Relativité Générale E C O L E N A T I O N A L E S U P É R I E U R E D E T E C H N I Q U E S A V A N C É E S

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1 Relativité Générale E C O L E N A T I O N A L E S U P É R I E U R E D E T E C H N I Q U E S A V A N C É E S L A B O R A T O I R E D E M A T H É M A T I Q U E S A P P L I Q U É E S - p. 1/30

2 Relativité générale Principe d équivalence Dans un champ de gravitation uniforme g (celui régnant dans tous les laboratoires de physique normaux ), un corps ponctuel de masse m constante, voit son accélération a vérifer l équation m i a = mg g (1) m i = m g = a = g il y a équivalence entre un champ de gravitation homogène et une accélération absolue : C est la fameuse expérience de l ascenseur d Einstein. - p. 2/30

3 Tout ceci n est que local... Un champ de gravitation peut être localement compensé par une accélération absolue ou bien D un point de vue local, il n y a pas de différence entre un champ de gravitation et une accélération absolue" Principe d équivalence faible. - p. 3/30

4 Conséquences du principe d équivalence R en chute libre dans un champ de gravitation strictement uniforme : R galiléen. Par essence, un champ de gravitation ne peut être partout constant : Il faudrait qu il soit nul partout ou bien associé à une masse infinie. il n existe pas un référentiel galiléen (on dit aussi inertiel) global couvrant tout l univers! Principe de relativité généralisé : Les équations de la physique s écrivent de la même façon dans tous les référentiels Conséquences : 1. Transformation de Lorentz n importe quel type de transformation de système de coordonnées (en particuliers non linéaire...) 2. Espacetemps de Minkowski (plat)à 4 dimensions Variété de Riemann (courbe) de dimension 4 : A chaque point est associé un espacetemps plat de Minkowski à 4 dimensions... - p. 4/30

5 Application du principe d équivalence Mouvement géodésique Particule libre de toute force autre que la gravitation... Principe d équivalence : il existe un référentiel inertiel local associé à des coordonnées ξ α dans lequel les équations du mouvement sont celles d une ligne droite dans l espace temps, c est-à-dire d 2 ξ α dτ 2 = 0 (2) dτ = élément de temps propre : ds 2 = c 2 dτ 2 = η αβ dξ α dξ β. Coordonnées inertielles locales ξ α = ξ α (x µ ) Coordonnées quelconques : x µ, (2) devient Γ λ µν := xλ ξ α d 2 x λ dτ 2 + dx µ Γλ µν dτ dx ν dτ = 0 (3) 2 ξ α x µ : Symbole de connexion affine. xν - p. 5/30

6 Connexion affine et tenseur métrique Coordonnées inertielles : ds 2 = η αβ dξ α dξ β Coordonnées quelconques : ds 2 ξ α ξ β = η αβ x µ x ν dxµ dx ν := g µν dx µ dx ν en dérivant g µν par rapport à x λ il vient (η αβ =cste) λ g µν = η αβ (Γ ρ λµ ξ α ξ β x ρ x ν + Γρ λν ξ α ξ β x µ x ρ ) (4) qui s écrit encore en utilisant la définition du tenseur métrique λ g µν = Γ ρ λµ g ρν + Γ ρ λν g ρµ (5) en se livrant à un petit jeu de permutation d indices on obtient directement µ g λν = Γ ρ µλ g ρν + Γ ρ µν g ρλ et ν g µλ = Γ ρ νµ g ρλ + Γ ρ νλ g ρµ (6) Γ γ αβ a ses deux indices du bas qui commuttent, ainsi λ g µν + µ g λν ν g λµ = Γ ρ λµ g ρν + Γ ρ λν g ρµ + Γ ρ µλ g ρν + Γ ρ µν g ρλ Γ ρ νλ g ρµ Γ ρ νµ g ρλ = 2Γ ρ λµ g ρν (7) - p. 6/30

7 multipliant cette expression par la métrique inverse il vient ( λ g µν + µ g λν ν g λµ ) g νσ = 2Γ ρ λµ g ρν g νσ = 2Γ ρ λµ δσ ρ (8) nous avons donc explicité le symbole de connexion affine en fonction de la métrique et de ses dérivées premières, en notation à virgule, on a Γ σ λµ = 1 2 (g µν,λ + g λν,µ g λµ,ν ) g νσ (9) - p. 7/30

