ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÊåöÜëáéï 8 ï. -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí"

Transcript

1 ÊåöÜëáéï 8 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 24: -Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß -ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò -ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ -Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý -áíôßèåôïé áñéèìïß -Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá 25: -Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí -Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí

2

3 24 ÂéâëéïìÜèçìá Ïé èåôéêïß êáé ïé áñíçôéêïß áñéèìïß ÐáñÜóôáóç ôùí ñçôþí ìå óçìåßá ìéáò åõèåßáò ÓõíôåôáãìÝíåò óçìåßïõ Áðüëõôç ôéìþ ñçôïý áñéèìïý - Áíôßèåôïé áñéèìïß Óýãêñéóç ôùí ñçôþí áñéèìþí Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Θετικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το µηδέν, που είναι µεγαλύτερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά τους το πρόσηµο συν (+), ή δεν έχουν πρόσηµο. Αρνητικοί ονοµαζονται οι αριθµοί, εκτός από το µηδέν, που είναι µικρότερος από το µηδέν. Έχουν µπροστά τους το πρόσηµο ( ). Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ακέραιοι; Οι φυσικοί αριθµοί, καθώς και οι αρνητικοί αριθµοί που προκύπτουν από τους φυσικούς, όταν βάλουµε µπροστά το πρόσηµο ( ) αποτελούν το σύνολο των ακέραιων. Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ακέραιων αριθµών; Το σύνολο των ακέραιων αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα Ζ και είναι: Ζ = {..., 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3,...}. Τι συµβολίζουµε µε το Ζ* Το σύνολο των ακέραιων αριθµών, χωρίς το µηδέν το συµβολίζουµε µε το Ζ* και είναι: Ζ* = {..., 3, 2, 1, +1, +2, +3,...}. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται ρητοί; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των ρητών αριθµών; Τι συµβολίζουµε µε το Q*

4 298. Οι ρητοί αριθµοί Οι αριθµοί που είναι σε κλασµατική µορφή ή που µπορούν να γραφούν σαν κλάσµα, καθώς και οι αντίστοιχοι αρνητικοί τους λέγονται ρητοί αριθµοί.το σύνολο όλων αυτών των αριθµών το συµβολίζουµε µε το γράµµα Q. Mε το συµβολισµό Q* ( που το διαβάζουµε : Q άστρο ) δηλώνουµε το σύνολο των ρητών, χωρίς το µηδέν. Ποιοι αριθµοί ονοµάζονται οµόσηµοι και ποιοι ετερόσηµοι; ύο ή περισσότεροι µη µηδενικοί ρητοί που έχουν το ίδιο πρόσηµο λέγονται οµόσηµοι. ύο µη µηδενικοί ρητοί που έχουν διαφορετικά πρόσηµα λέγονται ετερόσηµοι. Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α; Έστω ένας ρητός αριθµός α και Α το σηµείο που παριστάνει τον αριθµό α πάνω στον άξονα. Η απόσταση του σηµείου Α από το σηµείο Ο λέγεται απόλυτη τιµή του α και συµβολίζεται µε α. Ποιοι αριθµοί λέγονται αντίθετοι; ύο αριθµοί λέγονται αντίθετοι όταν έχουν έχουν ίδια απόλυτη τιµή και διαφορετικά πρόσηµα. Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α; Ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α είναι ο α. Τι γνωρίζετε γιά τις αποστάσεις των αντίθετων αριθµών από την αρχή Ο του άξονα; Τα σηµεία τα οποία παριστάνουν αντίθετους αριθµούς στον άξονα ισαπέχουν από το σηµείο Ο. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

5 Οι ρητοί αριθµοί 299. Η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού είναι ο ίδιος ο αριθµός. Η απόλύτη τιµή ενός αρνητικού αριθµού είναι ο αντίθετός του. Η απόλυτη τιµή του µηδενός είναι το µηδέν. Πώς συγκρίνουµε δύο ρητούς αριθµούς; Από δύο ρητούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι εκείνος που βρίσκεται δεξιότερα πάνω στον άξονα Από δύο θετικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Από δύο αρνητικούς αριθµούς µεγαλύτερος είναι αυτός που έχει την µικρότερη απόλυτη τιµή. Κάθε θετικός αριθµός είναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό αριθµό. Το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό. Nα εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων: α. Κέρδος 300. β. Ζηµία γ µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας. δ µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας. ε. Το έτος 333 π.χ. στ. Το έτος 35 µ.χ. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

