώτηµα και, µε βάση το γράφηµα, να εξηγήσετε γιατί το σύστηµα είναι αδύνατο. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: x+ y= α) Το σύστηµα είναι αδύνατο, αφού τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων είναι x + y = ίσα, ενώ τα δεύτερα µέλη τους δεν είναι ίσα. β) Στην ευθεία µε εξίσωση x+ y= θέτουµε y= 0, οότε x=, δηλαδή η ευθεία µε εξίσωση x+ y= διέρχεται αό το σηµείο A(,0). Οµοίως, στην ευθεία µε εξίσωση x+ y= θέτουµε x= 0, οότε y=, δηλαδή η ευθεία µε εξίσωση x+ y= διέρχεται αό το σηµείο B(0,). Στην ευθεία µε εξίσωση x+ y= θέτουµε y= 0, οότε x=, δηλαδή η ευθεία µε εξίσωση x + y = διέρχεται αό το σηµείο Γ(, 0). Οµοίως, στην ευθεία µε εξίσωση x+ y= θέτουµε x= 0, οότε y=, δηλαδή η ευθεία µε εξίσωση x+ y= διέρχεται αό το σηµείο (0, ). Οι δύο ευθείες µε εξισώσεις x+ y=, x+ y= φαίνονται στο ακόλουθο γράφηµα, αό το οοίο ροκύτει ότι οι ευθείες είναι αράλληλες, γι αυτό και το σύστηµα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 8

9 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6954 ίνεται η εξίσωση 8x+ y= 7 (). α) Να γράψετε µια άλλη εξίσωση ου να µην έχει καµία κοινή λύση µε την εξίσωση (). (Μονάδες 0) β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δυο εξισώσεις και, µε βάση το γράφηµα, να εξηγήσετε γιατί το σύστηµα είναι αδύνατο. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: 8x+ y= 7 α) Το σύστηµα είναι αδύνατο, αφού τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων είναι 8x+ y= 6 ίσα, ενώ τα δεύτερα µέλη τους δεν είναι ίσα. Συνεώς η εξίσωση 8x+ y= 6 δεν έχει καµία κοινή λύση µε την εξίσωση (). 7 β) Στην ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 7 θέτουµε y= 0, οότε x=, δηλαδή η ευθεία µε 8 7 εξίσωση 8x+ y= 7 διέρχεται αό το σηµείο A, Οµοίως, στην ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 7 θέτουµε x= 0, οότε y=, δηλαδή η 7 ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 7 διέρχεται αό το σηµείο B 0,. Στην ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 6 θέτουµε y= 0, οότε x=, δηλαδή η ευθεία µε 4 εξίσωση 8x+ y= 6 διέρχεται αό το σηµείο Γ,0 4. Οµοίως, στην ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 6 θέτουµε x= 0, οότε y=, δηλαδή η ευθεία µε εξίσωση 8x+ y= 6 διέρχεται αό το σηµείο (0, ). Οι δύο ευθείες µε εξισώσεις x+ y=, x+ y= φαίνονται στο ακόλουθο γράφηµα, αό το οοίο ροκύτει ότι οι ευθείες είναι αράλληλες, γι αυτό και το σύστηµα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 9

10 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 0

11 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6957 ύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισµα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι µεγαλύτερος αό το Βασίλη. α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες ) β) ίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υολογίσετε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Έστω x έτη η ηλικία του Μάρκου και y η ηλικία του Βασίλη, µε x, y> 0. Αφού ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισµα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι µεγαλύτερος αό το Βασίλη, έχουµε ότι x+ y= 7 µε x> y. Τα στοιχεία αυτά δεν εαρκούν για να υολογίσουµε τις ηλικίες τους. β) Η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια, άρα x y= 5, αφού x> y. Συνεώς ροκύτει το σύστηµα: x+ y= 7 x+ y+ x y= 7+ 5 x= x= 6 x= 6, x y= 5 x y= 5 y= x 5 y= 6 5 y= δηλαδή ο Μάρκος είναι 6 ετών και ο Βασίλης ετών. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

12 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6960 α) Με βάση τα δεδοµένα του σχήµατος, να ροσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και (η). (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής τους. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Έστω y= ax+ b, µε a,b R η εξίσωση της ευθείας (ε), η οοία διέρχεται αό τα σηµεία Α(, 0) και Β(0, ), οότε ισχύει: 0= a+ b a= b a= a=, = 0 a+ b b= b= b= δηλαδή η ευθεία (ε) έχει εξίσωση y= x+. Έστω y= kx+ m, µε k, m R η εξίσωση της ευθείας (η), η οοία σχηµατίζει γωνία o 45 µε ο τον θετικό ηµιάξονα Ox, οότε k=εϕ 45 = και η εξίσωση της ευθείας (η) γίνεται: y= x+ m, µε m R. Είσης διέρχεται αό το σηµείο Γ(4, 0), οότε ισχύει 0= 4+ m m= 4, οότε η εξίσωση της ευθείας (η) είναι y= x 4. β) Το σηµείο τοµής των ευθειών (ε), (η) ροκύτει αό τη λύση του συστήµατος των εξισώσεών τους, δηλαδή αό το σύστηµα: y= x+ x 4= x+ x+ x= 4+ x= 6 x= x=. y= x 4 y= x 4 y= x 4 y= x 4 y= 4 y= Συνεώς το σηµείο τοµής τους είναι το A(, ). Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

13 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

14 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 696 Η γραφική αράσταση µιας γνησίως µονότονης συνάρτησης f : R R διέρχεται αό τα σηµεία A(5,) και B(4,9). α) Να ροσδιορίσετε το είδος της µονοτονίας της f αιτιολογώντας την αάντησή σας. (Μονάδες ) β) Να λύσετε την ανίσωση f (5 x) <. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη, θα είναι είτε γνησίως αύξουσα, είτε γνησίως φθίνουσα. Όµως η γραφική αράστασή της διέρχεται αό τα σηµεία A(5,) και B(4,9), οότε ισχύουν οι f (5) =, f (4) = 9, άρα και η συνεαγωγή 4< 5 f (4) > f (5), δηλαδή ικανοοιείται ο ορισµός της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης και κατ εέκταση η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. β) Υοθέτουµε ότι 5 x 5. Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο R, ισχύει f (5 x) f (5) ή f (5 x), ου αορρίτεται, άρα 5 x> 5 x> 5 5 x> 0 x< 0. Σχόλιο Η αραάνω λύση είναι λήρης µε βάση τα δεδοµένα του σχολικού βιβλίου. Ας δούµε και την ακόλουθη λύση: f (5 x) < f (5 x) < f (5) 5 x> 5 x> 5 5 x> 0 x< 0. Η συγκεκριµένη λύση δεν είναι λήρης µε βάση τα δεδοµένα του σχολικού βιβλίου, αφού η ισοδυναµία f (5 x) < f (5) 5 x> 5 δεν καλύτεται αό την ύλη στο σχολικό βιβλίο ου αναφέρεται στη γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Συγκεκριµένα η συνεαγωγή 5 x> 5 f (5 x) < f (5) ισχύει λόγω του ορισµού της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης, ενώ η συνεαγωγή f (5 x) < f (5) 5 x> 5 θέλει αόδειξη Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

