7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Transcript

1 1 7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τα πρόσηµα : Τα µαθηµατικά σύµβολα + και τα ονοµάζουµε πρόσηµα. 2. Θετικοί αρνητικοί αριθµοί : Όλοι οι αριθµοί που µπροστά τους έχουν το πρόσηµο + ονοµάζονται θετικοί ενώ όσοι έχουν µπροστά τους το πρόσηµο ονοµάζονται αρνητικοί. 3. Μία επισήµανση : Το 0 δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθµός. 4. Οµόσηµοι αριθµοί : Ονοµάζονται οι αριθµοί µε το ίδιο πρόσηµο. 5. Ετερόσηµοι αριθµοί : Ονοµάζονται οι αριθµοί µε διαφορετικό πρόσηµο. 6. Ακέραιοι αριθµοί : Είναι όλοι οι γνωστοί µας φυσικοί µαζί µε τους αντίστοιχους αρνητικούς. 7. Ρητοί αριθµοί : Είναι όλοι οι γνωστοί µας έως τώρα αριθµοί φυσικοί κλάσµατα δεκαδικοί) µαζί µε τους αντίστοιχους αρνητικούς. 8. Παράσταση ρητών µε σηµεία µιας ευθείας Πάνω σε µία ευθεία θεωρούµε ένα σηµείο Ο στο οποίο τοποθετούµε το 0. εξιά του Ο θεωρούµε ένα σηµείο Α στο οποίο τοποθετούµε τον αριθµό +1, δεξιά του Α σε ένα σηµείο Β, για το οποίο ισχύει ΟΒ = 2ΟΑ, τοποθετούµε τον αριθµό +2, στο σηµείο Γ, για το οποίο ισχύει ΟΓ = 3ΟΑ, τον αριθµό + 3. Αριστερά του Ο στο σηµείο, για το οποίο ισχύει Ο = ΟΑ, τον αριθµό 1 κλπ. Τον αριθµό τον τοποθετούµε στο σηµείο Κ για το οποίοισχύει ΟΚ = 2 1 ΟΑ και συνεχίζουµε ανάλογα. Τα παραπάνω φαίνονται στο σχήµα

2 2 Ο Κ Α Β Γ Ο αριθµός που τοποθετούµε σε κάθε σηµείο ονοµάζεται τετµηµέµη του σηµείου. Η παραπάνω ευθεία ονοµάζεται ευθεία των ρητών αριθµών. ΣΧΟΛΙΟ Συµφωνία : Πολλές φορές το πρόσηµο + µπροστά από έναν συγκεκριµένο θετικό αριθµό χάριν απλότητας το παραλείπουµε. πχ αντί για + 7 γράφουµε 7, αντί για γράφουµε 2 1 κλπ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις µε Σ αν είναι σωστές και µε Λ αν είναι λανθασµένες Κάθε ακέραιος είναι ρητός Σ Κάθε ρητός είναι φυσικός Λ γ) Οι φυσικοί δεν είναι ρητοί Λ δ) Το 0 είναι ρητός Σ ε) Οι αριθµοί 4 1 και είναι οµόσηµοι Λ στ) Οι αριθµοί 5,51 και + 4 είναι οµόσηµοι Σ 7 Η πρόταση είναι σωστή δεδοµένου ότι στους ρητούς συµπεριλαµβάνονται και οι ακέραιοι. Η πρόταση είναι λανθασµένη δεδοµένου ότι ο αριθµός 3,12 είναι ρητός αλλά όχι φυσικός. γ) Η πρόταση είναι λανθασµένη δεδοµένου ότι στους ρητούς συµπεριλαµβάνονται και οι φυσικοί. δ) Η πρόταση είναι σωστή δεδοµένου ότι στους ρητούς συµπεριλαµβάνονται και οι ακέραιοι και το 0 είναι ακέραιος. ε) Η πρόταση είναι λανθασµένη δεδοµένου ότι οι αριθµοί έχουν διαφορετικά πρόσηµα. στ) Η πρόταση είναι σωστή δεδοµένου ότι οι αριθµοί έχουν το ίδιο πρόσηµο.

3 3 2. Ένας έµπορος στο τέλος ενός µήνα είχε είσπραξη 1532,5 ενώ το χρέος του ήταν 1757, 35. Να βρείτε και να γράψετε τον αριθµό που εκφράζει το κέρδος ή τη ζηµιά του εµπόρου. Είναι φανερό ότι αφού το χρέος ήταν µεγαλύτερο από την είσπραξη, ο έµπορος είχε ζηµιά ίση µε 1757, ,5 = 224,85. Το γεγονός αυτό το αποδίδουµε µε το αριθµό 224, Χρησιµοποιώντας κατάλληλους ρητούς αριθµούς, να εκφράσετε τα παρακάτω γεγονότα, θεωρώντας ότι το έτος 0 γεννήθηκε ο Χριστός. Μάχη του Μαραθώνα (490 π.χ), ναυµαχία της Σαλαµίνας (480 π.χ), γέννηση του Ευκλείδη (330 π.χ), άλωση Κωνσταντινούπολης (1453 µ.χ), Ολυµπιακοί αγώνες στην Ελλάδα (2004 µ.χ), καθιέρωση του Ευρώ σαν νόµισµα στην χώρα µας (2002 µ.χ), θάνατος του Einstein (1955 µ.χ) 490, 480, 330, +1453, , +2002, Τοποθέτησε σε έναν άξονα τα σηµεία Α, Β, Ο,, Ε, Ζ µε τετµηµένες 5, + 3, 0, 1, 1, + 2 αντίστοιχα και στη συνέχεια βρές και ονόµασε τα συµµετρικά αυτών ως προς την αρχή Ο του άξονα. Α Β Ζ Ε Ο Ζ Β Α Τα σηµεία Α, Β, Ο,, Ε, Ζ τα βλέπουµε στον παραπάνω άξονα. Τα συµµετρικά αυτών ως προς το Ο είναι τα Α, Β, Ο, Ε,, Ζ αντίστοιχα, στα οποία αντιστοιχούν οι αριθµοί + 5, 3, 0, 1, + 1, 2 5. Να περιγράψετε τι συµβολίζουν οι αριθµοί +2, + 5, 4, 3, 2, 0 Σε ένα θερµόµετρο Αποστάσεις σε m από την επιφάνεια της θάλασσας. Θερµοκρασία 2 ο C πάνω από το 0, θερµοκρασία 5 ο C πάνω από το 0, θερµοκρασία 4 ο C κάτω από το 0, θερµοκρασία 3 ο C κάτω από το 0, θερµοκρασία 2 ο C κάτω από το 0 και θερµοκρασία 0 ο C. 2 m πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, 5 m πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας, 4 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, 3 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας, 2 m κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και πάνω στην πιφάνεια της θάλασσας.

4 4 6. Με τη βοήθεια των ρητών αριθµών να εκφράσετε τα παρακάτω: ζηµία 150, κέρδος 500, αύξηση βάρους κατά 3kg, κατάθεση 50, άνοδος της θερµοκρασίας κατά 3 βαθµούς Κελσίου, ανάληψη 1000, πτώση της θερµοκρασίας κατά 5 βαθµούς Κελσίου. 150, + 500, + 3kg, + 50, + 3 ο C, 1000, 5 ο C 7. Με τους αριθµούς + 3, 5, + 1,6, 4 1, 0,8, + 5 4, 8 συµπληρώστε τον πίνακα Θετικοί ρητοί +3, +1,6, + 4 5, 8 Αρνητικοί ρητοί 5, 1 4, 0,8 Συµπληρώσαµε τον πίνακα µε τα κόκκινα στοιχεία 8. Να βρείτε τους αριθµούς που παριστάνουν τα σηµεία : Α, Β, Γ, στον παρακάτω άξονα Γ Ο Β Α Στο Α αντιστοιχεί ο αριθµός + 2,3, στο Β αντιστοιχεί ο αριθµός + 0,7, στο Γ αντιστοιχεί ο αριθµός 1,8, στο αντιστοιχεί ο αριθµός 2,4. 9. Να βρείτε εκφράσεις της καθηµερινότητας στις οποίες εµπλέκονται οι αριθµοί + 3m, 5m 250, γ) + 10 ο C, 4 o C 3 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας και 5 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας Ανάληψη 250 και κατάθεση 300 γ) Θερµοκρασία 10 βαθµοί Κελσίου πάνω από το 0 και θερµοκρασία 4 βαθµοί Κελσίου κάτω από το 0.

5 10. Στο σχολείο σας, αν µία µέρα έχετε εξάωρο και την τρίτη ώρα των µαθηµάτων σας την αντιστοιχίσετε µε το 0 να εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων όλες τις ώρες της ηµέρας. 1 η ώρα 2, 2 η ώρα 1, 3 η ώρα 0, 4 η ώρα +1, 5 η ώρα + 2, 6 η ώρα +3 5