Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Συµπάγεια και οµοιόµορφη συνέχεια"

Κασσιέπεια Καλογιάννης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 35 Συµπάγια και οµοιόµορφη συνέχια Μια πολύ σηµαντική έννοια στην Ανάλυση ίναι αυτή της συµπάγιας. Όπως θα δούµ τα συµπαγή υποσύνολα του Ευκλίδιου χώρου R συµπριφέρονται λίγο πολύ ως ππρασµένα σύνολα Ορισµός Έστω Κ R. (ι) Το Κ λέγται συµπαγές αν κάθ ακολουθία ( ) Κ έχι υπακολουθία που συγκλίνι µέσα στο Κ. (ιι) Το Κ λέγται φραγµένο αν υπάρχι Μ > 0 : Μ για κάθ Κ. Πρέπι να ίναι σαφές ότι κάθ ππρασµένο υποσύνολο του συµπαγές. ( ώστ τις λπτοµέρις.) 3.9 Θώρηµα. Έστω (ι) Το Κ ίναι συµπαγές. (ιι) Το Κ ίναι κλιστό και φραγµένο. Απόδιξη. (ι) (ιι) Έστω ( ) Κ R. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναµα. R ίναι Κ ώστ έχι συγκλίνουσα υπακολουθία µέσα στο Κ και συνπώς Κ. Άρα το Κ ίναι κλιστό. Ας υποθέσουµ ότι το Κ δν ίναι φραγµένο. Τότ µπορούµ παγωγικά να πιλέξουµ µια ακολουθία ( ) Κ ώστ για κάθ =,,... Είναι τώρα. Η ( ) σαφές ότι η ( ) δν µπορί να έχι υπακολουθία συγκλίνουσα, άτοπο. (ιι) (ι) Έστω, ( ) τυχούσα ακολουθία σηµίων του Κ. Επιδή το Κ ίναι φραγµένο η ( ) ίναι και αυτή φραγµένη, συνπώς από το θώρηµα Bolzao έχι µια υπακολουθία ( ) η οποία συγκλίνι έστω ίναι κλιστό έπται ότι Κ. Άρα το Κ ίναι συµπαγές Πρόταση. Έστω, συµπαγές υποσύνολο του συνάρτηση.) R. Επιδή το Κ Κ R και f : Κ R συνχής. Τότ το ( ) R.( Έπται ιδιαίτρα ότι η f Κ ίναι f ίναι φραγµένη Απόδιξη Έστω ( ) f ( ) ( ) Κ : f ( ) = για κάθ =,,.... Επιδή το Κ ίναι συµπαγές η ( ) µια συγκλίνουσα υπακολουθία έστω έπται ότι f ( ) f ( ) f ( ) Κ τυχούσα ακολουθία. Επιλέγουµ = Κ. έχι Κ. Από την συνέχια της f Στο πόµνο Λήµµα φαίνται και η συµπριφορά νός συµπαγούς συνόλου ως ππρασµένο. =, τότ 3. Λήµµα Αν Κ ίναι συµπαγές και µη κνό υποσύνολο του R ( ) το Κ έχι µέγιστο και λάχιστο στοιχίο. Απόδιξη: Το Κ ίναι φραγµένο σύνολο αφού ίναι συµπαγές. Έστω = if Κ και Μ = supκ. Οι αριθµοί και Μ ίναι σηµία παφής του Κ ( γιατί;), δηλαδή, Μ Κ = Κ, αφού το Κ ίναι κλιστό. Έπται αµέσως ότι τα και Μ ίναι το λάχιστο και το µέγιστο στοιχίο του Κ αντίστοιχα.

