Outline. (strain) !!! Rouse ! PASTA
|
|
- Κύμα Λαγός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Outline!!! Rouse! : Zimm ( )!!! PASTA (strain)
2 (shear deformation) x! h! h! h shear strain! γ = x h x/h! x/h h 1! x 1! x 1 h 1 = x x! h! x 1! h 1! h (uniaxial elongation) L 0! ΔL! Cauchy strain! ε C = ΔL L 0 = L L 0 L 0! ΔL/L L! ε C = L 0! ΔL! L 0 ΔL! L! L
3 L 0! L 0! ΔL! ΔL! 1 L! L! L 0! 1 L 0! ΔL 1+ =3L 0! L ΔL 1 =L ε 0! C1 = 0! = 1! L0! 3L ε C1+ = 0! = 3! L0! ε C = ΔL L 0 = ΔL L 0 ΔL! L 0! εc L 0! = = 1! L 0! ΔL =L 0! ε C1 + ε C L! 4L 0! L 0! Hencky strain! ε = ln L L 0 L! ε = ln 1 L 0! ε L 0! 1 = ln = ln! L 0! 1 4L ε 1+ = ln 0! = ln 4! L0! = ln! ln log e natural logarithm! L 0! ε 4L = ln 0! = ln! L 0! = ε 1 + ε ln xy = ln x + ln y 4L 0!
4 1 L 0! L 1! L! ε 1 = ln L 1 L 0 ε = ln L L 1 ε 1+ = ε 1 + ε 1 ε 1+ = ln L L 0 ε 1 + ε = ln L 1 L 0 + ln L L 1 = ln L 1 L 0 L L 1 = ln L L 0 y = e x ε C = ΔL L 0 ΔL = L L 0 ε = ln L L 0 = ln L 0 + ΔL L 0 ε = ln( 1 + ε C ) ε C = e ε 1 x = ln y = ln 1+ ΔL L 0 1+ ε C = e ε Taylor e ε = 1 + ε + 1! ε + 1 3! ε 3 + ε 1 e ε 1+ ε ε C = e ε 1 ( 1+ ε) 1 = ε ε 1 ε C ε Cauchy Hencky Cauchy strain ε c ε C = e ε Hencky strain ε ε C = ε D 0! D! (Poisson s ratio)! z-x,y- L 0! L! ε = ln L L 0 > 0 ( L > L 0 ) ε = ln D D 0 < 0 ( D < D 0 ) ν = ε ε ν > 0
5 L 0 D 0 = LD ε = ln L = ln D 0 L 0 D L = D 0 L 0 D = ln D 0 D = ln D D 0 = ε L L 0 L = L 0 e ε = L 0 (1+ ε C )! λ L L 0 = e ε = 1 + ε C ε = lnλ ν = ε ε = ν 1 y = ln x x = e y ln xy = ln x + ln y ln x < 0 0 < x < 1 ln x > 0 x > 1 lne = 1 ln 1 = 0 strain rate! = [1/s]! h! x! shear rate! γ dγ dt γ = x γ = v w h h [1/s]! x! v w x dx dt
6 1cm 1mm/s h = 1 [cm]! x = v w t = 5 [mm] h! v w = 1 [mm/s] γ = v w h = 1 [mm/s] = 1 [mm/s] 1 [cm] 10 [mm] γ = 0.1 [1 / s]! t = 5 ( ) ( 5 [s]) = 0.5 γ = γ t = 0.1 [1/s] h! 0! y! v w v x (y) x! γ = v w γ = v x y y y v x (y) = ay h a v x (h) = v w v x (y) = v w h y v x (y) = γ y = ε dε dt ε(t) = ln L(t) ε(t) = 1 dl(t) L 0 L(t) dt stress ε L(t) = L 0 e εt 1 4!
7 S! F! S! S! F! F! : S! : F! F! F! F! σ = F S shear stress! = [Pa] = [N/m ]! σ = F S σ = F S = F S σ = F S S! F! σ E = F S S S true stress S 0! engineering stress! Hencky true strain! Cauchy engineering strain! σ xy = F x S y y! x σ yz, σ zx, σ yx, σ zy, σ xz σ xy = σ yx, σ zx = σ xz, σ zy = σ yz σ zx = σ xz = 0, σ zy = σ yz = 0 σ xy = σ yx 0 σ xx 0 y! x! S y! F x!
8 y! F! σ xx = x x σ yy, σ zz F! p x! σ xx = σ yy = σ zz = p x F σ xx = F x S p σ E = F x S = σ xx σ yy! t σ(t) γ(t) σ(t) = Gγ (t) σ E (t) = Eε(t) G: E: G, E [Pa]! shear modulus! Young s modulus! E = G( 1+ ν) ν = ν = 1/ E = 3G! t σ(t)! γ (t) σ(t) = η γ (t) σ E (t) = η E ε(t) η: shear viscosity! η E : (viscosity) [Pa s]! η E = 3η
9 !! ~00 GPa!! ~80 GPa! ~3 GPa!!! ~1 MPa! stress relaxation ~ 10-3 Pa s = 1 mpa s! γ(t)! γ 0! 0! σ(t)! 0! t! t! t=0 γ 0 γ 0! γ 0! σ(t) γ 0! γ 0 σ(t) σ(t) γ 0 G(t) σ(t) γ 0 γ 0! relaxation modulus!
10 G(t)! 0! t! G(t)! 0! t! γ 0! γ(t)! σ (t)! 0! T! t! γ (t) = γ 0 cosωt ω = π T σ(t) = Gγ (t) = Gγ 0 cosωt 0! t! T = γ 0 = σ(t) = η γ (t) = ηωγ 0 sinωt σ 0! γ(t) or σ(t)! δ γ (t) = γ 0 cosωt 0! T! t [s]! δ& σ(t) = σ 0 cos( ωt + δ ) π! ωt [radian]! δ = 0! δ = π/! 0 < δ < δ/!
11 ( ) σ(t) = σ 0 cos ωt + δ ( ) = σ 0 cosδ cosωt sinδ sinωt [ ] σ(t) = γ 0 G (ω)cosωt G (ω)sinωt G (ω) σ 0 cosδ γ 0 G (ω) σ 0 sinδ γ 0! storage modulus!! loss modulus! [Pa]! γ 0! γ 0 σ 0 G (ω), G (ω) γ 0 ω σ(t) = Gγ (t) = Gγ 0 cosωt σ(t) = ηγ (t) = ηωγ 0 sinωt [ ] σ(t) = γ 0 G (ω)cosωt G (ω)sinωt (loss tangent)! tanδ G (ω) G (ω) G (ω) = G, G (ω) = 0 δ = 0 G (ω) = 0, G (ω) = ηω δ = π / tanδ < 1: G (ω) < G (ω) tanδ > 1: G (ω) > G (ω) ω G' (ω), G"(ω)! log G(ω)! G (ω) G (ω) e iθ cosθ + isinθ e i ( θ 1 +θ ) = e iθ 1 e iθ Euler -1! i! sin θ! 0! e iθ! θ cos θ! 1! tan δ = 1! tan δ > 1! tan δ < 1! log ω! d dt eiωt = iωe iωt -i!
