ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί"

ÊÊΔιομήδης Αμάρανθος Κοτζιάς
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί

2 εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z

3 Αριστερόστροφο Σύστημα

4 Αναπαράσταση της τρισδιάστατης γεωμετρίας Ρ x β y γ z δ Y Γ(, y γ, ) Α(,, ) (,,z δ ) Β(x β,, ) X z

5 Γενικός πίνακας μ/σ A D G J B E H K C F I L S 3Χ3: για αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση), αντανάκλαση, στρέβλωση και περιστροφή Χ3: για μετατόπιση.

6 Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Ένα σημείο Ρ(x, y, z, ) αλλάζει κλίμακα στο Ρ*(x*, y*, z*, ) με τον ακόλουθο μετασχηματισμό: [ x * y* z * ] [ x y z ] * A E I Αν οι παράγοντες κλιμάκωσης Α, Ε, I είναι διαφορετικοί, η εικόνα του αντικειμένου παραμορφώνεται.

7 x s y s z s Γραφικά Η/Υ Αλλαγή κλίμακας (κλιμάκωση) Αλλαγή μεγέθους, με διατήρηση των αρχικών αναλογιών [ x * y* z* ] [ x y z ] s γενική μορφή αλλαγής κλίμακας [ x y z s] x s y s z s

8 Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης Έστω κύβος με τις συντεταγμένες: Ζητείται η μετατροπή του σε μοναδιαίο P κύβος Γραφικά Η/Υ

9 Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης Ο πίνακας μετασχηματισμού είναι: ή : S Γραφικά Η/Υ S

10 Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης P* μοναδιαίος κύβος Pκύβος * S * Γραφικά Η/Υ

11 Παράδειγμα αράδειγμα Κλιμάκωσης Κλιμάκωσης ήσεκανονικήμορφή: [P*] μοναδιαίος κύβος Γραφικά Η/Υ

12 Παράδειγμα Κλιμάκωσης Μετατροπή σε μοναδιαίο κύβο

13 Μετατόπιση [ x* y* z* ] [x y z ] * J K L Οι τιμές των J, K, L παρουσιάζουν την μετατόπιση ενός σημείου στις x, y, z κατευθύνσεις.

14 Περιστροφή Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z (δεξιόστροφο σύστημα)

15 Περιστροφή Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ ως προς τον άξονα z. P*(x*, y*, z*) P(x, y, z) R z ( θ) cosθ sinθ sinθ cos θ

16 Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα y Περιστροφή R y ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ

17 Περιστροφή ενός σημείου P(x, y, z) κατά γωνία θ και ως προς τον άξονα x R x ( θ) cosθ sinθ Περιστροφή sinθ cosθ

18 Λοξοτομημένος κύβος Περιστρέψτε τον κύβο, ώστε το κάτω επίπεδο, που ορίζεται από τα σημεία Ρ, Ρ5, Ρ και Ρ6, να είναι παράλληλo με το επίπεδο xy.

19 Λοξοτομημένος κύβος Τα σημεία Ρ μέχρι P ορίζουν τη γεωμετρία του κύβου και μπορούν να γραφούν με την μορφή πίνακα ως εξής: Ρ

20 Λύση Λοξοτομημένος κύβος Γιανακάνωτο επίπεδο ΡΡ5ΡΡ6 παράλληλο στο επίπεδο xy, η περιστροφή μπορεί να εκφραστεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων γύρω από τον άξονα x κατά 9 μοίρες. Ο κατάλληλος πίνακας δίνεται: R x ( θ) cosθ sinθ sinθ cosθ Για θ9 ο πίνακας γίνεται: ( 9 ) R x

21 Λοξοτομημένος Λοξοτομημένος κύβος κύβος Ο πίνακας των μετασχηματιζόμενων σημείων είναι: [Ρ*] Γραφικά Η/Υ

22 Λοξοτομημένος κύβος Ο λοξοτομημένος κύβος μετά από περιστροφή 9 ο ως προς τον άξονα x

23 Σειρά Μετασχηματισμών Η σειρά με την οποία γίνεται μια ακολουθία μετασχηματισμών περιστροφής επηρεάζει και την τελική θέση ενός αντικειμένου. Για παράδειγμα, το αποτέλεσμα περιστροφής ενός αντικειμένου κατά 9 ο γύρω από τον x άξονα ακολουθούμενη από μια περιστροφή 9 ο γύρω από τον z άξονα είναι διαφορετική από την περιστροφή 9 ο, πρώτα γύρω από τον z άξονα και μετά 9 ο γύρω από τον x άξονα.

24 Σειρά Μετασχηματισμών Περιστροφή 9 ο γύρω από τον x άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9 ο γύρω από τον z άξονα Y Y Z X Z

25 Σειρά Μετασχηματισμών Περιστροφή 9ογύρωαπότονz άξονα ακολουθούμενη από περιστροφή 9ο γύρωαπότον x άξονα Y Y Y X Z X Z X Z

26 Περιστροφή της λαβής ενός ρομπότ γύρω από τον τυχαίο άξονα ΑΒ αρχή αξόνων λαβή

27 Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ B(x, y, z ) l Α(x, y, z ) x z

28 Βήμα. Περιστροφή γύρω από τυχαίο Μετατοπίζω τον αυθαίρετο άξονα ΑΒ κατά (-x, -y, -z) έτσι ώστε το Α να συμπέσει με την αρχή των αξόνων (,, ). άξονα ΑΒ

