Παράρτηµα Γ Eνότητα Γ.1 Απόδειξη θεωρήµατος 1.5 Kεφαλαίου 1.

Transcript

1 Παράρτηµα Γ νότητα Γ. Απόδιξη θωρήµατος.5 Kφαλαίου. στω f ίναι συνχής και πραγµατική συνάρτηση στο κανονικοποιηµένη (αφαιρώντας µια σταθρά) ώστ f ( x) dx= u = Pr f αρµονική µ (,) v (,) =. Τότ η. στω u = και v συζυγής αρµονική της u µ h= u+ iv h =. Για φιξαρισµένο < r < και για ππρασµένο =,,..., από το Θώρηµα µέσης τιµής του Gauss έχουµ: ίναι αναλυτική στο D µ ( ) it it it h h re dt u re iv re dt = = = + = it it it it u ( re ) dt i u ( re ) v( re ) dt... i v ( re ) dt. Αναδιατάσσουµ την παραπάνω ισότητα ως ξής: v re dt u re v re dt u re dt it it it it και στον όρο φαρµόζουµ την ανισότητα Holder χρησιµοποιώντας τους συζυγίς κθέτς / /. Για /( ) και /( ) it απλότητα γράφουµ S = u ( re ) dt, it Τότ η παραπάνω γίνται: = v re dt. S + S S + S στω U = S/. Τότ:. 9

2 ή U U U U U + U U + U + +. Αν U η απόδιξη παραλίπται (ύκολη). Για U έχουµ U Αρα S και για r έχουµ Hf L ( ) L ( ) f διότι h= u+ iv f + i Hf, r. Εφόσον το σύνολο των συνχών συναρτήσων ίναι πυκνό στον L ( ), ο H πκτίνται µ L. µοναδικό τρόπο σ ένα φραγµένο τλστή πάνω στον Εφόσον τώρα ο H ίναι φραγµένος στυς L, L,... 4, µ φαρµογή του θωρήµατος Ries-hori θα ίναι φραγµένος στον L ( ) <. Τότ λόγω δυϊκότητας ίναι φραγµένος και στον L ( ), < < µ την ξής έννοια: όπου g L συζυγής κθέτης του. Σηµιώνουµ ότι στω f L (βλ. Παράρτηµα Β). Αλλά: < < και όπου ίναι ο < <. Τότ { L } Hf = su Hf x g x dx : g L = σφ π ( ) Hf x g x dx f y x y dy g x dx σφ π = g x y x dx f y dy 9

3 και Αρα H = Hg( y ) f ( y) dy L L L L L Hg y f y dy Hg f H f. H και το αποτέλσµα προκύπτι άµσα. L L L L 9

4 Ενότητα Β Απόδιξη θωρήµατος Ries-hori (θώρηµα.6, Κφάλαιο ). Πριν την απόδιξη του θωρήµατος Ries-hori χριαζόµαστ δυο λήµµατα. Λήµµα Α Εστω, και αν ίναι συζυγίς κθέτς. Αν g L ( µ ), ( ) τότ g L ( ) και g su ( ) απλη και f L f = M. fg dµ = M <,, µ < Απόδιξη. (α) <. Ορίζουµ το συναρτησιακό g Λ f = fg dµ. Τότ η απόδιξη προκύπτι ύκολα από την πρόταση Γ.6 και το θώρηµα Γ. του κφαλαίου. (β) =, =. Προφανώς fg g L L h= sig g. Τότ η h ίναι απλή, h = και hg = g = M. Λήµµα Β (Τριών γραµµών). Εστω Εστω Φ: ίναι συνχής και φραγµένη στην κατακόρυφη Re και αναλυτική στο σωτρικό της λωρίδας λωρίδα αυτής. Αν Φ( ) M πάνω στη συνοριακή υθία Φ( ) M πάνω στη συνοριακή υθία Re κάποις θτικές σταθρές M, M, τότ Re = και = αντιστοίχως για x x Φ ( x + iy) M M, για κάθ y και (,) x. 93

