Γ 2 κριτ.οµοιοτ. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ / ΤΑΞΗ : Β ΛΥΚΕΙΟΥ. ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β»

Transcript

1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 899 [Παράγραφος 8.] Στο αρακάτω σχήµα τα τµήµατα ΑΕ και Β τέµνονται στο Γ. Να αοδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Ε Γ είναι όµοια σε κάθε µια αό τις αρακάτω εριτώσεις: α) ΑΒ / / Ε. (Μονάδες ) β) ΒΓ ΓκαιΕΓ ΑΓ. (Μονάδες ) ΛΥΣΗ : α) Εειδή ΑΒ / / Ετότε θα ισχύει ότι: Α Ε( εντοςεναλλάξ) Β ( εντοςεναλλάξ) β) Είσης έχουµε ότι ισχύει : κριτ.οµοιοτ. ΑΒΓ Γ Ε ΒΓ Ισχύει ότι: Γ κριτ.οµοιοτ. ΑΓ Ισχύει ότι: ΑΒΓ Γ Ε. ΕΓ ΑΓΒ ΕΓ ( κατακ. ) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για τα α) ερώτηµα χρησιµοοιούµε το θεώρηµα Ι, στη σελ. 7. Για το β) ερώτηµα χρησιµοοιούµε το θεώρηµα II, στη σελ. 7 Παρόµοια άσκηση βιβλίου: α) Εµ. /σελ. 78, β) Εµ. /σελ. 78, Αοδ. /σελ..

2 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα Β» Άσκηση GI_V_GEO 9 [Παράγραφος 9.] Τα µήκη των λευρών τριγώνου ΑΒΓ είανι α 8, β 6 και γ 5. α) Να αοδείξετε ότι το τρίγωνο είναι αµβλυγώνιο. (Μονάδες ) β) Να υολογίσετε τις ροβολές της λευράς ΑΒ στις λευρές ΑΓ και ΒΓ. (Μονάδες ) ΛΥΣΗ : α) Ισχύει ότι: α 8 6 α β γ > + β + γ Α > 9 Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι αµβλυγώνιο στη γωνία Α. β) Εειδή Α > 9,τότε αό το γενικευµένο Πυθ. Θεώρηµα για αµβλεία γωνία θα έχουµε: α β γ α β + γ + β Α Α Α. β 6 Όµοια εειδή Β < 9 τότε αό το γενικευµένο Πυθ. Θεώρηµα για οξεία γωνία θα έχουµε: + + β α + γ α ΒΕ ΒΕ ΒΕ α 8 6 α + γ β ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για τα α) ερώτηµα χρησιµοοιούµε το όρισµα (i), στη σελ. 9. Για το β) ερώτηµα χρησιµοοιούµε το θεώρηµα I και II, στη σελ Παρόµοια άσκηση βιβλίου: α) Εµ. /σελ. 9, β) Αοδ. /σελ. 9.

3 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα» Άσκηση GI_V_ALG 786 [Παράγραφος. &. &.5] f x συνx και g x συνx. ίνονται οι συναρτήσεις ( ) ( ) α) Να µεταφέρεται στην κόλλα σας και να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα τιµών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και g(x), για κάθε x [, ]. (Μονάδες 8) x 5 7 f(x) g(x) β) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης, να ροσδιορίσετε το λήθος των λύσεων της εξίσωσης. συνx συνx ( ) στο διάστηµα [,] (Μονάδες ) γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση () στο διάστηµα [,]και να σηµειώσετε άνω στο σχήµα του ερωτήµατος (α) τις συντεταγµένες τω κοινών σηµείων των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες ) ΛΥΣΗ: α) Έχουµε: f () συν f συν συν f συν f συν συν ( ) f συν 5 5 f συν συν + συν f συν

4 7 7 f συν συν συν συν f () συν g() συν συν g συν συν g συν συ ν g συν συν g( ) συν g συν συν συν + συν g ( ) συν σ υν συν + συν g συν συν συν συν συν g( ) συν Εοµένως ο ίνακας συµληρωµένος γίνεται: x 5 7 f (x) g(x) β) Το λήθος των λύσεων της εξίσωσης είναι τα σηµεία τοµής των δυο γραφικών αραστάσεων στο διάστηµα [, ], όως φαίνεται στο αρακάτω σχήµα. Παρατηρούµε ότι οι δυο γραφικές αραστάσεις τέµνονται σε σηµεία, άρα είναι και οι λύσεις της εξίσωσης.

