που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

Transcript

1 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών στιγμών t, t ( t > t ) δηλδή Δt = t - t. Η χρονική διάρκει δείχνει πόσο διρκεί έν γεγονός. Σνήθως θεωρούμε t = κι t = t άρ Δt = t. Τροχιά κινητού Τροχιά ενός κινητού ( λικού σημείο ) ως προς κάποιο σύστημ νφοράς ονομάζετι η σνεχής ( νοητή ) γρμμή πο ποτελεί το σύνολο των θέσεων το κινητού κτά την κίνησή το. Η μορφή της τροχιάς δίνει κι το όνομ στην κίνηση. Αν η τροχιά είνι εθεί έχομε εθύγρμμη κίνηση. Αν η τροχιά είνι κύκλος έχομε κκλική κίνηση. Αν η τροχιά είνι κμπύλη έχομε κμπλόγρμμη κίνηση. 3. Μεττόπιση Δx Μεττόπιση ενός κινητού ονομάζετι το διάνσμ x πο έχει ρχή την ρχική θέση το κινητού κι τέλος την τελική θέση. Ο Μ (t ) x Μ (t ) x x x x Εικόν Εικόν Η λγεβρική τιμή της μεττόπισης είνι : Δx = x x Πρτήρηση : Η λγεβρική τιμή της μεττόπισης είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς την θετική κτεύθνση το άξον ( όχι ποχρεωτικά στο θετικό τμήμ ) όπως στην εικόν κι ρνητική ότν το κινητό κινείτι προς την ρνητική κτεύθνση το άξον ( όχι ποχρεωτικά στο ρνητικό τμήμ ) όπως στην εικόν.. Διάστημ s Διάστημ s ονομάζετι το μήκος της τροχιάς το κινητού. Αν το κινητό κάνει εθύγρμμη κίνηση κι δεν έχει λλάξει φορά κίνησης είνι s = Δx Πρτήρηση : Αν το κινητό λλάξει φορά κίνησης τότε το διάστημ πο έχει δινύσει είνι μεγλύτερο πό το μέτρο της μεττόπισης, άρ s > Δx 5. Εξίσωση κίνησης Είνι η μθημτική σχέση πο δίνει την θέση ενός κινητού σν σνάρτηση το χρόνο κίνησης, δηλδή σχέση της μορφής : x = f(t), y = f(t). 6. Εξίσωση τροχιάς Είνι η μθημτική σχέση πο σνδέει τις σντετγμένες θέσης ενός κινητού, δηλδή σχέση της μορφής : y = f(x) 7. Τχύτητ Η τχύτητ είνι δινσμτικό μέγεθος. Το μέτρο της μς δείχνει πόσο γρήγορ κινείτι έν σώμ. Η κτεύθνση της τχύτητς μς δείχνει προς τ πο μεττοπίστηκε το σώμ. Μονάδ τχύτητς στο σύστημ μονάδων S.I. είνι το m/s. Χρησιμοποιείτι κι η μονάδ km/h ( χιλιόμετρ νά ώρ ). Ο Μ (t ) x Μ (t ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

2 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Μέση δινσμτική τχύτητ µ: Είνι το πηλίκο της μεττόπισης Δx προς τον ντίστοιχο χρόνο Δt. Δx x -x Είνι =. Το μέτρο είνι =. Η κτεύθνση σμπίπτει με την κτεύθνση της μεττόπισης Δx Δt t -t β) Μέση ριθμητική τχύτητ : Είνι το πηλίκο το διστήμτος s πο δινύει το κινητό σε χρόνο Δt s προς τον χρόνο τό =. Δt 8. Εθύγρμμη ομλή κίνηση ) Ορισμός : Εθύγρμμη ομλή κίνηση είνι η κίνηση πο γίνετι σε εθεί γρμμή κι στην οποί η τχύτητ είνι χρονικά στθερή. β) Νόμοι της εθύγρμμης ομλής κίνησης : ❶ Νόμος της τχύτητς : = στθερή Η τχύτητ είνι θετική ότν το κινητό κινείτι προς τ θετικά το άξον νεξάρτητ πό τη θέση το ή ρνητική ν το κινητό κινείτι προς τ ρνητικά το άξον. (m/s) (m/s) t (s) t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > Η τχύτητ είνι στθερή κι < ❷ Εξίσωση κίνησης (ή εξίσωση της μεττόπισης) : x = x + ( t - t ) x-x Από τον ορισμό της μέσης τχύτητς ν χρησιμοποιήσομε την λγεβρική τιμή θ είνι = t-t x - x = ( t - t ) x = x + ( t - t ) Αν θεωρήσομε ότι t = η εξίσωση πίρνει την πιο πλή μορφή x = x + t. Αν θεωρήσομε ότι t = κι x = η εξίσωση πίρνει την πιο πλή μορφή x = t. Οι γρφικές πρστάσεις γι t = φίνοντι πρκάτω. x (m) t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > x = t x x (m) x = x + t t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι > x x (m) x = x + t t (s) Η τχύτητ είνι στθερή κι < ❸ Η μεττόπιση πό διάγρμμ τχύτητς χρόνο (m /s) Από την γρφική πράστση της τχύτητς σε σνάρτηση με τον χρόνο πρτηρούμε ότι το γινόμενο Δt είνι ριθμητικά ίσο με το E εμβδόν Ε δηλδή : t (s) Το εμβδόν μετξύ της κμπύλης τχύτητς χρόνο κι το t άξον των χρόνων ισούτι ριθμητικά με την μεττόπιση Δx το σώμτος Ατό ισχύει γενικότερ, όποι μορφή κι ν έχει η κμπύλη τχύτητς χρόνο. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

3 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης 9. Επιτάχνση Η επιτάχνση είνι δινσμτικό μέγεθος. Το μέτρο της μς δείχνει πόσο γρήγορ μετβάλλετι η τχύτητ ενός σώμτος. Η κτεύθνση της μετβολής της τχύτητς είνι η κτεύθνση της. Μονάδ επιτάχνσης στο σύστημ μονάδων S.I. είνι το m/s. Επιτάχνση : Είνι το πηλίκο της μετβολής της τχύτητς Δ προς την χρονική διάρκει Δt στην οποί έγινε η μετβολή. Είνι διάνσμ κι έχει την κτεύθνση της μετβολής της τχύτητς. Δ = Δt πρτήρηση : ν η επιτάχνση προκύψει με ρνητικό πρόσημο τότε ονομάζετι επιβράδνση κι προκλεί μείωση της τχύτητς.. Εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση ) Ορισμός : Είνι η κίνηση πο γίνετι σε εθεί γρμμή κι σε ίσ χρονικά διστήμτ σμβίνον ίσες μετβολές της τχύτητς. Άρ η επιτάχνση είνι στθερή κι η στιγμιί επιτάχνση σμπίπτει με την μέση επιτάχνση. β) Νόμοι της εθύγρμμης ομλά επιτχνόμενης κίνησης : ❶ Νόμος επιτάχνσης : = στθερή (m/s ) (m/s ) t (s) t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι > Η επιτάχνση είνι στθερή κι < ❷ Νόμος της τχύτητς : = + ( t - t ) - Αν τις χρονικές στιγμές t κι t έν κινητό έχει τχύτητες κι ντίστοιχ ισχύει : = μ = t-t - = ( t - t ) = + ( t - t ). Αν δεχτούμε ότι t = τότε έχομε : = + t (m/s) = + t t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι > (m/s) t (s) Η επιτάχνση είνι στθερή κι < Αν έν κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κάνει εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση τότε ο νόμος της τχύτητς γίνετι : = t ❸ Εξίσωση κίνησης ( ή εξίσωση της μεττόπισης ) : x = t + t Αν θεωρήσομε το διάγρμμ τχύτητς χρόνο τότε γι μικρή χρονική διάρκει Δt η τχύτητ μπορεί ν θεωρηθεί στθερή κι το έντον γρμμοσκισμένο εμβδόν είνι Δx = Δt, δηλδή ριθμητικά ίσο με την μεττόπιση Δx. Άρ γενικότερ το εμβδόν το τρπεζίο το διγράμμτος θ (m/s) είνι ριθμητικά ίσο με την μεττόπιση x. Αν θεωρήσομε ότι t = τότε Δt = t. Άρ θ έχομε : x = ( Εμβδόν τρπεζίο ) δηλδή ( + )t x =. Αλλά γι την τχύτητ ισχύει = + t άρ ν ντικτστήσομε είνι ( + + t)t x = Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση ( + t)t x = t t

4 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης t + t x = x = t + t. Ατή είνι η εξίσωση κίνησης γι την εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη κίνηση. Αν το κινητό τη χρονική στιγμή t = βρισκότν στην θέση x τότε η εξίσωση κίνησης γράφετι : x = x + t + t. Η γρφική πράστση της σχέσης x = t + t είνι : > x = t + t x = t + t < γ) Σχέση τχύτητς κι μεττόπισης στην εθύγρμμη ομλά μετβλλόμενη κίνηση : Η τχύτητ το κινητού δίνετι πό την σχέση = + Δt. Αν λύσομε τή την σχέση ως προς την χρονική διάρκει Δt έχομε : - Δt = ❶ Η μεττόπιση το κινητού δίνετι πό την σχέση Δx = Δt + Δt. Αν σ τή ντικτστήσομε την ❶ έχομε : Δx = Δx = Δx = Δx = - - = Δx. Άρ = + Δx Πράδειγμ. Μεττόπιση κι διάστημ Έν κινητό ξεκινάει πό τη θέση x = ( σημείο Ο ) κι κινείτι κτά μήκος το άξον x μέχρι τη θέση x = 3 m ( σημείο Α ) κι σνεχίζει μέχρι τη θέση x = m ( σημείο Β ). Στη σνέχει κινείτι στην ντίθετη κτεύθνση μέχρι τη θέση x 3 = m ( σημείο Γ ). Ν πολογιστεί η μεττόπιση κι το διάστημ στις μετκινήσεις : ) Α Β, β) Β Γ, γ) Α Β Γ, δ) Ο Β Ο. x Γ Ο Α Β x - 3 x 3 Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση x ) Κίνηση Α Β Μεττόπιση : Δx = x x = m 3 m = m Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΑΒ) = m Ισχύει Δx = s ( σνεχώς θετική φορά ) β) Κίνηση B Γ Μεττόπιση : Δx = x 3 x = m m = 6 m. Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΒΓ) = 6 m Ισχύει Δx = s ( σνεχώς ρνητική φορά ) γ) Κίνηση Α Β Γ Μεττόπιση : Δx 3 = x 3 x = m 3 m = 5 m. Διάστημ : s 3 = μήκος τροχιάς (ΑΒΓ) = (ΑΒ) + (ΒΓ) = m + 6 m = 7 m

5 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Ισχύει Δx 3 < s 3 ( έχομε λλγή φοράς ) δ) Κίνηση Ο Β Ο Μεττόπιση : Δx = x x = = Διάστημ : s = μήκος τροχιάς (ΟΒΟ) = (ΟΒ) + (ΒΟ) = m + m = 8 m Ισχύει Δx < s ( έχομε λλγή φοράς ) Πράδειγμ. Μέση τχύτητ Έν κινητό κινείτι κτά μήκος το άξον x. Το κινητό βρίσκετι στις θέσεις πο φίνοντι στον πίνκ τις ντίστοιχες χρονικές στιγμές. Θέση O A B O Γ x ( m ) - 6 t ( s ) 8 Ν πολογιστεί η μέση δινσμτική τχύτητ στη χρονική διάρκει : ) Από έως s, β) πό s έως s, γ) πό έως 8 s, δ) πό s έως s ) Χρονική διάρκει πό t = έως t = s x - x Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x = m. Άρ = t - t β) Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = m κι x = m. Άρ Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση x - x = t - t γ) Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s x - x 3 Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = κι x 3 =. Άρ = t - t 3 δ) Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s x - x Οι ντίστοιχες θέσεις είνι x = m κι x = 6 m. Άρ = t - t Πράδειγμ 3. Μέση τχύτητ m - = s - m - m = s - s - = 8 s - = m = s - 6 m - m = s - s m = 3 s m = s m = - s Έν κινητό κινείτι εθύγρμμ κι δινύει δύο ίσες διδοχικές μεττοπίσεις με τχύτητες = m/s κι = 6 m/s ντίστοιχ με την ίδι φορά. Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ γι ολόκληρη τη διδρομή. Θεωρούμε ότι Δx είνι η σνολική μεττόπιση το κινητού στη σνολική χρονική διάρκει Δt κι Δx/, Δx/ οι μεττοπίσεις το κινητού στην πρώτη χρονική διάρκει Δt κι στην δεύτερη χρονική διάρκει Δt ντίστοιχ. x/, t x, t Δx + Δx Δt = Η μέση τχύτητ είνι x/, t Δt = ( ) Δx = Δt + Δx = Δx Δx Είνι Δx/ = Δt Δt = κι Δx/ = Δt Δt = Η ολική χρονική διάρκει είνι Δt = Δt + Δt Δx ( ) + Δx Δx = =. + Δx + ( ) Δx Δx Δt = +

6 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Άρ m/s 6 m/s = μ = 8 m/s. m/s + 6 m/s Πράδειγμ. Διγράμμτ Το διάγρμμ της θέσης ενός σώμτος πο κινείτι πάνω στον άξον x, σε σνάρτηση με το χρόνο, φίνετι στο διπλνό σχήμ. Ν σχεδιστεί το ντίστοιχο διάγρμμ τχύτητς χρόνο. 6 8 Από το διάγρμμ θέσης χρόνο βλέπομε ότι το σώμ εκτελεί τρεις διδοχικές κινήσεις. Η πρώτη κίνηση είνι εθύγρμμη ομλή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s Δt = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m Δx = m. Δx m Άρ η μέση τχύτητ είνι = = = m/s Δt s Στην δεύτερη φάση το σώμ πρμένει κίνητο. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s s Δt = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx = x x Δx = m m Δx =. Δx Άρ η μέση τχύτητ είνι = = = Δt s Η τρίτη κίνηση είνι εθύγρμμη ομλή. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt 3 = t 3 t Δt 3 = 8 s s Δt 3 = s. Η μεττόπιση σ τή τη χρονική διάρκει είνι Δx 3 = x 3 x Δx 3 = m Δx 3 = m. Δx3 - m Άρ η μέση τχύτητ είνι = 3 = 3 3 = 5 m/s Δt s 3 Το ντίστοιχο διάγρμμ τχύτητς χρόνο φίνετι στο διπλνό σχήμ. -5 (m/s) 6 8 Πράδειγμ 5. Διγράμμτ (m/s) 3 Σώμ κινείτι πάνω στον άξον x. Η τχύτητά το σε σνάρτηση με τον χρόνο δίνετι πό το διάγρμμ το διπλνού σχήμτος. Τη χρονική στιγμή t = το σώμ βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν κτσκεστεί το ντίστοιχο διάγρμμ θέσης χρόνο. β) Ν πολογιστεί η μεττόπιση το σώμτος πό έως 8 s. - γ) Ν πολογιστεί το διάστημ πό έως 8 s. δ) Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ στις χρονικές διάρκειες έως 8 s κι έως s. 6 8 ) Το εμβδόν πο περικλείετι μετξύ της γρφικής πράστσης t κι το άξον t είνι ριθμητικά ίσο με την ντίστοιχη μεττόπιση Δx. Η θέση το σώμτος σε οποιδήποτε χρονική στιγμή δίνετι πό τη σχέση Δx = x x x = x + Δx. Χρονική διάρκει πό t = έως t = s : Δx = Εμβδόν Δx = ( 3 m/s ) ( s ) Δx = 6 m.άρ x = x + Δx x = + 6 m x = 6 m Χρονική διάρκει πό t = s έως t = s : Δx = Εμβδόν Δx = ( s s ) Δx =. Άρ x = x + Δx x = 6 m + x = 6 m Χρονική διάρκει πό t = s έως t 3 = 8 s : Δx 3 = Εμβδόν Δx 3 = ( m/s ) ( 8 s s ) Δx 3 = 8 m. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

7 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης Άρ x 3 = x + Δx 3 x 3 = 6 m + ( 8 m ) x 3 = m Από τις θέσεις πο προσδιορίσμε κτσκεάζομε τον πίνκ θέσης χρόνο κι πό τόν το διάγρμμ θέσης χρόνο 6 Χρόνος t ( s ) 8 Θέση x ( m ) β) Από τον πρπάνω πίνκ πρτηρούμε ότι τις χρονικές στιγμές t = κι t 3 = 8 s οι ντίστοιχες θέσεις το σώμτος είνι x = κι x 3 = m. Άρ η μεττόπιση είνι Δx = x 3 x Δx = m Δx = m. γ) Το διάστημ s είνι ίσο με το μήκος της τροχιάς πο διγράφει το σώμ. Θ το πολογίσομε πό τη σχέση s = Δx + Δx + Δx. Άρ s = 6 m m s = 6 m m s = m. 3 Δx δ) Η μέση τχύτητ είνι = Δt Χρονική διάρκει πό t = έως t 3 = 8 s : Δt = t 3 t Δt = 8 s Δt = 8 s. Δx = x 3 x Δx = m Δx = m Δx - m m Άρ = = = -,5 Δt 8 s s Χρονική διάρκει πό t = έως t = s : Δt = t t Δt = s Δt = s. Δx = x x Δx = 6 m Δx = 6 m Δx 6 m m Άρ = = = 5 Δt s s Πράδειγμ 6. Σνάντηση κινητών Δύο πεζοπόροι κινούντι στον ίδιο εθύγρμμο δρόμο με στθερές τχύτητες πο έχον μέτρ = 5 m/s κι = 3 m/s ντίστοιχ. Σε κάποι στιγμή περνούν πό τις θέσεις Ο κι Α ντίστοιχ πο πέχον πόστση d = m. Οι δύο πεζοπόροι κινούντι στην ίδι κτεύθνση ( Ο Α ). ) Πότε κι πο θ σνντηθούν οι δύο πεζοπόροι. β) Ν γίνει κοινό διάγρμμ πόστσης πό το Ο χρόνο ) Θεωρούμε σν ρχή το άξον x το σημείο Ο κι ρχή μέτρησης χρόνο ότν οι πεζοπόροι είνι στ σημεί Ο κι Α. Οι πεζοπόροι σνντώντι στο σημείο Β τη χρονική στιγμή t. Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = ( σημείο O ). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σημείο Β ( θέση x ) κι η μεττόπισή το είνι Δx = t ❶ Ο ος πεζοπόρος την t = βρίσκετι στη θέση x = d (σημείο A). Ο πεζοπόρος σε χρόνο t φθάνει στο σημείο Β ( θέση x ) κι η μεττόπισή το είνι Δx = t ❷ Αλλά πό το σχήμ είνι Δx Δx = d κι με τις σχέσεις ❶ κι ❷ έχομε : t t = d ( )t = d d t = - m t = 5 m/s - 3 m/s Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση m t = m/s t = 6 s. Από την σχέση ❶ έχομε Δx = t Δx = ( 5 m/s ) 6 s Δx = 3 m β) Από τ στοιχεί γι την κίνηση των δύο πεζοπόρων κτσκεάζομε το κοινό διάγρμμ θέσης χρόνο. Πράδειγμ 6. Κίνηση χωρίς ρχική τχύτητ Έν κινητό ξεκινάει τη χρονική στιγμή t = χωρίς ρχική τχύτητ κι κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με επιτάχνση = m/s. Ο d x Α x 3 ος ος Β 6

