ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΑ

Transcript

1 ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μαρία Καλδρυμίδου, Μαριάννα Τζεκάκη, Χαράλαμπος Λεμονίδης Ζωή Δεληφωτάκη 0695 Βασιλική Μίχου 0704 Ελένη Σπάχου 0718 The Development of Fifth-Grade Children's Problem-Posing Abilities Author(s): Lyn D. English Source: Educational Studies in Mathematics, Vol. 34, No. 3 (Dec., 1997), pp Published by: Springer Stable URL: Accessed: :20 UTC 1

2 κατασκευή προβλημάτων Η κατασκευή προβλημάτων είναι σημαντικό μέρος του σχεδίου προγράμματος των μαθηματικών και θεωρείται ότι βρίσκεται στην καρδιά της Μαθηματικής δραστηριότητας (Brown Walter, 1983, 1993; Kilpatrick, 1987; Moses, Bjork, & Goldenberg, National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] 1989, 1991; Silver, 1990, 1994). κατασκευή προβλημάτων προγενέστερες μελέτες συνέδεσαν την δεξιότητα της κατασκευής προβλήματος με την δημιουργικότητα και την πρωτοτυπία Όμως η φύση αυτής της σχέσης παραμένει θολή (Silver, 1994, Haylock, 1987) Και φαίνεται να υπάρχει μια πιο καθαρή σχέση μεταξύ της δεξιότητας στα μαθηματικά και της κατασκευής προβλημάτων (Ellerton, 1986; Leung, 1993) 2

3 κατασκευή προβλημάτων Η έλλειψη έρευνας στα ΑΠΣ που είναι σχεδιασμένα να βοηθήσουν την κατασκευή προβλήματος από τα παιδιά αναδεικνύει τα λίγα πλαίσια που υπάρχουν για να καθοδηγήσουν την εξέλιξη προγράμματος (Silver, 1994) κάποιες ιδέες μπορούμε να βρούμε από τις δραστηριότητες που δίνουν οι Brown and Walter (1993), και από το 'Realistic Mathematics Education' curriculum (Ολλανδία) δίνει σημαντική έμφαση στην κατασκευή προβλημάτων από τους μαθητές σε όλες τις μαθηματικές δραστηριότητες, με δημιουργίες και ελεύθερες παραγωγές στην διαδικασία διδασκαλίας και μάθησης (Freudenthal, 1991; Streefland, 1993; Treffers, 1993; Van den Heuvel- Panhuizen et al., 1995 ) κατασκευή προβλημάτων Η κατασκευή προβλήματος δεν είναι ενσωματωμένη μαθησιακή διαδικασία σε ένα ολοκληρωμένο πρόγραμμα σπουδών για τα μαθηματικά. Προϋποθέτει πρώτα την δημιουργία ενός πλαισίου το οποίο θα οδηγούσε την διαμόρφωση κατάλληλων δραστηριοτήτων μάθησης (English, 1997) 3

4 Πλαίσιο κατασκευής προβλημάτων η ανάπτυξη αυτού του Πλαισίου και πρόγραμμα των δραστηριοτήτων πρέπει να βασίζονται σε κάποια στοιχεία ερευνών και επιστημονικών απόψεων όπως του Freudenthal (1991) 'thought experiment, δηλ. να δει κανείς εκ των προτέρων πως θα εξελιχθεί η διαδικασία διδασκαλίας μάθησης πριν εφαρμόσει δραστηριότητες στην τάξη. μετά την εφαρμογή του πλαισίου, προσπάθεια εύρεσης αποδείξεων που δείχνουν αν πραγματοποιήθηκαν τα αναμενόμενα η ανατροφοδότηση της πρακτικής εμπειρίας σε νέα πειράματα σκέψης παράγει έναν κύκλο εξέλιξης προγράμματος σπουδών και έρευνας (English, 1997). Πλαίσιο κατασκευής προβλημάτων Η κατάρτιση του Πλαισίου πρέπει να βασίζεται στα ευρήματα και στις οδηγίες που υπάρχουν σε έρευνες για την επίλυση και την κατασκευή προβλημάτων Να λαμβάνεται υπόψη το μαθηματικό υπόβαθρο των μαθητών που συμμετείχαν Και οπωσδήποτε να περιλαμβάνει.. 1. την αντίληψη και τη χρήση δομών προβλημάτων 2. τις αντιλήψεις και τις προτιμήσεις διαφόρων τύπων προβλημάτων και 3.την ανάπτυξη Μαθηματικής σκέψης με διάφορους τρόπους 4