8 La connexion affine n est pas un tenseur! connexion affine indices tenseur? Test du changement de repère. Dans le référentiel inertiel local ξ α (x µ ) et Γ λ µν = xλ 2 ξ α ξ α x µ x ν, passant de xµ à x µ nous avons Γ λ µν = x λ ξ α = x λ x ρ x ρ ξ α = x λ x ρ x ρ ξ α 2 ξ α x µ x ν x µ ( ξ α x σ ) x σ x ν ( 2 ξ α x τ x σ ξα x σ x τ x µ + x ν x σ 2 x σ ) x ν x µ en faisant apparaître la connexion dans le second membre, il vient Γ λ µν = Γ ρ στ x τ x σ x λ x µ x ν x ρ + x λ x σ (10) 2 x σ x ν x µ (11) - p. 8/30

9 Les objets xτ x λ ou bien sont tensoriels : généralisation non linéaire des x µ xρ transformations de Lorentz A α β := x α x β et A α β := xβ x α (12) Sommation indices rapprochés La relation (11) s écrit simplement Γ λ µν = A µ τ A ν σ A λ ρ Γ ρ στ + A λ σ 2 x σ x ν x µ (13) le premier terme de cette relation est donc manifestement covariant, la présence du second terme (inhomogène), ne permet donc pas au symbole de connexion affine d accéder au statut tant recherché de tenseur. - p. 9/30

10 Dérivée covariante Nécessité d une nouvelle dérivée Dérivée d un vecteur µ A ν = Objet tensoriel? Test : V µ = A µ νv ν et A µ ν = x µ x, ainsi en dérivant V µ par rapport à x λ il ν vient V µ = V ν x µ x λ x λ x ν + V ν 2 x µ x ν x λ = x µ x ν x ρ x λ V ν x ρ + V ν 2 x µ x ν x λ (14) = A µ ρ ν A V ν λ x ρ + V ν 2 x µ x ν x λ... premier terme : manifestement covariant, mais le second ne l est pas! - p. 10/30

11 + = dérivée... µ V x λ = Aµ ρ ν A V ν λ x ρ + V ν connexion... Γ λ µν = A µ τ A ν σ A λ ρ Γ ρ στ + A λ σ un " petit" calcul fournit 2 x µ x ν x λ Γ λ µνv ν = A µ τ A λ ρ V σ Γ ρ στ A µ σ V ρ 2 x λ un peu d astuce permet alors de voir que l on a V λ ( ) x µ + Γ λ µνv ν = A λ σ V ρ ρ A µ x σ + Γρ ασv α Il s agit donc d un objet tensoriel... la dérivée covariante (15) 2 x σ x ν x µ (16) x ρ x σ (17) (18) - p. 11/30

12 notera Propriétés V ρ x σ + Γρ ασv α = En généralisant les notations α V β = V β,α, on { σ V ρ + Γ ρ ασv α := D σ V ρ V ρ,σ + Γ ρ ασv α := V ρ ;σ (19) Linéarité : (a A µ ν + b B µ ν) ;σ = a A µ ν;σ + b B µ ν;σ Identité de Liebniz du produit (A µ ν B ρ ) ;σ = A µ ν;σ B ρ + A µ ν B ρ ;σ La dérivée covariante du tenseur métrique est nulle : g µν ker (D λ ) La dérivée d un scalaire est un objet tensoriel. Pour tout scalaire f on doit donc avoir f,σ = f ;σ. Tout scalaire s écrit comme un produit scalaire : f = V ρ V ρ, on en déduit généralisation... D σ V ρ := V ρ;σ = V ρ x σ Γα ρσv α (20) D ρ T µν σ := T µν σ;ρ = T µν σ,ρ + Γ µ αρt αν σ + Γ ν αρt µα σ Γ α σρt µν α (21) - p. 12/30

13 Dérivée covariante le long d une courbe Tenseurs définis uniquement sur une courbe paramétrée,... Z µ := Z(x µ (τ))....changement de repère... Z µ = x µ x ν Zν = A µ ν Z ν (22)... dérivée par rapport au paramêtre non covariante... dz µ dτ = A µ ν dz ν dτ + 2 x µ x ν x λ x λ Dérivée covariante le long d une courbe paramétrée par τ, τ Zν (23) qui vérifie bien DZ µ Dτ := dzµ dτ + dx λ Γµ λν dτ Zν (24) DZ µ Dτ = A µ ν DZ ν Dτ (25) - p. 13/30

