6 η Εργασία. θ(t) = γt 2 - βt 3

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "6 η Εργασία. θ(t) = γt 2 - βt 3"

Ξενοκράτης Ζέρβας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 1 6 η Εργσί 1) Έν τύµπνο σε µι εκτυπωτική µηχνή στρέφετι κτά γωνί θ(t), που δίνετι πό τη σχέση: θ(t) = γt - βt 3 όπου γ =,5 rad/s κι β = 0,4 rad/s 3. ) Υπολογίστε τη γωνική τχύτητ κι την γωνική επιτάχυνση του τύµπνου σν συνάρτηση του χρόνου. β) Ποι είνι η µέγιστη γωνική τχύτητ κι σε πόσο χρόνο επιτυγχάνετι υτή; [8 µονάδες] ) ω(t) = dθ(t)/dt = γt 3βt = (5 rad/s ) t (1, rad/s 3 ) t (1) a(t) = dω(t)/dt = γ 6βt = (5 rad/s ) (,4 rad/s 3 ) t () β) Η συνάρτηση ω(t) είνι της µορφής at + bt + c, µε < 0. Άρ, θ προυσιάζει µέγιστο στο σηµείο b/, η τιµή του οποίου θ είνι ίση µε /4. Αφού πό την (1) πίρνουµε ότι b=5 rad/s, = 1, rad/s 3 κι =5 rad /s 4 θ έχουµε τελικά: ω max = (-5 rad /s 4 ) / (-4,8 rad/s 3 ) = 5,1 rad/s, σε t =,1s ) ίδοντι οµογενής συµπγής κύλινδρος κι οµογενές κυλινδρικό κέλυφος, κτίνς R, µάζς Μ κι ύψους L. Εξηγείστε ποιοτικά: ) Ποιο πό τ δύο σώµτ έχει µεγλύτερη ροπή δράνεις ως προς τον άξον συµµετρίς τους; β) Εάν τ δύο σώµτ φεθούν στην κορυφή ενός κεκλιµένου επιπέδου γωνίς κλίσης φ κι κυλούν χωρίς ν ολισθίνουν, ποιο πό τ δύο θ φθάσει νωρίτερ στο κάτω άκρο του κεκλιµένου επιπέδου; [6 µονάδες] ) Είνι γνωστό ότι = m r i i I i Στον συµπγή κύλινδρο η µάζ κτνέµετι οµοιόµορφ σε ποστάσεις πό τον άξονά του r i R. Στο κυλινδρικό φλοιό ΟΛΗ η µάζ είνι κτνεµηµένη σε ποστάσεις r i = R. Τότε, πό την σχέση (1), προκύπτει ότι Ι κ < Ι κκ. Ενδεικτικά (1) νφέρετι ότι I = κ 1 MR κι I κκ = MR β) Ενεργεικά: Γι την ρχική θέση κι τελική θέση, γράφουµε την Αρχή ιτήρησης της Ενέργεις. h ω υ

2 1 1 h Mυ + Iω = () όπου Ι η ροπή δράνεις του σώµτος. Επειδή έχουµε h υ=, I M R + οπότε λόγω του ερωτήµτος () υ κκ < υ κ. Υπολογίζετι ότι υ= ωr, πό την σχέση () υ κ = 4 ghκι 3 υ κκ = gh. Σηµείωση: Η πάντηση στο ερώτηµ (β) µπορεί ν δοθεί κι µε την σύγκριση aκ Iκκ MR + 1 των επιτχύνσεων των δύο σωµάτων ( = ). a I MR + 1 3) Μί δοκός µήκους l µπορεί ν περιστρέφετι γύρω πό οριζόντιο άξον που περνάει πό το έν άκρο της Α. Αρχικά η δοκός είνι κτκόρυφη κι το κέντρο της βρίσκετι πάνω πό τον άξον στήριξης. Αν η δοκός εκτρπεί λίγο, ρχίζει ν περιστρέφετι γύρω πό το Α. Ν βρεθούν σν συνρτήσεις της γωνίς εκτροπής θ, η γωνική τχύτητ κι η γωνική επιτάχυνση της δοκού. [10 µονάδες] κκ κ ω θ Ο l Α Έστω επίπεδο µηδενικής δυνµικής ενέργεις το οριζόντιο επίπεδο, που περνά πό τον άξον Α κι Ι Α τη ροπή δράνεις της δοκού ως προς υτόν τον άξον. Με εφρµογή του θεωρήµτος των πρλλήλων ξόνων έχουµε: Ι Α = Ι +Μ(l/) = Μ l /3 (1) όπου Ι η ροπή δράνεις ως προς οριζόντιον άξον που περνάει πό το κέντρο της (σηµείο Ο). Επίσης, πό την ρχή διτήρησης της ενέργεις έχουµε: Μgl/ = lcosθ/ + Ι Α ω / ()