2 36 Το ακόλουθο θώρηµα, το οποίο ίναι µια σπουδαία αρχή για την Μαθηµατική Ανάλυση, έπται τώρα αµέσως από τα δύο προηγούµνα αποτλέσµατα ( την πρόταση 3.0 και το Λήµµα 3.). 3. Θώρηµα Έστω Κ R συµπαγές και f : Κ R συνχής ( πραγµατική ) συνάρτηση. Τότ η συνάρτηση f έχι µέγιστη και λάχιστη τιµή, δηλαδή υπάρχουν σηµία p, q Κ ώστ f ( p) f ( ) f ( q) για κάθ Κ. Απόδιξη: Η ικόνα f ( Κ) R του Κ ίναι συµπαγές υποσύνολο του R από την πρόταση 3.0. Από το Λήµµα 3. έπται ότι το f ( Κ ) έχι µέγιστο Μ και λάχιστο στοιχίο. Έστω p, q Κ ώστ f ( p) = και f ( q ) = Μ, τότ f ( p) f ( ) f ( q) για κάθ Κ. Παρατήρηση: Κάθ κλιστό υποσύνολο συµπαγούς συνόλου ίναι συµπαγές. (Γιατί;) Παραδίγµατα συµπαγών συνόλων )Κάθ κλιστή σφαίρα (, ) { R : } του Β = ίναι συµπαγές υποσύνολο R, αφού ίναι κλιστό και φραγµένο σύνολο. )Η πιφάνια S(, ) της σφαίρας (, ) 3)Κάθ κλιστό ορθογώνιο [ a, b ]... [ a, b ] φραγµένο σύνολο του Β ίναι συµπαγές σύνολο ( γιατί; ). Π = του R ίναι οµοίως κλιστό και R και άρα συµπαγές. ( Συµπληρώστ τις λπτοµέρις). Ιδιαίτρα ένα κλιστό και φραγµένο διάστηµα [, ] 4)Αν ( ) ίναι συγκλίνουσα ακολουθία στον Κ = { } { } a b του R ίναι συµπαγές σύνολο. R έστω τότ το σύνολο,...,,... ίναι συµπαγές. Πράγµατι, το σύνολο Κ ίναι βέβαια φραγµένο και ύκολα αποδικνύται ότι το σύνολο U = R Κ ίναι ανοικτό, συνπώς, το Κ ίναι κλιστό. Έπται αµέσως ότι το Κ ίναι κλιστό και φραγµένο άρα συµπαγές. 5) Ο R δν ίναι συµπαγής χώρος ( γιατί;). Η έννοια της οµοιόµορφης συνέχιας, η οποία ίναι ισχυρότρη από αυτήν της συνέχιας θα µας χριασθί όταν µλτήσουµ το ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης πολλών µταβλητών. Ας θωρήσουµ µια συνχή συνάρτηση f : Α R R, τότ, για κάθ > 0 και για κάθ a Αυπάρχι δ (, a) > 0 : Α και a δ τότ ( ) ( ) Η f θα λέγται οµοιόµορφα συνχής αν ο θτικός αριθµός δ (, a) 0 f f a. > ξαρτάται µόνο από το. Μ πρισσότρη ακρίβια, µια συνάρτηση f : Α R R θα λέγται οµοιόµορφα συνχής, αν για κάθ 0, Ακαι δ f ( ) f (. δ = δ > ώστ, > υπάρχι ( ) 0 Παραδίγµατα. ) Κάθ συνάρτηση f : Α R R η οποία ίναι Lipschitz, δηλαδή υπάρχι Κ > 0 : f ( ) f ( Κ για κάθ, Α, ίναι

3 37 οµοιόµορφα συνχής. Πράγµατι, δοθέντος του > 0, θέτουµ δ = και λέγχουµ Κ ότι αν δ = Κ ( µ, Α ) τότ f ( ) f ( Κ Κ δ = Κ =. Κ Έπται ιδιαίτρα ότι κάθ γραµµική συνάρτηση f : R R ίναι οµοιόµορφα συνχής. f : 0, + R : f =, 0, ίναι οµοιόµορφα συνχής ) Η συνάρτηση [ ) ( ) (χρησιµοποιήστ την ανισότητα,, 0, 0 ), αλλά δν ίναι Lipschitz. Ας ξακριβώσουµ τον τλυταίο ισχυρισµό. Έστω ότι η f ικανοποιί την συνθήκη Lipschitz µ σταθρά Κ > 0, δηλαδή Κ για κάθ, 0. Τότ θα ίχαµ ότι ( µ = 0) Κ για κάθ 0ή άτοπο. 3) Η συνάρτηση ( ), = Κ για κάθ > 0, f = R ίναι βέβαια συνχής αλλά όχι οµοιόµορφα συνχής. Πράγµατι, αρκί να παρατηρήσουµ ότι αν δ ίναι τυχών θτικός αριθµός τότ η ποσότητα ( ) δ δ δ li + ( δ δ ) + = + µπορί να γίνι αυθαίρτα µγάλη, (αφού + = + ) και συγχρόνως ( δ ) + = δ. Η οµοιόµορφη συνέχια µιας συνάρτησης χαρακτηρίζται µ χρήση ακολουθιών µ τον ακόλουθο τρόπο. 3.3 Θώρηµα. Έστω, f : Α R R συνάρτηση. Τότ τα ακόλουθα ίναι ισοδύναµα: (ι) Η f ίναι οµοιόµορφα συνχής. (ιι) Για κάθ ζύγος ακολουθιών ( ) ισχύι ότι ( ) ( ) 0 f f και ( ) Απόδιξη: (ι) (ιι) Έστω ( ),( ) έστω 0 >. Υπάρχι τότ ( ) 0 ( ) ( ) < δ f f < () Αλλά αφού 0 + υπάρχι ( δ ) N από το Α µ 0 + Α µ 0 και ακόµη + δ = δ > ώστ, Α και Κ = Κ ώστ Κ δ (). Από τις () και () συνάγοµ ότι ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f f. Κ f f και άρα (ιι) (ι) Αν η f δν ίναι οµοιόµορφα συνχής, υπάρχι 0 > 0 ώστ για κάθ δ > 0 να υπάρχουν σηµία ( δ ) και ( ) δ δ δ και ( ( δ )) ( ( δ )) 0 f f (3). Εφαρµόζοντας την (3) για δ του Α µ ( ) ( ) δ =, N βρίσκουµ