14 Mouvement géodésique Mécanique classique : Particule libre d v = 0 Mécanique relativiste : équation dt des géodésiques d2 x λ dτ 2 + dx µ dx ν Γλ µν = 0. Remarque : dérivée covariante de dτ dτ la 4 vitesse par rapport au temps propre Du µ Dτ = d2 x λ dτ 2 + dx µ Γλ µν dτ dx ν dτ (26) Ainsi l équation des géodésiques ne dit pas autre chose que Duµ Dτ = 0 Le mouvement géodésique est comme rien! Principe de correspondance Relativité Restreinte η µν µ Relativité Générale g µν D µ - p. 14/30

15 Déviation géodésique : Courbure 2 géodésiques voisines (même abscisse curviligne...) G (resp. G + δg) : ensemble des points M (resp. M + δm) de coordonnées x µ (τ) (resp. y µ (τ) = x µ (τ) + δx µ (τ)) qui vérifient l équation D Dτ Le calcul montre que D Dτ d(x µ y µ ) dτ dx µ dτ = d2 x λ dτ 2 + Γλ µν(x) dxµ dτ = d2 δx µ dτ 2 + ( ρ Γ µ dxλ λν ) δxρ dτ dx ν dτ = 0 au premier ordre, une réecriture permet d avoir D 2 ( δx λ) dx ν dτ + dx ν 2Γµ λν dτ Dτ 2 = ( κ Γ λ µν ν Γ λ µκ + Γ λ ηκγ η µν Γ λ νηγ η µκ resp. yµ (τ) d ( δx λ) dτ ) δx µ dxκ dτ dx ν dτ = O(δx µ ) (27) (28) - p. 15/30

16 il suffit de poser R λ νµκ := κ Γ λ µν ν Γ λ µκ + Γ λ ηκγ η µν Γ λ νηγ η µκ. (29) dont chacun peut vérifier qu elle vérifie [D α, D β ]A µ := D α D β A µ D β D α A µ := A µ;α;β A µ;β;α = R λ µαβ A λ (30) Le transport parallèle le long d une courbe fermée ne laisse pas invariant un vecteur si la courbe n est pas plane! - p. 16/30

17 L équation de déviation géodésique devient D 2 ( δx λ) Dτ 2 = R λ νµκ δx µ dxκ dτ dx ν dτ (31) le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel force qui viendrait rappeler la particule sur la géodésique G lorsqu elle s écarte de la trajectoire naturelle de chute libre. Propriétés de la courbure de Riemann-Christoffel Antisymétrie 1 : R λ νµκ = R λ νκµ Courbure complètement covariante : R µναβ = g σµ R σ ναβ ou plus "explicitement" R λµνκ = 1 2 [g νλ,µ,κ + g µν,λ,κ g λκ,ν,µ + g µκ,ν,λ ] [ +g ησ Γ η λν Γσ µκ Γ η ] λκ Γσ µν (32) Symétrie par paire d indices : R λµνκ = R νκλµ - p. 17/30

18 Antisymétrie 2 : R λµνκ = R µλνκ = R λµκν = R µλκν Cyclicité : R λµνκ + R λκµν + R λνκµ = 0 Homogénéité :R λλνκ = R νκµµ = 0 Identité de Bianchi : R µναβ;λ + R µνλα;β + R µνβλ;α = 0 Une contraction : Tenseur de Ricci R νβ = g µα R µναβ (33) ou bien R νβ = Γ λ νλ,β + Γ λ νβ,λ + Γ σ νλγ λ βσ Γ λ νβγ σ λσ (34) Deux contractions : courbure scalaire R = g µν R µν = g µν g αβ R µναβ = g µν R β µβν (35) Exercice!!! Montrer que la courbure scalaire d une sphère de rayon r est une constante R = 2/r 2. Indication ds 2 = r 2 ( dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2) - p. 18/30

19 Une remarque remarquable Identité de Bianchi : R λµνκ;η + R λµην;κ + R λµκη;ν = 0 Comme g µν ker (D λ ), en contractant chacun des termes de l identité de Bianchi par g λν il vient R µκ;η R µη;κ + R ν µκη;ν = 0 (36) Si l on contracte à présent par g µκ il ne reste plus que quelques manipulations fournissent R ;η 2R κ η;κ = 0 (37) R ;η 2R κ η;κ = 0 δ κ η R ;κ 2R κ η;κ = 0 ( R κ η 1 2 δκ η R ) ;κ = 0 gην ( R κ η 1 2 δκ η R ) ;κ = 0 [ g ην ( R κ η 1 2 δκ η R )] ;κ = 0 [ R κν 1 2 gκν R ] ;κ = 0 (38) en introduisant le tenseur de rang 2 symétrique G µν := R µν 1 2 gµν R appelé tenseur d Einstein, notre double contraction de l identité de Bianchi montre donc que G µν ;µ = 0, c est-à-dire : G µν ker (D µ ) (39) - p. 19/30

20 Remarques préliminaires Equations d Einstein R1 Forme de l action Relativité restreinte Equations de la physique : S = Ld 4 x L : scalaire S covariant. En relativité générale ce n est plus vrai...! Lors d une transformation x x g µν = A ρ µ A σ ν g ρσ = xρ x σ x µ x ν g ρσ (40) en prenant le déterminant il vient g g = (x) (x ) 2 avec g = det g µν, g = det g µν et le jacobien de la transformation. (x) (x ) ainsi gd 4 x = g (x) (x ) d4 x = g g g d4 x = g d 4 x (41) est un élément de volume covariant. En relativité générale, les actions s écrivent donc S = L gd 4 x avec L scalaire (42) - p. 20/30

21 R3 Deux déductions possibles R2 Nature de l action Relativité restreinte (Electromagnétisme) S = S pl + S i + S cl = S matière Relativité générale (principe d équivalence) Gravitation Courbure S courbure S total = S matière + S courbure à la Einstein à la Hilbert - p. 21/30

22 Déduction "à la Hilbert" L action de courbure et sa variation δs c = 1 2χ L c = R (Hilbert,Ricci,Cartan,Weyl,...) ainsi S c = 1 R gd 4 x = 1 g µν R µν gd 4 x (43) 2χ 2χ χ : Constante à déterminer... [ R µν g + g µν δ ( g) R µν δg µν + g µν g δr ] µν δg µν δg µν d 4 x (44) La variation δ ( g) est la variation d une application composée : δ ( g ) = δ ([ det g µν ] 1 2 ) = 1 2 Différentielle du déterminant δ [ det A] = D (det A)(δA) = tr δ [ detg µν ] g (45) A est inversible, ÃT = det AA 1 et δ [ deta] = tr ( det AA 1 δa ).... A = g µν, A 1 = g µν... ( ) ÃT δa si - p. 22/30

23 On obtient δ ( g ) = g 2 gµν δg νµ g µν δr µν nécessite plus d attention... En fait... g 2 g µνδg µν (46) g µν gδr µν d 4 x = ( ga ν ) x ν d 4 x + ( gb λ ) x λ d 4 x avec a λ := g µν δγ λ µν, b ν := g µν δγ λ µλ et δγ λ µν := 1 2 gλρ [ (δg ρµ ) ;ν + (δg ρν ) ;µ (δg µν ) ;ρ ] sur le bord du domaine d intégration (i.e. loin de la source de gravitation), l espace est plat : [g µν ] Bord = [η µν ] [δg µν ] Bord = [δη µν ] = 0. L affreux terme s en va! - p. 23/30

24 Finalement, en rassemblant les 2 résultats δs c = 1 2χ [ R µν 1 2 R g µν] g δg µν d 4 x (47) On reconnait le fameux tenseur d Einstein G µν... L action de matière et sa variation Elle est de la forme S m = L m g d 4 x (48) L m : Décrit le contenu matériel (impulsion+énergie) de l espacetemps... On peut faire varier cette action générale... [ ] g L m g δs m = g µν δgµν L m 2 g µνδg µν d 4 x = [ Lm g µν 1 ] gδg 2 g µνl µν m d 4 x (49) en introduisant le tenseur énergie-implusion, elle s écrit δs m = 1 2 T µν gδg µν d 4 x (50) - p. 24/30

25 Equations du champ gravitationnel On annule la variation d action totale : δs t = δs c + δs m = 0 1 [ R µν 1 g µν] 2χ 2 R g δg µν d 4 x T µν gδg µν d 4 x = 0 (51) C est-à-dire G µν = R µν 1 2 R g µν = χ T µν Remarque G µν ker D µ Identité de Bianchi T µν ker D µ Conservation de l énergie-impulsion Mais nous savons que g µν ker D µ, donc Equation d Einstein Les éléments de ker D µ sont proportionnels... R µν 1 2 R g µν + Λg µν = χ T µν Λ : Constante cosmologique - p. 25/30

26 Déduction "à la Einstein" Electromagnétisme φ = 1 ǫ o ρ électrostatique Gravitation ψ = 4πGρ gravitostatique φ A µ ρ J µ ψ g µν ρ T µν ν ( µ A ν ν A µ ) = µ o J µ électrodynamique O g µν = χt µν gravitodynamique O : opérateur différentiel du second ordre... Ricci travaille pour Einstein : O g µν = G µν!!! - p. 26/30

27 Qui est χ Limite des champs faibles de la RG : Mécanique classique Les vitesses sont faibles devant c dx k dt c et comme x0 = ct dx k ds dx 0 ds (52) La métrique est quasi-minkowskienne g αβ = η αβ + h αβ avec h αβ 1 et h αβ η αβ (53) Champ stationaire 0 h αβ = 0 (54) à l ordre le plus bas, l équation des géodésiques d 2 x µ ds 2 + dx α Γµ αβ ds dx β ds = 0 devient d 2 x µ ds 2 + Γµ 00 ( ) dx (55) ds or Γ µ 00 = 1 2 gµρ ρ g 00 = 1 2 (ηµρ + h µρ ) ρ (η 00 + h 00 ) 1 2 ηµρ ρ h 00 - p. 27/30

28 L équation des géodésiques s écrit donc en champ statique faible Composante temporelle Rappel η = (+,,, ) d 2 x µ ds 2 = 1 ( ) dx ηµρ ρ h 00 (56) ds d 2 x 0 ds 2 = 1 ( ) dx η0ρ ρ h 00 = 0 car h est statique (57) ds ainsi dx0 ds = cste. Nous aurions pu nous en douter car dx0 = cdt et ds = cdt ( 1 + v 2 /c 2) 1/2, et donc sous nos hypothèses dx 0 ds 1 Composante spatiale d 2 x k ds = 1 h ds e 2 c 2 dt 2 k 2 PFD+Forces gravitationnelles : par identification nous avons donc d 2 x k dt 2 = c2 2 d 2 x k dt 2 = ψ. e k h 00. e k h 00 = cste + 2ψ c 2 soit g 00 = η ψ + cste. (58) c2 - p. 28/30

29 Loin de la faible source de gravitation, ψ = 0 et l espace est plat : g µν = η µν, donc g 00 = η 00 = 1. Ainsi g 00 = 1 + 2ψ c 2 Pour les autres composantes g ik = η ik, g 0i = g i0 = 0. g µν R αβµν R µν R R g00 R = + 2 c 2 ψ lorsque ψ c 2 (limite newtonienne), si l Univers est rempli d un gaz parfait de densité massique ρ, on a T 00 ρc 2 La composante purement temporelle des équations d Einstein s écrit alors R Rg00 = χt 00 2 ψ = χρc2 c2 Equation classique correspondante : Poisson ψ = 4πGρ, il convient donc de choisir χ = 8πG c 4 - p. 29/30

30 Bibliographie H. Weyl, Espace, temps, matière, Ed. A. Blanchard, 1958 S. Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley& Sons, 1972, R. Hakim, Gravitation relativiste, Collection savoirs actuels, Interéditions CNRS, 1994, C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler, Gravitation, Freeman and co. Ed., 1973, L. Landau et E. Lifchitz, Cours de physique théorique, tome 2 : Théorie des champs, Editions MIR Moscou, 1989, M. Carmeli, Classical Fields : General relativity and gauge theory, John Wiley & Sons, 1982, E. Elbaz, Relativité générale et gravitation, Editions Ellipses, 1986, - p. 30/30