x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}"

Ξένη Οικονόμου
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 Ανοικτή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0 R n και ε > 0. Ανοικτή μπάλα του R n με κέντρο x 0 και ακτίνα ε καλείται το σύνολο: B( x 0, ε) = { x R n : x x 0 < ε} Κλειστή μπάλα στον R n Ορισμός: Εστω x 0 R n και ε > 0. Κλειστή μπάλα του R n με κέντρο x 0 και ακτίνα ε καλείται το σύνολο: B( x 0, ε) = { x R n : x x 0 ε} Παραδείγματα: 1. Για n = 1, δηλαδή στο R : i) Ανοικτό διάστημα : B(x 0, ε) = {x R : x x 0 < ε} = {x R : x 0 ε < x < x 0 +ε} = (x 0 ε, x 0 +ε) ii) Κλειστό διάστημα : B(x 0, ε) = {x R : x x 0 ε} = {x R : x 0 ε x x 0 +ε} = [x 0 ε, x 0 +ε] 2. Για n = 2, δηλαδή στο R 2 : Εστω x = (x 1, x 2 ) και x 0 = (x 01, x 02 ) R 2. i) Ανοικτή μπάλα : B( x 0, ε) = { x R 2 : x x 0 < ε} = { x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 < ε}

2 2 ii) Κλειστή μπάλα : B( x 0, ε) = { x R 2 : x x 0 ε} = { x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 ε} 3. Για n = 3, δηλαδή στο R 3 : Εστω x = (x 1, x 2, x 3 ) και x 0 = (x 01, x 02, x 03 ) R 3. i) Ανοικτή μπάλα : B( x 0, ε) = { x R 3 : x x 0 < ε} = { x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 + (x 3 x 03 ) 2 < ε} ii) Κλειστή μπάλα : B( x 0, ε) = { x R 3 : x x 0 ε} = { x R 2 : (x 1 x 01 ) 2 + (x 2 x 02 ) 2 + (x 3 x 03 ) 2 ε}

3 3 Ανοικτό σύνολο στον R n Ορισμός: Ενα σύνολο A R n ονομάζεται ανοικτό αν x A, ε > 0 τέτοιο ώστε B(x, ε) A. Δηλαδή για κάθε x A να υπάρχει ανοικτή μπάλα με κέντρο x και ακτίνα ε που να περιέχεται στο A. Κλειστό σύνολο στον R n Ορισμός: Ενα σύνολο A R n ονομάζεται κλειστό αν A c είναι ανοικτό σύνολο. Δηλαδή αν το συμπλήρωμα του A R n είναι ανοικτό σύνολο. Πρόταση: 1. Η ανοικτή μπάλα B( x, ε) είναι ανοικτό σύνολο. 2. Η κλειστή μπάλα B( x, ε) είναι κλειστό σύνολο. Απόδειξη: 1) ε 1 = ε x y > 0, με x y < ε. Ισχύει ότι: B( y, ε 1 ) B( x, ε) καθώς αν z B( y, ε 1 ) z x x y + y z x y +ε 1 = ε z B( x, ε) B( x, ε) ανοικτό σύνολο. 2) Για να δειχθεί ότι το B( x, ε) είναι κλειστό σύνολο, αρκεί να δειχθεί ότι το B c ( x, ε) είναι ανοικτό. Για y B c ( x, ε) έχω ε 1 = x y ε > 0 B( y, ε 1 ) B c ( x, ε) ανοικτό B( x, ε) κλειστό.

4 4 Σχήμα 4: (1) Σχήμα 5: (2) Ορθογώνιο στον R n Ορισμός: Το καρτεσιανό γινόμενο I = I 1 I 2... I n των διαστημάτων I 1, I 2,..., I n του R ονομάζεται ορθογώνιο του R n. Οταν τα μήκη των I 1, I 2,..., I n είναι ίσα, ονομάζεται κύβος του R n.

