39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Theoretical Problem No. 1. Λύση

Transcript

1 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam Υπολογισμός της πόστσης TG Λύση Ο όγκος του νερού στην κοιλότητ είνι V = 1cm = 1 m Το μήκος του πυθμέν της κοιλότητς είνι d = L atan 6 = (74 1tan 6 )m = 53m (κθώς τ δεδομέν είνι με δύο σημντικά ψηφί, θ κρτήσουμε μόνο δύο σημντικά ψηφί στην τελική πάντηση, λλά κρτάμε περισσότερ στ ενδιάμεσ βήμτ) Το ύψος c του στρώμτος νερού στην κοιλότητ υπολογίζετι πό τον τύπο: c d 1/ + V b d ( 3 / ) V = bcd + b ctan 6 c = 3 Εισάγοντς ριθμητικές τιμές γι τ V, b κι d, βρίσκουμε c = 18m Ότν ο μοχλός είνι οριζόντιος, η πόστση (στον οριζόντιο άξον) μετξύ του άξον περιστροφής κι του κέντρου μάζς του νερούr N είνι = a + + =, κι TG = ( m/ M)TN = 1571m d c TN 4 tan m R S P H N K T Απάντηση: T G = 16m 1 Υπολογισμός των τιμών 1 κι Ότν ο μοχλός γέρνει κτά γωνί 1, το επίπεδο του νερού είνι στο χείλος της κοιλότητς Στο σημείο υτό ό όγκος του νερού είνι m Υποθέτουμε ότι PQ < d Από τη Γεωμετρί V = hb PQ /, πό την οποί PQ = 1111m Η υπόθεση PQ < d προφνώς ικνοποιείτι ( d = 53m ) Γι τον υπολογισμό της 1, tan 1 = h/ QS= h/(pq+ 3 h) Από την οποί 1

2 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam = 6 Ότν η γωνί κλίσης είνι 3, η κοιλότητ είνι άδει: = 3 h T G R N S P I Q 13 Κθορισμός της γωνίς κλίσης β του μοχλού κι της ποσότητς του νερού στην κοιλότητ ότν η συνολική ροπή μ στο μοχλό είνι μηδέν m Συμβολίζουμε PQ = x(m) Η ποσότητ του νερού στην κοιλότητ είνι xhb m= ρwater = 9 x(kg) μ = ότν η ροπή πό το βάρος του νερού στην κοιλότητ νιρεί τη ροπή πό το βάρος του μοχλού Η τομή του νερού στην κοιλότητ είνι το τρίγωνο PQRστην εικόν Το κέντρο μάζς N του νερού βρίσκετι στ /3 της διμέσου RI, συνεπώς NTG είνι ευθεί Έτσι: mg TN = Mg TG ή m TN = M TG = = 4714 (1) Υπολογίζοντς TN πό x κι ντικθιστώντς την (1) : x x x TN = L+ a ( h 3 + ) = = προκύπτει m TN = 9 x(814 x/ 3) = 3x + 713x () Έτσι βρίσκουμε μι εξίσωση γι το x : 3x + 713x = 4714 (3) Οι λύσεις γι την (3) είνι x = 337 κι x = 673 Όπου x πρέπει ν είνι μικρότερο πό 53, πρέπει ν πάρουμε x= x = 673 κι

3 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 m= 9x = 651kg h tan β = = 436, ή β = 357 x+ h 3 Απάντηση: m = 61kg and β = 36 Ερώτηση 1Γρφήμτ μ( ), ( t), κι μ(t) κτά τη διάρκει του κύκλου λειτουργίς Αρχικά ότν δεν υπάρχει νερό στην κοιλότητ, =, η ροπή μ έχει τη μέγιστη τιμή της gm TG = = 464 N m Η σύμβσή μς είνι ότι το πρόσημο της ροπής είνι ρνητικό ότν τείνει ν μειώσει την Κθώς το νερό πέφτει μέσ στην κοιλότητ, η ροπή πό το βάρος του νερού (με ρνητικό πρόσημο) κάνει την μ ν υξάνετι έως μ ν γίνετι θετική, ότν ο μοχλός ρχίζει ν νεβίνει Από υτή τη στιγμή, θεωρούμε, την ποσότητ του νερού στην κοιλότητ στθερή Ο μοχλός γέρνει ώστε το κέντρο μάζς του νερού πομκρύνετι πό τον άξον περιστροφής, πράγμ που υξάνει την μ, η οποί μεγιστοποιείτι ότν το νερό είνι έτοιμο ν χυθεί πό την κοιλότητ Τη στιγμή υτή = 1 = 6 Ένς πλός υπολογισμός δείχνει ότι SI = SP + PQ / = / = 634 m TN = + 74 SI = 7644 m 3 μ max = (1 TN 3 TG) g cos6 = ( ) 981 cos 6 = 69 N m Συνεπώς μ = 7 N m max Κθώς η κοιλότητ γέρνει περισσότερο, Η ποσότητ του νερού μέσ της μειώνετι, κι ότν = β, μ = Λόγω δράνεις, η υξάνετι κι ή μ συνεχίζει ν μειώνετι Η κοιλότητ είνι άδει ότν = 3, κι η μ είνι ίση με 3

4 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam g TG cos3 = 4 N m Μετά πό υτό η συνεχίζει ν υξάνετι λόγω δράνεις σε ( μ = gm TG cos = 46cos N m ), τότε γρήγορ μειώνετι στην τιμή to ( μ = 46N m) Στη βάση υτή μπορούμε ν σχεδιάσουμε τ γρφήμτ των ( t), μ() t, κι μ( ) όπως πρκάτω μ 7Nm A 36 O E 6 B 3-46cos Nm D -4Nm -46Nm F C Το στοιχειώδες έργο που πράγετι πό τη ροπή μ( ) είνι dw = μ( ) d Η ενέργει που μετβιβάζετι πό τον μοχλό κτά τη διάρκει ενός κύκλου λόγω της δράσης της μ( ) είνι w= μ( ) d, το οποίο είνι το εμβδόν που περικλείετι W total πό τη γρμμή μ( ) κι τον άξον Συνεπώς ισούτι με το εμβδόν που περικλείετι πό την κμπύλη (OABCDFO) στο γράφημ μ( ) Το έργο που μετβιβάζει ο μοχλός στο γουδί είνι η ενέργει που πίρνει ο μοχλός κθώς κινείτι πό τη θέση = στην οριζόντι θέση = Έχουμε W pounding που 4

5 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 ισούτι με το εμβδόν (OEDFO) στο γράφημ μ( ) Είνι ίση με gm TG sin = 46sin Joule 3 Οι τιμές του μπορεί ν εκτιμηθούν πό το γεγονός ότι στο σημείο D η ενέργει του μοχλού είνι μηδέν Έχουμε εμβδόν (OABO) = εμβδόν (BEDCB) Προσεγγίζοντς το OABO με έν τρίγωνο, κι το BEDCB με έν τρπέζιο, πίρνουμε: 36 7 (1/ ) = 4 [( 36) + ( 3)] (1/ ), πό το οποίο προκύπτει ότι = 347 Οπότε βρίσκουμε W pounding = εμβδόν (OEDFO) = Mg TG cos d = 46 sin 347 = Έτσι βρίσκουμε W pounding 6 Joule Μέρος 3 μ 31a Η κοιλότητ είνι συνεχώς γεμάτη με νερό Το γράφημ δείχνει ότι γι = β έχουμε ευστθή ισορροπί του γουδιού β 31b Εύρεση της έκφρσης γι τη ροπή μ ότν η γωνί κλίσης είνι = β +Δ ( Δ μικρό ) Η μάζ του νερού στην κοιλότητ ότν ο μοχλός γέρνει κτά μι γωνί είνι m= (1/ ) ρbhpq, όπου 1 1 PQ = h tan tan 3 A Ένς πλός υπολογισμός δείχνει ότι ότν η υξάνετι πό β σε β +Δ, η μάζ του νερού υξάνετι κτά 5

