ΗΜΥ 445 Βέλτιστη ένταξη μονάδων Δυναμικός προγραμματισμός

Transcript

1 ΗΜΥ 445 Βέλτιστη ένταξη μονάδων Δυναμικός προγραμματισμός Δρ. Ηλίας Κυριακίδης Λέκτορας ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ 7 Ηλίας Κυριακίδης, Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Πανεπιστήμιο Κύπρου

2 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΣ ΣΗΜΕΡΑ Ένταξη μονάδων παραγωγής (unit commitment) Στόχοι ένταξης μονάδων Περιορισμοί Μέθοδοι επίλυσης Δυναμικός προγραμματισμός

3 ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ (UNIT COMMITMENT) Η ηλεκτρική ζήτηση μεταβάλλεται ακολουθώντας τον κύκλο της ανθρώπινης δραστηριότητας. Διαφορετική ζήτηση φορτίου τη μέρα και διαφορετική τη νύκτα. Διαφορετική ζήτηση από μέρα σε μέρα και από εβδομάδα σε εβδομάδα. Διαφορετική ζήτηση από εποχή σε εποχή. MW Load PEAK LOAD INTERMEDIATE LOAD BASE LOAD t hrs

4 ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ (UNIT COMMITMENT) Ποιες μονάδες πρέπει να έχουμε ενταγμένες στο σύστημα σε κάθε ώρα της ημέρας; Απλή λύση: Να έχουμε όλες τις μονάδες ενταγμένες συνεχώς Πρόβλημα: Κόστος λειτουργίας πολύ ψηλό. Θέλουμε να βρούμε την πιο οικονομική λύση που ταυτόχρονα να ικανοποιεί το φορτίο που αναμένουμε να έχουμε. To commit = to turn on

5 ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ (UNIT COMMITMENT) Ορισμός προβλήματος ένταξης μονάδων: Ποιο υποσύνολο (subset) μονάδων πρέπει να είναι ενταγμένο (committed) στο σύστημα για ένα δεδομένο χρονικό διάστημα; Στόχος ένταξης μονάδων: Ελαχιστοποίηση κόστους παραγωγής εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα ότι υπάρχει αρκετή παραγωγή για να καλύψει τη ζήτηση. Το UC γίνεται συνήθως σε διαστήματα 1 ώρας για μια περίοδο 1 ή εβδομάδων (κάποτε περισσότερο). Βασίζεται στην πρόβλεψη φορτίου.

6 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Ομοιότητες Ελαχιστοποιούν το κόστος Είναι προβλήματα βελτιστοποίησης Διαφορές Η ένταξη μονάδων γίνεται off-line και αρκετά προηγουμένως. Η οικονομική κατανομή γίνεται σχεδόν real-time. Η ένταξη μονάδων λαμβάνει υπόψη τα κόστη εκκίνησης (start up) και κράτησης (shut down) Η ένταξη μονάδων επιλέγει ένα υποσύνολο μονάδων που πρέπει να ενταχθούν στο σύστημα, ενώ η οικονομική κατανομή αποφασίζει την παραγωγή κάθε μονάδας σε αυτό το υποσύνολο

7 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ (i) Ύπαρξη αρκετών ενταγμένων μονάδων ώστε να καλύπτουν τη ζήτηση. Μονάδες που πρέπει να είναι ενταγμένες (must-run units): μονάδες βάσης (base units) και μονάδες που έχουν προγραμματιστεί να είναι ενταγμένες στη συγκεκριμένη χρονική περίοδο (pre-scheduled units). Μονάδες που δεν πρέπει να είναι ενταγμένες (must-out units): μονάδες σε συντήρηση (maintenance) και μονάδες που βρίσκονται εκτός λειτουργίας λόγω σφάλματος (forced outage).

8 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ (ii) Ελάχιστος χρόνος λειτουργίας (minimum up time): από τη στιγμή που εντάσσεται μια μονάδα, πρέπει να περάσει ένας ελάχιστος χρόνος πριν να μπορεί να αποσυνδεθεί από το δίκτυο. Ελάχιστος χρόνος κράτησης (minimum down time): από τη στιγμή που θα αποσυνδεθεί μια μονάδα από το δίκτυο, πρέπει να περάσει ένας ελάχιστος χρόνος πριν να μπορέσει να επανασυνδεθεί. Περιορισμοί προσωπικού (crew constraints): μερικοί σταθμοί με δύο ή περισσότερες μονάδες μπορεί να μην έχουν τον απαραίτητο αριθμό προσωπικού που να τους επιτρέπει την ταυτόχρονη ένταξη μονάδων. Περιορισμοί καυσίμου (fuel constraints): Περιορισμοί στο ρυθμό τροφοδοσίας, βλάβες στο σύστημα τροφοδοσίας.