6 300. Οι ρητοί αριθµοί ζ. Πτώση της θερµοκρασίας κατα 4 0 C. η. Άνοδο της θερµοκρασίας κατα 3 0 C. ι. Θερµοκρασία 35 0 C πάνω από το µηδέν. ια. Αύξηση του πληθυσµού κατα 1,5%. α ευρώ β ευρώ γ µέτρα δ µέτρα ε. 333 έτη στ. +35 έτη ζ. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά 4 0 C η. µεταβολή της θερµοκρασίας κατά +3 0 C ι. θερµοκρασία C ια. µεταβολή του πληθυσµού κατα +1,5% Να περιγράψετε τι εκφράζουν οι αριθµοί +200, 330, 1000, +550, 0, +2004: α. σε υψόµετρα από την επιφάνεια της θάλασσας που µετρήθηκαν σε µέτρα. β. σε έτη µε αρχή το έτος της γέννησης του Χριστού. Οι παραπάνω αριθµοί εκφράζουν: α. 200 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας, 330 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλλασας, 1000 µέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλλασας, 550 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας, στην επιφάνεια της θάλλασας, 2004 µέτρα πάνω από την επιφάνεια της θάλλασας αντίστοιχα. β. το έτος 200µ.Χ, το έτος 330π.Χ, το έτος 1000π.Χ, το έτος 550µ.Χ, (0) το έτος γέννησης του Χριστού, το έτος 2004 µ.χ. αντίστοιχα. Να βρείτε ποιοι από τους παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοί είναι αρνητικοί; Θετικοί είναι οι αριθµοί +8, +0,33, +8, 3,5, +0,33, 0, 0,001, , Αρνητικοί είναι οι αριθµοί 3,5, 0,001, Το µηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθµός. Σε µία πόλη έχει παρατηρηθεί ότι η ελάχιστη θερµοκρασία κατά τις πρώτες πρωινές ώρες του χειµώνα φτάνει 9 0 C, ενώ το καλοκαίρι C. Αν µε x συµβολίσου- µε τις τιµές της ελάχιστης θερµοκρασίας σε βαθµούς κελσίου, να γράψετε τις ακέραιες τιµές που µπορεί να πάρει η µεταβλητή x. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

7 Οι ρητοί αριθµοί 301. Η µεταβλητή x µπορεί να πάρει τις τιµές 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, +8, +9, +10, +11, +12, +13, +14, +15 Nα τοποθετήσετε τους αριθµούς 5, +9, 8, 3,1 +2,5, 1 2 3, πάνω στον άξονα , , , Να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία Α, Β, Γ,, Ε και Ζ στον παρακάτω άξονα Ã=+6 Ä= 2 Z E A = +0,5 B = +2,5 Α 8,4 Β 3,3 Γ 6,5 1,9Ε7,8Ζ2,7 Να βρείτε τα σηµεία του επιπέδου Α(2,5), Β(-4,2), Γ(-4,-3), (7,-3). Να σχεδιάσετε το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α,Β,Γ,. Είναι: Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

8 302. Οι ρητοί αριθµοί Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών 3, 2, +5, 9, 0, 1,3, +0.5, -,+, 3, Είναι: 3 = 3, 2 = 2, +5 = 5, 9 = 9, 0 = 0, 1,3 = 1,3, +0,5 = 0,5, 3 3 =, =, = 3, = Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή: α. 3 β. 4,2 γ. 0 δ. 5 α. Απόλυτη τιµή ίση µε 3 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 3 και -3 β. Απόλυτη τιµή ίση µε 4,2 έχουν οι αντίθετοι αριθµοί 4,2 και -4,2 γ. Απόλυτη τιµή ίση µε 0 έχει ο αριθµός 0 δ. εν υπάρχει αριθµός που να έχει απόλυτη τιµή ίση µε -5 γιατί ως γνωστόν η απόλυτη τιµή ενός αριθµού είναι πάντα θετικός αριθµός ή µηδέν. Να βρείτε: α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 5. β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη από 5 είναι : 4, 3, 2, 1, 0, 1, +2, +3, +4. Οι αριθµοί που έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 6 είναι : 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, +2, +3, +4, +5, +6. Να βρείτε έξι διαφορετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 5. Ρητοί αριθµοί µε απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του 5 είναι άπειροι. Έξι απ αυτούς είναι οι: 8, 9,2, +7,3, +12,1, 10, 12,1 Να κάνετε τις πράξεις: α , β , γ. -13,1 + -5, Επειδή α. 3 = 3, 9 = 9 και 2 = 2 έχουµε = = 12 2 = 10 β. 1 = 1, 8 = 8, +3 = 3, 5 = 5 έχουµε: Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

9 Οι ρητοί αριθµοί = = = 12 5 = 7 γ. 13,1 = 13,1 5,9 = 5,9, 3 = 3 και +3 = 3 οπότε: 13,1 + 5, = 13,1 + 5, = = 19 Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων. α , β γ α = = 18 5 = 13 β = = = 65 γ. Σύµφωνα µε τα α. και β. είναι: = = = 78 Να συγκριθούν οι αριθµοί: α. 8, 13 β. +10, 20 γ. +30, 0, 13 α. Οι αριθµοί 8, 13 είναι αρνητικοί οπότε µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε την µικρότερη απόλυτη τιµή και επειδή 8 = 8, 13 = 13 και 8 < 13 συµπεραίνουµε ότι 13 < 8. β. Επειδή ο αριθµός 10 είναι θετικός και ο αριθµός 20 είναι αρνητικός (και ως γνωστόν κάθε θετικός ειναι µεγαλύτερος από κάθε αρνητικό) συµπεραίνουµε ότι 20 < +10. γ. Επειδή το µηδέν είναι µεγαλύτερο από κάθε αρνητικό και µικρότερο από κάθε θετικό αριθµό προκύπτει ότι 13 < 0 < +30. Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: 8, +0,08, 5, +7, 3,3, +4,8, 0,2, +0,2, 0,3 και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα Οι αριθµοί 8, 5, 3,3, 0,2, 0,3 ειναι αρνητικοί και ως γνωστόν µικρότερος είναι αυτος που έχει µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα έχουµε τη διάταξη 8 < 5 < 3,3 < 0,3 < 0,2. Από τους θετικούς +0,08, +10, +7, +4,8, +0,2, +0,08 µεγαλύτερος είναι ο αριθµός µε την µεγαλύτερη απόλυτη τιµή άρα: +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7 Έχουµε λοιπόν: 8 < 5 < 3,3 < 0,3 < 0,2 < +0,08 < +0,2 < +4,8 < +7 Η διάταξη των παραπάνω αριθµών στον άξονα φαίνεται στο παρακάτω σχήµα ,3 0,3 0,2 4, ,2 0,08 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

10 304. Οι ρητοί αριθµοί Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι: α. µεγαλύτεροι από τον -6 και µικρότεροι από τον -3. β. µεγαλύτεροι από τον -3,2 και µικρότεροι από τον -3,1. α. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι 5,5, 5, 4,5, 4, 3,5 και 3,8 αφου ισχύει: 6 < 5 < 4,5 < 4 < 3,8 < 3,5 < 3 β. Πέντε ρητοί οπως αυτοί που ζητάµε είναι οι 3, 18, 3,17, 3,15, 3,13 3,12 αφου ισχύει: 3,2 < 3,18 < 3,17 < 3,15 < 3,13 < 3,12 < 3,1 Να συγκρίνετε τους αριθµούς: α. 20 και 12 β. 5,5 και 4,5 γ. 2,5 και 0,1 δ. 5 και 4,8 ε. 0, 1,3 στ και 2004 Είναι: α. 20 < 12 β. 5,5 < 4,5 γ. 2,5 < 0,1 δ. 4,8 < 5 ε. 1,3 < 0 στ < 2004 Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει να είναι αληθής. α ε β στ ( 9) γ ζ δ η. -0,1... 0,1 α. 7 > 10 β. 8 < 3 γ. 10 > 20 δ. 3 = 3 ε. 8 = 8 (επειδή 8 = 8) στ. 9 = ( 9) ( 9) = 9 = 9 ζ. 13 = 13 ( 13 = 13) η. 0,1 < 0,1 ( 0,1 = 0,1) Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

11 Οι ρητοί αριθµοί Να εκφράσετε µε την βοήθεια των προσήµων τους αριθµούς κέρδη 3000, ζηµία 5000, δαπάνες , αύξηση θερµοκρασίας 5 0 C, µείωση της θερµοκρασίας 3 0 C, αύξηση του ύψους κατα 10cm, 500π.Χ. 2. Να περιγράψετε τι συµβολίζουν οι αριθµοί +2, 3, +5, 7, 11 σε ένα θερµόµετρο το οποίο είναι βαθµολογηµένο σε βαθµούς Κελσίου. 3. Ποιοί από του παρακάτω αριθµούς είναι θετικοί και ποιοι είναι αρνητικοί 20, 0, 3, +9, 8,2, +3, 5, 1 2, Να βρείτε ποιοι από τους αριθµούς 9, +5, +2, -3, +9, +3, 5,6, +7,1 είναι οµόσηµοι µε τον: α. +3 β Να χωρίσετε τους αριθµούς 3, +2,2, 5,2, 7, +2, 9, σε δύο οµάδες οµόσηµων αριθµών , + 7, Να σχεδιάσετε το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τα σηµεία του επιπέδου Α(4,5), Β(2,1) και Γ(7,1). Να σχεδιάσετε το ύψος Α του τριγώνου και να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου. 7. Να βρείτε τις συντεταγµένες των κορυφών του πενταγώνου ΑΒΓ Ε. Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

12 306. Οι ρητοί αριθµοί 8. Να βρείτε την απόλυτη τιµή των αριθµών: 8, 14, 32, 1,32, +7,2, 2, , 5 1 2, Να βρείτε ποιοι αριθµοί έχουν απόλυτη τιµή: α. 8 β. 5,1 γ. 0 δ Να βρείτε: α. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του 4. β. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του 4. γ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη ή ίση του µηδενός. δ. όλους τους ακέραιους αριθµούς πού έχουν απόλυτη τιµή µικρότερη του µηδενός. 11. Να βρείτε έξι διαφορετικούς θετικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του Να βρείτε έξι διαφορετικούς αρνητικούς ρητούς αριθµούς που να έχουν απόλυτη τιµή µεγαλύτερη του Να κάνετε τις πράξεις: α , β , γ. 1,12 + 4, Να κάνετε τις πράξεις: α β. 0, γ. 0, , Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

13 Οι ρητοί αριθµοί Να βρείτε τα αποτέλεσµατα των παραστάσεων. α , β γ Να βρεθούν οι ρητοί αριθµοί x για τους οποίους ισχύει: α. x = 2, β. x = 3, γ. x = 4 δ. x = 0,3 ε. x = Να βρείτε τους αντίθετους των αριθµών: +3,2, 4,8, +8,2, 5, 9, +7, , 3, +, ύο σηµεία Α, Β του άξονα παριστάνουν δύο αντίθετους αριθµούς. Αν η απόσταση τους είναι ίση µε 30 µονάδες, να βρείτε ποιούς αριθµούς παριστάνουν τα σηµεία αυτά. 19. Να συγκριθούν οι αριθµοί σε κάθε περίπτωση: α. 8 και 15 β. 32 και 20 γ. 22 και 0 δ. 15 και 0 ε. 30 και 2 στ. 5,1 και -5, Να γράψετε στη σειρά από το µικρότερο προς το µεγαλύτερο τους αριθµούς: 9, +11, +1,08, 4, +8, 4,3, +5,8, 0,3, +0,3, 0,4 και κατόπιν να τους τοποθετήσετε πάνω στον άξονα. 21. ίνονται οι αριθµοί 3,5, +7,2, 3,1, 0,2, +3,8, 0. α. Να τους παραστήσετε πάνω στον άξονα. β. Να τους διατάξετε από τον µικρότερο προς τον µεγαλύτερο. 22. Να βρείτε πέντε ρητούς αριθµούς που να είναι: α. µεγαλύτεροι από τον 8 και µικρότεροι από τον 4. β. µεγαλύτεροι από τον 2,2 και µικρότεροι από τον 2, Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει να είναι αληθής. α β γ δ ε στ ( 6) ζ η. 0,3... 0,3 24. Αν για την µεταβλητή x ισχύει x < 5, να βρείτε όλες τις ακέραιες τιµές της µεταβλητής x. 25. Οµοίως αν: α. x 3 β. 8 < x < 2 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

14 308. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 α. Ποιοί αριθµοί ονοµάζονται θετικοί και ποιοί αρνητικοί; β. Ποιοί αριθµοί λέγονται αντίθετοι; Πως συµβολίζεται ο αντίθετος ενός ρητού αριθµού α; Ερώτηση 2 α. Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού α; β. Με τι ισούται η απόλυτη τιµή ενός θετικού αριθµού, ενός αρνητικού και του µηδενός; Άσκηση 1 Να συµπληρώσετε τα κενά (...) µε ένα από τα σύµβολα <, =, > έτσι ώστε η σχέση που προκύπτει, να είναι αληθής. α β γ δ ε στ ζ η Άσκηση 2 Να γίνουν οι πράξεις: α β γ. 13,5 + 3,5 3,1 Οι θετικοί και αρνητικοί αριθµοί - Παράσταση των ρητών µε σηµεία µιας ευθείας - Συντεταγµένες σηµείου - Απόλυτη τιµή ρητού αριθµού - Αντίθετοι αριθµοί - Σύγκριση των ρητών αριθµών

15 25 ÂéâëéïìÜèçìá Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí Áöáßñåóç ñçôþí áñéèìþí Πώς προσθέτουµε δύο οµόσηµους ρητούς; Για να προσθέσουµε δύο οµόσηµους ρητούς, προσθέτουµε τις απόλυτες τιµές τους και στο άθροισµα αυτό βάζουµε το κοινό πρόσηµό τους. Πώς προσθέτουµε δύο ετερόσηµους ρητούς; Για να προσθέσουµε δύο ετερόσηµους ρητούς αφαιρούµε τη µικρότερη απόλυτη τιµή από την µεγαλύτερη και στην διαφορά αυτή βάζουµε το πρόσηµο του ρητού που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή. Αν η διαφορά των απόλυτων τιµών είναι µηδέν, τότε το άθροισµα είναι µηδέν. Πως αφαιρούµε δύο ακέραιους; Για να βρούµε τη διαφορά δύο ακέραιων αριθµών, προσθέτουµε στον µειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου. Ο παραπάνω κανόνας ισχύει και στην περίπτωση που θέλουµε να αφαιρέσουµε δύο οποιουσδήποτε ρητούς αριθµούς. Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β, από τον ρητό αριθµό α; Αν έχουµε τους ρητούς αριθµούς α και β, τότε ο ρητός αριθµός x ο οποίος προστιθέµενος στον β µας δίνει τον α ονοµάζεται διαφορά του β από τον α.

16 310. Οι ρητοί αριθµοί Ο αριθµός α λέγεται µειωτέος και ο β αφαιρετέος και το α β διαφορά του β από το α. π.χ. ( 3) (+7) = ( 3) + ( 7) = 10. Ο ακέραιος α = 3 είναι ο µειωτέος, ο β = +7 ειναι ο αφαιρετέος και το αποτέλεσµα γ = 10 είναι η διαφορά του β = +7 από το α = 3 Στις ασκήσεις για να βρούµε την διαφορά α β δύο ρητών αριθµών α,β, προσθέτουµε στον α τον αντίθετο του β, δηλαδή: α β = α + ( β) Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (οµόσηµοι): α. (+3) + (+4) β. (+4 ) + (+8) γ. ( 3 ) + ( 4) δ. ( 5) + ( 7 ) ε. ( 8 ) + ( 3) α. (+3) + (+4) = +7 β. (+4) + (+8) = +12 γ.( 3 ) + ( 4 ) = 7 δ. ( 5) + ( 7) = 12 ε. ( 8) + ( 3) = 11 Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα (ετερόσηµοι): α.(+4) + ( 3) β. (+4) + ( 8) γ. ( 3) + (+4) δ. ( 5) + (+7) ε. ( 8) + (+3) α. (+4) + ( 3) = +1 β. (+4) + ( 8) = 4 γ. ( 3 ) + (+4) = +1 δ. ( 5) + (+7) = +2 ε. ( 8) + (+3) = 5 Να υπολογισθούν τα παρακάτω αθροίσµατα: α. (+3) + (+4) β. (+2,2) + (+3,1) γ. ( 5) + ( 8) δ. ( 3,4) + ( 8,2) ε. ( 10) + (0) στ. (+5) + ( 2) ζ. (+9) + ( 12) η. ( 2,5) + (+7,3) θ. ( 0,8) + (+0,8) ι Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

17 Οι ρητοί αριθµοί 311. α. (+3) + (+4) = +7 β. (+2,2) + (+3,1) = +5,3 γ. ( 5) + ( 8) = 13 δ. ( 3,4) + ( 8,2) = 11,6 ε. ( 10) + (0) = 10 στ. (+5) + ( 2) = +3 ζ. (+9) + ( 12) = 3 η. ( 2,5) + (+7,3) = +4,8 θ. ( 0,8) + (+0,8) = ι = Να υπολογίσετε τις διαφορές (οµόσηµοι): α. (+3) (+4) β. (+4) (+8) γ. ( 3) ( 4) δ. ( 5) ( 7) ε. ( 8) ( 3) α. (+3) (+4) = (+3) + ( 4) = 1 β. (+4) (+8) = (+4) + ( 8) = 4 γ. ( 3) ( 4) = ( 3) + (+4) = +1 δ. ( 5) ( 7) = ( 5) + (+7) = +2 ε. ( 8) ( 3) = ( 8) + (+3) = 5 Να υπολογίσετε τις διαφορές (ετερόσηµοι): α. (+4) ( 3), β. (+4) ( 8), γ. ( 3) (+4), δ. ( 5) (+7), ε. ( 8) (+3), α. (+4) ( 3 ) = (+4) + (+3) = +7 β. (+4) ( 8) = (+4) + (+8) = +12 γ. ( 3) (+4 ) = ( 3) + ( 4) = 7 δ. ( 5) (+7) = ( 5) + ( 7) = 12 ε. ( 8 ) (+3) = ( 8) + ( 3) = 11 Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. (+5) ( 2) β. (+5) (+4) γ. (+7) ( 9) δ. (+6) (+18) ε. ( 3) ( 8) στ. ( 3) (+7) ζ. ( 5) ( 3) η. ( 7) (+4) α. (+5) ( 2) = (+5) + (+2) = +7 β. (+5) (+4) = (+5) + ( 4) = +1 γ. (+7) ( 9) = (+7) + (+9) = +16 δ. (+6) (+18) = (+6) + ( 18) = 12 ε. ( 3) ( 8) = ( 3) + (+8) = +5 στ. ( 3) (+7) = ( 3) + ( 7) = 10 ζ. ( 5) ( 3) = ( 5) + (+3) = 2 η. ( 7) (+4) = ( 7) + ( 4) = 11 Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και β α όταν: 1. α = +3, β = α = +7, β = α = 8, β = α = 3, β = 9 1. α β = (+3) (+5) = (+3) + ( 5) = 2, β α = (+5) (+3) = (+5) + ( 3) = α β = (+7) ( 10) = (+7) + (+10) = +17, β α = ( 10) (+7) = ( 10) + ( 7 ) = α β = ( 8) (+13) = ( 8) + ( 13) = 21, β α = (+13) ( 8) = (+13) + (+8) = +21 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

18 312. Οι ρητοί αριθµοί 4. α β = ( 3) ( 9) = ( 3) + (+9) = +6, β α = ( 9) ( 3) = ( 9) + (+3) = 6 Να υπολογίσετε τον x ώστε να είναι αληθείς οι παρακάτω ισότητες: (να λυθούν οι εξισώσεις) α. x + (+5) = 8 β. x + ( 5) = 9 α. Είναι: x+ ( + 5) = 8 β. Είναι: x+ ( 5) = 9 ή x = 8 ( + 5) ή x = 9 ( 5) ή x = 8+ ( 5) ή x = 9+ ( + 5) x =+ 3 x = 14 Να λύσετε την εξίσωση: x + 3 = 4 ισχύει x + 3 = 4 Αν x + 3 = 4 είναι: x + 3 = 4 ή x + 3 = 4 οπότε x = 4 3 ή x = 4 3 Άρα x = 1 ή x = 7 Γενικά, αν x θ =, όπου θ θετικός αριθµός τότε είναι x θ = ή x θ = Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

