g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
|
|
- Λητώ Αντωνοπούλου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f() = + 3 β) g() = γ) h() = ηµ ln( + ) στο διάστημα π 3π, α) Η συνάρτηση f είναι της μορφής f() =α +β με α= < 0, άρα είναι γνησίως φθίνουσα. Κάθε συνάρτηση της μορφής f() =α +β, με α< 0 είναι γνησίως φθίνουσα. β) Η συνάρτηση g είναι της μορφής g() =α +β +γ με α= > 0 και επομένως είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). β 4 = =, α Κάθε συνάρτηση της μορφής f() =α +β +γ, με α> 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο β β (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, + ). α α
2 π 3π γ) Για κάθε,, με < έχουμε: π 3π Επειδή η συνάρτηση ηµ είναι γνησίως φθίνουσα στο,, ηµ > ηµ () και ln γν. αυξ. < + < + ln( + ) < ln( + ) ln( + ) > ln( + ) () Προσθέτοντας τις (), () κατά μέλη έχουμε: ηµ ln(+ ) > ηµ ln( + ) h( ) > h( ) Συνεπώς η συνάρτηση h είναι γνησίως φθίνουσα. Αν f,g γνησίως φθίνουσες (ή γνησίως αύξουσες) στο Δ τότε με την χρήση των ανισοτικών σχέσεων που προκύπτουν αποδεικνύεται ότι f + g είναι γνησίως φθίνουσα (ή γνησίως αύξουσα αντίστοιχα) στο Δ.
3 Παράδειγμα. Να βρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : f () = α) β) g() = +, με πεδίο ορισμού το A[, 6). γ) h() = 7 0 α) Η συνάρτηση f είναι της μορφής f() =α +β +γ με α= 3< 0 άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο β = = α ( 3) 3, το 4( 3) 6 4 = = =. 4α 4 ( 3) 3 Κάθε συνάρτηση της μορφής ελάχιστο αντίστοιχα) στο =α +β +γ με α< 0 (ή α> 0 ) παρουσιάζει μέγιστο (ή f() β το α. 4 α β) Έχουμε < 6 > < < < < 0 g() < Επομένως η g έχει ελάχιστο για = το g() = 0 και δεν έχει μέγιστο. Αν από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης προκύπτει ισοδύναμα ανισότητα του, με εφαρμογή των ιδιοτήτων στις ανισότητες βρίσκουμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης. Τότε εάν αυτό είναι διάστημα της μορφής [ αβ, ) η f παρουσιάζει ελάχιστο το α και δεν παρουσιάζει μέγιστο. γ) Η συνάρτηση έχει D h = και 7 0 () για κάθε με 7 = 0 για = 7. () h() 0. Άρα η h παρουσιάζει για = 7 ελάχιστο το -0. 3
4 Αν ο τύπος της συνάρτησης είναι της μορφής f() = g() + c ή της μορφής ν f() = (g()) + c, όπου ν μη μηδενικός άρτιος και υπάρχει 0 Df τέτοιο ώστε g( 0) = 0 τότε επειδή g() 0 ή (g()) ν 0, προκύπτει f() c δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0 το c. 4
5 Παράδειγμα 3. Αν 3 f () = 4 6 α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την β) Να προσδιορίσετε τα ακρότατά της. 3 f () = 4 6 και Η συνάρτηση ορίζεται στο όταν και και και και [0, ] = A α) Για οποιαδήποτε, στο [0,] με < ισοδύναμα έχουμε: < < > 6 > > < < <. Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο A [ 0, ] f( ) f( ) =. β) Για τα ακρότατα της f παρατηρούμε ότι λόγω της μονοτονίας της f είναι: < f() < f ( ) f() < και > 0 f() > f ( 0) f() > 0 Έτσι για [ 0, ] είναι f ( 0) f() f ( ) δηλαδή η f έχει ελάχιστη τιμή το ( ) μέγιστη τιμή το f( ) =. f 0 = 0και Από την υπόθεση < για τυχαία, στο πεδίο ορισμού της f, κατασκευαστικά καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής f( ) < f( ) ή f( ) > f( ) οπότε συμπεραίνουμε ότι η f είναι αντιστοίχως γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα. Αναζητούμε ακρότατα σε μια, f β. γνησίως μονότονη συνάρτηση στο [ αβ ] μεταξύ των τιμών f ( α ), ( ) 5
6 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση 5 f() =. + α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ). β) Αποδείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Για με, ο λόγος μεταβολής της f είναι: 5 5 f( ) f( ) λ= = = ( )( + )( + ) α) Αν, (,0] τότε = και = οπότε 0 λ= > 0. ( + )( + ) Αν, [ 0, ) + τότε = και = οπότε 0 λ= > 0. ( + )( + ) Συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ). β) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (,0] και [ 0, + ) έπεται ότι θα είναι γνησίως αύξουσα και στο (, + ) δηλαδή στο. Εναλλακτικά έχουμε: Αν (,0] και [ 0, ) θα είναι < και f( ) = < 0 < = f( ). + + Δηλαδή για κάθε συνδυασμό των, με < έχουμε f( ) < f( ) συνεπώς η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Μερικές φορές (π.χ. όταν έχουμε απόλυτη τιμή ή συνάρτηση πολλαπλού τύπου) εξετάζουμε με τον λόγο μεταβολής ή με τον ορισμό, την μονοτονία σε υποδιαστήματα Aκαι A. Για την ένωσή τους χρειάζεται επιπλέον να ελέγχουμε με τον λόγο μεταβολής ή με τον ορισμό όταν A και A. 6
7 Παράδειγμα 5. A) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο, να αποδείξετε ότι η σύνθεση f gείναι γνησίως μονότονη στο. Β) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. f Γ) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση h() = είναι γνησίως φθίνουσα στο. A) Υποθέτουμε ότι έχουμε τις συναρτήσεις f, g ορισμένες στο με την f γνησίως φθίνουσα στο και την g γνησίως αύξουσα στο. Έστω, με <, τότε f( ) > f( ) (αφού f γνησίως φθίνουσα στο αλλάζει την φορά της ανίσωσης) g(f ( )) > g(f ( )) (αφού g γνησίως αύξουσα στο διατηρεί την φορά της ανίσωσης) (g f )( ) > (g f )( ). Οπότε η συνάρτηση g f είναι γνησίως φθίνουσα στο. Όμοια αποδεικνύεται όταν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα. Β) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο, αν, με < τότε: < f( ) > f( ) < ( ) < ( ) f( ) f( ) f f γνησίως αύξουσα στο. οπότε η συνάρτηση f είναι Έτσι οι συναρτήσεις f και f ικανοποιούν τις προϋποθέσεις του Α και επομένως η σύνθεση f είναι γνησίως φθίνουσα στο. f Γ) Εφαρμογή του B: Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f() = η οποία είναι εκθετική με βάση α= και 0< < έχουμε την f να είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο. Προφανώς () = οπότε f h() = = f (). Άρα σύμφωνα με το Β η συνάρτηση h() f 7
8 είναι γνησίως φθίνουσα στο. Από την υπόθεση < για τυχαία, στο πεδίο ορισμού των f, g και χρησιμοποιώντας την μονοτονία τους καταλήγουμε σε ανίσωση της μορφής (f g)( ) < (f g)( ) ή (f g)( ) > (f g)( ). Γενικά η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο ενώ η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο δίνει συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο. 8