12 ( )( cosθ + isinθ ) e iθ 1 eiθ = cosθ 1 + isinθ 1 = cosθ 1 cosθ sinθ 1 sinθ +i( sinθ 1 cosθ + cosθ 1 sinθ ) = cos( θ 1 + θ ) + isin( θ 1 + θ ) d dt eiωt = e i ( θ 1 +θ ) ( cosωt + isinωt ) = d dt = ω sinωt + iω cosωt = iω(cosωt + isinωt) = iωe iωt γ (t) = γ 0 cosωt γ (t) = Re γ * (t) ( ) σ(t) = σ 0 cos ωt + δ γ * (t) γ 0 e iωt σ * i(ωt +δ ) (t) σ 0 e σ(t) = Re σ * (t) σ * (t) = σ 0 e i(ωt +δ ) = σ 0 e iδ e iωt = σ 0 e iδ γ 0 e iωt γ 0 σ * (t) = G * (ω)γ * (t) G * (ω) σ 0 γ 0 e iδ G (ω) σ 0 cosδ G (ω) σ 0 sinδ γ 0 γ 0 G * (ω) σ 0 γ 0 e iδ = σ 0 γ 0 ( cosδ + isinδ ) G * (ω) = G (ω) + i G (ω) σ * (t) = G * (ω)γ * (t) = G * (ω)γ 0 e iωt = ( G (ω) + i G (ω))γ 0 cosωt + isinωt ( ) [ ] σ(t) = Re σ * (t) = γ 0 G (ω)cosωt G (ω)sinωt
13 Maxwell σ 1 (t) = Gγ 1 (t) γ 1 (t) = 1 G σ 1(t) = 1 G σ(t) γ 1 (t) = 1 G σ(t) σ 1 σ σ (t) = η γ (t) γ (t) = 1 η σ (t) = 1 η σ(t) G! η& σ 1 σ σ γ 1 γ σ 1 (t) = Gγ 1 (t) σ (t) = η γ (t) G! η& γ 1 γ γ σ γ (t) = γ 1 (t) + γ (t) σ(t) = σ 1 (t) = σ (t) γ (t) = γ 1 (t) + γ (t) dσ(t) dt γ (t) = γ 1 (t) + γ (t) + 1 dγ (t) σ(t) = G τ dt = 1 G σ(t) + 1 η σ(t) G τ η G γ 1 (t = +0) = γ 0 γ (t = +0) = 0 γ(t)! 0! σ(t = +0) = σ 1 (t = +0) = Gγ 1 (t = +0) = Gγ 0 t > 0 γ (t) = γ 0 dσ(t) dt + 1 τ σ(t) = 0 dσ(t) dt t /τ t > 0 σ(t) = Gγ 0 e γ 0! dγ (t) = 0 dt = 1 τ σ(t) t! t /τ σ(t) e G(t) = σ(t) γ 0 = Ge t /τ G(t) = Ge t /τ t > 0 0 t < 0 τ = η G G(t)! G! 0! η = Gτ G(t)! G! G/e! 0! τ& G(t)! t! t! 0! t!
14 γ 1 (t)! γ 0! γ (t)! γ 1 (t)! 0! t! γ (t)! γ 0! σ 1 (t) = Gγ 1 (t) =! σ(t) =! σ (t) = ηγ (t) log G(t) 10G G 10 1 G 10 G 10 3 G 10 4 G G(t) 10 5 G 10 3 τ 10 τ 10 1 τ τ 10τ 10 τ 10 3 τ log t G(t) G 0.8G 0.6G 0.4G 0.G G(t) 0! t! 0 0 τ τ 3τ 4τ 5τ 6τ t Maxwell! γ (t) = γ 0 cosωt dσ(t) dt + 1 dγ (t) σ(t) = G τ dt [ ] σ(t) = γ 0 G (ω)cosωt G (ω)sinωt (1) (1) G (ω), G (ω) (1) dσ * (t) dt γ * (t) γ 0 e iωt + 1 τ σ * (t) = G dγ * (t) dt γ (t) = Re γ * (t) (1*) * (t) (1*) d Re σ * (t) dt + 1 τ Re σ * (t) σ(t) Re σ * (t) = G d Re γ * (t) dt (1*) σ * (t) (1) (1 * )
15 (1*) γ * (t) γ 0 e iωt dσ * (t) dt (1*) + 1 τ σ * (t) = Gγ 0 iωe iωt σ * (t) = σ 0 * e iωt σ 0 * iω + 1 τ eiωt = Gγ 0 iωe iωt σ * 0 = G iω iω + 1 γ 0 = G iωτ 1 + iωτ γ 0 τ (1*) σ * (t) = σ * 0 e iωt = G iωτ 1+ iωτ γ 0e iωt = G * (ω)γ * (t) G * (ω) = G iωτ 1 + iωτ = G iωτ ( 1 iωτ ) ( 1 + iωτ )( 1 iωτ ) = G iωτ + ω τ 1 + ω τ = G (ω) + i G (ω) G (ω) = G ω τ G (ω) = G ωτ 1+ ω τ 1+ ω τ G'(ω), G''(ω) G 0.8G 0.6G 0.4G 0.G τ τ G'(ω) G''(ω) 3 τ 4 τ ω 5 τ 6 τ 7 τ 8 τ G'(ω)/G, G''(ω)/G log ωτ log G'(ω), log G"(ω) 10G G 10 1 G 10 G 10 3 G 10 4 G 10 3 τ G''(ω) 10 τ 10 1 τ 1 τ log ω 10 τ G'(ω) 10 τ 10 3 τ
16 T T 0 G(t,T ) = G(t / a T,T 0 )! T > T 0 a T < 1! T < T 0 a T > 1 Langevin Einstein b b 1 R b N N R = b j + b j b k j=1 b R = b 1 + b + b b N b j = 0 b j = b b j b k = 0 j k j k R = Nb Δt t N N = t Δt R(t) = Nb = 6Dt D = b 6Δt
17 k ' ' = 0 ζ x kx + f (t) = 0 f (t 1 ) f (t ) = Aδ(t 1 t ) lim t x = 1 τ x + 1 ζ f (t) x(t = 0) = 0 x(t) = 1 ζ 0 t e (t t )/τ f ( t )d t x(t) = 1 dt ζ 1 dt 0 0 = A ζ 0 ---(*) dt 1 e (t t 1)/τ e (t t 1)/τ (t t )/τ = A τ ζ τ ζ k (*) f (t 1 ) f (t ) x(t) x = A τ 0 ζ = A k kζ x = A 0 4ζ k x = 1 0 k BT A = ζ k B T f (t 1 ) f (t ) = ζk B Tδ(t 1 t ) : k=0 ζ x + f (t) = 0 x(t = 0) = 0 x(t) = 1 f ( t )d t ζ 0 x(t) = 1 t t dt ζ 1 dt f (t 1 ) f (t ) 0 0 = A t dt ζ 1 = A 0 ζ t = k T B ζ t Dt D = k B T ζ t x = 1 ζ f (t) D ζ
18 l 110 l 0 M = 10 n ~ 7000 L max ~ m 1mm 3m or 50:50 l R! R 0 = C nl n n= C = 6.7 l =1.54 A n 7000 R 300A R!
