ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ

Transcript

1 ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ ΒΑΡΗ 2010 Κωνσταντίνος Μπίιας & Κωνσταντίνος Αρβανίτης, Φυσιοί.

2 1 Θεωρητιές Επισημάνσεις Θεωρούμε μία χορδή μήους L στερεωμένη αι στα δύο άρα της. Αν ένα ύμα αναάται στα άρα της, τότε δημιουργούνται σε αυτή στάσιμα ύματα. Η χορδή όμως, μπορεί να τααντωθεί σχηματίζοντας μόνο μεριά σχήματα ταάντωσης. Αυτές ονομάζονται ιδιομορφές ταάντωσης. Σε άθε μια από αυτές αντιστοιχεί μια χαρατηριστιή συχνότητα, την οποία, ονομάζουμε ιδιοσυχνότητα. Τα δύο άρα της χορδής αφού είναι στερεωμένα, είναι σίγουρα δεσμοί. Έστω ότι θέτουμε σε ταάντωση το σημείο αριβώς στη μέση της χορδής, οπότε το σημείο αυτό θα είναι οιία (Σχ.1α ). Το μήος της χορδής ισούται με το μισό μήος ύματος ( την απόσταση δηαδή ανάμεσα σε δύο δεσμούς) 1 L= ή 1 = 2L 2 H επόμενη ιδιομορφή ταάντωσης (Σχ 1β ) θα έχει μήος ύματος 2 αι σε αυτήν το μήος της χορδής ισούται με το μήος, 2 = L, της ταάντωσης. Θεμειώδης συχνότητα Σχ.1α. Πρώτη Αρμονιή Σχ.1β. Δεύτερη Αρμονιή Η τρίτη ιδιομορφή ταάντωσης (Σχ 1γ ) αντιστοιχεί στην περίπτωση που το μήος της χορδής αντιστοιχεί σε τρία μισά μήη ύματος, δηαδή 3 = 2L/ Σχ.1γ. Τρίτη Αρμονιή

3 Γενιεύοντας, μπορούμε να πούμε ότι τα μήη των διάφορων ιδιομορφών τααντώσεων τεταμένων χορδών ιανοποιούν την σχέση 2L = ( = 1, 2, 3,...) (1) ή L= ( = 1, 2, 3,...) 2 όπου ο δείτης αντιστοιχεί στην ιδιομορφή ταάντωσης. Οι αντίστοιχες ιδιοσυχνότητες υποογίζονται, φυσιά, από την σχέση f = u/. Και αυτό γιατί η ταχύτητα διάδοσης του ύματος u είναι η ίδια για όες τις συχνότητες. 2 Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να επισημάνουμε πως η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται μόνο από την τάση της χορδής αι την γραμμιή πυνότητα μάζας της. Δηαδή σε μία χορδή γραμμιής πυνότητας μ, που είναι τεντωμένη με τάση F, η ταχύτητα διάδοσης ενός εγάρσιου ύματος είναι : υ= F μ Έτσι, χρησιμοποιώντας την εξίσωση (1), βρίσουμε ότι οι ιδιοσυχνότητες f θα δίνονται από την σχέση : (2) υ υ f = f = ( =1,2,3,...) 2L Συνδυάζοντας τις (2), (3), θα έχουμε : F f= (=1,2,3,...) (4) 2L μ Η χαμηότερη ιδιοσυχνότητα (που αντιστοιχεί στο =1, αφού για =0 δεν υπάρχει ύμα) ονομάζεται θεμειώδης συχνότητα, f1 αι ισούται με 1 F f= 1 (5) 2L μ Oι υπόοιπες ιδιοσυχνότητες ονομάζονται αρμονιές αι είναι αέραια ποαπάσια της θεμειώδους, δηαδή 2f1, 3f1,.ο.. Η θεμειώδης συχνότητα μαζί με τις υπόοιπες ιδιοσυχνότητες αποτεούν την εγόμενη αρμονιή σειρά. Η θεμειώδης, η f1, είναι η πρώτη αρμονιή. Η ιδιοσυχνότητα f2 =2f1 η δεύτερη αρμονιή, η ιδιοσυχνότητα f3= 3f η τρίτη.ο.. Φυσιά, στα παραπάνω αποτεέσματα μπορούμε να αταήξουμε αι με ένα πιο ομψό τρόπο. Για το αρχιό αι το τειό σημείο της χορδής θα είναι χ = 0 αι χ = L. Θα πρέπει επίσης (αφού η χορδή είναι στερεωμένη στα δύο άρα της) η συνάρτηση y(χ,t) να μηδενίζεται στα σημεία αυτά, δηαδή y(0,t)=0 αι y(l,t)=0. H εξίσωση του στάσιμου 2πχ 2π t είναι 2Αημ συν, οπότε, η συνθήη y(0,t)=0 ιανοποιείται αυτόματα, αφού T 2πχ ημ =0 στο χ=0. Επομένως για να ιανοποιηθεί η δεύτερη συνθήη y(l,t)=0 πρέπει 2π L ημ =0. Όπως είναι γνωστό η συνθήη αυτή ιανοποιείται αν η γωνία αυτή αν ισχύει: 2πL =π (=1,2,3,...) (3)

4 3 δηαδή 2L =, που είναι η (1). Πειραματιό Μέρος. Όργανα αι υιά Γεννήτρια συχνοτήτων Συσευή παραγωγής τααντώσεων Data Logger LabQuest της Vernier Aισθητήρας δύναμης της Vernier Ορειχάινη βάση, ράβδος αι σύνδεσμοι Νήμα (περίπου 1,5 m) Υποογιστής. Μέρος Α. Υποογισμός αρμονιών συχνοτήτων αι πειραματιή επιβεβαίωση. Συναρμοογού με την διάταξη της παραάτω ειόνας. Ρυθμίζουμε την τάση της χορδής στα 0,5 Ν αυξάνοντας ή μειώνοντας το ύψος του αισθητήρα δύναμης που παίζει αι τον ρόο άγιστρου. Φροντίζουμε να διατηρηθεί η τάση του νήματος σταθερή σε όο το Α μέρος του πειράματος ώστε να παραμένει σταθερή η ταχύτητα διάδοσης του ύματος στη χορδή. Θέτουμε σε ταάντωση την συσευή παραγωγής τααντώσεων. Επιέγουμε την ατάηη συχνότητα στη γεννήτρια συχνοτήτων ώστε να πετύχουμε την πρώτη αρμονιή ( Ει 3. ) αι την σημειώνουμε στον πίναα Α. Υποογίζουμε το μήος ύματος σε αυτήν την ιδιομορφή σύμφωνα με την σχέση (1) αι το σημειώνουμε αι αυτό στον πίναα Α. Τέος υποογίζουμε την ταχύτητα διάδοσης του ύματος υπό την τάση των 0,5Ν.

5 4 ΠΙΝΑΚΑΣ Α Μήος Χορδής (m) Συχνότητα Πρώτης Αρμονιής (Ηz) Μήος Κύματος (m) Ταχύτητα διάδοσης (m/s) 1, ,4 24 ( Ει. 3 ) Τώρα, είμαστε σε θέση να προβέψουμε θεωρητιά τις υπόοιπες αρμονιές της F αρμονιής σειράς. Από την σχέση f= (=1,2,3,...) είναι φανερό ότι, αφού μένει 2L μ σταθερή η τάση αι το μήος, οι θεωρητιές τιμές των αρμονιών θα είναι : Αρμονιές (Hz) f2 = 20 f3 = 30 f4 = 40 Aυξάνουμε την συχνότητα στην γεννήτρια συχνοτήτων στα 20Ηz. Όπως φαίνεται στις ειόνα 4, η θεωρητιή πρόβεψη επιβεβαιώνεται. Στα 20Ηz, εμφανίζεται η δεύτερη αρμονιή. ( Ει. 4 )

6 5 Ομοίως επιβεβαιώνεται η θεωρητιή πρόβεψη για την τρίτη αρμονιή στα 30 Ηz όπως φαίνεται στις ειόνες 5, 6. ( Ει. 5 ) ( Ει. 6)

7 6 Mέρος Β Εξάρτηση της ταχύτητας διάδοσης των υμάτων από την τάση F της χορδής. Κρατώντας το μήος του νήματος σταθερό στα 1.2m ρυθμίζουμε αρχιά την τάση της χορδής στα 0,42Ν. Ρυθμίζουμε την συχνότητα της γεννήτριας ατάηα ώστε να εμφανίσουμε την πρώτη αρμονιή. Σημειώνουμε τη συχνότητα στον πίναα Β. Υποογίζουμε την ταχύτητα διάδοσης των υμάτων αι την σημειώνουμε αι αυτήν στον πίναα Β. Στην συνέχεια αυξάνουμε την τάση στου νήματος στα 0,86 Ν. Επανααμβάνουμε την διαδιασία, υποογίζουμε την νέα ταχύτητα διάδοσης αι την αταγράφουμε στον πίναα Γ. ΠΙΝΑΚΑΣ Β Τάση χορδής Συχνότητα f Aριθμός Μήος ύματος Tαχύτητα (Ν) (Hz) δεσμών (m) διάδοσης (m/s) 0, ,4 19,2 ΠΙΝΑΚΑΣ Γ Τάση χορδής (Ν) Συχνότητα f (Hz) Aριθμός δεσμών Μήος ύματος (m) Tαχύτητα διάδοσης (m/s) 0, ,4 26,4 Παρατηρούμε πως ο διπασιασμός της τάσης είχε ως αποτέεσμα αύξηση της ταχύτητας. Συγεριμένα, ενώ θεωρητιά προβέπεται F1 u1 μ F1 0,43 1 = = = = = 0,71, u F 2 2 F2 0,86 2 μ Πειραματιά υποογίζεται: m 19,2 u1 = s = 0,73 u m 2 26,4 s Βιβιογραφία Serway: «Physics for Scientists and Engineers» Τόμος ΙΙΙ Τσούνης Βασίειος «ΦΥΣΙΚΗ Θετιής & Τεχνοογιής Κατεύθυνσης»

8 7 Παρατήρηση Στις θεωρητιές επισημάνσεις μεετήσαμε το μοντέο μιας χορδής στερεωμένης στα δύο της άρα, άτι που σημαίνει πως τα δύο της άρα είναι απαραίτητα δεσμοί. Στην πειραματιή μας διάταξη το ένα άρο είναι στερεωμένο, στο άο όμως βρίσεται η πηγή παραγωγής τααντώσεων. Η διάταξη μας δίνει όμως αποτεέσματα πάρα πού οντά στις θεωρητιές προβέψεις. Ας δούμε γιατί. Καθώς η πηγή πάεται, δημιουργούνται εγάρσια ύματα, τα οποία μεταδίδονται στη χορδή αι αναώνται στο αινητοποιημένο άρο της χορδής. Είδαμε όμως, πως η χορδή έχει ιδιοσυχνότητες ταάντωσης οι οποίες εξαρτώνται από την γραμμιή πυνότητα μάζας της, από την τάση της αι από το μήος της. Όταν η συχνότητα της πηγής γίνει ίση με μία από τις ιδιοσυχνότητες της χορδής, τότε δημιουργούνται στάσιμα ύματα αι η χορδή πάεται με μέγιστο πάτος.. Το σταθερό άρο της χορδής είναι, προφανώς, δεσμός ενώ το άο άρο της που είναι στερεωμένο στην πηγή, είναι σχεδόν δεσμός, διότι το πάτος ταάντωσης της πηγής είναι πού μιρότερο από το πάτος ταάντωσης της χορδής.