5 5 Ανοικτό ορθογώνιο στον R n Ορισμός: Εστω a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) R n. Ανοικτό ορθογώνιο του R n ονομάζεται το καρτεσιανό γινόμενο R o ( a, b ) = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 )... (a n b n ) των ανοικτών διαστημάτων (a i, b i ), με a i < b i (1 i n). Αντίστοιχα: Εστω a = (a 1, a 2,..., a n ) R n. Ανοικτός κύβος ονομάζεται το καρτεσιανό γινόμενο C o ( a, ε) = (a 1 ε, a 1 + ε) (a 2 ε, a 2 + ε)... (a n ε, a n + ε) των ισομηκών ανοικτών διαστημάτων (a i ε, a i + ε), 1 i n. Κλειστό ορθογώνιο στον R n Ορισμός: Εστω a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) R n. Κλειστό ορθογώνιο του R n ονομάζεται το καρτεσιανό γινόμενο R( a, b ) = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n b n ] των κλειστών διαστημάτων [a i, b i ], με a i < b i (1 i n). Αντίστοιχα: Εστω a = (a 1, a 2,..., a n ) R n. Κλειστός κύβος ονομάζεται το καρτεσιανό γινόμενο C( a, ε) = [a 1 ε, a 1 + ε] [a 2 ε, a 2 + ε]... [a n ε, a n + ε] των ισομηκών κλειστών διαστημάτων [a i ε, a i + ε], 1 i n. Παραδείγματα: 1. Για n = 1, δηλαδή στο R : i) Ανοικτό ορθογώνιο: R o (a, b) = (a, b) (δηλαδή το ανοικτό διάστημα).

6 6 ii) Κλειστό ορθογώνιο: R(a, b) = [a, b] (δηλαδή το κλειστό διάστημα). 2. Για n = 2, δηλαδή στο R 2 : Εστω a = (a 1, a 2 ), b = (b 1, b 2 ) i) Ανοικτό ορθογώνιο: R o ( a, b ) = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ). ii) Κλειστό ορθογώνιο: R( a, b ) = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]. 3. Για n = 3, δηλαδή στο R 3 : Εστω a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) i) Ανοικτό ορθογώνιο: R o ( a, b ) = (a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) (a 3, b 3 ). ii) Κλειστό ορθογώνιο: R( a, b ) = [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ].

7 7 Πρόταση: 1. Το ανοικτό ορθογώνιο R o ( a, b ) είναι ανοικτό σύνολο. 2. Το κλειστό ορθογώνιο R( a, b ) είναι κλειστό σύνολο. Σημείο συσσώρευσης Ορισμός: Εστω A R n. Ενα x 0 R n λέγεται σημείο συσσώρευσης (σ.σ.) του A αν ε > 0 (B( x 0, ε) \ { x 0 }) A ε > 0 a A : 0 < x 0 a < ε. Το σύνολο των σ.σ. του A συμβολίζεται με A. Μεμονωμένο σημείο

8 8 Ορισμός: Εστω A R n. Ενα x 0 A λέγεται μεμονωμένο σημείο του A αν δεν είναι σ.σ. ε > 0 : (B( x 0, ε) \ { x 0 }) A = ε > 0 : B( x 0, ε) A = { x 0 }. Παραδείγματα: 1. Εστω A = [0, 3]. Τότε το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του A είναι το A = [0, 3]. Ομοίως (0, 3) = [0, 3) = (0, 3] = [0, 3]. 2. Εστω A = [0, 3] {5}. Τότε το σύνολο των σημείων συσσώρευσης είναι το A = [0, 3] και το {5} είναι μεμονωμένο σημείο, καθώς ε > 0 (έστω ε = 1 2 ώστε Β(5, 1 2 ) A = {5}. 3. Εστω το ανοικτό ορθογώνιο του R 2 R o (( 1, 2), (1, 4)) = ( 1, 1) ( 2, 4). Τότε το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του R o είναι το R (( 1, 2), (1, 4)) = [ 1, 1] [ 2, 4]. (αʹ) (1),(2) (βʹ) (3) Σύνορο Ορισμός: Εστω A R n. Σύνορο του A λέγεται το σύνολο A = { x R n : ε > 0 B( x, ε) A και B( x, ε) (R n \ A).

9 9 Παραδείγματα: 1. Εστω το σύνολο A = [0, 3]. Το σύνορο του A είναι το A = ([0, 3]) = {0, 3}. 2. Εστω το ορθογώνιο R o (( 1, 2), (1, 4)) = ( 1, 1) ( 2, 4). Τότε το σύνορο του R o είναι το R o = {(x, 2) : 1 x 1} {( 1, y) : 2 y 4} {(x, 4) : 1 x 1} {(1, y) : 2 y 4}.(Δηλαδή η περίμετρος του ορθογωνίου R o ) 3. Εστω μία μπάλα B(x 0, ε). Τότε το σύνορο της είναι : B(x 0, ε) = { x R n : x x 0 = ε}. Πρόταση: Εστω A R n. Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: i) A κλειστό σύνολο ii) A A iii) A A

Σχετικά έγγραφα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,