19 10 cm mm 3 m 9000 D=300 4π D ρ 3 = ~ 80 M / N A 3 r 1! r 3!! r! l 0 = lcos! r j r l j+k 0 0 e k /m n λ 110 l = 1.54A! R = r r 0 i j n r i r i+k 0 ij 0 + k= = nl 0 1+ e 1/m 1 e 1/m R nl0 m C 0 = m cos θ λ ml 0 = C cosθ l b R = C 0 nl Nb L max = nl 0 Nb Kuhn b R 0 L max Kuhn = C l cosθ = λ n K n N = C cos θ n K ~ 10 (PE) n K ~ 15 N b (PS) n K
20 r! k = 3k BT r 0 3 r P(r) exp r r 0 P(r) exp U(r) k B T U(r) = 3k BT r = 1 r kr 0 = 3k BT b f = U r = kr r! k! r! 3kBT 1 k = r n r! r! K k = 3k B T b ζ r j k ( r j+1 r j ) k ( r j 1 r j ) + f j (t) = 0 f iα (t) f jβ ( t ) = ζk B Tδ αβ δ(t t )
21 k N f! R! R ζ N Nζ ζ N R k N R + f(t) = 0 k N = 3k B T R f = k N R k N = 3k B T Nb 1 N k N! x! d x dt ζ N dx dt k N x + f (t) = 0 = k N x x exp ζ N t τ ζ N Nζ τ R = ζ N k N k N k B T R 0 Nζ Nb k B T = k B T Nb τ ζ N k N τ R ζb N k B T N
22 G! ν = G νk B T ν = σ αβ = νk N R α R β Rouse ν = R R y SR y νr y S σ xy = νr y F x σ xy = νk N F x = k N R x R x R y G R σ xy = νk N R x R y = R y R x γr y R x = R x +γr y R y R y = νk N (R x +γr y )R y 0 = ν 3k BT R R γ y 0 0 = νk B Tγ Gγ R R x R y 0 = 0 k N = 3k BT R G = νk B T R
23 G η 0 & G νk B ρ ν = M / N A ρrt T = M η 0 ~ Gτ R N 1 M 1 N Einstein τ R ζb N k B T D G ~ k BT ζ N D G τ R ~ Nb = R 0 R 0 N τ R N ~ k BT Nζ D G 1 N R 0! N 1/N D G 1/ N logτ τ R N log M logη 0 η 0 1 N log M log DG -1 1 D G N log M
24 Θ M < M e! M > M e! Zimm Rouse R 0 R 0 N α b Θ 1/ = 0.5 α = ~ 3 / 5 = 0.6 Θ ( ) k N k BT R 0 ζ N η s R 0 τ ζ N ~ η R 3 s 0 k N k B T
25 η = η s +η p G ~ νk B T η p ~ Gτ ~ η s νr 0 3 ~ η s φ [ η] η η s ~ R 3 0 cη s N η s = 3 φ ~ νr 0 c = = Nν D G ~ k BT ζ N D G τ ~ R 0 ~ k BT η s R 0 τ ~ η 3 sr 0 k B T N 3α = N 3/ N 1.8 [ η] ~ R 3 0 N N 3α 1 = N 1/ N 0.8 D G ~ k T B N α = N 1/ η s R 0 N 0.6 Θ Θ Θ
26 Rouse logτ logη 0 log D G ~3.5 log M 1 ~3.5 log M -1 -? log M M e
27 a! a! M < M e M > M e M M e a Me N e b N e = ( ) a ~34 a ~8 Z Z M M e L = Za a R 1 Z! R 0 = Nb = Za a
28 τ e τ e Me = Rouse t t = 0 =τ e τ e ζb N e k B T ~ ζa4 k B Tb 1 1 D c τ d L L = Za N ~ L τ d D c ~ k BT Nζ 1 N τ d N 3
29 D c τ d τ d ~ L τ d ~ ζb k B T N 3 N e ~ τ e Z 3 D c ~ k T B Nζ L = Za τ R ~ ζb k B T N ~ τ e Z D G τ d ~ R 0 3 τ d N R 0 = Nb D G ~ k B T ζ t = 0! N e N 1 N ~ R 0! t ~ τ d R 0! Me G η 0 & ν = ρ ν = M e / N A G ν k T = B ρrt M e η 0 ~ Gτ d N 3
30 σ αβ = G λ n α n β n λ L L 0 = L Za τ d ~ ζb k B T G ~ ρrt M e M 0 η ~ Gτ d M 3 D G ~ k B T ζ N 3 N e ~ τ e Z 3 M 3 N e N 1 M logτ ~3.5 3 log M logη 0 1 log M log DG -1 ~ ? log M Rouse 3 τ R N << τ d N M e
31 h(γ)! G( t, γ ) γ ~ 0 h(γ ) γ : t ~ = τ0! R d! t! γ& η 0 M 3 η 0 M 3.5
32 CLF (Contour Length Fluctuation) primitive path η 0 M 3 η 0 M 3.5 CR (Constraint Release) CCR (Convective CR) CCR CCR CCR CCR CCR
33 CLF ( CR () PASTA CLF CR Slip-link! CLF CR Virtual slip-links! each polymer moves in its own virtual space!
34 (1)Afine deformation! ()Contour Length Fluctuation! (3)Reptation! (4)Constraint Renewal (CR)! Assumptions" Binary entanglement! Entanglement points move affinely! Higher order Rouse modes are ignored! Z M M e τ R = τ Z e τ d ~ τ ez 3 stress σ Z=60 Z=30 Z=10 Z= shear rate γ 0.13! (MLD)! stress 10 1 Linear Z= N σ shear rate Mead, Larson, Doi, Macromolecules,31, 7895 (1998)!
