[Rosen, κεϕ. 6] Γιάννης Εµίϱης. Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ

Transcript

1 Απαϱίϑµηση [Rosen, κεϕ. 6] Γιάννης Εµίϱης Τµήµα Πληϱοϕοϱικής & Τηλεπικοινωνιών, ΕΚΠΑ Νοέµϐϱιος 2018

2 Πεϱιεχόµενα Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

3 Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

4 Εισαγωγικά Οϱισµός 1. Πείϱαµα: ιαδικασία µε συγκεκϱιµένο (αϱιϑµήσιµο) σύνολο δυνατών / παϱατηϱήσιµων αποτελεσµάτων. Θέλουµε να απαϱιϑµήσουµε το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειϱάµατος. Η απαϱίϑµηση αποτελεί σηµαντικό κοµµάτι της συνδυαστικής. Μετϱάµε δηλαδή αντικείµενα µε οϱισµένες ιδιότητες.

5 Εισαγωγικά Εϕαϱµογές: Πολυπλοκότητα αλγοϱίϑµων Τηλεϕωνικοί αϱιϑµοί Πλήϑος I.P.s Τεχνικές αλληλούχησης DNA Τυχεϱά παιχνίδια.

6 Εισαγωγικά Ενα παϱάδειγµα password υπολογιστή µε 6,7 ή 8 χαϱακτήϱες Χαϱακτήϱες: γϱάµµατα ή ψηϕία. Υποχϱεωτικά ένα αϱιϑµητικό ψηϕίο Πόσα συνϑηµατικά υπάϱχουν; Θα απαντηϑεί παϱακάτω.

7 Ο κανόνας του γινοµένου [Rosen, 6.1] Ξεκινάµε µε κάποιες ϐασικές αϱχές αϱίϑµησης: Κανόνας του γινοµένου Εστω ότι µια διαδικασία διαχωϱίϲεται σε µια ακολουϑία δύο εϱγασιών. Αν υπάϱχουν n 1 τϱόποι να γίνει η πϱώτη εϱγασία και για κάϑε έναν από αυτούς, υπάϱχουν n 2 τϱόποι να γίνει η δεύτεϱη, τότε υπάϱχουν συνολικά n 1 n 2 τϱόποι εκτέλεσης της διαδικασίας. Ο κανόνας του γινοµένου επεκτείνεται στις πεϱιπτώσεις όπου µια διαδικασία µποϱεί να διασπαστεί σε k εϱγασίες, οπότε το σύνολο των τϱόπων εκτέλεσης είναι n 1 n 2 n k.

8 Ο κανόνας του γινοµένου Παϱάδειγµα 1. Πόσα πιϑανά αποτελέσµατα υπάϱχουν µετά την ϱίψη 2 Ϲαϱιών; Απάντηση: Κάϑε 2 Ϲάϱι µποϱεί να έχει 6 διαϕοϱετικά αποτελέσµατα, οπότε n 1 = n 2 = 6 36 αποτελέσµατα. Παϱάδειγµα 2. Πόσες διαϕοϱετικές συµϐολοσειϱές bit υπάϱχουν µε µήκος 9; Απάντηση: Κάϑε bit µποϱεί να έχει τιµή 0 ή 1, οπότε n i = 2. Αϱα 2 9 = 512 διαϕοϱετικές συµϐολοσειϱές.

9 Ο κανόνας του γινοµένου Παϱάδειγµα 3. Πόσες πινακίδες αυτοκινήτων µποϱούν να υπάϱξουν µε 3 γϱάµµατα και 4 αϱιϑµούς ; Απάντηση: = συνδυασµοί. Παϱάδειγµα 4. Πόσες διαϕοϱετικές συναϱτήσεις από σύνολο A, n στοιχείων, σε σύνολο B, m στοιχείων, µποϱούν να κατασκευαστούν; Απάντηση: m n συναϱτήσεις της µοϱϕής f : A B.

10 Πληϑικότητα δυναµοσυνόλου Εστω πεπεϱασµένο συνoλο S. Aντιστοιχoύµε κάϑε υποσυνoλο του S µε µια µοναδική συµϐολοσειϱά bit ως εξής: κάϑε στοιχείο του S αντιστοιχεί σε ένα bit: 1, αν το στοιχείο ϐϱίσκεται στο υποσύνολο, 0, αν όχι. Κάϑε συµϐολοσειϱά είναι ουσιαστικά µια συνάϱτηση S {0, 1}, και υπάϱχουν 2 S τέτοιες συναϱτήσεις. Αϱα υπάϱχουν P(S) = 2 S υποσύνολα του S διότι υπάϱχουν τόσες συµϐολοσειϱές µήκους S. Π.χ. M = {A, B, C}, P(M) = 2 3 = 8.

11 Ο κανόνας του γινοµένου Συνολοϑεωϱητική έκϕϱαση: Εστω τα πεπεϱασµένα σύνολα A 1, A 2,..., A m. Αν κάϑε πείϱαµα έχει αποτελέσµατα A 1,..., A m και το συνολικό αποτέλεσµα οϱίϲεται από ένα στοιχείο σε κάϑε A i, τότε αντιστοιχεί στο εξής καϱτεσιανό γινόµενο A 1 A 2 A m = {(a 1,..., a m ) : a i A i }. Το πλήϑος των στοιχείων του καϱτεσιανού γινοµένου ισούται µε το γινόµενο των πληϑικοτήτων του κάϑε συνόλου A 1 A 2 A m = A 1 A 2 A m

12 Ο κανόνας του αϑϱοίσµατος Κανόνας του αϑϱοίσµατος Αν µια διαδικάσία µποϱεί να γίνει είτε µε n 1 τϱόπους είτε µε n 2 τϱόπους, έτσι ώστε κανένα στοιχείο των πϱώτων να µην πεϱιέχεται στους δεύτεϱους (αποκλειστική διάϲευξη), τότε υπάϱχουν συνολικά n 1 + n 2 τϱόποι εκτέλεσης της διαδικασίας.

13 Ο κανόνας του αϑϱοίσµατος Παϱάδειγµα 5. 2 λίστες για απαλλακτικές εϱγασίες 18 ϐιϐλιογϱαϕικές εϱγασίες, 35 ανάπτυξης κώδικα Πόσες επιλογές έχει κάϑε ϕοιτητής; Απάντηση: Οι επιλογές είναι = 53.

14 Ο κανόνας του αϑϱοίσµατος Η συνολοϑεωϱητική διατύπωση του κανόνα του αϑϱοίσµατος αϕοϱά στην ένωση συνόλων που είναι ανά δύο ξένα µεταξύ τους: A 1 A 2 A m = A 1 + A 2 + A m, A i A j =, i, j.

15 ιαϕοϱές αϑϱοίσµατος-γινοµένου Παϱάδειγµα µπάλες = 7 µονόχϱωµες + 7 δίχϱωµες + 1 µαύϱη. (Γινόµενο) #(Επιλογών µίας µονόχϱωµης και µίας δίχϱωµης) = 7 7 = 49. (Άϑϱοισµα) #(Επιλογών µπάλας εκτός της µαύϱης) = = 14.

16 ιαϕοϱές αϑϱοίσµατος-γινοµένου Ο κανόνας του γινοµένου εϕαϱµόϲεται αν γίνουν και τα δύο πειϱάµατα. Από την άλλη, εϕαϱµόϲουµε τον κανόνα του αϑϱοίσµατος εάν γίνει ακϱιϐώς ένα εκ των 2 πειϱαµάτων, δηλ. είτε το πϱώτο πείϱαµα είτε το δεύτεϱο. Ο κανόνας του αϑϱοίσατος ή αυτός του γινοµένου πολλές ϕοϱές δεν αϱκεί για να λύσουν ένα πϱόϐληµα απαϱίϑµησης. Ο συνδυασµός τους όµως µποϱεί να δώσει τη λύση.

