ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Transcript

1 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΗΤΙ Ι ΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΤΙΣΤΙΗΣ ΓΕΝΙΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΘΕΤ ΘΕ 1. ν οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f x g x f x g x, για κάθε x ονάδες 7. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 ; ονάδες 4 3. ν ομαδοποιήσουμε τις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής σε κλάσεις, τι ονομάζουμε πλάτος μιας κλάσης; ονάδες 4 4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) ν f: και g: παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε ισχύει f g x f g x g x, για κάθε x. β) ία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ο- ρισμού της, όταν για οποιαδήποτε x 1,x, με x 1 x ισχύει f x f x. 1 γ) Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόνο ποσοτικών δεδομένων. δ) Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι P A P A P P A. ε) Το γραμμοσκιασμένο χωρίο στο διπλανό σχήμα αντιστοιχεί στο ενδεχόμενο Β. ονάδες 10 ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr

2 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΕ Β Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές x και οι αντίστοιχες συχνότητες v που προέκυψαν από τις παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ. Β1. Για τις παρατηρήσεις αυτές να υπολογιστούν: α. η μέση τιμή x (μονάδες 6) β. η διάμεσος δ (μονάδες 5) γ. η διακύμανση s (μονάδες 7) ονάδες 18 Β. Να εξετάσετε αν το δείγμα των παραπάνω παρατηρήσεων είναι ομοιογενές. ονάδες 7 ΘΕ Γ Δίνεται η συνάρτηση f x x x 1, x. Γ1. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. ονάδες 6 Γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο A,f. ονάδες 7 Γ3. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία (ε) του ερωτήματος Γ τέμνει τους άξονες xx και yy. ονάδες 4 f x 1 Γ4. Να υπολογίσετε το όριο lm. x1 x 1 ονάδες 8 ΘΕ Δ Ένα κουτί έχει τρεις μπάλες, μία άσπρη, μία μαύρη και μία κόκκινη. άνουμε το εξής πείραμα: παίρνουμε από το κουτί μια μπάλα, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία άλλη μια φορά. Δ1. Να κατασκευάσετε το δενδροδιάγραμμα που περιγράφει το παραπάνω πείραμα (μονάδες 3) και να γράψετε τον δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. (μονάδες ) ονάδες 5 Δ. Να παρασταθούν με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα που προσδιορίζονται από την αντίστοιχη ιδιότητα: ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr

3 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ : «η δεύτερη μπάλα που θα εξαχθεί να είναι μαύρη» Β: «να εξαχθούν δυο μπάλες διαφορετικού χρώματος». ονάδες 6 Δ3. Υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω του προηγούμενου πειράματος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα και,β είναι τα ενδεχόμενα του ερωτήματος Δ. α. Να υπολογίσετε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: A, A, A, A.(μονάδες 8) β. ν Γ είναι ένα ενδεχόμενο του δειγματικού χώρου Ω, το οποίο είναι ασυμβίβαστο τόσο με το ενδεχόμενο όσο και με το ενδεχόμενο Β, να υπολογίσετε ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει η πιθανότητα P ονάδες 14 ΘΕ A 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 31. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ. 7 ΠΝΤΗΣΕΙΣ 4. α) Σωστό β) Λάθος γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕ Β Β1. α) x 4 xv x 4. v v N x v x - x x x x x ΣΥΝΟΛΟ v β) Είναι v 10 δηλαδή είναι άρτιο το πλήθος των τιμών της μεταβλητής και διατεταγμένες κατά αύξουσα σειρά είναι: 1,1,3,3,3,5,5,5,5, t5t6 35 άρα γ) s x x v 5 v 10 1 ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr

4 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ Β. Η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι ΘΕ Γ s s 5 και ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι μοιογενές. Γ1. Η συνάρτηση s 5 CV 100% 100% 10%. Άρα το δείγμα δεν είναι ο- x 4 f x x x 1, ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με fx x 1, x, fx 0 x 1, f x 0 x 1. Η f στο x 1 0 παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f x 1 f f Γ. Η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο A,f 3 είναι : y x f 3, άρα : y 3x και το σημείο : y 3x 3. με A,3 ανήκει σ αυτή επομένως δηλαδή Γ3. Η : y 3x 3 για x 0 δίνει y 3 επομένως τέμνει τον άξονα yy στο σημείο B0, 3 και για y 0 δίνει x 1, άρα τέμνει τον άξονα xx στο σημείο 1,0. Γ4. Έστω gx f x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Πρέπει: x x 1 0 που ισχύει για κάθε x γιατί ,1 1,. Επομένως το πεδίο ορισμού της είναι % x x 1 1 x x lm g x lm lm x1 x1 x1 x1 x 1 x x 1 1 lm x1 x x 1 x x 1 1 x 1 1. ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr

5 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ ΘΕ Δ Δ1. Επομένως ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης είναι AA,AM,AK,MA,MM,MK,KA,KM,KK. Δ. A η δεύτερη μπάλα που θα εξαχθεί να είναι μαύρη,,. B να εξαχθούν δυο μπάλες διαφορετικού χρώματος,ak,ma,mk,ka,km. Δ3. φού ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας είναι : α) PA άρα PA 1 PA 1 N A B AM, KM AB PA B άρα PA B A B MM ή PA B PA PA B N A B 1 N N B A 4 BA AK,MA,MK,KA άρα PB A N ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr

6 8 ΧΡΟΝΙ ΕΠΕΙΡΙ ΣΤΗΝ ΕΠΙΔΕΥΣΗ 6 4 ή PB A PB PA B. β) Είναι A και B και A B AM,MM,KM,AK,MA,MK,KA δηλαδή άρα:. 1 ος τρόπος : P P A 1 PA B ος τρόπος: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 1 η ν τότε P 0 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η ν AA τότε P ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 η ν KK τότε P 1 1 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 4 η ν AA,KK τότε P Επομένως η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να έχει η πιθανότητα Ρ(Γ) είναι. Επιμέλεια: ΣΙΙΤΖΟΓΛΟΥ. ΠΕΙΡΙΣ: γ. ωνσταντίνου 11 (5 ος όροφος), τηλ.: e-mal : thesmos@otenet.gr