19 Οι ρητοί αριθµοί Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: 1. ( + 3) + ( + 7) 2. ( + 9) + ( + 10) 3. ( 8) + ( 13) 4. ( 12) + ( 31) 5. ( 5) + ( 8) 6. ( 9) + ( 12) 7. ( + 4) + ( + 15) 8. ( 10) + ( + 8) 9. ( 12) + ( + 13) 10. ( + 10) + ( 7) 11. ( + 8) + ( 3) 12. ( 13) + ( + 15) 13. ( 19) + ( + 8) 14. ( 20) + ( + 15) 15. ( 9) + ( + 32) 16. ( 15,3) + ( + 7,5) 17. ( 17, 4) ( 19,1) ( + 0, 2) ( 0,31) 2. Να προσθέσετε καθένα από τους αριθµούς: 3, 5, +6 µε καθένα από τους αριθ- µούς: +3, +5, Να βρείτε ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε: α. στο +10 για να βρούµε άθροισµα 15 β. στο 10 για να βρούµε άθροισµα 15 γ. στο +8 για να βρούµε άθροισµα 3 δ. στο 12 για να βρούµε άθροισµα 13 ε. στο +7 για να βρούµε άθροισµα Να τοποθετήσετε κατάλληλα πρόσηµα στα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+ 4) + (...8) = 12 β. ( 3) + (...4) = 7 γ. (...4) + ( 5) = 1 δ. (...5) + (...3) = +8 ε. (...4) + (...2) = 6 στ. (...9) + (...2) = 11 ζ. (...12) + (...10) = 2 η. (...3) + (...19) = +16 θ. (...1) + (...4) = 5 ι. ( 2) + (...3) =...1 ια.(+8) + (...5) =... 3 ιβ. (+5) + (...12) =...7 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

20 314. Οι ρητοί αριθµοί 5. Να συµπληρωθεί ο πίνακας: 6. Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+3) + (+... ) = β. (... ) + ( 9) = γ. (...) + (+5) = 7 δ. (...) + (+20) = Να υπολογίσετε το άθροισµα α + β όταν: i. α = +2, β = +3 ii. α = 5, β = 6 iii. α = 7, β = +5 iv. α = 4, β = 13 v. α = +8, β = 8 8. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

21 Οι ρητοί αριθµοί Αν x = (+3) + ( 8) και y = ( 7) + ( 4), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x + y, Β = 2x = x + x, Γ = 2y = y + y, = Γ + y, E = B Αν x = +,y= και z = να υπολογίσετε τις 2 5 παραστάσεις: A = x + y, B = x + z, Γ = y + z 11. Να υπολογίσετε τα αθροίσµατα: α. ( 2 ) + (+ 9 ), β. (+ +8 ) + ( 10 ) 12. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. ( 3) ( 5) β. ( 13) ( 4) γ. ( 14) ( 5) δ. (+5) (+3) ε. ( 4) ( 12) στ. ( 9) (+7) ζ. (+12) (+10) η. ( 3) ( 19) θ. ( 1) ( 4) ι. ( 3) (0) ια. (0) ( 7) ιβ. (0) (+6) ιγ. ( 12) ( 12) ιδ. ( 13) (+13) 13. Να υπολογίσετε τις διαφορές: α. ( 2,5) (+3,2) β. ( 7,3) (+8,1) γ. ( 3,9) ( 2,1) δ. (+4,02) - (+2,13) ε. ( 5) (+6,2) στ. ( 7,6) (+7,6) ζ. ( 5,3) ( 5,3) η. (+14,82) (0) ι. (0) ( 9,15) 14. Να υπολογίσετε τις διαφορές: 2 1 α β γ δ ε στ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ. + + ( 0, 2) 5 7 ιε. 2 + ( 0,1) 1 7 ιζ ιη Η µέγιστη θερµοκρασία µίας περιοχής το καλοκαίρι είναι 40 ο C και η ελάχιστη το χειµώνα είναι 10 0 C. Να βρείτε τη διαφορά ανάµεσα στη µέγιστη και την ελάχιστη θερµοκρασία. Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

22 316. Οι ρητοί αριθµοί 16. Ένας αθλητής καταδύσεων εκτελεί κατάδυση από βατήρα ύψους 10m, και φτάνει σε βάθος 3,70 m.να βρείτε πόσο απέχει ο βατήρας από το σηµείο στο οποίο έφτασε ο αθλητής. 17. Nα λυθούν οι εξισώσεις: α. x + ( 2) = 5 β. x ( 3) = 8 γ. x (+6) = 8 δ. 4 + x = 7 ε. 8 x = 9 στ. ( 3) + x = 8 ζ. ( 5) x = Ποιόν αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στο 4 για να βρούµε άθροισµα ίσο µε: α. 5 β. 6 γ.10 δ ε. 0.6 στ. 2,1 ( 2,2) ζ. ( 0, 2) 2 η Να βρείτε από ποιόν αριθµό πρέπει να αφαιρέσουµε το ( 5) για να βρούµε διαφορά 1 α. 2 β. 3 γ. +7 δ. ( 0, 2) 20. Αν ( ) 2 ε α =, β = 0,2, γ = 2 να επαληθεύσετε την ισότητα: (α + β) γ = α +(β γ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις α β και β α όταν: 1) α = +5, β = +8 2) α = +9, β = 12 3) α = 11, β = +16 4) α = 7, β = Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+4) (...8) = 4 β. ( 3) (...4) = +1 γ. (... 4) ( 5) = +1 δ. (...5) ( 3) = +8 ε. (...4) (+2) = 6 στ. ( 9) (...2) = Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες: α. (+3) (... ) = β. (... ) (+9) = γ. (... ) ( 5) = 7 δ. (...) ( 20) = Να υπολογίσεται τη διαφορά α β όταν: i. α = +4, β = +6 ii. α = 4, β = 5 iii. α = 17, β = +15 iv. α = 8, β = 17 v. α = +10, β = 10 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