15 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6965 ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 4x+ 5, x R. α) Να αοδείξετε ότι η f γράφεται στη µορφή f (x) = ( x ) +. (Μονάδες ) β) Στο σύστηµα συντεταγµένων ου ακολουθεί, να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, µετατοίζοντας κατάλληλα την y= x. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Για κάθε x R, έχουµε ότι ( ) x + = x 4x+ 4+ = x 4x+ 5= f (x). β) Αφού f (x) = ( x ) +, η γραφική αράσταση της συνάρτησης f ροκύτει µετατοίζο- ντας την αραβολή µε εξίσωση y= x, δύο θέσεις δεξιά και µια θέση ρος τα άνω, όως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήµα: Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

16 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

17 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 6968 α) Είναι η τιµή x= λύση της εξίσωσης συν4x + = 0 ; Να αιτιολογήσετε την αάντησή 4 σας. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τετµηµένες των σηµείων τοµής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = συν4x µε την ευθεία y=. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι: συν 4 + = συν+ = ( ) + = + = 0, 4 άρα η τιµή x= είναι λύση της εξίσωσης συν4x + = 0. 4 β) Οι τετµηµένες των σηµείων τοµής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f µε f(x) = συν4x µε την ευθεία µε εξίσωση y=, ροκύτουν αό τις λύσεις της εξίσωσης: f(x) = συν4x= συν4x= συν 4x= κ±, κ Z 4x= κ+, κ Z κ+ κ x =, κ Z x = +, κ Z. 4 4 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 7

18 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7647 x y= 8 ίνεται το σύστηµα: µε αραµέτρους α, β, γ R. α x +β y =γ α) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ ώστε το σύστηµα αυτό να έχει µοναδική λύση το ζεύγος (, ). (Μονάδες ) β) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ ώστε το σύστηµα αυτό να είναι αδύνατο. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Το σύστηµα έχει ορίζουσα D= =β+ α. α β Αφού έχει µοναδική λύση ρέει να ισχύει D 0 β+ α 0 β α (Ι). Είσης το σύστηµα ρέει να έχει λύση το ζεύγος (, ), οότε οι συντεταγµένες του ρέει να εαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Για την ρώτη εξίσωση έχουµε ( ) = 8 + 6= 8, η οοία ισχύει. Για τη δεύτερη εξίσωση έχουµε α +β ( ) =γ α β=γ (ΙΙ). Ειλέγουµε αριθµούς α, β, γ ου να ικανοοιούν τις (Ι), (ΙΙ). Μια τέτοια τριάδα αριθµών είναι ( α, β, γ ) = (,, ). β) Ειλέγουµε τριάδα αριθµών (α, β, γ) ώστε τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων να είναι ίσα και τα δεύτερα µέλη άνισα. Έστω λοιόν ( α, β, γ ) = (,,), οότε το αντίστοιχο αδύνατο x y= 8 σύστηµα είναι το. x y = ιαφορετική ροσέγγιση για το (β) ερώτηµα Για να είναι το σύστηµα αδύνατο θα ρέει καταρχήν να ισχύει: D= 0 β+ α= 0 β= α. Ειλέγοντας ( α, β ) = (, ), έχουµε τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων να είναι ίσα, οότε αρκεί το γ να µην είναι 8. Εοµένως θεωρούµε την τριάδα ( α, β, γ ) = (,,) και το αντίστοιχο αδύνατο σύστηµα x y= 8 είναι το. x y = Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 8

19 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7650 ίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραµµο µε µήκος x cm, λάτος y cm, ερίµετρο ίση µε 8 cm και µε την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουµε το µήκος του κατά cm και µειώσουµε το λάτος του κατά 4 cm, θα ροκύψει ένα ορθογώνιο µε εµβαδόν ίσο µε το εµβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδοµένα µε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιµές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: y E E y 4 x + x α) Για x, y> 0 και αφού η ερίµετρος του ορθογωνίου είναι x+ y, έχουµε ότι: x+ y= 8 (x+ y) = 8 x+ y= 9 y= 9 x (Ι). Ειλέον για x> 0, y> 4 έχουµε ότι: (x+ )(y 4) = xy xy 4x+ y 8= xy y= 4x+ 8 y= x+ 4 (ΙΙ). y= 9 x Συνεώς για x> 0, y> 4 το σύστηµα των δύο εξισώσεων είναι. y = x + 4 y= 9 x x+ 4= 9 x x+ x= 9 4 x= 5 x= 5 β), y= x+ 4 y= x+ 4 y= x+ 4 y= x+ 4 y= 5+ 4= 4 οι οοίες είναι δεκτές, άρα οι διαστάσεις του ορθογωνίου είναι 5 cm,4 cm. Σχόλιο Συνηθίζουµε η µεγάλη διάσταση να είναι το µήκος, αλλά αυτό δεν είναι ααραίτητο. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 9

20 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 765 Στο δηµοτικό parking µιας εαρχιακής όλης στις 0 το ρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχηµάτων ου έχουν αρκάρει είναι 80 και το λήθος των τροχών τους.700. α) Να εκφράσετε τα δεδοµένα µε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τον αριθµό των δίκυκλων καθώς και τον αριθµό των τετράτροχων οχηµάτων. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Έστω x, y N το λήθος των δικύκλων και των τετράτροχων οχηµάτων ου έχουν αρκάρει στο parking, αντίστοιχα. Όλοι οι τροχοί των x δικύκλων είναι x, ενώ όλοι οι τροχοί των y τετράτροχων οχηµάτων είναι 4y. x+ y= 80 Συνεώς έχουµε το σύστηµα. x+ 4y=.700 x+ y= 80 x+ y= 80 x+ y= 80 β) x+ 4y=.700 (x+ y) =.700 x+ y=.50 x+ y= 80 x= 80 y x= x= 0, x+ y x y= y= 50 y= 50 y= 50 δηλαδή 0 είναι τα δίκυκλα και 50 τα τετράτροχα οχήµατα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 0

21 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 765 ίνεται γωνία ω ου ικανοοιεί τη σχέση: ( ηµω+συνω ) =. α) Να αοδείξετε ότι είτε ηµω= 0 είτε συνω= 0. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις δυνατές τιµές της γωνίας ω. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) ( ηµω+συνω ) = ηµ ω+ ηµωσυνω+συν ω= β) ηµωσυνω= ( ηµ ω+συν ω) ηµωσυνω= ηµωσυνω= 0 ηµω= 0 ή συνω= 0. ( ηµω+συνω ) = ηµ ω+ ηµωσυνω+συν ω= ηµωσυνω= ( ηµ ω+συν ω) ηµωσυνω= ηµωσυνω= 0 ηµω= 0 ή συνω= 0 ω=κ ή ω=κ+, κ Z. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

22 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας.4 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7656 ίνεται η συνάρτηση f (x) = συνx, x R α) Ποια είναι η µέγιστη και οια η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης; Ποια είναι η ερίοδος της f ; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου. (Μονάδες 0) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση µορεί να άρει την τιµή. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 6) Ενότητα σχολικού βιβλίου:.4 Βαθµός δυσκολίας: α) Αό τη θεωρία γνωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση g µε g(x) =ρηµ (ωx), µερ> 0, ω> 0 έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ, ελάχιστη τιµή ίση µε ρ και ερίοδο Τ= ω. Συνεώς η συνάρτηση f έχει ρ=, ω=, οότε η µέγιστη τιµή της είναι ίση µε, η ελάχιστη τιµή της είναι ίση µε και έχει ερίοδο Τ= =. β) Θα σχεδιάσουµε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f στο διάστηµα [0, ]. H συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0,, γνησίως αύξουσα στο,, αρουσιάζει ολικό µέγιστο για x= 0 το f (0) =, ολικό ελάχιστο για x= το f =, ολικό µέγιστο για x= το f ( ) =, η C f τέµνει τον άξονα x 'x για x =, x= και η γραφική της αράσταση φαίνεται ακολούθως. 4 4 y y = συνx x ' 0 x 4 4 y' γ) Αφού η µέγιστη τιµή της συνάρτησης f είναι, η συνάρτηση δεν µορεί να άρει την τιµή. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

23 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7659 y= x + α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστηµα. (Μονάδες 5) x y = β) Να ερµηνεύσετε γεωµετρικά τις λύσεις του συστήµατος ου βρήκατε στο ερώτηµα α). (Μονάδες 0) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: y= x + y= x + y= x + y= x + y= x + α) x y= x (x + ) = x x = x x = 0 x( x) = 0 = = + = = x 0, y 0 x 0, y y= x + ή ή (x, y) = (0,) ή (x, y) = (,). x= 0 ή x= x, y = = + x=, y= β) Στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων η εξίσωση x y= εκφράζει ευθεία, ενώ η εξίσωση y= x + εκφράζει αραβολή, οότε το σύστηµα τοµής Α(0, ), Β(, ) των δύο γραµµών. y= x + δείχνει τα σηµεία x y = Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

24 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 766 Αν 0< x< και ( συνx +) ( 5συνx 4) = 0, τότε: 4 α) Να αοδείξετε ότι συνx =. (Μονάδες 0) 5 β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού 0< x<, έχουµε ότι ηµx, συνx, εφx, σφx > 0. Για συνx > 0 έχουµε ότι: συνx + 5συνx 4 = 0 συνx += 0 ή 5συνx 4= 0 ( ) ( ) 4 4 συνx= ή 5συνx= 4 συνx= ή συνx= συνx=, 5 5 αφού δεν µορεί να ισχύει συνx=. β) Αφού 0< x<, έχουµε ηµx > 0 και αό τη βασική τριγωνοµετρική ταυτότητα βρίσκουµε ότι: ηµx = συν x = = = = = Είσης: 4 ηµx 5 εφx = = 5 συνx 0 4 = = και σφx = = 5 = =. συνx ηµx Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

25 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7664 ίνονται οι γωνίες ω, θ µε συνω 0 και συνθ 0, για τις οοίες ισχύει: ω+θ= 5 ο. Να αοδείξετε ότι: α) εϕ( ω+θ ) =, (Μονάδες 0) β) εϕω+εϕθ+ =εϕω εϕθ. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.6 Βαθµός δυσκολίας: ο ο ο ο α) εϕ( ω+θ ) =εϕ 5 =εϕ(80 45 ) = εϕ 45 =. εϕω+εϕθ εϕ ω+θ =, εϕωεϕθ οότε χρησιµοοιώντας το (α) ερώτηµα βρίσκουµε: εϕω+εϕθ = ( εϕωεϕθ ) =εϕω+εϕθ +εϕωεϕθ=εϕω+εϕθ εϕωεϕθ εϕωεϕθ=εϕω+εϕθ+ εϕω+εϕθ+ =εϕωεϕθ. β) Για συνω 0 και συνθ 0, έχουµε ότι ( ) Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

26 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.4,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 768 ίνεται η συνάρτηση f (x) = ηµ x+, x R. α) Να βρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f. (Μονάδες 0) β) Για οια τιµή του x [0, ] η συνάρτηση αρουσιάζει µέγιστη τιµή; (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.4,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Αό τη θεωρία γνωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση g µε g(x) =ρηµ (ωx), µερ> 0, ω> 0 έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ και ελάχιστη τιµή ίση µε ρ. Η συνάρτηση h µε h(x) = g(x) + k θα έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ+ k και ελάχιστη τιµή ίση µε ρ+ k. Συνεώς η συνάρτηση f έχει ρ=, ω=, k=, οότε η µέγιστη τιµή της είναι ίση µε ρ+ k= + = και η ελάχιστη τιµή της είναι ίση µε ρ+ k= + =. β) Αναζητούµε x R ώστε: f (x) = ηµ x+ = ηµ x= ηµ x= ηµ x= ηµ x=ηµ x= κ+ ή x= κ+, κ Z x= κ+, κ Z. Όµως: x [0, ] 0 x 0 κ+, κ Z κ, κ Z κ, κ Z κ, κ Z κ, κ Z, 4 4 οότε κ = 0 και x= 0 + =. Συνεώς η συνάρτηση f αρουσιάζει στο [0, ] µέγιστη τιµή το για x =. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

27 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 768 ( λ+ )x + y= ίνεται το σύστηµα: µε αράµετρο λ R. 4x + ( λ )y = 6 α) Αν λ=, να δείξετε ότι το σύστηµα έχει άειρες λύσεις. Να βρείτε µια λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ=, να δείξετε ότι το σύστηµα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ= 0, να δείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση την οοία και να ροσδιορίσετε. (Μονάδες 9) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: Έχουµε ότι: λ+ D = = ( λ+ )( λ ) 4=λ 8=λ 9 = ( λ )( λ+ ), 4 λ Dx = = ( λ ) ( 6) = λ + = λ+ 9= ( λ+ ), 6 λ λ+ Dy = = 6( λ+ ) 4= 6λ 6 = 6λ 8= 6( λ+ ). 4 6 α) Αν λ=, το σύστηµα γίνεται: ( + )x+ y= x+ y= x y= x= y x= y, 4x + ( )y= 6 4x 4y= 6 x y= δηλαδή το σύστηµα έχει άειρες λύσεις της µορφής (x, y) = y, y, y R. Συνεώς µια λύση του συστήµατος ροκύτει για y = 0 και είναι η (x, y) =,0. β) Αν λ=, έχουµε ότι D= 0 και Dx = 8 0, οότε το σύστηµα είναι αδύνατο. γ) Αν λ= 0, έχουµε D= 9 0, οότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση. Είσης Dx = 9, Dy = 8, οότε η µοναδική λύση είναι η D D x y 9 8 (x, y) =, =, = (, ). D D 9 9 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 7

28 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7688 x ίνεται η συνάρτηση f (x) =, x R. x + α) Να δείξετε ότι η f (x). (Μονάδες 8) β) Είναι το η µέγιστη τιµή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 9) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: x α) f (x) x x + 0 x x+ 0 (x ), η οοία ισχύει, άρα x + ισχύει και η αρχική. β) Για να είναι το η µέγιστη τιµή της συνάρτησης, αρκεί να βρούµε x R έτσι ώστε: x f (x) = = x= x + 0= x x+ 0 = (x ) x=. x + Συνεώς η συνάρτηση f αρουσιάζει µέγιστο για x= το f () =, αφού ισχύει f (x) f () για κάθε x R. γ) Για κάθε x Af =R, το x Af =R. ( x) x Είσης f ( x) = = = f (x), x R, ( x) + x + άρα η συνάρτηση f είναι εριττή.. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 8

29 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 769 α) Να αοδείξετε ότι: ηµ + x +συν( + x) = 0. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε τις τιµές του x [0, ) για τις οοίες ισχύει συν x= ηµ + x. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι ηµ + x +συν( + x) =συν x + ( συν x) = 0. β) συν x= ηµ + x συν x= συνx συν x+συν x= 0 συν x= 0 συν x= 0 x =κ+, κ Z. Όµως: x [0, ) 0 x< 0 κ+ <, κ Z 0 κ<, κ Z κ<, κ Z κ<, κ Z, οότε κ = 0 ή κ = και x= 0 + = ή x= + =. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 9

30 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.,.4 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 769 α) Να διατάξετε αό το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους αρακάτω αριθµούς: 7 συν, συν, συν (Μονάδες ) β) Αν < x< x < να συγκρίνετε τους αριθµούς ηµ x και ηµ x. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.,.4 Βαθµός δυσκολίας: 7 0 α) Έχουµε ότι συν =συν =συν =συν Είσης 0< < < < και αφού η συνάρτηση µε τύο συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα 0, ισχύει ότι συν 0>συν >συν >συν >συν, δηλαδή συν <συν <συν συν <συν <συν, αφού συν =συν β) Έχουµε ότι ηµ x =συνx και ηµ x =συνx. Αφού η συνάρτηση µε τύο συνx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα, και ισχύει < x< x <, ροκύτει ότι συν<συν x<συν x <συν, άρα ηµ x <ηµ x. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 0

31 x x x x 4 Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Β ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7698 Στο αρακάτω σχήµα δίνεται η γραφική αράσταση C f µιας συνάρτησης f µε εδίο ορισµού το R. Nα ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήµατα: α) Να διατάξετε αό το µικρότερο στο µεγαλύτερο τους f (x ), f (x ), f (x ). (Μονάδες 0) β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως µονότονη στο R ; Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας. (Μονάδες 0) γ) Παρουσιάζει η f µέγιστο στο σηµείο x ; Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας.(μονάδες 5) x x x Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: f(x 4 ) f(x ) f(x ) f(x ) Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

32 α) Έχουµε ότι f (x ) < f (x ) < f (x ). β) Η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως µονότονη στο R, αφού αό το σχήµα ροκύτει ότι η γραφική αράσταση δεν «ανεβαίνει» ή δεν «κατεβαίνει» συνέχεια σε όλο το εδίο ορισµού της. Αλγεβρικά έχουµε ότι: x < x f (x ) < f (x ) και x< x f (x ) > f (x ), δηλαδή δεν ισχύει καµία αό τις συνεαγωγές x < x < x f (x ) < f (x ) < f (x ), x< x< x f (x ) > f (x ) > f (x ), οότε δεν είναι γνησίως µονότονη στο R. γ) Η συνάρτηση f δεν αρουσιάζει µέγιστο στο σηµείο µε τετµηµένη x, αφού για αράδειγµα το σηµείο µε τετµηµένη x 4 έχει µεγαλύτερη τεταγµένη, δηλαδή ισχύει f(x ) < f(x 4). Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

33 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7699 ίνεται ηµϕ=, όου φ η οξεία γωνία ου σχηµατίζεται µε κορυφή το σηµείο Α της 5 ευθείας (ε) του αρακάτω σχήµατος. α) Να βρείτε το συνηµίτονο της γωνίας φ. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε το ηµίτονο και το συνηµίτονο των γωνιών θ και ω του σχήµατος. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού η γωνία φ είναι οξεία έχουµε ότι συνφ > 0 και αό τη βασική τριγωνοµετρική ταυτότητα ισχύει συνϕ= ηµ ϕ= = = = β) Έχουµε ότι: ηµθ=ηµ ( +ϕ ) = ηµϕ=, 5 4 συνθ=συν( +ϕ ) = συνϕ=, 5 ηµω=ηµ ( ϕ ) =ηµϕ=, 5 4 συνω=συν( ϕ ) = συνϕ=. 5 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ

34 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 770 ( ε) : x y= ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις:, µε αράµετρο λ R. ( ε ) : ( λ )x y= 6 α) Να βρείτε την τιµή του λ R ώστε οι ευθείες ε και ε να είναι αράλληλες. β) Να αραστήσετε γραφικά τις ε και ε, για (Μονάδες 8) λ=. (Μονάδες 8) γ) Υάρχει τιµή του λ R, ώστε οι ευθείες ε και ε να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 9) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: Για το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ( ε ) και ( ε ) έχουµε ότι: D= = ( ) ( )( λ ) = +λ =λ, λ Dx = = ( ) ( ) 6= + 6= 7, 6 Dy = = 6 ( )( λ ) = +λ =λ+. λ 6 α) Οι ευθείες ε και ε είναι αράλληλες, όταν το σύστηµα των εξισώσεών τους είναι αδύνατο, δηλαδή όταν D= 0 και Dx 0 ή Dy 0. Τότε D= 0 λ = 0 λ= και Dx = 7 0, οότε το σύστηµα είναι αδύνατο για λ =. β) Για λ=, έχουµε ότι ε : ( )x y = 6 x y = 6 (Ι). Στην εξίσωση της ευθείας ε θέτουµε y= 0, οότε x =, δηλαδή η ευθεία ( ε ) διέρχεται αό το σηµείο A,0. Οµοίως, στην εξίσωση της ευθείας ε θέτουµε x= 0, οότε y=, δηλαδή η ευθεία ( ε ) διέρχεται αό το σηµείο B(0,). Στην εξίσωση της ευθείας ε (σχέση (Ι)) θέτουµε y= 0, οότε x=, δηλαδή η ευθεία ( ε ) διέρχεται αό το σηµείο Γ (,0). Οµοίως, στην εξίσωση της ευθείας ε (σχέση (Ι)) θέτουµε x= 0, οότε y= 6, δηλαδή η ευθεία ( ε ) διέρχεται αό το σηµείο (0, 6). Οι ευθείες ε και ε αριστάνονται γραφικά στο ακόλουθο σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

35 γ) Για να ταυτίζονται οι ευθείες ε και ε, θα ρέει το σύστηµα των εξισώσεών τους να έχει άειρες λύσεις. Συνεώς ρέει D= 0 λ = 0 λ=, ερίτωση κατά την οοία το σύστηµα είναι αδύνατο (α ερώτηµα). Εοµένως δεν υάρχει τιµή του λ R, ώστε οι ευθείες ε και ε να ταυτίζονται. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

