Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Transcript

1 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να μτατρέψτ τo πιο κάτω NFA στην κανονική έκφραση που το πριγράφι χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που πριγράφται στις διαφάνις 2 μέχρι 2. Να δίξτ όλα τα στάδια της ργασίας σας. 2 4, Βήμα : 2 4 {, } Βήμα 2(α): Αφαίρση κορυφής 4 2 {,} * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα

2 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής 2 {,} * Βήμα 2(γ): Αφαίρση κορυφής [({,} * )] Βήμα 2(δ): Αφαίρση κορυφής ([({,} * )]) * Άσκηση 2 Για κάθ μια από τις πιο κάτω κανονικές κφράσις, (α) ( 2 ) * ( 2 ) * (β) ( * + ) * να κατασκυάστ (i) ένα NFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας την κατασκυή από τις διαφάνις 9 και, και (ii) ένα DFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία μτατροπής NFA σ DFA (διαφάνις 2 7 και 2 8) (α) (i) Πιο κάτω μφανίζται η τλική μορφή του ζητούμνου αυτομάτου. (Τα νδιάμσα βήματα παραλίπονται.) Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα 2

3 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (α) (ii) Ακολουθί το ισοδύναμο νττρμινιστικό αυτόματο. {,2,5,6, 8,9,,,2} {8,9,,,2} {8,9,, 2,5}, {,2,6,7, 8,9,,2 } {,4,8,9,,,2} {,4} {,,2,6} {,4} {,2,5,6,8, 9,,2} {,2,6,7,8 9,,2,,4} {,2,6,7,8 9,,2,,4,5}, Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα

4 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (β) (i) Πιο κάτω μφανίζται η τλική μορφή του ζητούμνου αυτομάτου. Οι νδιάμσς καταστάσις παραλίπονται (β) (ii) Ακολουθί το ισοδύναμο νττρμινιστικό αυτόματο. {,4,5, 8,9} {,2,,5, 6,7,,,} {,2,,4, 5,7,8, 9,4} {,,2,,5,7} {,2,, 5,6,7} {,4,5} {,2,, 5,6,7,, 2,} Άσκηση Για κάθ ένα από τα πιο κάτω ζύγη από κανονικές κφράσις να αποφασίστ κατά πόσο κφράζουν ή όχι την ίδια γλώσσα. Αν οι γλώσσς διαφέρουν τότ να δώστ παράδιγμα λέξης η οποία να ανήκι στη μια από τις δύο γλώσσς αλλά όχι στην άλλη. (α) {ab,(aab) * } * και {ab, aab} * (β) {b, ba, baa} * και {b, ba} * {ba,baa} * (γ) {b, ba, baa} * και {b, ba} * {ba,baa} * (δ) (ab) * (aba) * a και a((ba) * (baa)*) Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα 4

5 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (α) Οι δύο κανονικές κφράσις κφράζουν την ίδια γλώσσα. (β) Οι δύο κανονικές κφράσις κφράζουν διαφορτικές γλώσσς. Για παράδιγμα, η λέξη bbabaa, ανήκι στη πρώτη γλώσσα αλλά όχι στη δύτρη. (γ) Οι δύο κανονικές κφράσις κφράζουν διαφορτικές γλώσσς. Για παράδιγμα, η λέξη baab ανήκι στην πρώτη γλώσσα αλλά όχι στη δύτρη. (δ) Οι δύο κανονικές κφράσις κφράζουν διαφορτικές γλώσσς. Για παράδιγμα, η λέξη abaabaa ανήκι στην πρώτη γλώσσα αλλά όχι στη δύτρη. Άσκηση 4 Να αποφασίστ κατά πόσο οι πιο κάτω γλώσσς ίναι κανονικές αιτιολογώντας μ ακρίβια τις απαντήσις σας. (α) { a i b j c k k = i ή k = j } (β) { xyx x, y {a,b} *, x a = y a } (γ) { x η x {,}* ίναι μια 2 πριοδική λέξη } (δ) { i j i mod 4 = j mod 4, i > j } (α) L = { a i b j c k k = i ή k = j } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = a p b 2p c p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L, i ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από a. Επομένως, x = a λ, y = a μ, w = a ν b 2p c p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L. Αλλά, xy 2 z = a p+μ b 2p p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L ίναι μη κανονική. (β) L 2 = { xyx x, y {a,b} *, x a = y a } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 2 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα 5

6 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = a p ba p ba p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = uv έτσι ώστ η υπολέξη u να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( u p) η u να ίναι μη κνή ( u ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης u να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (u i v L 2, i ). Αφού u p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το όσο και το u αποτλούνται μόνο από a. Επομένως, = a λ, u = a μ, w = a ν ba p ba p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L 2. Αλλά, xy 2 z = a p+μ ba p ba p το οποίο, από τον ορισμό της γλώσσας δν ανήκι στην L 2. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 2 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L 2 ίναι μη κανονική. (γ) Η γλώσσα αυτή ίναι κανονική αφού την πριγράφι η κανονική έκφραση * * * *. (δ) Η γλώσσα αυτή πριλαμβάνι τις λέξις 4k, k >. Αυτή η γλώσσα πριγράφται από την κανονική έκφραση () + και πομένως ίναι κανονική. Άσκηση 5 (Προαιρτική) Θωρίστ το αλφάβητο Σ = {, 2,, k, k} και μια γλώσσα L Σ * πί του αλφάβητου Σ. Ορίζουμ ως Δυαδική(L) την πιο κάτω γλώσσα πί του αλφάβητου {,}: Δυαδική(L) = { L}. Να αποδίξτ μ ακρίβια ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη Δυαδική. Για να δίξουμ ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη Δυαδική θα δίξουμ ότι για οποιαδήποτ κανονική γλώσσα L υπάρχι κανονική έκφραση που αναγνωρίζι τη γλώσσα Δυαδική(L). Ορίζουμ τη συνάρτηση binary: R R ως ξής i,,, binary( R) binary( A) binary( B), binary( A) binary( B), * binary( A), if R i if R if R if R A B if R A B if * R A Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα 6

7 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Έστω κανονική γλώσσα L και κανονική έκφραση R που την πριγράφι. Θα αποδίξουμ ότι η κανονική έκφραση binary(r) πριγράφι την γλώσσα Δυαδική(L). Αυτό θα μας οδηγήσι στο συμπέρασμα ότι η γλώσσα Δυαδική(L) ίναι κανονική. Η απόδιξη μας θα γίνι παγωγικά στη δομή της κανονικής έκφρασης R. Υπάρχουν οι πιο κάτω πριπτώσις. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = i, τότ Δυαδική(L) = { i } και binary(r) = { i }. Επομένως, η κανονική έκφραση binary(r) πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ Δυαδική(L) = {e} και binary(r) =. Επομένως, η κανονική έκφραση binary(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική(L) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ Δυαδική(L) = και binary(r) =. Επομένως, η κανονική έκφραση binary(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ Δυαδική(L) = { A, B } Αφού η κανονική έκφραση binary(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της binary, ίναι ίση μ binary(r)= binary(a)binary(b), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική(L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ Δυαδική(L) = { A } { B } Αφού η κανονική έκφραση binary(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της binary, ίναι ίση μ binary(ab)=binary(a) binary(b), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική (L) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα L πριγράφται από την κανονική έκφραση R = Α *, τότ Δυαδική(L) = { A * } Αφού η κανονική έκφραση binary(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της binary, ίναι ίση μ binary(a)= binary(α) *, από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα Δυαδική (L) και το συμπέρασμα έπται. Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 2 Σλίδα 7