Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων

Transcript

1 Επανάληψη ελέγχων υποθέσεων

2 Ποιό το πρόβλημα; Περιγραφή ενός πληθυσμού Σύγκριση δύο πληθυσμών Είδος δεδομένων; Είδος δεδομένων Ποσοτικά Ποιοτικά Ποσοτικά Ποιοτικά Ποιά παράμετρος; Z tet & δ.ε. του p Ποιά παράμετρος; Z tet & δ.ε. του p -p θέσης μεταβλητότητας θέσης μεταβλητότητας t- tet & δ.ε. του μ χ -tet & δ.ε. του σ συνέχεια Πειραματικός σχεδιασμός συνέχεια F- tet & δ.ε. του σ /σ

3 συνέχεια συνέχεια Πειραματικός σχεδιασμός; Ανεξάρτητα δείγματα Ζευγαρωτές παρατηρήσεις Διακυμάνσεις πληθυσμού; t- tet & δ.ε. Του μ D ίσες άνισες t- tet & δ.ε. του μ -μ (ίσες διακυμάνσεις t- tet & δ.ε. του μ -μ (άνισες διακυμάνσεις 3

4 Περίληψη των ελέγχων Περιγραφή ενός πληθυσμού. Είδος δεδομένων: ποσοτικά Παράμετρος κεντρικής θέσης παράμετρος: μ Tet : x μ Διάστημα εμπιστοσύνης: Υπόθεση: κανονικός πληθυσμός t x ± t α 4

5 Παράμετρος μεταβλητότητας. παράμετρος: σ Tet : χ Διάστημα εμπιστοσύνης: ( σ προϋπόθεση: κανονικός πληθυσμός. κάτω όριο άνω όριο ( χ α ( χ α, 5

6 Είδος δεδομένων: Ποιοτικά παράμετρος: p Tet : z pˆ p p( p Διάστημα εμπιστοσύνης: pˆ ± z α pˆ( pˆ Προϋπόθεση: p 5 και ( p 5 ( για tet pˆ 5 και ( pˆ 5 ( για δ. ε. 6

7 7 Σύγκριση δύο πληθυσμών. Είδος δεδομένων: ποσοτικά. Παράμετρος θέσης μ - μ Πειραματικός σχεδιασμός: ανεξάρτητα δείγματα Διακυμάνσεις πληθυσμού Tet Διάστημα εμπιστοσύνης: Προϋπόθεση: κανονικοί πληθυσμοί ( ( x x ( t p + μ μ ( t x x p + ± α d.f. + - σ σ

8 8 Σύγκριση δύο πληθυσμών. Είδος δεδομένων: ποσοτικά. Παράμετρος θέσης μ - μ Πειραματικόςσχεδιασμός: ανεξάρτητα δείγματα Διακυμάνσεις πληθυσμού Tet Διάστημα εμπιστοσύνης: Προϋπόθεση: κανονικοί πληθυσμοί σ σ ( ( x x ( t + μ μ ( t x x + ± α ( ( ( d.f. + +

9 Σύγκριση δύο πληθυσμών. Είδος δεδομένων: ποσοτικά. Παράμετρος μ D Πειραματικός σχεδιασμός: ζευγαρωτές παρατηρήσεις Tet Διάστημα εμπιστοσύνης: d.f. D - t x D D μ D D x D ± t α /, D D D Προϋπόθεση: κανονικοί πληθυσμοί 9

10 0 Σύγκριση δύο πληθυσμών. Είδος δεδομένων: ποσοτικά. παράμετρος: Tet : Διάστημα εμπιστοσύνης: Υπόθεση: κανονικός πληθυσμός F σ σ,,, /,, / ό F F ν και ν που ν ν α ν ν α

11 Σύγκριση δύο πληθυσμών. Είδος δεδομένων: ποιοτικά. παράμετρος: p -p Tet : : H 0 : p -p 0 Z (pˆ pˆ (p pˆ( pˆ( p + προϋπόθεση: pˆ, ( pˆ, pˆ, ( pˆ 5 : H 0 : p -p D Διάστημα εμπιστοσύνης: Z ( pˆ pˆ pˆ ( pˆ ( p + pˆ ( p pˆ (pˆ pˆ ± pˆ ( pˆ + pˆ ( pˆ

12 Παράδειγμα Μεγάλη αεροπορική εταιρεία θέλει να εκτιμήσει τον μέσο αριθμό μηκατειλημμένων θέσεων κάθε πτήσης του προηγούμενου έτους. Δείγμα από 5 πτήσεις επιλέγεται τυχαία και καταγράφεται ο αριθμός των ελεύθερων θέσεων. Από το δείγμα υπολογίζονται: x.6 θέσεις και 4. θέσεις Να βρεθούν τα 90%, 95% και 99% δ.ε. για τον πραγματικό μέσο αριθμό θέσεων του προηγούμενου έτους.

13 Απάντηση: Από τους πίνακες της Ν(0, βρίσκουμε: 00(-a% a a/ z a / 90% % %

14 Αφού σ άγνωστη: 90%δ.ε.: , (.5, %δ.ε.: , (.06, %δ.ε.: , (0.9, Ερμηνεία: Μπορούμε να είμαστε 99% σίγουροι ότι η πραγματική τιμή μ βρίσκεται ανάμεσα στο 0.9 και στο.3 4

15 Παράδειγμα Μια φαρμακευτική εταιρεία πρέπει να εκτιμήσει τη μέση αύξηση στην πίεση ασθενών που παίρνουν ένα νέο φάρμακο. Μόνο 6 ασθενείς μπορούν να πάρουν το νέο φάρμακο σε αρχικό στάδιο δοκιμής σε ανθρώπους. Μετρήσεις αύξησης πίεσης:.7, 3.0, 0.8, 3.4,.7,. Να βρεθεί 95% δ.ε. για το μ. 5

16 Απάντηση: Υπολογίζουμε x.83 και Βαθμοί ελευθερίας (d.f. - 5 Από τους πίνακες της t κατανομής: t 5 ; Άρα 95%δ.ε.: , (.86,3.80 6

17 Παράδειγμα 3 Κατασκευαστής εκτυπωτών θέλει να εκτιμήσει με 99% δ.ε.το μέσο αριθμό χαρακτήρων που τυπώνονται πριν από την καταστροφή της κεφαλής. Δοκιμάζονται 5 κεφαλές και καταγράφεται ο αριθμός χαρακτήρων πριν την καταστροφή (σε εκατομμύρια..3,.36,.0,.55,.3,.33,.43, 0.85,.8, 0.9,.07,.,.5,.48,.9 7

18 Απάντηση: x. 39 και Βαθμοί ελευθερίας (d.f. - 4 Από τους πίνακες της t κατανομής: t 4 ; Άρα 99%δ.ε.: , (.09,.387 8

19 Παράδειγμα 4 Υπάρχει ένας δείκτης που χαρακτηρίζει επιτυχημένο ένα στέλεχος διοίκησης και προκύπτει από τα χρόνια σε μια εταιρεία και από το επίπεδό του στην εταιρεία. Ο δείκτης εκφράζεται σε κλίμακα του 00. Ένας ερευνητής θέλει να συγκρίνει ομάδες στελεχών σε μια μεγάλη επιχείρηση. Η ομάδα Α αποτελείται από στελέχη που έχουν πολύ μεγάλη επικοινωνία με τον εξωτερικό κόσμο (πελάτες, προμηθευτές κλπ ενώ η ομάδα Β σπάνια επικοινωνεί με κόσμο έξω από την εταιρεία. Ανεξάρτητα δείγματα και 5 ατόμων αξιολογούνται από τις ομάδες. Να βρεθεί 95% δ.ε. για τη διαφορά μέσης επιτυχίας στις ομάδες 9

20 Από τα δείγματα έχουμε: Ομάδα Α:, x , 6. 6 Ομάδα Β: m 5, y , a 0.05 t 5 ; (+5-5 β.ε. Αν υποθέσουμε ότι οι διασπορές είναι ίσες: ( (6.6 + (5 + 5 (

21 %δ.ε.: (9.8,.44 ± Συμπέρασμα: Είμαστε 95% σίγουροι ότι η πραγματική διαφορά στις μέσες τιμές του δείκτη επιτυχίας υπερβαίνει το 0, επομένως μπορούμε να συμπεράνουμε σημαντική υπεροχή στη μέση επιτυχία των στελεχών της ομάδας Α.

22 Παράδειγμα 5 Διεξαγωγή πειράματος για τη σύγκριση αρχικού μισθού ανδρών & γυναικών πτυχιούχων. Σχηματίζονται 0 ζεύγη από έναν άνδρα και μια γυναίκα με το ίδιο ακριβώς πτυχίο και τον ίδιο ακριβώς βαθμό. Αποτελέσματα: Άνδρες 9,300 3,500 30,400 8,500 33,500 7,800 9,500 3,00 8,400 9,00 Γυναίκες 8,800 3,600 9,800 8,500 3,600 8,000 9,00 30,00 8,00 8,500 Διαφορά ,

23 z 400, , t. 6 z 9 ; % δ.ε.: ± (89, 7 0 Συμπέρασμα: μ μ 0 > 3

24 Παράδειγμα 6 Μια εταιρεία κινητής τηλεφωνίας διεξάγει έρευνα αγοράς. Με τυχαία δειγματοληψία παίρνει συνεντεύξεις από 000 καταναλωτές για να διαπιστώσει ποια είναι η εταιρεία που προτιμούν. Από το δείγμα, 33 καταναλωτές προτιμούν την συγκεκριμένη εταιρεία. Να γίνει εκτίμηση του πραγματικού ποσοστού όλων των καταναλωτών που προτιμούν την εταιρεία. 4

25 Αποτελέσματα: 33 p ˆ Για 95% δ.ε.: a z. 96 pˆ( pˆ pˆ ± za / 95% δ.ε. (0.84, ± ( Συμπέρασμα: Η εταιρεία είναι 95% σίγουρη ότι το διάστημα από 8.4% μέχρι 34.% περιέχει το πραγματικό ποσοστό όλων των καταναλωτών που προτιμούν τη συγκεκριμένη εταιρεία 5

26 Παράδειγμα 7 Εταιρεία που κατασκευάζει ένα ακριβό μοντέλο Η/Υ θέλει να συγκρίνει τα ποσοστά των υποψήφιων αγοραστών σε δύο διαφορετικές περιοχές Α και Β. Με τυχαίες τηλεφωνικές συνεντεύξεις σε 000 ανθρώπους κάθε περιοχής διαπιστώνει ότι 4 άτομα από την Α και 4 άτομα από τη Β πρόκειται στα επόμενα χρόνια να αγοράσουν το μοντέλο. 6

27 Αποτελέσματα: x 4 ˆ x 4 p 0.04, p ˆ m % δ.ε. για p p: a z (0.04(0.958 (0.04( ± (0.00,0.034 Συμπέρασμα: Αφού το δ.ε. δεν περιέχει το 0, υπάρχει διαφορά στα ποσοστά των υποψήφιων αγοραστών των περιοχών. 7

28 Παράδειγμα 8 Ένας κατασκευαστής προϊόντων χαρτιού θέλει να συγκρίνει την διακύμανση στην ημερήσια παραγωγή δύο μηχανών Α και Β. Ανεξάρτητα δεδομένα συλλέγονται από κάθε μηχανή: Α: 3 ημέρες, x 6. 3, 8. Β: m 6 ημέρες, x 9. 7, 4. 7 Για a 0. 0 (98% δ.ε.: Από πίνακες: F ; m; a / F;5; Fm ; ; a / F5;;

29 9 (0.89, (4.7 (8., 3.67 (4.7 (8., / ;, / ;, a m a m F F Δεν μπορούμε να ισχυριστούμε με σιγουριά 98% ότι οι διασπορές διαφέρουν σημαντικά αφού το περιέχεται στο δ.ε.