36 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας.4 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7704 ίνεται η συνάρτηση f (x) = συν x, x R. α) Να βρείτε την ερίοδο, τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της f. (Μονάδες ) β) Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα και να αραστήσετε γραφικά την f σε διάστηµα µιας εριόδου. x x συν x f (x) = συν x (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:.4 Βαθµός δυσκολίας: α) Αό τη θεωρία γνωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση g µε g(x) =ρηµ (ωx), µερ> 0, ω> 0 έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ, ελάχιστη τιµή ίση µε ρ και ερίοδο έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ, ελάχιστη τιµή ίση µε ρ και ερίοδο Τ= ω. Η συνάρτηση g Τ= ω. Συνεώς η συνάρτηση f έχει ρ=, ω=, οότε η µέγιστη τιµή της είναι ίση µε, η ελάχιστη τιµή της είναι ίση µε και έχει ερίοδο Τ= =. β) Έχουµε ότι: x x 0 συν x 0 0 f (x) = συν x 0 0 Θα αραστήσουµε γραφικά τη συνάρτηση f στο διάστηµα [0, ] (διάστηµα λάτους µιας εριόδου). H συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο 0,, γνησίως φθίνουσα στο,, αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x= 0 το f (0) =, ολικό µέγιστο για x= το f =, ολικό ελάχιστο για x= το f ( ) = και η C f τέµνει τον άξονα x 'x για x =, x=. Η γραφική της αράσταση της συνάρτησης f φαίνεται στο ακόλουθο 4 4 σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

37 y x ' x y = -συνx y' Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 7

38 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 7709 ίνονται οι ευθείες ε : x+ y= 5, ε : x+ y= 9, ε :x+ y= 7. α) i. Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των ε, ε. ii. Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των ε, ε. (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος (α), να δείξετε ότι το κοινό σηµείο των ε και ε είναι σηµείο της ε. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) i. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε, ε. x+ y= 5 x+ y= 5 x= 5 y x= 5 ( ) x+ y= 9 x+ y+ x+ y= y= 4 y= x= 5+ x= 6 x=, y= y= y= δηλαδή το σηµείο τοµής των ευθειών ε, ε είναι το Α(, ). ii. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των ευθειών ε, ε. x+ y= 5 4x y= 0 4x y+ x+ y= 0+ 7 x= x+ y= 7 x+ y= 7 x+ y= 7 y= 7 x x= x= x= x=, y= 7 y= 7 9 y= y= δηλαδή το σηµείο τοµής των ευθειών ε, ε είναι το Α(, ). β) Αφού το σηµείο τοµής των ευθειών ε, ε και των ε, ε είναι το Α, αυτό θα είναι κοινό σηµείο των ε, ε και ε, όως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήµα. Συνεώς το κοινό σηµείο των ε και ε είναι σηµείο της ε, όως φαίνεται και αό το ακόλουθο σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 8

39 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 9

40 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 777 Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισµάτων χωρισµένες σε δύο διαζώµατα. Η κάθε µια αό τις σειρές του κάτω διαζώµατος έχει 4 καθίσµατα και η κάθε µια αό τις σειρές του άνω διαζώµατος έχει 6 καθίσµατα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 74 καθίσµατα. α) Αν x ο αριθµός σειρών του κάτω και y o αριθµός σειρών του άνω διαζώµατος, να εκφράσετε τα δεδοµένα του ροβλήµατος µε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων. (Μονάδες ) β) Πόσες σειρές έχει το άνω και όσες το κάτω διάζωµα; (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού το θέατρο έχει 5 σειρές καθισµάτων, έχουµε ότι x+ y= 5 µε x, y N. Στο κάτω διάζωµα υάρχουν x σειρές καθισµάτων µε 4 καθίσµατα σε κάθε σειρά, άρα έχει 4x θέσεις, ενώ στο άνω διάζωµα υάρχουν y σειρές καθισµάτων µε 6 καθίσµατα σε κάθε σειρά, άρα έχει 6y θέσεις, οότε για τα 74 καθίσµατα έχουµε 4x+ 6y= 74. 4x+ 6y= 74 Συνεώς έχουµε το σύστηµα για x, y N. x+ y= 5 4x + 6y= 74 4(5 y) + 6y= y+ 6y= 74 β) x+ y= 5 x= 5 y x= 5 y 4y+ 6y= y= 4 y= y=. x= 5 y x= 5 y x= 5 x= Εοµένως το κάτω διάζωµα έχει σειρές και το άνω διάζωµα έχει σειρές. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 40

41 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.4 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 775 ίνεται η συνάρτηση ( ) α) Να δείξετε ότι f (x) ( x) f (x) =ηµ x +συν x,x R. = ηµ. (Μονάδες 0) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.4 Βαθµός δυσκολίας: α) Για κάθε x R έχουµε ότι: f (x) =ηµ ( x) +συν x =ηµ ( x) +ηµ ( x) = ηµ ( x). β) Η συνάρτηση f έχει ερίοδο Τ= =. Αφού θέλουµε τη γραφική αράσταση της ω συνάρτησης f στο R, θα δούµε τα χαρακτηριστικά της σε διάστηµα λάτους µιας εριόδου και θα τα µεταφέρουµε στο R. Μελετούµε καταρχήν τη συνάρτηση f στο 0,. H συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο 0, 6, γνησίως φθίνουσα στο, 6, γνησίως αύξουσα στο,, αρουσιάζει ολικό µέγιστο για x = το f =, ολικό 6 6 ελάχιστο για x= το f = και η C f τέµνει τον x 'x για x= 0, x =, x=. Η γραφική αράσταση της f στο R φαίνεται στο ακόλουθο σχήµα. y y= ηµ (x) x ' x y' Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

42 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 77 Έστω γνησίως µονότονη συνάρτηση f : R R, η γραφική αράσταση της οοίας διέρχεται αό τα σηµεία Α(, ) και Β(4, 5). α) Να ροσδιορίσετε το είδος της µονοτονίας της f. (Μονάδες ) β) Αν η γραφική αράσταση της f τέµνει τον άξονα x x στο, να δείξετε ότι f (0) > 0. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη, θα είναι είτε γνησίως αύξουσα, είτε γνησίως B 4,5, φθίνουσα. Όµως η γραφική αράστασή της διέρχεται αό τα σηµεία A(,) και ( ) οότε ισχύουν οι f () =, f (4) = 5, άρα και η συνεαγωγή < 4 f () < f (4), δηλαδή ικανοοιείται ο ορισµός της γνησίως αύξουσας συνάρτησης και κατ εέκταση η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R. β) Αφού η γραφική αράσταση της f τέµνει τον άξονα x x στο, ισχύει f ( ) = 0. Συνεώς αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο R, ισχύει η συνεαγωγή < 0 f ( ) < f (0), οότε και f (0) > 0, αφού f ( ) = 0. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

43 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 774 ίνονται οι ευθείες: ε : x+ y= 6, ε : x y=. α) Να ροσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σηµείο Μ. (Μονάδες ) β) Να βρείτε για οια τιµή του α, η ευθεία x+α y=α+ 5 διέρχεται αό το Μ. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Λύνουµε το σύστηµα: x+ y= 6 (y ) + y= 6 4y 6+ y= 6 4y+ y= y= x y = x = y x = y x = y x = y y= y= y= y= y= , x= y x= x= x= x= άρα το κοινό σηµείο τους είναι το M, 5 5. β) Το σηµείο Μ ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση x+α y=α+ 5 όταν οι συντεταγµένες του την εαληθεύουν, δηλαδή αν ισχύει: 9 7 α 7 α +α =α+ 5 + =α = 5α α= 5α+ 5 α 5α= 5 7 7α= α=. 7 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 4

