Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 2-D και 3-D σελ. 1 / 10. (0) = = = 140 = 4 35 = 2 35 = 2 5,916 = 11,832 dt r
|
|
- Μιλτιάδης Βιτάλη
- 3 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 1 / 1 1 Η εξίσωση κίνησης σώματος είναι : ( 3 ( = + x 3e y + sin 5 z Υπολογίστε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και τα μέτρα τους τη χρονική στιγμή =. Απευθείας παραγωγίσεις d ( d 3 d d ( = = x ( + + ( 3e + ( sin 5 = = ( 3 + x+ ( 6e + ( 1cs 5 d( ( = = ( + x + ( 6e + ( 1cs = x d ( ( = = = 14 = 4 35 = 35 = 5,916 = 11,83 d ( d( d d d a( = = = x ( ( 6e + ( 1cs5 = = 6 x+ 6( e + 1 5sin 5 ( ( ( = 6x 1e y 5sin 5 z a( = 6 x 1e 5sin = 1 a ( = 1. Σωματίδιο κινείται κατά μήκος καμπύλης της οποίας οι παραμετρικές εξισώσεις είναι : x( = 3e, y( = 4sin3, z( = 5cs3 Α Βρείτε τις εκφράσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης για οποιαδήποτε χρονική στιγμή Β Υπολογίστε τη θέση, την ταχύτητα, την επιτάχυνση και τις τιμές των μέτρων τους για = και =1π/4 A ( = x( x + y( + z( = 3e x + 4sin3 + 5cs3 Απευθείας παραγωγίσεις d ( ( = = 6e x+ 1cs3 15sin 3 d ( a( = = 1e x 36sin 3 45cs3 B = ( = 3x + 5 ( = = = 34 ( = 6x+ 1, ( = ( = = 6 5 a( = 1x 45, a ( = 1 + ( 45 = = 3 41 =1π/ (1 4 = 3e x + 4sin + 5cs = 3(, 15 x + 4sin ( 7,5 + 5cs ( 7, = x + 4sin(1,5 + 5cs ( 1,5 = 4 (1 4 = 4 Για μεγάλα η κίνηση στον άξονα x σβήνει και το σωματίδιο κινείται στο επίπεδο y-z όπου διαγράφει x z x z έλλειψη αφού = sin 3, = cs και άρα + = 1 4 5
2 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. / 1 5 (1 4 = 6e x+ 1cs(1,5 15sin(1,5 = 15 a(1 4 = 1e 5 x 36sin(1,5 45cs(1,5 = 36 Παρατηρούμε ότι για μεγάλα a = 3 = (1 4 = 15 a(1 4 = Σωματίδιο κινείται με επιτάχυνση a = x και την χρονική στιγμή βρισκόταν στη θέση = με ταχύτητα = (αρχικές συνθήκες. Βρείτε την εξίσωση κίνησης του. Ποια είναι η μετατόπιση του σωματιδίου μεταξύ των χρονικών στιγμών 1= s και =4 s. Πόσο είναι το διάστημα που διήνυσε στο ίδιο χρονικό διάστημα. Πόση είναι η κεντρομόλος επιτάχυνση, η επιτρόχιος επιτάχυνσή και η ακτίνα καμπυλότητας τη χρονική στιγμή = s. Απευθείας ολοκληρώσεις. d a d a ( ( = = = a = x = x = + = 1+ 3 d = d = = = ( x ( = x = + = = ( ( (4 ( f i = = x y x y = x y = 6x 3 56 = 6 + = 19,61 3 x 6 cs = cs = =,36 19,61 ο = 7,18 4 = = s = 1 + Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται εύκολα με την αλλαγή μεταβλητής : du u = 1 +, du = =, = u = 5, = 4 u = u ( s = u du = = s = 19,63 Παρατηρούμε ότι το διάστημα είναι σχεδόν ίσο με το μέτρο της μετατόπισης. Αυτό σημαίνει ότι στο δοσμένο χρονικό διάστημα η καμπυλότητα της τροχιάς είναι ελάχιστη. Αν το ολοκλήρωμα δεν είναι εύκολο και θέλει πολύ δουλειά, δεν σκάμε. Η άσκηση δεν είναι άσκηση μεθόδων ολοκλήρωσης. Σίγουρα κάποιος θα το έχει υπολογίσει ως τώρα. Το πρώτο που κάνουμε λοιπόν είναι να το ψάξουμε σε πίνακες ολοκληρωμάτων. Πολύ εύκολα βρίσκουμε στη Wikipedia το ολοκλήρωμα : ( 3 1 x a + x dx = a + x 3 που για a=1 είναι το δικό μας ολοκλήρωμα. Επιτρόχια (εφαπτομενική και κεντρομόλος (κάθετη επιτάχυνση a = a + a = a + a n n n
3 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 3 / 1 Η εφαπτομενική επιτάχυνση είναι η προβολή του διανύσματος της επιτάχυνσης πάνω στην τροχιά, δηλαδή πάνω στην ταχύτητα (που είναι πάντα εφαπτόμενη στην τροχιά. Άρα a = a + an = a a = a a = a a a = a = = a ( x ( x ( 3 ( a = x y x y x y = = = (1 + ( a ( + x + = y x y = Στη συνέχεια δεν υπολογίζουμε την πρώτη κάθετο αλλά βρίσκουμε την κεντρομόλο επιτάχυνση από τη διαφορά 9 18 a = a ( ( ( ( + an an = a a an = a a = x y x y a ( n = x y a n ( = + = ( = + ( = = 5 5 R = = = = 3,5 a n 4. Σωματίδιο κινείται με επιτάχυνση a = e x+ 5cs 3sin και είχε αρχικές συνθήκες = x 3y + z και = (4, 3,. Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης. Απευθείας ολοκληρώσεις. d a = d = a = a ( e x ( 5cs ( 3sin = + = e x + 5sin + 3cs (4x 3 + = (1 e x + 5sin + 3(cs 1 = (3 e x+ (5sin 3 + (3cs 1 d = d = = ( (3 e x ( (5sin 3 ( (3cs 1 = + + = 3 + e x + 5cs 3 + 3sin ( x 3 + = 3 + e 1 x + 5cs sin = 6 + e 1 x + 5cs 3 + 3sin + 5. Βρείτε την εξίσωση κίνησης σωματιδίου που εκτελεί κυκλική κίνηση ακτίνας R= 5 m, γύρω από την αρχή των αξόνων, δεξιόστροφα, με περίοδο T= s για αρχικές θέσεις : α (3,4 β (-4,3 γ (-3,-4 δ (3,-4
4 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 4 / 1 y υ x< υ y< υ x< υ y> x υ x> υ y< υ x> υ y> Αφού η τροχιά είναι επίπεδη, θεωρούμε ως επίπεδο x-y το επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. Η γωνιακή ταχύτητα είναι = T = = ad/s και το μέτρο της ταχύτητας = R = 5 m/s. Ομαλή κυκλική κίνηση σημαίνει = +, και = R =. Οι καρτεσιανές συντεταγμένες x και y δίνονται από : x = Rcs = Rsin( +, y = Rsin και προφανώς ισχύει cs sin ( cs sin = x + y = R + R = R + = R Οπότε η κυκλική κίνηση είναι το αποτέλεσμα της συμμετοχής του σωματιδίου σε δυο ανεξάρτητες κινήσεις: μια αρμονική ταλάντωση στην διεύθυνση x με πλάτος R και κυκλική συχνότητα ω και μια αρμονική ταλάντωση στην διεύθυνση y με το ίδιο πλάτος και κυκλική συχνότητα R και ω αλλά διαφορά φάσης π/ με την x. Οι δύο ταλαντώσεις φτιάχνουν την κυκλική κίνηση. ( = R cs( +, sin( + = R cs( + x + Rsin( + = R ( R ( ( Η αρχική αζιμουθιακή γωνία προσδιορίζεται από τις αρχικές συνθήκες α ( = = (3, 4 5( cs, sin = (3, 4 ( cs, sin = (, 6,,8 ο = 53,13 =, 95 ad =,973 ad ( = 5 cs( +,93, sin( +,93 ( Χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες cs( + = cs cs sin sin και sin( + = sin cs + cs sin οι παραπάνω εκφράσεις μπορούν να γραφτούν ως γνωστόν και ως : cs( + = cs cs sin sin, sin( + = sin cs + cs sin και αντικαθιστώντας τις αντίστοιχες θ παίρνουμε: ( = 5 cs( +,93, sin( +,93 Οπότε β ( 5( cscs(,93 sinsin(,93, sincs(,93 cssin(,93 ( 3cs 4sin, 3sin 4 cs ( = 5( cs( +,93, sin( +,93 = ( 3cs 4sin, 3sin + 4 cs = + = + α
5 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 5 / 1 = ( 4,3 5 cs, sin = ( 4,3 cs, sin = (,8,,6 ( (,6 =,8 1 an στο ο τεταρτημόριο ο = 143,13 =, 795 ad =, 498 ad ( = 5 cs( +,5, sin( +,5 ( ( 4 cs 3sin, 3cs 4sin = γ ( = ( 3, 4 5 cs, sin = ( 3, 4 cs, sin = (, 6,,8 ( (,6 =,8 1 an στο 3ο τεταρτημόριο ο = 33,13 = 1, 95 ad = 4, 69 ad ( = 5 cs( + 4, 69, sin( + 4, 69 ( ( 3cs 4sin, 3sin 4 cs = + δ ( = (4, 3 5 cs, sin = (4, 3 cs, sin = (,8,,6 ( (,6 =,8 1 an στο 3ο τεταρτημόριο ο = 33,13 = 1, 795 ad = 5, 64 ad ( = 5 cs( + 5, 64, sin( + 5, 64 ( ( 4 cs 3sin, 3cs 4sin = + + β γ δ 6. Το ίδιο πρόβλημα με πριν αλλά το κέντρο του κύκλου να μην είναι στην αρχή των αξόνων. Σωματίδιο κινείται ομαλά σε κυκλική τροχιά ακτίνας R= 5 με κέντρο (3,4, περίοδο T= και αρχική θέση την αρχή των αξόνων. Η κίνησή του είναι δεξιόστροφη όπως στο σχήμα. α Βρείτε την εξίσωση κίνησης του σωματιδίου καθώς και την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες β Επιβεβαιώστε ότι η ταχύτητα είναι κάθετη και η επιτάχυνση είναι αντίθετη στο διάνυσμα της ακτίνας R Ουσιαστικά, απλά προσθέτουμε στα προηγούμενα διανύσματα θέσης και το διάνυσμα της θέσης του κέντρου (3, 4 5(cs 53,13,sin 53, C = = = x + y Το σωματίδιο συμμετέχει σε δυο κινήσεις : A. Ακινησία στο κέντρο του κύκλου : ( = = (3,4 = 5(cs53,13,sin 53,13 = 3x+ 4 A C B. Κυκλική κίνηση ακτίνας R και γωνιακής ταχύτητας ω : ( ( cs(, sin ( cs( = R + + = R + x + Rsin( + y Το διάνυσμα θέσης του κινητού για κάθε χρονική στιγμή θα δίνεται από το διανυσματικό άθροισμα των παραπάνω κινήσεων : ( = A( + B ( = C + R ( Για να είναι: = C + R( = R( = C = ( 3, 4 Δηλαδή είμαστε στην περίπτωση αρχικών συνθηκών γ της προηγούμενης άσκησης
6 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 6 / 1 = > ω θ επιβατική ακτίνα υ x> υ y< θ = 36,87 ο Συνεπώς η εξίσωση κίνησης του σωματιδίου δίνεται από την σχέση ( = C + R( = (3,4 + ( 3cs + 4sin, 3sin 4cs ( = 3(1 cs + 4sin, 3sin + 4(1 cs ( Χρησιμοποιώντας τους τύπους της διπλάσιας γωνίας : sin = sin cs, cs = 1 sin 1 cs = sin, sin = sin cs Έχουμε για την x συντεταγμένη : 3(1 cs + 4sin = 3 sin + 4 sin cs = sin 3sin + 4cs και αντίστοιχα για την y : 3sin+ 4(1 cs = 3 sin cs + 4 sin = sin 3cs + 4sin Το διάνυσμα θέσης γράφεται τελικά ( = sin 3sin + 4cs, 3cs + 4sin Από την παραπάνω έκφραση υπολογίζουμε εύκολα, το μέτρο του και την πολική γωνία του (τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x = x + y = 4sin 3sin + 4 cs + 3cs + 4sin = 4sin 9sin 16 cs 4sin cs 9 cs 16sin 4sin cs = 4sin 9sin + cs + 16 sin + cs = 4sin = 1sin = 1sin
7 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 7 / 1 y Την αζιμουθιακή γωνία δεν την υπολογίζουμε από την an =, για να μην μπλέξουμε με x x τριγωνομετρικές ταυτότητες αλλά από την cs = που εξ ορισμού δίνει την γωνία μεταξύ των διανυσμάτων και x sin 3sin + 4 cs x cs = = =, 6sin +,8cs = sin 53,13 + 1sin = cs + 53,13 9 = cs 36,87 = 36,87 Η παραπάνω σχέση βγαίνει και από απλή Ευκλείδεια γεωμετρία : «μια εγγεγραμμένη γωνία είναι ίση με το μισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο». Από το σχήμα + = Από αυτές τις εκφράσεις για το διάνυσμα θέσης σε καρτεσιανές και πολικές συντεταγμένες μπορούμε πλέον να απαντήσουμε οποιαδήποτε ερώτηση για την τροχιά. Εφόσον πρόκειται για ομαλή κυκλική κίνηση θα πρέπει : α η ταχύτητα να είναι κάθετη στο διάνυσμα της ακτίνας του κύκλου : ( R( = d ( β η επιτάχυνση να είναι κεντρομόλος : a( = = R( όπου ( = R( = ( 3cs + 4sin x + ( 3sin 4cs = R xx + Ryy και = Υπολογίζουμε την ταχύτητα και την επιτάχυνση και επιβεβαιώνουμε τα παραπάνω. d ( d d ( = = x ( 3(1 cs + 4sin + ( 3sin + 4(1 cs = ( 3 sin + 4 cs x+ ( 3 cs + 4 sin Παρατηρούμε ότι ( = R yx + Rxy Άρα προφανώς ( R( = ( R ( yx + Rx y Rxx + Ry y = RyRx + RxRy = d ( d d a( = = x ( 3 sin + 4 cs + ( 3 cs + 4 sin = 3cs 4sin x+ 3sin + 4 cs ( ( ( 3cs 4sin ( 3sin 4 cs = + x = R ( 7. Η τροχιά σωματιδίου είναι μια καμπύλη C με διάνυσμα θέσης : ( = 3cs x+ 3sin + (8 4 α Από τη μορφή της καμπύλης περιγράψτε την κίνηση.
8 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 8 / 1 β Δείξτε ότι το διάνυσμα d = έχει μέτρο μονάδα και είναι εφαπτόμενο στην τροχιά, όπου s είναι το μήκος του δρόμου (τόξου πάνω στην τροχιά =. Υπολογίστε το και άρα επαληθεύστε ότι = γ Δείξτε ότι το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα. Υπολογίστε το μέτρο του το οποίο ονομάζεται καμπυλότητα κ, και υπολογίστε την ακτίνα καμπυλότητας η οποία ορίζεται ως R = 1. Κατασκευάστε το μοναδιαίο διάνυσμα n (πρώτη κάθετος στην κατεύθυνση του. δ Κατασκευάστε ένα μοναδιαίο διάνυσμα b (δικάθετος που να είναι κάθετο και στο και στο n ώστε να ορίσετε ένα ορθοκανονικό δεξιόστροφο τρισδιάστατο σύστημα αξόνων -n-b. d ε Δείξτε ότι η επιτάχυνση δίνεται από τον τύπο : a = + n R α Η κίνηση του σώματος είναι η επαλληλία δύο ανεξάρτητων κινήσεων μιαw στο επίπεδο x-y και μιας στον άξονα z. Στο επίπεδο x-y η τροχιά είναι κύκλος ακτίνας ρ=3 αφού x + y = 3 cs + 3 sin = 3 Η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή και ίση με και η περίοδος T = =. Άρα το σώμα κάνει ομαλή κυκλική κίνηση. Η γραμμική ταχύτητα στο επίπεδο x-y έχει σταθερό μέτρο = = 3 = 6. Στον άξονα z το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση αφού z= 8 4 z = 8 =. Άρα η τροχιά είναι μια σπειροειδής καμπύλη με σταθερή ακτίνα ρ =3 και βήμα στον άξονα z ίσο με = = 8 z T Το μέτρο της ταχύτητας παραμένει σταθερό = + = = 1. xy Η επιτάχυνση θα είναι μόνο η κεντρομόλος, στο επίπεδο x-y, που είναι ίση με ac = = 3 = 1 d β Επειδή ισχύει d =, έχουμε : d d = = = = 1 Κάθε διάνυσμα παράλληλο στο d είναι εξ ορισμού εφαπτόμενο στην καμπύλη επειδή το d είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα στην καμπύλη, ενώνει ένα σημείο της με το «επόμενο». Για να υπολογίσουμε το χρησιμοποιούμε την ταχύτητα η οποία επίσης είναι εφαπτόμενη στην καμπύλη ( = d ( = 6sin x+ 6cs + 8 Από αυτήν φτιάχνουμε ένα μοναδιαίο διάνυσμα διαιρώντας την με το μέτρο της ( = d ( = ( 6sin + (6cs + 8 = 6 (sin + cs + 8 = = 1 =. Άρα έχουμε : d d d = = = d = d d d Θυμίζουμε : = = 6sin 6cs 8 Οπότε d x + y + z = = d 1 z = sin x+ cs = sin + cs + = sin + cs + = = Από τον ορισμό του d = = = d Πράγματι ( xy
9 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 9 / 1 γ Κάθε παράγωγος (ρυθμός μεταβολής κάθε μοναδιαίου διανύσματος είναι κάθετη στο μοναδιαίο διάνυσμα αφού το μέτρο του δεν αλλάζει. d 1 ( = = + = = Προσοχή στους συμβολισμούς! angen (εφαπτόμενο διάνυσμα, ime παράμετρος χρόνου 1 1 d = = = sin x + cs + = cs x sin Πράγματι = sin x + cs + ( cs x + sin = 3sin cs x x 3sin x 3cs x 3cs sin 4cs3 x 4sin = 3sin cs sin + 3cs + 3cs sin 1+ 4 cs 3 + 4sin sin cs cs sin = + = 15 Το μέτρο του δεν είναι υποχρεωτικά μονάδα και ονομάζεται καμπυλότητα κ ενώ το αντίστροφό του ονομάζεται ακτίνα καμπυλότητας R = = = cs + sin =, R = = Το μοναδιαίο διάνυσμα στην διεύθυνση του, που είναι κάθετη στη διεύθυνση του, και άρα κάθετο στην καμπύλη, ονομάζεται πρώτο κάθετο (nmal της καμπύλης και θα δίνεται από τον τύπο 1 n = n R = = n = n = R d d 1 d Επειδή = =, οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να μετατραπούν σε παραγωγίσεις ως προς το 1 χρόνο : = n = n = n = n = n R Το n για την καμπύλη C είναι n = R = cs x sin n = cs x sin Προφανώς n = 1 δ Ένα κάθετο διάνυσμα και στα δύο διανύσματα n, είναι το εξωτερικό τους γινόμενο : b = n που ονομάζεται δικάθετος (binmal. Αυτό έχει μέτρο μονάδα επειδή τα nείναι, μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους : b = n sin 9 = = 1. A B C = AC B A B C Χρησιμοποιώντας την σχέση του τριπλού εξωτερικού γινομένου ( ( ( βλέπουμε ότι το σύστημα -n-b είναι δεξιόστροφο : = n b, n = b, b = n. n b = n n = n n ( n n = ( ( ( ( b = n = n = ( n + ( n = n
10 Μηχανική: Ασκήσεις κινηματικής 3 -D και 3-D σελ. 1 / 1 Το b της καμπύλης C είναι b = n = sin x + cs + ( cs x sin = sin x cs x cs x sin = sin cs ( cs sin ( x = sin x cs + ( sin + cs z b = sin x cs Θυμίζουμε ότι x x = = = και x =, = x, x = ενώ b a = a b Προφανώς b = 1 ε Η επιτάχυνση υπολογίζεται απευθείας με παραγώγιση. Έχουμε ήδη υπολογίσει όλες τις παραγώγους που θα χρειαστούμε d d ( d d a d = = = + = + n a = + n a = a + a n R R Ο πρώτος όρος ονομάζεται επιτρόχιος επιτάχυνση και ο δεύτερος κεντρομόλος επιτάχυνση Επαλήθευση για τη συγκεκριμένη καμπύλη C d ( d a( = = ( 6sin x + 6cs + 8 = 1cs x 1sin Η επιτάχυνση είναι στο επίπεδο x-y και το μέτρο της είναι 1 όπως περιμέναμε. Από τον τύπο a = a + a καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα n d 1 a = + n = + ( cs x sin = 1cs x 1sin R 5 3
ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Δυο κάθετοι μεταξύ τους προσανατολισμένοι και βαθμονομημένοι άξονες A Α Έστω σημείο Α στο επίπεδο Η θέση του προσδιορίζεται από τις προβολές στους άξονες A, A 0 A Η
Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα
Ακτίνα καμπυλότητας - Ανάλυση επιτάχυνσης σε εφαπτομενική και κεντρομόλο συνιστώσα Εξ ορισμού, ένας κύκλος έχει συγκεκριμένη και σταθερή καμπυλότητα σε όλα τα σημεία του ίση με 1/R όπου R η ακτίνα του.
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος - Κύλιση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής αντιμετωπίζαμε κάθε σώμα που μελετούσαμε την κίνηση του ως υλικό
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ
Σχολικό Έτος 016-017 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Α. ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ Οριζόντια βολή, ονομάζουμε την εκτόξευση ενός σώματος από ύψος h από το έδαφος, με οριζόντια ταχύτητα u o, όταν στο σώμα επιδρά
1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές
1 ΦΕΠ 012 Φυσική και Εφαρμογές Διάλεξη 10 η Ομαλή κυκλική κίνηση Δθ = ω = σταθερό Δt X = Rσυν (ωt) => X 2 +Υ 2 = R 2 Υ = Rημ(ωt) Οι προβολές της κίνησης στους άξονες των x και y είναι αρμονικές ταλαντώσεις
ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ
ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Οι δακτύλιοι του Κρόνου είναι ένα σύστημα πλανητικών δακτυλίων γύρω από αυτόν. Αποτελούνται από αμέτρητα σωματίδια των οποίων το μέγεθος κυμαίνεται από μm μέχρι m, με
Η επιτάχυνση και ο ρόλος της.
Η επιτάχυνση και ο ρόλος της. Το μέγεθος «επιτάχυνση» το συναντήσαμε κατά τη διδασκαλία στην Α Λυκείου, όπου και ορίσθηκε με βάση την εξίσωση: t Όπου η παραπάνω μαθηματική εξίσωση μας λέει ότι η επιτάχυνση:
2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι
1. Α. Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ( περιοδική/ ομαλή κυκλική κίνηση) Β. Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε κυκλική πλατεία, σίγουρα εκτελεί (κυκλική / ομαλή κυκλική) κίνηση. Γ. Η κίνηση του άκρου ενός
ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Διανύσματα - Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος a) Να βρεθεί η ευθεία που διέρχεται από το σημείο P (5,,3) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα iˆ+ 4ˆj kˆ
ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης
(Με ιδέες και υλικό από ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ε. Στυλιάρης από παλαιότερες διαφάνειες του κ. Καραμπαρμπούνη) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 5 6 6 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Μέση και Στιγμιαία Ταχύτητα Επιτάχυνση Διαφορικές
1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση
1 Ασκήσεις στη Κυκλική Κίνηση 1.Δυο τροχοί ακτινών R 1=40cm και R 2=10cm συνδέονται με ιμάντα και περιστρέφονται ο πρώτος με συχνότητα f 1=4Hz, ο δε δεύτερος με συχνότητα f 2. Να βρεθεί ο αριθμός των στροφών
Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,
ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Πρώτα απ όλα θέλουμε να βρούμε και να εξηγήσουμε έναν ορισμό που να ταιριάζει όσο το δυνατό καλύτερα στα φυσικά φαινόμενα Και η πεποίθησή μας θα ενισχυθεί
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4. bt (γιατί;).
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 1 Τμήμα Α Ακ.Έτος: 6-7 Διδάσκων Σ.Ε.Π. : Τρύφων Δάρας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 4 ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Μία συνάρτηση της μορφής r ():[ aβ, ] (αντίστοιχα r ():[, ] aβ ) λέμε ότι παριστάνει
Κεφάλαιο 3. Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο)
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε δύο διαστάσεις (επίπεδο) Κινηματική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουμε τη διανυσματική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης με περισσότερες λεπτομέρειες. Σαν ειδικές περιπτώσεις,
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί
ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ-Γ Λ 25/11/2018 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Η Επιτάχυνση. η τα- χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει (3)
Η Επιτάχυνση η τα- Έστω r ( t ) ( t ) i ( t ) j z ( t ) k το διάνυσμα θέσης του κινητού Μ και ( t ) χύτητά του ( Σχήμα 1 ). Από τον ορισμό της ταχύτητας θα ισχύει r ( t ) r ( t ) ή πιο απλά (1) t t Άρα
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την
Κυκλική κίνηση. Βασικές έννοιες. x=rcosθ, y=rsinθ, z=0. x 2 +y 2 =R 2. Γωνιακή μετατόπιση. Γωνιακή ταχύτητα. Θέση
Κυκλική κίνηση Στη Φυσική, κυκλική κίνηση ονομάζεται η κίνηση στην οποία η τροχιά ενός κινητού ταυτίζεται με την περιφέρεια ενός κύκλου. Η πιο απλή από τις κυκλικές κινήσεις είναι η ομαλή, κατά την οποία
Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις
Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας
1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β
Φύλλο Εργασίας: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Λίγη γεωµετρία πριν ξεκινήσουµε: Σε κύκλο ακτίνας, η επίκεντρη γωνία Δθ µετρηµένη σε ακτίνια (rad) και το µήκος του τόξου Δs στο οποίο βαίνει, συνδέονται
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ. t 1 (x 1,y 1 ) Η αρχή ενός οποιουδήποτε ορθογωνίου xy συστήματος συντεταγμένων
ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 1 ( 1, 1 ) ορθογωνίου συστήματος r1 1 1 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ (, ) ορθογωνίου συστήματος r ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 3 ( 3, 3 ) ορθογωνίου συστήματος r3 3 3 ΤΡΟΧΙΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ 4 ( 4, 4
Ασκήσεις Κεφ. 1, Κινηματική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 10 Απριλίου 2012 1. Αν το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου είναι: r(t) = [ln(t
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Σώμα μάζας m=15/π Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20/π m με φορά αντίθετη απ τους δείκτες του ρολογιού. Αν το σώμα
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 5//08 ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α-Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε 2 και 3 Διαστάσεις
Κεφάλαιο 3 Κίνηση σε και 3 Διαστάσεις Κίνηση υλικού σημείου στο επίπεδο ( -D) και στο χώρο (3 -D). Ορισμός διανυσμάτων για την μελέτη της -D 3-D κίνησης: Θέση, Μετατόπιση Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Μέση
Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Ποιες από τις επόμενες καμπύλες παριστάνουν ευθείες γραμμές; r ( ) 8,, ˆ ˆ r ˆ () i 7 j+ k r ( )
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΕΝΤΡΟΜΟΛΟΣ ΔΥΝΑΜΗ 1.Οι περισσότερες ασκήσεις είναι απλή εφαρμογή των τύπων Συνήθως από ένα μέγεθος όπως η συχνότητα f ή η γωνιακή ταχύτητα ω μπορούμε να υπολογίσουμε
Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο.
Ομαλή Κυκλική Κίνηση 1. Γίνεται με σταθερή ακτίνα (Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 1 3 υ υ 1 1. Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό.
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΜΑΛΗ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 1. Σώμα μάζας m=15/π Kg εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση ακτίνας R=20/π m με φορά αντίθετη απ τους δείκτες του ρολογιού. Αν το σώμα
ΦΥΣ Διαλ Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης
ΦΥΣ - Διαλ.4 Κινηµατική και Δυναµική Κυκλικής κίνησης Κυκλική κίνηση ΦΥΣ - Διαλ.4 Ορίζουµε τα ακόλουθα µοναδιαία διανύσµατα: ˆ βρίσκεται κατά µήκος του διανύσµατος της ακτίνας θˆ είναι εφαπτόµενο του κύκλου
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
Κεφάλαιο 6α. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα
Κεφάλαιο 6α Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Στερεό (ή άκαμπτο) σώμα Τα μοντέλα ανάλυσης που παρουσιάσαμε μέχρι τώρα δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την ανάλυση όλων των κινήσεων. Μπορούμε
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 2015
ΦΥΣΙΚΗ (ΠΟΜ 114) ΛΥΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΝΔΙΑΜΕΣΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 15 Ct 1. Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι a At Be, όπου Α, B, C είναι θετικές ποσότητες. Η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ
ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της
Ασκήσεις Κεφ. 2, Δυναμική υλικού σημείου Κλασική Μηχανική, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 29 Μαΐου 2012 1. Στο υλικό σημείο A ασκούνται οι δυνάμεις F 1 και F2 των οποίων
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα
v = r r + r θ θ = ur + ωutθ r = r cos θi + r sin θj v = u 1 + ω 2 t 2
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΉΣ Ι ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 9 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 019 ΚΏΣΤΑΣ ΒΕΛΛΙΔΗΣ, cvellid@phys.uoa.r, 10 77 6895 ΘΕΜΑ 1: Σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα u κατά µήκος οριζόντιας ράβδου που περιστρέφεται
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα Η αναγκαιότητα για τον ορισμό και την περιγραφή των ολοκληρωμάτων που θα περιγράψουμε στο Παράρτημα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι τα μεγέθη που
Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς
Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο
ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Φυσική για Μηχανικούς
Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να ιδωθεί ως κίνηση σε δυο (αντί
F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται
6-04-011 1. Όχημα μάζας m ξεκινά από την αρχή του άξονα x χωρίς αρχική ταχύτητα και κινείται στον άξονα x υπό την επίδραση της δυνάμεως t F mk(1 e ), όπου k θετική σταθερά. Στο όχημα ασκείται επίσης αντίσταση
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/11/2017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ / Β ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 1/11/017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1-Α4
Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
Ηλεκτρομαγνητισμός. Μαγνητικό πεδίο. Νίκος Ν. Αρπατζάνης
Ηλεκτρομαγνητισμός Μαγνητικό πεδίο Νίκος Ν. Αρπατζάνης Μαγνητικοί πόλοι Κάθε μαγνήτης, ανεξάρτητα από το σχήμα του, έχει δύο πόλους. Τον βόρειο πόλο (Β) και τον νότιο πόλο (Ν). Μεταξύ των πόλων αναπτύσσονται
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/2013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3//7/013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο δάπεδο ευθύγραμμα με την
m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Δύο σώματα με μάζες m m και m m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ.
1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση. Θέµα 1ο
1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση Ηµεροµηνία : Νοέµβρης 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα 1ο Οµάδα Α Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε την σωστή απάντηση [4 5 = 20 µονάδες]
Συστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Ασκήσεις Κλασικής Μηχανικής, Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Μιχάλης Ξένος, email : mxenos@cc.uoi.gr 19 Απριλίου 2013 Κεφάλαιο Ι 1. Να γραφεί το διάνυσμα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης υλικού σημείου σε
ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Tο γιο-γιο του σχήματος έχει ακτίνα R και αρχικά είναι ακίνητο. Την t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο
Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο M4 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Κινηµατική σε δύο διαστάσεις Θα περιγράψουµε τη διανυσµατική φύση της θέσης, της ταχύτητας, και της επιτάχυνσης µε περισσότερες λεπτοµέρειες. Θα µελετήσουµε την κίνηση
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ. ΛΥΣΗ (α) Το οδόστρωμα στη στροφή είναι οριζόντιο: N. Οι δυνάμεις που ασκούνται πάνω στο αυτοκίνητο είναι:
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια οριζόντια στροφή μιας ενικής οδού έχει ακτίνα = 95 m. Ένα αυτοκίνητο παίρνει τη στροφή αυτή με ταχύτητα υ = 26, m/s. (α) Πόση πρέπει να είναι η τιμή του συντελεστή μ s της στατικής
Θέµα 1ο. κινητό εκτελεί ταυτόχρονα δύο ή περισσότερες κινήσεις :
1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση Ηµεροµηνία : Νοέµβρης 2012 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση (4 5 = 20 µονάδες ) 1.1.
lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση
Έστω διάνυσμα a( t a ( t i a ( t j a ( t k Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει a( t Δt a ( t Δt i a ( t Δt j a ( t Δt k Εξετάζουμε την παράσταση z z a( t Δt - a( t Δa a ( t Δt - a ( t lim
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση
2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,
1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση. Θέµα 1ο
1ο ιαγώνισµα - Οριζόντια Βολή - Κυκλική Κίνηση Ηµεροµηνία : Νοέµβρης 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα 1ο Οµάδα Β Στις ερωτήσεις 1.1 1.4 επιλέξτε την σωστή απάντηση [4 5 = 20 µονάδες]
Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14
Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ
ΜΑΘΗΜΑ 4: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΚΑΙ ΕΞΕΛΙΞΗ ΣΤΟ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΟ Στη φύση δεν υπάρχει ίσως τίποτε παλαιότερο από την κίνηση και οι φιλόσοφοι έχουν γράψει για αυτήν βιβλία που δεν είναι ούτε λίγα ούτε μικρά ΓΑΛΙΛΑΪΚΟΙ
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Ο πίνακας ελέγχου σε ένα πιλοτήριο βοηθά τον πιλότο να κρατά το αεροσκάφος υπό έλεγχο δηλ. να ελέγχει πόσο γρήγορα ταξιδεύει και σε ποια κατεύθυνση επιτρέποντάς του
b proj a b είναι κάθετο στο
ΦΥΛΛΑ ΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Βρείτε όλα τα σηµεία P τέτοια ώστε η απόσταση του P από το A(, 5, 3) είναι διπλάσια από την απόσταση του P από το B(6, 2, 2). είξτε ότι το σύνολο όλων αυτών των σηµείων είναι σφαίρα.
ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου
ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα
GI_V_FYSP_0_3772. ο οδηγός του φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d
GI_V_FYSP_0_377 Σε αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με ταχύτητα μέτρου, ο οδηγός του φρενάρει οπότε το αυτοκίνητο διανύει διάστημα d μέχρι να σταματήσει. Αν το αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα
ΘΕΜΑ Α. Α1. δ Α2. γ Α3. β Α4. γ Α5. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ ΘΕΜΑ Β. B1. Σωστή απάντηση η ( β) Η επιτάχυνση του κάθε ηλεκτρικού φορτίου είναι:
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β ΤΑΞΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 19/04/2017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. δ Α2. γ Α3. β Α4. γ Α5. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ ΘΕΜΑ Β B1. Σωστή απάντηση
Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ
Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης
1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την
Φυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Στην εκτέλεση πέναλτι, ο ποδοσφαιριστής κτυπά ακίνητη μπάλα, με σκοπό να της δώσει ταχύτητα και κατεύθυνση ώστε να σκοράρει. Υπό προϋποθέσεις, η εκτέλεση μπορεί να
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον
ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες
Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς.
Μ2 Μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας με τη βοήθεια του απλού εκκρεμούς. 1 Σκοπός Η εργαστηριακή αυτή άσκηση αποσκοπεί στη μέτρηση της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε ένα τόπο. Αυτή η μέτρηση επιτυγχάνεται
papost/
Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr, papost@teiion.gr ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 018-019 Υπάρχουν φυσικά φαινόμενα κατά τα οποία η κίνηση ενός σώματος προκύπτει
ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 1ο σετ - Μέρος Β ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.1: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) 1ο σετ - Μέρος Β Ερώτηση 1. ΘΕΜΑ Β Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με εξίσωση απομάκρυνσης
1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.
Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική
Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα
Φυσική έννοια Φυσική έννοια Φαινόμενα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Ένα τρένο που ταξιδεύει αλλάζει διαρκώς θέση, το ίδιο ένα αυτοκίνητο και ένα πλοίο ή αεροπλάνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα
website:
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ρευστών Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 3 Μαρτίου 2019 1 Τανυστής Παραμόρφωσης Συνοδεύον σύστημα ονομάζεται το σύστημα συντεταγμένων ξ i το οποίο μεταβάλλεται
ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ. Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής.
ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΠΥΡΑΥΛΩΝ Η προώθηση των πυραύλων στηρίζεται στην αρχή διατήρησης της ορμής. Ο πύραυλος καίει τα καύσιμα που αρχικά βρίσκονται μέσα του και εκτοξεύει τα καυσαέρια προς τα πίσω. Τα καυσαέρια δέχονται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]
ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ
γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή
ΘΕΜΑ Α. Α1. δ Α2. γ Α3. β Α4. γ Α5. α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Σ ΘΕΜΑ Β. B1. Σωστή απάντηση η ( β) Η επιτάχυνση του κάθε ηλεκτρικού φορτίου είναι:
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β ΤΑΞΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 19/04/2017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6) ΟΔΗΓΙΕΣ ΑΥΤΟΔΙΟΡΘΩΣΗΣ ΘΕΜΑ Α 5Χ5 μ Α1. δ Α2. γ Α3. β Α4. γ Α5. α. Λ,
Γενική Φυσική. Ενότητα 1: Κινητική. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών
Γενική Φυσική Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Τι είναι το διαφορικό (1 από 2) Η μεταβολή μίας συνάρτησης f(x), όταν το x αυξάνεται κατά Δx γράφεται : Δy AΔx B( Δx ) 2 Αν οι
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου
 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ον/μο:.. A Λυκείου Ύλη: Ευθύγραμμη Κίνηση 13-11-2016 Θέμα 1 ο : 1) Η έκφραση 2m/s 2 όταν αναφέρεται σε κινητό που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση σημαίνει ότι: α) η θέση του κινητού αλλάζει
ds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πέμπτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Το θεώρημα Gauss γενικά διατυπώνεται ως: F dv = ( F η)dσ (1) V Για την άσκηση όπου μας δίνεται η σφαίρα x + y + z 4 = Φ, το κάθετο διάνυσμα η,
Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με