Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ"

Πάνος Γεωργίου
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ολοκληρώματα

2 Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Υπολογισμός μήκους Υπολογισμός εμβαδού Υπολογισμός όγκου Χρήση σε Τύπους/Μετρικές Φυσική Πιθανότητες Γραφική Θέματα Αναγνώρισης προτύπων

3 Ιδιότητες ολοκληρωμάτων + c, c R 3

4 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων στο Matlab Ορισμένα Ολοκληρώματα Πρόβλημα: Υπολόγισε το ολοκλήρωμα Λύση: sms ; int(*log(+),0,) 0 log( + ) d /4 4

5 Υπολογισμός ολοκληρωμάτων στο Matlab Αόριστα Ολοκληρώματα Πρόβλημα: Υπολόγισε το ολοκλήρωμα Λύση: sms sms n f = ^n + sin(n*) - int(f,) ans = ^(n+)/(n+)-/n*cos(*n)- n ( + sin( n ) ) d 5

6 Ολοκληρώματα μεταβλητή = f() συνάρτηση. Βρες τον εμβαδόν κάτω από το γράφημα με a b. b f ( ) d a b a 6

7 Ολοκληρώματα μεταβλητών z= f(,) συνάρτηση. Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. d Έστω c( 0)={(, 0) a b}. f (, ):[ a, b] 0 c b A( ) = f (, ) d 0 0 a Όγκος στερεού: άθροισμα εμβαδόν Α( ),c 0 0 d a b b A( ) = f (, ) d, αθροίζω με c d, a d d b A( ) d = ( f (, ) d) d c c a 7

8 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα 0 και 0. Έστω c()={(,) 0 }. c() A( ) = εμβαδόν πάνω από τη c() 0 = (, ) ( ++) 4 f d = d = Όγκος=άθροισμα των A()= 4 = A() d = ( + ) d = = + 0 = = f (, ) dd A() A() 8

c() A( ) = εμβαδόν πάνω από τη c() 0 = (, ) ( ++) 4 f d = d = + 3

9 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα και 0. 0 f (, ) dd 9

10 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= e + Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα 0 και f (, ) dd 0

11 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= + Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα 0 και f (, ) dd 3 0 f (, ) dd

12 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα (/)

13 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. c()={(,) 0 },0. Α τρόπος 0 Συνοπτικά R= 0 0 R f (, ) dd = f (, ) dd 0 0 3

14 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. c()={(,) 0 },0. Β τρόπος 0 = Συνοπτικά R= 0 0 = 0 R f (, ) dd = f (, ) dd 0 4

15 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. Α τρόπος = = c()={(,) },0. 0 = Συνοπτικά R= 0 R f (, ) dd = f (, ) dd 0 5

16 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα που φράσεται πάνω από το γράφημα της = και κάτω από το γράφημα της =. Β τρόπος 0 = = c()={(,) },0. = Συνοπτικά R= 0 = 0 R f (, ) dd = f (, ) dd 0 6

17 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. c()={(,) },0. Α(0,0) Β(, 0) Γ(,) 0 0 Συνοπτικά R=R-R=ΑΒΓ-(ΑΒΓ-R)= = 0 0 R ( f (, ) f (, )) dd = ( f (, ) + f (, )) dd = f (, ) dd = f (, ) dd f (, ) dd = f (, ) dd ( A' τρόπος ) Γ τρόπος = = 0

Α(0,0) Β(, 0) Γ(,) 0 0 Συνοπτικά R=R-R=ΑΒΓ-(ΑΒΓ-R)= = 0 0 R 0 0 0 0 0

18 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο Α τρόπος από το γράφημα που φράσεται πάνω από το γράφημα της =+ και κάτω από το γράφημα (-,) (,4) = της =. c()={(,) }, = Συνοπτικά R= - f (, ) dd = R + f (, ) dd 8

19 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο Β τρόπος κάτω από το γράφημα που φράσεται πάνω από το γράφημα της =+ και κάτω από το γράφημα (-,) (,4) = της =. c()={(,) + },-. 0 Συνοπτικά R=R + R = 0 4 = = f (, ) dd = f (, ) dd + f (, ) dd = R R R = f (, ) dd + f (, ) dd 9

20 Διπλά ολοκληρώματα f(,)= ++ Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα που φράσεται πάνω από το γράφημα της =+ και κάτω από το γράφημα της =. c()={(,) + },-. Α τρόπος (-,) (,) Συνοπτικά R= + R f + (, ) dd = f (, ) dd Β τρόπος; 0

της =. c()={(,) + },-. Α τρόπος 4.5 4 3.5 3.5.5 0.5 (-,) (,) 0 -.

