π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν ορίσαμε τη συνάρτηση επισημάναμε ότι σε κάθε στοιχείο Aαντιστοιχίζεται ένα ακριβώς στοιχείο. Όμως είναι δυνατόν η συνάρτηση σε περισσότερα A να αντιστοιχίζει το ίδιο όπως για παράδειγμα η συνάρτηση με () = συν στα σημεία π = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2 ένα μόνο πρότυπο A για κάθε τιμή τους, οι οποίες παρουσιάζουν πολύ ενδιαφέρον. Ορισμός Μια συνάρτηση :A λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε,2 A ισχύει η συνεπαγωγή: αν 2 ή ισοδύναμα, τότε ( ) ( Μια συνάρτηση :A είναι συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε,2 A ισχύει η συνεπαγωγή: Αν ( ) = (, τότε = 2.

2 Παράδειγμα. Η συνάρτηση με () =, με 0 είναι συνάρτηση. (Σχήμα α) = Γιατί αν υποθέσουμε ότι ( ) = ( για οποιαδήποτε, 2 [0, + ), τότε έχουμε διαδοχικά: = 2 = 2 Παράδειγμα 2. Η συνάρτηση με () = κ δεν είναι συνάρτηση (Σχήμα β), αφού ( ) = ( = κ για οποιαδήποτε,2. κ 2 (β) 2

3 Παράδειγμα 3. Η συνάρτηση με και είναι 2 2. () 2 = (Σχήμα γ) δεν είναι συνάρτηση αφού ( = ( = αν ()= Προσοχή: Με παράδειγμα μπορούμε να δεχτούμε την αλήθεια μιας άρνησης, αλλά δεν μπορούμε να δεχτούμε την αλήθεια μιας πρότασης. 3

4 Σχόλια Από τον ορισμό προκύπτει ότι: για να είναι μία συνάρτηση θα πρέπει διαφορετικά στοιχεία από το πεδίο ορισμού να έχουν διαφορετικές εικόνες. ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν:. Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών η εξίσωση = () έχει ακριβώς μια λύση ως προς. 2. Δεν υπάρχουν σημεία στη C με την ίδια τεταγμένη. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη (Σχήματα δ και ε). C το πολύ σε ένα σημείο συνάρτηση - η συνάρτηση δεν είναι - (δ) (ε) 3. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα), τότε προφανώς, είναι και " ".Έτσι, οι συναρτήσεις,g,h με () 3 =, g() = e, h() ln =, είναι συναρτήσεις -. Υπάρχουν, όμως, συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες, όπως για, 0 παράδειγμα η συνάρτηση με () = 2 (Σχήμα)., < 0 ()

5 Σημαντικές παρατηρήσεις (στη συνάρτηση - ). Από τον ορισμό συνάγουμε ότι η συνάρτηση :A δεν είναι - αν και μόνον αν υπάρχουν δύο τουλάχιστον,2 (βλέπε παράδειγμα 3). A με 2 για τα οποία ισχύει ( ) = ( 2. Αν μία συνάρτηση δεν είναι - τότε θα υπάρχει ευθεία παράλληλη στον άξονα η οποία θα τέμνει τη C σε δύο τουλάχιστον σημεία, (βλέπε σχήμα (ε)). Χαρακτηριστικά μπορούμε να αναφέρουμε τις άρτιες συναρτήσεις, π.χ. π.χ. () = ηµ με πεδίο ορισμού το. () 2 = ή κάποιες περιττές, 3. Είναι προφανές ότι αν (A) και η είναι - τότε η εξίσωση = () έχει μοναδική λύση.. Αν μία συνάρτηση είναι - δεν σημαίνει ότι είναι απαραίτητα γνησίως μονότονη. (Θα μάθουμε στο κεφάλαιο περί «συνέχειας συναρτήσεων», σε ποια περίπτωση αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη). 5. Μία συνάρτηση μπορεί να μην είναι - σε όλο το πεδίο ορισμού της αλλά να είναι - σε διάφορα υποσύνολα του πεδίου ορισμού της. 6. Αν η δεν είναι - τότε δεν είναι και μονότονη. 7. Αν η είναι - σε ένα Ε Α(πεδίο ορισμού) τότε ισχύουν όλα τα προηγούμενα στο Ε και (E) αντί του Α και (A). 5

6 Αντίστροφη συνάρτηση Αν :A είναι μια συνάρτηση -, τότε η συνάρτηση g:(a) με την οποία κάθε (A) αντιστοιχίζεται στο μοναδικό A για το οποίο ισχύει () =, ονομάζεται αντίστροφη της και συμβολίζεται με. Προσοχή: () () Από τον τρόπο που ορίσαμε την συμπεραίνουμε ότι: έχει ως πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών (Α) της. έχει ως σύνολο τιμών, το πεδίο ορισμού Α της και ισχύει: () = () = Αυτό σημαίνει ότι, αν η αντιστοιχίζει το στο, τότε η αντιστοιχίζει το στο και αντιστρόφως. Δηλαδή η είναι η αντίστροφη διαδικασία της, οπότε ( ()) = για κάθε A και ( ()) = για κάθε (A). A (A) () = =() (στ) =() (ζ) 6

7 Για παράδειγμα βλέπε σχολικό βιβλίο, σελ.5. Ας πάρουμε τώρα μια - συνάρτηση και έστω ότι β= ( α ). Τότε το σημείο Μ(α,β) ανήκει στην C. Όμως σύμφωνα με τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης θα πρέπει α = (β) δηλαδή το σημείο Μ (β,α) θα ανήκει στην C. Τα σημεία όμως Μ(α,β) και Μ (β,α) είναι συμμετρικά με άξονα συμμετρίας την ευθεία = (διχοτόμος ης - 3 ης γωνίας των αξόνων) και με δεδομένο ότι το σημείο Μ είναι τυχαίο σημείο της C, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η C και η C είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία =. M(α,β) M (β,α) = (η) 7

8 Σημαντικές παρατηρήσεις (στην αντίστροφη συνάρτηση). Αν μία συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, τότε και η αντίστροφη της αντιστρέψιμη και ισχύει ( ) =. 2. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η δεν είναι Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη τότε η δεν είναι γνησίως μονότονη. είναι επίσης. Αν η δεν είναι γνησίως μονότονη τότε η δεν σημαίνει ότι δεν μπορεί να είναι 0 αντιστρέψιμη. Π.χ () = αν + 3 2< < 5. Η αντίστροφη μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας. 6. Μια συνάρτηση με πολλούς κλάδους αντιστρέφεται μόνο όταν Κάθε κλάδος της είναι - και Τα σύνολα τιμών των επιμέρους κλάδων είναι ξένα μεταξύ τους. Σχόλιο: Για να βρούμε το σύνολο τιμών της, λύνουμε την εξίσωση Για κάθε A, έχουμε: () =... =... για... = () ως προς. Π.χ. () = 2 με 6 5 και σύνολα τιμών για το κάθε κλάδο [2, + ) (,3] αντίστοιχα. Παρατηρούμε ότι για = 7 6 έχουμε (7) = 3 [2, + ) και για = 5 έχουμε (5) = 3 (,3]. Δηλαδή η δεν είναι - στο πεδίο ορισμού της, άρα δεν αντιστρέφεται. Όμως κάθε κλάδος της είναι - συνάρτηση η οποία και αντιστρέφεται. 7. Αν η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και της τα υπολογίζουμε από την λύση της εξίσωσης () = ή της () =. Στο σημείο αυτό να υπενθυμίσουμε ότι επειδή οι συναρτήσεις και είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία = ισχύει η ισοδυναμία των δύο εξισώσεων: () = () () = ή () = () () =. Σε αυτή την περίπτωση προφανώς όλα τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων της και της βρίσκονται πάνω στην ευθεία =. 8. Αν η δεν είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση τότε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων της και της τα υπολογίζουμε από τη λύση του συστήματος: 8

9 = () = () = () = = () = () () Σε αυτή την περίπτωση δεν είναι απαραίτητο ότι τα κοινά σημεία βρίσκονται επάνω στην ευθεία =. 9. Αν ένα σημείο του είναι κοινό της ευθείας = και της C τότε ανήκει και στη C. ΠΡΟΣΟΧΗ: Η συνάρτηση () = ln έχει ως πεδίο ορισμού το σύνολο στο οποίο όμως δεν είναι -. Αν θεωρήσουμε την () = ln στο διάστημα (, 0) ή στο (0, + ) τότε είναι - σε κάθε διάστημα ξεχωριστά. Άρα την αντίστροφη την βρίσκουμε σε καθένα από αυτά τα διαστήματα. Ημερομηνία τροποποίησης: 2/8/20 9