ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

Transcript

1 Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

2 Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2... A. τότε A ονοµάζεται σ-άλγεβρα. Μετρήσιµος Χώρος Εστω Ω είναι ένα σύνολο αναφοράς και A είναι σ-άλγεβρα, τότε η δυάδα (Ω, A) ονοµάζεται µετρήσιµος χώρος και τα σύνολα που ανήκουν στην A ονοµάζονται µετρήσιµα σύνολα.

3 Τυχαία Πειράµατα Ως Πείραµα εννοούµε µια συγκεκριµένη ενέργεια, η οποία µπορεί να επαναληφθεί άπειρες ϕορές, κάτω από τις ίδιες συνθήκες, και σαν συνέπεια έχει την έκβαση κάποιων αποτελεσµάτων.. Αιτιοκρατικά Άµεση σχέση αιτίου και αποτελέσµατος αφού καταλήγουµε σε καθορισµένο είδος αποτελεσµάτων. 2. Τυχαία Μας οδηγούν σε πλήθος δυνατών αποτελεσµάτων. Παραδείγµατα. Ρίψη ενός νοµίσµατος. {Κ, Γ}. 2 Ρίψη ενός Ϲαριού. {, 2, 3, 4, 5, 6}. 3 Λήψη ενός χαρτιού από µια τράπουλα. 4 Πλήθος τηλεφωνηµάτων που ϕτάνουν σε ένα τηλεφωνικό κέντρο µέσα σε µία ώρα. {0,, 2,...}. 5 Μέτρηση ϐάρους, ύψους, κ.λ.π. 6 ιάρκεια Ϲωής κάποιου µηχανήµατος. {t : t 0}.

4 Χώρος Πιθανότητας Το πλήθος των δυνατών αποτελεσµάτων ενός τυχαίου πειράµατος καλείται δειγµατοχώρος. (Ω) Τα σηµεία του δειγµατοχώρου ονοµάζονται δειγµατοσηµεία. Εστω A µία σ-άλγεβρα εφοδιασµένη στον Ω, τότε A ονοµάζεται σ-άλγεβρα ενδεχοµένων (ή γεγονότων) και κάθε µέλος της (δηλ. σύνολο) ονοµάζεται ενδεχόµενο (ή γεγονός). Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο (ή µια πιθανότητα) P είναι µια συνολοσυνάρτηση, P : A R, µε τις εξής ιδιότητες, A A, P(A) 0. 2 P(Ω) =. 3 Αν A, A 2,... γεγονότα ανά δύο ξένα µεταξύ τους (δηλ. A i A j =, i j), τότε P( i= A i) = i= P(A i). Η τριάδα (Ω, A, P) ονοµάζεται πιθανοθεωρητικός χώρος.

5 Τυχαία Μεταβλητή Ορισµός Εστω (Ω, A, P) είναι ένας χώρος πιθανότητας, τότε X : Ω R ονοµάζεται τυχαία µεταβλητή, εάν {ω Ω : X(ω) x} A, x R. Ετσι εξασφαλίζεται η ύπαρξη της P({ω Ω : X(ω) x}) = P(X x) = F(x) Εµπειρικός Ορισµός Τυχαία µεταβλητή είναι οποιαδήποτε ποσότητα για την οποία έχει έννοια να µιλήσουµε για πιθανότητα η ποσότητα αυτή να πάρει κάποια τιµή ή η τιµή της να είναι µέσα σε κάποιο διάστηµα.

6 Είδη τυχαίων µεταβλητών. ιακριτού τύπου X ονοµάζεται διακριτή τ.µ. αν το πεδίο τιµών της είναι της µορφής, {x, x 2,...,x n,...}. f(x) = P(X = x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x i) 0, i =, 2,..., (ii) + i= f(x i) =. 2. Συνεχούς τύπου X ονοµάζεται συνεχής τ.µ. αν υπάρχει f : R R, τέτοια ώστε P(X B) = f(x)dx B f(x) ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, Ιδιότητες: (i) f(x) 0, x R, (ii) + f(x)dx =.

