Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 2-D και 3-D σελ. 1 / 10. (0) = = = 140 = 4 35 = 2 35 = 2 5,916 = 11,832 dt r

Transcript

1 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 1 / 1 1 Η εξίσωση κίνησης σώματος είναι : ( 3 ( = + x 3e y + sin 5 z Υπολογίστε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και τα μέτρα τους τη χρονική στιγμή =. Απευθείας παραγωγίσεις d ( d 3 d d ( = = x ( + + ( 3e + ( sin 5 = = ( 3 + x+ ( 6e + ( 1cs 5 d( ( = = ( + x + ( 6e + ( 1cs = x d ( ( = = = 14 = 4 35 = 35 = 5,916 = 11,83 d ( d( d d d a( = = = x ( ( 6e + ( 1cs5 = = 6 x+ 6( e + 1 5sin 5 ( ( ( = 6x 1e y 5sin 5 z a( = 6 x 1e 5sin = 1 a ( = 1. Σωματίδιο κινείται κατά μήκος καμπύλης της οποίας οι παραμετρικές εξισώσεις είναι : x( = 3e, y( = 4sin3, z( = 5cs3 Α Βρείτε τις εκφράσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης για οποιαδήποτε χρονική στιγμή Β Υπολογίστε τη θέση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση και τις τιμές των μέτρων τους για = και =1π/4 A ( = x( x + y( + z( = 3e x + 4sin3 + 5cs3 Απευθείας παραγωγίσεις d ( ( = = 6e x+ 1cs3 15sin 3 d ( a( = = 1e x 36sin 3 45cs3 B = ( = 3x + 5 ( = = = 34 ( = 6x+ 1, ( = ( = = 6 5 a( = 1x 45, a ( = 1 + ( 45 = = 3 41 =1π/ (1 4 = 3e x + 4sin + 5cs = 3(, 15 x + 4sin ( 7,5 + 5cs ( 7, = x + 4sin(1,5 + 5cs ( 1,5 = 4 (1 4 = 4 Για μεγάλα η κίνηση στον άξονα x σβήνει και το σωματίδιο κινείται στο επίπεδο y-z όπου διαγράφει x z x z έλλειψη αφού = sin 3, = cs και άρα + = 1 4 5

2 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. / 1 5 (1 4 = 6e x+ 1cs(1,5 15sin(1,5 = 15 a(1 4 = 1e 5 x 36sin(1,5 45cs(1,5 = 36 Παρατηρούμε ότι για μεγάλα a = 3 = (1 4 = 15 a(1 4 = Σωματίδιο κινείται με επιτάχυνση a = x και την χρονική στιγμή βρισκόταν στη θέση = με ταχύτητα = (αρχικές συνθήκες. Βρείτε την εξίσωση κίνησης του. Ποια είναι η μετατόπιση του σωματιδίου μεταξύ των χρονικών στιγμών 1= s και =4 s. Πόσο είναι το διάστημα που διήνυσε στο ίδιο χρονικό διάστημα. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση, η επιτρόχιος επιτάχυνσή και η ακτίνα καμπυλότητας τη χρονική στιγμή = s. Απευθείας ολοκληρώσεις. d a d a ( ( = = = a = x = x = + = 1+ 3 d = d = = = ( x ( = x = + = = ( ( (4 ( f i = = x y x y = x y = 6x 3 56 = 6 + = 19,61 3 x 6 cs = cs = =,36 19,61 ο = 7,18 4 = = s = 1 + Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα με την αλλαγή μεταβλητής : du u = 1 +, du = =, = u = 5, = 4 u = u ( s = u du = = s = 19,63 Παρατηρούμε ότι το διάστημα είναι σχεδόν ίσο με το μέτρο της μετατόπισης. Αυτό σημαίνει ότι στο δοσμένο χρονικό διάστημα η καμπυλότητα της τροχιάς είναι ελάχιστη. Αν το ολοκλήρωμα δεν είναι εύκολο και θέλει πολύ δουλειά, δεν σκάμε. Η άσκηση δεν είναι άσκηση μεθόδων ολοκλήρωσης. Σίγουρα κάποιος θα το έχει υπολογίσει ως τώρα. Το πρώτο που κάνουμε λοιπόν είναι να το ψάξουμε σε πίνακες ολοκληρωμάτων. Πολύ εύκολα βρίσκουμε στη Wikipedia το ολοκλήρωμα : ( 3 1 x a + x dx = a + x 3 που για a=1 είναι το δικό μας ολοκλήρωμα. Επιτρόχια (εφαπτομενική και κεντρομόλος (κάθετη επιτάχυνση a = a + a = a + a n n n

3 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 3 / 1 Η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι η προβολή του διανύσματος της επιτάχυνσης πάνω στην τροχιά, δηλαδή πάνω στην ταχύτητα (που είναι πάντα εφαπτόμενη στην τροχιά. Άρα a = a + an = a a = a a = a a a = a = = a ( x ( x ( 3 ( a = x y x y x y = = = (1 + ( a ( + x + = y x y = Στη συνέχεια δεν υπολογίζουμε την πρώτη κάθετο αλλά βρίσκουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση από τη διαφορά 9 18 a = a ( ( ( ( + an an = a a an = a a = x y x y a ( n = x y a n ( = + = ( = + ( = = 5 5 R = = = = 3,5 a n 4. Σωματίδιο κινείται με επιτάχυνση a = e x+ 5cs 3sin και είχε αρχικές συνθήκες = x 3y + z και = (4, 3,. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης. Απευθείας ολοκληρώσεις. d a = d = a = a ( e x ( 5cs ( 3sin = + = e x + 5sin + 3cs (4x 3 + = (1 e x + 5sin + 3(cs 1 = (3 e x+ (5sin 3 + (3cs 1 d = d = = ( (3 e x ( (5sin 3 ( (3cs 1 = + + = 3 + e x + 5cs 3 + 3sin ( x 3 + = 3 + e 1 x + 5cs sin = 6 + e 1 x + 5cs 3 + 3sin + 5. Βρείτε την εξίσωση κίνησης σωματιδίου που εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R= 5 m, γύρω από την αρχή των αξόνων, δεξιόστροφα, με περίοδο T= s για αρχικές θέσεις : α (3,4 β (-4,3 γ (-3,-4 δ (3,-4

4 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 4 / 1 y υ x< υ y< υ x< υ y> x υ x> υ y< υ x> υ y> Αφού η τροχιά είναι επίπεδη, θεωρούμε ως επίπεδο x-y το επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. Η γωνιακή ταχύτητα είναι = T = = ad/s και το μέτρο της ταχύτητας = R = 5 m/s. Ομαλή κυκλική κίνηση σημαίνει = +, και = R =. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες x και y δίνονται από : x = Rcs = Rsin( +, y = Rsin και προφανώς ισχύει cs sin ( cs sin = x + y = R + R = R + = R Οπότε η κυκλική κίνηση είναι το αποτέλεσμα της συμμετοχής του σωματιδίου σε δυο ανεξάρτητες κινήσεις: μια αρμονική ταλάντωση στην διεύθυνση x με πλάτος R και κυκλική συχνότητα ω και μια αρμονική ταλάντωση στην διεύθυνση y με το ίδιο πλάτος και κυκλική συχνότητα R και ω αλλά διαφορά φάσης π/ με την x. Οι δύο ταλαντώσεις φτιάχνουν την κυκλική κίνηση. ( = R cs( +, sin( + = R cs( + x + Rsin( + = R ( R ( ( Η αρχική αζιμουθιακή γωνία προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες α ( = = (3, 4 5( cs, sin = (3, 4 ( cs, sin = (, 6,,8 ο = 53,13 =, 95 ad =,973 ad ( = 5 cs( +,93, sin( +,93 ( Χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cs( + = cs cs sin sin και sin( + = sin cs + cs sin οι παραπάνω εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως γνωστόν και ως : cs( + = cs cs sin sin, sin( + = sin cs + cs sin και αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες θ παίρνουμε: ( = 5 cs( +,93, sin( +,93 Οπότε β ( 5( cscs(,93 sinsin(,93, sincs(,93 cssin(,93 ( 3cs 4sin, 3sin 4 cs ( = 5( cs( +,93, sin( +,93 = ( 3cs 4sin, 3sin + 4 cs = + = + α

5 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 5 / 1 = ( 4,3 5 cs, sin = ( 4,3 cs, sin = (,8,,6 ( (,6 =,8 1 an στο ο τεταρτημόριο ο = 143,13 =, 795 ad =, 498 ad ( = 5 cs( +,5, sin( +,5 ( ( 4 cs 3sin, 3cs 4sin = γ ( = ( 3, 4 5 cs, sin = ( 3, 4 cs, sin = (, 6,,8 ( (,6 =,8 1 an στο 3ο τεταρτημόριο ο = 33,13 = 1, 95 ad = 4, 69 ad ( = 5 cs( + 4, 69, sin( + 4, 69 ( ( 3cs 4sin, 3sin 4 cs = + δ ( = (4, 3 5 cs, sin = (4, 3 cs, sin = (,8,,6 ( (,6 =,8 1 an στο 3ο τεταρτημόριο ο = 33,13 = 1, 795 ad = 5, 64 ad ( = 5 cs( + 5, 64, sin( + 5, 64 ( ( 4 cs 3sin, 3cs 4sin = + + β γ δ 6. Το ίδιο πρόβλημα με πριν αλλά το κέντρο του κύκλου να μην είναι στην αρχή των αξόνων. Σωματίδιο κινείται ομαλά σε κυκλική τροχιά ακτίνας R= 5 με κέντρο (3,4, περίοδο T= και αρχική θέση την αρχή των αξόνων. Η κίνησή του είναι δεξιόστροφη όπως στο σχήμα. α Βρείτε την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου καθώς και την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες β Επιβεβαιώστε ότι η ταχύτητα είναι κάθετη και η επιτάχυνση είναι αντίθετη στο διάνυσμα της ακτίνας R Ουσιαστικά, απλά προσθέτουμε στα προηγούμενα διανύσματα θέσης και το διάνυσμα της θέσης του κέντρου (3, 4 5(cs 53,13,sin 53, C = = = x + y Το σωματίδιο συμμετέχει σε δυο κινήσεις : A. Ακινησία στο κέντρο του κύκλου : ( = = (3,4 = 5(cs53,13,sin 53,13 = 3x+ 4 A C B. Κυκλική κίνηση ακτίνας R και γωνιακής ταχύτητας ω : ( ( cs(, sin ( cs( = R + + = R + x + Rsin( + y Το διάνυσμα θέσης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από το διανυσματικό άθροισμα των παραπάνω κινήσεων : ( = A( + B ( = C + R ( Για να είναι: = C + R( = R( = C = ( 3, 4 Δηλαδή είμαστε στην περίπτωση αρχικών συνθηκών γ της προηγούμενης άσκησης

6 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 6 / 1 = > ω θ επιβατική ακτίνα υ x> υ y< θ = 36,87 ο Συνεπώς η εξίσωση κίνησης του σωματιδίου δίνεται από την σχέση ( = C + R( = (3,4 + ( 3cs + 4sin, 3sin 4cs ( = 3(1 cs + 4sin, 3sin + 4(1 cs ( Χρησιμοποιώντας τους τύπους της διπλάσιας γωνίας : sin = sin cs, cs = 1 sin 1 cs = sin, sin = sin cs Έχουμε για την x συντεταγμένη : 3(1 cs + 4sin = 3 sin + 4 sin cs = sin 3sin + 4cs και αντίστοιχα για την y : 3sin+ 4(1 cs = 3 sin cs + 4 sin = sin 3cs + 4sin Το διάνυσμα θέσης γράφεται τελικά ( = sin 3sin + 4cs, 3cs + 4sin Από την παραπάνω έκφραση υπολογίζουμε εύκολα, το μέτρο του και την πολική γωνία του (τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x = x + y = 4sin 3sin + 4 cs + 3cs + 4sin = 4sin 9sin 16 cs 4sin cs 9 cs 16sin 4sin cs = 4sin 9sin + cs + 16 sin + cs = 4sin = 1sin = 1sin

7 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 7 / 1 y Την αζιμουθιακή γωνία δεν την υπολογίζουμε από την an =, για να μην μπλέξουμε με x x τριγωνομετρικές ταυτότητες αλλά από την cs = που εξ ορισμού δίνει την γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και x sin 3sin + 4 cs x cs = = =, 6sin +,8cs = sin 53,13 + 1sin = cs + 53,13 9 = cs 36,87 = 36,87 Η παραπάνω σχέση βγαίνει και από απλή Ευκλείδεια γεωμετρία : «μια εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο». Από το σχήμα + = Από αυτές τις εκφράσεις για το διάνυσμα θέσης σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες μπορούμε πλέον να απαντήσουμε οποιαδήποτε ερώτηση για την τροχιά. Εφόσον πρόκειται για ομαλή κυκλική κίνηση θα πρέπει : α η ταχύτητα να είναι κάθετη στο διάνυσμα της ακτίνας του κύκλου : ( R( = d ( β η επιτάχυνση να είναι κεντρομόλος : a( = = R( όπου ( = R( = ( 3cs + 4sin x + ( 3sin 4cs = R xx + Ryy και = Υπολογίζουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση και επιβεβαιώνουμε τα παραπάνω. d ( d d ( = = x ( 3(1 cs + 4sin + ( 3sin + 4(1 cs = ( 3 sin + 4 cs x+ ( 3 cs + 4 sin Παρατηρούμε ότι ( = R yx + Rxy Άρα προφανώς ( R( = ( R ( yx + Rx y Rxx + Ry y = RyRx + RxRy = d ( d d a( = = x ( 3 sin + 4 cs + ( 3 cs + 4 sin = 3cs 4sin x+ 3sin + 4 cs ( ( ( 3cs 4sin ( 3sin 4 cs = + x = R ( 7. Η τροχιά σωματιδίου είναι μια καμπύλη C με διάνυσμα θέσης : ( = 3cs x+ 3sin + (8 4 α Από τη μορφή της καμπύλης περιγράψτε την κίνηση.

8 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 8 / 1 β Δείξτε ότι το διάνυσμα d = έχει μέτρο μονάδα και είναι εφαπτόμενο στην τροχιά, όπου s είναι το μήκος του δρόμου (τόξου πάνω στην τροχιά =. Υπολογίστε το και άρα επαληθεύστε ότι = γ Δείξτε ότι το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα. Υπολογίστε το μέτρο του το οποίο ονομάζεται καμπυλότητα κ, και υπολογίστε την ακτίνα καμπυλότητας η οποία ορίζεται ως R = 1. Κατασκευάστε το μοναδιαίο διάνυσμα n (πρώτη κάθετος στην κατεύθυνση του. δ Κατασκευάστε ένα μοναδιαίο διάνυσμα b (δικάθετος που να είναι κάθετο και στο και στο n ώστε να ορίσετε ένα ορθοκανονικό δεξιόστροφο τρισδιάστατο σύστημα αξόνων -n-b. d ε Δείξτε ότι η επιτάχυνση δίνεται από τον τύπο : a = + n R α Η κίνηση του σώματος είναι η επαλληλία δύο ανεξάρτητων κινήσεων μιαw στο επίπεδο x-y και μιας στον άξονα z. Στο επίπεδο x-y η τροχιά είναι κύκλος ακτίνας ρ=3 αφού x + y = 3 cs + 3 sin = 3 Η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και ίση με και η περίοδος T = =. Άρα το σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η γραμμική ταχύτητα στο επίπεδο x-y έχει σταθερό μέτρο = = 3 = 6. Στον άξονα z το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση αφού z= 8 4 z = 8 =. Άρα η τροχιά είναι μια σπειροειδής καμπύλη με σταθερή ακτίνα ρ =3 και βήμα στον άξονα z ίσο με = = 8 z T Το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό = + = = 1. xy Η επιτάχυνση θα είναι μόνο η κεντρομόλος, στο επίπεδο x-y, που είναι ίση με ac = = 3 = 1 d β Επειδή ισχύει d =, έχουμε : d d = = = = 1 Κάθε διάνυσμα παράλληλο στο d είναι εξ ορισμού εφαπτόμενο στην καμπύλη επειδή το d είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη, ενώνει ένα σημείο της με το «επόμενο». Για να υπολογίσουμε το χρησιμοποιούμε την ταχύτητα η οποία επίσης είναι εφαπτόμενη στην καμπύλη ( = d ( = 6sin x+ 6cs + 8 Από αυτήν φτιάχνουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα διαιρώντας την με το μέτρο της ( = d ( = ( 6sin + (6cs + 8 = 6 (sin + cs + 8 = = 1 =. Άρα έχουμε : d d d = = = d = d d d Θυμίζουμε : = = 6sin 6cs 8 Οπότε d x + y + z = = d 1 z = sin x+ cs = sin + cs + = sin + cs + = = Από τον ορισμό του d = = = d Πράγματι ( xy

9 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 9 / 1 γ Κάθε παράγωγος (ρυθμός μεταβολής κάθε μοναδιαίου διανύσματος είναι κάθετη στο μοναδιαίο διάνυσμα αφού το μέτρο του δεν αλλάζει. d 1 ( = = + = = Προσοχή στους συμβολισμούς! angen (εφαπτόμενο διάνυσμα, ime παράμετρος χρόνου 1 1 d = = = sin x + cs + = cs x sin Πράγματι = sin x + cs + ( cs x + sin = 3sin cs x x 3sin x 3cs x 3cs sin 4cs3 x 4sin = 3sin cs sin + 3cs + 3cs sin 1+ 4 cs 3 + 4sin sin cs cs sin = + = 15 Το μέτρο του δεν είναι υποχρεωτικά μονάδα και ονομάζεται καμπυλότητα κ ενώ το αντίστροφό του ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας R = = = cs + sin =, R = = Το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση του, που είναι κάθετη στη διεύθυνση του, και άρα κάθετο στην καμπύλη, ονομάζεται πρώτο κάθετο (nmal της καμπύλης και θα δίνεται από τον τύπο 1 n = n R = = n = n = R d d 1 d Επειδή = =, οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να μετατραπούν σε παραγωγίσεις ως προς το 1 χρόνο : = n = n = n = n = n R Το n για την καμπύλη C είναι n = R = cs x sin n = cs x sin Προφανώς n = 1 δ Ένα κάθετο διάνυσμα και στα δύο διανύσματα n, είναι το εξωτερικό τους γινόμενο : b = n που ονομάζεται δικάθετος (binmal. Αυτό έχει μέτρο μονάδα επειδή τα nείναι, μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους : b = n sin 9 = = 1. A B C = AC B A B C Χρησιμοποιώντας την σχέση του τριπλού εξωτερικού γινομένου ( ( ( βλέπουμε ότι το σύστημα -n-b είναι δεξιόστροφο : = n b, n = b, b = n. n b = n n = n n ( n n = ( ( ( ( b = n = n = ( n + ( n = n

10 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 1 / 1 Το b της καμπύλης C είναι b = n = sin x + cs + ( cs x sin = sin x cs x cs x sin = sin cs ( cs sin ( x = sin x cs + ( sin + cs z b = sin x cs Θυμίζουμε ότι x x = = = και x =, = x, x = ενώ b a = a b Προφανώς b = 1 ε Η επιτάχυνση υπολογίζεται απευθείας με παραγώγιση. Έχουμε ήδη υπολογίσει όλες τις παραγώγους που θα χρειαστούμε d d ( d d a d = = = + = + n a = + n a = a + a n R R Ο πρώτος όρος ονομάζεται επιτρόχιος επιτάχυνση και ο δεύτερος κεντρομόλος επιτάχυνση Επαλήθευση για τη συγκεκριμένη καμπύλη C d ( d a( = = ( 6sin x + 6cs + 8 = 1cs x 1sin Η επιτάχυνση είναι στο επίπεδο x-y και το μέτρο της είναι 1 όπως περιμέναμε. Από τον τύπο a = a + a καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα n d 1 a = + n = + ( cs x sin = 1cs x 1sin R 5 3