5 αντίληψη και χρήση δομών προβλημάτων αντίληψη του προβλήματος σαν ένα βασικό συστατικό του Πλαισίου αφορά στην ικανότητα των μαθητών να αναγνωρίζουν την δομή που βρίσκεται στο πρόβλημα και να εντοπίζουν αντίστοιχες δομές σε σχετικά προβλήματα η δομή μπορεί να οριστεί σαν μία φόρμα αφηρημένη από την προφορική της έκφραση (Freudenthal, 1991, p. 20). αντίληψη και χρήση δομών προβλημάτων Ωστόσο αν τα παιδιά πρόκειται να χρησιμοποιήσουν υπάρχοντα προβλήματα για να παράγουν νέα παραδείγματα και ερωτήματα, τότε πρέπει.. να είναι σε θέση να αναγνωρίζουν τις μαθηματικές δομές αυτών των προβλημάτων να μπορούν να θέσουν χαρακτηριστικά στο υπόβαθρο και να δώσουν σημασία στα δομικά συστατικά τα παιδιά να δημιουργήσουν νοερά μοντέλα με σημασία ή αναπαραστάσεις,οι οποίες αναγνωρίζουν τις σημαντικές μαθηματικές ιδέες και πως αυτές σχετίζονται μεταξύ τους (e.g., English, in press c; English & Halford, 1995; Holyoak and Koh, 1987; Nesher, 1988; Novick, 1988; Silver, 1981) 5

6 αντίληψη και χρήση δομών προβλημάτων Μελέτες δείχνουν την τάση των μαθητών να εστιάζουν στα επιφανειακά χαρακτηριστικά των προβλημάτων, παρά στα υποκείμενα δομικά στοιχεία κάτι που.. περιορίζει σοβαρά τις ικανότητες των μαθητών στην επίλυση προβλημάτων (Novick, 1988, 1992; Silver, 1981; Stavy and Tirosh, 1993) αντιλήψεις και τις προτιμήσεις διαφόρων τύπων προβλημάτων το δεύτερο συστατικό του Πλαισίου σχετίζεται με την εστίαση στις αντιλήψεις των παιδιών για διαφορετικά προβλήματα συμπεριλαμβάνοντας ποιά προβλήματα προτιμούν και ποια δεν προτιμούν σε συνήθεις και μη καταστάσεις (Borasi, 1993; Brown and Walter, 1993; English, 1996; McLeod, 1992). Αν πρόκειται να διδάξουμε μαθηματικά με τέτοιο τρόπο που σέβεται τις ιδέες των μαθητών είναι βασικό να γνωρίζουμε πώς οι μαθητές αντιλαμβάνονται τα προβλήματα ( Van den Heuvel- Panhuizen et al., 1995) 6

7 αντιλήψεις και τις προτιμήσεις διαφόρων τύπων προβλημάτων Η ενθάρρυνση να εκφράσουν οι μαθητές τις αντιλήψεις τους για τα προβλήματα, δημιουργεί απόψεις που οδηγούν σε μελλοντική διδασκαλία λίγες μελέτες που να σχετίζονται με τις αντιλήψεις των μαθητών η μελέτη του Van den Heuvel-Panhuizen et al.'s (1995) έδωσε ενδιαφέρουσες απόψεις στην δημιουργία προβλημάτων ποσοστών από τους μαθητές και τις αντιλήψεις που αποκόμισαν από τα προβλήματα που είχαν δημιουργήσει αντιλήψεις και τις προτιμήσεις διαφόρων τύπων προβλημάτων δραστηριότητες στις οποίες οι μαθητές εκφράζουν τις αντιλήψεις τους για διαφορετικά προβλήματα και τις συγκρίνουν με τις διάφορες γνώμες των συμμαθητών τους μπορεί να γίνουν ένας πολύ ισχυρός τρόπος που να προάγει την μαθηματική κατανόηση (Van den Heuvel-Panhuizen et al., 1995) τέτοιες δραστηριότητες μπορούν επίσης να αυξήσουν την γνώση των μαθητών σε σχέση με τις διαφορετικές προσεγγίσεις στην παραγωγή και λύση προβλημάτων και να ενδυναμώσουν την εμπιστοσύνη στην προσπάθεια επίλυσης μιας μεγαλύτερης έκτασης τύπων προβλημάτων (Brown and Walter, 1993; De Lange, 1993; Moses, Bjork, and Goldenberg, 1993). έτσι οι μαθητές έχουν μία πιο πλούσια βάση για να δημιουργήσουν νέα προβλήματα και ερωτήματα 7

8 ανάπτυξη Μαθηματικής σκέψης με διάφορους τρόπους το τρίτο συστατικό του πλαισίου είναι οι ικανότητες των μαθητών να αντιληφθούν μαθηματικές καταστάσεις με διαφορετικούς τρόπους αυτό δεν είναι μόνο πολύ σημαντικό στην εξέλιξη της κατασκευής προβλημάτων για τους μαθητές αλλά επίσης και στην γενικότερη μαθηματική τους βελτίωση (English and Halford, 1995; NCTM, 1989; Resnick, 1987; Smith and Silver, 1995). ανάπτυξη Μαθηματικής σκέψης με διάφορους τρόπους Η ικανότητα να προσεγγίσει κανείς μία μαθηματική έκφραση με περισσότερους από ένα τρόπους είναι ιδιαίτερα σημαντική στην αντίληψη των μαθητών σχετικά με καταστάσεις πράξεων και με την ικανότητά τους να παράγουν νέα προβλήματα πράξεων Αν και υπάρχει σημαντική βιβλιογραφία για τις ικανότητες των παιδιών να λύνουν προβλήματα πράξεων (e.g., Bergeron and Herscovics, 1990; Carpenter and Moser, 1984; Carpenter et al., 1993; Fus- on, 1992; Greer, 1992; Kouba, 1989; Riley, Greeno, and Heller, 1983),. υπάρχουν λίγες πληροφορίες σχετικά με τις ικανότητες των μαθητών να κατασκευάσουν τέτοια προβλήματα 8

9 Μονοετής μελέτη Τέσσερεις φάσεις Μεθοδολογία o Αρχική επιλογή συμμετεχόντων o Προκαταρκτικές συνεντεύξεις o Εφαρμογή προγράμματος o Μετά τις συνεντεύξεις Αρχική επιλογή συμμετεχόντων Τάξη 5, Ηλικία 10ετών, Ν=150 Εκτιμήθηκαν ως προς την αίσθηση του αριθμού (NCTM, Sowder,1988 & 1992) o Κατανόηση φυσικού αριθμού σχετικά μεγέθη αριθμού αναπαράσταση σχέσεων αριθμού με χειρισμούς αναγνώριση μη λογικών αποτελεσμάτων για υπολογισμούς αναγνώριση ποικιλίας καταστάσεων και δομών προβλημάτων Την επίλυση νέων προβλημάτων o Η ικανότητα επίλυσης νέων μη υπολογιστικών προβλημάτων, χωρίς άμεσα διαθέσιμες μεθόδους επίλυσης (Baroody, 1993; Charles and Lester, 1982) o Παραπλανητικά-επαγωγικά-χωρικά προβλήματα λογικήςσυνδυαστικά παραδείγματα-παραδείγματα σημαντικών στοιχείων του ΑΠΣ (Baroody, 1993; English and Halford, 1995; NCTM, 1989) 9

10 Ομάδες Αρχική επιλογή συμμετεχόντων Ισχυρή αίσθηση αριθμού αδυναμία στην επίλυση νέων προβλημάτων Αδυναμία στην αίσθηση του αριθμού ισχυρή δυνατότητα επίλυσης νέων προβλημάτων Ισχυρή δυνατότητα και στα δύο 10 εβδομάδες Τοποθέτηση προβλήματος 2 συνεδρίες 35 /εβδομάδα Τρόπος διεξαγωγής Ομαδική συζήτηση Μικρή ομαδική εργασία Ανταλλαγή ιδεών ολόκληρης ομάδας Δόθηκε έμφαση στις αλληλεπιδράσεις των παιδιών με τους συμμαθητές και το δάσκαλό τους ( Η συνεργασία ενσωματώνει την εκμάθηση)(vygostky,1978) Δάσκαλος : Οδηγός και διευκολυντής 10