35 7000 多分散試料での予測 weight = (number of chains)*z PS686 Mw = 80 k Mw/Mn = Zw = 0.4 Zw/Zn = Z=M/M e G', G" [Pa] G' (sim.) G" (sim.) G' (exp.) G" (exp) PS C τ e =. ms G e = 0.5 MPa ωa T [rad/s] つのモデルパラメタを決定 η E + (t) [Pa s] フィッティングパラメタ無しで定量的に予測可能 PS C t [s] (1/s) 0.13(1/s) 0.055(1/s) 0.011(1/s) 3η 0 (exp.) simulation simulation simulation simulation 3η 0 (sim.) A. Minegishi et al.,! Rheol. Acta, 40(4), 39 (001)!
36 10 7 PS C 10 7 PS C η B + (t) [Pa s] [1/s] 0.05 [1/s] [1/s] 0.5 [1/s] sim /s sim /s sim /s sim /s t [s] A. Nishioka et al.,! J. Non-Newtonian Fluid! Mech. 89, p.87 (000).! η P + (t) [Pa s] [1/s] 0.03 [1/s] [1/s] 0.3 [1/s] sim /s sim /s sim /s sim /s t [s] A. Nishioka et al.,! J. Non-Newtonian Fluid! Mech. 89, p.87 (000).! weight = (number of chains)*z PS686 30k 1.5wt% Z=M/M e η E + (t) [Pa s] k 1.5wt% / PS C 0.57(1/s) 0.097(1/s) 0.047(1/s) 0.013(1/s) 3η 0 simulation simulation simulation simulation t [s] ひずみ硬化性の増強を定量的に予測 A. Minegishi et al.,! Rheol. Acta, 40, 39 (001)!
37 直鎖高分子と星形高分子 の比較 shear viscosity Za=36 Za=30 Z=30 Za=0 Z=80 Z=60 Z=0 Za=10 Z Za dominated by CCR! Z= shear rate zero-shear viscosity η Star Linear η 0 Z Z linear or Z arm η η 0 exp(βz a ) β ~ Z a
38 G(t, γ) Linear polymer! Star polymer! 10 0 γ= γ= γ= γ= γ=8 Linear Z=0 γ= t G(t,γ) 10 0 γ= γ=0.5 γ= 10 - γ= γ=8 Star Za=10 γ= t G(t,γ) γ=16 γ=8 γ=4 γ= γ=0.5 γ=1 Linear Z= t G(t,γ) γ=16 γ=8 γ=4 γ= γ=0.5 γ=1 Star Za= t h(γ) Linear Z=0 Star Za=10 DE γ η + E (t) Linear Z=0 1e- 4e-3 e-3 1/τ R =.5e t 1e-3 τ R =400 1e-4 e-4 4e-4
39 η + E (t) Star Za=10 1e- 4e-3 e t e-5 e-4 1e-4 1e-3 τ R =400 1/τ R =.5e-3 4e-4 直鎖高分子と星形高分子の! 線形レオロジーは大きく異なるが! 非線形レオロジーはきわめて類似 非線形粘度! ダンピング関数! 一軸伸長粘度の非線形性 ( ひずみ硬化 ) CLF と CCR は直鎖と星形に同等に働く Reptation, CLF, CR の 3 つの運動 " を考慮した stochastic simulation" " 直鎖 星形高分子について 多くのの線形 非線形レオロジーを定量的に予測可能 " " 超高分子量成分によるひずみ硬化性の増強 " " 直鎖と星形の非線形レオロジーの類似 star! linear! H! pompom! comb! general!
Αγαπητέ κύριε Ιωάννου, 佐藤太郎様 Λιγότερο επίσημη επιστολή, ο αποστολέας είχε ήδη πάρε-δώσε με τον παραλήπτη προηγουμένως Αγαπητέ Ιωάννη, 佐藤太郎様 Ανεπίσημη
- Εισαγωγή ελληνικά ιαπωνικά Αξιότιμε κύριε Πρόεδρε, Εξαιρετικά επίσημη επιστολή, ο παραλήπτης έχει ένα ειδικό τίτλο ο οποίος πρέπει να χρησιμοποιηθεί αντί του ονόματος του Αγαπητέ κύριε, Επίσημη επιστολή,
Διαβάστε περισσότερα= f(0) + f dt. = f. O 2 (x, u) x=(x 1,x 2,,x n ) T, f(x) =(f 1 (x), f 2 (x),, f n (x)) T. f x = A = f
2 n dx (x)+g(x)u () x n u (x), g(x) x n () +2 -a -b -b -a 3 () x,u dx x () dx () + x x + g()u + O 2 (x, u) x x x + g()u + O 2 (x, u) (2) x O 2 (x, u) x u 2 x(x,x 2,,x n ) T, (x) ( (x), 2 (x),, n (x)) T
Διαβάστε περισσότεραInstrument Blood Current Measuring Instrument. Brain Wave Measuring Instrument. (frequency) f. log. 1/f
FM BS BS531ch 232ch 231ch 1 2 1 Blood Pressure Instrument Temperature Measuring Instrument Blood Current Measuring Instrument Brain Wave Measuring Instrument (frequency) f log 1/f 2 1 Type [AA] 2 Type
Διαβάστε περισσότεραΣε αυτό το πλαίσιο, η κεντρική Al di là ερώτηση di ciò che που già è δίνει κίνητρο σε αυτήν attorno την εργασία alla είναι... quale ruota q 大まかなプロフィール
書き出し - 導入 ギリシャ語 イタリア語 Σε αυτήν την εργασία/διατριβή Nel presente θα studio/saggio αναλύσω/εξετάσω/διερευνήσω/αξιολογήσω... esaminare/investigare/anal 論文やエッセイの一般的な書き出し Για να απαντήσουμε αυτή Per την poter
Διαβάστε περισσότεραHDVG1 070-A
HDVG1 HDTV 070-A761-50 www.tektronix.com Copyright Tektronix Japan, Ltd. All rights reserved. 141 0001 5 9 31 TektronixTek Tektronix, Inc. HDVG1 HDTV HDVG1 HDTV i v ix 1 11 11 12 12 14 2 21 22 22 23
Διαβάστε περισσότεραΣυγχαρητήρια για τον αρραβώνα Van harte σας! gefeliciteerd Έχετε ήδη αποφασίσει την ημέρα jullie του γάμου al een σας; datum voor d 最近婚約した仲の良いう友達を祝福し
お祝い お悔やみ - 結婚 Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε Van harte όλη την gefeliciteerd. ευτυχία W του κόσμου. de wereld. 最近結婚した夫婦を祝う時 Θερμά συγχαρητήρια για Gefeliciteerd τους δυο σας αυτήν en de beste την ημέρα του
Διαβάστε περισσότεραDVG1 070-A
DVG1 070-A643-50 www.tektronix.com Copyright Tektronix Japan, Ltd. All rights reserved. 141 0001 5 9 31 TektronixTek Tektronix, Inc. DVG1 DVG1 ii v viii ix xi 1 11 11 12 13 13 15 2 21 21 22 3 SCPI (OUTPut)
Διαβάστε περισσότερα新聞で貴社の募集広告を拝見し 応募いたしました Θέλω να υποβάλω αίτηση για τη θέση του... που διαφημίστηκε στην... στις... Standard formula for applying for a job whose adver
- Opening Formal, male recipient, name unknown Αξιότιμε κύριε, Formal, female recipient, name unknown Αξιότιμη κυρία, Formal, recipient name and gender unknown Αξιότιμε κύριε/ κυρία, Αγαπητοί κύριοι και
Διαβάστε περισσότεραAVG1 070-A
AVG1 070-A641-50 www.tektronix.com Copyright Tektronix Japan, Ltd. All rights reserved. 141 0001 5 9 31 TektronixTek Tektronix, Inc. AVG1 AVG1 i v viii ix xi 1 11 11 12 12 13 14 2 21 21 22 3 SCPI (OUTPut)
Διαβάστε περισσότεραMüller & Sohn GmbH Herrn Peter Müller Falkenstraße Hamburg Deutschland Müller & Sohn GmbH Herrn Peter Müller Falkenstraße Hamburg De
ビジネス文書 - 住所 Mr. J. Rhodes Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 California Springs CA 9292 アメリカの住所のフォーマット : 宛名