3 3 Από (1) κι () πίρνουµε ότι ω = [3g(1 cosθ)/l] 1/ Γι τη γωνική επιτάχυνση έχουµε: (l/)sinθ = I Α (l/)sinθ = Μl /3 = 3gsinθ/l 4) Ένς κύλινδρος µήκους l κι κτίνς R έχει µάζ Μ. Γύρω πό τον κύλινδρο τυλίγοντι δύο νήµτ, έν σε κάθε άκρη κι τ άκρ των νηµάτων στερεώνοντι στην οροφή. Ο κύλινδρος οριζοντιώνετι, µε τ δύο νήµτ κριβώς κτκόρυφ, όπως στο σχήµ, κι φήνετι ελεύθερος. Βρείτε την τάση των νηµάτων κθώς ξετυλίγοντι κι προσδιορίστε τη γρµµική επιτάχυνση του κυλίνδρου κτά την πτώση του. [10 µονάδες] Έστω κι a, η γρµµική κι γωνική επιτάχυνση του κυλίνδρου, ντίστοιχ. Κτά την κίνησή του, θ ισχύουν οι εξής εξισώσεις: Μg T = M = (Μg T)/Μ (1) ΤR + TR = Ia a = TR/I = TR/(1/)MR a = 4T/MR () Οι δύο επιτχύνσεις, κι a, συνδέοντι µε τη σχέση: = ar, (3) η οποί λόγω των (1) κι () γίνετι: = 4TR/MR (Μg T)/Μ = 4T/M 6T = T = /6 (4) H () λόγω της (4) γίνετι: a = 4Μg/6MR = g/3r (5) Η (3) λόγω της (5) γίνετι: = ar = gr/3r = g/3 5) Οι τέσσερις σφίρες του σχήµτος συνδέοντι µε στερεές ράβδους µελητές µάζς. Αν το σύστηµ περιστρέφετι στο επίπεδο xy γύρω πό τον άξον z µε γωνική τχύτητ 6 rad/s, υπολογίστε: () τη ροπή δράνεις του συστήµτος ως προς τον άξον z κι β) την κινητική ενέργει του συστήµτος. Επίσης, υπολογίστε το έργο που πιτείτι γι ν ποκτήσει το σύστηµ γωνική τχύτητ 6 rad/s, ν υτό ξεκινά πό την ηρεµί. Οι σφίρες θεωρούντι σηµεικές κι ο άξονς z είνι κάθετος στο επίπεδο των µζών κι περνά πό το κέντρο του τετργώνου

4 4 [6 µονάδες] m Μ r Μ m ) Η κτίν της κυκλικής τροχιάς, που διγράφει κάθε µάζ είνι a r = Η ροπή δράνεις του συστήµτος είνι τότε I = Mr + mr = a ( M + m) β) Η κινητική ενέργει του συστήµτος είνι: 1 E κιν = I ω = 18a ( M + m). Η µετβολή της κινητικής ενέργεις εκφράζει το πιτούµενο έργο: E = E E = E = 18a M + m κιν τελ ρχ τελ ( ) 6) Μι λεπτή οριζόντι ράβδος ΑΒ µελητές µάζς κι µήκους l ρθρώνετι σε έν κτκόρυφο τοίχο στο Α κι συγκρτείτι πό το Β µε έν λεπτό σύρµ ΒΓ, που σχηµτίζει γωνί θ µε την οριζόντι. Έν σώµ µάζς Μ µπορεί ν µετκινηθεί οπουδήποτε πάνω στη ράβδο. ) Βρείτε την τάση Τ στο λεπτό σύρµ σν συνάρτηση της ποστάσεως x του σώµτος πό τον τοίχο β) Βρείτε την οριζόντι κι κτκόρυφη συνιστώσ της δυνάµεως F, που εξσκεί η άρθρωση στο Α πάνω στη ράβδο. [8 µονάδες] Γ + y (+) x F y F x Α F x T θ Β Τcosθ Τsinθ -