21 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διπλά Ολοκληρώματα (/)

22 Διπλά ολοκληρώματα Βρες τον όγκο στερεού με βάση στο επίπεδο το χωρίο R που φράσεται από τις καμπύλες =4- και = 3 και οροφή το γράφημα της f(,) = + 4. =4- τομές καμπύλων: = 3 (,)=(-4,-) +3-4=0 ή = 3 (,)=(,3) (,3) 4 Συνοπτικά R= 3 4- R 4- f (, ) dd = f (, ) dd (-4,-)

23 Διπλά ολοκληρώματα Βρες τον όγκο στερεού με βάση στο επίπεδο το χωρίο R που φράσεται από τις καμπύλες =- και = και = και οροφή το γράφημα της f(,) = =- τομές καμπύλων: = =- (,)=(0,) = (,)=(,0) 0 Συνοπτικά R= R f (, ) dd = f (, ) dd R

24 Διπλά ολοκληρώματα Βρες τον όγκο στερεού που περικλείεται + =, z = 0 και ++z= R = εσωτερικός χώρος κύκλου + =, και γράφημα συνάρτησης f (, ) = Συνοπτικά R= z R f (, ) dd = f (, ) dd 4

25 Αλλαγή σειρά ολοκλήρωσης Βρες τον ολοκλήρωμα: 3 0 /3 e dd 3 (,3) Συνοπτικά R= / e dd e dd 0 /3 0 0 = = 3 (,3) 0 5

26 Όγκος στερεού εκ περιστροφής Τομή του στερεού είναι κύκλος εμβαδού πf (), : a b f() όγκος = άθροισμα των εμβαδών= b a πf () d a b 6

27 Θεώρημα μέσης τιμής για διπλά ολοκληρώματα S f ( ) d = f ( ) L( S), S,L(S)=μήκος του R 0 R f (, ) dd = f (, ) A( R), (, ) R, A(R)=εμβαδόν του R f( 0, 0 ) 7

28 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Τριπλά Ολοκληρώματα

29 Διπλά Ολοκληρώματα d z= f(,) συνάρτηση. Βρες τον όγκο κάτω από το γράφημα. c R= c a d b a b d c b ( f (, ) d) d a 9

30 Τριπλά Ολοκληρώματα f(,,z) συνάρτηση. R=[a,b] [c,d] [e,f], ορθoγώνιο παραλληλεπίπεδο c a R= c e z b d f d a b f d b ( ( f (,, z) d) d) dz e c a 3 πχ.. ( ( ( + + z) d) d) dz =

31 Τριπλά Ολοκληρώματα f(,,z) συνάρτηση, R Aν f(,,z) =, 3 R R dddz = Όγκος στερεού R πχ.. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο z ογδοημόριο και περικλείεται από =4- και z=5. A ' Τρόπος f (, ) = 5 4 c( ) = {(, ) }, R= όγκος= 5dd

32 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από =4- και z=5. B ' Τρόπος D στερεό, c(, ) = {(,, z) 0 z 5},(, ) R D= 0 όγκος= dzdd 0 0 z

33 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από =4- και z=5. Γ ' Τρόπος D στερεό, c(, z ) = {(,, z ) 0 4 }, 0,0 z όγκος= dddz

34 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από z=- -. Τομές επίπεδο: (z=0) + = z επίπεδο: (=0) z = z επίπεδο: (=0) z = z A' Τρόπος (Διπλό ολοκλήρωμα) f (, ) = - - c( ) = {(, ) 0 }, R= όγκος= (- - ) 0 0 dd 34

35 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από z=- -. Τομές επίπεδο: (z=0) + = z επίπεδο: (=0) z = z επίπεδο: (=0) z = z B' Τρόπος (Τριπλό ολοκλήρωμα) c(, z ) = {(,, z ) 0 z },(, z ) R' z z 0 0 R'= όγκος= ddzd 0 z