Διαβάστε περισσότεραA 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Διαβάστε περισσότεραChúc mừng hai bạn đã đính Συγχαρητήρια hôn? Các bạn για đã τον αρραβ chọn ngày cho đám cưới αποφασίσει chưa? την ημέρα του γ 最近婚約した仲の良いう友達を祝福し 結婚式はいつか
お祝い お悔やみ - 結婚 Chúc hai bạn hạnh phúc!συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστ κόσμου. 最近結婚した夫婦を祝う時 Chúc mừng hạnh phúc 最近結婚した夫婦を祝う時 hai Θερμά bạn! συγχαρητήρια για του ημέρα του γάμου σας. Chúc mừng bạn đã đưa chàng
Διαβάστε περισσότεραはじめに 1. 保存則導出の新しい手法. Open-loop. π μ - E-L. * ** *** Received, March, ρ (, ) μ μ
****** はじめに - - * ** *** Reeved, Mar, Oe-loo. 保存則導出の新しい手法 [, T ] ( T < ) [, T ) ( T ) T t e U u (, ) ( u, ) ( ( t)) (,, k) d / u( u ( t)) (, l, ) ( ) ( ( t)) L e U + ( ) - E-L a d L L H : + e d L L H :
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΤαξίδι Γενικά. γερμανικά
- Τα απαραίτητα Können Sie mir bitte helfen? 助けていただけますか? Παράκληση για βοήθεια Sprechen Sie Englisch? 英語を話せますか? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Sprechen Sie _[Sprache]_? _ を話せますか? Ερώτηση σε πρόσωπο
Διαβάστε περισσότεραΚαλά, ευχαριστώ. (Kalá, efharstó.) Φιλική απάντηση στο ερώτημα «Τι κάνεις;» 元気です Πώς σε λένε; (Pos se léne?) お名前はなんですか? Ερώτηση σχετικά με το όνομα εν
- Τα απαραίτητα Μπορείτε να με βοηθήσετε; (Borίte na me voithίsete?) Παράκληση για βοήθεια 助けていただけますか? Μιλάτε αγγλικά; (Miláte agliká?) 英語を話せますか? Ερώτηση σε πρόσωπο αν μιλά αγγλικά Μιλάς _[γλώσσα]_; (Milás
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραAl1 = ALONE, catalogue, Tokyo, by Yannis Kolokotronis, 2008
Al1 = ALONE, catalogue, Tokyo, by Yannis Kolokotronis, 2008 During the last decade the emphasis has been shifted from the narrow prospect of morphological analysis to the social dimension of existence.
Διαβάστε περισσότεραMüller & Sohn GmbH Herrn Peter Müller Falkenstraße Hamburg Deutschland Mr. N. Summerbee Tyres of Manhattan. 335 Main Street New York NY 92926
ビジネス文書 - 住所 ギリシャ語 Mr. J. Rhodes Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 California Springs CA 9292 アメリカの住所のフォーマット
Διαβάστε περισσότεραCelia Jones, TZ Motors, Celia 47 JonesHerbert Street, Floreat, Perth WA Herbert Street Floreat Perth WA 6018 Αυστραλέζικη γραφή διεύθυνσης: Αρ
- Διεύθυνση 123-1234 東京都渋谷区代々木 1234 佐藤太郎様 Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας, Πόλη. Mr. N. Summerbee 335 Main Street New York NY 92926 Jeremy Rhodes,
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά κύματα που απομακρύνονται
Διαβάστε περισσότεραCongratulations and warm wishes to both of you on your wedding day. Congratulations on saying your "I do's"!
お 祝 い お 悔 やみ : 結 婚 Congratulations. Wishing the both of you all the happiness in the world. Συγχαρητήρια. Σας ευχόμαστε όλη την ευτυχία του κόσμου. 最 近 結 婚 した 夫 婦 を 祝 う Congratulations and warm wishes
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Ενέργεια Συστήματος Εικόνα: Στη φυσική, η ενέργεια είναι μια ιδιότητα των αντικειμένων που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλα αντικείμενα ή να μετατραπεί σε διάφορες μορφές, αλλά δεν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραFloreat Perth WA 6018 Australian address format: Name of province Town/city name + postal code Celia Jones, TZ Motors, 47 Perth WA 6018 Alex Marshall
- Address Κυρ. Ιωάννου Οδ. Δωριέων 34 Τ.Κ 8068, Λάρνακα Standard English Address format: name of recipient street number + street name name of town + region/state + zip/postal code. 123-1234 東京都渋谷区代々木
Διαβάστε περισσότεραMechanics of Materials Lab
Mechanics of Materials Lab Lecture 9 Strain and lasticity Textbook: Mechanical Behavior of Materials Sec. 6.6, 5.3, 5.4 Jiangyu Li Jiangyu Li, Prof. M.. Tuttle Strain: Fundamental Definitions "Strain"
Διαβάστε περισσότεραDr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACEG
Lecture 4 Material behavior: Constitutive equations Field of the game Print version Lecture on Theory of lasticity and Plasticity of Dr. D. Dinev, Department of Structural Mechanics, UACG 4.1 Contents
Διαβάστε περισσότεραΑυστραλέζικη γραφή διεύθυνσης: Όνομα παραλήπτη Όνομα εταιρίας Αριθμός οδού + όνομα οδού Όνομα επαρχίας Όνομα πόλης + ταχυδρομικός κώδικας Miss L. Mars
- Διεύθυνση ιταλικά Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 ιαπωνικά Αμερικανική γραφή διεύθυνσης: Όνομα παραλήπτη όνομα εταιρείας Αριθμός κατοικίας + όνομα
Διαβάστε περισσότεραHigh order interpolation function for surface contact problem
3 016 5 Journal of East China Normal University Natural Science No 3 May 016 : 1000-564101603-0009-1 1 1 1 00444; E- 00030 : Lagrange Lobatto Matlab : ; Lagrange; : O41 : A DOI: 103969/jissn1000-56410160300
Διαβάστε περισσότεραF (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραChapter 2. Stress, Principal Stresses, Strain Energy
Chapter Stress, Principal Stresses, Strain nergy Traction vector, stress tensor z z σz τ zy ΔA ΔF A ΔA ΔF x ΔF z ΔF y y τ zx τ xz τxy σx τ yx τ yz σy y A x x F i j k is the traction force acting on the
Διαβάστε περισσότεραΠαράρτημα Αʹ. Ασκησεις. Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός.
Παράρτημα Αʹ Ασκησεις Αʹ.1 Ασκήσεις Κεϕαλαίου 1: Εισαγωγή στη κβαντική ϕύση του ϕωτός. Άσκηση 1. Συμβατικά στην περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού ϕάσματος μακρινό υπέρυθρο (far infrared, FIR) έχουμε μήκος
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Διατήρηση της Ενέργειας Εικόνα: Η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική κατά την ολίσθηση ενός παιχνιδιού σε μια πλατφόρμα. Μπορούμε να αναλύσουμε τέτοιες καταστάσεις με τις
Διαβάστε περισσότεραθ p = deg ε n = με ε t = με γ nt = μrad
IDE 110 S08 Test 7 Name: 1. The strain components ε x = 946 με, ε y = -294 με and γ xy = -362 με are given for a point in a body subjected to plane strain. Determine the strain components ε n, ε t, and
Διαβάστε περισσότεραΑυστραλέζικη γραφή διεύθυνσης: Όνομα εταιρίας Αριθμός οδού + όνομα οδού Όνομα επαρχίας Όνομα πόλης + ταχυδρομικός κώδικας Miss L. Marshall Aquatechnic
- Διεύθυνση Mr. J. Rhodes Rhodes & Rhodes Corp. 212 Silverback Drive California Springs CA 92926 Αμερικανική γραφή διεύθυνσης: όνομα εταιρείας Αριθμός κατοικίας + όνομα οδού Ονομασία πόλης + συντομογραφία
Διαβάστε περισσότεραd dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1
d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραFelicitaciones por su compromiso. Ya tienen una fecha para el gran evento? 婚約おめでとう 結婚式はいつにするかもう決めた? Συγχαρητήρια για ένα νεοαρραβωνιασμένο ζευγάρι, πο
- Γάμος Felicitaciones. Les deseamos a ambos toda la felicidad del mundo. Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο ζευγάρι おめでとうございます 末永くお幸せに Felicitaciones y los mejores deseos para ambos en el día de su boda.
Διαβάστε περισσότερα(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x
ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως
Διαβάστε περισσότερα(Mechanical Properties)
109101 Engineering Materials (Mechanical Properties-I) 1 (Mechanical Properties) Sheet Metal Drawing / (- Deformation) () 3 Force -Elastic deformation -Plastic deformation -Fracture Fracture 4 Mode of
Διαβάστε περισσότεραCOMPLEX NUMBERS. 1. A number of the form.
COMPLEX NUMBERS SYNOPSIS 1. A number of the form. z = x + iy is said to be complex number x,yєr and i= -1 imaginary number. 2. i 4n =1, n is an integer. 3. In z= x +iy, x is called real part and y is called
Διαβάστε περισσότεραStrain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Διαβάστε περισσότεραCoupled Fluid Flow and Elastoplastic Damage Analysis of Acid. Stimulated Chalk Reservoirs
Nazanin Jahani Coupled Fluid Flow and Elastoplastic Damage Analysis of Acid Stimulated Chalk Reservoirs Thesis for the degree of Philosophiae Doctor Trondheim, October 2015 Norwegian University of Science
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
Διαβάστε περισσότερα輸入農産物中の残留農薬実態調査 ( 有機リン系農薬及び含窒素系農薬 ) - 平成 16 年度 * -
東京健安研セ年報 Ann. Rep. Tokyo Metr. Inst.P.H., 56, 9-98, 005 輸入農産物中の残留農薬実態調査 ( 有機リン系農薬及び含窒素系農薬 ) - 平成 6 年度 * - ** ** ** ** 上條恭子, 高野伊知郎, 小林麻紀, 田村康宏, 富澤早苗 **, 立石恭也 **, 酒井奈穂子 ** **, 井部明広 Survey of the Pesticide
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραSolutions - Chapter 4
Solutions - Chapter Kevin S. Huang Problem.1 Unitary: Ût = 1 ī hĥt Û tût = 1 Neglect t term: 1 + hĥ ī t 1 īhĥt = 1 + hĥ ī t ī hĥt = 1 Ĥ = Ĥ Problem. Ût = lim 1 ī ] n hĥ1t 1 ī ] hĥt... 1 ī ] hĥnt 1 ī ]
Διαβάστε περισσότερα1 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέτασης
1 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέτασης Ο Ένα υλικό σημείο κινείται επάνω σε μια ευθεία έτσι ώστε η απομάκρυνση του να δίνεται
Διαβάστε περισσότεραMECHANICAL PROPERTIES OF MATERIALS
MECHANICAL PROPERTIES OF MATERIALS! Simple Tension Test! The Stress-Strain Diagram! Stress-Strain Behavior of Ductile and Brittle Materials! Hooke s Law! Strain Energy! Poisson s Ratio! The Shear Stress-Strain
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
Διαβάστε περισσότεραX x C(t) description lagrangienne ( X , t t t X x description eulérienne X x 1 1 v x t
X 3 x 3 C Q y C(t) Q t QP t t C configuration initiale description lagrangienne x Φ ( X, t) X Y x X P x P t X x C(t) configuration actuelle description eulérienne (, ) d x v x t dt X 3 x 3 C(t) F( X, t)
Διαβάστε περισσότερα- Γενέθλια και Eπέτειοι Parabéns! 誕生日おめでとう! Feliz Aniversário! 誕生日おめでとう! Muitos anos de vida! 誕生日おめでとう! Desejando-lhe muita felicidade no seu dia espe
- Γάμος Desejando a vocês toda felicidade do mundo. Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο ζευγάρι おめでとうございます 末永くお幸せに Parabéns e votos calorosos aos dois no dia do seu casamento. Συγχαρητήρια για ένα νιόπαντρο
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Ρέντζος ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗΝ ΙΑΠΩΝΙΑ 日本物語 [Nihon monogatari] ( にっぽんものがたり ) Παρασκευή 10/11/2017 * * όρ., Αἴθ. ΣΤΥΛ. Γ.