5 x κ+ x x κ, κ Z γ) Έχουµε: συν xσυνx ή ή x x κ κ x, κ Z µέσα στο διάστηµα [,] εοµένως θα έχουµε: Θέλουµε τις λύσεις αυτές x κ κ. Άρα θα έχουµε: κ x ή κ x κ x κ 6 κ. Άρα θα έχουµε: κ x ή κ x ή κ x ή κ x ή Εοµένως έχουµε λύσεις της εξίσωσης, τις: x, x, x, x Για να βρούµε τα κοινά σηµεία των γραφικών αραστάσεων f και g, ρέει να βρούµε τα αντίστοιχα: f( x) ή g( x ). f () συν, άρα (,) το ρώτο f συν συν συν άρα f συν συν + συν άρα, το δεύτερο, το τρίτο f ( ) συν άρα ( ), το τέταρτο. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για τα α) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τους τύους ου αναγάγουν τα τόξα στο ο τεταρτηµόριο, στις σελ Για το β) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τη µελέτη των αντίστοιχων συναρτήσεων, στις σελ Για το γ) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τους τύους είλυσης τριγ. Εξισώσεων, στη σελ.86. Παρόµοια άσκηση βιβλίου: α) Α :,5 /σελ. 7, Β : /σελ. 7 β) Α. /σελ. 8, γ) Β : i), σελ

6 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ «Θέµατα» Άσκηση GI_V_ALG 785 [Παράγραφος.] Ο Κώστας έχει τρία αιδιά. ύο δίδυµα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση όσων χρονών είναι τα αιδιά του αάντησε ως εξής:. Το άθροισµα των ηλικιών και των τριών αιδιών είανι.. Το γινόµενο της ηλικίας της κόρης µου εί την ηλικία του γιου µου είναι.. Το άθροισµα των ηλικιών των κοριτσιών είναι µικρότερο αό την ηλικία του αγοριού. α) Να γράψετε τις εξισώσεις ου εριγράφουν τα στοιχεία. και. ου έδωσε ο Κώστας. (Μονάδες ) β) Να βρείτε τις ηλικίες των αιδιών του Κώστα. (Μονάδες 5) ΛΥΣΗ: Έστω ότι οι ηλικίες των δύο δίδυµων κοριτσιών χαρακτηρίζονται αό τις µεταβλητές x και y, ενώ η ηλικία του αγοριού αό την µεταβλητή z. Τότε θα ισχύει: α) Το στοιχείο. εριγράφεται αό την εξίσωση : x + y + z, µε x y µιας και αριστάνουν τις ηλικίες των δίδυµων αιδιών. Το στοιχείο. εριγράφεται αό την εξίσωση: x z. β) Για να υολογίσουµε τις ηλικίες των αιδιών του Κώστα ειλύουµε το αρακάτω σύστηµα εξισώσεων: x y x y z + + x + z z x z x z x x z x z x z x ( x) x x x + y < z z x z x Αν x τ ό τε z 8 x ր x x +, Αν x τ ό τε z ց 6 Οότε οι ηλικίες των δίδυµων ρέει να είναι και του αγοριού 8, διότι ισχύει: +<8, ενώ στην αντίθετη ερίτωση, δηλαδή η ηλικία των δίδυµων και του αγοριού 6 θα είχαµε: +>6, ράγµα αδύνατο αό την σχέση x + y < z. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για τα β) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τις µεθόδους είλυσης µη γραµµικών συστηµάτων, στις σελ

7 Παρόµοια άσκηση βιβλίου: α) Α :, και Β : /σελ. 7. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ «Θέµατα» Άσκηση GI_V_MATHP 86 [Παράγραφος. &.] ίνονται οι ευθείες ( ) σηµείο Α(,-) ε : λ x+ y 5, ε :( λ + ) x y 5 µε λ R και το α) Να αοδείξετε ότι, για κάθε τιµή του λ R οι ευθείες τέµνονται. (Μονάδες 7) β) Αν οι ευθείες τέµνονται στο σηµείο Α, να βρείτε την τιµή του λ R. (Μονάδες ) γ) Έστω λ και Β, Γ τα σηµεία ου οι ε και ε τέµνουν τον άξονα y y. Να βρείτε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. (Μονάδες 8) ΛΥΣΗ: α) Είναι ( ) ( ) ε : λ x + y 5 λ x + y 5 ( ) ( ) ε : λ + x y 5 λ + x y 5 λ + + λ + D λ λ + λ+ λ λ λ Είναι ( ) ( ) Έχουµε ( ) ( )( ) Άρα 8 < λ λ D για κάθε λ R οότε το σύστηµα των εξισώσεων των ε έχει µοναδική λύση δηλαδή οι ευθείες τέµνονται 5 β) Dx λ 5 ( ) ( ) Dy 5 λ 5 λ + λ 5 5λ 5 5λ + λ λ + 5 Οι λύσεις του συστήµατος των εξισώσεων των ε και ε είναι ε και 7

