Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Notes. Notes. Notes. Notes. C = p x x 1 + p y y 1. pxx + pyy = 160"

Στυλιανός Αλεξάνδρου
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ελαχιστοποίηση κόστους Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Κόστος Το πρόβλημα εύρεσης ενός άριστου καλαθιού από τον καταναλωτή μπορεί να τεθεί με έναν εναλλακτικό τρόπο: Αντί να αναζητήσουμε ένα καλάθι που να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα δεδομένων των τιμών και της δαπάνης στην οποία μπορεί να υποβληθεί ο καταναλωτής, αναζητούμε εκείνο το καλάθι (ζήτηση) που ελαχιστοποιεί τη δαπάνη, δεδομένων των τιμών και της χρησιμότητας που θέλουμε να επιτύχουμε. Αν οι τιμές των δύο αγαθών είναι p και p, τότε η δαπάνη (κόστος) για αγορά 1 μονάδων αγαθού και 1 μονάδων αγαθού είναι C = p 1 + p 1. Διαφορετικά επίπεδα δαπάνης ορίζουν διαφορετικές, παράλληλες ευθείες στο χώρο των, όταν οι τιμές παραμένουν σταθερές: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p + = p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p + = p + = p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

2 p + = p + = p + = p p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Κόστος Το πρόβλημα λοιπόν έγκειται στο να βρούμε τη χαμηλότερη τέτοια δαπάνη που χρειάζεται για να πετύχουμε ένα επίπεδο χρησιμότητας, ας πούμε. Γραφικά φαίνεται εύκολα ότι είναι πολύ μικρή δαπάνη (δε μπορεί να επιτύχει χρησιμότητα, ενώ είναι περισσότερη απ ό,τι χρειάζεται (μπορούμε να επιτύχουμε και με μικρότερη δαπάνη). Η ελάχιστη δυνατή δαπάνη δίνεται από το σημείο επαφής της καμπύλης με τον χαμηλότερο δυνατό παράλληλο εισοδηματικό περιορισμό. Αυτός αντιστοιχεί σε δαπάνη και το άριστο καλάθι είναι : Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

3 p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Χικσιανή ή αντισταθμιστική ζήτηση. Η ζήτηση (το άριστο καλάθι) που προκύπτει από ελαχιστοποίηση της δαπάνης για επίτευξη δεδομένης χρησιμότητας, ονομάζεται Χικσιανή ζήτηση ή ζήτηση κατά Hicks. Η προκύπτει από το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους δεδομένων των εξωγενών παραμέτρων p, p, I. Καθώς αυτές οι παράμετροι μεταβάλλονται, μεταβάλλεται και η ζήτηση. Μπορούμε να σχεδιάσουμε το γράφημα της Χικσιανής ζήτησης ως συνάρτηση μιας τέτοιας παραμέτρου, ας πούμε της τιμής του ενός αγαθού. Κρατάμε σταθερή τη χρησιμότητα που θέουμε να πετύχουμε και εξετάζουμε πώς μεταβάλλεται το άριστο καλάθι (σημείο επαφής) όταν μεταβάλλεται η τιμή του αγαθού ας πούμε: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

4 p 1 p 1 p 1 p 1 p 2 p 2 p 2 p 2 p 2 p p 1 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 1 p 2 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 1 p 2 p 3 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 1 p 2 p 3 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

5 Ας εξετάσουμε τη σχέση της Μαρσαλιανής και της Χικσιανής καμπύλης ζήτησης. Θα τις σχεδιάσουμε και τις δύο ως συνάρτηση της τιμής. Ξεκινώντας από μία τιμή p 1, όπου οι δύο ζητήσεις συμπίπτουν, θα υπολογίσουμε τη που προκύπτει από μια μεταβολή της τιμής του. Κατόπιν θα υπολογίσουμε τη Μαρσαλιανή ζήτηση που προκύπτει από την ίδια μεταβολή της τιμής. Θα πάρουμε έτσι δύο σημεία, ένα στη Χικσιανή καμπύλη ζήτησης και ένα στη Μαρσαλιανή. Επαναλαμβάνοντας την ίδια διαδικασία για άλλες μεταβολές της τιμής του λαμβάνουμε κι άλλα σημεία στις δύο καμπύλες ζήτησης και ενώνοντάς τα παίρνουμε τις καμπύλες. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Σχήμα: Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 1 Σχήμα: Ξεκινάμε από ένα σημείο στις δύο καμπύλες ζήτησης Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 2 p 1 Σχήμα: Αυξάνουμε τιμή του και λαμβάνουμε τη. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