5 5 Ανλύουµε την Τ κι την F σε δύο συνιστώσες, όπως φίνετι στο σχήµ. Λόγω της ισορροπίς ισχύουν οι σχέσεις: F = 0 (1) κι τ (Α) = 0 () ) Από την σχέση () κι µε βάση τον κνόν του δεξιού χεριού (Σχήµ) πίρνουµε: T sin θ l x= 0 T = x (3) l sinθ β) Από την σχέση (1) κι γι τον άξον x έχουµε: (3) Fx Tcosθ = 0 Fx = ltanθ x. Γι τον άξον y έχουµε: Fy (3) x + Tsinθ = Fy = 1. l 7) Μι οριζόντι πλτφόρµ σχήµτος κυκλικού δίσκου περιστρέφετι σε οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω πό κτκόρυφο άξον, που περνά πό το κέντρο της. Η πλτφόρµ έχει µάζ Μ = 100Κg κι κτίν R = m. Ένς φοιτητής µε µάζ m = 60Kg βδίζει σιγά-σιγά πό την περίµετρο προς το κέντρο της. Εάν η ρχική γωνική τχύτητ είνι ω 0 = rad/s υπολογίστε: ) την γωνική τχύτητ ότν ο φοιτητής φθάσει σε πόστση 0,5m πό το κέντρο, β) την ρχική κι τελική κινητική ενέργει του συστήµτος, γ) Πως σχολιάζετε τ ποτελέσµτ του δεύτερου ερωτήµτος; [10 µονάδες] ) Από την ρχή διτήρησης της στροφορµής έχουµε: Ι 1 ω 0 = Ι ω ω = Ι 1 ω 0 /Ι, (1) όπου οι ροπές δράνεις του συστήµτος ως προς τον άξον περιστροφής δίνοντι πό τις εξής σχέσεις: Ι 1 = (1/)ΜR + mr κι Ι = (1/)ΜR + mr () H (1) λόγω των () γίνετι: ω = [(1/)ΜR + mr ]ω 0 / [(1/)ΜR + mr ] = 4,1 rad/s β) Ε Κ(ρχ) = (1/)I 1 ω 0 = 880 J, Ε Κ(τελ) = (1/)I ω = 1807 J γ) Η τελική κινητική ενέργει του συστήµτος είνι µεγλύτερη. Η ύξηση προήλθε πό το προσφερόµενο έργο στο σύστηµ κτά την κίνηση του φοιτητή. 8) Μι κτσρίδ µάζς m τρέχει µε φορά ντίθετη προς τους δείχτες του ρολογιού, πάνω στην περιφέρει ενός κυκλικού πιάτου που περιστρέφετι γύρω

6 6 πό κτκόρυφο άξον που περνά πό το κέντρο του. Το πιάτο έχει κτίν R κι ροπή δράνεις Ι κι περιστρέφετι χωρίς τριβές. Η επιτρόχι τχύτητ της κτσρίδς, σε σχέση µε δρνεικό πρτηρητή, έχει µέτρο υ, ενώ το πιάτο περιστρέφετι κτά τη φορά των δειχτών του ρολογιού µε γωνική τχύτητ ω 0. Η κτσρίδ βρίσκει έν ψίχουλο πάνω στην περιφέρει κι στµτά. ) Ποι είνι η γωνική τχύτητ του περιστρεφόµενου πιάτου µετά το στµάτηµ της κτσρίδς; β) Υπολογίστε τη µετβολή στην κινητική ενέργει του συστήµτος πριν κι µετά το στµάτηµ της κτσρίδς. [1 µονάδες] υ m ω 0 R ) Η ολική στροφορµή του συστήµτος ως προς δρνεικό πρτηρητή διτηρείτι. Άρ θ ισχύει: L 0 - l = L (1) όπου L 0, κι l οι ρχικές στροφορµές πιάτου κι κτσρίδς, ντίστοιχ κι L η τελική στροφορµή του συστήµτος. Η (1) γίνετι: Iω 0 mυr = (I + mr )ω ω = (Iω 0 mυr)/(i + m R ) () β) Η µετβολή στην κινητική ενέργει του συστήµτος είνι ίση µε: Ε Κ = Ε Κ(τελ) Ε Κ(ρχ) = (1/)(I + mr )ω (1/)Iω 0 (1/)mυ (3) Αντικθιστώντς την () στην (3) κι µετά πό πράξεις πίρνουµε: Ε Κ = -mι(υ + ω 0 R) /( I + mr ) 9) Μι οµογενής σκάλ στερεώνετι σε έν λείο τοίχο. Αν ο συντελεστής σττικής τριβής µετξύ σκάλς κι δπέδου είνι µ s, ν εξάγετε µι έκφρση γι την ελάχιστη γωνί θ, µετξύ σκάλς κι δπέδου, γι την οποί η σκάλ δεν ολισθίνει ως προς το δάπεδο. [1 µονάδες] N T s θ N 1