8 x D D λ λ λ + λ + x Dy 5λ + λ 5λ λ + D λ λ λ + λ+ y + + Αφού το σηµείο Α(,-) είναι το σηµείο τοµής των ε και ε έχουµε x λ + λ + λ + λ + y 5λ λ + 5λ λ + λ λ λ + λ λ + λ 8 λ + λ 8 () 6λ 8λ+ λ λ+ 6 () Για την () έχουµε + 6 άρα λ, ± 6 λ λ Για την () έχουµε 96 9 άρα Η κοινή λύση των () και () είναι λ λ, ± λ 8 λ 6 γ) Για λ η εξίσωση της ε γράφεται x + y 5 () Για λ η εξίσωση της ε γράφεται 7x y 5 () Για x η () y 5 y 5άρα η ε τέµνει τον y y στο σηµείο Β(,5) Για x η () y 5 y 5 άρα η ε τέµνει τον y y στο σηµείο Γ(,-5) Έτσι λοιόν είναι AB (,6) και AΓ (, ) 6 ΑΒΓ det AB, AΓ 8 + τ.µ. Οότε ( ) ( ) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για τα α) και β) ερωτήµατα χρησιµοοιούµε τη θεωρία για τη γενική µορφή εξίσωσης ευθείας, στις σελ Για το γ) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τον τύο εµβαδού τριγώνου, στη σελ.7. Παρόµοια άσκηση βιβλίου: α) Α :5 /σελ. 69, Β : /σελ. 7 β) Β. /σελ. 7, γ) Α : 7, σελ

9 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΥΣΚΟΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ «Θέµατα» Άσκηση GI_V_MATHP 86 [Παράγραφος. &. &.] ίνονται τα σηµεία Α,, ( ) Β, και µ Γ µ, όου µ R α) Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων ΑΒ και ΒΓ. (Μονάδες 8) β) Να αοδείξετε ότι για κάθε µ R το σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία ου διέρχεται αό τα σηµεία Α και Β. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε την τιµή του µ έτσι, ώστε µβγ ΑΒ. (Μονάδες 6) δ) Για την τιµή του µ ου βρήκατε στο ερώτηµα γ), να αοδείξετε ότι ( ΟΒΓ) όου Ο είναι η αρχή των αξόνων. (Μονάδες ) ΛΥΣΗ: α) Είναι ΑΒ, +, και µ µ ΒΓ µ, + µ, β) Αρχικά βρίσκουµε την εξίσωση της ευθείας (ε) ου διέρχεται αό τα σηµεία Α και Β Είναι λ ε λ ΑΒ ε : y yb λε x xb y + x y x () Οότε ( ) ( ) ( ) Για y µ yγ και Γ x x µ η () µ µ µ µ ου ισχύει Άρα για κάθε µ R το σηµείο Γ ανήκει στην ευθεία (ε) γ) Είναι µ µ µ µβγ ΑΒ µ µ,, µ µ,, µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ 9

10 ( ) + µ µ µ µ µ δ) Για µ είναι Γ, οότε ΟΒ (, ) και ΟΓ, ΟΒΓ det OB,OΓ + τ.µ. Έτσι λοιόν ( ) ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ: Για το α) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τη θεωρία για τις συντεταγµένες διανυσµάτων, στη σελ.. Για το β) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τη θεωρία για την εξίσωση ευθείας, στις σελ Για το γ) ερώτηµα χρησιµοοιούµε την θεωρία για την ισότητα διανυσµάτων µε την βοήθεια των συντεταγµένων τους, στις σελ.-5. Για το δ) ερώτηµα χρησιµοοιούµε τον τύο εµβαδού τριγώνου, στη σελ.7. Παρόµοια άσκηση βιβλίου: β) Α. /σελ. 9, δ) Α : 7, σελ. 75.