17 Η λύση του παϱαδείγµατος Password υπολογιστή µε 6,7 ή 8 χαϱακτήϱες Χαϱακτήϱες: γϱάµµατα ή ψηϕία. Υποχϱεωτικά ένα αϱιϑµητικό ψηϕίο Απάντηση: Εστω P το συνολικό πλήϑος αποδεκτών συνϑηµατικών και P i = πλήϑος αποδεκτών συνϑηµατικών δηλ. µε i = 6, 7, 8 χαϱακτήϱες όχι µόνο γϱάµµατα: Κανόνας αϑϱοίσµατος P = P 6 + P 7 + P 8. Εστω p i το πλήϑος όλων των συνϑηµατικών µε i γϱάµµατα και αϱιϑµούς και l i το πλήϑος όλων των συνϑηµατικών µε i γϱάµµατα. Κανόνας αϑϱοίσµατος: p i = P i + l i P i = p i l i. Κανόνας γινοµένου: p i = 36 i, l i = 26 i.

18 Ο κανόνας της αϕαίϱεσης Κανόνας της αϕαίϱεσης Αν µια διαδικάσία µποϱεί να γίνει είτε µε n 1 τϱόπους είτε µε n 2 τϱόπους, έτσι ώστε k στοιχεία των πϱώτων να πεϱιέχονται στους δεύτεϱους, τότε υπάϱχουν συνολικά n 1 + n 2 k τϱόποι εκτέλεσης της διαδικασίας. Ο κανόνας της αϕαίϱεσης έχει το συνολοϑεωϱητικό του ανάλογο στην αϱχή εγκλεισµού-αποκλεισµού: A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2

19 Αϱχή εγκλεισµού / αποκλεισµού Για 3 σύνολα A 1 A 2 A 3 = A 1 + A 2 + A 3 A 1 A 2 A 1 A 3 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 3

20 Γενικευµένη Αϱχή εγκλεισµού / αποκλεισµού Για n σύνολα A 1 A n = = A A n A 1 A 2 A 1 A 3 A n 1 A n + A 1 A 2 A 3 + A 1 A 2 A 4 +. ( 1) k j J A j J [n] J =k. ( 1) n A 1 A n = = n ( 1) k+1 k=1 όπου [n] := {1,..., n}. 1 i 1< <i k n A i1 A ik,

21 Παϱάδειγµα εγκλεισµού / αποκλεισµού Πόσοι ϑετικοί ϕυσικοί αϱιϑµοί µικϱότεϱοι του 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 2, του 3 ούτε του 5;

22 Παϱάδειγµα εγκλεισµού / αποκλεισµού Πόσοι ϑετικοί ϕυσικοί αϱιϑµοί µικϱότεϱοι του 1000 δεν είναι πολλαπλάσια του 2, του 3 ούτε του 5; Απάντηση: Για τους ϕυσικούς 1,..., 999 οϱίϲουµε σύνολα: A 1 = {πολλαπλάσια του 2} : A 1 = 999/2 = 499, A 2 = {πολλαπλάσια του 3} : A 2 = 999/3 = 333, A 3 = {πολλαπλάσια του 5} : A 3 = 999/5 = 199, A 1 A 2 = 999/(2 3) = 166, A 2 A 3 = 999/(3 5) = 66, A 1 A 3 = 999/10 = 99, A 1 A 2 A 3 = 999/30 = 33. Το σύνολο των ϕυσικών που είναι πολλαπλάσια τουλάχιστον ενός από τα 2, 3, 5 έχει πληϑάϱιµο: A 1 A 2 A 3 = = 733 οπότε η λύση είναι = 266 αϱιϑµοί.

23 Ο κανόνας της διαίϱεσης Ο κανόνας της διαίϱεσης Υπάϱχουν n/d διαϕοϱετικά αποτελέσµατα ενός πειϱάµατος που εκτελείται δυνητικά µε n αποτελέσµατα, αλλά για το καϑένα, d από αυτά είναι ίδια. Συνολοϑεωϱητικά έχουµε, για n = A δυνητικά αποτελέσµατα και κάποιο άγνωστο k: A = A 1 A k, A i A j =, i, j, όπου A 1 = = A k = d, συνεπώς k = A /d = n/d.

24 Ροτόντα Παϱάδειγµα 7. Με πόσους τϱόπους κάϑονται σε ϱοτόντα 4 άτοµα, ϑεωϱώντας 2 τϱόπους ίδιους όταν κάϑε άτοµο έχει δεξιά και αϱιστεϱά του 2 ίδιους γείτονες;

25 Ροτόντα Παϱάδειγµα 7. Με πόσους τϱόπους κάϑονται σε ϱοτόντα 4 άτοµα, ϑεωϱώντας 2 τϱόπους ίδιους όταν κάϑε άτοµο έχει δεξιά και αϱιστεϱά του 2 ίδιους γείτονες; Kανόνας διαίϱεσης: A i = τϱόποι να καϑίσουν σε συγκεκϱιµένη σειϱά αλλάϲοντας µόνο ϑέσεις δηλ. µετακινούµενοι όλοι µια ϑέση, π.χ. αντίϑετα µε τους δείκτες του ϱολογιού: A i = 4 = d. Ζητείται το πλήϑος k των A i όπου A = k i=1 A i = 4! = kd k = 3!

26 Ροτόντα Παϱάδειγµα 7. Με πόσους τϱόπους κάϑονται σε ϱοτόντα 4 άτοµα, ϑεωϱώντας 2 τϱόπους ίδιους όταν κάϑε άτοµο έχει δεξιά και αϱιστεϱά του 2 ίδιους γείτονες; Kανόνας διαίϱεσης: A i = τϱόποι να καϑίσουν σε συγκεκϱιµένη σειϱά αλλάϲοντας µόνο ϑέσεις δηλ. µετακινούµενοι όλοι µια ϑέση, π.χ. αντίϑετα µε τους δείκτες του ϱολογιού: A i = 4 = d. Ζητείται το πλήϑος k των A i όπου A = k i=1 A i = 4! = kd k = 3! Ευϑεία µέϑοδος: 4! διατάξεις αν οϱιστεί κάποια ϑέση ως 1η και µπουν τα άτοµα σε σειϱά (αντίϑετα των δεικτών του ϱολογιού). Η 1η ϑέση οϱίϲεται µε 4 τϱόπους, άϱα 4!/4 = 6 τϱόποι καϑίσµατος.

27 Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

28 Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα [Rosen, 6.2] - 10 πεϱιστεϱιά µε 9 διαϑέσιµες ϕωλιές. - Αϱα µία τουλάχιστον ϕωλιά ϑα έχει > 1 πεϱιστέϱια.

29 Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Θεώϱηµα 1 (Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα). Εστω k ένας ϑετικός ακέϱαιος. Εάν ϑέλουµε να τοποϑετήσουµε n k + 1 αντικείµενα σε k κουτιά, τότε τουλάχιστον ένα κουτί ϑα πεϱιέχει πεϱισσότεϱα από ένα αντικείµενα.

30 Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα, αν και ϕαινοµενικά απλή, µποϱεί να δώσει κάποια ενδιαϕέϱοντα αποτελέσµατα: Πόϱισµα 1. Μια συνάϱτηση f από ένα σύνολο µε n k + 1 στοιχεία σε ένα σύνολο µε k στοιχεία δεν είναι ποτέ 1 πϱος 1.

31 Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Παϱάδειγµα 8. Ανάµεσα σε 367 ανϑϱώπους τουλάχιστον 2 έχουν γενέϑλια την ίδια µέϱα. Παϱάδειγµα 9. Πόσους ϕοιτητές πϱέπει να έχει µία τάξη ώστε τουλάχιστον 2 να έχουν ίδιο ϐαϑµό αν η ϐαϑµολόγηση είναι από το 0 έως το 10 και επιτϱέπονται ακέϱαιοι και τα µισά τους;

32 Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Παϱάδειγµα 8. Ανάµεσα σε 367 ανϑϱώπους τουλάχιστον 2 έχουν γενέϑλια την ίδια µέϱα. Παϱάδειγµα 9. Πόσους ϕοιτητές πϱέπει να έχει µία τάξη ώστε τουλάχιστον 2 να έχουν ίδιο ϐαϑµό αν η ϐαϑµολόγηση είναι από το 0 έως το 10 και επιτϱέπονται ακέϱαιοι και τα µισά τους; Απάντηση: 22 ϕοιτητές.