5 Απόδιξη. Εστω Re( ) = τότ > και ( ) Φ M M e =Φ. Αν ( ) log ( / ) iy iy iy M M Φ iy M M e = e e e = e. Οµοίως, αν Re( ) = έχουµ iy iy y iy y ( + iy )( + iy ) iy log ( M / M ) iy iy y iy y iy M M e e e e e Φ + = =. έχουµ Απ την άλλη µριά για κάθ y, x (,) Φ x+ iy = Φ x+ iy M M e x+ iy x iy ( x+ iy)( x+ iy ) ( x+ iy log ) M ( ) x+ iy logm x x y iy x x iy e e e e =Φ + x x x x y y x iy M M e e =Φ + Ce, διότι τόσο η Φ όσο και η x x e ίναι φραγµένς στη λωρίδα y Re, αντιστοίχως. Εφόσον e, y, < < και στο έχουµ, Φ y +. Αρα µπορούµ να πιλέξουµ αρκούντως µγάλο Φ πάνω στο σύνορο A > έτσι ώστ του ορθογωνίου { : Re( ), A Im( ) A} µγίστου προκύπτι Φ ( ) Εφόσον το A ίναι αρκούντως µγάλο, ισχύι Φ ( ) λωρίδα Re( ). Αφήνοντας, παίρνουµ. Από την αρχή και στο σωτρικό του ορθογωνίου. x x x x σ όλη τη lim Φ = Φ M M Φ M M. Απόδιξη θωρήµατος Ries-hori: Η απόδιξη χωρίζται στα ακόλουθα βήµατα: (α) Κατασκυάζουµ συνάρτηση Φ που ικανοποιί το Λήµµα τριών 94

6 γραµµών. (β) Μέσω της Φ και µ τη βοήθια των Ληµµάτων A και B : L X, µ L Y, ν ίναι φραγµένος δίχνουµ ότι ο τλστής για κάθ απλή συνάρτηση φ L ( X, µ ). (γ) Επκτίνουµ το αποτέλσµα σ κάθ στοιχίο f L ( X, µ ) λόγω πυκνότητας. Εφόσον ( ) νόρµα φ = φ φ, όπου φ = φφ, αρκί να δίξουµ ότι η φ ίναι φραγµένη για κάθ απλή συνάρτηση φ L µ φ =. Ξκινούµ µ την υπόθση <. Βήµα (α): Εστω i a a e θ = = φ = χ = χ φ =, όπου { } ίναι απλή συνάρτηση µ ίναι µια ακολουθία µτρήσιµων συνόλων ξένων µταξύ τους ανά δύο µ ένωση το X. Οµοίως, έστω m m i ψ = b χ = b e θ χ ίναι απλή συνάρτηση στον L ( Y ) = = µ ψ =, όπου ίναι ο L συζυγής κθέτης του. Ορίζουµ δυο µιγαδικές συναρτήσις α και β ως ξής: α ( ) = + και β ( ) = +. Αν (,) t τότ α () t = και β () t = (βλέπ κφώνηση). Φιξά- t και ορίζουµ τις συναρτήσις ρουµ (,) και ψ = / α α t iθ a e χ = φ = ( ) /( ()) m β β t i b e θ χ β t =. ψ β () () t = 95

7 Τέλος, ορίζουµ Τότ: φ ψ dν Φ =. / ( β( ) ) /( β() t ) ( χ ) χ β() ( χ ) χ β() m α α t iθ iθ a, e b e t = = Φ ( ) = m α( ) / α( t) i( θ+ θ ) a b e t = = = Η Φ ίναι ολόµορφη και φραγµένη στη λωρίδα Re( ). Θα δίξουµ ότι Φ( ) M για Re( ) = και Φ( ) M για Re( ) = και για κάποις θτικές σταθρές M, M. Πράγµατι, για x έχουµ φ i log a ( ) x a α α e a α α θ = χ = = e e / t / t iy log a iy log / / a = e = a = φ x. Μ παρόµοιο τρόπο έχουµ ( ) ( ψ ψ ) ψ / / = =, iy x x x όπου, ίναι οι συζυγίς κθέτς των., Τότ / / Φ = =. iy φiy ψ M iy φiy ψ M iy φ ψ M Μ την ίδια λογική προκύπτι ότι φ + iy = / φ, / ψ iy ψ + = και ( ) / / Φ + φ ψ φ ψ = φ ψ =. iy + iy + iy M iy iy M M + + Αρα η Φ ικανοποιί το Λήµµα τριών γραµµών και έτσι t t ( t iy) ( φ ) ψ M M t Φ + =,,. (β) Εφόσον η ψ ίναι τυχαία απλή συνάρτηση στον Λήµµα A προκύπτι άµσα ότι φ L και L, από το 96

8 t t φ M M t,,, φ απλή µ φ =. (γ) Για να πκτίνουµ την παραπάνω σ όλο τον L, απλά θυµόµαστ ότι ο χώρος των απλών συναρτήσων ίναι πυκνός στον L. Ετσι αν f L και g = f τότ f = limφ, όπου { φ } ίναι µια αύξουσα ακολουθία απλών συναρτήσων µ f f ως προς τη νόρµα. Από το Λήµµα Fatou έχουµ f lim φ M M lim φ M M f. t t t t Αν = =, τότ από την Πρόταση Γ.5 και για < < έχουµ t t t t f f f M M f. 97