ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ

Transcript

1 ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΑΔΙΑΡΘΡΩΣΗΣ ΤΟΥ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ Κάθε πρόγραμμα (προπτυχιακών και μεταπτυχιακών) σπουδών είναι απότοκο της άποψης των διαμορφωτών του για την θέση και αποστολή του Πανεπιστημίου στην κοινωνία της χώρας. Στις δύο τελευταίες δεκαετίες η χώρα μας βίωσε την σταδιακή κατάρρευση της (δημόσιας) μέσης εκπαίδευσης, ιδιαίτερα του θεσμού του Λυκείου. Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με την ολοένα αυξανόμενη πίεση για σπουδές πανεπιστημιακού επιπέδου έχει οδηγήσει τα ελληνικά πανεπιστήμια στην δύσκολη θέση να καλούνται να παρέχουν ανώτατη μόρφωση σε φοιτητές, η πλειονότητα των οποίων δεν διαθέτει την απαιτούμενη στοιχειώδη γενική παιδεία (γλώσσα, κρίση, σε μερικές περιπτώσεις ακόμα και κοινή λογική). Το δίλημμα αν θα πρέπει το Πανεπιστήμιο να αναλάβει και την κάλυψη του κενού, που έχει αφήσει το Λύκειο ή όχι, είναι αδιέξοδο και εκτός πραγματικότητας, αφού είναι αδύνατο να προσφερθεί γενική παιδεία από την σημερινή δομή των ΑΕΙ, ταυτόχρονα με σπουδές με επαγγελματική προοπτική. Κάτι τέτοιο θα απαιτούσε την ολοκληρωτική αυτοακύρωση των πανεπιστημίων και την μετατροπή τους στην καλύτερη περίπτωση σε κολλέγια τύπου liberal arts και στην χειρότερη σε μεταλυκεικά IEK. Ο διαμορφωτής της πρότασης αυτής εξακολουθεί να θεωρεί ότι τα πανεπιστήμια οφείλουν να είναι οι πρωτοπόροι στην παραγωγή γνώσης και νέων ιδεών στο ανώτατο δυνατό επίπεδο και όχι ουραγοί του εκάστοτε πολιτικού και οικονομικού κατεστημένου, τις απαιτήσεις του οποίου θα πρέπει κάθε φορά αποκλειστικά να ικανοποιούν, όπως για παράδειγμα να παράγουν φτηνό και υπάκουο υπαλληλικό προσωπικό. Γιαυτό, είναι απαραίτητο να μην αφεθεί να χαθεί στο γενικό τέλμα, εκείνο το μικρό ποσοστό των φοιτητών που έχουν την ικανότητα και το ενδιαφέρον να σπουδάσουν Μαθηματικά. Προς τούτο, παράλληλα με το πτυχίο, προτείνεται η δυνατότητα χορήγησης βεβαίωσης οτι ο φοιτητής έχει εκπληρώσει τις απαιτήσεις μιας άτυπης κατεύθυνσης στα Θεωρητικά Μαθηματικά (πρβλ. 3). Συγκεκριμένα προτείνονται οι ακόλουθες αλλαγές στο πρόγραμμα προπτυχιακών σπουδών. 1. Υποχρεωτικά μαθήματα Θεμέλια των Μαθηματικών Γραμμική Αλγεβρα Ι Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Απειροστικός Λογισμός Ι Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Μαθηματική Ανάλυση Αλγεβρα Πιθανότητες Εισαγωγή στους Υπολογιστές Φυσική Αγγλικά

2 Παρατηρήσεις: (α) Το μάθημα Αναλυτική Γεωμετρία-Μιγαδικοί Αριθμοί καταργείται και εντάσσεται στα μαθήματα Γραμμική Αλγεβρα Ι και ΙΙ. (β) Τα μαθήματα Ανάλυση Ι και ΙΙ ενοποιούνται στο μάθημα Μαθηματική Ανάλυση. Υλη του μαθήματος Γραμμική Αλγεβρα Ι 1. Διανύσματα στο επίπεδο και στον χώρο. Ευθείες και επίπεδα. (Σύντομη γεωμετρική εισαγωγή η οποία δρα ως κίνητρο για ό,τι ακολουθεί.) 2. Ομάδες (και -ιδιαιτέρως- οι συμμετρικές ομάδες), δακτύλιοι και σώματα (Βασικοί ορισμοί.) 3. Γραμμικοί χώροι οριζόμενοι υπεράνω σωμάτων. Παραδείγματα. Υπόχωροι. Γεννήτορες, γραμμική εξάρτηση και ανεξαρτησία. Βάσεις. Διάσταση. Ύπαρξη βάσεων σε γραμμικούς χώρους πεπερασμένης διαστάσεως. Άθροισμα και (εσωτερικό) ευθύ άθροισμα υποχώρων. Ευθύ άθροισμα γραμμικών χώρων. 4. Γραμμικές απεικονίσεις. Παραδείγματα. Μονομορφισμοί, επιμορφισμοί και ισομορφισμοί. Πυρήνας και εικόνα. Γραμμικοί πηλικόχωροι. Διάσταση πηλικοχώρων. Θεωρήματα ισομορφισμών και εφαρμογές τους. 5. Πίνακες γραμμικής απεικονίσεως, βαθμίδα (rank) γραμμικής απεικονίσεως και πίνακα. Αλλαγή βάσεως. Η άλγεβρα των γραμμικών απεικονίσεων και των πινάκων. Αντιστρέψιμοι πίνακες. Ομοιότητα. 6. Γραμμικά συστήματα (ομογενή και μη ομογενή). Υπόχωροι και συσχετικοί χώροι λύσεων. Μέθοδος απαλοιφής κατά Gauss. 7. Ορίζουσες (ύπαρξη και μοναδικότητα). Ιδιότητες οριζουσών. Υπολογισμός βαθμίδας πίνακα και αντιστρόφου τετραγωνικού πίνακα. Εφαρμογές στα γραμμικά συστήματα. Κανόνας τού Cramer. 8. Αναλλοίωτοι υπόχωροι. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Αλγεβρική και γεωμετρική πολλαπλότητα ιδιοτιμών. Διαγωνιοποίηση. Υλη του μαθήματος Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ 1. Σύντομη επανάληψη τού κεφαλαίου περί ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών. Θεώρημα Cayley και Hamilton. Διαγωνιοποιήσιμοι και τριγωνικοποιήσιμοι πίνακες. Θεώρημα πρωταρχικής αναλύσεως. Ρητή μορφή και διευθετημένη (ή κατ άλλους κανονική) μορφή Jordan. 2. Δυϊκοί χώροι γραμμικών χώρων. Δυϊκές βάσεις. Ανάστροφη απεικόνιση γραμμικής απεικονίσεως και ανάστροφος πίνακα. 3. Διγραμμικές μορφές. Συμμετρικές και εναλλάσσουσες διγραμμικές μορφές. Τετραγωνικές μορφές. Νόμος τής αδρανείας τού Sylvester. 4. Γραμμικοί χώροι με εσωτερικό γινόμενο (ευκλείδειοι και μοναδιακοί). Ορθογωνιότητα, ορθοκανονικές βάσεις, ορθοκανονικοποίηση κατά Gram και Schmidt. Ορθογώνιο συμπλήρωμα χώρου. Στάθμη (= νόρμα), ανισότητα των Cauchy και Schwartz. Κανόνας τού παραλληλογράμμου κ.ά. 5. Ορθογώνιοι και μοναδιακοί ενδομορφισμοί. Αυτοπροσαρτημένοι ενδομορφισμοί. Φασματικό θεώρημα. 6. Αλγεβρικές υπερεπιφάνειες 2 ου βαθμού εντός τού R n. Λεπτομερής κατάταξη αλγεβρικών καμπυλών 2 ου βαθμού εντός τού R 2 και αλγεβρικών επιφανειών 2 ου βαθμού εντός τού R 3. Προαπαιτούμενα: Γραμμική Αλγεβρα Ι.

3 Υλη του μαθήματος Μαθηματική Ανάλυση 1. Σύντομη αναφορά στα αξιώματα των πραγματικών αριθμών 2. Μετρικοί χώροι, ανοιχτά και κλειστά σύνολα 3. Συμπαγή σύνολα 4. Συνεκτικά σύνολα, χαρακτηρισμός των διαστημάτων 5. Ακολουθίες σε μετρικούς χώρους 6. Υπακολουθίες, ακολουθίες Cauchy και πληρότητα 7. Συνεχείς συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους 8. Συνέχεια, συμπάγεια και συνεκτικότητα 9. Ακολουθίες συναρτήσεων και ομοιόμορφη σύγκλιση 10. Ομοιόμορφη σύγκλιση, συνέχεια, ολοκλήρωση και παραγώγιση 11. Δυναμοσειρές 12. Ισοσυνεχείς ακολουθίες συναρτήσεων, το θεώρημα Arzela-Ascoli και εφαρμογές 13. Το θεώρημα Stone-Weierstrass και εφαρμογές Προαπαιτούμενα: Απειροστικός Λογισμός Ι, Απειροστικός Λογισμός ΙΙ. Κατανομή των υποχρεωτικών μαθημάτων στο πρότυπο πρόγραμμα σπουδών Α ΕΞΑΜΗΝΟ Θεμέλια των Μαθηματικών Απειροστικός Λογισμός Ι Γραμμική Αλγεβρα Ι Εισαγωγή στους Υπολογιστές Αγγλικά Γ ΕΞΑΜΗΝΟ Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Πιθανότητες Αλγεβρα Β ΕΞΑΜΗΝΟ Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Γραμμική Αλγεβρα ΙΙ Δ ΕΞΑΜΗΝΟ Μαθηματική Ανάλυση Φυσική 2. Κατ επιλογήν μαθήματα 2.0.Υποομάδα μαθημάτων Γεωμετρίας/Τοπολογίας Γεωμετρία Γραμμική Γεωμετρία Διαφορική Γεωμετρία Αλγεβρική Γεωμετρία Τοπολογία Αλγεβρική Τοπολογία Διαφορική Τοπολογία Θέματα Γεωμετρίας/Τοπολογίας

4 2.1.Υποομάδα μαθημάτων Ανάλυσης Πραγματική Ανάλυση Μιγαδικές Συναρτήσεις Συναρτησιακή Ανάλυση Κλασική Ανάλυση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών Θέματα Ανάλυσης 2.2.Υποομάδα μαθημάτων Αλγεβρας/Θεωρίας Αριθμών Θεωρία Συνόλων Θεωρία Αριθμών Θεωρία Ομάδων Θεωρία Δακτυλίων Θεωρία Σωμάτων Θεωρία Modules Ομολογική Αλγεβρα Θέματα Αλγεβρας/Θεωρίας Αριθμών Παρατηρήσεις: (α) Το μάθημα Ευκλείδεια Γεωμετρία καταργείται. (β) Οι υπόλοιπες υποομάδες διατηρούνται ως έχουν. Υλη του μαθήματος Γραμμική Γεωμετρία 1. Συμμετρικές διγραμμικές μορφές και ισομετρίες 2. Υπόχωροι, ορθογωνιότητα και radical 3. Κατάταξη γραμμικών χώρων με συμμετρικές διγραμμικές μορφές 4. Θεωρία Sylvester 5. Χώροι Artin 6. Το θεώρημα του Witt 7. Η ορθογώνια ομάδα 8. Το θεώρημα Cartan-Dieudonne 9. Η ορθογώνια ομάδα στην διάσταση Μετασχηματισμοί Lorentz στην διάσταση Η ορθογώνια ομάδα στην διάσταση Η αλγεβρική δομή της ορθογώνιας ομάδας (μεταθέτης, κέντρο, κλπ.) Προαπαιτούμενα: Γραμμική Αλγεβρα Ι. Ενδεικτική βιβλιογραφία: E. Snapper and R.J. Troyer, Metric affine geometry, Academic Press, 1971 (Κεφάλαιο 2) Υλη του μαθήματος Διαφορική Τοπολογία 1. Διαφορίσιμες πολλαπλότητες 2. Διαφορίσιμες απεικονίσεις και παράγωγος

5 3. Διαμερίσεις της μονάδας και το θεώρημα εμφύτευσης του Whitney 4. Υποπολλαπλότητες και το θεώρημα της σταθερής τάξης 5. Το θεώρημα του Sard και εφαρμογές 6. Διανυσματικά πεδία και ροές 7. Το Λήμμα του Morse 8. Υπαρξη συναρτήσεων Morse 9. Συναρτήσεις Morse και τοπολογία 10. Τοπολογική κατάταξη 1-πολλαπλοτήτων και διαφορίσιμων συμπαγών 2- πολλαπλοτήτων Προαπαιτούμενα: Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Μαθηματική Ανάλυση. Ενδεικτική βιβλιογραφία: (α) J. Milnor, Topology from a differentiable viewpoint, The University press of Virginia, Charlottsville Va (Κεφάλαια 1-6) (β) G.L. Naber, Topological methods in Euclidean spaces, Cambridge University Press, 1980 (Κεφάλαιο 5) (γ) A. Champanerkary, A. Kumar and S. Kumaresan, Classification of surfaces via Morse theory, Expo. Math. 18 (2000), (Στοιχειώδεις σημειώσεις σε μορφή άρθρου) 3. Βεβαίωση κατεύθυνσης Θεωρητικών Μαθηματικών Για την χορήγηση της βεβαίωσης κατεύθυνσης Θεωρητικών Μαθηματικών, ο φοιτητής οφείλει να έχει εκπληρώσει τις απαιτήσεις για την απόκτηση πτυχίου και (α) να έχει επιτύχει σε 3 τουλάχιστον μαθήματα κάθε μιας από της υποομάδες κατ επιλογήν μαθημάτων 2.0 (Γεωμετρία/Τοπολογία), 2.1 (Ανάλυση) 2.2 (Αλγεβρα/Θεωρία Αριθμών), διαφορετικά απο «Θέματα...» και (β) να έχει επιτύχει σε τουλάχιστον 13 από τα μαθήματα του ακόλουθου καταλόγου. 2.0.Υποομάδα μαθημάτων Γεωμετρίας/Τοπολογίας Γεωμετρία Γραμμική Γεωμετρία Διαφορική Γεωμετρία Αλγεβρική Γεωμετρία Τοπολογία Αλγεβρική Τοπολογία Διαφορική Τοπολογία Θέματα Γεωμετρίας/Τοπολογίας 2.1.Υποομάδα μαθημάτων Ανάλυσης Πραγματική Ανάλυση Μιγαδικές Συναρτήσεις Συναρτησιακή Ανάλυση Κλασική Ανάλυση Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

6 Ανάλυση Πολλών Μεταβλητών Θέματα Ανάλυσης 2.2.Υποομάδα μαθημάτων Αλγεβρας/Θεωρίας Αριθμών Θεωρία Συνόλων Θεωρία Αριθμών Θεωρία Ομάδων Θεωρία Δακτυλίων Θεωρία Σωμάτων Θεωρία Modules Ομολογική Αλγεβρα Θέματα Αλγεβρας/Θεωρίας Αριθμών 2.3.Υποομάδα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Παραμετρική Στατιστική Στοχαστικές Ανελίξεις Ι Στοχαστικές Ανελίξεις ΙΙ 2.5.Υποομάδα Μαθηματικών Θεμελίων Πληροφορικής Λογική Διακριτά Μαθηματικά Τυπικές Γλώσσες και Μηχανές Θεωρία Αναδρομικών Συναρτήσεων Θεωρία Αλγορίθμων