33 Εϕαϱµογές Παϱάδειγµα ηµέϱες αγώνων για µια οµάδα, 1 αγώνες την ηµέϱα, 45 αγώνες συνολικά. είξτε ότι υπάϱχει µια πεϱίοδος συνεχόµενων ηµεϱών που η οµάδα παίϲει ακϱιϐώς 14 αγώνες. Απάντηση: a j = πλήϑος παιχνιδιών ως και τη µέϱα j = 1,..., 30. b j = a j + 14 (αµϕότεϱες αυστηϱώς αύξουσες) 60 ϑετικοί όϱοι συνολικά, όπου b αϱχή πεϱιστεϱώνα δύο ίσοι όϱοι, όµως όχι ίδιας ακολουϑίας, άϱα a k = b j = a j + 14, για κάποια k > j.

34 Η γενικευµένη αϱχή του πεϱιστεϱώνα Θεώϱηµα 2 (Η γενικευµένη αϱχή του πεϱιστεϱώνα). Αν τοποϑετήσουµε N αντικείµενα σε k κουτιά, τότε ένα τουλάχιστον κουτί ϑα πεϱιέχει τουλάχιστον N k αντικείµενα. Παϱάδειγµα 11. Πόσα χαϱτιά πϱέπει να τϱαϐήξουµε από µια τϱάπουλα 52 ϕύλλων, ώστε τουλάχιστον 3 να έχουν το ίδιο σύµϐολο;

35 Η γενικευµένη αϱχή του πεϱιστεϱώνα Θεώϱηµα 2 (Η γενικευµένη αϱχή του πεϱιστεϱώνα). Αν τοποϑετήσουµε N αντικείµενα σε k κουτιά, τότε ένα τουλάχιστον κουτί ϑα πεϱιέχει τουλάχιστον N k αντικείµενα. Παϱάδειγµα 11. Πόσα χαϱτιά πϱέπει να τϱαϐήξουµε από µια τϱάπουλα 52 ϕύλλων, ώστε τουλάχιστον 3 να έχουν το ίδιο σύµϐολο; Απάντηση: Θεωϱήστε k = 4 κουτιά. Tοποϑετώντας N χαϱτιά σε αυτά, πϱέπει N/4 3. Aϱα N 9. Εναλλακτικά N = 9.

36 Θεωϱία Ramsey Παϱάδειγµα 12 (Rosen, Παϱάδ. 9). Σε σύνολο 6 ατόµων, κάϑε Ϲεύγος αποτελείται είτε από 2 ϕίλους είτε 2 εχϑϱούς. είξτε πως υπάϱχουν 3 αµοιϐαία ϕίλοι (κλίκα) ή 3 αµοιϐαία εχϑϱοί. Απάντηση: Εστω άτοµο Α. Οι υπόλοιποι 5 µοιϱάϲονται σε ϕίλους και εχϑϱούς του Α, άϱα το ένα εκ των δύο υποσυνόλων πεϱιέχει 5/2 = 3 άτοµα (Αϱχή πεϱιστεϱώνα). Τους γϱάϕουµε Β, Γ,. Εστω οι Β, Γ, ϕίλοι του Α. Αν δυο εκ των Β, Γ, είναι ϕίλοι, ϐϱέϑηκαν 3 αµοιϐαία ϕίλοι. Αλλιώς οι Β, Γ, είναι αµοιϐαία εχϑϱοί. Αντίστοιχα αν οι Β, Γ, εχϑϱοί του Α.

37 Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

38 Μεταϑέσεις (permutations) Μετάϑεση ενός συνόλου διακεκϱιµένων αντικειµένων ονοµάϲουµε µια διατεταγµένη τοποϑέτηση αυτών των αντικειµένων. Ενδιαϕεϱόµαστε επίσης για τις διατεταγµένες µεταϑέσεις ενός υποσυνόλου. Μετάϑεση-r ονοµάϲουµε τη διατεταγµένη τοποϑέτηση r στοιχείων του συνόλου µας. Παϱάδειγµα 13. Εστω το σύνολο S = {1, 2, 3}. Η διάταξη 3, 1, 2 είναι µια µετάϑεση του S, ενώ η διάταξη 3, 1 είναι µια µετάϑεση-2 του S.

39 Πλήϑος µεταϑέσεων Το πλήϑος των µεταϑέσεων-r n στοιχείων συµϐολίϲεται P(n, r) Θεώϱηµα 3. Εστω n ϑετικός ακέϱαιος και r ακέϱαιος τέτοιος ώστε 1 r n. Τότε το πλήϑος των µεταϑέσεων-r είναι P(n, r) = n (n 1) (n r + 1) = }{{} r όϱοι n! (n r)!. Απόδειξη. Το πϱώτο στοιχείο της διάταξης µποϱεί να επιλεγεί µε n τϱόπους. Το δεύτεϱο µε n 1 τϱόπους και µε την ίδια λογική το r-οστό στοιχείο µε n (r 1) τϱόπους. ΕϕαϱµόϹοντας τον κανόνα του γινοµένου ϐϱίσκουµε το παϱαπάνω αποτέλεσµα.

40 Πλήϑος Μεταϑέσεων Παϱάδειγµα 14. Σε κάϑε κουτί το πολύ 1 µπάλα. Εστω r = n αϱιϑµηµένες µπάλες, n διακϱιτά/αϱιϑµηµένα κουτιά: #τοποϑετήσεων = n(n 1) 2 1 = n! Παϱάδειγµα 15. Πόσα διαϕοϱετικά αποτελέσµατα υπάϱχουν σε ένα διαγωνισµό που δίνονται ϐϱαϐεία στους 3 πϱώτους συµµετέχοντες από ένα σύνολο 100 συµετεχόντων; Απάντηση: P(100, 3) = =

41 Iσοδύναµες πεϱιγϱαϕές Tο πλήϑος P(n, r) µεταϑέσεων r αϱιϑµών από {1,..., n}. Ισούται µε µεταϑέσεις r αντικειµένων (σε r αϱιϑµηµένες ϑέσεις) από n διαϕοϱετικά αντικείµενα, n r. Εστω r αϱιϑµηµένες µπάλες, n διακϱιτά/αϱιϑµηµένα κουτιά, n r, σε κάϑε κουτί το πολύ 1 µπάλα: #τοποϑετήσεων = n(n 1) (n r + 1) = n! (n r)! =: P(n, r). Oι r άδες διαϕοϱετικών στοιχείων A A = A r, A = n, είναι P(n, r).

42 Παϱαδείγµατα Μεταϑέσεων Παϱάδειγµα 16. r = 2 αϱιϑµηµένες µπάλες σε n = 3 διακϱιτά κουτιά τοποϑετούνται µε P(3, 2) = 3! = 6 τϱόπους: [α β ], [β α ], [α β], [β α], [ α β], [ β α].

43 Παϱαδείγµατα Μεταϑέσεων Παϱάδειγµα 16. r = 2 αϱιϑµηµένες µπάλες σε n = 3 διακϱιτά κουτιά τοποϑετούνται µε P(3, 2) = 3! = 6 τϱόπους: [α β ], [β α ], [α β], [β α], [ α β], [ β α]. Παϱάδειγµα 17. Τετϱαψήϕιοι δεκαδικοί αϱιϑµοί, χωϱίς επαναλαµϐανόµενα ψηϕία και να µην ξεκινούν από 0. Μεταϑέσεις 4 από 10 αντικείµενα P(10, 4) = 10! 6! = #{0xyz} = P(9, 3) = 9! 6! = 504. Με τον κανόνα του αϑϱοίσµατος: P(10, 4) #{0xyz} = = Ισοδύναµα, #{µxyz} = = 4536.

44 Συνδυασµοί Στις µεταϑέσεις µας ενδιέϕεϱε όχι µόνο ποια αντικείµενα επιλέγουµε αλλά και σε ποια σειϱά τα διατάσσουµε αϕού τα επιλέξουµε. Αναγκαία συνϑήκη ήταν τα αντικείµενα (ή είδη) να είναι διακεκϱιµένα (αϱιϑµηµένα). Στους συνδυασµούς µας ενδιαϕέϱει µε πόσους τϱόπους µποϱούµε να επιλέξουµε κάποια αντικείµενα από ένα ευϱύτεϱο σύνολο, χωϱίς να µετϱάµε τις διαϕοϱετικές διατάξεις των επιλεγµένων αντικειµένων. Απαϱιϑµούµε δηλ. το πλήϑος υποσυνόλων.

