ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

Transcript

1 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 Η άρτια κυµατοσυνάρτηση θα δίνεται από (x) = A 3 e γ x x < a b / A cos(kx) B sin(kx) a b / < x < b / A 1 cosh(γ x) b / < x < b / A cos(kx) + B sin(kx) b / < x < a + b / A 3 e γ x x > a + b / όπου γ = m E και k = m(v E ) 0!! και εφαρµόζοντας τις συνθήκες συναρµογής για x = b / και x = a + b / και µετά την απαλοιφή των σταθερών A 1, A, A 3, B καταλήγουµε στην k cosh(bγ / )(γ cos(ka) k sin(ka)) + γ sinh(bγ / )(k cos(ka) + γ sin(ka)) = 0 ενώ για τις περιττές έχουµε (x) = A 3 e γ x A cos(kx) + B sin(kx) A 1 sinh(γ x) x < a b / a b / < x < b / b / < x < b / A cos(kx) + B sin(kx) b / < x < a + b / A 3 e γ x x > a + b / και γ cosh(bγ / )(k cos(ka) + γ sin(ka)) + k sinh(bγ / )(γ cos(ka) k sin(ka)) = 0 Στο όριο b 0 έχουµε την εξίσωση του πηγαδιού µε πλάτος a και µπορούµε να υπολογίσουµε γραφικά τις λύσεις, π.χ. για a mv 0 = 10 έχουµε z = 1 E = για! V 0

2 την θεµελιώδη και z = για την πρώτη διεγερµένη, ενώ για b οι εξισώσεις συµπίπτουν µε αυτές του πηγαδιού µε πλάτος a, και η λύση για την θεµελιώδη είναι z = Παρατητούµε λοιπόν ότι για την θεµελιώση η λύση στο όριο b 0 είναι µικρότερη από το όριο b, γεγονός που µε βάση την αρχή ελάχιστης ενέργειας οδηγεί σε ελκτικό δυναµικό Trith di g rm nh HoddL 0.5 Hodd+ê- oddl 0.0 D ut rh di g rm nh HevenL Prwth di g rm nh HoddL Q m liwdhv HevenL Heven+ê- evenl ΑΣΚΗΣΗ (α) F ολ = dv dx και άρα V = 1 mω x Fx! / m d Ψ dx + ( 1/ mω x Fx)Ψ = EΨ V = 1 mω x Fx = 1 mω (x f ) 1 mω f f = F mω x = x f! / m d Ψ dx + ( 1/ mω x 1/ mω f )Ψ = EΨ και άρα οι λύσεις είναι Ψ(x) = n (x ), όπου n ταλαντωτή και E n =!ω n mω f οι ιδιοσυναρτήσεις του αρµονικού (β) η κυµατοσυνάρτηση δεν είναι πλέον ιδιο-συνάρτηση και άρα θα δίνεται εν γένει από (x,t) = e ie n t /! c n n (x ) n

3 και χρησιµοποιώντας το γεγονός ότι για t = 0, (x,t = 0) = 0 (x), µπορούµε να υπολογίσουµε τα c n + c n = dx 0 (x) n (x f ) Θα ακολουθήσουµε όµως µια άλλη οδό µε την χρήση των τελεστών δηµιουργίαςκαταστροφής. a = mω! x + ip x m!ω, a = οπότε η αρχική hamiltonian γράφεται mω! x ip x m!ω H =!ω a a + 1 και οι ιδιο-συναρτήσεις n = 1 n! a η καινούργα hamiltonian είναι n 0 H =!ω a a + 1 Fx =!ω a a + 1 F! mω a + a και µε την αλαγή b = a g, g = F = f mω!mω 3! και H =!ω b b mω f µε ιδιοτιµές E =!ω n + 1 n 1 mω f και ιδιο-συναρτήσεις n = 1 n n! b 0 ενώ για τα c n, c n = n 0 και αντικαθιστώντας c n = 1 n! 0 bn 0 = 1 n! 0 a g = dx (x f ) (x) = e 1/ g και άρα 0 0 (t) = e 1/ g e ie 0 t /! n ( ge ) iωt n n n! ( n 0 = g ) n n! 0 0, όπου (γ) x = (t) x (t) =! mω (t) a + a (t) = ( ge ) iωt n! mω (t) b + b (t) + g b (t) = e 1/ g e ie 0 t /! b n b n n! = n n 1 n! mω

