Έλεγχος Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης

Transcript

1 Έλεγχος Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Κώστας Γλυκός Πίνακας Ελέγχου Υποθέσεων & Πίνακας Διαστημάτων Εμπιστοσύνης Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ 8 Ασκήσεις προς λύση Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Kglks.gr 3 / 1 0 / εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας : κινητό : Έλεγχος Υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 3 Παράμετρος γνωστό άγνωστο, γνωστές Υποθέσεις Ηο Υποθέσεις Η1 Στατιστικός Έλεγχος t s Κανόνας Απόρριψης, t t, t 1, 1, t t 1, t t 1, Διάστημα Εμπιστοσύνης Z a/ s t 1, a/, Z a 4 άγνωστες t t t, t όπου t t, 1 S 1 S t t,,, 1 1 t a, 5 άγνωστες t s όπου s S S v S S 1 1 t t, t t t v, v, tv, tv, s t s a v, 1

3 τηλ. Οικίας : κινητό : p p p p p p p p p p p p p p 0 p p 0 p p 0 p p 0 p p 0 p p 0 Z Z p p p (1) 0 p όπου p p p 1 1 p(1) p όπου p,,, a a 1,1 1, 1 S 1,1 a 1, a F F 1, 1 F 1, F a F 1, 1, a 1, 1, 1 F F 1, 1, a F F 1, 1, a p Z p p Z a p 1 p a p 1 p p 1 p S S, X X, a/,(1 a/) αν μ γνωστό αλλιώς όπου 1 S / S S / S, F F,, a/,,(1 a/) αν μ γνωστά αλλιώς όπου 1 1 Σε ένα πληθυσμό με μέση τιμή, διασπορά μπορώ να επιλέξω ένα δείγμα μεγέθους ν : 1,,..., v με σκοπό να ελέγξω τη μέση τιμή ή τη διασπορά του δείγματος. Ο έλεγχος γίνεται πάντα σε ένα επίπεδο σημαντικότητας α ή με βαθμό εμπιστοσύνης γ. 1 ο βήμα : Ορίζω τις υποθέσεις H, H1 όπου H 1 : αυτό που ζητάω να ελέγξω και H : το αντίθετο ο βήμα : καθορίζω την κρίσιμη περιοχή 3 ο βήμα : υπολογίζω την τιμή ενός κατάλληλου στατιστικού 4 ο βήμα : Αποφασίζω αν η τιμή του στατιστικού βρίσκεται μέσα στην κρίσιμη περιοχή οπότε απορρίπτω την H0 και δέχομαι την H1 5 ο βήμα : Το διάστημα εμπιστοσύνης εφόσον ζητηθεί το δημιουργώ

4 τηλ. Οικίας : κινητό : Για αποστήθιση, παρατήρησε ότι : Όπου είναι γνωστό το σ χρησιμοποιώ την κατανομή N 0,1 z t ) Όπου είναι άγνωστο το σ χρησιμοποιώ την κατανομή t 1 (το - σε δύο δείγματα: Όταν στην εναλλακτική υπόθεση H1 έχεις το ό :, ήt t, t 1, 1, Όταν στην εναλλακτική υπόθεση H1 έχεις το ό : ήt t 1, Όταν στην εναλλακτική υπόθεση H1 έχεις το ό : ήt t 1, Το διάστημα εμπιστοσύνης έχει την εξής μορφή : φαντάσου ότι κάνεις «χιαστή» τον στατιστικό έλεγχο με την αντίστοιχη κατανομή που χρησιμοποιείς (θέλει φαντασία αλλά ) p-value test Αν το p-value<α τότε απορρίπτω την H0 και δέχομαι την H1 Αν το p-value>α τότε απορρίπτω την H1 και δέχομαι την H0 T p value, εφαρμόζεται σε κατανομές που χρησιμοποιείς το z, οπότε στις περιπτώσεις που ελέγχεις με γνωστά τα και σε κατανομές που χρησιμοποιείς αντίστοιχα το t. έ ή p value P t ή t έ p value P z ή z εναλλακτική υπόθεση H1 Αν : 1 ή : 1, την ανίσωση την επιλέγεις από την τότε p value P z z έ έ 1... ή p value P t t 1 P t t... και το αποτέλεσμα το συγκρίνω με την τιμή του α (προσοχή : το θα μπει γιατί ο χώρος που δουλεύουμε είναι διπλός, σκέψου απόλυτο z z ή t t ) a a Αν : 1 ή : 1 τότε p value P z zέ έ ή p value P t t P t t και το αποτέλεσμα το συγκρίνω με την τιμή του α Αν : 1 ή : 1 τότε... έ... p value P z z ή έ p value P t t και το αποτέλεσμα το συγκρίνω με την τιμή του α 3

5 τηλ. Οικίας : κινητό : Ασκήσεις : 1. Ρωτήθηκαν 500 κάτοικοι της πόλης του Πειραιά αν χρησιμοποιούν τα πλοία της ακτοπλοΐας και οι 300 από αυτούς απάντησαν θετικά. Ζητάτε να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η αναλογία των κατοίκων της πόλης του Πειραιά που χρησιμοποιούν τα πλοία της ακτοπλοΐας είναι 65% σε επίπεδο σημαντικότητας 5%.. Ο μέσος μηνιαίος μισθός του τμήματος προσωπικού (που αποτελείται από 30 υπαλλήλους) μίας μεγάλης εταιρίας μετρήθηκε σε 1400 Ε με τυπική απόκλιση ίση με,8. Ζητάτε να ευρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου μηνιαίου μισθού όλης της εταιρίας σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 3. Το τμήμα ποιοτικού ελέγχου ενός εργοστασίου που κατασκευάζει υφάσματα γνωρίζει ότι παράγονται με μέσο αριθμό 3 ελαττωμάτων ανά τρέχον μέτρο με τυπική απόκλιση ίση με 0,3. Κατά το στάδιο της συσκευασίας διαπιστώθηκε ότι σε δείγμα 5 μέτρων ο αριθμός των ελαττωμάτων ανά τρέχον μέτρο ήταν 3,1. Να ελεγχθεί με πιθανότητα 95% η υπόθεση ότι παράγονται υφάσματα με αριθμό 3 ελαττωμάτων ανά τρέχον μέτρο, έναντι της εναλλακτικής ότι παράγονται υφάσματα με αριθμό μεγαλύτερο των 3 ελαττωμάτων ανά τρέχον μέτρο. 4. Από ένα κανονικό πληθυσμό που δεν γνωρίζουμε τη διακύμανση λάβαμε ένα δείγμα 14 μονάδων και ο μέσος βρέθηκε ίσος με 5,5 και η τυπική απόκλιση ίση με 3,37. Ζητάτε να ευρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 5. Το μέσο βάρος των φοιτητών του Πανεπιστημίου Πειραιώς είναι 68,5 κιλά με διακύμανση ίση με 7,9. Λαμβάνοντας ένα τυχαίο δείγμα από 50 φοιτητές διαπιστώθηκε ότι το μέσο βάρος τους ήταν 69,7 κιλά. Να ελεγχθεί με πιθανότητα 98% αν αυξήθηκε το βάρος των φοιτητών. 6. Ρωτήθηκαν 500 φοιτητές του Πανεπιστημίου Πειραιώς αν καπνίζουν και οι 300 απάντησαν καταφατικά. Να ελεγχθεί με πιθανότητα 95% η υπόθεση ότι η αναλογία των φοιτητών του Πανεπιστημίου Πειραιώς που καπνίζουν είναι 65%. 7. Μία έρευνα που έγινε σε τυχαίο δείγμα 50 φοιτητών του Πανεπιστημίου Πειραιώς, έδειξε ότι το 5% από αυτούς γνωρίζουν ικανοποιητικά μία ξένη γλώσσα. Ζητείται με βάση το δείγμα να εκτιμηθεί το διάστημα μέσα στο οποίο θα βρίσκεται η αναλογία αυτή με πιθανότητα 95%. 8. Από ένα τυχαίο δείγμα 400 φοιτητών του Πανεπιστημίου Πειραιώς προέκυψε ότι το 30% περνούν το μάθημα της Επαγωγικής Στατιστικής την πρώτη εξεταστική περίοδο, ενώ από άλλο τυχαίο δείγμα 300 φοιτητών του Πανεπιστημίου Πειραιώς προέκυψε ότι το 0% περνούν το μάθημα της Επαγωγικής Στατιστικής την πρώτη εξεταστική περίοδο. Να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% η υπόθεση: H : p p, H : p p Από έναν κανονικό πληθυσμό λάβαμε ένα δείγμα με τιμές 5, 6, 50 και 76. Να ελεγχθεί σε επίπεδο στατιστικής σημαντικότητας 5% η υπόθεση Η 0 : μ=5 έναντι της εναλλακτικής Η 1 : μ> Πραγματοποιήθηκε δημοσκόπηση μεταξύ επιχειρήσεων με σκοπό να αναδειχθούν τα σημαντικότερα προβλήματα που αντιμετωπίζουν. Από τυχαίο δείγμα 85 επιχειρήσεων οι 170 θεωρούν ότι το σημαντικότερο πρόβλημα είναι η παραγωγή των προϊόντων. Να εκτιμηθεί το ποσοστό του πληθυσμού με πιθανότητα 99%. 11. Η μέση διάρκεια ζωής των λαμπτήρων που κατασκευάζει ένα εργοστάσιο είναι ίση με 800 ώρες με τυπική απόκλιση ίση με 40 ώρες. Μία τυχαία παρτίδα από 30 λαμπτήρες είχε μέση διάρκεια ζωής 788 ώρες. Αν η διάρκεια ζωής των λαμπτήρων ακολουθεί την κανονική κατανομή, να ελεγχθεί με πιθανότητα 96% η υπόθεση Η 0 : μ=800 ώρες, έναντι της εναλλακτικής Η 1 : μ 800 ώρες. 1. Ο διευθυντής πωλήσεων μίας εταιρίας αναψυκτικών ισχυρίζεται ότι το μερίδιο που κατέχουν τα προϊόντα της εταιρίας του είναι μεγαλύτερο από 10%. Να ελεγχθεί η ορθότητα του ισχυρισμού του διευθυντή με πιθανότητα 99%, αν από τυχαίο δείγμα 00 ατόμων προέκυψε ότι 3 καταναλώνουν τα προϊόντα της εταιρίας του. 4

6 τηλ. Οικίας : κινητό : Εταιρεία παροχής επενδυτικών υπηρεσιών θέλει να εκτιμήσει το μέσο ύψος κεφαλαίων το οποίο μικροεπενδυτές εμπιστεύονται για διαχείριση στις επιχειρήσεις του κλάδου της. Τι μέγεθος δείγματος πρέπει να εξετάσει αποδεχόμενη δειγματοληπτικό σφάλμα μέχρι ευρώ και επίπεδο εμπιστοσύνης 9%, όταν εμπειρικά είναι γνωστό ότι η κατά μέσο όρο απόκλιση των κεφαλαίων υπό διαχείριση από το μέσο τους είναι περίπου ευρώ. 14. Από δείγμα 35 πλοίων για συγκεκριμένο δρομολόγιο υπολογίστηκε η παρακάτω κατανομή κατανάλωσης καυσίμων Καταν.καυσ. (χιλ.λίτρα) ένα δείγμα ν=10. Στο παραπάνω δείγμα υπολογίζουμε το μέσο αριθμητικό X =0,55 και τη διακύμανση S = 0, (S=0,037). Ζητάτε να προσδιοριστεί το διάστημα εμπιστοσύνης της διακύμανσης του πληθυσμού σ αν Ρ=0, Ρωτήθηκαν 100 άνδρες και 100 γυναίκες μιας πόλης και βρέθηκε ότι 4 άνδρες και 13 γυναίκες προτιμούν να βλέπουν μπάσκετ. Να βρεθεί το διάστημα εμπιστοσύνης με πιθανότητα 95%, η διαφορά μεταξύ της αναλογίας ανδρών και γυναικών που προτιμούν το μπάσκετ.. Μια μηχανή γεμίζει κουτιά καφέ καθαρού βάρους 1 kg. Ζητείται να ελεγχθεί η κανονική λειτουργία της. Η τυπική απόκλιση είναι σ=0,0 και το μέσο καθαρό βάρος ενός δείγματος 5 κουτιών είναι 1,014 kg. 3. Ένα πλοίο κινείται με ταχύτητα 30 κόμβων και η απαιτούμενη απόσταση για να σταματήσει στο λιμάνι είναι 60 μέτρα. Ζητάτε να ελεγχθεί η ορθότητα της πρότασης με δεδομένα ότι σε δείγμα 100 πλοίων η μέση απόσταση για να σταματήσουν μετρήθηκε σε 68 μέτρα και η τυπική απόκλιση ήταν Ο μέσος αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων (σε μονάδες TEU) που εκφορτώνονται από πλοία εμπορευματοκιβωτίων στο λιμάνι του Πειραιά είναι 68,5 TEU s, με διακύμανση σ =7,9. Λάβαμε ένα τυχαίο 5 Πλοία Να ελεγχθεί με επίπεδο σημαντικότητας 1% εάν η κατανομή αυτή προσεγγίζει ικανοποιητικά (στατιστικά) την κανονική. Να υπολογίσετε το μήκος του 95% διαστήματος εμπιστοσύνης της υπόψη κατανάλωσης καυσίμων 15. Έστω ότι η κατανομή του ημερήσιου αριθμού αφίξεων πλοίων στο λιμάνι του Πειραιά ακολουθεί την κανονική με γνωστή διακύμανση 144. Για την εκτίμηση του μέσου μ παίρνουμε ένα δείγμα 5 πλοίων και προκύπτει ότι ο μέσος τους είναι ίσος με 81. Ζητάτε να εκτιμηθεί ο μέσος μ του πληθυσμού σε επίπεδο σημαντικότητας α=5%. 16. Η κατανομή των αφίξεων των πλοίων στο λιμάνι του Πειραιά είναι η κανονική με μέσο μ και διακύμανση 36. Πήραμε ένα δείγμα 4 ημερών αφίξεων στις οποίες οι αφίξεις ήταν 40, 50, 38 και 64 αντίστοιχα. Ζητάτε το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου αριθμού αφίξεων πλοίων σε επίπεδο σημαντικότητας α=%. 17. Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της άσκησης και το γεγονός ότι η πληθυσμιακή διακύμανση είναι άγνωστη, ποιο είναι το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου αριθμού αφίξεων πλοίων στο λιμάνι του Πειραιά? 18. Η κατανομή των αφίξεων των πλοίων στο λιμάνι του Πειραιά είναι η κανονική χωρίς να γνωρίζουμε τη διακύμανση. Πήραμε ένα δείγμα 14 ημερών αφίξεων και από το δείγμα βρέθηκε ότι ο μέσος αριθμός αφίξεων ήταν X = 5,5 και η τυπική απόκλιση S = 3,37. Ζητάτε το διάστημα εμπιστοσύνης του μέσου μ σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 19. Η κατανομή των επιβατών μεταξύ των πλοίων της γραμμής του Αργοσαρωνικού και των Κυκλάδων είναι η κανονική με διακυμάνσεις 100 και 81 αντίστοιχα. Λάβαμε δείγμα 100 πλοίων από την γραμμή του Αργοσαρωνικού και βρέθηκε ότι ο μέσος αριθμός των επιβατών ήταν 7, ενώ από δείγμα 50 πλοίων της γραμμής των Κυκλάδων βρέθηκε ότι ο μέσος αριθμός των επιβατών ήταν 70. Ζητάτε να βρεθεί η διαφορά των μέσων (μ 1 μ ) των επιβατών των δύο γραμμών σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 0. Από ένα κανονικό πληθυσμό του οποίου δεν γνωρίζουμε ούτε το μέσο, ούτε τη διακύμανση λαμβάνουμε

7 τηλ. Οικίας : κινητό : δείγμα από 50 πλοία εμπορευματοκιβωτίων που κατέπλευσαν το μήνα Δεκέμβριο 005 στο λιμάνι του Πειραιά και ο μέσος αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων μετρήθηκε σε 69,7 TEU s. Να ελεγχθεί η υπόθεση ότι ο μέσος αριθμός των εμπορευματοκιβωτίων μεταβλήθηκε, σε επίπεδο σημαντικότητας α=%. 5. Η κατανομή των αφίξεων των πλοίων μεταφοράς σιτηρών στο λιμάνι του Πειραιά είναι η κανονική. Λάβαμε ένα δείγμα 4 μηνών και οι αφίξεις ήταν 30, 40, 8 και 54. Ζητάτε να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η διακύμανση είναι ίση με 30 ως προς την εναλλακτική ότι η διακύμανση είναι μεγαλύτερη από 30, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5%. 6. Από δύο κανονικούς πληθυσμούς πήραμε τα εξής δείγματα :Α : 0,117, 0,130, 0,1, 0,19, 0,13 και Β : 0,10, 0,17, 0,330, 0,115, 0,137, 0,16Ζητάτε να ελεγχθεί η υπόθεση Η ο της ισότητας των μέσων τιμών ως προς την εναλλακτική υπόθεση της ανισότητας, σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 7. Ρωτήθηκαν 500 κάτοικοι της πόλης του Πειραιά αν χρησιμοποιούν τα πλοία της ακτοπλοΐας και οι 300 από αυτούς απάντησαν θετικά. Ζητάτε να ελεγχθεί η υπόθεση ότι η αναλογία των κατοίκων της πόλης του Πειραιά που χρησιμοποιούν τα πλοία της ακτοπλοΐας είναι 65% σε επίπεδο σημαντικότητας 5%. 8. Η κατανομή των αφίξεων των πλοίων εμπορευματοκιβωτίων στο λιμάνι του Πειραιά για χρονικό διάστημα τεσσάρων μηνών δίδεται από τον παρακάτω πίνακα. X i F i Όπου Xi είναι ο αριθμός των πλοίων εμπορευματοκιβωτίων που κατέπλευσαν και Fi είναι οι μέρες που παρατηρήθηκε ο αριθμός των πλοίων. Ζητείται να ελεγχθεί σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ότι η κατανομή των αφίξεων των πλοίων εμπορευματοκιβωτίων στο λιμάνι του Πειραιά είναι η Piss. 9. Χαρακτηριστικό πληθυσμού Χ ~ Ν(μ,100). Θα ελέγξουμε την (μηδενική) υπόθεση Η: μ = 1000 σε επίπεδο σημαντικότητας (ε.σ.) α=0.05 σε (τυχαίο) δείγμα = 5 τιμών που έδωσαν δειγματικό μέσο 1005 {δίνεται: z } 30. Οι συλλογικές διαπραγματεύσεις μισθών συγκεκριμένων κλάδων εργαζομένων απαιτούν μια ακριβή εκτίμηση των τρεχουσών μισθών των αντίστοιχων κλάδων. Ένα τυχαίο δείγμα 60 εργαζομένων σε ένα συγκεκριμένο κλάδο επελέγη τυχαία από την διαιτησία της διαπαγμάτευσης. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των εβδομαδιαίων μισθών του δείγματος διαπιστώθηκε ότι ήταν , S 11.60, αντίστοιχα. Ακολουθώντας μεθοδολογία ελέγχου υποθέσεων μπορείτε να δεχτείτε την υπόθεση ότι ο μέσος εβδομαδιαίος μισθός είναι 150 σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.01. {δίνεται: z } 31. Οι εβδομαδιαίες δαπάνες Χ τριμελών νοικοκυριών ακολουθούν κανονική κατανομή. Δείγμα = 5 από τέτοια νοικοκυριά έδωσε δειγματικό μέσο 31 ευρώ με διακύμανση Να ελεχθεί η υπόθεση ότι η μέση δαπάνη είναι 300 ευρώ σε ε.σ. α=0.05, Να ελεχθεί η υπόθεση ότι η εβδομαδιαία δαπάνη να είναι > 300 σε α=0.05. {δίνεται: t.064, t } 4,0.05 4, Έστω η τ.μ. Y που παίρνει τιμές τις τιμές κλεισίματος μιας μετοχής σε ένα χρηματιστήριο και έστω ότι για =5 διαδοχικές ημέρες καταγράφηκαν οι εξής τιμές της μετοχής: 96.64, 87.78, 8.05, 88.15, Υποθέτουμε ότι ισχύει Y i i Yi 1e για i = 1,,3,4,5 όπου X είναι ανεξάρτητες τ.μ. ι οποιες ακολουθούν τη N,, 100 Ν(μ,σ) 0 να ελεγχθεί αν μ=0 σε επίπεδο σημαντικότητας 5% έναντι της μ<0. 6

8 τηλ. Οικίας : κινητό : να γίνει ο ίδιος έλεγχος αν γνωρίζουμε τη τυπική απόκλιση της τ.μ. X, σ = 0.1, και σε αυτή τη περίπτωση να βρεθεί το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας (p value) απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης (μ=0), αν ίσχυε μ = 0.1 (γνωστή σ = 0.1) με τι πιθανότητα θα πέρνατε τη σωστή απόφαση; (υπόδειξη: από τις δειγματικές τιμές της Y να βρεθούν πρώτα οι αντίστοιχες τιμές της Χ). δίνεται : t Έστω 1, οι μέσοι χρόνοι εξυπηρέτησης των πελατών από δύο ταμίες μιας τράπεζας. Αν 34, 99, 34,174, 188, 107, 173, 17 και 105, 194, 77, 33, 159, 150, 167, 17, 169, 166 είναι δειγματοληπτικά κάποιοι χρόνοι (σε sec) εξυπηρέτησης των δύο αυτών υπαλλήλων αντίστοιχα, μπορούμε σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 να πούμε ότι οι δύο υπάλληλοι έχουν διαφορετική απόδοση (υποθέστε ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν κανονική κατανομή και ότι οι διασπορές τους είναι ίσες. [δίνεται: t16, ] 34. Για την εισαγωγή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα της σχολής οικονομικών & διοίκησης επιχειρήσεων απαιτείται ο βαθμός σχετικών κατακτήριων εξετάσεων σε μία κλίμακα 800 πόντων. Δύο διαφορετικές σχολές, A1, A αποφάσισαν να συγκρίνουν τις επιδόσεις των υποψηφίων τους. Τυχαία δείγματα 75 φοιτητών (από κάθε σχολή) έδωσαν μέσους για τη A 1: 55 και σχολή A : 564 με αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις 5 και 70. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι επιδόσεις των υποψηφίων της δεύτερης σχολής είναι μεγαλύτερη αυτής της πρώτης; (σε ε.σ. α=0.01). {δίνεται: z } 0, Σε τυχαίο δείγμα =100 ατόμων βρέθηκαν 40 καπνιστές. Να ελεγχθεί η υπόθεση το πληθυσμιακό ποσοστό των καπνιστών να είναι μεγαλύτερο από 35% σε ε.σ. α=0.05 και σε ε.σ. α=0.01. Ποιο το ελάχιστο επίπεδο σημαντικότητας για την απόρριψη της H.[δίνεται: z0, , z0,01.33] 36. Ένας υποψήφιος δήμαρχος ισχυρίζεται ότι στις εκλογές που έγιναν σήμερα θα εκλεγεί από τον πρώτο γύρο (δηλ. θα λάβει ποσοστό μεγαλύτερο του 50%). Έ χουμε αρκετά στοιχεία για να απορρίψουμε τον παραπάνω ισχυρισμό, αν σε ένα τυχαίο δείγμα =300 ψηφοφόρων (eitpll) μόνο 44% δήλωσαν ότι ψήφισαν τον συγκεκριμένο υποψήφιο. Αν βρεθεί ότι δεν έχουμε αρκετά στοιχεία, πόσο θα έπρεπε να είναι το ελάχιστο μέγεθος του δείγματος ώστε, με το ίδιο δειγματικό ποσοστό, να απορρίπταμε τον ίδιο ισχυρισμό (σεα=0.01).[δίνεται: z0,01.33 ] 37. Από τυχαίο δείγµα 00 επενδυτών στο ΧΑΑ διαπιστώνεται ότι ο αριθµός των καπνιστών είναι 10 ενώ από τυχαίο δείγµα 100 επενδυτών στο χρηµατιστήριο της Νέας Υόρκης διαπιστώνεται αριθµός καπνιστών 48. Διαφέρει το ποσοστό των καπνιστών στις δύο χρηµαταγορές; σε ε.σ. α = [δίνεται: z0.005= 1.96] 38. Οι μισθοί σε μια εταιρεία ακολουθούν κανονική κατανομή. Δείγμα =11 εργαζομένων της εταιρείας έδωσε δειγματικό σφάλμα (δειγματική τυπική απόκλιση ) μισθών S = 30. Να ελεγχθεί για τη Διασπορά των μισθών η υπόθεση H : 1500, H : 1500, σε ε.σ. α=0.05.[δίνεται: 1 ] 10, Επιθυµούµε να εκτιµήσουµε τη διακύµανση/διασπορά του χρόνου που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να µεταβεί από το σταθµό Α στο σταθµό Β (υποθέτουµε ότι οι χρόνοι µετάβασης ακολουθούν κανονική κατανοµή). Χρονοµετρώντας τη διαδροµή αυτή 5 φορές σηµειώνουµε τους χρόνους (sec): 137, 151, 157, 15, 160. Μπορούµε να υποθέσουµε σε ε.σ. α=0.01 ότι η διακύµασνη/διασπορά του χρόνου µετάβασης είναι µικρότερη ή ίση από 80 sec.; σε ε.σ [δίνεται: } 4, Ένα τ.δ. =9 υπερτασικών µέτρησαν τη πιέσή τους λίγο πριν πάρουν ένα νέο φάρµακο για την υπέρταση καθώς και δύο ώρες µετά. Τα αποτελέσµατα ήταν τα εξής 7

9 τηλ. Οικίας : κινητό : Τι συµπεραίνεις, επηρεάζει ή όχι τη πίεση το νέο φάρµακο ; Χρησιµοποιείστε ε.σ. α= T βάρος ενός (συσκευασμένου) προϊόντος ακολουθεί κανονική κατανομή N(500,144): να υπολογιστεί η πιθανότητα το βάρος του προϊόντος να βρίσκεται στο διάστημα [494,506], να υπολογιστεί η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα 10 προϊόντων ο δειγματικός μέσος να βρίσκεται στο διάστημα [494,506], να υπολογιστεί η ίδια πιθανότητα αν λάβουμε τυχαίο δείγμα 5 προϊόντων. 4. T βάρος ενός (συσκευασμένου) προϊόντος ακολουθεί κανονική κατανομή N(500,144): να προσδιοριστεί διάστημα (c1,c) γύρω από το μέσο που να περιλαμβάνει με πιθανότητα 0.95 το δειγματικό μέσο δείγματος μεγέθους/τάξης =10 και με την υπόλοιπη πιθανότητα (1 0.95) να μοιράζεται εξίσου αριστερά και δεξιά του διαστήματος αυτού, ποιο το αντίστοιχο διάστημα για δείγμα =5; ποιο διάστημα είναι πιο ακριβές; 43. Οι συλλογικές διαπραγματεύσεις μισθών συγκεκριμένων κλάδων εργαζομένων απαιτούν μια ακριβή εκτίμηση των τρεχουσών μισθών των αντίστοιχων κλάδων. Ένα τυχαίο δείγμα 60 εργαζομένων σε ένα συγκεκριμένο κλάδο επελέγη τυχαία από την διαιτησία της διαπαγμάτευσης. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των εβδομαδιαίων μισθών του δείγματος διαπιστώθηκε ότι ήταν = και S=11.60, αντίστοιχα. Βρείτε ένα 0.95 διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο εβδομαδιαίο μισθό των εργαζομένων του κλάδου μπορείτε να υποθέσετε ότι ο μέσος μισθός είναι 150; 44. Οι επενδυτές προνομιούχων χρηματιστηριακών μετοχών ενδιαφέρονται γενικά μόνο για την ετήσια απόδοση αυτών των μετοχών. Για να βοηθήσει τους επενδυτές της μια χρηματιστηριακή εταιρεία έκανε μια τυχαία δειγματοληψία 50 τέτοιων μετοχών. Η μέση ετήσια απόδοση8.71% και η τυπική απόκλιση του δείγματος παρατηρήθηκε να είναι.1%. Υπολογίστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη πραγματική μέση ετήσια απόδοση μ της συγκεκριμένης κατηγορίας μετοχών. 45. Ο έλεγχος των αποθεμάτων ενός λιανοπωλητή διεξήχθη δειγματοληπτικά από την επιλογή τυχαίου δείγματος =100 τιμολογίων αγοράς αδιάθετων προϊόντα (απόθεμα). Η μέση τιμή αγοράς ανά μονάδα βρέθηκε να είναι και η τυπική απόκλιση Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση τιμή αγοράς όλων των μονάδων του αποθέματος. Τα αποτελέσματα των ελέγχων αποτιμώνται με βάση την ακρίβεια της εκτίμησης η οποία αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης του διαστήματος εμπιστοσύνης. Διατηρώντας το μέγεθος του δείγματος σταθερό, πώς μπορεί η εκτίμηση να καταστεί πιο ακριβής 46. Έστω ότι οι µηνιαίες αποδοχές των εργαζοµένων σε µεγάλη επιχείρηση ακολουθούν κανονική κατανοµή µε µέσητιµήµ και τυπική απόκλιση σ=70. Ένα δείγµα µηνιαίων αποδοχών από 7 τυχαία επιλεγµένους εργαζόµενους έδωσε δειγµατικό µέσο , προσδιορίστε ένα ΔΕ 90% για το µέσο του πληθυσµού, πόσοδείγµα πρέπει να πάρουµε για να κατασκευάσουµε ένα δ.ε. 90% µε εύρος 0 ευρώ. 47. Έστω ότι θέλουµε να εκτιµήσουµε τη µέση τιµή πώλησης µ µιας φίρµας καφέ σε διαφορετικές καφετέριες. Από ένα δείγµα τυχαία επιλεγµένων καφετεριών κατεγράφησαν οι τιµές πώλησης Χ και βρέθηκε ότι: µ i 15, i 35 i1 i1 Να βρεθεί ένα (προσεγγιστικό) δ.ε. 95% για τη µέση τιµή πώλησης 8

10 τηλ. Οικίας : κινητό : Επιθυµούµε να εκτιµήσουµε το µέσο χρόνο που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να µεταβεί από το σταθµό Α στο σταθµό Β. Χρονοµετρώντας τη διαδροµή αυτή 5 φορές σηµειώνουµε τους χρόνους (sec): 137, 151,157, 15, 160. Να κατασκευαστεί ένα δ.ε. 99% για το µέσο χρόνο µετάβασης. Να κατασκευασυεί ένα δ.ε.99% για τη τυπική απόκλιση του χρόνου µετάβασης ( υποθέτουµε ότι οι χρόνοι είναι κανονικοί). 49. Οι προδιαγραφές ενός νέου ανθεκτικού στη θερμότητα κράματος απαιτούν η ποσότητα του χαλκού στο κράμα να είναι μικρότερο από 3.%. Ένα δείγμα 10 αναλύσεων μιας παρτίδας προϊόντος του συγκεκριμένου κράματος έδειξε μία μέση περιεκτικότητα σε χαλκό 3.0% και τυπική απόκλιση της τάξεως του 0,4%. Παρέχουν οι συγκεκριμένες αναλύσεις επαρκείς ενδείξεις που να πιστοποιούν ότι το ποσό του χαλκού στην παρτίδα είναι μικρότερη από το καθορισμένο όριο; Χρήσιμοποιείστε επίπεδο εμπιστοσύνης Μία τυχαία δειγματοληψία =4 προϊόντων σε έαν super market κατέδειξε μια διαφορά μεταξύ της πραγματικής και της αναγραφόμενης τιμής των προϊόντων. Ο μέσος και η τυπική απόκλιση των διαφορών ήταν αντίστοιχα 37.1 και 6.4. Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση διαφορά μεταξύ των πραγματικών και αναγραφομένων τιμών. 51. Ένας κατασκευαστής οικιακών συσκευών ισχυρίζεται ότι η μέθοδος και τα υλικά οξυγονοκόλησης τα οποία χρησιμοποιεί έχουν αντοχή μεταξύ 400 και 500 λίβρες. Ένα δείγμα από = 5 συγκολλήσεις του συγκεκριμένου κατασκευαστή έχουν επιλεγεί τυχαία και έχουν υποβληθεί σε έλεγχο αντοχής. Ο μέσος όρος 438 και τυπική απόκλιση των καταγεγραμμένων μετρήσεων αντοχής ήταν 9 λίβρες. Είναι οι συγκεκριμένες μετρήσεις υποστηρικτικές του ισχυρισμού του κατασκευαστή; Μήπως αυτά τα στοιχεία παρουσιάζουν επαρκή στοιχεία για να απορρίψει το αίτημα του τόξου κατασκευαστή οξυγονοκολλητή του; Χρήσιμοποιείστε επίπεδο εμπιστοσύνης Για την εισαγωγή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα της σχολής οικονομικών & διοίκησης επιχειρήσεων απαιτείται ο βαθμός σχετικών κατακτήριων εξετάσεων σε μία κλίμακα 800 πόντων. Δύο διαφορετικές σχολές αποφάσισαν να συγκρίνουν τις επιδόσεις των υποψηφίων τους. Τυχαία δείγματα 75 φοιτητών (για κάθε μία σχολή) έδωσαν μέσους 55 και 564 με αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις 5 και 70. Να προσδιοριστεί ένα 95% ΔΕ για τη διαφορά των μέσων και να προσδιορισθεί το σφάλμα εκτίμησης. [z0.05 = 1.96] 53. O ακτιβισμός των καταναλωτών, οι αυξανόμενες απαιτήσεις και η νομοθεσία καθιστούν τους κατασκευαστές πιο υπεύθυνους στη παραγωγή και στα ίδια τα τα προϊόντα τους. Ο κατασκευαστής δύο διαφορετικών προϊόντων ενδιαφέρεται για την εκτίμηση της διαφοράς στις μέσες μηνιαίες καταγγελίες που έλαβε σχετικά με τα δύο προϊόντα. Σε ένα χρονικό διάστημα τεσσάρων ετών (48 μηνών) ο αριθμός των καταγγελιών για κάθε προϊόν ήταν 17, και 5,1 με αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις 5,1 και 5,3. Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη διαφορά μέσων των μηνιαίων καταγγελιών των δύο προϊόντων (οι καταγγελίες για τα δύο προϊόντα θεωρηθούνται ανεξάρτητες). 54. Δύο εργοστάσια Α και Β παραγωγής χάλυβα θέλουν να εκτιμήσουν τη περιεκτικότητα του χάλυβα σε ραδιενέργεια και γι άυτό έκαναν τις παρακάτω μετρήσεις σε τυχαία δείγματα χάλυβα: Θεωρούμε ότι η περιεκτικότητα του χάλυβα σε ραδιενέργεια ακολουθεί κανονική κατανομή και η διασπορά της ραδιενέργειας είναι ίδια και για τα δύο εργοστάσια 9

11 τηλ. Οικίας : κινητό : Εκτιμήστε τη μέση ραδιενέργεια στο χάλυβα για το εργοστάσιο Α και Β σε δ.ε. 95% Ελέγξτε σε επίπεδο εμπιστοσύνης 95% αν η μέση ραδιενέργεια στο χάλυβα των δύο εργοστασίων είναι ίδια. 55. Με σκοπό να εκτιµηθεί το ποσοστό των ατόµων στο πληθυσµό που γνωρίζουν Ecel επιλέχθηκε τυχαία ένα δείγµα 00 ατόµων και βρέθηκαν 83 άτοµα να γνωρίζουν. Να εκτιµηθεί το συγκεκριµένο ποσοστό µε βάση ένα δ.ε. 95%. 56. Σε μία πρόσφατη σφυγομέτρηση 100 κατοίκων της ευρύτερης περιοχής του Σαν Πάολο της Βραζιλίας, το 8% θεωρούν την ατμοσφαιρική ρύπανση της πόλης τους πολύ σοβαρή. Να προσδιοριστεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό του πληθυσμού του Σαν Πάολο το οποίο θεωρεί την ατμοσφαιρική ρύπανση της πόλης τους πολύ σοβαρή. 57. Σε µια έρευνα αγοράς επιθυµούµε να εκτιµήσουµε το ποσοστό p των καταναλωτών µιας περιοχής που χρησιµοποιούν ένα συγκεκριµένο προϊόν. Για το σκοπό αυτό επιλέχθηκαν τυχαία =100 καταναλωτές από τους οποίους 0 απάντησαν ότι χρησιµοποιούν το προϊόν. Να κατασκευαστεί ένα δ.ε. για το p µε συντελεστή εµπιστοσύνης 95%. Πόσο περίπου παραπάνω δείγµα πρέπει να επιλέξουµε για να πάρουµε δ.ε. µε συντελεστή εµπιστοσύνης 95% και εύρος 5% (υποθέτουµε ότι το ποσοστό παραµένει περίπου το ίδιο στο νέο δείγµα). 58. Έστω ότι σε δύο µεγάλες πόλεις, Αθήνα και Θεσσαλονίκη, επιλέγουµε τυχαία δύο δείγµατα 00 και 100 οπαδών µιαςσυγκεκριµένης οµάδας και βρίσκουµε 5% και 0%, αντίστοιχα. Με συντελεστή εµπιστοσύνης 95% µπορείτε να αποφανθείτε για το αν τα αναµενόµενα ποσοστά στους αντίστοιχους πληθυσµούς διαφέρουν µε βάση τη κατασκευή του κατάλληλου διαστήµατος εµπιστοσύνης. 59. Έστω οι τ.μ. 1,,..., N, Έστω 30 10, i 3100 i1 οι οποίες ακολουθούν κανονική κατανομή Να βρεθεί ένα ΔΕ 95% για την (άγνωστη) διακύμανση 60. Επιθυµούµε να εκτιµήσουµε το µέσο χρόνο που κάνει ένα τρένο του Μετρό για να µεταβεί από το σταθµό Α στο σταθµό Β (υποθέτουµε ότι οι χρόνοι µετάβασης ακολουθούν κανονική κατανοµή). Χρονοµετρώντας τη διαδροµήαυτή 5 φορές σηµειώνουµε τους χρόνους (sec): 137, 151, 157, 15, 160. Να κατασκευασυεί ένα δ.ε. 99% για τη τυπική απόκλιση σ του χρόνου µετάβασης (υποθέτουµε ότι οι χρόνοι είναι κανονικοί). 61. Η διακύμανση ενός τ.δ. 10 τιμών πώλησης ενός προϊόντος από την περιοχή Α βρέθηκε και από μία άλλη περιοχή Β και τ.δ. 0 τιμών πώλησης η αντίστοιχη διακύμανση βρέθηκε Αν υποθέσουμε ότι οι τιμές κατανέμονται κανονικά και με ίση (αλλά άγνωστη) διασπορά και στις δύο περιοχές, να βρείτε δ.ε. συντελεστού 95% για τη το λόγο διακυμάνσεων σ1/σ. Μπορούμε να πούμε με συντελεστή εμπιστοσύνης 95% ότι οι διακυμάνσεις είναι ίσες. [δίνεται f9,19, , f9,19, ] 6. Ένα τ.δ. =9 υπερτασικών µέτρησαν τη πιέσή τους λίγο πριν πάρουν ένα νέο φάρµακο για την υπέρταση καθώς και δύο ώρες µετά. Τα αποτελέσµατα ήταν τα εξής: Να κατακευαστεί ένα 99% δ.ε. Για τη διαφορά στη µέση πίεση αίµατος πριν και µετά τη λήψη του φαρµάκου. Ποια είναι η απαραίτητη υπόθεση που πρέπει να κάνετε; Τι συµπεραίνετε, κατεβάζει ή όχι τη πίεση το νέο φάρµακο; 63. Οι επενδυτές προσοδοφόρων χρηματιστηριακών μετοχών ενδιαφέρονται γενικά μόνο για την ετήσια απόδοση αυτών των μετοχών. Για να βοηθήσει τους επενδυτές της μια χρηματιστηριακή εταιρεία έκανε μια τυχαία δειγματοληψία 50 τέτοιων μετοχών. Η μέση ετήσια απόδοση 10

12 τηλ. Οικίας : κινητό : % και η τυπική απόκλιση του δείγματος παρατηρήθηκε να είναι.1%. Υπολογίστε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη πραγματική μέση ετήσια απόδοση μ της συγκεκριμένης κατηγορίας μετοχών. 64. Οι συλογικές διαπραγματεύσεις μισθών συγκεκριμένων κλάδων εργαζομένων απαιτούν μια ακριβή εκτίμηση των τρεχουσών μισθών των αντίστοιχων κλάδων. Ένα τυχαίο δείγμα 60 εργαζομένων σε ένα συγκεκριμένο κλάδο επελέγη τυχαία από την διαιτησία της διαπαγμάτευσης. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των εβδομαδιαίων μισθών του δείγματος διαπιστώθηκε ότι ήταν = και S=11.60, αντίστοιχα. Βρείτε ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για το μέσο εβδομαδιαίο μισθό των εργαζομένων του κλάδου. 65. Ο έλεγχος των αποθεμάτων ενός λιανοπωλητή διεξήχθη δειγματοληπτικά από την επιλογή τυχαίου δείγματος =100 τιμολογίων αγοράς αδιάθετων προϊόντα (απόθεμα). Η μέση τιμή αγοράς ανά μονάδα βρέθηκε να είναι και η τυπική απόκλιση Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση τιμή αγοράς όλων των μονάδων του αποθέματος. Τα αποτελέσματα των ελέγχων αποτιμώνται με βάση την ακρίβεια της εκτίμησης η οποία αντιστοιχεί στο επίπεδο εμπιστοσύνης του διαστήματος εμπιστοσύνης. Διατηρώντας το μέγεθος του δείγματος σταθερό, πώς μπορεί η εκτίμηση να καταστεί πιο ακριβής 66. Οι προδιαγραφές ενός νέου ανθεκτικού στη θερμότητα κράματος απαιτούν η ποσότητα του χαλκού στο κράμα να είναι μικρότερο από 3.%. Ένα δείγμα 10 αναλύσεων μιας παρτίδας προϊόντος του συγκεκριμένου κράματος έδειξε μία μέση περιεκτικότητα σε χαλκό 3.0% και τυπική απόκλιση της τάξεως του 0,4%. Παρέχουν οι συγκεκριμένες αναλύσεις επαρκείς ενδείξεις που να πιστοποιούν ότι το ποσό του χαλκού στην παρτίδα είναι μικρότερη από το καθορισμένο όριο; Χρήσιμοποιείστε επίπεδο εμπιστοσύνης α = Μία τυχαία δειγματοληψία =4 προϊόντων σε έαν super market κατέδειξε μια διαφορά μεταξύ της πραγματικής και της αναγραφόμενης τιμής των προϊόντων. Ο μέσος και η τυπική απόκλιση των διαφορών ήταν αντίστοιχα 37.1 και 6.4. Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 95% για τη μέση διαφορά μεταξύ των πραγματικών και αναγραφομένων τιμών. 68. Ένας κατασκευαστής οικιακών συσκευών ισχυρίζεται ότι η μέθοδος και τα υλικά οξυγονοκόλησης τα οποία χρησιμοποιεί έχουν αντοχή μεταξύ 400 και 500 λίβρες. Ένα δείγμα από = 5 συγκολλήσεις του συγκεκριμένου κατασκευαστή έχουν επιλεγεί τυχαία και έχουν υποβληθεί σε έλεγχο αντοχής. Ο μέσος όρος 438 και τυπική απόκλιση των καταγεγραμμένων μετρήσεων αντοχής ήταν 9 λίβρες. Είναι οι συγκεκριμένες μετρήσεις υποστηρικτικές του ισχυρισμού του κατασκευαστή; Μήπως αυτά τα στοιχεία παρουσιάζουν επαρκή στοιχεία για να απορρίψει το αίτημα του τόξου κατασκευαστή οξυγονοκολλητή του; Χρήσιμοποιείστε επίπεδο εμπιστοσύνης α = Για την εισαγωγή στο μεταπτυχιακό πρόγραμμα της σχολής οικονομικών & διοίκησης επιχειρήσεων απαιτείται ο βαθμός σχετικών κατακτήριων εξετάσεων σε μία κλίμακα 800 πόντων. Δύο διαφορετικές σχολές αποφάσισαν να συγκρίνουν τις επιδόσεις των υποψηφίων τους. Τυχαία δείγματα 75 φοιτητών (για κάθε μία σχολή) έδωσαν μέσους 55 και 564 με αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις 5 και 70. Να εκτιμηθεί η διαφορά των μέσων και να προσδιορισθούν τα όρια του λάθους της εκτίμησης. 70. O ακτιβισμός των καταναλωτών, οι αυξανόμενες απαιτήσεις και η νομοθεσία καθιστούν τους κατασκευαστές πιο υπεύθυνους στη παραγωγή και στα ίδια τα τα προϊόντα τους. Ο κατασκευαστής δύο διαφορετικών προϊόντων ενδιαφέρεται για την εκτίμηση της διαφοράς στις μέσες μηνιαίες καταγγελίες που έλαβε σχετικά με τα δύο προϊόντα. Σε ένα χρονικό 11

13 τηλ. Οικίας : κινητό : διάστημα τεσσάρων ετών (48 μηνών) ο αριθμός των καταγγελιών για κάθε προϊόν ήταν 17, και 5,1 με αντίστοιχες τυπικές αποκλίσεις 5,1 και 5,3. Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη διαφορά μέσων των μηνιαίων καταγγελιών των δύο προϊόντων (οι καταγγελίες για τα δύο προϊόντα θεωρούνται ανεξάρτητες). 71. Είναι τα μικρά αυτοκίνητα αρκετά πιο οικονομικά στη λειτουργία τους από τα μεσαία? Αναφορικά με ένα άρθρο στο US News ad Wrld Reprt η απάντηση είναι «όχι αναγκαία»! Για να διερευνήσει το θέμα μια ιδιωτική εταιρεία η οποία κάνει ειδικεύεται σε σχετικές εκτιμήσεις επιθυμεί να εκτιμήσει τη διαφορά στο μέσο χιλιομετρικό λειτουργικό κόστος (μχλκ) μεταξύ μικρών και μεσαίων αυτοκινήτων με ακρίβεια 1 λεπτό (του ) το χιλιόμετρο με μια πιθανότητα κοντά στο 95%. Εαν από παλαιότερη εμπειρία είναι γνωστό ότι η τυπική απόκλιση του συνολικού χιλιομετρικού λειτουργικού κόστους είναι περίπου 3 λεπτά, πόσα αυτοκίνητα θα πρέπει να συμπεριλάβει στο σχετικό έλεγχο από κάθε κατηγορία (μικρά, μεσαία); 7. Σε μία πρόσφατη σφυγμομέτρηση 100 κατοίκων της ευρύτερης περιοχής του Σαν Πάολο της Βραζιλίας, το 8% θεωρούν την ατμοσφαιρική ρύπανση της πόλης τους πολύ σοβαρή. Να προσδιοριστεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό του πληθυσμού του Σαν Πάολο το οποίο θεωρεί την ατμοσφαιρική ρύπανση της πόλης τους πολύ σοβαρή. 73. Σε μια σφυγμομέτρηση μετόχων μιας εταιρείας οι 300 από τους 500 άνδρες και οι 64 στις 100 γυναίκες μετόχους είναι υπέρ της δημιουργίας μιας νέας γραμμής παραγωγής. Να εκτιμηθεί η διαφορά των δύο ποσοστών και να προσδιοριστεί ένα όριο του λάθους της εκτίμησης. 74. Η συνεργασία των υπαλλήλων των εταιρειών στη λήψη αποφάσεων έχει αναδειχθεί σε μέσο για τη βελτίωση της απόδοσης και της συμμετοχής τους στην ετειρεία. Δύο ομάδες υπαλλήλων της εταιρείας, οι οποίες διαφέρουν όσον αφορά στις ευκαιρίες που έχουν στη συμμετοχή τους στη λήψη αποφάσεων, ερωτήθηκαν αν είναι ευχαριστημένοι για την εργασία που έχουν στην εταιρεία. Οι 77 στους 110 υπαλλήλους της ομάδας των υπαλλήλων οι οποίοι ενθαρρύνονται σε συμμετοχικές διαδικασίες και οι 5 στους 15 της ομάδας των υπαλλήλων οι οποίοι δεν ενθαρρύνονται σε συμμετοχικές διαδικασίες εδήλωσαν ότι ήταν ευχαριστημένοι. Να βρεθεί ένα διάστημα εμπιστοσύνης 90% για τη διαφορά των δύο ποσοστών και να προσδιοριστεί ένα όριο τους λάθους της εκτίμησης 75. Δείγμα μεγέθους 5,9 v S 16, 45, 4, να φτιάξεις Δ.Ε. με βαθμό 0,96 για τη μέση τιμή αν έχει 76. Για την αντοχή υλικού έχω τις μετρήσεις 0,-1,7-18,1-0,6-,-19,8-17,9. Να φτιάξεις Δ.Ε. 0,95 για τη μέση τιμή. 77. Δείγμα μεγέθους έχει v 36, 14, S 10,8, να φτιάξεις Δ.Ε. 0,90 για τη μέση τιμή.ποιο το Δ.Ε. για βαθμό 0, Σε ανεξάρτητες μετρήσεις Α,Β έχουμε Α τον παρακάτω πίνακα. Να βρεις Δ.Ε. 0,98 για τη διαφορά των μέσων τιμών αν έχουμε ίδια διασπορά Β Σε δείγμα v 15, S 17,, να φτιάξεις Δ.Ε. 0,90 για τη διασπορά 80. Μηχανή έχει ρυθμιστεί να παράγει προιόντα μέσου βάρους 18 κιλών. Για δείγμα έχω : 18,-17,9-18, ,3-17,9-18,1-17,9-18,. Να βρεις Δ.Ε. 0,95 για τη διασπορά του βάρους 81. Από προιόντα μηχανής παίρνω τυχαίο δείγμα ν=15. Ανάμεσά τους υπάρχουν 7 ελαττωματικά προιόντα. Να βρεις Δ.Ε. 0,98 για το ποσοστό των ελαττωματικών προιόντων. 1

14 τηλ. Οικίας : κινητό : Σε 00 άνδρες έχω 8 καπνιστές και σε 300 γυναίκες 87 καπνίστριες. Να βρεις Δ.Ε. 0,95 για τη διαφορά των ποσοστών 13