Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)
|
|
- Αθορ Αντιγόνη Ταρσούλη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο για διακριτούς χώρους, - υποθέτει ισοπίθανα αποτελέσματα Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )
2 Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )
3 Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )
4 Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 4 )
5 Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 5 )
6 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙ) Στατιστικός Ορισμός Βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας που υπολογίζεται μετά από n επαναλήψεις. Δηλ. Εκτελούμε το πείραμα n φορές και υπολογίζουμε: - f n () πλήθος εμφανίσεων (συχνότητα) του ενδεχ. Α - f n ()/n : η σχετική συχνότητα τότε: ( ) lm n ( ) Περιορισμοί: υψηλό υπολογιστικό κόστος (ικανός αριθμός επαναλήψεων), εμπειρικός κανόνας (όχι αυστηρά μαθηματικός) f n n Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )
7 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 7 )
8 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 8 )
9 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 9 )
10 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 0 )
11 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )
12 Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα που καθορίζεται από την πιθανότητά του) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )
13 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π) ( )=-() Απόδειξη: καθώς Α, Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχ. (Α Α =) από αξίωμα ΙΙΙ έχουμε ( )=()+( ) Αλλά, Α Α =Ω. Έτσι από αξίωμα ΙΙ παίρνουμε: =(Ω)=( )=()+( ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )
14 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π) ( )=-() Απόδειξη: καθώς Α, Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχ. (Α Α =) από αξίωμα ΙΙΙ έχουμε ( )=()+( ) Αλλά, Α Α =Ω. Έτσι από αξίωμα ΙΙ παίρνουμε: =(Ω)=( )=()+( ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 4 )
15 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π2) () Απόδειξη: από το Π έχουμε () = -( ), καθώς ( ) 0 (αξίωμα Ι) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 5 )
16 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π2) () Απόδειξη: από το Π έχουμε () = -( ), καθώς ( ) 0 (αξίωμα Ι) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )
17 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π3) ()=0 Απόδειξη: καθώς Ω= από Π έχουμε ()=-( )=-(Ω)=-=0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 7 )
18 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π3) ()=0 Απόδειξη: καθώς Ω= από Π έχουμε ()=-( )=-(Ω)=-=0 Σημαντικό: Επομένως η πιθανότητα φράσσεται στο [0, ] 0 () Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 8 )
19 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π4) Για n ενδεχόμενα ανά δύο ασυμβίβαστα, δηλ. j =,j ισχύει Απόδειξη: Για n=2 ισχύει από τον αξιωματικό ορισμό ( 3 ο αξίωμα). Έστω ότι ισχύει για n= ασυμβίβαστα: Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για n=+: Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα καθώς Επομένως ισχύει: n n n n 2 2 Πιθανότητες & Στατιστική 206 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 9 ) 2, 2
20 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π4) Για n ενδεχόμενα ανά δύο ασυμβίβαστα, δηλ. j =,j ισχύει Απόδειξη: Για n=2 ισχύει από τον αξιωματικό ορισμό ( αξίωμα III). Έστω ότι ισχύει για n= ασυμβίβαστα: Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για n=+: Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα καθώς Επομένως ισχύει: n n n n 2 2 Πιθανότητες & Στατιστική 206 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 20 ) 2, 2
21 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π5) (B) = () + (B) - (B) Απόδειξη: Επειδή Α = (B) ( B ) ένωση ασυμβίβαστων ενδεχομένων έχουμε () = (B ) + ( B) Παρόμοια (B) = ( B) + ( B) και (B) = (B ) + ( B) + ( B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )
22 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π5) (B) = () + (B) - (B) Απόδειξη: Επειδή Α = (B) ( B ) ένωση ασυμβίβαστων ενδεχομένων έχουμε () = (B ) + ( B) Παρόμοια (B) = ( B) + ( B) και (B) = (B ) + ( B) + ( B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 22 )
23 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π6) Γενίκευση του Π5 για n ενδεχόμενα Για n=3 ενδεχόμενα, B, C έχουμε n n j j n j j n... ) (... 2 C B C B C B C B C B Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 23 )
24 Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π7). Αν B τότε () (B) Απόδειξη (B) = ( B) + () () Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 24 )
25 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={a,a 2,, a n ) αποτελούμενος από n (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. (a a j ) = ( ) = 0 Για ένα ενδεχόμενο ={α, α 2,,α ) αποτελούμενο από αποτελέσματα του Ω. Τότε (από αξίωμα ΙΙΙ) () = (α α 2 α ) = (α )+(α 2 )+ +(α ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. ( a )=/n, τότε: όπου Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 25 )
26 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={a,a 2,, a n ) αποτελούμενος από n (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. (a a j ) = ( ) = 0 Για ένα ενδεχόμενο ={α, α 2,,α ) αποτελούμενο από αποτελέσματα του Ω. Τότε (από αξίωμα ΙΙΙ) () = (α α 2 α ) = (α )+(α 2 )+ +(α ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. ( a )=/n, τότε: n όπου Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχομένου Α. N N Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 26 )
27 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 27 )
28 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N B N B N N N Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 28 )
29 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N 5 0 B N B N 3 0 N N 4 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 29 )
30 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N 5 0 B,3,5,6,7,9 ή B N B N 6 0 B B N N 4 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 30 )
31 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε συνεχείς δ.χ. (contnuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι συνεχής περιοχές του δ.χ. Ω. Η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου (volume) που καταλαμβάνει μια περιοχή στον δ.χ. Ω. vol vol Παραδείγματα (). Επιλογή αριθμού στο [0,2], ενδεχόμενο Α={x: 0.2<x<0.5} ()=vol() / vol(ω) = 0.3 / 2 = 0.5 (2). Επιλογή σημείου στο [0, 2] x [0, 2], ενδεχόμενο ={(x,y): 0<x<y<} ()= vol() / vol(ω) = /8 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )
32 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε συνεχείς δ.χ. (contnuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι συνεχής περιοχές του δ.χ. Ω. Η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου (volume) που καταλαμβάνει μια περιοχή στον δ.χ. Ω. vol vol Παραδείγματα (). Επιλογή αριθμού στο [0,2], ενδεχόμενο Α={x: 0.2<x<0.5} ()=vol() / vol(ω) = 0.3 / 2 = 0.5 (2). Επιλογή σημείου στο [0, 2] x [0, 2], ενδεχόμενο ={(x,y): 0<x<y<} ()= vol() / vol(ω) = /8 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 32 )
33 Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε συνεχείς δ.χ. (contnuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι συνεχής περιοχές του δ.χ. Ω. Η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου (volume) που καταλαμβάνει μια περιοχή στον δ.χ. Ω. vol vol Παραδείγματα (). Επιλογή αριθμού στο [0,2], ενδεχόμενο Α={x: 0.2<x<0.5} ()=vol() / vol(ω) = 0.3 / 2 = 0.5 (2). Επιλογή σημείου στο [0, 2] x [0, 2], ενδεχόμενο ={(x,y): 0<x<y<} ()= vol() / vol(ω) = /8 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 33 )
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες & Στατιστική. Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα)
Πιθανότητες & Στατιστική Μέρος I. Εισαγωγή στις Πιθανότητες. 3 βασικές έννοιες Τυχαία Πειράματα (φαινόμενα) Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής,
Διαβάστε περισσότερα1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι
Διαβάστε περισσότεραΜέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές
Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΤ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΓιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 3 η : Τυχαίες Μεταβλητές, Συναρτήσεις Κατανομής Πιθανότητας. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να
Διαβάστε περισσότεραΜέρος IV. Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ15 ( 1 )
Μέρος IV Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( ) Πολυδιάστατες μεταβλητές Πολλά ποσοτικά χαρακτηριστικά που σχετίζονται με
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Εξετάσεις στο μάθημα ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ι Ονοματεπώνυμο: Όνομα Πατρός:... ΑΜ:. Ημερομηνία: Σ Παρακαλώ μη γράφετε στα παρακάτω τετράγωνα Μέρος
Διαβάστε περισσότεραΔεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Conditional Probability)
Δεσμευμένη (ή υπο-συνθήκη) Πιθανότητα (Condtonal robablty) Συχνά μας ενδιαφέρει η συσχέτισή 2 ενδεχομένων Α και Β, δηλ. να δούμε το κατά πόσο η γνώση του ενός από τα δύο (π.χ. Β) επηρεάζει τη πιθανότητα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου
Διαβάστε περισσότεραΠ Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότερα1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
Διαβάστε περισσότερα3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.
3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από
Διαβάστε περισσότεραΟι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Διαβάστε περισσότεραΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:
1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Εισαγωγή στις Διακριτές Πιθανότητες ΜΔΕ Προηγμένα Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα και Δίκτυα Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΕξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I
Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς
Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001
ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός της Πιθανότητας (Ι)
Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.
ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως
Διαβάστε περισσότεραν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.
Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).
Διαβάστε περισσότερα2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8
1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι-Πιθανότητες Ι
Στατιστική Ι-Πιθανότητες Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 15 Οκτωβρίου 2015 Περιγραφή 1 Ενωση και Τομή Ενδεχομένων Περιγραφή 1 Ενωση και
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους
Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
Διαβάστε περισσότερα3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότερα2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Διαβάστε περισσότεραΚατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Y=g(X) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ13 ( 1 )
Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής =() Πιθανότητες & Στατιστική 07 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ3 ( ) Κατανομή συνάρτησης τυχαίας μεταβλητής Έστω τ.μ. Χ με γνωστή κατανομή. Δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 3, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 1 5.1: Εισαγωγή 5.2: Πιθανότητες 5.3: Τυχαίες Μεταβλητές καθ. Βασίλης Μάγκλαρης
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
Διαβάστε περισσότεραιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΣχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1 ο. Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί. Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων.
Μάθηµα 1 ο Πιθανότητα-Έννοιες και Ορισµοί Στο µάθηµα αυτό θα αναφερθούµε σε βασικές έννοιες και συµβολισµούς της θεωρίας πιθανοτήτων. http://compus.uom.gr/inf267/index.php 1 Εισαγωγικά Βασικές Έννοιες
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
Διαβάστε περισσότερα3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότερα4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το
Διαβάστε περισσότεραP (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Διαβάστε περισσότερα1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος
1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες
Διαβάστε περισσότερα5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες
Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική Ι. Ενότητα 3: Πιθανότητες. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 3: Πιθανότητες Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανασκόπηση βασικών εννοιών Στατιστικής και Πιθανοτήτων Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3
Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης fxc είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Τυχαία Μεταβλητή Κατανομές Πιθανότητας
Διάλεξη 5: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω η ποιότητα ενός προϊόντος που παίρνουμε από ένα σύνολο προϊόντων με απλή τυχαία δειγματοληψία. Ανάλογα με το αν το προϊόν είναι ελαττωματικό, καλο ή άριστο, η παίρνει τις τιμές,
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται
Πιθανότητες και Στοχαστικές ιαδικασίες Θόρυβος µετρήσεων είκτης Χρηµατιστηρίου Σήµα Πληροφορίας (φωνή, data) Ατµοσφαιρικός Θόρυβος Πως δηµιουργείται το τυχαίο I do not believe that God rolls dice Μακροσκοπική
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικός Περιηγητής σχ. έτος
=================================================================== ΛΥΣΕΙΣ ΤΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 06 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΒιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
Διαβάστε περισσότερα