4 b (t) = e 1/ g e ie 0 t /! n=1 ( ge ) iωt n n! n n 1 n 1 ge = ( iωt ge iωt )e 1/ g e ie 0 t /! n=1 (n 1)! n 1 = ge iωt (t) και άρα (t) b (t) = ge iωt και (t) b (t) = ge iωt και κατά συνέπεια x = f 1 cosωt και αντίστοιχα για το p = (t) p (t) = i m! ω (t) a a (t) = ω f sinωt ΑΣΚΗΣΗ 3 1 q x a p y h p 1 1 p! / x a 1 q x ( a / ) p y 1 h p px + ( / a ) y h [q 1, p 1 ] 1 ( x + ( a /!) p y ),( p x (! / a ) y ) (α) 1 + ( / ) = i! = 1 [x, p x ] [ p y, y] και οµίως [q, p ] = i! ενώ [q 1,q ] = [ p 1, p ] = 0 (β) q 1 q = 1 x + a! p y και οµοίως p 1 p 1 p x! a y x a! p y p x +! a y και άρα L z = xp y yp x =! q a 1 q (γ) όπου H 1 = a! p 1 +! a q 1 ω = και οµοίως για H. και 1 (δ) και άρα οι ιδιοτιµές του L z = H 1 H θα είναι y = a! xp y =! a yp x + a = H 1 H! p p 1 m=h / a και αντσιστοιχεί σε αρµονικό ταλαντωτή µε µάζα!ω(n / )!ω(n + 1 / ) = ω =1!(n 1 n ) =!n όπου n! ΑΣΚΗΣΗ 4

5 ( x,0) = 1 ( (x) + (x) + i (x) 1 3 ) = 1 E = 1 E 1 + E + 4E 3 x = x = 1 * (x,t)x (x,t)dx = ( 1 (x)e +3it/ + (x)e +5it/ + i 3 (x)e +it/ )x( 1 (x)e 3it/ + (x)e 5it/ i 3 (x)e it/ )dx 1 (x)x (x)dx x = e+it + e it + (i) ( e +it e it ) 1 (x)x 3 (x)dx + (i) ( e +it e it ) (x)x 3 (x)dx για λόγους συµµετρίας. και άρα όπου για n x n = 0 n = 1,,3 Οµοίως 1 x 3 = 0 x = cost 1 (x)x (x)dx 4 sint (x)x 3 (x)dx n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / H n (x) H n+1 (x) x H n (x) + n H n 1 (x) = 0 xh n (x) = 1 H n+1 (x) + nh n 1 (x) x n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / xh n (x) = π ( 1/ 4 n n! ) 1/ e x / 1 = 1 (x) n n! n+1 n+1 (n + 1)! 1/ n n! + n n 1 (x) n 1 (n 1)! 1/ H + nh n+1 n 1 = n + 1 n+1 + n n 1 x (x) = x = cost 1 (x)x (x)dx 4 sint (x)x 3 (x)dx = cost 4 3sint και για την ορµή p = i! d dx µε βάση την αναδροµική σχέση d dx H n(x) = nh n 1 (x) d (x) n καταλήγουµε στο dx και άρα = n n 1(x) n + 1 n+1(x)

6 p = i! ( 1 (x)e +3it/ + (x)e +5it/ + i 3 (x)e ) +it/ d 1 (x) e 3it/ + dx d (x) dx e 5it/ i d 3(x) dx e it/ dx p = i e it 1 (x) (x)dx + i e it (x) 1 (x)dx e it (x) 3 (x)dx + eit 3 (x) (x)dx για λόγους συµµετρίας. όπου για n n = 0 n = 1,, 3 Οµοίως 1 3 dx = 3 1 dx = 0 και άρα (x) = p = i ( e it e it ) 1 (x) 1 (x)dx 3 e it + e it p = sint 4 3 cost 3 (x) 3 (x)dx (β) Από το θεώρηµα Ehrenfest d dt x = 1 i! [x, H ] = p d dt p = 1 i! [ p, H ] = x οι οποίες ικανοποιούνται απί τις λύσεις του (α).

