# Κάθε σημείο που οι συντεταγμένες του. Μεθοδολογία στην ευθεία γραμμή ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΡΑΜΜΗ

Transcript

1 Μθοδολογία στην υθία γραμμή Κοινά σημία δύο γραμμών. Για να βρούμ τις συντταγμένς του σημίου δύο γραμμών, λύνουμ το σύστημα των ξισώσών τους. ΓΡΑΜΜΗ Μια ξίσωση της μορφής φ(χ,ψ)= λέγται ξίσωση μιας πίπδης γραμμής όταν: # Οι συντταγμένς χ,ψ κάθ σημίου Μ της γραφικής παράστασης της γραμμής παληθύουν την φ(χ,ψ)= # Κάθ σημίο που οι συντταγμένς του παληθύουν την φ(χ,ψ)= ανήκι στη γραμμή. Σημίο του άξονα χχ : Α(χ,). Θέτω στην ξίσωση της γραμμής ψ= και βρίσκω το ζητούμνο χ. Σημίο του άξονα ψψ : Β(,ψ). Θέτω στην ξίσωση της γραμμής χ= και βρίσκω το ζητούμνο ψ. Σημίο να ανήκι στη γραμμή ή κάποια γραμμή πρνά από δδομένο σημίο. Αρκί οι συντταγμένς του σημίου να παληθύουν την ξίσωση της γραμμής. Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4

2 ΕΥΘΕΙΑ Γωνία υθίας () μ τον άξονα χχ. # Λέμ τη γωνία ω που σχηματίζι ο άξονας χχ όταν πριστραφί γύρω από το σημίο Α κατά τη θτική φορά μέχρι να συμπέσι μ την υθία () Όταν η υθία () // χχ τότ η γωνία ω= και ο συντλστής διύθυνσης λ = Όταν η υθία () χχ δηλαδή () //ψψ τότ η γωνία ω=9 και ο συντλστής διύθυνσης λ δν ορίζται. y Όταν ο συντλστής διύθυνσης λ > τότ η γωνία ω ίναι οξία x Ο Α ω x Όταν ο συντλστής διύθυνσης λ < τότ η γωνία ω ίναι αμβλία y Αν ()// α = ( α, α) α τότ λ = α Συντλστής διύθυνσης υθίας # Λέμ την φω, ω < 8 δηλαδή λ = φω # Λέμ το συντλστή διύθυνσης τυχαίου διανύσματος μ φορέα παράλληλο προς την υθία () Ο y δ φ φ=ω ω x // λ =λ λ λ =- Αν (): Αχ+Βψ+Γ= τότ λ = Α Β Ο συντλστής διύθυνσης υθίας που διέρχται από δύο σημία Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) μ χ χ ψ ψ ίναι λ= χ χ Για να υπολογίσω την οξία ή την παραπληρωματική γωνία δύο υθιών, αρκί να υπολογίσω την γωνία των διανυσμάτων δ δ και που ίναι αντίστοιχα παράλληλα μ τις υθίς,. Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4

3 ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ # Η ξίσωση υθίας () που πρνά από σημίο (χ,ψ ) και έχι συντλστή διύθυνσης λ ίναι: ψ-ψ =λ(χ-χ ) # Η ξίσωση υθίας () που πρνά από δύο σημία Α(χ,ψ ) και Β(χ,ψ ) : ψ- ψ ψ- ψ = ( χ - χ) χ - χ # Η υθία που τέμνι τον άξονα ψψ στο σημίο Α(,β) ίναι ψ=λχ+β # Η υθία που διέρχται από την αρχή των αξόνων (,) ίναι ψ=λχ # Η υθία που διέρχται από το σημίο Α(χ,ψ ) και ίναι // στον άξονα χχ ίναι : ψ=ψ # Η υθία που διέρχται από το σημίο Α(χ,ψ ) και ίναι // στον άξονα ψψ ίναι : χ=χ # Η διχοτόμος της γωνίας ˆ χοψ του πρώτου και τρίτου τταρτημορίου ίναι: ψ = χ # Η διχοτόμος της γωνίας ψοχ ˆ του δύτρου και τέταρτου τταρτημορίου ίναι: ψ = -χ Για να βρω την ξίσωση υθίας Α. Χριάζομαι: τις συντταγμένς νός σημίου της και το συντλστή διύθυνσης της, (αν δν δίνται ο συντλστής υπολογίζται). Β. Χριάζομαι: τις συντταγμένς δύο σημίων της. Αν δίνται μόνο το ένα σημίο το άλλο το υπολογίζουμ από δοθίσα ιδιότητα. ως τομή δύο υθιών ως μέσο γνωστού υθ. τμήματος ως συμμτρικό γνωστού σημίου ως προς γνωστή υθία ως σημίο γνωστής υθίας ως σημίο που απέχι από γνωστή υθία ή σημίο δοθίσα απόσταση Γ. Μ συνδυασμό των πριπτώσων Α και Β αν δν δίνονται σημία. Δ. Υποθέτουμ ότι ίναι της μορφής Αχ+Βψ+Γ= (Α, Β ) και υπολογίζουμ τα Α, Β, Γ 3 Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4

4 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Αχ+Βψ+Γ= (Α, Β ) () Είναι κάθτη προς το διάνυσμα η = ( Α, Β) Είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ =Β (, Α) Αν Β=,τότ η () γίνται: χ= Γ Α, Δηλαδή ()//ψψ Αν Α=,τότ η () γίνται: ψ= Γ Β, Δηλαδή ()//χχ Αν Γ=, τότ η () γίνται: Α ψ= χ, Β η () πρνά από την αρχή των αξόνων. Αν Β= και Γ=, τότ η () γίνται: χ=, δηλαδή η () ίναι ο άξονας ψψ. Αν Β,τότ η () γίνται: Α Γ ψ= χ Β Β, η () έχι λ = Α Β Για να δίξουμ ότι μια ξίσωση της μορφής Αχ+Βψ+Γ= (Α, Β ) παριστάνι υθία όταν τα Α, Β, Γ δίνονται μ παράμτρο, πρέπι να δίξουμ ότι τα Α και Β δν μηδνίζονται ταυτόχρονα. Για να αποδίξουμ ότι μια ξίσωση της μορφής Αχ +Β χψ +Γ ψ +Δ χ +Ε ψ +Ζ= παριστάνι δύο υθίς παραγοντοποιούμ το πρώτο μέρος.( το θωρούμ τριώνυμο ου βαθμού ως προς χ ή ως προς ψ μ Δ>) Για να αποδίξουμ ότι μια οικογένια υθιών αποτλί δέσμη, δηλαδή ένα σύνολο υθιών διέρχται από το ίδιο σημίο: Δίνουμ δύο τυχαίς τιμές στην παράμτρο και λύνουμ σύστημα Χ που μας δίνι το σημίο τομής τους. Οι συντταγμένς του σημίου πρέπι να παληθύουν την ξίσωση. Αν δν την παληθύουν δν ίναι δέσμη. Μτασχηματίζω την δοθίσα ξίσωση ως προς την παράμτρο λ. Επιδή προκύπτι πολυώνυμο μηδνικό για κάθ λ R, πρέπι οι συντλστές του (συναρτήσι των χ, ψ) να ίναι ίσοι μ μηδέν. 4 Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4

5 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ Αν η υθία Ax + By + Γ = και M ( x, y ) ένα σημίο κτός αυτής η απόσταση d( M, ) του σημίου M από την υθία. δίνται: d( M, ) = Ax + By A + B + Γ Για να βρω τη σχτική θέση δύο υθιών: Λύνω το σύστημα των δύο ξισώσων. Αν υπάρχι παράμτρος κάνουμ διρύνηση μ τη βοήθια των οριζουσών. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ # Στις ασκήσις το σύστημα συντταγμένων θωρίται δδομένο αν δίνονται οι συντταγμένς νός τουλάχιστον σημίου ή μια ξίσωση γραμμής. # Σ διαφορτική πρίπτωση πιλέγουμ μίς κατάλληλο σύστημα συντταγμένων. Στόχος να βρίσκονται πάνω στους άξονς τα πρισσότρα σημία ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Αν A ( x, y), B ( x, y ) και Γ ( x 3, y3 ) τρία σημία του καρτσιανού πιπέδου το μβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνται: ( AB Γ ) = det( Γ AB, A ) # Όταν λέμ να βρθί ένα σημίο, ννοούμ να βρθούν οι συντταγμένς του. # Όταν ζητάμ την ξίσωση μιας υθίας και δν γνωρίζουμ το συντλστή διύθυνσης (λ ) ξτάζουμ κτός άλλης λύσης αν ίναι λύση η υθία ψψ ή παράλληλη σ αυτήν. # Συντταγμένς του μέσου Μ τμήματος ΑΒ ίναι χ χ, ψ ψ Α + Β Α + Β 5 Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4

6 Για να βρούμ την απόσταση δύο παραλλήλων υθιών,, βρίσκουμ την απόσταση οποιουδήποτ σημίου Μ της από την, δηλαδή dm (, ) Μ η απόσταση των υθιών : y = λx + β και : y = λx + β δίνται από τον τύπο d(, β β ) = + λ. Για να βρούμ την μσοπαράλληλη των, προσδιορίζουμ το μέσο του τμήματος που αποκόπτουν οι, από τυχαία υθία. Το σημίο αυτό ανήκι στην ζητούμνη. Εύρση γωμτρικού τόπου Όταν ζητίται ο γωμτρικός τόπος (γ.τ.) σημίου Μ(χ,ψ) του οποίου οι συντταγμένς ίναι κφρασμένς συναρτήσι μιας παραμέτρου κάνουμ απαλοιφή της παραμέτρου και βρίσκουμ τη σχέση μταξύ των συντταγμένων χ και ψ του σημίου Μ. 6 Όταν ζητίται ο γωμτρικός τόπος (γ.τ.) σημίου Μ και δν δίνονται οι συντταγμένς του, προσπαθούμ από τα δδομένα να τις κφράσουμ συναρτήσι μιας παραμέτρου και στη συνέχια να κάνουμ απαλοιφή της παραμέτρου. Α.Σοφιανοπούλου - Γ. Καριπίδης Μαθηματικοί 4