4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

Transcript

1 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση. Σε αυτήν υπολογίζουμε έναν μοναδικό αριθμό για να εκτιμήσουμε την παράμετρο που μας ενδιαφέρει. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούμε τον 1 δειγματικό μέσο fx i i για να εκτιμήσουμε την πραγματική αλλά άγνωστη τιμή της μέσης τιμής του πληθυσμού. Ο δειγματικός μέσος καλείται σημειακός εκτιμητής της μέσης τιμής του πληθυσμού. Καθώς όμως μια σημειακή εκτίμηση υπολογίζεται από ένα συγκεκριμένο δείγμα, είναι ευνόητο ότι διαφορετικά δείγματα θα μας δώσουν διαφορετικές εκτιμήσεις για την παράμετρο του πληθυσμού. Αυτό σημαίνει ότι ένας σημειακός εκτιμητής εμφανίζει μια μεταβλητότητα στις τιμές του. Αυτήν ακριβώς, η ενυπάρχουσα μεταβλητότητα της εκτιμήτριας, δεν καταγράφεται από τον σημειακό εκτιμητή. Το αποτέλεσμα είναι ότι, στην πραγματικότητα, δεν γνωρίζουμε πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου βρίσκεται η εκτίμησή της. Έτσι, πολλές φορές, για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού χρησιμοποιούμε μια δεύτερη μέθοδο, γνωστή ως εκτίμηση σε διάστημα. Αυτή η μέθοδος μας παρέχει ένα εύρος τιμών, ένα διάστημα το οποίο είναι έτσι σχεδιασμένο ώστε να περιέχει την παράμετρο που μας ενδιαφέρει, με κάποιον βαθμό εμπιστοσύνης. Αυτό το εύρος τιμών καλείται διάστημα εμπιστοσύνης της παραμέτρου (1 α)% Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου : Πληθυσμός Αγνώστου Κατανομής και διασποράς σ Μεγάλα Δείγματα ( > 30) όπου: Ζα Z το σφάλμα (η πιθανότητα λάθους) το μέγεθος του δείγματος είναι ο δειγματικός μέσος είναι ο συντελεστής εμπιστοσύνης ( Z , Z , Z ) Η τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας X

2 58 4 ο Μάθημα Παραδείγματα 1. Συγκεντρώθηκε ένα τυχαίο δείγμα από 100 σταγόνες δακρύων. Το δείγμα έδωσε μια μέση περιεκτικότητα σε αλάτι 10 και τυπική απόκλιση Να εκτιμηθεί ένα 95% δ.ε. για τη μέση περιεκτικότητα σε αλάτι των δακρύων ανά σταγόνα. Λύση Υπολογίζουμε: α = τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας X Z Z Z 1.96 συντελεστής εμπιστοσύνης Επομένως το 95% δ.ε. εμπιστοσύνης του μέσου θα είναι: Z ( , ) ή 0.01 Z 10 Z Z , ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Με πιθανότητα σφάλματος α = 0. 05, εκτιμούμε ότι η μέση περιεκτικότητα σε αλάτι των δακρύων ανά σταγόνα, βρίσκεται εντός των ορίων και ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η πιθανότητα σφάλματος α, είναι η πιθανότητα να έχουμε σφάλμα στην εκτίμησή μας, δηλαδή η πιθανότητα το διάστημα εμπιστοσύνης που υπολογίσαμε να μην έχει εντοπίσει την πραγματική τιμή της άγνωστης παραμέτρου μ, η οποία είναι μοναδική και συγκεκριμένη. Μαρίνα Σύρπη

3 Διαστήματα Εμπιστοσύνης (1 α)% Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου : Πληθυσμός Κανονικός Άγνωστη Διασπορά σ Μικρά Δείγματα ( 30) όπου: t το σφάλμα (η πιθανότητα λάθους) το μέγεθος του δείγματος είναι ο δειγματικός μέσος Η τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας ; 1 t είναι ο συντελεστής εμπιστοσύνης (από τον πίνακα της t - κατανομής ), ; 1 όπου α το σφάλμα και 1 οι βαθμοί ελευθερίας. X Παραδείγματα. Τα 16 μέλη μιας ομάδας bketbll ενός σχολείου είχαν μέσο μέγεθος παπουτσιών 44. και τυπική απόκλιση 5. Υποθέτοντας ότι ο πληθυσμός είναι κανονικός να εκτιμήσετε το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό μέσο μέγεθος παπουτσιών των παιδιών που παίζουν bketbll όλων των σχολείων. Λύση Υπολογίζουμε: = τυπική απόκλιση της εκτιμήτριας X t t t συντελεστής εμπιστοσύνης ;15 ; 1 ;16 1 Επομένως το 90% δ.ε. εμπιστοσύνης του μέσου θα είναι: t ( , ) ; 1 ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Για την εύρεση της τιμής t 0.05;15 δείτε στο τέλος του μαθήματος το παράδειγμα στον πίνακα της κατανομής t Studet. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ Με πιθανότητα σφάλματος α = 0, 05, εκτιμούμε ότι το μέσο μέγεθος των παπουτσιών των παιδιών που παίζουν μπάσκετ, βρίσκεται εντός των ορίων και Σημειώσεις Στατιστικής

4 60 4 ο Μάθημα Ασκήσεις 1. Για μια έρευνα που αφορά το ύψος των φοιτητών πήραμε ένα δείγμα τυχαίο δείγμα 49 ατόμων, και βρήκαμε δειγματική μέση τιμή 170 cm και δειγματική τυπική απόκλιση 8cm. ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική μέση τιμή του ύψους όλων των φοιτητών.. Από μία μελέτη που διεξήχθη σε δείγμα 64 τυχαία επιλεγμένων φοιτητών στο ΤΕΙ Θεσσαλονίκης που δεν είναι μόνιμοι κάτοικοι Θεσσαλονίκης, εκτιμήθηκε το μέσο κόστος διαβίωσης σε Χ = 800 και η τυπική απόκλιση σε = 100. ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό μέσο κόστος διαβίωσης των φοιτητών. 3. Τα κέρδη των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας ακολουθούν την Κανονική Κατανομή. Από ένα δείγμα 16 τυχαία επιλεγμένων μονάδων εκτιμήθηκε το μέσο ετήσιο κέρδος σε Χ = και η τυπική απόκλιση σε = ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το πραγματικό μέσο ετήσιο κέρδος των μονάδων τυποποίησης προϊόντων στην περιοχή της Μακεδονίας, με την προϋπόθεση ότι ακολουθούν Κανονική Κατανομή. 4. Η τιμή ενός υποκατάστατου αγαθού είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική Κατανομή. Από μία έρευνα που έγινε σε 9 τυχαία επιλεγμένα Super Mrket στο κέντρο της Θεσσαλονίκης η μέση τιμή πώλησης του αγαθού εκτιμήθηκε σε Χ = 3 το κιλό και η τυπική απόκλιση σε = 0.5. ( β ) Να βρεθεί και να ερμηνευτεί το 90% διάστημα εμπιστοσύνης για την πραγματική μέση τιμή πώλησης του υποκατάστατου αγαθού στα Super Mrket στο κέντρο της Θεσσαλονίκης, με την προϋπόθεση Κανονικής Κατανομής. Μαρίνα Σύρπη

5 Διαστήματα Εμπιστοσύνης 61 Πίνακας της Κατανομής t - Studet ν οι βαθμοί ελευθερίας Παράδειγμα t t t ;15 ; 1 ;16 1 Σημειώσεις Στατιστικής