Ιωάννης Ρέντζος ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗΝ ΙΑΠΩΝΙΑ 日本物語 [Nihon monogatari] ( にっぽんものがたり ) Παρασκευή 10/11/2017 * 19.00-21.00 * όρ., Αἴθ. ΣΤΥΛ. Γ. ΚΟΡΡΕ ΤΑΞΙΔΙ ΣΤΗΝ ΙΑΠΩΝΙΑ: Η ΓΡΑΦΗ video_tokyo_mono.flv «ΠΕΝΗΝΤΑ ΚΑΙ ΠΕΝΗΝΤΑ
Διαβάστε περισσότεραn ca Ma 15 B Macan 取扱説明書 WKD
Macan 取扱説明書 WKD 95B 06 70 15 03/14 Porsche Porsche クレスト Macan PCCB PCM PDK PSM PTM および Tequipment はポルシェ社の登録商標です Printed in Japan. 本書の一部または全部の複製は ポルシェ社の文書による許可がない限り禁止致します Dr. Ing. h.c.f. Porsche AG ポルシェジャパン株式会社
Διαβάστε περισσότεραΤαλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Σχήµα 6.1
6 Ταλαντώσεις 6.1 Απλή Αρµονική Ταλάντωση σε µία ιάσταση 6.1.1 Ελατήριο σε οριζόντιο επίπεδο Υποθέτουµε ότι το ελατήριο έχει αρχικό µήκος µηδέν, ιδανικό ελατήριο. F=-kx x K M x Σχήµα 6.1 ιαστάσεις µεγεθών
Διαβάστε περισσότεραΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης
ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραVocal Dynamics Controller:
Vocal Dynamics Controller:. F ),) F F 2 F F EM 2 ),2),3) 2 F 4) F Vocal Dynamics Controller 2 Vocal Dynamics Controller: A note-by-note editing and synthesizing interface for F dynamics in singing voices
Διαβάστε περισσότεραu = 0 u = ϕ t + Π) = 0 t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt 2 ϕ = 0
u = (u, v, w) ω ω = u = 0 ϕ u u = ϕ u = 0 ϕ 2 ϕ = 0 u t = u ω 1 ρ Π + ν 2 u Π = p + (1/2)ρ u 2 + ρgz ω = 0 ( ϕ t + Π) = 0 ϕ t + Π = C(t) C(t) C(t) = K K C(t) ϕ = ϕ 1 + C(t) dt Kt C(t) ϕ ϕ 1 ϕ = ϕ 1 p ρ
Διαβάστε περισσότεραAnswers to practice exercises
Answers to practice exercises Chapter Exercise (Page 5). 9 kg 2. 479 mm. 66 4. 565 5. 225 6. 26 7. 07,70 8. 4 9. 487 0. 70872. $5, Exercise 2 (Page 6). (a) 468 (b) 868 2. (a) 827 (b) 458. (a) 86 kg (b)
Διαβάστε περισσότεραLTI Systems (1A) Young Won Lim 3/21/15
LTI Systems (1A) Copyright (c) 214 Young W. Lim. Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.2 or any later version
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑΤΑ Α
ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 0 ΘΕΜΑΤΑ Α Θέµα ο. Να βρεθεί (α) η γενική λύση yy() της διαφορικής εξίσωσης y' y + καθώς και (β) η µερική λύση που διέρχεται από το σηµείο y(/). (γ) Από ποια σηµεία του επιπέδου
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t ( t z( t t I = [ a b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι: d 1 1
Διαβάστε περισσότεραFourier Analysis of Waves
Exercises for the Feynman Lectures on Physics by Richard Feynman, Et Al. Chapter 36 Fourier Analysis of Waves Detailed Work by James Pate Williams, Jr. BA, BS, MSwE, PhD From Exercises for the Feynman
Διαβάστε περισσότεραDéformation et quantification par groupoïde des variétés toriques
Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue Fédéic Cadet To cite thi veion: Fédéic Cadet. Défomation et uantification pa goupoïde de vaiété toiue. Mathématiue [math]. Univeité d Oléan, 200.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ -11 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ ΙΟΥΝΙΟΣ 11 Pappas Ath...page 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραEquations. BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1. du dv. FTLI : f (B) f (A) = f dr. F dr = Green s Theorem : y da
BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1 Equations r(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k r = r (t) t s = r = r (t) t r(u, v) = x(u, v) î + y(u, v) ĵ + z(u, v) k S = ( ( ) r r u r v = u
Διαβάστε περισσότεραψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2
Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική 014-015 ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A
Διαβάστε περισσότερα< h < +. σ (t) = (sin t + t cos t, cos t t sin t, 3), σ (t) = (2 cos t t sin t, 2 sin t t cos t, 0) r (t) = e t j + e t k. σ (t) = 1 2 t 1 2 k
ΛΥΣΕΙΣ 1. Οι ασκήσεις από το βιβλίο των Marsden - Tromba. 1. 3.1(3)(a) Είναι r (t) = sin ti + 2 cos(2t)j, r (t) = cos ti 4 sin(2t)j για κάθε t, r (0) = 2j, r (0) = i. Η εξίσωση της εφαπτομένης στο r(0)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότεραγ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση
Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία
Διαβάστε περισσότεραϕ n n n n = 1,..., N n n {X I, Y I } {X r, Y r } (x c, y c ) q r = x a y a θ X r = [x r, y r, θ r ] X I = [x I, y I, θ I ] X I = R(θ)X r R(θ) R(θ) = cosθ sinθ 0 sinθ cosθ 0 0 0 1 Ẋ I = R(θ)Ẋr y r ẏa r
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 007-8 ΙΑΦΑΝΕΙΕΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΓΧΕΙΡΙ ΙΑ: α) R. A. SERWAY, PHYSICS FOR SCIENTISTS & ENGINEERS,
Διαβάστε περισσότεραμ μ μ s t j2 fct T () = a() t e π s t ka t e e j2π fct j2π fcτ0 R() = ( τ0) xt () = α 0 dl () pt ( lt) + wt () l wt () N 2 (0, σ ) Time-Delay Estimation Bias / T c 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2-0.3 In-phase
Διαβάστε περισσότερα高校留学プログラム料金表 (2017/2018) 2017 年 1 月改定 2017 年 2 月 10 日以降お申込に適用
高校留学プログラム料金表 (2017/2018) 2017 年 1 月改定 2017 年 2 月 10 日以降お申込に適用 プログラム費用 US$14,500- 含まれるもの 入学手続 授業料 ホームステイ ( 平日朝夕 土日祝日 3 食 ) 医療保険 SEVIS 管理費 空港送迎 ISE サポート アメリカ交換留学 地域の指定アメリカ全土のうち東 南 中央 西のエリアを選ぶカルフォルニア州州の指定をするフロリダ州その他の州
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικός Λογισµός ΙΙ