7 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ορισµός - Μέση τιµή x f(x), X διακριτή τ.µ. x EX = + x f(x)dx, X συνεχής τ.µ. Γενίκευση Eg(X) = g(x)f(x) x + g(x)f(x)dx, X διακριτή τ.µ., X συνεχής τ.µ. Παρατήρηση g(x) = (X EX) 2, τότε E(X EX) 2 = VarX διαπορά της τ.µ. X.

8 Ροπές τυχαίων µεταβλητών Ιδιότητες - Μέση τιµή Ec = c, c σταθερά. 2 E(aX + b) = aex + b 3 X 0 EX 0. 4 EX E X. Ιδιότητες - ιασπορά Varc = 0, c σταθερά. 2 Var(aX + b) = a 2 VarX 3 VarX = EX 2 (EX) 2 4 VarX = EX(X )+EX (EX) 2

9 Μέση τιµή και ιασπορά γνωστών κατανοµών ιωνυµική κατανοµή, X B(n, p) f(x) = P(X = x) = ( n x) px ( p) n x, x = 0,,...,n, 0 < p <. EX = np, VarX = np( p). Poisson κατανοµή, X P(λ) f(x) = P(X = x) = e λλx x! Γεωµετρική κατανοµή, X Ge(p), x = 0,,..., λ > 0. EX = VarX = λ. f(x) = P(X = x) = p( p) x, x = 0,, 2,... EX = p p, VarX = p p 2.

10 Μέση τιµή και ιασπορά γνωστών κατανοµών Κανονική κατανοµή ή κατανοµή του Gauss, X N(µ,σ 2 ) f(x) = 2πσ 2 e (x µ)2 2σ 2, x R, µ R, σ > 0. Γάµµα κατανοµή, X G(a, β) f(x) = EX = µ, VarX = σ 2. Γ(a)β a xa e x/β, x > 0, a,β > 0. Εκθετική κατανοµή, X E(σ) f(x) = σ e x σ, x > 0, σ > 0. EX = aβ, VarX = aβ 2. Παρατήρηση: E(σ) G(a =,β = σ). EX = σ, VarX = σ 2.

11 Μετασχηµατισµοί τυχαίων µεταβλητών Θεώρηµα Εστω g( ) µια παραγωγίσιµη και γνησίως µονότονη συνάρτηση. Αν X είναι µια συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας f X (x), τότε η τ.µ. Y = g(x) είναι συνεχής τ.µ. µε πυκνότητα πιθανότητας f Y (y) = f X (g (y)) dg (y) dy Παράδειγµα Αν X G(n,θ), τότε Y = cx G(n, cθ), c > 0. Παρατήρηση Αν c = 2 θ, τότε Y = 2X θ G(n, 2) X 2 2n.

12 Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής Ορισµός M X (t) = Ee tx, για εκείνα τα t που υπάρχει η µέση τιµή. Παρατήρηση Αν γνωρίζουµε τη ϱοπογεννήτρια µιας τ.µ. X και υπάρχει σε µια περιοχή του 0, τότε γνωρίζουµε την κατανοµή αυτής και αντίστροφα. Ιδιότητες M X (0) = 2 M ax+b = e tb M X (at) d k M ax+b (t) 3 t=0 = EX k dt k

13 Ροπογεννήτρια Τυχαίας Μεταβλητής Παραδείγµατα γνωστών κατανοµών X B(n, p), M X (t) = (pe t + p) n, t R. 2 X P(λ), 3 X N(µ,σ 2 ), M X (t) = e λet λ, t R. M X (t) = e tµ+ 2 σ2 t 2, t R. Παρατήρηση : X N(0, ), M X (t) = e 2 t2, t R. 4 X G(a,β), M X (t) = ( tβ) a, t < β.