9 Παράδειγμα 6. Α) Να μελετήσετε την μονοτονία της f () = ln + e +. Β) Να λύσετε την ανίσωση + e + ln < e. Α) Για να ορίζεται η f στο πρέπει 0 < ln < ln () >. Για κάθε, ( 0, ) + με < έχουμε: e > 0 < e < e e < e () 0< < < (3) Προσθέτοντας τις (), (), (3) έχουμε ln + e + < ln + e + f ( ) < f ( ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Β) Η ανίσωση ισοδύναμα γράφεται: + e + ln < e + e + ln < + e + ln f () < f () και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, + ) ισοδύναμα είναι 0< <. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης είναι ( 0,). Προσπαθούμε να φέρουμε την ανίσωση σε μορφή f(g()) < f(h()) ή f(g()) > f(h()) και εκμεταλλευόμαστε την μονοτονία της f ώστε να καταλήξουμε σε απλούστερη ανίσωση g() < h() ή g() > h(). 9
10 Παράδειγμα 7. A) Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, η g είναι γνησίως φθίνουσα στο και ισχύει f() > 0, g() > 0 για κάθε να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f g είναι γνησίως αύξουσα στο. Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ln π h() = είναι γνησίως αύξουσα στο, ηµ π. π Γ) Αποδείξτε ότι για κάθε α, β στο, π με α<β ισχύει ηµβ ηµα α <β. Α) Για κάθε, με < είναι: f γνησίως αύξουσα: < f( ) < f( ) () g είναι γνησίως φθίνουσα και θετική: < g( ) > g( ) < () g( ) g( ) Με πολλαπλασιασμό των (), () αφού πρόκειται για θετικούς αριθμούς έχουμε: f( ) f( ) f f g( ) g( ) g g < ( ) < ( ) το οποίο σημαίνει ότι η f g είναι γνησίως αύξουσα στο. π Β) Η συνάρτηση ln είναι γνησίως αύξουσα και θετική στο, π αφού π >. Η συνάρτηση π ηµ είναι γνησίως φθίνουσα και θετική στο, π. Επομένως σύμφωνα με το Α ερώτημα η συνάρτηση π, π. ln h() = είναι γνησίως αύξουσα στο ηµ ln π π Γ) Επειδή η h() = είναι γνησίως αύξουσα στο, π ηµ. Για κάθε α, β, π με α<β είναι: lnα lnβ ηµβ ηµα ηµβ ηµα h( α ) < h( β) < ηµβ lnα < ηµα lnβ lnα < lnβ α < β. ηµα ηµβ 0
11 Από την μονοτονία κατάλληλης συνάρτησης f, στον ορισμό < f( ) < f( ) ή < f( ) > f( ) επιλέγοντας κατάλληλα, δημιουργούμε ανίσωση η οποία μετασχηματίζεται στην ζητούμενη. Η συνάρτηση που χρησιμοποιούμε προκύπτει κάθε φορά από μετασχηματισμό της προς απόδειξη ανίσωσης.
12 Παράδειγμα 8. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e ) = 4e έχει μοναδική λύση. Πρέπει e > 0 > e. Ο αριθμός ρ= e είναι ρίζα της εξίσωσης αφού e ln(e e ) = e ln(e ) = 4e lne = 4e. Αρκεί να αποδείξουμε ότι είναι μοναδική με την χρήση της μονοτονίας. (Επειδή ο έλεγχος της μονοτονίας για την f() = ln( e ) είναι δύσκολος μετασχηματίζουμε την εξίσωση σε ισοδύναμη ώστε να προκύψει συνάρτηση της οποίας την μονοτονία μπορούμε να εξασφαλίσουμε) 4e = με, με < τότε < e < e ln( e ) < ln( e ) (). Θεωρούμε την συνάρτηση f() ln( e ) Αν (e, + ) =. Επίσης > e > 0 4e 4e < < > < (). e Με πρόσθεση των (), () προκύπτει f( ) < f( ) δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο. 4e Συνεπώς η εξίσωση f () = 0 l n ( e ) = 0 l n ( e ) = 4e έχει μοναδική λύση. Aφού εξασφαλίσουμε με κάποιο τρόπο μια λύση της εξίσωσης (π.χ. προφανής) μετασχηματίζουμε την εξίσωση σε ισοδύναμη ώστε να προκύψει μονότονη συνάρτηση. Η μονοτονία της συνάρτησης εξασφαλίζει την μοναδικότητα.