45 Συνδυασµοί Eστω ότι ϑέλουµε να τοποϑετήσουµε r µπάλες ίδιου χϱώµατος σε n αϱιϑµηµένα κουτιά, r n και σε κάϑε κουτί να υπάϱχει το πολύ 1 µπάλα. Οι διαϕοϱετικοί συνδυασµοί τοποϑετήσεων είναι: ( ) n #τοποϑετήσεων = P(n, r) r! = n! r!(n r)! =: r =: C(n, r). διότι r! διατάξεις των µπαλών είναι ίδιες (κανόνας γινοµένου). Οϱισµός. συνδυασµός-r στοιχείων ενός συνόλου n στοιχείων ονοµάϲεται η µη διατεταγµένη επιλογή r στοιχείων του συνόλου και συνήϑως συµϐολίϲεται µε C(n, r) (combinations). Σηµείωση: Χωϱίς σειϱά δεν πϱόκειται για επιλογές στο A A.

46 Συνδυασµοί Θεώϱηµα 4. Εστω n ϑετικός ακέϱαιος και r ακέϱαιος τέτοιος ώστε 0 r n. Τότε το πλήϑος των συνδυασµών-r, δηλ. των µη διατεταγµένων επιλογών r στοιχείων, είναι C(n, r) = n! r!(n r)!. Απόδειξη. Οι µεταϑέσεις-r ενός συνόλου µποϱούν να κατασκευαστούν µε τον σχηµατισµό των C(n, r) συνδυασµών-r, όπου καϑένας διατάσσεται µε P(r, r) τϱόπους. Αϱα P(n, r) = C(n, r) P(r, r) n! = C(n, r) r! (n r)!

47 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα αστϱοναύτες πϱοπονούνται για την αποστολή στον Αϱη Mε πόσους τϱόπους επιλέγεται µια 6µελης αποστολή;

48 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα αστϱοναύτες πϱοπονούνται για την αποστολή στον Αϱη Mε πόσους τϱόπους επιλέγεται µια 6µελης αποστολή; Απάντηση: C(30, 6) = 30! 24!6! συνδυασµοί.

49 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα αστϱοναύτες πϱοπονούνται για την αποστολή στον Αϱη Mε πόσους τϱόπους επιλέγεται µια 6µελης αποστολή; Απάντηση: C(30, 6) = 30! 24!6! συνδυασµοί. Παϱάδειγµα 19. Υποψήϕιοι για µια επιτϱοπή: 9 µαϑηµατικοί, 11 πληϱοϕοϱικοί. Πόσες επιτϱοπές υπάϱχουν µε 3 Μαϑηµατικούς, 4 Πληϱοϕοϱικούς;

50 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα αστϱοναύτες πϱοπονούνται για την αποστολή στον Αϱη Mε πόσους τϱόπους επιλέγεται µια 6µελης αποστολή; Απάντηση: C(30, 6) = 30! 24!6! συνδυασµοί. Παϱάδειγµα 19. Υποψήϕιοι για µια επιτϱοπή: 9 µαϑηµατικοί, 11 πληϱοϕοϱικοί. Πόσες επιτϱοπές υπάϱχουν µε 3 Μαϑηµατικούς, 4 Πληϱοϕοϱικούς; Απάντηση: C(9, 3) C(11, 4).

51 Συνδυαστικές Ταυτότητες 0! = 1. ( ) n r = n! r!(n r)! = ( n n r), δηλ. C(n, r) = C(n, n r). ( n n) = 1 = ( n 0). ( n 1) = n. ( n r) := 0, r > n & r < 0 (σύµϐαση)

52 Υποσύνολα Παϱάδειγµα 20. P(M) = 2 M = # τϱόποι επιλογής υποσυνόλου του M. M = {A, B, C}. P(M) = 2 3 = 8. #(Υποσυνόλων µε 2 στοιχεία) = ( 3 2) = 3. #( ιατεταγµένων υποσυνόλων µε 2 στοιχεία) = 3 2 = 6. Παϱάδειγµα 21. M = Μπάλες µπιλιάϱδου = {1, 2,..., 15}. P(M) = 2 15 = ( ) 15 #(Υποσυνόλων µε 3 µπάλες) = 3 = 15! 12!3! = !. #( ιατεταγµένων υποσυνόλων µε 3 µπάλες) =

53 Tαυτότητα του Pascal Απόδειξη. ( ) ( ) ( ) n 1 n 1 n + = r 1 r r = = (n 1)! (r 1)!(n r)! + (n 1)! r!(n r 1)! = (n 1)! (r 1)!(n r 1)! ( 1 n r + 1 r ) = (n 1)! n (r 1)!(n r 1)! = n! (n r)r r!(n r)!. Βϱείτε και µια συνδυαστική Απόδειξη.

54 Συνδυαστική Απόδειξη H συνδυαστική απόδειξη µιας ταυτότητας χϱησιµοποιεί εϱγαλεία απαϱίϑµησης ώστε να αποδειχϑεί η ισότητα των δυο µελών της ταυτότητας, ή δείχνει την ύπαϱξη µιας αµϕιµονοσήµαντης συνάϱτησης µεταξύ των συνόλων που απαϱιϑµούνται από τα δυό µέλη της ταυτότητας.

55 Συνδυαστική Απόδειξη Θεώϱηµα. Θα δείξουµε ότι C(n, r) = C(n, n r) χϱησιµοποιώντας µια συνδυαστική απόδειξη: Εστω A S µε r στοιχεία. Υπάϱχουν C(n, r) τέτοια. Tο A οϱίϲεται µονοσήµαντα µέσω του συµπληϱώµατός του A c = S A, που έχει n r στοιχεία. Επεται ότι το πλήϑος των υποσυνόλων µε r στοιχεία είναι C(n, n r) και άϱα C(n, r) = C(n, n r). Ασκηση: Υπάϱχει συνδυαστική απόδειξη µε την χϱήση αµϕιµονοσήµαντης συνάϱτησης;

56 Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

57 ιωνυµικό Θεώϱηµα Θεώϱηµα 5. (x + y) n = n r=0 ( n ) r x r y n r, n 0. Γιαυτό οι αϱιϑµοί ( n r) καλούνται διωνυµικοί συντελεστές. Παϱάδειγµα 22. Βϱείτε το ανάπτυγµα του (x + y) 4. Απάντηση: (x + y) 4 = 4 j=0 ( 4 ) j x j y 4 j = = y 4 + 4y 3 x + 6y 2 x 2 + 4yx 3 + x 4

58 Επαγωγική απόδειξη Βάση. n = 0: 1 = 1, n = 1: x + y = x 0 y + xy 0. Επαγωγικό ϐήµα: (x + y) n = (x + y) n 1 ( n 1 ) r x r y n 1 r = (επαγωγή) = n 1 = = r=0 ( n 1 n 1 ( n 1 r r=0 ) x r+1 y n 1 r + n 1 ) x n + n 1 + n 1 r=1 ( n 0) y n + n 1 r=1 ( n 1 r r=1 ( n 1 r=0 r 1) x r y n r + ) x r y n r + ( n 1 0 ) x n ( n r) x r y n r + ( n n ( n 1 ) r x r y n r = ) y n = (Pascal)

59 ιωνυµικό Θεώϱηµα Ασκηση: Βϱείτε µια συνδυαστική απόδειξη του ϑεωϱήµατος.

60 ιωνυµικό Θεώϱηµα Ασκηση: Βϱείτε µια συνδυαστική απόδειξη του ϑεωϱήµατος. Ιδέα: (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y).

61 ιωνυµικό Θεώϱηµα Ασκηση: Βϱείτε µια συνδυαστική απόδειξη του ϑεωϱήµατος. Ιδέα: (x + y) n = (x + y)(x + y) (x + y). Παϱάδειγµα 23. Ποιος είναι ο συντελεστής του x 10 y 15 στο (x + y) 25 ; Απάντηση: ( ) = 25! 10!15! =

62 Αµεσα ποϱίσµατα n k=0 ( n ) k = 2 n (ϑέτουµε x = y = 1) n k=0 ( 1) k( n k) = 0 (ϑέτουµε x = 1, y = 1) n k=0 2 k( ) n k = 3 n (x, y =?)