44 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 776 ηµ x ίνεται η αράσταση: Α=, x κ, κ Z. συνx α) Να αοδείξετε ότι Α= +συν x. (Μονάδες ) ηµ x β) Να λύσετε την εξίσωση = συνx στο διάστηµα ( 0, ). (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Για x κ, κ Z έχουµε ότι: ηµ x συν x (+συνx)( συν x) Α= = = = +συνx. συνx συνx συνx β) Για x κ, κ Z και αό το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: ηµ x = +συν x= συν x= συν x= συν x= συν συνx συν x=συν συν x=συν x= κ±, κ Z. Όµως: x (0, ) 0< x< 0< κ+ < ή 0< κ <, κ Z 0 < κ< ή 0+ < κ< +, κ Z 4 8 < κ< ή < κ<, κ Z 4 <κ< ή <κ<, κ Z, οότε κ = 0 ή κ =, δηλαδή, 4 x= 0 + = ή x= =. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 44

45 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 779 Έστω γωνία x για την οοία ισχύουν: x ηµ ( x ) ηµ ( + x ) =. α) Να αοδείξετε ότι ηµ x=. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την γωνία x. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) ηµ ( x) ηµ ( + x) = ηµ x ( ηµ x) = ηµ x+ηµ x= ηµ x= ηµ x=. β) ηµ x= ηµ x=ηµ x= κ+ ή x= κ+, κ Z x= κ+ ή x= κ+, κ Z. 6 6 Όµως: < x < 5 < κ+ < ή < κ+ <, κ Z 6 6 < κ< ή 5 5 < κ<, κ Z < κ< ή < κ<, κ Z <κ< ή <κ<, κ Z, 6 6 οότε αδύνατη ή κ = 0, δηλαδή, 5 5 x= 0 + =. 6 6 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 45

46 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.5 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 774 ηµ x ηµ x α) Να αοδείξετε ότι: + = συν x +συνx ηµ x κ, κ Z. (Μονάδες ) ηµ x ηµ x 4 β) Να λύσετε την εξίσωση: + =. συν x +συνx (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.5 Βαθµός δυσκολίας: α) Για x κ, κ Z έχουµε ότι: ηµ x ηµ x ηµ x( + συνx) ηµ x( συνx) + = + = συν x +συνx ( συν x)(+συν x) (+συνx)( συν x) ηµ x(+συν x) +ηµ x( συνx) ηµ x+ηµ xσυν x+ηµ x ηµ xσυνx ηµ x = = = = ( συν x)(+συνx) συν x ηµ x ηµ x. β) Για x κ, κ Z αό το (α) ερώτηµα έχουµε ότι: ηµ x ηµ x = = 4ηµ x= ηµ x= ηµ x= συν x +συνx ηµ x 4 ηµ x=ηµ x= κ+ ή x= κ+, κ Z x= κ+ ή x= κ+, κ Z, ου είναι δεκτές αφού x κ, κ Z. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 46

47 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 86 Στο αρακάτω σχήµα δίνονται οι αραβολές C f και C g ου είναι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα µε εδίο ορισµού το R. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f µε οριζόντια και κατακόρυφη µετατόιση. Παρατηρώντας το σχήµα: α) Να βρείτε τα διαστήµατα µονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιµή του. (Μονάδες 0) β) Να βρείτε µέσω οιων µετατοίσεων της C f ροκύτει η C g. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,. Βαθµός δυσκολίας: α) H γραφική αράσταση της συνάρτησης f: είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ], είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ), αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x= το f ( ) =. β) Η C g ροκύτει αό τη C f, µετατοίζοντάς την οριζόντια 4 µονάδες δεξιά και κατακόρυφα 4 µονάδες ρος τα κάτω, άρα ισχύει g(x) = f (x 4) 4. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 47

48 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 864 ίνεται η συνάρτηση f (x) = x x+ 9. α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη µορφή: f (x) = ( x ) +. (Μονάδες 0) β) Παρακάτω δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης g(x) = x. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε ώς αυτή ροκύτει µετατοίζοντας κατάλληλα τη γραφική αράσταση της g. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Για κάθε x Af =R έχουµε ότι: ( ) x + = (x 6x+ 9) + = x x+ 8+ = x x+ 9= f (x). β) Αφού f (x) = ( x ) +, η C f ροκύτει αό τη C g, µετατοίζοντάς την οριζόντια µονάδες δεξιά και κατακόρυφα µονάδα ρος τα άνω, οότε οι δύο γραφικές αραστάσεις φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα: Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 48

49 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 49

50 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 867 x y= 9 ίνεται το σύστηµα: µε αραµέτρους α, β, γ R. α x +β y =γ α) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ R ώστε το σύστηµα αυτό να έχει µοναδική λύση το ζεύγος (, 4). (Μονάδες ) β) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ R ώστε το σύστηµα αυτό να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: Έχουµε ότι: D= =β+ α α β 9 D = = 9β+ γ και γ β, x 9 Dy = =γ 9α. α γ α) Για να έχει το σύστηµα µοναδική λύση, ρέει: D 0 β+ α 0 β α (Ι). Είσης το σύστηµα ρέει να έχει λύση το ζεύγος (, 4), οότε οι συντεταγµένες του ρέει να εαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Για την ρώτη εξίσωση έχουµε ( 4) = 9 + 8= 9, η οοία ισχύει. Για τη δεύτερη εξίσωση έχουµε α +β ( 4) =γ α 4β=γ (ΙΙ). Ειλέγουµε αριθµούς α, β, γ ου να ικανοοιούν τις (Ι), (ΙΙ). Μια τέτοια τριάδα αριθµών είναι (α, β, γ) = (,, ). β) Ειλέγουµε τριάδα αριθµών (α, β, γ) ώστε τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων να είναι ίσα και τα δεύτερα µέλη άνισα. Έστω λοιόν ( α, β, γ ) = (,, ), οότε το αντίστοιχο αδύνατο x y= 9 σύστηµα είναι το. x y = ιαφορετική ροσέγγιση για το (β) ερώτηµα Για να είναι το σύστηµα αδύνατο, ρέει: D= 0 β+ α= 0 β= α (ΙΙΙ). και µία αό τις D x, D y να µην είναι µηδέν. Ειλέγουµε λοιόν (α, β, γ) = (,, ), x y= 9 οότε έχουµε το σύστηµα, του οοίου οι εξισώσεις είναι οι ευθείες ου x y = φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 50

