Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Transcript

1 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

2 Βαθμωτές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών f : f : 3 π.χ. π.χ. f Αναπαριστά μία επιφάνεια στο χώρο 3D (, ) = 3 f (1, ) = 1 3() = 5 g (,, z) = 4 + z g(, 4, 1) = 4()(3) + ( 1) = 3 Γενική γραφή μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών w= f( ) µε =, ή=,,z

3 Πεδίο Ορισμού Το σύνολο D των τιμών των,,z που δίνουν πραγματική τιμή στη συνάρτηση π.χ. f (, ) = { (, ) : 1 0, 1} D= + +

4 Αναπαράσταση Συναρτήσεων Δύο Μεταβλητών z= Ως τιμές πάνω σε μία ευθεία f(, ) Ως επιφάνεια στο χώρο (3D)

5 Ισοϋψείς/Ισοσταθμικές καμπύλες z = f(, ) Ισοϋψείς καμπύλες f(, ) = για διάφορες σταθερές τιμές z 0 z0 του z Ισοσταθμικές καμπύλες Η προβολή των Ισοϋψών στο επίπεδο

6 Ισοσταθμικές καμπύλες Παράδειγμα f (, ) = e Καμπύλες που δεν περιέχουν άλλες δηλώνουν ελάχιστα ή μέγιστα Σαγματικό σημείο Όσο πιο πυκνές οι καμπύλες, τόσο μεγαλύτερη μεταβολή παρουσιάζει η f (μεγαλύτερη κλίση)

7 Ισοσταθμικές επιφάνειες Παράδειγμα f (,, z) f(,, z) = + + z = const

8 Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Ορισμός lim f(, ) (,) (, ) = L Αν δοθέντος ενός ε > 0, υπάρχει δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε (, ) D f να ισχύει: 0 < ( ) + ( ) < δ f(, ) L< ε

9 Ιδιότητες Ορίου Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών lim =, lim =, lim k = k (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) Έστω : lim f(, ) = L, lim g(, ) = M, k τότε lim (,) (, ) lim (,) (, ) lim (,) (, ) (,) (, ) (,) (, ) [ g] f ± = L± M [ f g] [ k f] = L M = kl ΠΡΟΣΟΧΗ Αν η f(,) έχει διαφορετικά όρια κατά μήκος δύο διαφορετικών διαδρομών καθώς (, ) ( 0, 0) τότε δεν υπάρχει το όριο lim f(, ) (,) (, ) f L lim =, M 0 g M (,) (, ) lim (,) (, ) [ f ] mn / mn / = L

10 Όριο Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Παράδειγμα 1 lim (,) (,1) ()(1) 8 = = + () + (1) 6 Παράδειγμα lim (,) (0,0) + =? lim = = 1 + lim = = 1 + (,) (,0) (,) (0,) Προσέγγιση κατά μήκος του άξονα Προσέγγιση κατά μήκος του άξονα Επομένως το όριο δεν υπάρχει

11 Συνέχεια Η f(, ) είναι συνεχής στο σημείο ( 0, 0) αν ( 0, 0) Df Το όριο lim f(, ) υπάρχει Ισχύει (, ) (, ) lim f(, ) = f(, ) (, ) (, ) Παράδειγμα H f(, ) f(, ) +, (, ) (0,0) = = 0, (, ) (0,0) συνεχής παντού εκτός από το σημείο (0,0) γιατί m lim f(, ) = lim f = = m 1 + m (, ) (0,0) (, ) (0,0) κατ ά µ ήκος της = m δηλ. το όριο στο (0,0) δεν υπάρχει (διότι εξαρτάται από το m)