36 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο και περικλείεται από z=- - και z= +. Τομές = z = - - = + +, = z z c( 0, 0) {( 0, 0, ) },( 0, 0) R R= όγκος= dzdd

37 Τριπλά Ολοκληρώματα π. χ. Βρείτε τον όγκο στερεού που βρίσκεται στο πάνω ημιχώρο και περικλείεται από + +z = και +z=. Τ ομ ές επίπεδο: + =, z επίπεδο: +z =, z επίπεδο : z + =, τομή με +z= επίπεδο: + +(-) = ( c ( 0, 0 ) = {( 0, 0, z ) - 0 z 0 R= (( ) ( ) ) όγκος= 0 (( ) ( ) ) (( ) ( ) ) ) +( ) = ( ) 0-0 }, ( 0, 0 ) R (( ) ( ) ) - / dzdd - 37

38 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συστήματα συντεταγμένων

39 Πολικές συντεταγμένες Καθορίζω το P(,) από στοιχεία (r,θ) P θ : γωνία ΟP με ο άξονα r : απόσταση του P από το Ο(0,0) r θ = = r cosθ rsinθ r = + θ = tan ( / ) To (,) σε καρτεσιανές συντεταγμένες είναι το (,π/4) σε πολικές 39

40 Πολικές συντεταγμένες Σύνολο σημείων του επιπέδου με 0 θ π και 0 r. Μοναδιαίος δίσκος Γενικά σύνολο σημείων επιπέδου με a θ b 0 θ π / π.χ. r( θ) r r( θ) cosθ r b r a r 40

41 Πολικές συντεταγμένες π.χ. 0 θ π / cosθ r r = cosθ r = cos θ r = / r r = = r cosθ = rsinθ i + ( ) + = ( ) ( ) + = ( ) 4

42 Διπλά Ολοκληρώματα f(,):r ΔΧ ΔΥ. Διαμερίζω το R και αριθμώ τα τμήματα (, ) R i i i i. Εμβαδόν R =ΔΧiΔΥ 3. Στο Ri θεωρώ πως η f(,) ( i, i ) έχει τιμή f(, ) i 4. Ο όγκος πάνω από R το προσεγγίζεται f(, ) iδχiδυ i i i i Συνολικός όγκος προσεγγίζεται= f(, ) iδχiδυ ( ΔΧ, ΔΥ ) (0,0) i i i i συνεχής Συνολικός όγκος = lim f(, ) iδχ iδυ = f (, ) dd ι ι f R 4

43 Πολικές συντεταγμένες f(r,θ):r ( r, θ) f ( r, θ) H f περιγράφεται σε πολικές συντεταγμένες ( r, θ ) a θ b R = r( θ) r r( θ) (r i,θ i ). Παίρνω διαμέριση R,( r, θ ) R i i ι i ΔΘ ΔΘ ΔR ΔR. Εμβαδόν R i = i( r r ) = i(( ri + ) ( ri ) ) = ΔΘiri iδr 3. Στο R i θεωρώ πως η f(r,θ) έχει τιμή f(r i,θ i) ΔΘ 4. Ο όγκος πάνω από R το προσεγγίζεται f(r,θ ) iδθir iδr i i i i Συνολικός όγκος προσεγγίζεται= ( ΔΘ, ΔR ) (0,0) 43 i f(r,θ ) iδθir iδr Συνολικός όγκος = lim f(r,θ ) iδθir iδ R = f(r,θ) ridrdθ ι ι i i i i i f συνεχής R

44 Πολικές συντεταγμένες π. χ. Βρείτε το εμβαδόν δίσκου ακτίνας r. 0 0 θ π R = 0 r r0 π r0 ridrdθ = rdrdθ = πr0 R Βρείτε τον όγκο μοναδιαίας σφαίρας ( + +z =) του πάνω ημισφαιρίου. Εμβαδόν δίσκου= πχ Πάνω ημισφαίριο z = - Μετατροπή σε πολικές: f(r,θ)= r 0 θ π R = 0 r r0 = π Όγκος σφαίρας= f(r,θ) rdrd i θ = rrdrdθ = R

