Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr Επ. Καθηγητής Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε Σ. Βασιλειάδου, svasil@teipir.gr Καθηγήτρια Εφαρμογών Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε

2 Σκοποί ενότητας Υπολογισμός απόκρισης σε τυπικές εισόδους με χρήση μετασχηματισμού Laplace: ΚΑΝΟΝΕΣ. Η συνάρτηση μεταφοράς και η σχέση της με τα είδη αποκρίσεων. Τυπικές αποκρίσεις συστημάτων 1 ου και 2 ου βαθμού. 2

3 Περιεχόμενα ενότητας Υπολογισμός της απόκρισης Ανάλυση σε στοιχειώδεις αποκρίσεις ανάλογα με το είδος πόλων: Πόλοι πραγματικοί Πόλοι πραγματικοί, αλλά κάποιος πολλαπλός Παράδειγμα Πόλοι μιγαδικοί σε ζεύγη Παράδειγμα 3

4 Περιεχόμενα ενότητας Παρατηρήσεις Αποκρίσεις συστημάτων σε τυπικές εισόδους: Σύστημα 1 ου βαθμού Αποκρίσεις συστημάτων σε τυπικές εισόδους: Σύστημα 2 ου βαθμού με βηματική είσοδο Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ >1 Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ =1 Απόκριση συστήματος με συντελεστή απόσβεσης ζ <1 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Χαρακτηριστικά μεγέθη βηματικής απόκρισης συστήματος όταν ζ <1 Παράδειγμα 5

6 Υπολογισμός της απόκρισης Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace 6

7 Υπολογισμός της απόκρισης: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace: Μια διαφορική εξίσωση γίνεται αλγεβρική. 7

8 Υπολογισμός της απόκρισης: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace: Μια διαφορική εξίσωση γίνεται αλγεβρική. Αν αρχικές συνθήκες μηδενικές: Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος. Δηλαδή σταθερή σχέση εισόδου - εξόδου του συστήματος εξαρτώμενης των δομικών χαρακτηριστικών του συστήματος. Y(s) U(s) = b ms m + b m 1 s m 1 + b 1 s + b 0 s n + α n 1 s n α 1 s + α 0 8

9 Υπολογισμός της απόκρισης: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace: Μια διαφορική εξίσωση γίνεται αλγεβρική. Αν αρχικές συνθήκες μηδενικές: Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος. Δηλαδή σταθερή σχέση εισόδου - εξόδου του συστήματος εξαρτώμενης των δομικών χαρακτηριστικών του συστήματος. Y(s) U(s) = b m s m +b m 1 s m 1 + b 1 s + b 0 s n + α n 1 s n α 1 s + α 0 Αν είσοδος U(s), τότε μέσω Σ.Μ. βρίσκεται η απόκριση Y(s) συστήματος στο πεδίο Laplace και με αντίστροφο μετ/μο Laplace η y(t) στο πεδίο χρόνου. 9

10 Όμως Χρήση αντιστρόφου Laplace με συγκεκριμένο τρόπο: Η απόκριση Y(s) ανάγεται σε στοιχειώδεις Y 1 (s), Y 2 (s),,y k (s) για τις οποίες ο αντίστροφος Laplace είναι γνωστός, και δίδεται σε πίνακες. Άρα υπολογίζονται y 1 (t), y 2 (t),, y k (t), και χωρίς να εκτελέσουμε περίπλοκους υπολογισμούς, λαμβάνουμε y(t)=y 1 (t)+y 2 (t)+ +y k (t) 10

11 Ανάλυση σε στοιχειώδεις αποκρίσεις ανάλογα με το είδος πόλων Ι. Πόλοι πραγματικοί 11

12 Πως γίνεται Έστω απόκριση Y(s) από τη συνάρτηση μεταφοράς συστήματος Y s = b m s m +b m 1 s m 1 +b 1 s+b 0 s n +α n 1 s n 1 + +α 1 s+α 0 U s = P(s) Q(s) = P(s) s p 1 s p 2... (s p n ) με p 1,,p n τους πόλους του συστήματος. Η παραπάνω Y(s) αναλύεται σε στοιχειώδεις αποκρίσεις ανάλογα με το είδος των πόλων ως εξής: 12

13 Ι. Πόλοι πραγματικοί και p 1 p 2 p n Y s = A 1 s p 1 + A 2 s p A n s p n L 1 y t = A 1 e p 1 t + A 2 e p 2 t + + A n e p n t A 1 = A 2 = A n = R 1 (s) s=p1 R 2 (s) s=p2 όπου: R i s = R n (s) s=pn s p 1 P(s) s p 2 (s p n ) (s p i) υπόλοιπο (residue) 13

14 Ανάλυση σε στοιχειώδεις αποκρίσεις ανάλογα με το είδος πόλων ΙΙ. Πόλοι πραγματικοί, αλλά κάποιος πολλαπλός 14

15 ΙΙ. Πόλοι πραγματικοί, αλλά κάποιος πολλαπλός p 1 = p 2 = = p r = p (από τους n) Y s = A 1 (s p 1 ) r + A 2 (s p 2 ) r A r s p + A r+1 s p r Α n s p n L 1 y t = A 1 t r 1 r 1! + A 2 t r 2 r 2! + + A r i t + A r e p t +A r+1 e p n t Τα A r+1,, Α n όπως στην προηγούμενη περίπτωση Τα A 1,, A r ως εξής: A 1 = R(s) s=p A r = A 2 = A 3 = 1 1 2! r 1! dr(s) ds d 2 R(s) ds 2 d r 1 s=p s=p ds r 1 R(s) s=p Όπου το υπόλοιπο R s = P s Q s (s p)r 15

16 Παράδειγμα 16

17 Παραδείγμα Έστω Y s = 1 s+1 3 (s+2). Σύμφωνα με όσα είπαμε: Y s = A 1 (s+1) 3 + A 2 (s+1) 2 + A 3 s+1 + A 4 s+2 Υπόλοιπα για πολλαπλούς πόλους R s = 1 (s + s+1 3 s+2 1)3 = 1 s+2 A 1 = R(s) s= 1 = = 1 A 2 = dr(s) ds s= 1 = 1 (s+2) 2 s= 1 = 1 A 3 = 1 2! d 2 R(s) ds 2 s= 1 = 1 17

18 Υπόλοιπο για πόλο s=-2 R s = A 4 = R(s) s= 2 = 1 ( 2+1) 3 = 1 1 s+1 3 s+2 s + 2 = 1 (s+1) 3 Τελικά λοιπόν: y t = ( 1 t2 2! + 1 t 1! + 1 t 0 ) e t + 1 e 2t = 1 2 t2 t + 1 e t e 2t Σκίτσο Απόκρισης;; 18

19 Ανάλυση σε στοιχειώδεις αποκρίσεις ανάλογα με το είδος πόλων ΙΙΙ. Πόλοι μιγαδικοί σε ζεύγη 19

20 ΙΙΙ. Πόλοι μιγαδικοί σε ζεύγη p 1,2 = σ ± j ω Αν Y s = A 1 ω+a 2 (s σ) (s σ) 2 +ω 2 L 1 από πίνακες y t = {A 1 sin(ωt) + A 2 cos(ωt)} e σ t = M sin(ω t + φ) e σ t Ο υπολογισμός των Α 1, Α 2 και Μ, φ γίνεται ως εξής: Το υπόλοιπο των μιγαδικών πόλων R μ s = P(s) Q(s) s σ 2 + ω 2 Σχηματίζουμε A = 1 ω R μ(s) s=σ+jω = A 1 + j A 2 = M e j φ όπου A 1 = Re[A], A 2 =Im[A], M= A, φ = tan 1 Α 2 Α 1 20

21 Παράδειγματα 21

22 Παράδειγμα (1) Y s = 1 s 2 +2s+5 s+3. Σύμφωνα με όσα είπαμε: Πόλοι p 1,2 = 1 ± j2 και p 3 = 3. Θα έχουμε για τους p 1,2 : σ=-1, ω=2 Y s = 2 A 1 + A 2 (s + 1) (s + 1) Α 3 s + 3 R μ s = 1 s 2 + 2s + 5 s + 3 s2 + 2s + 5 = 1 s + 3 Αφού (s+1) =(s-σ) 2 +ω 2 =s 2 +2s+5! 22

23 A = = 1 = 1 j 1 s+3 s= 1+2j 4+4j 8 8 άρα και A 1 = 1 8, A 2 = 1 8 M = ( 1 8 )2 +( 1 8 )2 = 2, φ = tan = 45 A 3 = R(s) s= 3 = 1 s 2 +2s+5 s+3 s + 3 s= 3 = = 1 8 Y(t)= [ 1 8 sin 2 t 1 8 cos(2 t)] e t e 3t = 2 8 sin 2 t π 4 e t e 3 t Σκίτσο απόκρισης;; 23