Μαθηµατικός Λογισµός ΙΙ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ 2 Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Ορια και Συνέχεια 1.1 Ορια Παράδειγµα 1.1. Να υπολογίσετε το x+y lim (x,y) (0,0) x y. Απάντηση: Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 70 DOUBLE AND TRIPLE INTEGRALS. 2 is integrated with respect to x between x = 2 and x = 4, with y regarded as a constant
CHAPTER 7 DOUBLE AND TRIPLE INTEGRALS EXERCISE 78 Page 755. Evaluate: dxd y. is integrated with respect to x between x = and x =, with y regarded as a constant dx= [ x] = [ 8 ] = [ ] ( ) ( ) d x d y =
Διαβάστε περισσότεραA Two-Sided Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bounds and Its Applications in Financial Engineering
Electronic Companion A Two-Sie Laplace Inversion Algorithm with Computable Error Bouns an Its Applications in Financial Engineering Ning Cai, S. G. Kou, Zongjian Liu HKUST an Columbia University Appenix
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότερα(product-operator) I I cos ω ( t sin ω ( t x x ) + Iy )
(product-operator) I I cos( t) + I sin( t) x x y z 2π (rad) y 1 y t x = 2πν x t (rad) sin t Iy# cos t t Ix# Ix# (t ) z Ix# Iy# Ix# (t ) z Ix cos (t ) + Iy sin (t ) -x -y t y I-y# I-y# (t ) z (t ) z x I-y#
Διαβάστε περισσότεραN/m, k 2 = k 4 = 6 N/m και m=2 kgr. (α) k 1 m k 3 k 4. (β) k 12 m k 34. k 12 = k 1 +k 2 = 3+6 = 9 N/m (1) k k = = = = 2 N/m (2) (3) k 2.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΥΝΑΜΙΚΏΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΝΑ ΒΑΘΜΟ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση. Να βρεθεί η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος στο σχήµα (α). ίνεται 3 3 N/m, 4 6 N/m και m gr. (α) m 3 4 (β)
Διαβάστε περισσότερα( ) Sine wave travelling to the right side
SOUND WAVES (1) Sound wave: Varia2on of density of air Change in density at posi2on x and 2me t: Δρ(x,t) = Δρ m sin kx ωt (2) Sound wave: Varia2on of pressure Bulk modulus B is defined as: B = V dp dv
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότεραEXPERIMENTAL AND NUMERICAL STUDY OF A STEEL-TO-COMPOSITE ADHESIVE JOINT UNDER BENDING MOMENTS
NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF ATHENS SCHOOL OF NAVAL ARCHITECTURE AND ARINE ENGINEERING SHIPBUILDING TECHNOLOGY LABORATORY EXPERIENTAL AND NUERICAL STUDY OF A STEEL-TO-COPOSITE ADHESIVE JOINT UNDER
Διαβάστε περισσότεραX(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,
Διαβάστε περισσότερα( () () ()) () () ()
ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ /011 1 Έστω r = r( t = ( x( t, ( t, z( t, t I = [ a, b] συνάρτηση C τάξης και r = r( t = r ( t = x ( t + ( t z ( t είναι μία διανυσματική + Nα αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΚλασική Ηλεκτροδυναμική
Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ενότητα 22: Κυματοπακέτα-Κυματοδηγοί Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την έννοια του κυματοπακέτου,
Διαβάστε περισσότεραITU-R P (2009/10)
ITU-R.45-4 (9/) % # GHz,!"# $$ # ITU-R.45-4.. (IR) (ITU-T/ITU-R/ISO/IEC).ITU-R http://www.tu.t/itu-r/go/patets/e. (http://www.tu.t/publ/r-rec/e ) () ( ) BO BR BS BT F M RA S RS SA SF SM SNG TF V.ITU-R
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότερα(i) f(x, y) = xy + iy (iii) f(x, y) = e y e ix. f(z) = U(r, θ) + iv (r, θ) ; z = re iθ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ (ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ) 6 Νοεμβρίου 07 Αναλυτικές συναρτήσεις Άσκηση (i) Δείξτε ότι η συνάρτηση f(z) είναι αναλυτική σε χωρίο D του μιγαδικού επιπέδου εάν και μόνο εάν η if(z) είναι αναλυτική
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΨΗ 1 ου Μαθήματος
Ενημέρωση Η διδασκαλία του μαθήματος, πολλά από τα σχήματα και όλες οι ασκήσεις προέρχονται από το βιβλίο: «Πανεπιστημιακή Φυσική» του Hugh Young των Εκδόσεων Παπαζήση, οι οποίες μας επέτρεψαν τη χρήση
Διαβάστε περισσότερα1. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές 2. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση Δικτύων AC
ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΚΤΥΟΥ 3 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ιάρθρωση. Χρονικά Εξαρτημένες Πηγές. Φάσορες 3. Σύνθετη Αντίσταση 4. Ανάλυση
Διαβάστε περισσότερα2x 2 y x 4 +y 2 J (x, y) (0, 0) 0 J (x, y) = (0, 0) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t 2 ), a ÑL<ÝÉ b, ½-? A? 2t 2 at t 4 +a 2 t 2 = lim
9çB$ø`çü5 (-ç ) Ch.Ch4 b. è. [a] #8ƒb f(x, y) = { x y x 4 +y J (x, y) (, ) J (x, y) = (, ) I ϕ(t) = (t, at), ψ(t) = (t, t ), a ÑL
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις Μιγαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης
Σηµειώσεις Μιαδικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1. Εισαωικά 5 Η αλεβρική δοµή 5 Η τοπολοική δοµή τού 6 Το εκτεταµένο µιαδικό επίπεδο 7 Συνεκτικότητα
Διαβάστε περισσότερα和光純薬工業の サイトカイン グロースファクター. 各製品詳細は 検索サイト Siyaku.com ( ) をご覧下さい 大入り包装品の価格 納期は当社代理店までお問合せ下さい. Human, recombinant [TNFSF13]
和光純薬工業の サイトカイン グロースファクター 各製詳細は 検索サイト Siyaku.com ( http://www.siyaku.com/ ) をご覧下さい 大入り包装の価格 納期は当社代理店までお問合せ下さい Human, recombinant 014-23961 018-23964 014-19671 016-23781 019-20731 013-20251 010-20261 017-20271
Διαβάστε περισσότερα