cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής

Transcript

1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Δ.Ε. της παραμέτρου θ: ˆ θ cv σ < θ < ˆ θ + cv σ ˆ θ ˆ θ θ = η παράμετρος που θέλουμε να εκτιμήσουμε, ˆ θ = η εκτίμηση της θ που προκύπτει από το τ.δ. cv = κατάλληλη κριτική (κρίσιμη) τιμή από τους πίνακες της Ζ ή t κατανομής θˆ σ = τυπικό σφάλμα του εκτιμητή ˆ θ.

2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Ι. EΝΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΕΝΑ ΔΕΙΓΜΑ σ γνωστή n < 30 (κανονικός πληθ.) 1. Δ.Ε για το μέσο ενός πληθυσμού σ άγνωστη n > 30 σ γνωστή σ άγνωστη. Δ.Ε για τη διακύμανση σ ενός πληθυσμού ΙΙ. ΔΥΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΥΟ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Α. ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ σ Χ γνωστή n Χ, Υ < 30 (κανονικοί πληθ.) σ Υ γνωστή 1. Δ.Ε για τη διαφορά μ Χ μ Υ σ Χ = σ Υ άγνωστες σ Χ σ Υ άγνωστες n Χ, Υ > 30 σ Χ, σ Υ γνωστές Β. ΜΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ σ Χ, σ Υ άγνωστες

3 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα 1. Υποθέστε ότι η ετήσια αποταμίευση μίας κατηγορίας νοικοκυριών με ορισμένο επίπεδο εισοδήματος και περιουσιακών στοιχείων είναι μία τυχαία μεταβλητή, Χ, η οποία ακολουθεί την κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ = 0,5 εκατ. δρχ. Έστω ότι ένα τυχαίο δείγμα n=16 νοικοκυριών της κατηγορίας αυτής απ όλη τη χώρα έδωσε x = εκατ. δρχ. Να κατασκευασθεί ένα 90% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ετήσια αποταμίευση όλων των νοικοκυριών της χώρας, τα οποία ανήκουν σ αυτήν την κατηγορία.

4 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα. Έστω τ.δ. μεγέθους n από N( μσ, = 9). Να βρεθεί ο βαθμός (επίπεδο) εμπιστοσύνης, 1-α, του Δ.Ε. του μ, όταν L = X 6 n και U = X + 6 n

5 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα 3. Έστω ότι οι βαθμοί σ ένα τεστ ξένης γλώσσας, το οποίο διεξάγεται σε πολλές χώρες την ίδια στιγμή, ακολουθούν την κανονική κατανομή. Να κατασκευασθεί ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στη μέση βαθμολογία μεταξύ εξεταζομένων από δύο χώρες, Α και Β, υποθέτοντας ότι σ = 440 και σ = 500 και ότι δύο δείγματα μεγέθους nα = 15 A B και n Β = 1 από τις χώρες Α και Β, αντίστοιχα, έδωσαν x A = 1000 και x B = 985

6 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα 4. Ένα πείραμα σύγκρισης των χρόνων αντίδρασης δυο φαρμάκων Α, Β έδωσε τα παρακάτω αποτελέσματα (σε δευτερόλεπτα) για ένα τυχαίο δείγμα 16 ατόμων Φάρμακο Α: 1, 3,, 1,, 1, 3, Φάρμακο Β: 4,, 3, 3, 1,, 3, 3 Εάν οι κατανομές των χρόνων αντίδρασης των φαρμάκων Α και Β είναι N ( μ A, σ ) και N ( μb, σ ) αντίστοιχα, όπου σ άγνωστο, να βρεθεί ένα 90% Δ.Ε. για τη διαφορά μ μ A B

7 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ Παράδειγμα 5. Ο Πίνακας που ακολουθεί, περιέχει υποθετικά στοιχεία για την παραγωγικότητα (ωριαίο προϊόν κατά εργάτη) επτά εργατών μίας εταιρείας πριν και μετά την εισαγωγή μίας νέας μεθόδου παραγωγής. Υποθέτοντας ότι οι δύο πληθυσμοί είναι κανονικοί, να κατασκευασθεί ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση διαφορά μ Υ - μ Χ. Έχει αυξηθεί η μέση παραγωγικότητα των εργατών της εταιρείας με τη νέα μέθοδο παραγωγής; Εργάτης Α Β Γ Δ Ε ΣΤ Ζ Χ = Παραγωγικότητα πριν Υ = Παραγωγικότητα μετά

8 ΝΑ ΔΟΥΜΕ ΠΩΣ ΥΠΟΛΟΓΙΖΟΥΜΕ ΤΑ ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ Ζ(α/) ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΠΙΝΑΚΕΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.1. Σ ένα εργοστάσιο κονσερβών, ο υπεύθυνος επί της παραγωγής γνωρίζει ότι το καθαρό βάρος (σε γραμμάρια) μίας κονσέρβας ακολουθεί την κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ = 4. Ένα τυχαίο δείγμα n = 9 κονσερβών έδωσε τα ακόλουθα καθαρά βάρη: 50, 53, 49, 55, 57, 44, 5, 48, 60. (α) Να υπολογίσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο καθαρό βάρος όλων των κονσερβών. (β) Χωρίς να κατασκευάσετε το 99% διάστημα εμπιστοσύνης, μπορείτε να προβλέψετε αν αυτό θα έχει μεγαλύτερο, ίσο, ή μικρότερο εύρος από το 95% διάστημα πού κατασκευάσατε στο μέρος (α);

10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.. Σ ένα συγκεκριμένο τμήμα ενός δρόμου γίνονται σχετικά πολλά αυτοκινητιστικά δυστυχήματα. Για ένα τυχαίο δείγμα n = 10 αυτοκινήτων, τα οποία κινούνται πάνω σ αυτό το τμήμα, το radar κατέγραψε τις ακόλουθες ταχύτητες (χλμ./ώρα): 13, 155, 138, 140, 130, 145, 135, 10, 160, 155. Αν η ταχύτητα των αυτοκινήτων που κινούνται σ αυτό το τμήμα του δρόμου είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την κανονική κατανομή, να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη μέση ταχύτητα όλων αυτών των αυτοκινήτων.

11 Πίνακας Π.4: Η κατανομή t Βαθμοί ελ. v α 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,078 6,314 1,706 31,81 63,656 1,886,90 4,303 6,965 9,95 3 1,638,353 3,18 4,541 5, ,533,13,776 3,747 4, ,476,015,571 3,365 4,03 6 1,440 1,943,447 3,143 3, ,415 1,895,365,998 3, ,397 1,860,306,896 3, ,383 1,833,6,81 3, ,37 1,81,8,764 3, ,363 1,796,01,718 3, ,356 1,78,179,681 3, ,350 1,771,160,650 3, ,345 1,761,145,64, ,341 1,753,131,60, ,337 1,746,10,583, ,333 1,740,110,567, ,330 1,734,101,55, ,38 1,79,093,539, ,35 1,75,086,58,845

12 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.4. Ένα τυχαίο δείγμα n = 9 υπερτασικών μέτρησαν την πίεση του αίματός τους λίγο πριν πάρουν ένα νέο φάρμακο για την υπέρταση καθώς και δύο ώρες μετά. Τα αποτελέσματα ήταν τα εξής: Ασθενής Χ = Πίεση πριν 0 19, ,5 0, ,5 Υ = Πίεση μετά , ,5 17, ,5 Να κατασκευάσετε ένα 99% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στη μέση πίεση αίματος πριν και μετά τη λήψη του φαρμάκου. Ποιά είναι η απαραίτητη υπόθεση που πρέπει να κάνετε; Τί συμπεραίνετε, κατεβάζει ή όχι την πίεση το νέο φάρμακο;

13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.5. Μία εμπορική εταιρεία διαλέγει τυχαία 10 από τους πωλητές της για να παρακολουθήσουν επιμορφωτικά σεμινάρια. Κατά τη διάρκεια του έτους που ακολούθησε τη λήξη των σεμιναρίων, η μέση αξία των πωλήσεων αυτών των πωλητών ήταν 30 εκατ. δρχ. με τυπική απόκλιση 5 εκατ. δρχ. Κατά τη διάρκεια του ίδιου έτους, η μέση αξία των πωλήσεων 1 άλλων πωλητών που επελέγησαν τυχαία από τους υπολοίπους υπαλλήλους της εταιρείας ήταν 5 εκατ. δρχ. με τυπική απόκλιση 4 εκατ. δρχ. Υποθέσατε ότι οι δύο πληθυσμοί είναι κανονικοί. (α) Αν οι διακυμάνσεις των δύο πληθυσμών είναι ίσες, ποιό θα είναι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τη διαφορά στη μέση αξία πωλήσεων; (γ) Τί συμπεραίνετε, ήταν ή όχι αποτελεσματικά τά σεμινάρια;

14 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8.6. Για την Άσκηση 8., να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την τυπική απόκλιση (σ) της ταχύτητας όλων των αυτοκινήτων που κινούνται στο συγκεκριμένο τμήμα του δρόμου.

15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω ότι οι αποδοχές των εργαζομένων σε μία μεγάλη επιχείρηση ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ. Οι μηνιαίες αποδοχές (σε ευρώ) 7 τυχαία επιλεγμένων εργαζομένων είναι 1098, 110, 110, 105, 103, 977, 890 (i) Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης συντελεστού για τον μέσο μισθό μ όλων των εργαζομένων στην επιχείρηση. (ii) Ποιό θα ήταν το αντίστοιχο Δ.Ε. αν ήταν γνωστό ότι σ = 70; Πόσο δείγμα πρέπει να πάρουμε σε αυτή την περίπτωση για να κατασκευάσουμε Δ.Ε. με εύρος 0 ευρώ;