51 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

52 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 868 x+ y= ίνεται το σύστηµα: µε αραµέτρους α, β, γ R. α x +β y =γ α) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ R ώστε το σύστηµα αυτό να έχει µοναδική λύση το ζεύγος (,5). (Μονάδες ) β) Να ειλέξετε τιµές για τις αραµέτρους α, β, γ R ώστε το σύστηµα αυτό να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: Έχουµε ότι: D= = β α α β D = = β γ και γ β, x Dy = = γ α. α γ α) Για να έχει το σύστηµα µοναδική λύση, ρέει: D 0 β α 0 α β (Ι). Είσης το σύστηµα ρέει να έχει λύση το ζεύγος (,5), οότε οι συντεταγµένες του ρέει να εαληθεύουν και τις δύο εξισώσεις. Για την ρώτη εξίσωση έχουµε ( ) + 5= + 5=, η οοία ισχύει. Για τη δεύτερη εξίσωση έχουµε α ( ) +β 5=γ α+ 5β=γ (ΙΙ). Ειλέγουµε αριθµούς α, β, γ ου να ικανοοιούν τις (Ι), (ΙΙ). Μια τέτοια τριάδα αριθµών είναι (α, β, γ) = (,, 4). β) Ειλέγουµε τριάδα αριθµών (α, β, γ) ώστε τα ρώτα µέλη των δύο εξισώσεων να είναι ίσα και τα δεύτερα µέλη άνισα. Έστω λοιόν ( α, β, γ ) = (,,), οότε το αντίστοιχο αδύνατο x+ y= σύστηµα είναι το. x+ y= ιαφορετική ροσέγγιση για το (β) ερώτηµα Για να είναι το σύστηµα αδύνατο, ρέει: D= 0 β α= 0 α= β (ΙΙΙ). και µία αό τις D x, D y να µην είναι µηδέν. Ειλέγουµε λοιόν (α, β, γ) = (,, ), x+ y= οότε έχουµε το σύστηµα, του οοίου οι εξισώσεις είναι οι ευθείες ου x+ y= φαίνονται στο ακόλουθο σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

53 Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 5

54 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.5,.6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 99 α) Να αοδείξετε ότι: ηµ x+ = συν x+ ηµ x. (Μονάδες ) β) Με τη βοήθεια του ερωτήµατος α), να λύσετε στο διάστηµα (0, ) την εξίσωση: συν x+ ηµ x= 0. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.5,.6 Βαθµός δυσκολίας: α) ηµ x+ =ηµ xσυν +ηµ συν x=ηµ x + συν x= συν x+ ηµ x. β) συν x+ ηµ x= 0 ηµ x+ = 0 x + =κ, κ Z x =κ, κ Z. Όµως: x (0, ) 0< x< 0 <κ <, κ Z <κ<+, κ Z 4 <κ<, κ Z 4 <κ<, κ Z, οότε κ = και x= =. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 54

55 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.5,.7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 99 ίνεται γωνία ω για την οοία ισχύει ότι: συνω+ 5ηµω = 0. α) Να αοδείξετε ότι ισχύει: β) Να αοδείξετε ότι ηµ ω+ 5ηµω = 0. (Μονάδες ) ηµω=. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.5,.7 Βαθµός δυσκολίας: α) συνω+ 5ηµω = 0 ( ηµ ω ) + 5ηµω = 0 + ηµ ω+ 5ηµω = 0 ηµ ω+ 5ηµω = 0. x=ηµω β) ηµ ω+ 5ηµω = 0 x + 5x = 0 x= ή x= x= ή x= ηµω= ήηµω= ( αδύ νατη, αϕούρέει ηµω ) ηµω=. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 55

56 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,.4,.6 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 99 Έστω η συνάρτηση f (x) = ( ηµ x+συνx), x R. α) Να αοδείξετε ότι f (x) = +ηµ x, γιακάθε x R. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ερίοδο καθώς και τη µέγιστη και ελάχιστη τιµή της f. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,.4,.6 Βαθµός δυσκολίας: α) Για κάθε x R έχουµε ότι: f (x) = ( ηµ x+συν x) =ηµ x+συν x+ ηµ xσυν x= +ηµ x. β) Αό τη θεωρία γνωρίζουµε ότι κάθε συνάρτηση g µε g(x) =ρηµ (ωx), µερ> 0, ω> 0 έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ, ελάχιστη τιµή ίση µε ρ και ερίοδο Τ= ω. Η συνάρτηση f µε f (x) = g(x) + k θα έχει µέγιστη τιµή ίση µε ρ+ k, ελάχιστη τιµή ίση µε ρ+ k και ερίοδο Τ= ω. Συνεώς η συνάρτηση f έχει ρ=, ω=, k=, οότε η µέγιστη τιµή της είναι ίση µε + =, η ελάχιστη τιµή της είναι ίση µε = 0 και έχει ερίοδο Τ= =. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 56

57 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 994 ίνεται η συνάρτηση f (x) = x 5, x R. α) Να δείξετε ότι η f αρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0. (Μονάδες 8) β) Είναι η f άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Με οια µετατόιση της g(x) = x ροκύτει η C f ; (Μονάδες 9) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,. Βαθµός δυσκολίας: α) Ισχύει x 0 x f (x) 5 f (x) f (0) για κάθε x R, οότε η συνάρτηση f αρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 το f(0) = 5. β) Για κάθε x Af =R, το x Af =R. Είσης f ( x) = ( x) 5= x 5= f (x), x R, άρα η συνάρτηση f είναι άρτια. γ) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης f ροκύτει αό την κατακόρυφη µετατόιση 5 µονάδων ρος τα κάτω της γραφικής αράστασης της συνάρτησης g, όως φαίνεται και στο ακόλουθο σχήµα. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 57

58 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 08 λ x+ y= ίνεται το σύστηµα:, µε αράµετρο λ R. λ x +λ y =λ+ α) Να αοδείξετε ότι για τις ορίζουσες D, D x, D y του συστήµατος ισχύουν D =λ( λ ), D =λ και D =λ( λ ). (Μονάδες 5) x y β) Αν είναι λ 0 και λ, τότε να λύσετε το σύστηµα. (Μονάδες 0) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Έχουµε ότι: λ D = =λ λ=λ( λ ) λ λ D = = λ ( λ+ ) =λ και λ+ λ, x λ D y = =λ( λ+ ) λ=λ( λ+ ) =λ( λ ). λ λ+ β) Αν είναι λ 0 και λ, τότε D 0, οότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την: D D x y λ λ( λ ) (x, y) =, =, =,. D D λ( λ ) λ( λ ) λ Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 58

59 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG 09 Στο αρακάτω σχήµα δίνονται οι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και g, ου ορίζονται στους ραγµατικούς αριθµούς. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f µε οριζόντια και κατακόρυφη µετατόιση. Αό τις γραφικές αραστάσεις να βρείτε: α) Τα διαστήµατα µονοτονίας της f, το είδος του ακρότατου της f, τη θέση και την τιµή του. (Μονάδες ) β) Ποιες µετατοίσεις της f δίνουν τη g; Να ροσδιορίσετε στη συνέχεια τον τύο της συνάρτησης g, αν f (x) = x+. (Μονάδες ) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,. Βαθµός δυσκολίας: α) Αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f, έχουµε ότι: είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ], είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [, + ), αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x= το f ( ) = 0. β) Η γραφική αράσταση της συνάρτησης g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f, µε οριζόντια µετατόιση 5 µονάδων δεξιά και κατακόρυφη µετατόιση µονάδων ρος τα κάτω, δηλαδή g(x) = f (x 5). Αν f (x) = x+, έχουµε ότι g(x) = x 5+ = x, µε x R. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 59