13 Παράδειγμα 9. Α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f () = 5. 8 Β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = παρουσιάζει μέγιστο. Α) Για να ορίζεται στο η f() πρέπει [ ] ,5 A =. Αν 5 < 0 τότε [ 5,0] > 5 < 5 5 < 5 f ( ) < f ( ). Αν 0 < 5 τότε [0,5] < 5 > 5 5 > 5 f ( ) > f ( ). Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ 5,0] και γνησίως φθίνουσα στο [ 0,5 ]. Άρα αν 0 αν 0 αν 0 < θα είναι f() f ( 0) > θα είναι f() f ( 0) = θα είναι ( ) < (αφού f στο [ 5,0] < (αφού f στο [ 5,0] f() = f 0 = 5. Οπότε για κάθε [ 5,5] ισχύει ( ) θέση = 0 με μέγιστη τιμή ίση με f( 0) = 5. ), ), f () f 0 = 5 δηλαδή η f παρουσιάζει μέγιστο στην Επίσης παρατηρούμε ότι για κάθε [ 5,5] και επιπλέον ( ) ( ) 5 0 f 5 = f 5 = 0. 3
14 Δηλαδή για κάθε [ 5,5] ισχύει ( ) ( ) στις θέσεις = 5και = 5 με ελάχιστη τιμή ίση με ( ) ( ) f() f 5 = f 5 = 0 δηλαδή η f παρουσιάζει ελάχιστο f 5 = f 5 = 0. Β) Για κάθε είναι και επιπλέον f( 0) =. Άρα για κάθε είναι f() f ( 0) = δηλαδή η f παρουσιάζει μέγιστο στην θέση = 0με μέγιστη τιμή f( 0) =. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ αγ, ] και γνησίως φθίνουσα στο [ γβ, ] τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στην θέση γ με μέγιστη τιμή f ( γ ). Επίσης αν αποδείξουμε ότι για κάθε ισχύει f() κ για κάποιο κ και υπάρχει γ ώστε f ( γ ) =κτότε η f έχει μέγιστη τιμή στο το κ. 4
15 Παράδειγμα 0. Α) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο και για κάθε ισχύει f(f()) + g() = 0 () τότε να αποδείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη στο. B) Αν f(f()) + = 0 για κάθε τότε να δείξετε ότι η f δεν είναι γνησίως μονότονη. Α) Με άτοπο: Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο. η Περίπτωση: f γνησίως αύξουσα στο. Τότε για κάθε, με < είναι: f f () g < f( ) < f( ) f(f( )) < f(f( )) g( ) < g( ) g( ) > g( ) > ΑΤΟΠΟ! η Περίπτωση: f γνησίως φθίνουσα στο. Τότε για κάθε, με < είναι: f f () g < f( ) > f( ) f(f( )) < f(f( )) g( ) < g( ) g( ) > g( ) > ΑΤΟΠΟ! Σε κάθε περίπτωση οδηγούμαστε σε άτοπο άρα η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως μονότονη στο. Β) Εφαρμογή του Α ερωτήματος όπου g() = η οποία είναι της μορφής α +β με α> 0 δηλαδή γνησίως αύξουσα στο. Για να δείξουμε ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη υποθέτουμε ότι είναι και για < κατασκευαστικά και με χρήση των δεδομένων καταλήγουμε σε άτοπο. 5
16 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Έστω f: γνησίως μονότονη συνάρτηση, αν η C f τέμνει τους άξονες και yy στα σημεία με τετμημένη - και τεταγμένη αντίστοιχα. α) Να βρείτε το είδος μονοτονίας της f. β) Αν g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο, να εξετάσετε την μονοτονία της g g και της f g. α) Η γραφική παράσταση της f διέρχεται (τέμνει τους άξονες) από τα σημεία Α(-,0) και Β(0,). Παρατηρούμε ότι για A < B ( < 0), ισχύει y A < y B (0 < ) και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως αύξουσα. Αν f γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η C f διέρχεται από σημεία A( A, y A) και B( B, y B), τότε, αν ( A B), (ya y B) ομόσημοι η f είναι γνησίως αύξουσα, ενώ αν ( ), (y y ) ετερόσημοι η f είναι γνησίως φθίνουσα. A B A B β) Επειδή η g γνησίως φθίνουσα συνάρτηση στο, για κάθε, έχουμε: < g( ) > g( ) g(g( )) < g(g( )) (g g)( ) < (g g)( ) άρα η g g είναι γνησίως αύξουσα. f γν. αυξ. < g( ) > g( ) f(g( )) > f(g( )) (f g)( ) > (f g)( ) άρα η f g είναι γνησίως φθίνουσα. Αν g γνησίως μονότονη συνάρτηση τότε με την χρήση των ανισοτήτων που προκύπτουν από τον ορισμό της μονοτονίας αποδεικνύεται ότι η g g είναι γνησίως αύξουσα. Ενώ αν f,g γνησίως μονότονες με διαφορετικό είδος μονοτονίας τότε αποδεικνύεται ότι η f g (και η g f ) είναι γνησίως φθίνουσα. 6