11 Εξελίξεις που παρατηρήθηκαν στις ικανότητες των παιδιών να κατασκευάζουν προβλήματα Δόθηκε έμφαση στις αντιλήψεις και τις προτιμήσεις των παιδιών στην αναγνώριση δομών προβλημάτων κατασκευή προβλημάτων από δεδομένα συστατικά. προβλήματα που παρήχθησαν από συμβολικές εκφράσεις μοντελοποίηση νέων προβλημάτων βάσει υπαρχόντων δομικών προβλημάτων. Τα προβλήματα περιλάμβαναν Ένα υπολογιστικό πρόβλημα με πολλά βήματα που είχε να κάνει με χρήματα Ένα πρόβλημα λογικής επεξεργασίας Ένα πρόβλημα αφαίρεσης που περιλαμβάνει μία σύγκριση Ένα πρόβλημα συνδυαστικό 11

12 οι αντιλήψεις και οι προτιμήσεις των παιδιών σε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων Προβλήματα για τα οποία οι μαθητές έδειξαν ενδιαφέρον : Προβλήματα λογικής «είναι δύσκολα και σε κάνουν να σκεφτείς Και αυτό μου αρέσει» Προβλήματα αφαίρεσης «είναι εύκολο να το λύσεις» «είναι απλά ένα πρόβλημα αφαίρεσης» οι αντιλήψεις και οι προτιμήσεις των παιδιών σε διαφορετικούς τύπους προβλημάτων Προβλήματα για τα οποία οι μαθητές δεν έδειξαν ενδιαφέρον : Συνδυαστικά προβλήματα «Είναι μπέρδεμα» «είναι πολύ δύσκολο» «Είναι πολλά πράγματα που πρέπει να γίνουν» προβλήματα πολλών βημάτων με τα χρήματα. Τα ασυνήθιστα προβλήματα σε κάποιους μαθητές άρεσαν περισσότερο και σε κάποιους λιγότερο. 12

13 Η αναγνώριση των δομών στα προβλήματα Παρουσιάστηκαν: συνηθισμένα και ασυνήθιστα προβλήματα Προβλήματα με παρόμοια δομή σε διαφορετικές θεματικές ιστορίες προβλήματα με διαφορετικές δομές στην ίδια θεματική ιστορία έγινε ομαδοποίηση των προβλημάτων σύμφωνα με ομοιότητες στην διαδικασία λύσης Προβλήματα με παρόμοια δομή. (1) 1α) Carla έχει ένα μπλε t-shirt,ένα κόκκινο t-shirt, και ένα πράσινο t-shirt. Επίσης έχει μία μαύρη φούστα, μία καφέ φούστα, και μία γκρι φούστα. Πόσα διαφορετικά ντυσίματα μπορεί να κάνει; 1β)Η Sally, η Mary, ο Bill, και η Jane αγόρασαν ένα καινούργιο της t-shirt o καθένας. Ένα t-shirt ήταν μπλε,ένα ήταν κόκκινο, ένα ήταν πράσινο και ένα ήταν μαύρο. Η Sally αγόρασε το κόκκινο t-shirt, ο Bill δεν αγόρασε το μπλε t-shirt. Στη Jane δεν αρέσουν ούτε τα πράσινα ούτε τα μπλε t-shirts. Ποια t-shirts αγόρασαν η Sally, η Mary, ο Bill, και η Jane ; 13

14 Προβλήματα με παρόμοια δομή. (2) 2α) Η Sally και η Joan αποταμίευσαν η καθεμία για να αγοράσουν ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκίνητο. Η Sally έχει αποταμιεύσει 32 δολάρια. Αν αποταμιεύσει ακόμη 25 δολάρια τότε θα έχει τόσα όσα έχει αποταμιεύσει η Joan. Πόσα χρήματα έχει αποταμιεύσει η Joan ; 2β) Η Kelly και ο Jim έχουν ο καθένας αποταμιεύσει για να αγοράσουν ένα τηλεκατευθυνόμενο αυτοκίνητο. Η Kelly έχει αποταμιεύσει 25 δολάρια και ο Jim έχει αποταμιεύσει 42 δολάρια. Πόσα ακόμα δολάρια πρέπει να αποταμιεύσει η Kelly για να έχει τόσα όσα και ο Jim ; εξηγήσεις από τους μαθητές για την ομαδοποίηση των προβλημάτων Βασική εξήγηση Εντοπισμός της κοινής πράξης ή αναγνώριση της ομοιότητας στον στόχο του προβλήματος Περιεκτική εξήγηση Ξεκάθαρη αντιστοίχιση των δομών των δύο προβλημάτων. Το πρόγραμμα είχε επιτυχία στην ανάπτυξη της κατανόησης της δομής ενός προβλήματος όπως και στην ικανότητα των παιδιών για την αναγνώριση των αντίστοιχων δομών. 14