60 Τράεζα θεμάτων ςτην Άλγεβρα Β Λυκείου 4ο Θέμα Δεκέμβριος 04

61 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση των ενοτήτων.,. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG_4_78 ίνεται η συνάρτηση f (x) = 8 x 8+ x. α) Να βρείτε το εδίο ορισµού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο εδίο ορισµού της, να ειλέξετε οια αό τις αρακάτω τρείς ροτεινόµενες, είναι η γραφική της αράσταση και στη συνέχεια να υολογίσετε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της. (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g(x) = f (x) και h(x) = f( x+ ) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε εριττές. (Μονάδες 5) Ενότητες σχολικού βιβλίου:.,. Βαθµός δυσκολίας: α) Για να ορίζεται η συνάρτηση f ρέει να ισχύει: 8 x 0 8 x x 8, οότε A f = [ 8,8]. 8+ x 0 x 8 x 8 β) Για κάθε x A f = [ 8,8], το x A f = [ 8,8]. Είσης: f ( x) = 8 ( x) 8 + ( x) = 8+ x 8 x = ( 8 x 8+ x) = f (x), x [ 8,8], άρα η συνάρτηση f είναι εριττή. γ) Αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο εδίο ορισµού της, η γραφική της αράσταση είναι η ΙΙΙ. Αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f έχουµε ότι: αρουσιάζει ολικό µέγιστο για x= 8 το f ( 8) = 8 ( 8) 8 8= 4 και αρουσιάζει ολικό ελάχιστο για x= 8 το f (8) = ( 8) = 4. Σχόλιο: Η µονοτονία της συνάρτησης f δεν είναι ααραίτητο να δοθεί, αφού µορεί να αοδειχθεί. δ) Γραφική αιτιολόγηση Η C g ροκύτει αό τη C f µε κατακόρυφη µετατόιση µονάδων ρος τα κάτω, οότε η C g δεν είναι συµµετρική ούτε ως ρος το Ο(0, 0) ούτε ως ρος τον άξονα y'y, οότε η συνάρτηση g δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

62 Η C h ροκύτει αό τη C f µε οριζόντια µετατόιση µονάδων ρος τα αριστερά, οότε η C h δεν είναι συµµετρική ούτε ως ρος το Ο(0, 0) ούτε ως ρος τον άξονα y'y, οότε η συνάρτηση h δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή. Αλγεβρική αιτιολόγηση Έχουµε ότι g(x) = f (x) = 8 x 8+ x, µε A g = [ 8,8]. Τότε g(8) = = 7, ενώ g( 8) = 8 ( 8) 8 + ( 8) =, δηλαδή g(8) g( 8) και κατά συνέεια η συνάρτηση g δεν είναι ούτε άρτια ούτε εριττή. Έχουµε ότι h(x) = f (x+ ) = 8 (x+ ) 8+ x+ = 5 x + x, µε A h = [,5]. Συνεώς το Ah, ενώ το ούτε άρτια ούτε εριττή. ( ) = Ah, δηλαδή η συνάρτηση h δεν είναι Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

63 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG_4_784 Για τις ηλικίες των µελών µιας τριµελούς οικογένειας ισχύουν τα αρακάτω: Η ηλικία της µητέρας είναι τριλάσια αό την ηλικία του αιδιού. Ο λόγος της ηλικίας του ατέρα ρος την ηλικία του αιδιού ισούται µε. Ειλέον το άθροισµα των ηλικιών και των τριών ισούται µε 5 χρόνια. α) Να εκφράσετε τα δεδοµένα µε ένα σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους. (Μονάδες ) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες ) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: α) Έστω x, y, z οι ηλικίες του ατέρα, της µητέρας και του αιδιού, αντίστοιχα, µε x, y, z > 0. Η ηλικία της µητέρας είναι τριλάσια αό την ηλικία του αιδιού, άρα y = z. Ο λόγος της ηλικίας του ατέρα ρος την ηλικία του αιδιού ισούται µε, άρα x = x= z. z Το άθροισµα των ηλικιών και των τριών ισούται µε 5 χρόνια, άρα x + y + z = 5. y= z Συνεώς έχουµε το σύστηµα x= z. x + y + z = 5 y= z y= z y= z β) x= z x= z x= z x y z = x+ y+ z= 5 z + z + z = 5 y= z y= z y= z y= z y= 5 y 45 = x= z x= z x= z x= z x= 5 x= 55. z = 5 z + 9z+ z= 45 z= z= 5 z= 5 z= Συνεώς ο ατέρας είναι 55 ετών, η µητέρα είναι 45 ετών και το αιδί είναι 5 ετών. Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 6

64 Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις ρος λύση της ενότητας. του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας B Γενικού Λυκείου Α τόµος του Πρωτοαά Ελ. αό τις GI_A_ALG_4_785 ίνονται οι ευθείες ε, ε µε εξισώσεις x + ( λ+ )y=, ( λ )x+ 5y= αντίστοιχα και λ R. α) Για τις διάφορες τιµές του λ R, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών. (Μονάδες ) β) Στην ερίτωση ου οι ευθείες ε, ε τέµνονται, να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής Α των δύο ευθειών. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιµή του λ R για την οοία το σηµείο Α ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση: x+ y=. (Μονάδες 5) Ενότητα σχολικού βιβλίου:. Βαθµός δυσκολίας: x + ( λ+ )y= α) Για το σύστηµα των εξισώσεων, έχουµε ότι: ( λ )x + 5y = λ+ D= = 5 ( λ 4) = 9 λ = ( λ )( +λ), λ 5 λ+ Dx = = 5 ( λ+ ) = (5 λ ) = ( λ ), 5 Dy = = ( λ ) = ( λ+ ) = ( λ). λ Αν D 0 ( λ )( +λ) 0 λ ±, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, δηλαδή όταν λ ± οι ευθείες ε, ε τέµνονται. x+ 5y= Αν λ = το σύστηµα γίνεται, άρα έχει άειρες λύσεις, δηλαδή όταν λ = x + 5y = οι ευθείες ε, ε ταυτίζονται. x y= x y= Αν λ = το σύστηµα γίνεται, άρα είναι αδύνατο, 5x+ 5y= x y= 5 δηλαδή όταν λ = οι ευθείες ε, ε είναι αράλληλες. β) Για λ ±, το σύστηµα έχει µοναδική λύση, ( λ) ( λ) την (x, y) =, =,, ( λ )( +λ) ( λ )( +λ ) +λ +λ δηλαδή όταν λ ± οι ευθείες ε, ε τέµνονται στο σηµείο Α, +λ +λ. γ) Για λ ±, το σηµείο Α, ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση x y +λ +λ + = αν 9 ισχύει + = = 9= ( +λ) 9= 9+ λ λ= 0 λ= 0. +λ +λ +λ Ελ. Πρωτοαάς, Μεθοδολογία Άλγεβρας Β ΓΕΛ 64