17 Παράδειγμα. Έστω συνάρτηση 7 f () = με D f = [0, + ). α) Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία. β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα. γ) Να λύσετε την ανίσωση f( + ) > 0 στο [0, + ). 4 3 α) Για κάθε, [0, + ) με < έχουμε: < < > και < 3 > άρα 3 > > f ( ) > f ( ) Οπότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. Αν για οποιαδήποτε, Df με < προκύπτει ισοδύναμα, με εφαρμογή των ιδιοτήτων στις ανισότητες, f( ) > f( ) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα, ενώ αν προκύψει f( ) < f( ) τότε η f θα είναι γνησίως αύξουσα. β) Για να δείξουμε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C f τέμνει τον άξονα αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση στο [0, + ). Παρατηρούμε ότι f () = 0, δηλαδή μια ρίζα της f είναι το =. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και άλλη ρίζα της εξίσωσης (f ( ) = 0). Αν < = επειδή f γνησίως φθίνουσα τότε f( ) > f( ) f( ) > 0 f( ) 0 άτοπο. Αν > = επειδή f γνησίως φθίνουσα τότε f( ) < f( ) f( ) < 0 f( ) 0 άτοπο. Συνεπώς η εξίσωση f() = 0 έχει μοναδική λύση στο [0, + ). Βρίσκουμε μία προφανή ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο D f, υποθέτουμε ότι έχει και η ρίζα ( < ή > ) και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη καταλήγουμε σε κάτι άτοπο (f ( ) 0). 7
18 γ) άρα , για κάθε, οπότε 4 3 f γν. φθιν f( + ) > 0 f( + ) > f() + < < και επειδή 0 τελικά η λύση της ανίσωσης είναι: 0 <. < < <. Αν f γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) και f(g()) > f( ) με g(a) D f, Df τότε g() > (ή g() < αντίστοιχα) και ισοδύναμα λύνουμε την ανίσωση. 8
19 Παράδειγμα 3. Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει: ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα. 5 3 f () e = 6f () για κάθε. Να δείξετε Η αρχική σχέση γίνεται f () e = 6f () f () + 6f () = e + (). Έστω ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε για οποιαδήποτε, με < θα ισχύει f( ) > f( ) () () f ( ) > f ( ) (ν = 5, περιττός εκθέτης) 5 5 () f ( ) > f ( ) 6f ( ) > 6f ( ) (ν = 3, περιττός εκθέτης) Προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε: () e γν. αυξ > + + > + > > f ( ) 6f ( ) f ( ) 6f ( ) e e e e Άτοπο, άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα. Όταν δίνεται συναρτησιακή σχέση για μια συνάρτηση f, και θέλουμε να δείξουμε ότι η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα (ή γνησίως αύξουσα) στο A αρκεί να υποθέσουμε ότι είναι, δηλαδή για κάθε, A με < ισχύει ότι f( ) > f( ) ( ή f( ) < f( ) αντίστοιχα ) και να καταλήξουμε σε κάτι άτοπο. Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/0 9
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
2 (1) 1 0 ln( (2)) 3 (2) 3 0. e f και f f. f( g( x)) 3x 4, για κάθε x. συνx 5. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το R, για τις οποίες ισχύει η σχέση: f( g( )) 4, για κάθε. a. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμη. β. Να δείξετε
13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΩΝ ΜΟΡΦΩΝ MIAΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Στα παρακάτω γίνεται μία προσπάθεια, ομαδοποίησης των ασκήσεων επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων, συναρτησιακών μορφών, συνεχών συναρτήσεων,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ
2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές
ΟΡΙΣΜΟΣ 2 (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις)
ΟΡΙΣΜΟΣ Μια συνάρτηση : A λέγεται συνάρτηση -, όταν για οποιαδήποτε, A ισχύει η συνεπαγωγή: αν, τότε ( ) ( ) ΟΡΙΣΜΟΣ (Ισοδύναμος ορισμός που χρησιμεύει σε ασκήσεις) Μια συνάρτηση : A είναι συνάρτηση -,
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο 2 78 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α
Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr / 9 / 0 1 6 Άλγεβρα Κεφάλαιο 78 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο τηλ. Οικίας : 10-610.178
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
Μονοτονία - Ακρότατα - Συμμετρίες συνάρτησης Μονοτονία Συνάρτησης Ορισμοί Α) Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα υποσύνολο Β του Πεδίου Ορισμού της όταν : για κάθε, B με < f( ) < f( ). Β) Μια
π x = κπ + με κ. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με συναρτήσεις οι οποίες έχουν 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο.3 Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Συνάρτηση Όταν
Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
Σελίδα 1 από 34 Η ΜΕΘΟΔΕΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μπάμπης Στεργίου 017 Εισαγωγή Οι εξισώσεις, η λύση τους, η εύρεση του πλήθους ριζών τους ή τα ερωτήματα που αφορούν στην ύπαρξη ριζών, αποτελούν ένα σημαντικό
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
Ημερομηνία: Κυριακή 29 Οκτωβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 9 Οκτωβρίου 017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Ολικό μέγιστο συνάρτησης β) Γνησίως
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας 2 ωρών στις Συναρτήσεις
ΘΕΜΑ Α Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Διαγώνισμα διάρκειας ωρών στις Συναρτήσεις 0 9-05 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).. Αν η συνάρτηση f είναι -, είναι και γνησίως
II. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
1. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης. 2.Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού της συνάρτησης: 3, να είναι το R.
. Να βρεθεί το πεδίο ορισμου της συνάρτησης χ f() ln( 5) Πρέπει -ln(-3) χ-3> ln(-3) lne χ > 3-3 e χ > 3 e 3 χ > 3 Οπότε το Π.Ο. της συνάρτησης είναι Α f (, e3)u(e3, ).Να βρεθεί ο λєr ώστε πεδίο ορισμού
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β, 8B, 9 Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
Περιορισμοί στο R. ln x,log. Β= ln Α Β Α Β Α. Σύνοψη γραφικών παραστάσεων
στο R Πεδίο ορισμού συνάρτησης είναι η συναλήθευση των περιορισμών της συνάρτησης στο R, αν δεν έχει περιορισμούς λέμε ότι έχει πεδίο ορισμού το R. Όταν έχω πρέπει ν Α, Α Α Α Β Β ln Α, log Α Α> ln Β logα
ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,
Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης
4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»
Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:
f(x) = 2x+ 3 / Α f Α.