45 Πολικές συντεταγμένες + πχ.. Υπολογίστε το e dd, D μον. κύκλος D + + e dd = e dd =? Λύση αλλαγή σε πολικές 0 θ π R= f( r, θ ) = e 0 r D π + r e dd = e rdrdθ = 0 0 D r 45

46 ΗΥ- Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συστήματα συντεταγμένων

47 Θεώρημα αλλαγής μεταβλητών T : (, ) ( u = g (, ), v = g (, )) u πχ.. Πολικές = rcosθ = rsinθ u v DT = v v D f (, ) dd = f( u, v) DT dudv r θ cosθ rsinθ cosθ rsinθ DT = = DT = = r sinθ rcosθ sinθ rcosθ r θ D' v Επέκταση στα τριπλά ολοκληρώματα: 47 D f (,, zdd ) = f( u, v, w) DT dudvdw D'

48 Κυλινδρικές Συντεταγμένες Καθορίζω το P(,,z) από 3 στοιχεία (r,θ,z) P P'(,,0) θ : γωνία ΟP' με ο άξονα r : απόσταση του P'(,,0) από το Ο(0,0,0) r θ = = r cosθ rsinθ r = + θ = tan ( / ) 0 θ π D = 0 r r0 0 z h D f (,, z) dddz = f ( r, θ, z) rdrdθ dz = D 48

49 Κυλινδρικές Συντεταγμένες π. χ. Υπολογίστε το όγκο κυλίνδρου ύψους h,ακτίνας r 0 θ π D= 0 r r0 0 z h όγκος = rdrdθdz = D 0 πχ.. Βρείτε το όγκο που βρίσκεται πάνω από το z=0 και κάτω από το z= + και παραπλεύρως από τον κύλινδρο + = 4. 0 θ π Μετατροπή σε κυλινδρικές D= 0 r 0 z r π r rdzdrdθ = 49

50 Κυλινδρικές Συντεταγμένες z π. χ. Υπολογίστε το όγκο στερεού D που ορίζεται από + και τα επίπεδα ++z=,z=0,=0,=0. = rcosθ Μετατροπή σε κυλινδρικές = rsinθ π 0 θ D= 0 r 0 z = r(cosθ + sin θ) όγκος = rdzdθdr = D 50

51 Σφαιρικές Συντεταγμένες z Καθορίζω το P(,,z) από 3 στοιχεία (ρ,φ,θ), P'(,,0) θ : γωνία ΟP' με ο άξονα ϕ : γωνία ΟP με οz άξονα ρ : απόσταση του P από το Ο(0,0,0) φ ρ P(,,z) z = = = ρ cosϕ ρ sinϕ cosθ ρ sinϕ sinθ θ P'(,,0) 0 θ π ρ = + + z D = 0 ϕ π 0 ρ ρ0 θ = tan ( / ) D f (,, z) dddz f (,, ) sin d d d = D ρ ϕθ ρ ϕ ρ ϕ θ 5

52 Σφαιρικές Συντεταγμένες π. χ. Υπολογίστε το όγκο σφαίρας ακτίνας ρ 0 θ π D = 0 ϕ π 0 ρ ρ0 ό d d d d d γκος = ρ sin ϕ ϕ θ ρ = ρ θ ρ D ρ 0 π πχ.. Βρείτε το ολοκλήρωμα dddz, D στερεό.5 ( + + z ) ανάμεσα σε σφαίρες ακτίνων a,b, a< b. 0 θ π Μετατροπή σε σφαιρικές D = 0 φ π a ρ b D π π b π π b ρ sinϕ sinϕ dddz = d ρdϕdθ = d ρdϕdθ = ( + + z ) ρ ρ.5 3 D 0 0 a 0 0 a 5

Σχετικά έγγραφα

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy

xsin ydxdy (α) Εάν το χωρίο R είναι φραγμένο αριστερά και δεξιά από τις ευθείες x=α και x=β και από πάνω και κάτω από τις καμπύλες dr = dxdy ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Εφαρμογή Να υολογιστεί το ολοκλήρωμα : cos sin dd Ολοκληρώνουμε ρώτα ως ρος θεωρώντας το σαν σταθερά (αρατηρούμε ότι το «εσωτερικό» ολοκλήρωμα είναι ως ρος, δηλαδή ρώτα εμφανίζεται το