63 Επιλογές υποσυνόλου Επαγωγική απόδειξη Η ταυτότητα n k=0 ( n ) k = 2 n είναι σηµαντική γιατί απαϱιϑµεί τις επιλογές υποσυνόλων ενός συνόλου. Θα την αποδείξουµε µε δυο ακόµα τϱόπους. Eπαγωγική απόδειξη στο n. Επαγωγικό Βήµα: n ( n ) 0 k n 1 = n(n 1)! (n k)(n k 1)!k! = 1 + n 1 ( n 1 n 1 = n 1 (n 1)!k + (n k 1)!k!(n k) = 1 + 2n k ) (1 + k n k ) n 1 ( n 1 k n 2 ( n 1 ) n 1 ( n 1 ) = n 1 + = n = 2 2 n 1. k k 0 0 )

64 Επιλογές υποσυνόλου Συνδυαστική απόδειξη Θα αποδείξουµε το ίδιο µε µια συνδυαστική απόδειξη. Απόδειξη. Εστω A σύνολο µε n στοιχεία. Ο αϱιϑµός των υποσυνόλων του A µε ακϱιϐώς k στοιχεία είναι ( n k). Από τον κανόνα του αϑϱοίσµατος ο αϱιϑµός όλων των δυνατών n ) υποσυνόλων του A είναι. k=0 ΓνωϱίϹοντας πως P(A) = 2 n ολοκληϱώνεται η απόδειξη. ( n k

65 Tαυτότητα Vandermonde Θεώϱηµα 6. Εστω n, m, r ϑετικοί ακέϱαιοι µε r n και r m. Τότε ( ) m + n = r r ( m k=0 r k ) ( n k ).

66 Tαυτότητα Vandermonde Θεώϱηµα 6. Εστω n, m, r ϑετικοί ακέϱαιοι µε r n και r m. Τότε ( ) m + n = r r ( m k=0 r k ) ( n k ). Συνδυαστική απόδειξη: Πλήϑος επιλογών r αντικειµένων από δύο σύνολα πλήϑους m, n. ιακϱίνουµε πεϱιπτώσεις ως πϱος τα k αντικείµενα που επιλέγονται από n.

67 Tαυτότητα Vandermonde Θεώϱηµα 6. Εστω n, m, r ϑετικοί ακέϱαιοι µε r n και r m. Τότε ( ) m + n = r r ( m k=0 r k ) ( n k ). Συνδυαστική απόδειξη: Πλήϑος επιλογών r αντικειµένων από δύο σύνολα πλήϑους m, n. ιακϱίνουµε πεϱιπτώσεις ως πϱος τα k αντικείµενα που επιλέγονται από n. Πόϱισµα 2 (n = m = r). ( ) 2n = n r ( n k=0 k ) 2

68 Επιπλέον ταυτότητα Θεώϱηµα 7. Εστω n, r ϑετικοί ακέϱαιοι µε r n. Τότε ( ) n + 1 = r + 1 n ( ) k. r k=r

69 Επιπλέον ταυτότητα Θεώϱηµα 7. Εστω n, r ϑετικοί ακέϱαιοι µε r n. Τότε ( ) n + 1 = r + 1 n ( ) k. r k=r Συνδυαστική απόδειξη: Πλήϑος επιλογών r + 1 αντικειµένων από n + 1, όπου το αντικείµενο µε µεγιστο αϱιϑµό είναι το υπ αϱιϑµό r + 1, r + 2,..., n + 1, άϱα ) n+1 j=r+1. Θέτουµε k = j 1. ( j 1 r

70 Βασικές έννοιες απαϱίϑµησης Η αϱχή του πεϱιστεϱώνα Μεταϑέσεις και Συνδυασµοί ιωνυµικοί Συντελεστές Γενικευµένες µεταϑέσεις και συνδυασµοί

71 Επεκτείνοντας τα εϱγαλεία απαϱίϑµησης Μέχϱι τώϱα ϑεωϱούσαµε ότι κάϑε αντικείµενο µποϱεί να χϱησιµοποιηϑεί 1 ϕοϱά. Σε αυτήν την παϱάγϱαϕο εισάγουµε την έννοια των επαναλήψεων Επίσης κάποια στοιχεία ενός συνόλου µποϱεί να µην ξεχωϱίϲουν το ένα από το άλλο

72 Μεταϑέσεις µε επαναλήψεις Θέλουµε να τοποϑετήσουµε r αϱιϑµηµένες µπάλες σε n αϱιϑµηµένα κουτιά. Κάϑε κουτί επιτϱέπεται να πεϱιέχει οποιοδήποτε πλήϑος µπαλών. Υπάϱχουν n επιλογές για κάϑε µπάλα, άϱα n r τϱόποι τοποϑέτησης, n, r. Iσοδύναµα, τϱόποι διάταξης r αντικειµένων (σε r αϱιϑµηµένες ϑέσεις) από n είδη (αντικείµενα µε επανάληψη). r άδες στοιχείων A A = A r : A = n, επιλογή µε επανάληψη, δηλ. A r = A r. Θεώϱηµα 8. Το πλήϑος των r-µεταϑέσεων από σύνολο n αντικειµένων, άν επιτϱέπονται οι επαναλήψεις, είναι n r.

73 Παϱαδείγµατα Ι Παϱάδειγµα 24. ΠΡΟΠΟ: 13 αγώνες, 3 δυνατά αποτελέσµατα (1, 2, Χ). Ολες οι δυνατές στήλες (αποτελέσµατα) είναι Παϱάδειγµα 25. Οι συµϐολοσειϱές µήκους r που σχηµατίϲονται από το ελληνικό αλϕάϐητο και τα στοιχεια! και ; είναι 26 r.

74 Παϱαδείγµατα II Παϱάδειγµα 26. Ακολουϑίες r ψηϕίων {0, 1, 2, 3, 4}: πόσες µε άϱτιο πλήϑος από 1 (άσους)? 3 r πεϱιέχουν µόνο {2, 3, 4}. ΧωϱίϹουµε τις υπόλοιπες ακολουϑίες (που πεϱιέχουν κάποιο 0 ή 1) σε διακϱιτά υποσύνολα ως πϱος τις ϑέσεις των 2, 3, 4. Π.χ. αν r = 8 τότε x2x4x32x, x {0, 1}. Κάϑε υποσύνολο πεϱιέχει ίδιο πλήϑος ακολουϑιών µε άϱτιο ή πεϱιττό πλήϑος άσων (ϐλ. επόµενη διαϕάνεια). Αϱα 1 2 (5r 3 r ) ακολ. µε άϱτιο #άσων. 3 r (5r 3 r ) = 1 2 (5r + 3 r ) µε άϱτιο πλήϑος από 1. Π.χ. r = (5 + 3) = 4, r = 2 1 (25 + 9) = 17. 2

75 Παϱαδείγµατα III Παϱάδειγµα 27. Εστω δυαδικές ακολουϑίες µήκους r 1, δηλ. στο {0, 1} r. Αποδείξτε πως ακϱιϐώς µισές έχουν άϱτιο πλήϑος από 1. ΚατασκευάϹουµε µια 1-1 αντιστοιχία µεταξύ ακολουϑιών µε άϱτιο και µε πεϱιττό πλήϑος από 1, µε µετακύλιση (shift) δεξιά: f : [a, 0] [1, a], [a, 1] [0, a], όπου a υπακολουϑία µήκους r 1. Μια απόδειξη πως η f είναι 1-1 γίνεται ϑεωϱώντας την αντίστϱοϕη: f 1 : [0, a] [a, 1], [1, a] [a, 0]. Πόϱισµα. r/2 i=0 ( ) r = 2 r 1. 2i

76 Ασκηση Να δειχϑεί ότι: r/2 i=0 ( ) r = 2 r 1. 2i Πεϱίπτωση r πεϱιττό: r ( ) r r ( ) r r ( ) r = +. k k k k=0 k=0, άϱτιο k=0, πεϱιττό Το τελευταίο άϑϱοισµα είναι r ( ) r r ( ) r =. r k j k=0, πεϱιττό j=0, άϱτιο r ( ) r/2 r ( ) r Αϱα 2 r = 2 = 2. j 2i j=0, άϱτιο i=0

77 Συνδυασµοί µε επαναλήψεις Θεώϱηµα 9. Υπάϱχουν συνολικά C(n + r 1, r) συνδυασµοί-r από σύνολο µε n αντικείµενα (είδη), όπου τα αντικείµενα (είδη) επιλέγονται µε επαναλήψεις. Πεϱισσότεϱοι από ( n r) διότι κάϑε αντικείµενο επιλέγεται 0, 1, 2 ή πεϱισσότεϱες ϕοϱές, αντί για 0 ή 1 ϕοϱά. Ισοδύναµα, τοποϑετούµε r όµοιες µπάλες (ίδιου χϱώµατος) σε n αϱιϑµηµένα κουτιά, χωϱίς πεϱιοϱισµό µπαλών ανά κουτί, r, n.

