ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΑΛΓΕΒΡΑΣ... ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2012 ΘΕΜΑ 1 Ο

Transcript

1 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 1 Α1. Έστω P(x) ένα πολυώνυµο του x και p ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(χ) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το πολυώνυµο (χ-p), τότε: α. Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του P(x) µε το (χ-ρ). β. Το υπόλοιπο υ(x) είναι: Μονάδες,5 Α. Πάντοτε πολυώνυµο ίδιου βαθµού µε το P(x). Β. Πολυώνυµο πρώτου βαθµού. Γ. Σταθερό πολυώνυµο. Πάντοτε το µηδενικό πολυώνυµο. Μονάδες 5 γ. Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P(x) µε το (χ-ρ) είναι ίσο µε την τιµή του πολυωνύµου για χ=ρ. Είναι δηλαδή υ=p(p). Μονάδες 5 3 Α. Έστω το πολυώνυµο P( x) = k x 3kx + kx+ 1, όπου k πραγµατικός αριθµός. Για ποια από τις παρακάτω τιµές του k το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το (χ-1) είναι ίσο µε το µηδέν. Α. k= B. K=-1 Γ. k=1. k= Ε. k=- ΘΕΜΑ Ο ίνεται το πολυώνυµο ( β ) Μονάδες 1,5 3 P( x) = ax + 1 x 3x β+ 6, όπου α, β πραγµατικοί αριθµοί. α. Αν ο αριθµός 1 είναι ρίζα του πολυωνύµου P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) µε το χ+1 είναι ίσο µε, τότε να δείξετε ότι α= και β=4. Μονάδες 15 β. Για τις τιµές των α και β του ερωτήµατος α), να λύσετε την εξίσωση P( x ) = Μονάδες 1

2 ΘΕΜΑ 3 Ο 4 3 P x x x a x x a ίνεται το πολυώνυµο ( ) ( ) = όπου a R. α. Να κάνετε τη διαίρεση του P(x) δια του x 1 και να γράψετε την σχετική ταυτότητα. Μονάδες 9 β. Να βρείτε την τιµή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια. Μονάδες 4 γ. Για α=3 να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης P( x ) = καθώς και τα διαστήµατα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυµικής συνάρτησης P(x) είναι κάτω από τον άξονα x χ. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ 4 Ο 3 Α. ίνεται το πολυώνυµο P( x) = x 5x + ax+ β µε a, β R. Αν το - είναι ρίζα του P(x) και η τιµή του πολυωνύµου για χ=1 είναι 9. α. Να υπολογίσετε τα α, β. Μονάδες 5 β. Για α=-8 και β= να λύσετε την εξίσωση P( x ) = Μονάδες 7 Β. ίνεται πολυώνυµο P( x) = a( x 1) + β( x 1)( x+ 1) + γ( x+ 1) µε,, Q( x) = 4 x. Να βρείτε τα a, β, γ R µε την προϋπόθεση ότι τα πολυώνυµα P(x) και Q( x ) a β γ R και πολυώνυµο είναι ίσα. Μονάδες 13 Καλή Επιτυχία!

3 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ Να απλοποιηθεί: 7π ηµ π ϑ σϕ ϑ συν π ϑ A= 3π π συν + ϑ εφ( π + ϑ) συν + ϑ ( + ) ( 15 + ) ΜΟΝΑ ΕΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: = 3 ( ηµ x) εφx ( σϕx ) ΜΟΝΑ ΕΣ 1 Καλή Επιτυχία!!!

4 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ Ν απλοποιηθεί: π 7π συν + ϑ εφ( π ϑ) ηµ ϑ A= 5π π συν + ϑ σϕ( ϑ) σϕ + ϑ 1 ΜΟΝΑ ΕΣ. Να αποδείξετε ότι: ηµ x 1 1 = συν x + συν x 8 ΜΟΝΑ ΕΣ Καλή Επιτυχία!!!

5 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 11 Να λυθεί η εξίσωση: 3 x + 5x 4x 3= ΘΕΜΑ Ο Να λυθεί η ανίσωση: 3 x x x ΘΕΜΑ 3 Ο P x = 6x 7x 16 x+ mτότε : Αν ( ) 3 α) Να βρείτε το m ώστε το P( x ) να έχει παράγοντα το ( x ) β) Για m= 1 να λύσετε την ανίσωση P( x ) >. ΘΕΜΑ 4 Ο Αν P( x) = 4x ax+ β a τότε να βρείτε τα: α, β ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( x ) µε το 1 x+ ΘΕΜΑ 5 Ο να είναι 1 και το -1 να είναι ρίζα του P ( x ). Να λυθεί η εξίσωση: x+ = x (Να κάνετε και επαλήθευση).

6 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 1 α) Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 i). ηµ x= 1 ii) συν x= iii) εφ x= 1 iv) σϕ x= 3 β) Όµοια: ( x ) (1 ηµ x) συν + = ΘΕΜΑ Ο α) x εφ = 1 3 π β) συν x 1= 4 ΘΕΜΑ 3 Ο α) συν συν x+ x 1= π β) 3εφ x+ 3= 3 ΘΕΜΑ 4 Ο π π α) ηµ x = συν x+ 6 4 β) συν + ηµ + = x 5 x 4 Καλή Επιτυχία!!!

7 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) o α) Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας: 7.3. β) Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας: 17 π. 4 ΘΕΜΑ Ο 1 π α) Αν συν a= και < α < π, να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α π β) Αν εφα = και < α < π, να βρείτε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α. 3 ΘΕΜΑ 3 Ο α) Να δειχτεί ότι: ( εφω)( σϕω) β) Να δειχτεί ότι: ( ηµω+ συνω) =. ηµωσυνω = εϕ ω. 4 ηµ ω συν ω ηµ ω ΘΕΜΑ 4 Ο α) Να βρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας: 31 π. 6 β) Να βρεθεί η τιµή της παράστασης: π εϕ( π ω) συν( ω) ηµ ω σϕ( π + ω) συν 14π + ω συν 17π + ω ( ) ( )

8 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) α) Να κάνετε την αντιστοίχιση: Στήλη Α 1. συν 45 α.. 3. π ηµ β. 6 Στήλη Β π εφ γ σϕ 6 δ. 1 3 Α Β ε. 3 3 β) Σωστά Λάθος i. ηµ 1+ συν 1= ii. εφ4σϕ 4= 1 iii. συν 3 εφ3= ηµ 3 3π iv. Αν π < x< τότε : συν x= 1 ηµ x ΘΕΜΑ ο Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 765.

9 ΘΕΜΑ 3 Ο 4 π α) Αν συνω= & < ω< π να βρείτε: το ηµω, εφω, σϕω 5 συνϑ ηµϑ β) Να δείξετε ότι = συνϑ ηµϑ 1 + εφϑ 1 + σϕϑ ΘΕΜΑ 4 Ο Να απλοποιηθεί: ( ) ( ) ( + ) ηµ ϑ εφ π ϑ συν π ϑ A= π π ηµ ϑ σϕ ϑ ηµ ( π ϑ)

10 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) Να αποδείξετε ότι: 1 ln 4+ ln 7 ln 6= ln log5 Να υπολογίσετε το 5 + ΘΕΜΑ Ο ΘΕΜΑ 3 Ο Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις µε Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) i. x Ισχύει ότι: ln θ = x θ = e, θ > ii. x Ισχύει ότι: log x= y y= 1, x> iii. x Αν lnθ x τότε θ e, θ > iv. ln e= e v. log1 a = a vi. ln e θ = θ, θ > vii. ln1= 1 viii. Αν θ1, θ, θ > τότε ισχύει: θ θ θ θ α) ln( 1+ ) = ln 1 ln lnθ lnθ = 1 β) ln( θ θ ) κ 1 γ) lnθ = κ ln θ, κ R

11 ΘΕΜΑ 4 Αν x, y> να αντιστοιχίσετε τις προτάσεις της στήλης Α µε τις ίσες τους στη στήλη Β. Στήλη Α Στήλη Β Α. ln 4+ ln x ln 1. Β. ln x+ 1. ln x ln y+ ln z 3 Γ. ln x 6ln x 3. ln( ex ). ln xy 4. ln x z 5. ln x+ ln y ln z Α. Β. Γ..

12 Αµυραδάκη, Νίκαια ( ) Να διατυπώσετε και να αποδείξετε τον τύπο της εφ ( a +β). Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Ο Να λύσετε την εξίσωση (αφού πρώτα γράψετε τους περιορισµούς): 3σφ x 4 3σφx+ 3= Μονάδες 6 ΘΕΜΑ 3 Ο Αν εφα = 5 να λύσετε την εξίσωση: 3ηµ ( α x ) = ηµ ( α + x) Μονάδες 6