9 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΕΝΤΑΞΗΣ ΜΟΝΑΔΩΝ (iii) Στρεφόμενη εφεδρεία (spinning reserve): Σε περίπτωση απώλειας μιας ενταγμένης μονάδας, οι υπόλοιπες ενταγμένες μονάδες πρέπει να έχουν την ικανότητα να καλύψουν το φορτίο για το οποίο ήταν υπεύθυνη η μονάδα που απωλέσθηκε. Στρεφόμενη εφεδρεία = P generating capacity - P load - P losses Διάφοροι κανόνες για στρεφόμενη εφεδρεία: (α) στρεφόμενη εφεδρεία = ένα ποσοστό του φορτίου (β) στρεφόμενη εφεδρεία = παραγωγή της μεγαλύτερης μονάδας (γ) άλλοι κανόνες Υπάρχουν επίσης διάφορες κατηγορίες στρεφόμενης εφεδρείας: - Πρωτεύουσα (primary) - Δευτερεύουσα (secondary) - Τριτεύουσα (tertiary) Κάθε κατηγορία έχει σχέση με τον χρόνο απόκρισης του συστήματος στην κάλυψη των αναγκών που δημιουργούνται.

10 ΚΟΣΤΟΛΟΓΗΣΗ Κόστος εκκίνησης (start-up cost): Η εκκίνηση των ατμοηλεκτρικών μονάδων είναι μια πολύπλοκη και χρονοβόρα διαδικασία και έχει σημαντικό κόστος. Δύο ειδών εκκινήσεις: -- Ψυχρή εκκίνηση (Cold start) (μέγιστο κόστος) -- Θερμή εκκίνηση (Hot start) (μικρότερο κόστος) Άρα, πρέπει επίσης να σκεφτούμε πως θα χειριστούμε μια μονάδα που αποσυνδέουμε από το δίκτυο: Keep warm -- Επιτρέπουμε στο λέβητα (boiler) να κρυώσει και μετά να τον ξαναζεστάνουμε όταν χρειαστεί να επανασυνδεθεί; -- Ή παρέχουμε το απαραίτητο καύσιμο ούτως ώστε να διατηρήσουμε το λέβητα στην απαραίτητη θερμοκρασία; Cost ( ) Fixed cost Allow cooling Σημείο εξισορρόπησης (break-even point) Time of restarting (h)

11 ΚΟΣΤΟΛΟΓΗΣΗ Κόστος κράτησης (shut down cost): Η αποσύνδεση της μονάδας γίνεται σταδιακά αφού δεν μπορούμε να έχουμε απότομες αλλαγές θερμοκρασίας στη μονάδα => δαπάνη ενέργειας. Κόστος λειτουργίας Πιο απλή μοντελοποίηση: P cost = no load cost + IC*P

12 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Μέθοδος απαρίθμησης (enumeration method) Σειρά προτεραιότητας (priority list) Δυναμικός προγραμματισμός (dynamic programming) Μέθοδοι υπολογιστικής νοημοσύνης (computational intelligence techniques)

13 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Γράφουμε όλους τους συνδυασμούς μονάδων για κάθε χρονικό διάστημα και επιλέγουμε τον πιο φτηνό συνδυασμό Ν -1 συνδυασμοί για κάθε χρονικό διάστημα (συν ο συνδυασμός που όλες οι μονάδες είναι αποδεσμευμένες) Αν έχουμε Μ χρονικά διαστήματα, τότε ( Ν -1) Μ συνδυασμοί Άρα έχουμε ένα πολύ μεγάλο αριθμό συνδυασμών => το πρόβλημα γίνεται εύκολα περίπλοκο Για παράδειγμα, αν θέλουμε να λύσουμε το πρόβλημα ένταξης μονάδων για μια ημέρα (4 περίοδοιτηςμιαςώρας) για ένα δίκτυο 4 μονάδων, τότε θα έχουμε ( 4-1) 4 = 1.68x1 8 συνδυασμούς.

14 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα με τρεις μονάδες: -- Μονάδα 1: F 1 = P P1 /h P 1max = 6 MW P 1min = 18 MW -- Μονάδα : F = + 8.6P +. P max = 4 MW P min = MW 3 P -- Μονάδα 3: F 3 = + 8.P P 3max = MW P 3min = 6 MW 1 P 3 /h /h

15 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Αν έχουμε ένα φορτίο 56 MW ποιος είναι ο συνδυασμός μονάδων που θα δημιουργήσει τις συνθήκες για την πιο οικονομική παραγωγή; Υπάρχουν 3-1 = 7 συνδυασμοί Για να βρούμε το φορτίο που αναλογεί σε κάθε μονάδα εφαρμόζουμε κάθε φορά ένα αλγόριθμο οικονομικής κατανομής (π.χ. lambda iteration).

16 ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Μονάδες Όρια συνολικής παραγωγής Παραγόμενη ισχύς ανά μονάδα Κόστος ανά μονάδα Συνολικό κόστος 1 3 Ελάχιστο Μέγιστο P 1 P P 3 F 1 F F 3 F T off off off off οff οn 6 ανέφικτο off οn οff 4 οff οn on οn οff off οn οff on on on off on on on Αν θέλαμε να παρέχουμε ισχύ για φορτίο 1 MW ποιες μονάδες θα δεσμεύαμε; Απάντηση: Τις μονάδες 1 και (ελάχιστα πιο φτηνό)

17 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ (PRIORITY LIST) Είναι η πιο απλή μέθοδος. Μπορεί να γίνει -- Με τη χρήση της απαρίθμησης (enumeration) όλων των πιθανών συνδυασμών για κάθε φορτίο. -- Με τον υπολογισμό του μέσου κόστους παραγωγής (σε πλήρες φορτίο) κάθε μονάδας (πιο απλό).

18 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ (PRIORITY LIST) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο παράδειγμα, F1 = P1 +.16P1, 18 P1 6 = P +.P, P 4 3 = P3 +.61P3, 6 P3 F F Μέσο κόστος παραγωγής (σε πλήρες φορτίο): Μονάδα 1: F 1 (6)/6 =.833 /MWh Μονάδα : F (4)/4 = 1.1 /MWh Μονάδα 3: F 3 ()/ = 1.6 /MWh Επομένως η σειρά προτεραιότητας για αυτές τις μονάδες είναι: 1,, 3

19 ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ (PRIORITY LIST) Αγνοώντας περιορισμούς όπως ελάχιστος χρόνος λειτουργίας, ελάχιστος χρόνος κράτησης κλπ., μπορούμε να βρούμε τους ακόλουθους συνδυασμούς βασισμένοι στη σειρά προτεραιότητας: Συνδυασμός Ελάχιστη παραγωγή (MW) Μέγιστη παραγωγή (MW) Επομένως, αν λειτουργούμε στα 7 MW, θα είναι ενταγμένες οι μονάδες 1 και. Αν στη συνέχεια μειωθεί το φορτίο στα 5 MW, η μονάδα θα αποδεσμευθεί. Σημείωση: Αυτός ο τρόπος επίλυσης δεν είναι απαραίτητα ο πιο ορθός ή ακριβής.

20 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ DYNAMIC PROGRAMMING Είναι μια μέθοδος βελτιστοποίησης. Υπάρχει η δυνατότητα αξιολόγησης ενός μεγάλου αριθμού αποφάσεων σε ένα πρόβλημα με πολλά βήματα. Για κάθε πιθανή απόφαση υπάρχει κόστος το οποίο μπορεί να επηρεάζεται από προηγούμενες αποφάσεις. Επίσης, υπάρχει κόστος μετάβασης από μια απόφαση σε άλλη. Στόχος: Να λαμβάνεται η απόφαση σε κάθε βήμα του προβλήματος η οποία να ελαχιστοποιεί το κόστος για όλες τις αποφάσεις που λαμβάνονται. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για διάφορα προβλήματα. Στην Μηχανική Ηλεκτρικής Ισχύος χρησιμοποιείται για: -- Οικονομική κατανομή μονάδων -- Υδροθερμικό οικονομικό προγραμματισμό -- Ένταξη μονάδων

21 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βρείτε το ελάχιστο κόστος μετάβασης από το στάδιο Α στο στάδιο L. Καταστάσεις (states) A START B C D E 8 7 G I K 3 5 L FINISH F H Κόστος μετάβασης από μια κατάσταση (state) σε άλλη Στάδια (stages) Κόστος διαδρομής ή branch cost ή path cost Σε περίπτωση προβλήματος μεγιστοποίησης αυτά είναι κέρδη (profits)

22 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Απαγορευμένη κατάσταση (forbidden state) A START B C D E 8 7 G Χ I K 3 5 L FINISH F H Απαγορευμένη διαδρομή (forbidden path)

23 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μπορούμε να δοκιμάσουμε διάφορες διαδρομές, π.χ. την μπλε διαδρομή A START B C D E 8 7 G I K 3 5 L FINISH F H Κόστος = = 8

24 Ή την πράσινη διαδρομή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ A START B C D E 8 7 G I K 3 5 L FINISH F H Κόστος = = 1

25 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Υπάρχουν πολλά μονοπάτια που πρέπει να δοκιμάσουμε. Σε μεγάλα προβλήματα δεν είναι καθόλου εύκολο εγχείρημα (curse of dimensionality). Πως μπορούμε να βρούμε τη βέλτιστη λύση (σε αυτή την περίπτωση το ελάχιστο); Απάντηση: Με προς τα εμπρός δυναμικό προγραμματισμό (forward DP) ή προς τα πίσω δυναμικό προγραμματισμό (backward DP)

26 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ -- Υπολογίζουμε το κόστος σε κάθε ενδιάμεση κατάσταση Ελάχιστο κόστος για το στάδιο Κ και την κατάσταση Ι: F cost ( K, I ) = min[ Pcost( K, I ) + Scost( K 1, L : K, I ) + Fcost { L} ( K 1, L)] όπου L: όλες οι καταστάσεις που οδηγούν στην κατάσταση Ι Pcost( K, I ): εσωτερικό κόστος για την κατάσταση Ι στο στάδιο Κ (π.χ. κόστος παραγωγής) Scost( K 1, L : K, I ): Κόστος μετάβασης από την κατάσταση L στο στάδιο Κ-1 στην κατάσταση Ι στο στάδιο Κ (π.χ. κόστος εκκίνησης ήκράτησης)

27 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Προς τα εμπρός ΔΠ (forward DP): B 7 D G I A START C 5 E 8 7 K 18 3 L FINISH F 4 H 3

28 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Ακολουθούμε την αντίστροφη διαδρομή (προς τα πίσω) για να βρούμε ποια μονοπάτια είναι στη βέλτιστη διαδρομή B 7 D G I A START C 5 E 8 7 K 18 3 L FINISH F 4 H 3

29 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΑΓΓΕΛΙΑΦΟΡΟΥ Βρείτε τη διαδρομή με το λιγότερο κόστος. 13 A START 5 B 5 C 3 6 D 3 H E I 3 L F 5 J 8 M N G 4 K 13 FINISH

30 ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΔΠ (BACKWARD DP) Υπολογίστε το μέγιστο κέρδος από τις αριστερές καταστάσεις στην δεξιά τελική κατάσταση. A 8 D 7 F B C 7 E 5 1 G H 1 7 I

31 ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΔΠ (BACKWARD DP) Υπολογίστε το μέγιστο κέρδος από τις αριστερές καταστάσεις στην δεξιά τελική κατάσταση. 16 A 8 8 D 7 F B C G 5 E H I

32 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Βρείτε το ελάχιστο κόστος ξεκινώντας από οποιοδήποτε σημείο στα αριστερά και καταλήγοντας σε οποιοδήποτε σημείο στα δεξιά A 7 C F H 1 B 5 D I E 8 7 G

33 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Για να λύσουμε εύκολα το πρόβλημα προσθέτουμε μια κατάσταση (state) στην αρχή και μια στο τέλος με μηδενικό κόστος μονοπατιού (zero branch cost). Ακολούθως χρησιμοποιούμε είτε προς τα εμπρός ΔΠ είτε προς τα πίσω ΔΠ. G F H I 8 D B A C E J K

34 ΕΝΤΑΞΗ ΜΟΝΑΔΩΝ ΜΕ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Παράδειγμα: Έστω ότι έχουμε δύο μονάδες και θέλουμε να βρούμε την βέλτιστη ένταξη τους για 3 περιόδους της μιας ώρας με φορτία 3 MW, 45 MW και 61 MW. Αρχικές συνθήκες: και οι δυο μονάδες δεσμευμένες Μονάδα Unit Κόστος εκκίνησης Start up cost ( ) Κόστος κράτησης Shut down cost ( ) Διαφορικό κόστος Incremental cost ( /MWh) Κόστος χωρίς φορτίο P min No load cost (MW) ( ) P max (MW) Τρεις πιθανοί συνδυασμοί (καταστάσεις) σε κάθε περίοδο (στάδιο): 1 4 MW max 1 5 MW max 1 1 MW max Unit Unit 1

35 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αδύνατες (infeasible) (φορτίο μεγαλύτερο από την παραγωγή) Αρχικές συνθήκες t = -1h t = 1-h t = -3h

36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τοποθέτηση κόστων εκκίνησης και κράτησης 1 Κόστος κράτησης μονάδας t = -1h t = 1-h t = -3h

37 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Λειτουργικά κόστη σε κάθε στάδιο και κατάσταση Έστω ότι φορτώνουμε στο μέγιστο την πιο φτηνή γεννήτρια Π.χ. Στην περίοδο, P load = 45 MW P 1 = 1 MW (ελάχιστο) P = 35 MW Έστω ότι η χαρακτηριστική κόστους-ισχύος είναι γραμμική. N => Pcost ( K, I ) (no load cost + IC * P) = units 1 Για το παράδειγμα, P cost (,3) = (1 + 1*1) + (5+35*) = 43

38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Τοποθέτηση λειτουργικών κόστων t = -1h t = 1-h t = -3h 3 MW 45 MW 61 MW

39 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Επίλυση με προς τα εμπρός δυναμικό προγραμματισμό = min t = -1h t = 1-h t = -3h 3 MW 45 MW 61 MW

40 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΕ ΣΕΙΡΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑΣ -- Τι γίνεται όμως αν είχαμε περισσότερες μονάδες, π.χ. 4; -- Θα είχαμε για το ίδιο πρόβλημα ( 4-1) 3 = 3375 πιθανούς συνδυασμούς. -- Για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα, συνδυάζουμε το δυναμικό προγραμματισμό με τη μέθοδο της σειράς προτεραιότητας. -- Επομένως, θα έχουμε μόνο N πιθανές καταστάσεις σε κάθε στάδιο και άρα Ν Μ συνδυασμούς (στο παράδειγμα μας, 4 3 = 64). -- Βέβαια, αυτό δεν εγγυάται τη βέλτιστη λύση

41 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μον. P min Unit (MW) 1 P max (MW) 1 Διαφ. κόστος Incr. cost ( /MWh) Κόστος χωρίς φορτίο No load cost ( ) Κόστος εκκίνησης Start up cost ( ) 3 Κόστος κράτησης Shut down cost ( ) 5 Αρχικές συνθήκες - ΟΝ (+h) OFF (-h) Min time UP DOWN Κύκλος φορτίου (load cycle) Ώρα Φορτίο F cost = no load cost + IC*P Αρχική συνθήκη: 1 1

42 Σειρά προτεραιότητας ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μέσο κόστος παραγωγής (σε πλήρες φορτίο): Μονάδα 1: F 1 (1)/1 = (+1*)/1 = /MWh Μονάδα : F (5)/5 = (3+5*18)/5 = 1. /MWh Μονάδα 3: F 3 (3)/3 = (35+3*17)/3 = /MWh Μονάδα 4: F 4 (8)/8 = (15+8*3)/8 = 4.88 /MWh Σειρά προτεραιότητας: 3,, 1, 4 Θα έχουμε 4 συνδυασμούς: A1: 1 P max = 3 MW A: 1 1 P max = 55 MW A3: P max = 65 MW A4: P max = 73 MW δεν ικανοποιεί κανένα φορτίο => infeasible

43 1 1 Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Αδύνατα μονοπάτια (infeasible). Όταν η μονάδα 1 είναι δεσμευμένη, πρέπει να μείνει δεσμευμένη για δυο ώρες τουλάχιστον. Μπορεί να είναι αδύνατα μονοπάτια, αν η προηγούμενη κατάσταση είναι η (,1) Α Α4 5 t = t = -1h t = 1-h t = -3h t = 3-4h t = 4-5h

44 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Λειτουργικά κόστη Για παράδειγμα, στο στάδιο 3, κατάσταση : A3: +5*+3+5* *17 = 1145

45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 1 Α Α Α t = t = -1h t = 1-h t = -3h t = 3-4h t = 4-5h

46 ΑΛΛΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Το πρόβλημα της ένταξης μονάδων μπορεί να γίνει ακόμη πιο πολύπλοκο ή πιο απλό. Κάποιες άλλες σημαντικές πληροφορίες: Μονάδεςοιοποίεςπρέπειναείναισυνεχώςενταγμένες(base units) Μικρές μονάδες που μπορεί να αγνοηθούν Μονάδες που λειτουργούν βάση συμβολαίου Απαιτήσεις για στρεφόμενη εφεδρεία Μείωση ατμοσφαιρικών ρύπων Διαθεσιμότητα καυσίμων