24 Παράδειγμα (2) Υπολογισμός (στον πίνακα!) απόκρισης κυκλώματος RC για είσοδο Ε Volts. Ποια εξίσωση αναπαριστά τη λειτουργία του κυκλώματος; e(t)=i(t) R + u(t), u(0)=u 0 ή e t = R C d u t + u t, u 0 = U dt 0 24

25 Παράδειγμα (συνέχεια) Πώς προχωρούμε: Laplace, χρήση βηματικής εισόδου Ε s = Ε, s χωρισμός σε απλά κλάσματα, μέθοδος υπολοίπων και αντίστροφος Laplace Οπότε 25

26 Παράδειγμα (συνέχεια) Πώς προχωρούμε: Laplace, χρήση βηματικής εισόδου Ε s = Ε, s χωρισμός σε απλά κλάσματα, μέθοδος υπολοίπων και αντίστροφος Laplace Οπότε u t = E E U 0 e t R C 26

27 Παράδειγμα (συνέχεια) Πώς προχωρούμε: Laplace, χρήση βηματικής εισόδου Ε s = Ε, s χωρισμός σε απλά κλάσματα, και αντίστροφος Laplace Οπότε u t = E E U 0 e t R C = U0 e t R C + Ε 1 e t R C Εξετάσατε τις περιπτώσεις t, U 0 = 0. Ποιά η ελεύθερη και ποιά η εξαναγκασμένη απόκριση; 27

28 Παρατηρήσεις 28

29 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η ελεύθερη απόκριση εξαρτάται μόνο απο τις αρχ. συνθήκες: άρα τελικά, αν δεν μεσολαβεί συνεχώς διέγερση, για t u(t) 0, αν η απόκριση του συστήματος συγκλίνει [ όχι π.χ. sin(ω t)!!! ] 29

30 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Η ελεύθερη απόκριση εξαρτάται μόνο απο τις αρχ. συνθήκες: άρα τελικά, αν δεν μεσολαβεί συνεχώς διέγερση, για t u(t) 0, αν η απόκριση του συστήματος συγκλίνει [ όχι π.χ. sin(ω t)!!! ] Η (λόγω διέγερσης) εξαναγκασμένη απόκριση u(t) 0 για t. Συνεπώς, από τη συνάρτηση μεταφοράς (=με μηδενικές αρχικές συνθήκες) υπολογίζεται, με L 1 η μόνιμη τιμή της απόκρισης (αν υπάρχει!) για t. 30

31 Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της μόνιμης κατάστασης σήματος y(t) για t, αν το y(t) υπάρχει: Θεώρημα τελικής τιμής: Αν η συνάρτηση y(t) έχει όριο, τότε αυτό θα είναι y = y(t) t = lim s 0 s Y(s) Π.χ. για το κύκλωμα RC: U(s)= 1 R C s+1 E(s) u = lim s 0 s 1 R C s+1 Ε s = 1 E = E 31

32 Για είσοδο u(t), η εξαναγκασμένη απόκριση y(t) δίδεται στο πεδίο του χρόνου από το ολοκλήρωμα της ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ (convolution): y εξ. t = 0 t g t τ u t dτ με g(t) τη βαρυτική συνάρτηση (ορισμός). 32

33 Για είσοδο u(t), η εξαναγκασμένη απόκριση y(t) δίδεται στο πεδίο του χρόνου από το ολοκλήρωμα της ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ (convolution): y εξ. t = 0 t g t τ u t dτ με g(t) τη βαρυτική συνάρτηση (ορισμός). Αλλά η εξαναγκασμένη απόκριση δίδεται από τη Σ.Μ. στο πεδίο Laplace: Y s = G s U s 33

34 Για είσοδο u(t), η εξαναγκασμένη απόκριση y(t) δίδεται στο πεδίο του χρόνου από το ολοκλήρωμα της ΣΥΝΕΛΙΞΗΣ (convolution): y εξ. t = 0 t g t τ u τ dτ με g(t) τη βαρυτική συνάρτηση (ορισμός). Αλλά η εξαναγκασμένη απόκριση δίδεται από τη Σ.Μ. στο πεδίο Laplace: Y s = G s U s ΑΡΑ g t = L 1 G s ή g t = L 1 [Y s για U s = 1] «Η g t είναι ο L 1 της απόκρισης του συστήματος σε κρουστική δ(t)» 34