15 μοντελοποίηση νέων προβλημάτων σε υπάρχουσες δομές ανάλογα με το είδος και το τύπο του προβλήματος η αίσθηση αριθμού και οι ικανότητες να λύσουν καινούργια προβλήματα παίζουν σημαντικό ρόλο στην δημιουργία νέων προβλημάτων πάνω σε υπάρχουσες δομές. βελτίωση των ικανοτήτων μοντελοποίησης σε ένα νέο πρόβλημα από μία υπάρχουσα δομή Οι μαθητές γίνονται ικανοί: να διαφοροποιήσουν το θέμα της ιστορίας του προβλήματος. να αντιληφθούν ότι τη η δομή του προβλήματος είναι ανεξάρτητη από ένα συγκεκριμένο θέμα να δώσουν μεγαλύτερη ευελιξία στην δημιουργία των προβλημάτων. να δημιουργήσουν θέματα που τα ίδια βρίσκουν ενδιαφέροντα και με νόημα σε αντίθεση με αυτά τα οποία εμείς κατασκευάζουμε για αυτά 15

16 δημιουργία προβλημάτων από δεδομένα συστατικά προβλήματος (συμβολικές εκφράσεις ) Tα προβλήματα που δημιούργησαν οι μαθητές σε σχέση με την μαθηματική δομή του προβλήματος χαρακτηρίστηκαν ως: Βασικά Όταν τα προβλήματα δημιουργούνταν με στοιχειώδεις αλλαγές κατάστασης Σύνθετα Όταν τα προβλήματα είχαν μεγαλύτερη ποικιλία στον τρόπο σκέψης και περιλάμβαναν πιο δύσκολες περιπτώσεις όπως o σύγκριση και εξίσωση καταστάσεων για πρόσθεση και αφαίρεση o προβλήματα σύγκρισης με πολλαπλασιασμό. o συνδυαστικά προβλήματα Δημιουργία νέων προβλημάτων σε υφιστάμενες δομές Συνδυαστικό πρόβλημα Η επιχείρηση «Lazy Days Icecream Parlour» έχει παγωτό φράουλα παγωτό σοκολάτα και μάνγκο παγωτό. Έχει πράσινους κώνους και μοβ κώνους. Έχει, επίσης, σιρόπι κεράσι, μπανάνα και βατόμουρου. Πόσους διαφορετικούς συνδυασμούς παγωτών θα μπορούσατε να αγοράσετε, αν κάθε παγωτό έχει μια γεύση, έναν κώνο και ένα είδος σιροπιού; (Δοσμένο πρόβλημα) Η επιχείρηση «Greg Chapple Cricket» έχει τριών ειδών ρόπαλα κρίκετ: kookaburra, Mark Waugh και Alan Border. Κάθε ρόπαλο χρειάζεται μια λαβή και οι λαβές είναι πολύχρωμες, μπλε και καρό. Εάν κάθε ρόπαλο του κρίκετ είχε διαφορετική λαβή, πόσα διαφορετικά είδη ροπάλων μπορούν να υπάρχουν; (πρόβλημα μαθητή,) 16

17 Πρόβλημα που ακολουθεί ένα μοτίβο o Ο Sam μοιράζει φυλλάδια για να κερδίσει το χαρτζιλίκι του. Την πρώτη ημέρα παρέδωσε 150 φυλλάδια. Τη δεύτερη ημέρα παρέδωσε 165 φυλλάδια και την Τρίτη ημέρα 180 φυλλάδια. Αν συνεχίζει να μοιράζει φυλλάδια σε αυτό το μοτίβο, πόσες μέρες θα του πάρει, για να παραδώσει 210 φυλλάδια; (Δοσμένο πρόβλημα) o Η Τζένη μετακομίζει και έχει πολλά πράγματα να συσκευάσει σε κουτιά. Την πρώτη ημέρα έβαλε 20 πράγματα σε ένα κουτί. Τη δεύτερη ημέρα έβαλε 25 πράγματα σε ένα κουτί και την τρίτη ημέρα έβαλε 30. Αν συνεχίζει να συσκευάσει κουτιά σε αυτό το μοτίβο, πόσες μέρες θα της πάρει, για να συσκευάσει 50 πράγματα; (πρόβλημα μαθήτριας) Πρόβλημα επαγωγικού συλλογισμού o Τέσσερις διάσημοι άνθρωποι των σπορ εισήλθαν σε ένα τηλεοπτικό στούντιο. Ένας ήταν ένας παίκτης του τένις, ένας ήταν κολυμβητής, ένας ήταν παίχτης του γκολφ και ένας ήταν παίκτης σκακιού. Χρησιμοποιήστε τις ενδείξεις για να μάθετε ποιος έπαιξε ποιο άθλημα. Ενδείξεις: 1. Ο κ. Bowler δεν είναι καλός στο σκάκι. 2. Τόσο το άθλημα του κ.big όσο και της κα.ace περιλαμβάνει μια μπάλα. 3. Η κα. Fish δεν μπορεί να κολυμπήσει. 4. Ούτε η κα.ace ούτε η κα.fish παίζουν τένις. (Δοσμένο πρόβλημα) o Ο Adam, ο Chris, Amy, και η Kate αγόρασαν κάποια παιχνίδια. Υπήρχε ένα φορτηγό, ένα αυτοκίνητο, μια μπάλα και ένα πόνι. Η Amy δεν αγόρασε το φορτηγό, ούτε το αυτοκίνητο. Ο Adam δεν αγόρασε την μπάλα ούτε το πόνι. Η Kate αγόρασε το αυτοκίνητο. Ο Chris δεν αγόρασε το φορτηγό ή το πόνι. Ποιο παιχνίδι αγόρασε ο Adam, η Amy και ο Chris; (πρόβλημα μαθητή) 17

18 Δημιουργία προβλημάτων από δεδομένα στοιχεία (συμβολικές εκφράσεις) Παραδείγματα μαθητών o Για το στοιχείο 12: 3 Ο Adam έχει 12 καρότα. Φύτεψε 3 σειρές. Πόσα καρότα θα είναι σε κάθε σειρά; o Για το στοιχείο 3: 4 Είχα 3 κέικ. Αν μπορούσαν να τα μοιραστούν 4 φίλοι μου χωρίζοντάς τα σε τέταρτα, πόσα κομμάτια του κάθε κέικ θα έπαιρνε καθένας; Ο Adam έχει 3 κέικ. Θα πρέπει να μοιραστούν ίσα σε 4 φίλους μου. Πόσες φέτες θα πάρει το καθένα; Δημιουργία νέων προβλημάτων σε υφιστάμενες δομές Παραδείγματα μαθητών Για το στοιχείο Ο Bill έχει 132 Lego κομμάτια. Έχει 29 λιγότερα από τον Adam. Πόσα Lego κομμάτια έχει Adam; Η Jane έχει 132 μπίλιες και ο Aaron έχει 29 λιγότερες από την Jane. Πόσες έχει ο Aaron; Για το στοιχείο 4x3 Ο Tony φύτεψε καρότα. Έκανε 4 σειρές και σε κάθε σειρά είχε 3 καρότα. Πόσα καρότα φύτεψε ο Τόνι; Η Kelly έχει 4 παντελόνια και 3 πουκάμισα. Πόσα διαφορετικά ντυσίματα μπορεί να κάνει; 18

19 Τελικά Θα πρέπει οι εκπαιδευτικοί να αφιερώνουν περισσότερο χρόνο στην κριτική εκτίμηση των μαθητών για τις δικές τους κατασκευές προβλημάτων καθώς και στην εκτίμηση των προβλημάτων που δημιουργούν οι φίλοι τους Η κατασκευή προβλημάτων από μαθητές θα έπρεπε να γίνει σημαντική μαθησιακή διαδικασία μέσα στο συνολικό πρόγραμμα σπουδών και όχι απλά μέσα σε κάποιες δραστηριότητες. Ευχαριστούμε! 19