78 Παϱαδείγµατα Παϱάδειγµα 28. r = 3 όµοια νοµίσµατα, n = 2 αποτελέσµατα (κουτιά). #συνδυασµών = ( ) = 4: 3Κ, 2Κ-Γ, Κ-2Γ, 3Γ. Παϱάδειγµα 29. ( ) Ϲάϱια, #αποτελεσµάτων = 3 = 8! 3!5! = ! = 56. ΟΧΙ: 6 3 γιατί (η σειϱά δεν µας αϕοϱά).

79 Aπόδειξη Θεώϱηµα 9. C(n + r 1, r) συνδυασµοί-r από n αντικείµενα µε επανάληψη. Ισοδύναµα r όµοιες µπάλες σε n αϱιϑµηµένα κουτιά, r, n. Απόδειξη. Τοποϑετούµε n 1 διαχωϱιστικά σε ακολουϑία r στοιχείων επιλέγοντας τα n 1 διαχωϱιστικά από n 1 + r αντικείµενα. Π.χ.: για n = 7, r = 6.

80 Λύσεις εξίσωσης Παϱάδειγµα 30. Εστω x 1, x 2, x 3 µη αϱνητικοί ακέϱαιοι. Οι λύσεις της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 = 11 δίνονται από το ϑεώϱηµα για r = 11, n = 3: C( , 11) = C(13, 11) = 78.

81 Μεταϑέσεις όµοιων αντικειµένων Θεώϱηµα 10. Το πλήϑος µεταϑέσεων n αντικειµένων τ.ώ. να υπάϱχουν n 1 αντικείµενα τύπου 1 που δεν ξεχωϱίϲουν µεταξύ τους, n 2 αντικείµενα τύπου 2 που δεν ξεχωϱίϲουν µεταξύ τους,..., n k αντικείµενα τύπου k που δεν ξεχωϱίϲουν µεταξύ τους, όπου k n i = n i=1 δίνεται από τον τύπο n! n 1!n 2! n k!. Αναϕεϱόµαστε σε µεταϑέσεις µη-διακϱιτών αντικειµένων.

82 "Πολυωνυµικός" συντελεστής ( ) n = n 1, n 2,, n t n!, t n αν 1!n 2! n t! i=1 0, αλλιώς. n i = n, Θεώϱηµα 11. Για n N, (x x t ) n = n 1,...,nt N: n 1 + +nt =n ( n n 1,..., n t ) x n1 1 xnt t. Σηµείωση: Για t = 2, έχουµε ( n n 1 ) = ( n n 1,n 2 ).

83 Αναγϱαµµατισµοί Για µια λέξη a 1 a 2 a n µποϱούµε να εϕαϱµόσουµε το πϱοηγούµενο ϑεώϱηµα για να ϐϱούµε το πλήϑος των αναγϱαµατισµών. Θέτουµε k το πλήϑος των ξεχωϱιστών γϱαµµάτων. Θέτουµε n i το πλήϑος επαναλήψεων του γϱάµµατος i. Ελέγχουµε ότι k i=1 n i = n. ΥπολογίϹουµε τους αναγϱαµµατισµούς. Παϱάδειγµα 31. Πόσοι είναι οι αναγϱαµµατισµοί της λέξης "σκουληκοµυϱµηγκότϱυπα";

84 Μπάλες σε κουτιά r µπάλες διαϕοϱετικών χϱωµάτων, n αϱιϑµηµένα κουτιά, r n και 1 µπάλα ανά κουτί: #τοποϑετήσεων = P(n, r). Εστω q 1 µπάλες ίδιου χϱώµατος (γαλάϲιου): P(n,r) n! q 1! = q 1! (n r)! Αλλες q 2 µπάλες χϱώµατος κόκκινου: P(n,r) n! q 1!q 2! = q 1!q 2! (n r)! Συνολικά t χϱώµατα, q i 1 χϱώµατος i, r = t i=1 q i t: ( ) P(n, r) #τοποϑετήσεων = q 1! q t! =: n q 1,..., q t, (n r)

85 Κατανοµή αντικειµένων σε κουτιά Θεώϱηµα 12. Το πλήϑος των τϱόπων κατανοµής n διακεκϱιµένων αντικειµένων σε k διακεκϱιµένα κουτιά µε επανάληψη, έτσι ώστε n i αντικείµενα να τοποϑετούνται στο κουτί i, είναι n! n 1!n 2! n k!. Σηµείωση: Υπάϱχει πλήϱης αντιστοιχία µεταξύ των δυο τελευταίων πεϱιπτώσεων: µεταϑέσεις µη διακϱιτών αντικειµένων και κατανοµής αντικειµένων σε κουτιά µε επανάληψη.

86 Παϱάδειγµα Ι Παϱάδειγµα παίχτες πόκεϱ, 5 ϕύλλα ο καϑένας. Αντιστοιχία παίκτη µε "κουτί": n i = 5, i = 1, 2, 3, 4. Πέµπτο "κουτί" τα ϕύλλα που δεν µοιϱάστηκαν: πεϱιέχει = 32 ϕύλλα. Σύνολο συνδυασµών: 52! (5!) 4 32!

87 Παϱάδειγµα ΙΙ Παϱάδειγµα γϱαϕεία στον νέο όϱοϕο του κτηϱίου Πληϱοϕοϱικής, 12 ϐάϕονται: 3 πϱάσινα, 2 ιώδη, 2 κίτϱινα, 5 λευκά. Πόσοι τϱόποι ϐαϕής υπάϱχουν; Οσοι κι οι τϱόποι τοποϑέτησης 12 µπαλών (3 πϱάσινες κλπ) σε 15 αϱιϑµηµένα κουτιά, άϱα ( ) P(15, 12) 3!2!2!5! = 15 3, 2, 2, 5, 3 = Π.χ. 4 γϱαϕεία, 2 πϱάσινα, 1 ιώδες: ( 4 2,1,1) = 12: , , , , ,

88 Συνδυασµοί µ επαναλήψεις χωϱίς κενά Θεώϱηµα 13. Τοποϑετούµε r όµοιες µπάλες σε n αϱιϑµηµένα κουτιά, µε τουλάχιστον 1 µπάλα ανά κουτί, όπου r n, µε ( ) r 1 τϱόπους. n 1 Ισοδύναµα, συνδυασµοί-r από n αντικείµενα (είδη) όπου κάϑε αντικείµενο επιλέγεται τουλάχιστον µια ϕοϱά. Απόδειξη. Εστω y i µπάλες στο κουτί i = 1,..., n. Θέτουµε y i = x i + 1, x i 0, άϱα i x i = r n. ΓνωϱίϹουµε πως οι συνδυασµοί των x i είναι C(n + (r n) 1, n 1).

89 Ασκηση µε 4 τϱόπους Κάϑονται 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.): 1ος: Μεταϑέσεις 5 εκ των 12 αντικειµένων, δηλ., P(12, 5) = 12! 7! =

90 Ασκηση µε 4 τϱόπους Κάϑονται 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.): 1ος: Μεταϑέσεις 5 εκ των 12 αντικειµένων, δηλ., P(12, 5) = 12! 7! = ος: Επιλέγω 5 καϱέκλες για τα άτοµα µε C(12, 5) τϱόπους, διατάσσω τα άτοµα µε 5! τϱόπους. Κανόνας Γινοµένου 5! C(12, 5) = 5!C(12, 7).

91 Ασκηση µε 4 τϱόπους Κάϑονται 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.): 1ος: Μεταϑέσεις 5 εκ των 12 αντικειµένων, δηλ., P(12, 5) = 12! 7! = ος: Επιλέγω 5 καϱέκλες για τα άτοµα µε C(12, 5) τϱόπους, διατάσσω τα άτοµα µε 5! τϱόπους. Κανόνας Γινοµένου 5! C(12, 5) = 5!C(12, 7). 3ος: ( Μεταϑέσεις ) 12 αντικειµένων: q 1 = = q 5 = 1, q 6 = 7: 12 1,1,1,1,1,7 = 12! 7! =

92 Ασκηση µε 4 τϱόπους Κάϑονται 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.): 1ος: Μεταϑέσεις 5 εκ των 12 αντικειµένων, δηλ., P(12, 5) = 12! 7! = ος: Επιλέγω 5 καϱέκλες για τα άτοµα µε C(12, 5) τϱόπους, διατάσσω τα άτοµα µε 5! τϱόπους. Κανόνας Γινοµένου 5! C(12, 5) = 5!C(12, 7). 3ος: ( Μεταϑέσεις ) 12 αντικειµένων: q 1 = = q 5 = 1, q 6 = 7: 12 1,1,1,1,1,7 = 12! 7! = ος: 5! διατάξεις ατόµων: A 1 A 2 A 3 A 4 A 5. 2ο πείϱαµα: 7 καϱέκλες σε 6 κενά: 7 όµοιες µπάλες σε 6 αϱιϑµηµένα κουτιά, χωϱίς πεϱιοϱισµό ανά κουτί: C( , 7). Κανόνας Γινοµένου 5! C(12, 7) = 5! 12! 7!5! = 12! 7!

93 Ασκηση (παϱαλλαγή) 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.), αλλά να ΜΗΝ υπάϱχουν 2 διπλανά άτοµα. 5! διατάξεις ατόµων για A 1 KA 2 KA 3 KA 4 KA 5, αποµένουν 3 καϱέκλες: τοποϑέτηση 3 καϱεκλών σε 6 κενά µε C( , 3) τϱόπους 5! 8! 3!5! = 8! 3! = 6720.

94 Ασκηση (παϱαλλαγή) 5 διαϕοϱετικά άτοµα σε σειϱά 12 καϱεκλών (αϱιϑµ.), αλλά να ΜΗΝ υπάϱχουν 2 διπλανά άτοµα. 5! διατάξεις ατόµων για A 1 KA 2 KA 3 KA 4 KA 5, αποµένουν 3 καϱέκλες: τοποϑέτηση 3 καϱεκλών σε 6 κενά µε C( , 3) τϱόπους 5! 8! 3!5! = 8! 3! = Αν, επιπλέον, υπάϱχουν άτοµα στις 2 ακϱαίες καϱέκλες: Τότε, 5! διατάξεις A 1 KA 2 KA 3 KA 4 KA 5, αποµένουν 3 καϱέκλες σε 4 κενά µε C( , 3) τϱόπους. Ισοδύναµα, 5! διατάξεις A 1 A 2 A 3 A 4 A 5, αποµένουν 7 καϱέκλες σε 4 κενά µε C(7 1, 4 1) = C(6, 3) τϱόπους 5! 6! 3!3! = 2400 τϱόποι.

95 Σύνοψη r n όταν έχουµε 1 µπάλα ανά κουτί ή επιλέγονται αντικείµενα χωϱίς επανάληψη. Αλλιώς τα r, n δεν πεϱιοϱίϲονται: οσεσδήποτε µπάλες ανά κουτί ή επιλογές µε επανάληψη. n r µεταϑέσεις/διατάξεις µε επανάληψη P(n, r) = n!/(n r)! µεταϑέσεις, r n C(n, r) = ( n r) συνδυασµοί, r n n! µεταϑέσεις µε r r t = r 1!r 2! r t! (n r)! = r µπάλες n, t χϱωµάτων C(n + r 1, n 1) συνδυασµοί µε επανάληψη C(r 1, n 1) συνδ. µε επανάληψη χωϱίς κενά, r n

96 Ασκήσεις

97 Ασκηση 0 Ενα µπολ πεϱιέχει 10 κόκκινες και 10 µπλε µπάλες. Μια γυναίκα διαλέγει στην τύχη µπάλες, χωϱίς να κοιτάει. (α) Πόσες µπάλες (έστω N 1 ) πϱέπει να επιλέξει ώστε να έχει τουλάχιστον 3 ίδιου χϱώµατος; (ϐ) Πόσες µπάλες (έστω N 2 ) πϱέπει να επιλέξει ώστε να έχει τουλάχιστον 3 µπλε; Aπάντηση. (α) Γενικευµένο ϑεώϱηµα του πεϱιστεϱώνα Με 2 ϕωλιές: N 1 /2 3 N 1 5. pigeon (ϐ) Πϱέπει να εξαντλήσουµε την πιϑανότητα να διαλέξει η γυναίκα όλες τις κόκκινες µπάλες πϱώτα, άϱα N 2 = 13.

98 Ασκηση 1 Υπόϑ ηµέϱες, καϑεµία αντιστοιχεί σε 1 µάϑηµα. Υπόϑ µαϑήµατα, πϱέπει να µελετηϑούν όλα. Πόσα Πϱογϱάµµατα Μελέτης υπάϱχουν; Λύση: 4 7 A 1 A 4, όπου 4 7 = και A i := {Πϱογϱάµµατα χωϱίς µάϑηµα i}, i = 1, 2, 3, 4.

99 Ασκηση 1 Υπόϑ ηµέϱες, καϑεµία αντιστοιχεί σε 1 µάϑηµα. Υπόϑ µαϑήµατα, πϱέπει να µελετηϑούν όλα. Πόσα Πϱογϱάµµατα Μελέτης υπάϱχουν; Λύση: 4 7 A 1 A 4, όπου 4 7 = και A i := {Πϱογϱάµµατα χωϱίς µάϑηµα i}, i = 1, 2, 3, 4. Εγκλεισµός / Αποκλεισµός: incexc A i = 3 7, A i A j = 2 7, A i A j A k = 1 7 = 1. A 1 A 2 A 3 A 4 = 0. A 1 A 4 = ( ) ( 4 3) 1 0 = Απάντηση: = 8.400

100 Ασκηση 1- Εναλλακτική λύση (?) Υποϑ ηµέϱες, καϑεµία αντιστοιχεί σε 1 µάϑηµα Υποϑ µαϑήµατα, πϱέπει να µελετηϑούν όλα. Πόσα Πϱογϱάµµατα Μελέτης υπάϱχουν; Αλλη απόπειϱα: 1. ιάλεξε 4 από τις ηµέϱες {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} για να πϱογϱαµµατίσεις τα µαϑήµατα A, B, C, D σε σειϱά: P(7, 4) τϱόποι 2. ιάλεξε 3 µαϑήµατα για τις υπόλοιπες 3 ηµέϱες: 4 3 τϱόποι. Συνολικά P(7, 4) 4 3 = τϱόποι (?)

101 Ασκηση 1- Εναλλακτική λύση (?) Υποϑ ηµέϱες, καϑεµία αντιστοιχεί σε 1 µάϑηµα Υποϑ µαϑήµατα, πϱέπει να µελετηϑούν όλα. Πόσα Πϱογϱάµµατα Μελέτης υπάϱχουν; Αλλη απόπειϱα: 1. ιάλεξε 4 από τις ηµέϱες {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} για να πϱογϱαµµατίσεις τα µαϑήµατα A, B, C, D σε σειϱά: P(7, 4) τϱόποι 2. ιάλεξε 3 µαϑήµατα για τις υπόλοιπες 3 ηµέϱες: 4 3 τϱόποι. Συνολικά P(7, 4) 4 3 = τϱόποι (?) ΛΑΘΟΣ! Πϱογϱάµµατα όπως το [ 1, 2, 5, 7, A, B, C ] µετϱούνται πάνω από µία ϕοϱά, π.χ.: [ 3, 4, 6, 7, A, B, C ].

102 Λάϑος κανόνας γινοµένου Το λάϑος που παϱουσιάϲει ο πϱοηγούµενος συλλογισµός είναι ότι µετϱάµε Ϲεύγη της µοϱϕής [ f 1, f 2, f 3, f 4, X, Y, Z ] όπου [ f 1, f 2, f 3, f 4 ] µετάϑεση µήκους 4 από 7 στοιχεία και [ X, Y, Z ] µετάϑεση µήκους 3 από 7 στοιχεία µε επανάληψη. Το πϱόϐληµα είναι ότι υποϑέτει πως υπάϱχει αµϕιµονοσήµαντη αντιστοιχία µεταξύ τέτοιων Ϲευγών και πϱογϱαµµάτων. Στην πϱαγµατικότητα (όπως είδαµε µε το αντιπαϱάδειγµα) τα Ϲεύγη είναι πολύ πεϱισσότεϱα.

103 Κυϱτότητα Οϱισµός 2. Ενα αντικείµενο A λέγεται κυϱτό εάν κάϑε ευϑύγϱαµµο τµήµα που ενώνει 2 σηµεία του A κείται ολόκληϱο στο εσωτεϱικό του αντικειµένου. Κυϱτό Μη-κυϱτό

104 Ασκηση 2 Κυϱτό 10-γωνο στο επίπεδο. διαγώνιοι σε "γενική" ϑέση δηλ. τϱιάδα δεν τέµνεται Πόσα ευϑύγϱαµµα τµήµατα οϱίϲονται πάνω στις διαγωνίους; ( 10 ) 2 τµήµατα µεταξύ δύο κοϱυϕών= 45-(10 ακµές)= 35 διαγώνιοι. ΥπολογίϹουµε τον αϱιϑµό εσωτεϱικών σηµείων τοµής για ένα Ϲεύγος διαγωνίων: Ϲεύγη διαγωνίων που τέµνονται σε κοϱυϕή δεν οϱίϲουν τοµή.

105 Ασκηση 2 (συνέχεια) Σε κάϑε τετϱάδα κοϱυϕών αντιστοιχίϲεται ένα διαϕοϱετικό σηµείο τοµής και αντιστϱόϕως (γιατί;). Αϱα ( 10 4 ) = 210 τοµές (στις 35 διαγωνίους). Εστω k i τοµές στην i-οστή διαγώνιο: οϱίϲουν k i + 1 τµήµατα. Aϱιϑµός τµηµάτων = 35 (k i + 1) = 35 k i + 35 = i=1 i=1 = = = 455, όπου κάϑε σηµείο τοµής ανήκει σε 2 ακϱιϐώς διαγωνίους.

106 Ασκηση 3 Με πόσους τϱόπους τοποϑετούνται κ κόκκινες και λ λευκές µπάλες σε n αϱιϑµηµένα κουτιά, ώστε κάϑε κουτί να πεϱιέχει τουλάχιστον µια κόκκινη και µία λευκή µπάλα; Υποϑέτουµε πως κ n, λ n, αλλιώς η απάντηση είναι 0. Με 1 τϱόπο τοποϑετώ n κόκκινες και n λευκές µπάλες. Αποµένουν κ n κόκκινες και λ n λευκές µπάλες, που τοποϑετούνται αυϑαίϱετα, άϱα πλήϑος τοποϑετήσεων = ( )( ) ( )( ) n + (κ n) 1 n + (λ n) 1 κ 1 λ 1 = = κ n λ n κ n λ n Ισοδύναµα: τοποϑετούνται κ κόκκινες µπάλες στα n κούτια µε 1 µπάλα άνα κουτί και οµοίως οι λευκές. combin ( )( ) κ 1 λ 1 κ n λ n

107 Ασκηση 4 1. Με πόσους τϱόπους διατάσσονται τα 8 γϱάµµατα a, b, c, d, e, f, g, h ώστε το a να ϐϱίσκεται αϱιστεϱά του b και το b αϱιστεϱά του c; Η διάταξη a b c οϱίϲει n = 4 κουτιά όπου τοποϑετούµε, διατεταγµένα, τα υπόλοιπα r = 5 γϱάµµατα. Για το d έχουµε 4 επιλογές, για το e έχουµε 5 κοκ, άϱα διατάξεις.

108 Ασκηση 4 1. Με πόσους τϱόπους διατάσσονται τα 8 γϱάµµατα a, b, c, d, e, f, g, h ώστε το a να ϐϱίσκεται αϱιστεϱά του b και το b αϱιστεϱά του c; Η διάταξη a b c οϱίϲει n = 4 κουτιά όπου τοποϑετούµε, διατεταγµένα, τα υπόλοιπα r = 5 γϱάµµατα. Για το d έχουµε 4 επιλογές, για το e έχουµε 5 κοκ, άϱα διατάξεις. 2. r διαϕοϱετικές µπάλες τοποϑετούνται σε n διαϕοϱετικά κουτιά. Σε κάϑε κουτί οι µπάλες ϐϱίσκονται σε µια σειϱά. Πόσοι τϱόποι υπάϱχουν; Οταν έχουµε τοποϑετήσει k µπάλες, υπάϱχουν n + k τϱόποι να τοποϑετήσουµε την επόµενη, άϱα n(n + 1) (n + r 2)(n + r 1).

109 Ασκηση 5 Πόσες δυαδικές συµϐολοσειϱές µήκους 10 ξεκινούν µε 000 ή τελειώνουν σε 1111;

110 Ασκηση 5 Πόσες δυαδικές συµϐολοσειϱές µήκους 10 ξεκινούν µε 000 ή τελειώνουν σε 1111; Aπάντηση. Υπάϱχουν 2 7 συµϐολοσειϱές που ξεκινούν µε 000 αϕού σε καϑεµιά από τις 7 τελευταίες ϑέσεις µποϱεί να υπάϱχει 0 ή 1. Οµοίως, υπάϱχουν 2 6 συµϐολοσειϱές που τελειώνουν σε 1111, και υπάϱχουν 2 3 συµϐολοσειϱές που ξεκινούν µε 000 και τελειώνουν σε 1111 (αϕού µόνο οι 3 ενδιάµεσες ϑέσεις µποϱούν να επιλεγούν ελεύϑεϱα) Οπότε από την αϱχή εγκλεισµού/αποκλεισµού η απάντηση είναι = 184.

111 Ασκηση 6 Αν k Z, k > 1, τότε σε κάϑε σύνολο n + 1 ϑετικών ακεϱαίων kn πϱέπει να υπάϱχουν 2 αϱιϑµοί µε διαϕοϱά < k.

112 Ασκηση 6 Αν k Z, k > 1, τότε σε κάϑε σύνολο n + 1 ϑετικών ακεϱαίων kn πϱέπει να υπάϱχουν 2 αϱιϑµοί µε διαϕοϱά < k. Aπάντηση. ιαµεϱίϲουµε το σύνολο {1, 2,..., kn} σε n "πεϱιστεϱοϕωλιές": {1, 2,..., k}, {k + 1, k + 2,..., 2k}, {2n k + 1, 2n k , 2n}. Αν έχουµε n + 1 αϱιϑµούς (πεϱιστέϱια) από αυτό το σύνολο, πϱέπει 2 από αυτούς να ϐϱεϑούν στην ίδια "ϕωλιά".

113 Ασκηση 7 Εστω S ένα σύνολο n στοιχείων. Πόσα διατεταγµένα Ϲέυγη (A, B) υπάϱχουν τ.ω. A S, B S και A B;

114 Ασκηση 7 Εστω S ένα σύνολο n στοιχείων. Πόσα διατεταγµένα Ϲέυγη (A, B) υπάϱχουν τ.ω. A S, B S και A B; Aπάντηση. Κάϑε στοιχείο του S ανήκει σε µία ακϱιϐώς από τις εξής 3 κατηγοϱίες: είτε είναι στοιχείο του A, είτε είναι στοιχείο του B αλλά όχι του A, είτε δεν ανήκει στο B. Οπότε οι τϱόποι να επιλέξουµε τα σύνολα A και B ώστε να ικανοποιούνται οι συνϑήκες είναι όσοι και οι τϱόποι να τοποϑετήσουµε κάϑε στοιχείο του S σε µία από αυτές τις κατηγοϱίες. Άϱα 3 n.