7 Σπουδές στις Φυσικές Επιστήµες ΦΥΕ 40 Κβαντική Φυσική ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Υπόδειξη λύσεων ΑΣΚΗΣΗ 5 Η κυµατοσυνάρτηση του 3 H στην θεµελιώδη του κατάσταση είναι (Ζ=1) H 100 3/ 1 1 r a = e π a0 Κατά την µετάβαση αυτή παραµένει η ίδια αλλά στο νέο σύστηµα 3 He + δεν είναι πλέον ιδιοκατάσταση και δίνεται από την ανάπτυξη = H He c 100 nlm nlm / 0 Η θεµελιώδης του 3 He + (Ζ=) και άρα ο συντελεστής c 100 = 100 He H 100 He 100 = dr4πr 3/ 1 r a = e π a0 1 π a 0 3/ / 0 e r / a π a 0 3/ e r / a 0 = 16 και η πιθανότητα P100 = c Για την περίπτωση (n,l,m)=(3,0,0) He = π a 0 3/ 36 r + 8 r a 0 a 0 e r /3a 0 c 300 = 300 He H 100 = dr4πr π a 0 3/ 36 r + 8 r a 0 a 0 e r /3a π a 0 3/ e r / a 0 = και η πιθανότητα P 300 = c 300 = ΑΣΚΗΣΗ 6 Ψ( r!,0) = c( ( 1+ i) 11 ( r! ) + 3 ( r! ) i 31 1 ( r! )) 1= c ( 1+ i i ) c = 1

8 Ψ( r!,t) = 1 ( 1+ i ) 11 ( r! )e ie t/" + 3 ( r! )e ie 3 t/" i 31 1 ( r! )e ie 3 t/" όπου E n = n ev και η µέση τιµή της ενέργειας είναι E = 1 E + 1 E = ev= 13.6 ev=.455ev ενώ L z L z =! 1 (1) ( ) ( 1) =! =! (1) ( ) ( 1) =! 4 ΔL z = L z L z ==! =! L =! (1)(1+1) ()( +1) (1)(1+1) =! 3 ( L ) 1 =! 4 (1) (1+1) () ( +1) (1) (1+1) =!4 1 ΔL = ( L ) L ==! 1 9 =! 3 ΑΣΚΗΣΗ Η εξίσωση γράφεται µε την κυµατοσυνάρτηση να δίνεται από την σχέση h 1 L r V() r E + = m r r r h r (, r θ, ϕ) = R () r Y (, θ ϕ) Elm El lm El El () r = u () r r Για την κατάσταση µε l = 0 το πρόβληµα ανάγεται (δες βοηθητικό υλικό webcast) σε ένα µονοδιάστατο πηγάδι δυναµικού R V (r) = r < a 0 a < r < b b < r

9 ! m d dr +V r u r E0 = Eu E0 ( r) Το πρόβληµα είναι ταυτόσηµο µε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού και άρα οι λύσεις δίνονται από Elm (r,θ,ϕ) = u (r) E0 Y r 00 (θ,ϕ) = 1 4π b a και Elm (r,θ,ϕ) = 0 στο υπόλοιπο διάστηµα µε E = sin( nπ(r a) / (b a) ) r για a < r < b! π m(b a) n, n = 1,,... ΑΣΚΗΣΗ 8 Ψ(x, y,z) = C(xy + y )e a r Γράφοντας x= rcosϕsinθ y rsinϕsinθ = έχουµε Ψ(x, y, z) = Cr ( sin ϕ sin θ + cosϕ sinϕ sin θ)e a r = Cr e a r f (θ,ϕ) f (θ,ϕ) = sin θ i e iϕ i eiϕ Κατά συνέπεια την συνάρτηση αυτή µπορούµε να την εκφράσουµε ως συνάρτηση των σφαιρικών αρµονικών και συγκεκριµένα των Y 00 1 = Y 0 = 4π 5 ( 16π 3cos θ 1) Y = Y + = 15 3π sin θ e iϕ 15 3π sin θ e iϕ και και έχουµε Ψ(x, y,z) = Cr e a ( r Y 00 + c 0 Y 0 + c Y + c + Y + ) c lm = π 0 dθ sinθ π 0 dϕ Y * lm (θ,ϕ) f (θ,ϕ)

10 c π 3 c 00 = 0 π /5 = c 3 = ( 1+ i) π 15 c = ( 1 i) π + 15 και άρα η πιθανότητα να l = 0 είναι P(l = 0) = + c0 + c + c+ = 5 1 P(l = ) = 1 P(l = 0) = 16 1 και P(m = 0) = + c0 + c0 + c + c+ = P(m = ) = c + c0 + c + c+ = 5 14 και P(m = +) = c + + c0 + c + c+ = 5 14