6 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 Δ bh bh m = ρ ρ sin Δ sin β Δ Η ροπή μ που δρ στον μοχλό ότν η κλίση είνι β +Δ είνι ίση με τη ροπή λόγω της Δm Έχουμε μ =Δ m g TN cos( β +Δ) TN βρίσκετι πό τη συνθήκη ισορροπίς του μοχλού στη γωνί κλίσης β : TN = M TG / m= / 65 = 779 m Βρίσκουμε στο τέλος μ = 47Δ N m 47Δ N m 31c Εξίσωση κίνησης του μοχλού: d I dt μ = όπου μ = 47Δ, = β +Δ, κι I το άθροισμ των ροπών δράνεις του μοχλού κι του νερού στην κοιλότητ ως προς τον άξον T Εδώ η I δεν είνι στθερή φού η ποσότητ του νερού εξρτάτι πό την Ότν Δ είνι μικρή, μπορεί κνείς ν θεωρήσει την ποσότητ κι το σχήμ του νερού στην κοιλότητ ως στθερά, έτσι η I είνι κτά προσέγγιση στθερά Θεωρούμε το νερό στην κοιλότητ ως υλικό σημείο με μάζ 6 kg, ένς πλός υπολογισμός δίνει I = = kg m Έχουμε d Δ Δ = Αυτή είνι dt η εξίσωση ενός ρμονικού τλντωτή με περίοδο 14 τ = π = 37 Η πάντηση 47 συνεπώς είνι τ = 3 s 3 Αρμονική τλάντωση μοχλού (γύρω πό = β ) ότν η κοιλότητ είνι συνεχώς γεμάτη Υποθέτουμε ότι η μοχλός εκτελεί ρμονική τλάντωση με πλάτος Δ στην περιοχή γύρω πό = β Τη χρονική στιγμή t =, Δ =, η κοιλότητ είνι γεμάτη (ξεχειλισμένη πό νερό) Τη χρονική στιγμή dt η κλίση μετβάλλετι κτά d Ενδιφερόμστε γι την περίπτωση που d <, πχ, η κίνηση του μοχλού είνι κτά την κτεύθυνση μείωσης της, κι πιτείτι προσθήκη νερού γι ν ξεχειλίσει πό την κοιλότητ Η εξίσωση της κίνησης είνι: Δ = Δ sin( πt / ) τ, συνεπώς d( Δ ) = d = Δ( π / τ)cos( πt/ τ) dt 6

7 39th International Physics Olympiad - Hanoi - Vietnam - 8 Γι ν ξεχειλίσει το νερό πό την κοιλότητ, κτά τη διάρκει του χρόνου υτού θ πρέπει τουλάχιστον ν πέσει στην κοιλότητ ποσότητ νερού ρ Δπ bh ρdt d cos bh πt dm = = ; sin β τsin β τ dm η μέγιστη την t =, dm πbh ρδ = dt τsin β Η ποσότητ του νερού που πέφτει στην κοιλότητ εξρτάτι πό το ρυθμό Φ ; dm =Φdt, συνεπώς πbh ρδ Φ= τ sin β Το ν είνι γεμάτη η κοιλότητ είνι νγκί συνθήκη γι ν εκτελεί ο μοχλός ρμονική τλάντωση, συνεπώς η συνθήκη γι ν εκτελεί ρμονική τλάντωση με πλάτος 1 ή π/36 rad είνι Φ Φ1 με Φ = πbh ρπ 1 39kg/s 36τsin β = Έτσι Φ 1 = 3kg/s 33 Κθορισμός του Φ Εάν η κοιλότητ πρμένει γεμάτη ότν η κλίση μειώνετι στις 6, tτότε η ποσότητ του νερού στην κοιλότητ θ υξνότν κτά 1 kg στο χρόνο υτό, κι ο μοχλός θ τλντωνότν ρμονικά με πλάτος του νερού θ έπρεπε ν υπερβίνει το 3Φ 1,συνεπώς 36 6 = 3 Ο ρυθμός πτώσης Φ = 3 3 7kg/s Αυτός είνι ο ελάχιστος ρυθμός ώστε η διάτξη-γουδί γι το άλεσμ του ρυζιού ν μην λειτουργεί 7