29 Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα Εκτελώ τις περιστροφές γύρω από τους άξονες x και y, ώστε να ευθυγραμμιστεί οαυθαίρετος άξονας με τον άξονα z άξονα ΑΒ

30 Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα 3 Περιστρέφω ως προς τον z άξονα με την επιθυμητή γωνία θ. άξονα ΑΒ

31 Περιστροφή γύρω από τυχαίο Βήμα 4 Εφαρμόζω αντίστροφες περιστροφές γύρω από τους άξονες y και x. Με τον τρόπο αυτό ο αυθαίρετος άξονας επιστρέφει στην αρχική του θέση. άξονα ΑΒ

32 Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Βήμα 5 Εφαρμόζω την αντίστροφη μετατόπιση, για να τοποθετήσω τον αυθαίρετο άξονα στην αρχική θέση στο χώρο. Α(x, y, z ) l B(x, y, z ) x z

33 Περιστροφή γύρω από τυχαίο άξονα ΑΒ Τελικά προκύπτει ο μετασχηματισμός: Μ Τ ( x, y, z )*R ( α) *R ( ϕ) *R ( θ) *R ( ϕ) *R ( α) *T( x, y, ) x y z y x z Ο κάθε πίνακας μετασχηματισμού σ αυτήν την έκφραση είναι δυνατόν να βρεθεί μέσω γεωμετρικών υπολογισμών.

34 Μετατόπιση Η μετατόπιση Τ(-x, -y, -z) δίνεται από:

35 Υπολογισμός της γωνίας περιστροφής α. (Προβολή του τυχαίου άξονα l στο επίπεδο yz) προβολή σημείου (a, b, c) περιστροφή σημείου (a, b, c)

36 d b c b b + d c c b c + cos α sin α ( ) α α α α α d c d b d b d c cos sin sin cos R x Γραφικά Η/Υ

37 Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα y Υπολογισμός γωνίας φ y l (a, b, c) προβολή σημείου (a,, d) d φ l x περιστροφή σημείου (,, l) (α,, d) z

38 Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα y α sin φ l cos φ l d l α + b +c R y ( ϕ) cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ d l α l α l d l θετική ή αρνητική;

39 Πίνακας περιστροφής γύρω από τον άξονα z R z ( θ) cosθ sin θ sin θ cosθ

40 Παράδειγμα Βρείτε τις καινούριες συντεταγμένες του μοναδιαίου κύβου που περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα, που ορίζεται από τα σημεία τέλους Α(,, ) και Β(3, 3, ). Η γωνία περιστροφής πρέπει να είναι 9 μοίρες στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων.

41 Παράδειγμα II Λύση Μετατοπίζω το σημείο Α στην αρχή A (,, ): y B (,, ) T ( ) z A (,, ) x

42 Παράδειγμα III Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα x κατά γωνία α μέχρι να πέσει στο επίπεδο xz. προβολή του Β (,, ) α d l B (,, ) x Α z Β (,, )

43 Πίνακας περιστροφής γύρω από άξονα χ l R x ( α)

44 Πίνακας περιστροφής γύρω από Περιστρέφω τον άξονα Α Β γύρω από τον άξονα y με γωνία φ μέχρι να συμπέσει με τον άξονα z. άξονα y R y ( ϕ) sin φ cos φ

45 Πίνακας περιστροφής γύρω από άξονα z Περιστρέφω τον κύβο κατά 9 μοίρες γύρω από τον άξονα z. R z ( 9)

46 M AB * * ( ),, T ( ) α x R ( ) ϕ y R * * * ( ) 9 R z ( ) ϕ y R ( ) α x R ( ),, T Γραφικά Η/Υ

47 Ο πολλαπλασιασμός του ΜΑΒ με τον πίνακα σημείων του αρχικού κύβου μας δίνει τις μετασχηματισμένες συντεταγμένες που είναι: Ρ* P *ΜΑΒ P * *

48 Ανάκλαση Ανάκλαση R xy f R xz f R yz f Γραφικά Η/Υ ως ως προς προς επίπεδα επίπεδα

49 Ανάκλαση R f (,, ) ως προς την αρχή των αξόνων

50 Στρέβλωση Oι τρισδιάστατοι μετασχηματισμοί στρέβλωσης προκαλούν παραμορφώσεις στα αντικείμενα μεταβάλλοντας τις τιμές μιας ή δύο συντεταγμένων κατά ποσοστό ανάλογο προς την τρίτη. Η στρέβλωση στο επίπεδο yz δίδεται από τον πίνακα S h x S xy S xz

51 Στρέβλωση Η στρέβλωση στο επίπεδο xz δίδεται από τον πίνακα: Η στρέβλωση στο επίπεδο xy δίδεται από τον πίνακα: S h y S yx S yz S h z S zx S zy

52 ΜΕΤΑΦΟΡΑ TRANSLATION T ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ ROTATION R ΚΛΙΜΑΚΩΣΗ SCALING S ΑΝΤΑΝΑΚΛΑΣΗ REFLECTION Rfx, Rfy ΣΤΡΕΒΛΩΣΗ SHEARING Shx, Shy z y x T T T T ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R x ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R y ( ) cos sin sin cos ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R z z y x S S S S R fxy R fxz R fyz ( ),, R f xz xy h S S S x yz yx h S S S y zy zx h S S S z

Σχετικά έγγραφα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από