6 p p 2 p 1 Σχήμα: Λαμβάνουμε τη Μαρσαλιανή ζήτηση στην αυξημένη τιμή. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 2 p 1 p 3 Σχήμα: Μειώνουμε την τιμή και λαμβάνουμε. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 2 p 1 p 3 Σχήμα: Λαμβάνουμε τη Μαρσαλιανή ζήτηση στη μειωμένη τιμή. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p 2 p 1 p 3 Σχήμα: Καμπύλη Χικσιανής ζήτησης Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

7 p p 2 p 1 p 3 Σχήμα: Καμπύλη Μαρσαλιανής ζήτησης. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Παρατηρούμε ότι η Μαρσαλιανή καμπύλη είναι πιο οριζόντια από τη Χικσιανή. Γιατί; Μια αύξηση της τιμής του μειώνει τη Χικσιανή του ζήτηση γιατί ο καταναλωτής υποκαθιστά με. Θα μειώσει όμως τη Μαρσαλιανή περισσότερο διότι εκτός από την υποκατάσταση με, η αύξηση της τιμής του κάνει τον καταναλωτή πιο φτωχό και άρα μειώνει περισσότερο την κατανάλωση του. Αντίστροφα με μείωση της τιμής. Εκτός από την αύξηση της ζητούμενης ποσότητας, μια μείωση της τιμής αυξάνει τη Μαρσαλιανή ζήτηση περισσότερο διότι κάνει τον καταναλωτή πιο πλούσιο. Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Τα δύο προβλήματα (μεγιστοποίησης χρησιμότητας) και ελαχιστοποίησης κόστους) αποδεικνύεται ότι έχουν ενός είδους ισοδυναμία. Λέμε ότι το πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους είναι το δυϊκό πρόβλημα του προβλήματος μεγιστοποίησης χρησιμότητας. Τι σημαίνει αυτό; Εστω ότι ένας καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του με δεδομένες τιμές p, p και εισόδημα I =. Γραφικά έστω ότι το άριστο καλάθι τον φέρνει σε μια καμπύλη αδιαφορίας που αντιστοιχεί σε χρησιμότητα. Ποιο θα ήταν το ελάχιστο κόστος (πρόβλημα ελαχιστοποίησης κόστους) ώστε να πετύχει αυτός ο καταναλωτής χρησιμότητα με τις ίδιες τιμές p, p ; Αποδεικνύεται ότι το ελάχιστο κόστος είναι : Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

8 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

9 p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 p p p Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36 Ελαχιστοποίηση κόστους - Η δυϊκότα έγκειται ακριβώς στο ότι οι δύο ζητήσεις (μαρσαλιανή και χικσιανή) συμπίπτουν. Αλγεβρικά τα δύο προβλήματα έχουν ως εξής: Μεγιστοποίηση χρησιμότητας: ma U(, ), υ.τ.π.p + p I (1) Ελαχιστοποίηση κόστους: min, C = p + p υ.τ.π.u(, ) (2) Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Ελαχιστοποίηση κόστους 9 Οκτωβρίου / 36

Σχετικά έγγραφα

Notes. Notes. Notes. Notes. p x. x x

Notes. Notes. Notes. Notes. p x. x x Θεωρία ζήτησης Κώστας Ρουμανιάς Ο.Π.Α. Τμήμα Δ. Ε. Ο. Σ. 9 Οκτωβρίου 2012 Κώστας Ρουμανιάς (Δ.Ε.Ο.Σ.) Θεωρία ζήτησης 9 Οκτωβρίου 2012 1 / 40 Ζήτηση ενός αγαθού ως συνάρτηση της τιμής Δεδομένου ότι ένας