12 Μερικές παράγωγοι Μερική Παράγωγος ως προς f d = f (, ) = lim 0 h 0 (, ) d = h 0 f( + h, ) f(, ) Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της f στην κατεύθυνση î στο σημείο ( 0, 0) Μερική Παράγωγος ως προς f d = f (, ) = lim 0 d h 0 h (, ) = 0 f(, + h) f(, ) Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης z = f(, 0) στο σημείο P(,, f(, )) Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της f στην κατεύθυνση ĵ στο σημείο ( 0, 0) Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης z = f( 0, ) στο σημείο P(,, f(, ))

13 Μερικές Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης Συμβολισμός π.χ. f Θεώρημα μεικτών παραγώγων Αν οι f, f, f, f, f ορίζονται και είναι συνεχείς σε μία περιοχή του (a,b) τότε f f f = f = Προσοχή: Αντίθετη σειρά (a,b) f f f = ή f (a, b) = f (a, b) (a,b) f Ερμηνεία: Παραγωγίζουμε πρώτα ως προς και έπειτα ως προς 3 f

14 Κανόνας Αλυσιδωτής Παραγώγισης Έστω w= f( z,, ), και, z, συναρτ ήσεις του t dw w d w d w dz = + + dt dt dt z dt Έστω w= f( z,, ), και, z, συναρτ ήσεις των rs, w w w w z = + + r r r z r w w w w z = + + s s s z s Παραγώγιση Πεπλεγμένης Συνάρτησης Fz (,, ) = 0 = F F z F = F z z F = F z

15 Κλίση ή Βαθμίδα (Gradient) Σε Καρτεσιανές Συντεταγμένες f(, ) = f ˆ ˆ ( i, ) + f( j, ) g( z,, ) = giˆ ˆ ˆ + g j+ gk z Σε Πολικές Συντεταγμένες 1 f(, r θ) = f (, ) ˆ (, ) ˆ r r θ ur + fθ r θ u r Ισχύουν τα ακόλουθα O ρυθμός μεταβολής της f γίνεται μέγιστος και ίσος με θ f στη διεύθυνση του ff O ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος και ίσος με f στη διεύθυνση του ff Σε κατεύθυνση κάθετη στην κλίση, η μεταβολή της f είναι μηδέν. Σε κάθε σημείο του πεδίο ορισμού της f(,), το διάνυσμα κλίσης είναι κάθετο στην Ισοσταθμική καμπύλη που διέρχεται από αυτό. Αντίστοιχα: αν f(,,z) το διάνυσμα κλίσης είναι κάθετο στην ισοσταθμική επιφάνεια που διέρχεται από το σημείο.

16 Μερική παράγωγος κατά διεύθυνση Μερική Παράγωγος στο σημείο df ds û, P 0 lim P 0 f ( + su, + su ) f (, ) s κατά τη διεύθυνση του ( f ) uˆ ( f ) = = = s 0 P P uˆ = u, u cosθ Στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της f στην κατεύθυνση û στο σημείο ( 0, 0) 1 Ισούται με την κλίση της εφαπτομένης της καμπύλης C στο σημείο P(,, f(, )) Μεταβολή της f στην κατεύθυνση u df = ( f ) uˆ ds P0

17 Εφαπτόμενα Επίπεδα Σε ισοσταθμική επιφάνεια f(,, z) = c στο σημείο P0( 0, 0, z0) f ( P)( ) + f ( P)( ) + f ( P)(z z ) = 0 z f Το είναι κάθετο στα διανύσματα ταχυτήτων όλων των καμπυλών της επιφάνειας που διέρχονται από το σημείο P 0 z = f(, ) Στην επιφάνεια στο σημείο 0 f (, )( ) + f (, )( ) (z z ) = 0 P(,, f(, )) 0 Διανύσματα παράλληλα στο εφαπτόμενο επίπεδο: V = 1, 0, f( 0, 0) V = 0,1, f (, )

18 Διαφορισιμότητα Η z= f(, ) διαφορίσιμη στο ( 0, 0) αν μπορεί να μπορεί να προσεγγισθεί από το εφαπτόμενο επίπεδο στο (, ) δηλ. αν ισχύει: Επομένως f = f (, ) + f (, ) + ε + ε 1 1 µε ε, ε 0 καθώς, 0 f(, ) L(, ) = f(, ) + f (, ) + f (, ) df = f d + f d Γραμμικοποίηση (τοπικά) της f Αντίστοιχα για την w= f( z,, ) f( z,, ) Lz (,, ) = f(,, z) + f(,, z) f (,, z ) + f (,, z ) z 0 z 0 για μικρά Δ, Δ Ολικό Διαφορικό της f Περιγράφει τη μεταβολή της f που οφείλεται σε μικρές μεταβολές των και Αντίστοιχα για την w= f( z,, ) df = fd + f d + fzdz

19 Διαφορισιμότητα (Σύνοψη) Η είναι Συνεχώς Διαφορίσιμη ή 1 Οι f(, ) f, f υπάρχουν και είναι συνεχείς C Η f(, ) είναι Διαφορίσιμη Η f(, ) είναι Συνεχής Οι f, f υπάρχουν Σημαίνει: Μπορεί, αλλά όχι πάντοτε. Η f(, ) μπορεί να είναι διαφορίσιμη χωρίς οι f, f να είναι συνεχείς, όμως αν οι f, f είναι συνεχείς, τότε η f(, ) είναι σίγουρα διαφορίσιμη.

20 Κλίση και Διαφορισιμότητα f( ) f( 0) + f '( 0)( 0) f( ) f( ) + f( ) ( ) 0 Αλγεβρικές Ιδιότητες Κλίσης ( kf ) = k f ( f + g) = f + g ( f g) = f g ( fg ) = f g + g f f g f f g = g g Για συναρτήσεις μίας μεταβλητής Για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών δηλ. Στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών η κλίση παίζει το ρόλο που παίζει η παράγωγος σε συναρτήσεις μίας μεταβλητής

21 Προσεγγίσεις Ακριβής Τιμή Προσέγγιση Απόλυτη Μεταβολή Σχετική Μεταβολή Ποσοστιαία Μεταβολή f f f(, ) f 100 f(, ) df df f(, ) df 100 f(, )

22 Ακρότατα Έστω η z = f(, ) ορισμένη σε μια περιοχή που περιέχει το σημείο ( ab, ) Τοπικό Μέγιστο ( ab, ) f( ab, ) f(, ) για όλα τα (, ) Df που βρίσκονται κοντά στο ( ab, ) δηλ. ανήκουν σε ένα ανοιχτό δίσκο Τοπικό Ελάχιστο ( ab, ) με κέντρο το ( ab, ) f( ab, ) f(, ) για όλα τα (, ) Df που βρίσκονται κοντά στο ( ab, ) 100 Σαγματικό Σημείο ( ab, ) 50 f( ab, ) > f(, ) για κάποια(, ) D και f 0 f( ab, ) < f(, ) για κάποια άλλα(, ) Df -50 που βρίσκονται κοντά στο ( ab, )

23 Κριτήρια Ακροτάτων Εσσιανή της f f f f f(, ) = f f f Κρίσιμα Σημεία f = 0 f = f = 0 f δεν υπάρχει f ή f δεν υπάρχει f(, ) Ακρότατα της Συνοριακά σημεία Κρίσιμα σημεία μπορούν να προκύψουν σε Αν οι πρώτες και οι δεύτερες παράγωγοι συνεχείς σε κυκλικό δίσκο με κέντρο το ( ab, ) και f( ab, ) = f ( ab, ) = 0, τότε Ε σσιαν ή > 0 και f < 0 Τοπικό Μέγιστο f > 0 Τοπικό Ελάχιστο Ε σσιαν ή < 0 Σαγµατικό Σηµείο Ε σσιαν ή = 0 Αδύνατο να αποϕανθο ύµε (Χρησιμοποιούμε άλλες τεχνικές όπως π.χ. το γράφημα της f)