4 38 σηµία, Α µ και συγχρόνως f ( ) f ( ) 0. Αλλά τότ 0 και f + ( ) f ( ) δν συγκλίνι στο 0, που αντιφάσκι στην υπόθσή µας. Συνπώς ο ισχυρισµός µας ίναι σωστός. Παραδίγµατα: ) Η συνάρτηση f (, = ίναι συνχής αλλά όχι οµοιόµορφα συνχής. Έστω, (, ) (, ) (, ) (, ) = (, ) (, ) = και ( ), f f = = +, = +, +,. Τότ 0 (, ) (, ) 0. Όµως = + δν συγκλίνι στο 0. )Η συνάρτηση f ( ) =, ( 0, ] ίναι συνχής αλλά όχι οµοιόµορφα συνχής. Έστω, = και =,. Τότ έχουµ = 0, όµως + + f f = + = για κάθ. ( ) ( ) Το ακόλουθο θµλιώδς αποτέλσµα συνδέι την συµπάγια και την οµοιόµορφη συνέχια. 3.4 Θώρηµα Έστω, Κ R συµπαγές και f : Κ R συνχής συνάρτηση. Τότ η f ίναι οµοιόµορφα συνχής. Απόδιξη: Έστω, ότι υπάρχι ένα ζύγος ακολουθιών ( ),( ) 0 νώ η f + ( ) f ( ), δν συγκλίνι στο 0. Επιδή η ακολουθία µη αρνητικών αριθµών f ( ) f ( ) του Κ ώστ,,, δν ίναι µηδνική έχι µια υπακολουθία η οποία θα έχι ένα θτικό κάτω φράγµα, έστω χωρίς πριορισµό της γνικότητας ότι η ίδια ακολουθία έχι αυτή την ιδιότητα, δηλαδή υπάρχι c > 0 : f ( ) f ( ) c για κάθ. Επιδή το Κ ίναι συµπαγές η ( ) ( ή η ( ) υπακολουθία, έστω έπται αµέσως ότι ) θα έχι µια συγκλίνουσα Κ. Από το γγονός ότι 0 Κ. Έπται τώρα από την συνέχια της f ότι ( ) ( ) και f ( ) f ( ) ( ) ( ) 0 f f συνπώς f f και η τλυταία σχέση αντιφάσκι µ την ( ) ( ) f f c για κάθ. Ασκήσις ) Αποδίξτ µ χρήση του χαρακτηρισµού της οµοιόµορφης συνέχιας µ ακολουθίς ότι οι συναρτήσις: (α) f ( ), 0 =, (β) (, ) f =, (γ)

5 39 f (,, z ) = + + z και (δ) f ( ) = συνχίς,, R, 0 δν ίναι οµοιόµορφα )Αποδίξτ ότι οι συναρτήσις, (α) f ( ) log, [ c, ) f ( ), 0 =, και (γ) ( ) ( ) f a a... = + όπου c > 0, (β) = + +, ( ) πραγµατικές σταθρές, ίναι οµοιόµορφα συνχίς. =,..., R και a,..., a 3) Αποδίξτ ότι οι συναρτήσις (, R a (, (, R i (, ίναι οµοιόµορφα συνχίς. και 4) Αποδίξτ ότι αν Κ ίναι φραγµένο και µη κνό υποσύνολο του κλιστότητα Κ του Κ ίναι συµπαγές σύνολο. R τότ η 5) Έστω Κ Κ... Κ..., φθίνουσα ακολουθία συµπαγών µη κνών υποσυνόλων του του R. R,αποδίξτ ότι η Κ ίναι µη κνό και συµπαγές υποσύνολο = 6) Έστω Α κλιστό µη κνό υποσύνολο του R και a R. Αποδίξτ ότι η συνάρτηση f ( ) = a, R, έχι λάχιστη τιµή πί του Α. ηλαδή υπάρχι : Α για κάθ Α. [ Υπόδιξη. Έστω if { a : } >, το σύνολο { Α : a + } ίναι κλιστό και φραγµένο ] f : Β 0, Μ R συνχής συνάρτηση ( όπου ( 0, ) { R : } 0 0 Αν 0 7)Έστω ( ) { } = Α. Β Μ = Μ ). Θέτοµ g( r) = sup f ( ) : r,0 r Μ. Τότ η g ίναι συνχής συνάρτηση του r [ 0, Μ ]. [ Υπόδιξη. Η g ίναι αύξουσα συνάρτηση στο διάστηµα [ 0,Μ ] και συνπώς τα πλυρικά όρια g( r + 0) = li g( ρ) και g( r 0) = li g( ρ) υπάρχουν και ισχύι ρ r ρ > r ρ r ρ < r ( + 0) ( ) ( 0). Αποδίξτ ότι g( r) g( r 0) g( r 0) g r g r g r = + =.]

Σχετικά έγγραφα

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων . 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων