και ( n) 1 R. Αν ε > 0, επιλέγουµε για κάθε k 1 ένα καλύπτουµε τότε την ευθεία Α µε την ακολουθία των ορθογωνίων .

Transcript

1 80 Σύνολα µέτρου µηδέν στον και ο χαρακτηρισµός του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων 7. Ορισµός. Έστω για κάθ 0 Α, λέµ ότι το Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν αν, > υπάρχι ακολουθία ανοικτών διάστατων ορθογωνίων ( ) και ( ) = = Α Γράφουµ τότ µ ( Α ) = 0ή ( ) 0 µ. ώστ µ Α = ( και λέµ ότι το Α έχι µέτρο µηδέν) αν δν υπάρχι αµφιβολία για την διάσταση. Είναι ύκολο να λέγξουµ ότι η έννοια του διάστατου µέτρου µηδέν δν ξαρτάται από το ίδος των ορθογωνίων που καλύπτουν το Α, έτσι µπορούµ π.χ. να αντικαταστήσουµ στον ορισµό τα ανοικτά µ κλιστά ορθογώνια. Παραδίγµατα ) Κάθ αριθµήσιµο υποσύνολο του έχι διάστατο µέτρο µηδέν. Πράγµατι, έστω Α= { x,..., x,...}. Αν > 0, πιλέγουµ για κάθ ένα ανοικτό ορθογώνιο Ι µ x Ι ώστ µ ( Ι). Έπται προφανώς ότι Α Ι και µ ( Ι) = = = = = = ) Κάθ υθία του έχι διδιάστατο µέτρο µηδέν. Ας αποδίξουµ το αποτέλσµα για λόγους απλότητας- για την υθία των Α= x,0 : x. Έστω > 0, πραγµατικών αριθµών, δηλαδή το σύνολο ( ) { } καλύπτουµ τότ την υθία Α µ την ακολουθία των ορθογωνίων = [, ],, + +. Είναι προφανές ότι. Επιδή ( ), = Α µ ( ) = = =, έχουµ το συµπέρασµα. = = = µ = και Παρατηρήσις ) Η έννοια του διάστατου µέτρου µηδέν ξαρτάται από τον χώρο που «ζι» το σύνολο που ξτάζουµ, έτσι η υθία των πραγµατικών έχι

2 8 διδιάστατο µέτρο µηδέν ως υποσύνολο του, όµως ως υποσύνολο του αυτού της έχι βέβαια (µονοδιάστατο ) µέτρο που ίναι διαφορτικό του µηδνός ( αφού απιρίζται ). ) Το προηγούµνο αποτέλσµα γνικύται σ κάθ διάσταση ( ). Έτσι αποδικνύται ότι κάθ υπρπίπδο του ( ) έχι διάστατο µέτρο µηδέν. ( Άσκηση). ν ίναι δύσκολο να αποδιχθί και το ακόλουθο αποτέλσµα η απόδιξη του οποίου αφήνται ως άσκηση. 7. Πρόταση Έστω Α, µια ακολουθία υποσυνόλων του καθένα έχι διάστατο µέτρου µηδέν, τότ το σύνολο µέτρου µηδέν. που το έχι διάστατο = Α= Α Σύνολα διδιάστατου µέτρου µηδέν στον που παρουσιάζουν µγάλο νδιαφέρον για µάς ίναι τα γραφήµατα συνχών πραγµατικών συναρτήσων πραγµατικής µταβλητής. 7.3 Θώρηµα Έστω f :[ a, ολοκληρώσιµη συνάρτηση ( ιδιαίτρα η f ίναι συνχής ) τότ το γράφηµα της f έχι διδιάστατο µέτρο µηδέν. Απόδιξη: Έστω > 0, πιδή f ίναι ολοκληρώσιµη ικανοποιί το κριτήριο iema. Άρα υπάρχι διαµέριση Ρ= { t0 = a< t <... < t = b} του [, ] m = if f ( x) : x [ t, t ] και sup f ( x) : x [ t, t ] { } (, ) (, ) ( )( ) { } a b, ώστ αν Μ =, =,,..., τότ (). = U f Ρ L f Ρ = t t Μ m Παρατηρούµ ότι τα ορθογώνια [ t, t] [ m, ],,,..., γράφηµα της f, G( f ) = {( x, f ( x) ) : x [ a, }. Πράγµατι, αν x [ a, {,,..., } ώστ x [ t t], άρα ( x, f ( x) ) [ t, t ] [ m, ], = Μ = καλύπτουν το Μ =. τότ υπάρχι Επί πλέον από την () έπται προφανώς ότι ( ) ( t t )( m ) Συνπώς το ( ) G f έχι διδιάστατο µέτρο µηδέν. µ = Μ. = = Στην πρίπτωση που η f ίναι συνχής, τότ όπως γνωρίζουµ ικανοποιί το κριτήριο του iema ( ισοδύναµα ίναι ολοκληρώσιµη ). Ας υπνθυµίσουµ την απόδιξη αυτού του ισχυρισµού: Έστω 0 a, b, >, πιδή η f ίναι οµοιόµορφα συνχής, ως συνχής στο συµπαγές [ ] υπάρχι 0 δ >, ώστ x, y [ a, και x y δ τότ f ( x) f ( y) (). b a a, b µ λπτότητα Επιλέγουµ µια διαµέριση Ρ= { t0 = a< t <... < t = b} του [ ] δ( ) max { t t : } δ συµβολισµό ) ότι όπως έπται από την () θα έχουµ, U( f, ) L( f, ) Ρ = και παρατηρούµ ( µ τον προηγούµνο Ρ Ρ =

3 8 Μ =. = ( m ) ( t t ) ( t t ) = b a = Έτσι η f ικανοποιί το κριτήριο του iema και συνπώς ίναι ολοκληρώσιµη. Το προηγούµνο θώρηµα αποδικνύται µ τον ίδιο τρόπο και για συναρτήσις πολλών µταβλητών. 7.4 Θώρηµα Έστω κλιστό ορθογώνιο του και f : ολοκληρώσιµη συνάρτηση ( ιδιαίτρα η f ίναι συνχής) τότ το γράφηµα της f έχι + διάστατο µέτρο µηδέν ( ως υποσύνολο του Παραδίγµατα ) Ο µοναδιαίος κύκλος ( ) + ). {, : } S = x y x + y = του έχι διδιάστατο µέτρο µηδέν. Πράγµατι, ο S ίναι ένωση του άνω και του κάτω ηµικυκλίου που ίναι γραφήµατα των συναρτήσων f ( x) = x, x [,] και g( x) = x, x [,] αντίστοιχα. Εποµένως ( S ) µ =. 0 ) Η πιφάνια της µοναδιαίας σφαίρας ( ) {,, : } S = x y z x + y + z = του 3 έχι τρισδιάστατο µέτρο µηδέν αφού µπορί να γραφί ως ένωση του άνω και του κάτω ηµισφαιρίου που ίναι γραφήµατα των συναρτήσων, f ( x, y) ( x y ) (, ) ( ) 0, { x, y : x y } = + και g x y = x + y, µ κοινό πδίο ορισµού τον κλιστό δίσκο ( ) ( ) Β = + του Ευκλιδίου πιπέδου. Τα δύο προηγούµνα παραδίγµατα ύκολα γνικύονται στον. Έτσι η πιφάνια S,..., :... = x x x + + x =, της µοναδιαίας σφαίρας του έχι {( ) } διάστατο µέτρο µηδέν ( Άσκηση). C { x, x : x } { } 3) Η καµπύλη ( παραβολή) ( ) Πράγµατι, θέτοµ C ( x, x ) : x [, ] = έχι διδιάστατο µέτρο µηδέν. = για N, τότ η C ίναι γράφηµα της συνχούς συνάρτησης f ( x) = x πριορισµένης στο διάστηµα [, ] ( ) C 0 µ = για κάθ και C = C έχοµ το συµπέρασµα. =. Επιδή ιατυπώνουµ τώρα, χωρίς απόδιξη, ένα σηµαντικό αποτέλσµα του Lebesgue που χαρακτηρίζι τις κατά iema ολοκληρώσιµς συναρτήσις. 7.5 Θώρηµα Έστω κλιστό ορθογώνιο του και f : φραγµένη συνάρτηση. Οι ακόλουθοι ισχυρισµοί ίναι ισοδύναµοι: (ι) Η f ίναι ολοκληρώσιµη. (ιι) Το σύνολο των σηµίων ασυνέχιας της f έχι διάστατο µέτρο µηδέν.