23 Οι ρητοί αριθµοί Να συµπληρώσετε τον πίνακα: 26. Αν x = (+3) (+2) και y = ( 7) (+2), να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x y, Β = 2y = y + y, Γ = Α B Αν x =, y= 3 ( 2) και 1 1 z = , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: A = x y, B = y z, Γ = z x, = Α + Β + Γ. 28. Να υπολογίσεται τα αθροίσµατα: α. ( 3 ) (+ 8 ), β. (+ 5 ) ( 4 ) Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

24 318. Οι ρητοί αριθµοί Ερώτηση 1 α. Πως προσθέτουµε δύο οµόσηµους αριθµούς; β. Πως προσθέτουµε δύο ετερόσηµους αριθµούς; Ερώτηση 2 α. Πως αφαιρούµε δύο ακεραίους; β. Τι ονοµάζουµε διαφορά του ρητού αριθµού β από τον ρητό αριθµό α; Άσκηση 1 Να γίνουν οι πράξεις: α. (+3) + (+4) β. (+5) + ( 8) γ. ( 8) + ( 9) δ. ( 10) + (+18) ε. ( 3) 1 + στ ζ η. ( 0,33) + (+1,22) Άσκηση 2 Να υπολογισθούν οι διαφορές α β και β α αν: α. α = 3 και β = 5 β. α = +7 και β = 4 γ. α = 0,5 και β = +0,7 Άσκηση 3 Να αντικαστήσετε µε κατάλληλα πρόσηµα τα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+4) (...9) = 5 β. (...4) (+3) = 7 γ. (...4) ( 9) = +5 δ. (...5) ( 4) = +9 Άσκηση 4 Να συµπληρώσετε κατάλληλα τα κενά (...) ώστε να προκύψουν αληθείς ισότητες. α. (+3) (...) =... 8 β. (...) (+9) = γ. (...) ( 5) = 1 Πρόσθεση ρητών αριθµών - Αφαίρεση ρητών αριθµών

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ - ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε οµόσηµους και ποιους ετερόσηµους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ακέραιους; Ποιους αριθµούς ονοµάζουµε ρητούς; Τι ονοµάζουµε απόλυτη τιµή ενός ρητού αριθµού; Τι παριστάνει η απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου

Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρος Α - Κεφάλαιο 7, Α. 7.1 Μέρος Α' - Κεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 7.1 ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ 1. Τα πρόσηµα : Τα µαθηµατικά σύµβολα + και τα ονοµάζουµε πρόσηµα. 2. Θετικοί αρνητικοί αριθµοί : Όλοι οι αριθµοί που µπροστά τους έχουν το πρόσηµο + ονοµάζονται

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Παραστάσεις

Αλγεβρικές Παραστάσεις Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.7.2. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.7.2. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.7.2. ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΑΝΤΙΘΕΤΟΙ - ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Πόσες μονάδες απέχει από την αρχή Ο το σημείο Α; Πόσες μονάδες απέχει από την αρχή Ο το σημείο Β; Πόσες μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ

7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ 1 7.2 ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΡΗΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Απόλυτη τιµή ρητού: Έστω ένας ρητός αριθµός α. Η απόλυτη τιµή του αριθµού α συµβολίζεται µε α και εκφράζει την απόσταση του σηµείου µε τετµηµένη α από την αρχή Ο του

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών

1 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Α Γυμνασίου Ακέραιοι Αριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι ριθμοί -Η ευθεία των αριθμών κέραιοι αριθμοί είναι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς. Τα σύμβολα «+» και «-» που γράφονται μπροστά από τους αριθμούς λέγονται πρόσημα.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ï. Ôá êëüóìáôá. -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí

ÊåöÜëáéï 3 ï. Ôá êëüóìáôá. -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí ÊåöÜëáéï ï Ôá êëüóìáôá âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôïõ êëüóìáôïò -Ôï êëüóìá ùò ðçëßêï äýï öõóéêþí áñéèìþí -Éóïäýíáìá êëüóìáôá -Óýãêñéóç êëáóìüôùí âéâëéïììüèçìá 2: -Ðñüóèåóç êëáóìüôùí -Áöáßñåóç êëáóìüôùí

Διαβάστε περισσότερα

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β.

1. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2x + β διέρχεται από το σημείο Α( 1, 2). Να βρείτε τον αριθμό β. Γραμμικές Εξισώσεις. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης = + β διέρχεται από το σημείο Α(, ). Να βρείτε τον αριθμό. ίνεται η ευθεία = + (α ). Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1. Ένα ψυγείο την περίοδο των εκπτώσεων πωλείται µε έκπτωση 18% αντί του ποσού των 779. Να βρείτε πόση ήταν η αξία του ψυγείου πριν τις εκπτώσεις. Αν x ήταν η αξία του ψυγείου

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

α έχει μοναδική λύση την x α

α έχει μοναδική λύση την x α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá 2: -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ

Ασκήσεις. ι) α α ιι) α α ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ Ασκήσεις ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μικρότερη ή ίση του. ) Να βρείτε τους ακεραίους, οι οποίοι έχουν απόλυτη τιμή μεγαλύτερη του. ) Η απόσταση δύο

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Πότε μια αλγεβρική παράσταση λέγεται μονώνυμο και από ποια μέρη αποτελείται; Β. Πότε δύο μονώνυμα λέγονται όμοια;. Τι λέγεται πολυώνυμο; Θέμα ο Α. Να διατυπώσετε την πρόταση που είναι γνωστή ως θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών

Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών Δοκιμασίες πολλαπλών επιλογών ) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι: Α. Ο αντίθετός του Β. Ο ίδιος ο αριθμός Γ. Ο αντίστροφός του 2) Αν x =3, τότε Α. x=3 Β. x 0 Γ. x=-3 Δ. x=3 ή x=-3 3) Με το -x συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 5. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 5 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Δουκάκης Σπυρίδων

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός }

R={α/ αρητός ή άρρητος αριθμός } o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ Οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί λέγονται πραγματικοί αριθμοί. Το σύνολο που περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς λέγεται σύνολο των πραγματικών αριθμών και συμβολίζεται με R.

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Β Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Ερωτήσεις θεωρίας Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Δώστε ένα παράδειγμα σχετικό με την έννοια της μεταβλητής 2. Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R

1.1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. 1. Ορισµός. 2. Συµβολισµός. 3. Επεξήγηση συµβόλων. 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης f : A R . ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε συνάρτηση µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου συνόλου Β. Σηµείωση: Στο εξής θα είναι Α R και

Διαβάστε περισσότερα

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x

( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 2ο. οι πράξεις και οι ιδιότητές τους οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Μερικές ακόμη ταυτότητες (επιπλέον από τις αξιοσημείωτες που βρίσκονται στο σχολικό βιβλίο) ) Διαφορά δυνάμεων με ίδιο εκθέτη: ειδικά αν ο εκθέτης ν είναι άρτιος υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1.

8. Να λυθεί η εξίσωση : 10 3 x= Αν ν είναι φυσικός αριθμός, τότε να υπολογίσετε την παράσταση: Α=(-1) ν +3(-1) ν+1-3(-1) 3ν+1. Α. ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Να γράψετε σε απλούστερη μορφή τις παραστάσεις: α.α.α = 5 : = (-).(-) - = (-0,) 5.(-0,5) 5 = α -.(α ) -.α. Υπολογίστε τις παραστάσεις (i) (ii) (-).(-0,5) - (iii) (0,) : (-0). Να γίνουν οι

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0.

Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής y = αx 2 + βx + γ με α 0. ΜΕΡΟΣ Α. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ,α 0 337. Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ =α +β+γ ME α 0 Ορισμός Τετραγωνική ονομάζεται κάθε συνάρτηση της μορφής = α + β + γ με α 0. Η συνάρτηση = α +β+γ με α > 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ

Α. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις Ρητών Παραστάσεων. Θεµατικές Ενότητες:. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Κοινό Παρονοµαστή.. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου)

ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικές έννοιες των συναρτήσεων. ΣΤ.1 (6.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ.2 (6.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) ΣΤ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικές έννοιες των συναρτήσεων ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της συνάρτησης ΣΤ. (6. παρ/φος σχολικού βιβλίου) Γραφική παράσταση συνάρτησης ΣΤ.3 (6.3 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ .5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα : Λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και αληθεύει για οποιεσδήποτε τιµές των µεταβλητών της.. Αξιοσηµείωτες ταυτότητες : Είναι ταυτότητες που χρησιµοποιούµε

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Ρώμη Φλωρεντία Λονδίνο Κωνσταντινούπολη

Προσπαθήστε να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Ρώμη Φλωρεντία Λονδίνο Κωνσταντινούπολη 1o ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Αρ. 8. ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δραστηριότητα 1. Να μελετήσετε την πιο κάτω γραμμή του χρόνου, η οποία δείχνει το έτος ίδρυσης μερικών πόλεων της Ευρώπης. Πώς συνδέεται η γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = x 3 - x και g (x) = x 2-1.

f (x) = x 3 - x και g (x) = x 2-1. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΟ ΤΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: «Συναρτήσεις» Ερωτήσεις ανάπτυξης. Σε µια κοινότητα όλοι οι καταναλωτές νερού πληρώνουν: 500 δρχ. πάγιο κάθε µήνα, ανεξαρτήτως αν καταναλώνουν ή όχι νερό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 016-17 1. Τι ονομάζεται αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται κάθε έκφραση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών και μεταβλητών.. Τι ονομάζεται αριθμητική τιμή αλγεβρικής

Διαβάστε περισσότερα

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;

Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι; Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ [5 μονάδες (6+6+6+7)] www.onlineclassroom.gr Δίνεται η ακόλουθη συνάρτηση των οριακών εσόδων MR μιας μονοπωλιακής επιχείρησης: MR() = 100 + 16 όπου είναι η ποσότητα παραγωγής του προϊόντος. Επίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα