Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Transcript

1 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Άσκηση [5 μονάδς] Σιρά Προβλημάτων 2 Λύσις Να δώστ κανονικές κφράσις που να πριγράφουν τις πιο κάτω γλώσσς πί του αλφάβητου Α = {, }. (α) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου Α που έχουν τουλάχιστον δύο και το πολύ ένα. (β) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου Α που δν πριέχουν τρία. (γ) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου Α κτός από τις και. (δ) Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου Α όπου το τρίτο σύμβολο ίναι το ίδιο μ το προτλυταίο σύμβολο. () Όλς οι λέξις πί του αλφάβητου Α όπου τα σύμβολα στις άρτις θέσις συμπίπτουν. (α) (β) * * * * * * * * * * {,} * (γ) {,} {,} {,}{,} {,} {,}{,}{,}{,} + (δ) {,}{,}{,} * {,} {,}{,}{,} * {,} () ({,}) * () ({,}) * () Άσκηση 2 Έστω η κανονική έκφραση * * () * +. Να κατασκυάστ: (i) ένα NFA που να την αναγνωρίζι, χρησιμοποιώντας την κατασκυή από τις διαφάνις 3 9 και 3, και (ii) ένα DFA που να την αναγνωρίζι μτατρέποντας το αυτόματο από το μέρος (α) σ DFA, χρησιμοποιώντας τη διαδικασία μτατροπής NFA σ DFA (διαφάνις 2 37 και 2 38). (i) Θωρούμ την κανονική έκφραση τμήμα προς τμήμα, ξκινώντας μ τα απλούστρα κομμάτια και προχωρώντας αναδρομικά στα μγαλύτρα. Βήμα : Η κανονική έκφραση Βήμα 2: Η κανονική έκφραση * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα

2 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 3: Η κανονική έκφραση * Βήμα 4: Η κανονική έκφραση * * Βήμα 5: Η κανονική έκφραση Βήμα 6: Η κανονική έκφραση () * Βήμα 7: Η κανονική έκφραση + = ( * ) Βήμα 8: Η κανονική έκφραση () * + Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 2

3 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 9: Η κανονική έκφραση * * () * (ii) Το αυτόματο που προκύπτι φαρμόζοντας τη μέθοδο μτατροπής NFA σ DFA που μλτήσαμ ίναι το πιο κάτω. {2,3,4,5} {5,6} {,,2,4, 5,7,8,2} {5,6,9,, 3,4,5} {8,,2} {5,6, 5,6}, {9,,3, 4,5} {5,6} Άσκηση 3 Να μτατρέψτ τo πιο κάτω DFA στην κανονική έκφραση που το πριγράφι χρησιμοποιώντας τη διαδικασία που παρουσιάζται στις διαφάνις 3 2 μέχρι 3 2. Η αφαίρση των ακμών να γίνι μ τη σιρά, 2, 3, 4, 5,. Να δίξτ όλα τα στάδια της ργασίας σας. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 3

4 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα 2 3, 4 5 Βήμα : t Βήμα 2(α): Αφαίρση κορυφής 2 * * t Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 4

5 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Βήμα 2(β): Αφαίρση κορυφής 3 * [ * ] * t 4 5 Βήμα 2(γ): Αφαίρση κορυφής 4 * [ * ] * t * 5 Βήμα 2(δ): Αφαίρση κορυφής 5 * [ * ] * * () * t Βήμα 2(): Αφαίρση κορυφής * [ * ] * * () * t Άσκηση 3 Να αποφασίστ κατά πόσο οι πιο κάτω γλώσσς ίναι κανονικές αιτιολογώντας μ ακρίβια τις απαντήσις σας. (α) L = { xx rev x + } Η γλώσσα ίναι κανονική και πριγράφται από την έκφραση () +. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 5

6 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα (β) L 2 = { xx rev x {,} + } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 2 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη = p p p p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L 2 ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p p p όπου λ+μ+ν = p+. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L 2. Αλλά, xy 2 z = λ μ μ ν p p p = p+μ p p p και, από τον ορισμό της γλώσσας, xy 2 z L 2. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 2 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. (γ) L 3 = { i i c j i, j, j 2 i } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 3 ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη w = p p c p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, w = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z L 3 ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p c p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z L 3. Αλλά, xy 2 z = λ 2μ ν p c p = λ+2μ+ν p c p = p+μ p c p και, από τον ορισμό της γλώσσας, xy 2 z L 3. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα L 3 ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. (δ) L 4 ={ x {,}* η x τλιώνι σ και πριέχι το πολύ ένα ζύγος από διαδοχικά } Η γλώσσα ίναι κανονική και πριγράφται από την έκφραση ( + ) * ( + ) * ( + ) *. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 6

7 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα () L 5 = { x {,}* η x δν ίναι καρκινική λέξη } Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η L 5 ίναι κανονική. Τότ, και η γλώσσα Λ = { x {,}* η x ίναι καρκινική λέξη } πρέπι να ίναι κανονική. Αυτό οφίλται στο γγονός ότι οι κανονικές γλώσσς ίναι κλιστές ως προς την πράξη του συμπληρώματος (ακολουθί η σχτική απόδιξη Βοηθητικό Λήμμα). Εντούτοις, θα δίξουμ ότι η γλώσσα Λ δν ίναι κανονική. Υποθέτουμ για να φτάσουμ σ αντίφαση ότι η Λ ίναι κανονική. Τότ, σύμφωνα μ το Λήμμα της Άντλησης, υπάρχι p, το μήκος άντλησης της γλώσσας, τέτοιο ώστ κάθ λέξη της γλώσσας μ μήκος μγαλύτρο από p να ικανοποιί την ιδιότητα που πριγράφται στο Λήμμα. Ας πιλέξουμ τη λέξη = p p p p. Τότ, σύμφωνα μ το λήμμα, = xyz έτσι ώστ η υπολέξη xy να βρίσκται μέσα στις p πρώτς θέσις της w ( xy p) η y να ίναι μη κνή ( y ) και οποιαδήποτ πανάληψη της υπολέξης y να διατηρί την προκύπτουσα λέξη ντός της γλώσσας (xy i z Λ). Αφού xy p, τότ πρέπι να ισχύι ότι τόσο το x όσο και το y αποτλούνται μόνο από. Επομένως, x = λ, y = μ, w = ν p p p όπου λ+μ+ν = p. Επίσης, από το λήμμα, πρέπι να ισχύι ότι xy 2 z Λ. Αλλά, xy 2 z = λ μ μ ν p p p = p+μ p p p και, από τον ορισμό της γλώσσας, xy 2 z Λ. Αυτό μας οδηγί σ αντίφαση και πομένως η υπόθσή μας ότι η γλώσσα Λ ίναι κανονική ήταν σφαλμένη. Συμπέρασμα: Η L 5 ίναι μη κανονική. Βοηθητικό Λήμμα: Αν μια γλώσσα ίναι κανονική, τότ και το συμπλήρωμά της αποτλί κανονική γλώσσα. Απόδιξη: Έστω Α μια κανονική γλώσσα. Τότ υπάρχι DFA που την αναγνωρίζι. Θα δίξουμ ότι υπάρχι αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα. Για να δίξουμ το ζητούμνο ας υποθέσουμ ότι Μ = (Q, Σ, δ, q, F) ίναι ένα DFA αυτόματο που αναγνωρίζι τη γλώσσα Α. Κατασκυάζουμ το αυτόματο Ν ως Ν = (Q, Σ, δ, q, F ), F = Q F. Το αυτόματο Ν ίναι όμοιο μ το αρχικό αυτόματο Μ μ τη διαφορά ότι τλικές καταστάσις του Ν ίναι ακριβώς οι μη τλικές καταστάσις του Μ. Θα αποδίξουμ ότι w L(Ν) αν και μόνο αν w. (*) Ας υποθέσουμ λοιπόν ότι w = w w 2 w n L(N). Τότ, υπάρχι ακολουθία καταστάσων r, r,, r n του που ικανοποιί τις συνθήκς:. r = q 2. δ, για i =,,n, και 3. r n Q F Επομένως, w. Αυτό αποδικνύι την κατύθυνση της ζητούμνης πρόταση (*). Για την αντίθτη κατύθυνση, ας υποθέσουμ ότι w. Αφού το Μ ίναι ένα Το πιο πάνω γγονός συνπάγται ότι η κλάση των γλωσσών που αναγνωρίζονται από DFA ίναι κλιστή ως προς το συμπλήρωμα. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 7

8 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα νττρμινιστικό αυτόματο, υπάρχι ακολουθία καταστάσων r,r,,r n του που ικανοποιί τις συνθήκς:. r = q 2. δ, για i =,,n, αλλά, αφού w, r n F. Παρατηρούμ ότι το ίδιο μονοπάτι μφανίζται και στο αυτόματο N. Σ αυτή την πρίπτωση, αφού r n F έχουμ r n Q F, και, πομένως η λέξη w L(N). Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Άσκηση 5 [2 μονάδς] Έστω το αλφάβητο Σ = {,,2,,9} και η συνάρτηση f : Σ {,} * η οποία ορίζται ως ακολούθως. φορές Επιπρόσθτα, πκτίνουμ τη συνάρτηση f σ λέξις, f: Σ * {,} * όπως φαίνται πιο κάτω.,, Για παράδιγμα, έχουμ f(3) = και f(963) = Μ βάση αυτή τη συνάρτηση, δοθίσας μιας γλώσσας Λ ορίζουμ F(Λ) = { f(w) w Λ } Να αποδίξτ μ ακρίβια ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη F. Για να δίξουμ ότι η κλάση των κανονικών γλωσσών ίναι κλιστή ως προς την πράξη F, θα δίξουμ ότι για οποιαδήποτ κανονική γλώσσα L υπάρχι κανονική έκφραση που αναγνωρίζι τη γλώσσα F(L). Ορίζουμ τη συνάρτηση g: R R ως ξής g( R ),,,,,..., g( ) g( B), g( A) g( B), * g( A), if R if R if R if R 2 if R 3 if R if R AB if R A B if R A * Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 8

9 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Έστω κανονική γλώσσα Λ και κανονική έκφραση R που την πριγράφι. Θα αποδίξουμ ότι η κανονική έκφραση g(r) πριγράφι την γλώσσα F(Λ). Αυτό θα μας οδηγήσι στο συμπέρασμα ότι η γλώσσα F(Λ) ίναι κανονική. Η απόδιξη θα γίνι παγωγικά στη δομή της κανονικής έκφρασης R. Υπάρχουν οι πιο κάτω πριπτώσις. Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, {,,,9} τότ Λ = {} και F(Λ) = { }. Επομένως, η κανονική έκφραση g(r) πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ Λ = {} και F(Λ) = {}. Επίσης, σύμφωνα μ τον πιο πάνω ορισμό, g(r) =. Επομένως, η κανονική έκφραση g(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται. Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R =, τότ Λ = και F(Λ) =. Επίσης, ισχύι ότι g(r) =. Επομένως, η κανονική έκφραση g(r) και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ F(Λ) = { f(x)f(y) x L(Α) και y L(B)} = F(L(A))F(L(B)) Αφού η κανονική έκφραση g(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της ίναι ίση μ g(r) = g(α)g(b) από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R = ΑΒ, τότ F(Λ) = F(L(Α)) F(L(Β)) Αφού η κανονική έκφραση g(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της, ίναι ίση μ g(ab) = g(a) g(b), από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται Αν η γλώσσα Λ πριγράφται από την κανονική έκφραση R = Α *, τότ F(Λ) = F(L(A * )) = F(L(A)) * Αφού η κανονική έκφραση g(r), σύμφωνα μ τον ορισμό της ίναι ίση μ g(α * ) = g(α) *, από την υπόθση της παγωγής, και πάλι πριγράφι ορθά τη γλώσσα F(Λ) και το συμπέρασμα έπται. Αυτό ολοκληρώνι την απόδιξη. Άσκηση 6 (onu) [2 μονάδς] Για κάθ μια από τις πιο κάτω προτάσις να αποφασίστ κατά πόσο η πρόταση ίναι αληθής ή ψυδής. Αν η πρόταση ίναι αληθής να αποδίξτ την ορθότητά της νώ αν ίναι ψυδής να δώστ κατάλληλο αντιπαράδιγμα. (α) Αν η γλώσσα Λ Λ 2 ίναι κανονική και η γλώσσα Λ ίναι ππρασμένη, τότ η γλώσσα Λ 2 ίναι κανονική. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα 9

10 ΕΠΛ2: Θωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Η πρόταση ίναι ψυδής. Έστω Λ = {} και Λ 2 η γλώσσα που πριέχι όλς τις καρκινικές λέξις. Τότ έχουμ ότι η Λ ίναι κανονική γλώσσα, η Λ Λ 2 = Λ ίναι κανονική γλώσσα, αλλά η Λ 2 δν ίναι κανονική γλώσσα. (β) Αν η γλώσσα Λ Λ 2 ίναι κανονική και η γλώσσα Λ ίναι κανονική και μη ππρασμένη, τότ η γλώσσα Λ 2 ίναι πίσης κανονική. Η πρόταση ίναι ψυδής. Έστω Λ = { k k πριττός ακέραιος} και Λ 2 η γλώσσα που πριέχι όλς τις καρκινικές λέξις. Τότ έχουμ ότι η Λ ίναι κανονική και μη ππρασμένη γλώσσα, η Λ Λ 2 = Λ ίναι κανονική γλώσσα, αλλά η Λ 2 δν ίναι κανονική γλώσσα. Λύσις Σιράς Προβλημάτων 2 Εαρινό Εξάμηνο 26 Σλίδα