4 83 Jorda µτρήσιµα υποσύνολα του. Η θωρία ολοκλήρωσης που αναπτύξαµ µέχρι τώρα αφορά πολλαπλά ολοκληρώµατα f ( x) dx όπου κλιστό ορθογώνιο του Ευκλιδίου χώρου. Όµως στις φαρµογές ίναι απαραίτητο να έχουµ έναν ορισµό του πολλαπλού ολοκληρώµατος σ µια κλάση υποσυνόλων του υρύτρη των ορθογωνίων. Έτσι δίνουµ τον ακόλουθο ορισµό. 7.6 Ορισµός. Έστω Α φραγµένο και f : Έστω ακόµη ένα κλιστό ορθογώνιο του συνάρτηση g πί του µ τον ακόλουθο τρόπο: g( x) Α φραγµένη συνάρτηση. που πριέχι το Α, ορίζουµ µια f ( x), αν x Α = 0, αν x Α Η f λέγται ολοκληρώσιµη ( κατά iema ) πί του Α αν το ολοκλήρωµα ( iema ) g( x) dx υπάρχι. Γράφουµ τότ ( ) = ( ) Α f x dx g x dx Σηµίωση ν ίναι δύσκολο να αποδίξουµ ( π.χ. θωρώντας τα αθροίσµατα g x dx ) ότι το ολοκλήρωµα f ( x) dx ίναι iema που προσγγίζουν το ( ) ανξάρτητο του ορθογωνίου που πριέχι το Α. Ας ξτάσουµ τον καινούριο ορισµό µ ένα συγκκριµένο παράδιγµα: Έστω f x, y = x + yx, x, y και Α ο κλιστός µοναδιαίος δίσκος του, δηλαδή ( ) ( ) Α= {( x, y) : x + y }. Το ττράγωνο [,] [,] µένι να ξακριβώσουµ αν το ολοκλήρωµα (, ) (, ) g x y + = 0,,,(, ) ( x y) x xy x y Α Α = πριέχι τον δίσκο Α και Α g x y dxdy υπάρχι όπου Παρατηρούµ ότι η g δν ίναι συνχής στο ττράγωνο, µάλιστα τα σηµία ασυνέχιας της gίναι ακριβώς τα σηµία του µοναδιαίου κύκλου S = x, y : x + y = που έχουν {( ) } βέβαια άπιρο ( υπραριθµήσιµο ) πλήθος. Παρόλα αυτά η συνάρτηση gίναι ολοκληρώσιµη στο όπως έπται ύκολα από τον χαρακτηρισµό των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων του Lebesgue και το γγονός ( που ήδη γνωρίζουµ ) ότι καµπύλς όπως ο κύκλος που ίναι ππρασµένς νώσις γραφηµάτων συνχών συναρτήσων έχουν µέτρο µηδέν. Από το παράδιγµα που µόλις ξτάσαµ προκύπτι ότι πρέπι να ίµαστ προσκτικοί µ τον ορισµό του πολλαπλού ολοκληρώµατος πάνω από ένα φραγµένο

5 84 σύνολο Α που δώσαµ πριν, και αυτό διότι η διαδικασία αυτή ισάγι καινούρις ασυνέχις στην συνάρτησή µας ( που βρίσκονται στο σύνορο του Α ) και αυτό βρίσκται σ αντίθση µ τον χαρακτηρισµό Lebesgue των ολοκληρωσίµων συναρτήσων. Από το ίδιο παράδιγµα ( αλλά και από άλλα παραδίγµατα ) προκύπτι ακόµη ότι σύνολα κατάλληλα για την ολοκλήρωση ίναι αυτά που το σύνορό τους ίναι σχτικά οµαλό. Ας ξκινήσουµ την διρύνηση των συνόλων µ οµαλό σύνορο ( ως προς την ολοκλήρωση ) µ την ακόλουθη. Παρατήρηση. Έστω Α, θωρούµ την χαρακτηριστική συνάρτηση f = x