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 8 ο ΜΑΘΗΜΑ.7. Σύνολο τιμών f(a) της f / A B Ορισμός: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης f / Α Β περιλαμβάνει εκείνα τα y Β για τα οποία υπάρχει x Α : «Η εξίσωση y= f ( x) να έχει λύση ως προς x»
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
f(x 2) 5 x 1 α) Να αποδείξετε ότι: i) f (3) = 5 και ii) f (3) = 6 x 2 f(x)
. Έστω η συνάρτηση = + e. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.. Να λύσετε την εξίσωση e = 3. Θεωρούμε τη γνησίως μονότονη συνάρτηση g : R R η οποία για κάθε R ικανοποιεί τη σχέση g() + e g() = +.
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ΦΥΛΛΆΔΙΟ ΑΣΚΉΣΕΩΝ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων µε τύπο: i) ii) iii) iv) v) 2. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να βρείτε µια περίοδο της. 3. Δίνεται η συνάρτηση µε:. Να αποδείξετε
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις
ο Διαγώνισμα 08-9 Ύλη: Συναρτήσεις Θέμα Α Α. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν μια συνάρτηση : είναι - τότε είναι και γνησίως μονότονη.» α) Να χαρακτηρίσετε τον ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας
την αρχή των αξόνων και ύστερα να υπολογίσετε το εμβαδόν του
ΑΣΚΗΣΗ 47 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = και οι ευθείες (ε ): y = x και (ε ): y = x +. Να αποδείξετε ότι:. Η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο, ενώ η (ε ) είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Για κάθε x R ισχύει
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
- 11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ) 1 Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g γα τις οποίες ισχύει: f()+1=g()+e (Η C f κάτω
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει
( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α
.5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:
Συναρτήσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Άλγεβρα Κεφάλαιο 2 78 ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 7 /
Συναρτήσεις Κώστας Γλυκός Άλγεβρα Κεφάλαιο 78 ασκήσεις και τεχνικές σε 9 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 0 / 7 / 0 1 8 εκδόσεις Καλό πήξιμο
x είναι f 1 f 0 f κ λ
3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ
ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ενότητα 19 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ Θ.Μ.Τ. ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1). Να βρεθεί η συνάρτηση f όταν: i) A, f ()=3 5 f(0)=1, ii) A=, f ()=συν-ημ f(π)=, Ασκήσεις για λύση - iii) A=, f ()=4e 6 f '(0)=f(0)=1,
2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.
. Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία
1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. Η πρόταση είναι Λάθος. Αντιπαράδειγμα:
1. Δύο συναρτήσεις f,g είναι ίσες μόνο όταν έχουν ίδιο πεδίο ορισμού και ίδιο τύπο. 3 017 f(), D { 1,0,1} και g() D { 1,0,1} f f έχουμε D D και f( 1) g( 1), f(0) g(0), f(1) g(1) g Άρα f()=g() για Df =Dg
Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις
wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΜΕΡΟΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 7-8 Β ΜΕΡΟΣ. Δίνεται η τέσσερις φορές παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f τέτοια ώστε : f (4) () + f () () = ημ + συν, για κάθε και f() =, f () =, f () = - και f () () =. α) Να βρείτε τον
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα
Θέμα Α Α1. Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: 1 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις μέχρι και τα ακρότατα 018-19 «Για κάθε ζεύγος πραγματικών συναρτήσεων,g :, 0 ή g 0» ισχύει ότι g 0 αν και μόνο αν α) Να χαρακτηρίσετε
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <
Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [008-009 < Mathematica.gr], τον οποίο κι ευχαριστώ ιδιαίτερα για
h ln 1 γ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο Δ, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ.
ΘΕΜΑ A Α1. α) Να δώσετε τον ορισμό πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο (α, β) και πότε στο [α, β]. Σχεδιάστε μια συνάρτηση που είναι συνεχής στο =1 αλλά όχι παραγωγίσιμη β) Να διατυπώσετε τον ορισμό
Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους
Διαγώνισμα στις Συναρτήσεις και τα Όρια τους 8-9 Θέμα Α Α Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β) Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