7 7 Εφ όσον η σκάλ ισορροπεί, θ ισχύει: Ν = Τ s (1) Επίσης, το άθροισµ των ροπών των δυνάµεων, ως προς το κέντρο µάζς της, θ είνι ίσο µε µηδέν. Άρ: Ν (l/)sinθ + Τ s (l/)sinθ Ν 1 (l/)cosθ = 0 () Γι τη σττική τριβή είνι γνωστό ότι: Τ s µ s N 1 (3) Από (1) κι () πίρνουµε: Τ s sinθ Ν 1 cosθ = 0 tanθ = Ν 1 /Τ s, η οποί λόγω της (3) γίνετι: tanθ 1/µ s θ min = tan -1 (1/µ s ) 10) Υποθέστε ότι νυψώνετε µί µάζ Μ, τρβώντς την µέσω βρούς σχοινιού µε µι δύνµη µέτρου F, όπως στο σχήµ. Η τροχλί περιστρέφετι ελεύθερ, χωρίς τριβές, κθώς το σχοινί κινείτι (Το σχοινί δεν ολισθίνει πάνω στην τροχλί). Η τροχλί έχει κτίν R κι ροπή δράνεις Ι ως προς τον άξονά της. Κάποι χρονική στιγµή, η µάζ Μ έχει µι επιτάχυνση προς τ πάνω µέτρου. Εξάγετε µι σχέση γι το µέτρο της δύνµης F υτή τη χρονική στιγµή, συνρτήσει των άλλων µεγεθών. [8 µονάδες] a T T R F Μ Γι τη µάζ Μ ισχύει: Τ Μg = M (1) Γι την τροχλί ισχύει: FR TR = Ia () όπου η γωνική επιτάχυνση a = /R (3) Από (1), () κι (3) πίρνουµε: F = (Ia + TR)/R = (Ia + (M + )/R)/R = = I/R + M( + g) 11) Μι οµογενής ράβδος έχει µάζ Μ κι µήκος l. Στο έν άκρο της, Α, ρθρώνετι σε έν λείο τρπέζι. Το άλλο άκρο της, Β, είνι δεµένο µε έν οριζόντιο νήµ, όπως στο σχήµ, το οποίο την νγκάζει ν σχηµτίζει γωνί θ µε το τρπέζι. ) Βρείτε µι έκφρση γι το µέτρο της ολικής δύνµης που σκεί το τρπέζι στη ράβδο στο σηµείο Α. β) Αν το νήµ ξφνικά κοπεί, υπολογίστε τη στιγµιί

8 8 γωνική επιτάχυνση της ράβδου γύρω πό το σηµείο Α, κτά τη στιγµή που το νήµ κόβετι. [10 µονάδες] T Β F y Α θ F x ) Η ράβδος ισορροπεί, άρ θ ισχύει: F x = T (1) F y = () Επίσης, η συνιστµένη των ροπών ως προς το Α είνι ίση µε µηδέν. Άρ: (l/)cosθ = Τlsinθ T = (/)cotθ (3) Από (1), () κι (3) έχουµε: F=( F x +F y ) 1/ = [(cot θ)/4 + 1] 1/ β) (l/)cosθ = I = (1/3)Μl = 3gcosθ/l Σύνολο Μονάδων 100

Σχετικά έγγραφα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.