Α του συνόλου Α. Τότ ίναι ύκολο να αποδίξουµ ότι αν x, το x ίναι σηµίο ασυνέχιας της f αν και µόνο αν το x ανήκι στο σύνορο του Α. ( Άσκηση ). Υπνθυµίζουµ ότι το σύνορο Α του Α ορίζται ως, ισχύι η ξίσωση, = it( Α) Α it( Α). Α=Α Α και ακόµη ότι Έπται αµέσως από των χαρακτηρισµό του Lebesgue των iema ολοκληρωσίµων συναρτήσων και την παρατήρηση αυτή η ακόλουθη. 7.7Πρόταση Έστω ισοδύναµα: (ι) Η f ίναι ολοκληρώσιµη. Α φραγµένο σύνολο και f (ιι) Το σύνορο του Α έχι διάστατο µέτρο µηδέν ( µ ( Α ) = 0 ). = x Α. Τα ακόλουθα ίναι 7.8Ορισµός Θα λέµ ότι ένα φραγµένο υποσύνολο Α έχι πριχόµνο ή ότι ίναι Jorda µτρήσιµο υποσύνολο του, αν η χαρακτηριστική συνάρτησή του f µ Α = ( σύµφωνα µ την = ίναι ολοκληρώσιµη, ισοδύναµα αν ( ) 0 x Α προηγούµνη πρόταση). Αν το Α ίναι Jorda µτρήσιµο ορίζουµ τότ ( ως διάστατο) πριχόµνο ή ( διάστατο ) όγκο του Α τον αριθµό µ ( Α ) = dx = xαdx, δηλαδή το Α ολοκλήρωµα iema της χαρακτηριστικής συνάρτησης του Α. Ο όγκος του Α V Α. συµβολίζται και µ ( ) Ο ορισµός του όγκου ίναι φυσιολογικός πιδή ο χώρος κάτω από το γράφηµα της f = ίναι µια «κυλινδρική» πριοχή µ βάση το σύνολο Α και ύψος. x Α

6 85 Παρατηρήσις ) Έστω µ πριχόµνο µηδέν ( δηλαδή ( ) 0 Α φραγµένο, τότ το Α ίναι Jorda µτρήσιµο µ Α = dx= ) αν και µόνο αν, για κάθ > 0 υπάρχι µια ππρασµένη ακολουθία,..., N από ορθογώνια ώστ N Α N και = Α µ ( ) ( η απόδιξη αφήνται ως άσκηση). Έπται προφανώς ότι αν το Α έχι = πριχόµνο µηδέν τότ έχι και µέτρο µηδέν. )Αν Α ίναι συµπαγές τότ το Α έχι ( διάστατο) µέτρο µηδέν, αν και µόνο αν, έχι ( διάστατο) πριχόµνο µηδέν ( Άσκηση ). Έπται ιδιαίτρα ότι αν Α φραγµένο, τότ Α Jorda µτρήσιµο αν και µόνο αν το σύνορό του έχι πριχόµνο µηδέν. 3)Ένα φραγµένο υποσύνολο Α νδέχται να έχι µέτρο µηδέν αλλά όχι πριχόµνο µηδέν. Ένα τέτοιο παράδιγµα ( στην διάσταση = ) ίναι το σύνολο Q 0, 0,. Πράγµατι η χαρακτηριστική Α= [ ] των ρητών του διαστήµατος [ ] συνάρτηση f = x Α ( = η συνάρτηση του Dirichlet ), δν ίναι ολοκληρώσιµη στο, 0 U f, Ρ =. [ 0, ], αφού για κάθ διαµέριση Ρ του [ 0, ] έχουµ ότι L( f Ρ ) = και ( ) Είναι βέβαια σαφές ότι το Α ως αριθµήσιµο υποσύνολο του έχι ( µονοδιάστατο ) 0, και άρα µέτρο µηδέν. ( Σηµιώνοµ ότι, το σύνορο Α του Α ίναι το σύνολο [ ] µ ( Α ) =.) 4)Η κλάση J των Jorda µτρήσιµων υποσυνόλων του ίναι µια άλγβρα, δηλαδή ίναι κλιστή για τις ππρασµένς νώσις και τοµές, καθώς και για τα συµπληρώµατα. ( Η απόδιξη αφήνται ως άσκηση. Παρατηρήστ ότι Α Β Α Β για Α, Β ). ( ) ( ) ( ) Τα σύνολα της άλγβρας J έχουν οµαλό σύνορο και αυτό πιτρέπι την ολοκλήρωση φραγµένων συναρτήσων πάνω σ αυτά οι οποίς ίναι σχτικά οµαλές. 7.9Θώρηµα Έστω Α Jorda µτρήσιµο σύνολο και f : Α φραγµένη συνάρτηση. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναµα: (ι) Η f ίναι ολοκληρώσιµη πί του Α. (ιι) Το σύνολο των σηµίων ασυνέχιας της f στο Α ίναι σύνολο µέτρου µηδέν. Απόδιξη: Έστω κλιστό ορθογώνιο του που πριέχι το Α. Επκτίνουµ την f σ µια συνάρτηση g : ( σύµφωνα µ τον σχτικό ορισµό ) θέτοντας f ( x), x Α g( x) = 0, x Α Παρατηρούµ ότι η g παραµένι φραγµένη και ότι ασυνέχις της f κληροδοτούνται στην g. Όµως η g νδέχται να έχι ασυνέχις σ κάποια ή και σ όλα από τα συνοριακά σηµία του Α. Επιδή το Α ίναι Jorda µτρήσιµο έπται

7 86 προφανώς ότι η g ίναι ολοκληρώσιµη ακριβώς τότ αν το σύνολο των σηµίων ασυνέχιας της f έχι µέτρο µηδέν. Έπται προφανώς το ακόλουθο 7.0 Πόρισµα Έστω Α Jorda µτρήσιµο. Αν η συνάρτηση f : Α ίναι συνχής και φραγµένη τότ η f ίναι ολοκληρώσιµη πί του Α. Παραδίγµατα Jorda µτρήσιµων συνόλων. ) Κάθ ππρασµένο υποσύνολο του έχι πριχόµνο µηδέν ( προφανές). Γνικότρα κάθ φραγµένο υποσύνολο Α µ ππρασµένο σύνολο σηµίων συσσώρυσης ( Α ππρασµένο ) έχι πριχόµνο µηδέν ( Άσκηση ). )Κάθ φραγµένο ορθογώνιο του a, b... a, b ίναι Jorda µτρήσιµο σύνολο ( αν = [ ] [ ] τότ ο όγκος του ίναι V( ) ( b a ) ( b a ) = ).... 3)Κάθ σφαίρα του Ευκλιδίου χώρου ( ανοικτή ή κλιστή ) ίναι Jorda µτρήσιµο σύνολο. Αυτό το αποτέλσµα το έχουµ ήδη αποδίξι για την µοναδιαία σφαίρα του ( αφού η πιφάνιά της S έχι µέτρο µηδέν ). Το γνικότρο αποτέλσµα αποδικνύται παρόµοια. Ιδιαίτρα στο κάθ φραγµένο διάστηµα ίναι Jorda µτρήσιµο ( γιατί;). 4)Κάθ φραγµένο υποσύνολο του του οποίου το σύνορο αποτλίται από ένα ππρασµένο σύνολο γραφηµάτων συνχών πραγµατικών συναρτήσων πραγµατικής µταβλητής ίναι Jorda µτρήσιµο. Γνικότρα, κάθ φραγµένο υποσύνολο του, του οποίου το σύνορο ίναι ππρασµένη ένωση γραφηµάτων συνχών ( ) συναρτήσων µταβλητών ίναι Jorda µτρήσιµο, αφού τότ το σύνορό του έχι διάστατο µέτρο µηδέν. 5)Έστω f :[ a, ολοκληρώσιµη συνάρτηση ώστ f 0 στο [, ] σύνολο D ( t, z) : t [ a, και 0 z f ( t) Άσκηση). { } a b. Τότ το = ίναι Jorda µτρήσιµο στο ( Παρατήρηση Αποδικνύται ότι κάθ φραγµένο και κυρτό υποσύνολο του ίναι Jorda µτρήσιµο.