Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Transcript

1 Έλεγχοι Υποθέσεων

2 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης

3 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να είστε σε θέση να: Εξηγήσετε γιατί είναι Σημαντικός ο Έλεγχος Υποθέσεων Περιγράψετε το ρόλο της Δειγματοληψίας στον Έλεγχο Υπόθεσης Αναγνωρίσετε τα Λάθη τύπου Ι και ΙΙ και πως σχετίζονται μεταξύ τους

4 : Χρησιμοποιώντας τη Στατιστική Μια υπόθεση είναι η θέση ή μια κατάσταση στη φύση (για την πραγματική τιμή μιας άγνωστης πληθυσμιακής παραμέτρου): Ο κατηγορούμενος είναι αθώος 1 Κάθε υπόθεση έχει την αντίθετη (ή εναλλακτική) της: Ο κατηγορούμενος είναι ένοχος 1 Μια υπόθεση είναι είτε αληθής είτε ψευδής και απορρίπτεται ή όχι με βάση τις διαθέσιμες πληροφορίες: Αποδεικτικά στοιχεία σε δίκη Δειγματικά δεδομένα

5 7-5 Λήψη Απόφασης Μια υπόθεση θεωρείται αληθής έως ότου ληφθεί απόφαση για την απόρριψη της ως ψευδή: Η ενοχή πρέπει να αποδειχθεί πέρα από κάθε αμφιβολία Η εναλλακτική υπόθεση είναι μη πιθανή με μεγάλη βεβαιώτητα Η απόφαση για την απόρριψη ή την μη απόρριψη μιας υπόθεσης μπορεί να είναι: Σωστή Μια αληθής υπόθεση δεν απορρίπτεται» Ένας αθώος που κατηγορείται αθωώνεται Μια ψευδής υπόθεση απορρίπτεται» Ένας ένοχος που κατηγορείται καταδικάζεται Λάθος Μια αληθής υπόθεση απορρίπτεται» Ένας αθώος που κατηγορείται καταδικάζεται Μια ψευδής υπόθεση δεν απορρίπτεται» Ένας ένοχος που κατηγορείται αθωώνεται

6 7-6 Στατιστικοί Έλεγχοι Υπόθεσης Η μηδενική υπόθεση, που που συμβολίζεται με με H,, είναι είναι μια μια δήλωση δήλωση για για μια μια ή περισσότερες παραμέτρους. Αυτή Αυτή η δήλωση δήλωση θεωρούμε ότι ότι είναι είναι αληθής αληθής έως έως ότου ότου έχουμε έχουμε επαρκείς στατιστικές ενδείξεις για για να να καταλήξουμε στο στο αντίθετο συμπέρασμα. H : 1 : 1 Η εναλλακτική υπόθεση, που που συμβολίζεται με με H 1 1,, είναι είναι μια μια δήλωση δήλωση για για όλες όλες τις τις περιπτώσεις που που δεν δεν καλύπτονται από από την την μηδενική υπόθεση. H 1 : 1 1 : 1 Οι Οι H και 1 : και H 1 : Είναι αμοιβαία αποκλειόμενες Μόνο μια μια μπορεί να να είναι είναι αληθής. Εξαντλούν όλες όλες τις τις περιπτώσεις Μαζί Μαζί καλύπτουν όλες όλες τις τις δυνατές περιπτώσεις, συνεπώς μια μια από από τις τις δυο δυο πρέπει να να είναι είναι αληθής.

7 7-7 Η μηδενική Υπόθεση, H Η μηδενική υπόθεση: Συνήθως αναπαριστά την την επικρατούσα αντίληψη (την (την κατάσταση status quo). Θεωρείται ότι ότι είναι αληθής έως έως ότου ένας έλεγχος οδηγήσει στην απόρριψη της της (υποστηρίζοντας την την εναλλακτική). Γίνεται δεκτή ως ως αληθής ή απορρίπτεται ως ως ψευδής με με βάση την την τιμή τιμή μιας μιας στατιστικής συνάρτησης ελέγχου.

8 7-2 Οι έννοιες του Ελέγχου Υποθέσεων 7-8 Η τιμή τιμή μιας μιας στατιστικής συνάρτησης ελέγχου ελέγχου είναι είναι ένα ένα δειγματικό στατιστικό που που υπολογίζεται από από δειγματικά δεδομένα. Η τιμή τιμή της της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου ελέγχου χρησιμοποιείται για για να να προσδιοριστεί αν αν θα θα απορριφθεί ή όχι όχι η μηδενική υπόθεση. Ο κανόνας κανόνας απόφασης ενός ενός στατιστικού ελέγχου ελέγχου υποθέσεων είναι είναι ένας ένας κανόνας κανόνας που που προσδιορίζει κάτω κάτω από από ποιες ποιες συνθήκες μπορεί μπορεί να να απορριφθεί η μηδενική υπόθεση. Έστω ότι ότι H : 1. να Η : 1. Μπορεί ο κανόνας απόφασης να αναφέρει: Η H απορρίπτεται αν αν ο δειγματικός μέσος είναι είναι μικρότερος από από ή μεγαλύτερος από από 15. Σε Σε μια μια αίθουσα δικαστηρίου μπορεί να να να να αναφερθεί ότι: ότι: Ο Ο κατηγορούμενος είναι είναι αθώος έως έως ότου ότου αποδειχτεί ένοχος πέρα πέρα από από κάθε κάθε αμφιβολία.

9 7-9 Λήψη Απόφασης Υπάρχουν δυο δυνατές καταστάσεις: Η H είναι αληθής Η H είναι ψευδής Υπάρχουν δυο δυνατές αποφάσεις: Μη απόρριψη της H (Η αληθής) Απόρριψη της H (Η ψευδής)

10 7-1 Λήψη Απόφασης Υπάρχουν δυο σωστές αποφάσεις: Μη απόρριψη μιας αληθούς H Απόρριψη μια ψευδούς H Υπάρχουν δυο λανθασμένες αποφάσεις: Σφάλμα τύπου Ι: Ι: Απόρριψη μιας αληθούς H Η πιθανότητα σφάλματος Τύπου Ι συμβολίζεται με και ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας. Σφάλμα τύπου II: Μη απόρριψη μιας ψευδούς H Η πιθανότητα σφάλματος τύπου II II συμβολίζεται με..

11 7-11 Σφάλματα Τύπου I και Τύπου II Ο ακόλουθος πίνακας διπλής εισόδου καταγράφει τα πιθανά αποτελέσματα ενός στατιστικού ελέγχου υποθέσεων.

12 Είδη ελέγχων υποθέσεων Υπάρχουν δυο είδη ελέγχων υποθέσεων, οι μονόπλευροι (αριστερόπλευροι, δεξιόπλευροι) και οι δίπλευροι έλεγχοι. Για παράδειγμα ένας δεξιόπλευρος έλεγχος είναι ο ακόλουθος: H :: 5 H 1 : 1 : 5 Ο αντίστοιχος αριστερόπλευρος έλεγχος είναι: H :: 5 H 1 1 :: 5 Ο δίπλευρος έλεγχος είναι H :: 5 H 1 : 1 : 5

13 7-13 Έλεγχος Υποθέσεων για τη μέση τιμή Χρησιμοποιούμε ως ως στατιστική συνάρτηση ελέγχου το το Z γνωστό και κανονικός πληθυσμός. σ σ γνωστό και μέγεθος δείγματος τουλάχιστον 3. (Ο (Ο πληθυσμός δεν χρειάζεται να να είναι κανονικός) x z

14 7-14 Περιοχή απόρριψης Η περιοχή απόρριψης σε έναν έλεγχο υπόθεσηςείναι το εύρος των τιμών που μας οδηγούν να απορρίψουμε την μηδενική υπόθεση αν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου βρίσκεται εντός αυτού του εύρους τιμών. Η περιοχή απόρριψης ορίζεται από τα κρίσιμα σημεία.

15 7-15 Περιοχή μη απόρριψης Η περιοχή μη απόρριψης είναι το εύρος των τιμών που μας οδηγούν να μην απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση αν η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου βρεθεί σε αυτό το εύρος τιμών. Σε ένα δίπλευρο έλεγχο, η περιοχή μη απόρριψης έχει τιμές και στις δυο ουρές της δειγματικής κατανομής.

16 7-16 Παράδειγμα 7-5 Ένα αυτόματο μηχάνημα γεμίζει με αναψυκτικό τύπου cola μπουκάλια των 2 λίτρων (2cm3). Ο συνήγορος του καταναλωτή θέλει να ελέγξει την μηδενική υπόθεση ότι η μέση ποσότητα που περιέχει κάθε μπουκάλι είναι τουλάχιστον 2 cm3. Επιλέγεται ένα τυχαίο δείγμα 4 μπουκαλιών που γεμίζονται από το μηχάνημα και καταγράφεται το ακριβές περιεχόμενο των επιλεγμένων μπουκαλιών. Ο δειγματικός μέσος είναι cm3. Η πληθυσμιακή τυπική απόκλιση, από προηγούμενη εμπειρία, είναι γνωστή και ισούται με 1.3 cm3. Ελέξτε την μηδενική υπόθεση σε 5% επίπεδο σημαντικότητας. H : : 2 H 1 : 1 : Για Για.5,.5, η κριτική τιμή τιμή για για το το z z είναι είναι Η σ.σ.ε. είναι: x z Δεν Δεν απορρίπτουμε την την H αν: [z αν: [z ] Απορρίπτουμε την την H αν: z ] αν: z ] 4 4 x x x z x z Απορρίπτουμε Απορρίπτουμε ττη ττη H

17 7-17 Επιπλέον Παραδείγματα (α) Στο Στο πλαίσιο πλαίσιο μιας μιας έρευνας έρευνας για για να να καθοριστεί η έκταση έκταση της της απαιτούμενης χωρητικότητας αποθήκευσης σε σε καμπίνα καμπίνα αεροπλάνου, ένας ένας ερευνητής θέλει θέλει να να ελέγξει ελέγξει τη τη μηδενική υπόθεση ότι ότι το το μέσο μέσο βάρος βάρος των των χειραποσκευών ανά ανά άτομο άτομο είναι είναι 12 λίβρες, έναντι 12 λίβρες, έναντι της της εναλλακτικής υπόθεσης ότι ότι το το μέσο μέσο βάρος βάρος δεν δεν είναι είναι λίβρες. λίβρες. Ο αναλυτής θέλει θέλει να να ελέγξει ελέγξει τη τη μηδενική υπόθεση σε σε α α H : 12 : 12 H 1 : 1 : 12 Για Για.5,.5, οι οι κριτικές τιμές τιμές του του z z είναι είναι ±1.96 x z Η σ.σ.ε. είναι: s Δεν Δεν απορρίπτουμε την την H αν: z αν: [-1.96 z 1.96] Απορρίπτουμε την την H αν: [z z αν: [z <-1.96] ή z 1.96] The Stadard Normal Distributio Περιοχή Απόρριψης Περιοχή μη απόρριψης z Περιοχή Απόρριψης

18 7-18 Επιπλέον Παραδείγματα(α): Λύση x s s z x z ss The Stadard Normal Distributio Περιοχή Απόρριψης Περιοχή μη απόρριψης z Περιοχή Απόρριψης Επειδή Επειδή η τιμή τιμή της της σ.σ.ε. σ.σ.ε. βρίσκεται στην στην περιοχή περιοχή απόρριψης, η H και απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι ότι το το μέσο μέσο βάρος βάρος των των χειραποσκευών ανά ανά άτομο άτομο είναι είναι λίβρες. λίβρες.

19 7-19 Επιπλέον Παραδείγματα(β) Η EPA EPA καθορίζει καθορίζει όρια όρια για για τις τις συγκεντρώσεις συγκεντρώσεις των των ρύπων ρύπων που που εκπέμπονται εκπέμπονται από από διάφορες διάφορες βιομηχανίες. βιομηχανίες. Ας Ας υποθέσουμε υποθέσουμε ότι ότι το το ανώτατο ανώτατο επιτρεπόμενο επιτρεπόμενο όριο όριο για για την την εκπομπή εκπομπή του του χλωριούχου χλωριούχου βινυλίου βινυλίου είναι είναι κατά κατά μέσο μέσο όρο όρο ppm ppm μέσα μέσα σε σε ένα ένα εύρος εύρος δύο δύο μιλίων μιλίων γύρω γύρω από από το το εργοστάσιο εργοστάσιο που που εκπέμπει εκπέμπει αυτή αυτή τη τη χημική χημική ουσία. ουσία. Για Για τον τον έλεγχο έλεγχο της της συμμόρφωσης συμμόρφωσης με με τον τον κανόνα κανόνα αυτό, αυτό, η η EPA EPA συλλέγει συλλέγει ένα ένα τυχαίο τυχαίο δείγμα δείγμα 1 1 μετρήσεων μετρήσεων σε σε διαφορετικούς διαφορετικούς χρόνους χρόνους και και ημερομηνίες ημερομηνίες εντός εντός του του εύρους εύρους των των δύο δύο μιλίων μιλίων γύρω γύρω από από το το εργοστάσιο. εργοστάσιο. Τα Τα συμπεράσματα συμπεράσματα είναι είναι ότι ότι η η μέση μέση συγκέντρωση συγκέντρωση του του δείγματος δείγματος είναι είναι 6 6 ppm ppm και και η η τυπική τυπική απόκλιση απόκλιση του του δείγματος δείγματος είναι είναι 2 2 ppm. ppm. Υπάρχουν Υπάρχουν αποδείξεις αποδείξεις για για να να καταλήξει καταλήξει στο στο συμπέρασμα συμπέρασμα ότι ότι η η εν εν λόγω λόγω μονάδα μονάδα παραβιάζει παραβιάζει το το νόμο; νόμο; H : : 55 H 1 : 1 : Για Για.1,.1, η κριτική τιμή τιμή της της z z είναι είναι Η τιμή τιμή της της σ.σ.ε. είναι: x z s Δεν Δεν απορρίπτουμε την την H αν: [z αν: [z 2.326] Απορρίπτουμε την την H αν: z αν: z 2.326] 1 1 x x 6 6 s s 2 2 x z x z s s Απορρίπτουμε ττη Απορρίπτουμε ττη H 2

20 Επιπλέον Παραδείγματα(β) : Συνεχίζεται 7-2 f(z) Critical Poit for a Right-Tailed Test Περιοχή μη απόρριψης z Περιοχή Απόρριψης 5 Επειδή η τιμή της σ.σ.ε. βρίσκεται στην περιοχή απόρριψης, η H απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι ότι η μέση συγκέντρωση χλωριούχου βινυλίου είναι περισσότερο από ppm.

21 7-21 Επιπλέον Παραδείγματα (γ) Ένα ορισμένο είδος συσκευασμένου τροφίμου φέρει την ακόλουθη δήλωση στο πακέτο: "Μέσο καθαρό βάρος 12 ουγκιές. Ας υποθέσουμε ότι μια ομάδα καταναλωτών έχει γίνει αποδέκτης καταγγελιών από αγοραστές του προϊόντος που πιστεύουν ότι περιέχει μικρότερη ποσότητα από ό, τι σημειώνεται στο πακέτο. Η ομάδα θέλει να ελεγχθεί η υπόθεση ότι το μέσο καθαρό βάρος του εν λόγω προϊόντος είναι τουλάχιστον 12 ουγκιές έναντι της εναλλακτικής ότι τα πακέτα περιέχουν, κατά μέσο όρο, λιγότερη ποσότητα. Συλλέγεται ένα τυχαίο δείγμα από 144 συσκευασίες του προϊόντος και διαπιστώνεται ότι το μέσο καθαρό βάρος του δείγματος είναι 11,8 ουγκιές και η τυπική απόκλιση του δείγματος είναι 6 ουγκιές. Με τα στοιχεία αυτά ελέγξτε την παραπάνω υπόθεση. H : : 12 H 1 : 1 : Για Για.5,.5, η τιμή τιμή της της σ.σ.ε.. z z είναι είναι x z s Η σ.σ.ε. είναι: Δεν Δεν απορρίπτουμε την την H αν: [z αν: [z ] Απορρίπτουμε την την H αν: z ] αν: z ] x x s s 6 6 x z x z s s Δεν Δεν απορρίπτουμε απορρίπτουμε ττη ττη H

22 Επιπλέον Παραδείγματα (γ) : Συνεχίζεται 7-22 f(z) Critical Poit for a Left-Tailed Test Περιοχή Απόρριψης -.4 Περιοχή μη απόρριψης.95 5 z Επειδή η τιμή της σ.σ.ε. βρίσκεται στην περιοχή μη μη απόρριψης, η H H δεν απορρίπτεται και συμπεραίνουμε ότι ότι ο κατασκευαστής βάζει την σωστή ποσότητα σε σε κάθε πακέτο κατά μέσο όρο.