8 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Ν βρεθεί η θέση κι η τχύτητ το κινητού τη χρονική στιγμή t = s. β) Πο θ βρίσκετι το κινητό τη στιγμή πο η τχύτητά το είνι = m/s. Θεωρούμε σν ρχή το άξον το σημείο πό το οποίο ξεκινάει το κινητό. Την χρονική στιγμή t = είνι x = κι =. O ) Η θέση το κινητού δίνετι πό την x = t x = ( m/s ) ( s) x = 3 m. Η τχύτητ το κινητού δίνετι πό τη σχέση = t = ( m/s ) ( s) = 6 m/s. m/s β) Από την σχέση = t t = t = t = 5 s. m/s x Η θέση το κινητού δίνετι πό την x = t x = ( m/s ) ( 5 s) x = 5 m. Πράδειγμ 7. Επιβρδνόμενη κίνηση Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύ δρόμο. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = με τχύτητ = m/s κι στθερή επιτάχνση = 5 m/s. ) Ν πολογιστεί σε ποι χρονική στιγμή θ μηδενιστεί η τχύτητά το. β) Ν πολογιστεί σε ποι θέση θ μηδενιστεί η τχύτητά το. Την χρονική στιγμή t = είνι x = κι = m/s. ) Η τχύτητ το τοκινήτο δίνετι πό την σχέση = + t. Ότν το τοκίνητο στμτήσει η τχύτητά το είνι ίση με μηδέν ( = ). Από την εξίσωση = + t γι = έχομε = + t m/s t = t = -. Η ριθμητική εφρμογή δίνει t = - t = s. - 5 m/s β) Η θέση το τοκινήτο δίνετι πό την σχέση x = t + t. Αντικθιστώντς την τιμή χρόνο t = - έχομε x = x = - + x = - + x = - + x = -. ( ) m/s m /s Η ριθμητική εφρμογή δίνει x = - x = - x = m. - 5 m/s - m/s Πρτήρηση Οι σχέσεις t = - κι ( ) x = - δίνον την χρονική στιγμή κι την θέση ενός σώμτος πο εκτελεί εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση την στιγμή πο μηδενίζετι η τχύτητά το. Ν χρησιμοποιούντι πάντ φού πρώτ τις ποδείξετε. Αν χρησιμοποιήσομε την πόλτη τιμή της επιτάχνσης οι σχέσεις μπορούν ν γρφούν : t = κι x = Πράδειγμ 8. Πολλές κινήσεις Έν λεωφορείο ξεκινάει πό κάποιο στθμό πό την ηρεμί κι επιτχύνετι με στθερή επιτάχνση = m/s γι χρόνο Δt = s. Στη σνέχει κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε γι χρόνο Δt = s Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

9 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης κι μετά επιβρδύνετι με επιτάχνση 3 = m/s μέχρι ν στμτήσει στον επόμενο στθμό. ) Ν πολογιστεί η διάρκει της κίνησης το λεωφορείο. β) Ν πολογιστεί η ολική πόστση πο κάλψε το λεωφορείο. γ) Ν γίνον τ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. ) Κίνηση εθύγρμμη ομλά επιτχνόμενη : Θεωρούμε ότι το λεωφορείο ξεκινάει την χρονική στιγμή t = πό την θέση x =. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t t = t + Δt t = + s t = s. Η τχύτητ πο έχει το κινητό στο τέλος το δέκτο δετερολέπτο είνι = + Δt = + ( m/s ) ( s) = m/s. Η μεττόπιση είνι : Δx = Δt + Δt x - x = Δt + Δt x = x + Δt + Δt x = + ( s ) + ( m/s ) ( s) x = m. Κίνηση εθύγρμμη ομλή : Το λεωφορείο κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t t = t + Δt t = s + s t = s.η μεττόπιση είνι Δx = Δt x x = Δt x = x + Δt x = m + ( m/s) ( s) x = 3 m. Κίνηση εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη : Το λεωφορείο έχει τχύτητ = m/s κι την χρονική στιγμή t = s βρίσκετι στην θέση x = 3 m κι ρχίζει ν επιβρδύνετι με στθερή επιβράδνση 3 = m/s. Η χρονική διάρκει γι ν στμτήσει δίνετι πό την σχέση Δt = - (πχ 7) άρ 3 m/s Δt = - Δt 3 = 5 s. Η χρονική στιγμή πο στμτάει πολογίζετι πό την Δt 3 = t 3 t - m/s 3 t 3 = t + Δt 3 t 3 = s + 5 s t 3 = 5 s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt ολ = t 3 t Δt ολ = 5 s Δt ολ = 5 s β) Η μεττόπιση είνι : Δx = Δt + Δt x - x = Δt + Δt x = x + Δt + Δt x = 3 m + ( m/s) ( 5 s ) + (- m/s ) 3 ( 5 s) x 3 = 35 m. Η ολική πόστση πο κάλψε το λεωφορείο είνι ίση με την ολική μεττόπιση φού δεν έχομε λλγή στην κτεύθνση της κίνησης, άρ s = Δx ολ s = x 3 x s = 35 m s = 35 m. γ) Από τ ποτελέσμτ γι τις διάφορες χρονικές στιγμές έχομε τ πρκάτω διγράμμτ - (m/s ) 5 Διάγρμμ επιτάχνσης - χρόνο (m/s) 5 Διάγρμμ τχύτητς - χρόνο 35 3 t 5 Διάγρμμ θέσης - χρόνο Πράδειγμ 9. Χρόνος ντίδρσης οδηγού Ο χρόνος ντίδρσης ενός οδηγού είνι t =,7 s ( ο χρόνος ντίδρσης είνι η χρονική διάρκει πο μεσολβεί πό την χρονική στιγμή πο θ ντιληφθούμε έν εμπόδιο, μέχρι τη χρονική στιγμή πο θ πτήσομε το φρένο ). Αν η ρχική τχύτητ το τοκινήτο είνι = m/s κι η επιτάχνση πο ποκτά με το φρένο είνι = 5 m/s : ) Ν πολογιστεί η ολική πόστση πο θ δινύσει το τοκίνητο μέχρι ν στμτήσει. β) Ν γίνει το διάγρμμ τχύτητς χρόνο. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

10 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης ) Η κίνηση το τοκινήτο γίνετι σε δύο φάσεις. Στην πρώτη το τοκίνητο εκτελεί εθύγρμμη ομλή κίνηση κι στην δεύτερη εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη μέχρι ν στμτήσει. εθύγρμμη ομλή κίνηση Γι χρόνο t =,7 s ( χρόνος ντίδρσης ) το τοκίνητο κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = t Δx = ( m/s ) (,7 s ) Δx = m. εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση Το τοκίνητο κάνει εθύγρμμη ομλά επιβρδνόμενη κίνηση μέχρι ν στμτήσει. Σύμφων με το πράδειγμ 7 ο χρόνος γι ν στμτήσει το τοκίνητο m/s είνι : t = - t = - t - 5 m/s = s. Το τοκίνητο στο χρόνο τό μεττοπίζετι κτά Δx = t + t Δx = ( m/s) ( s ) + (- 5 m/s ) ( s) Δx = 8 m m Δx = m. Άρ η σνολική μεττόπιση το τοκινήτο είνι : (m/s) Δx = Δx + Δx Δx = m + m Δx = 5 m. β) Ο σνολικός χρόνος κίνησης είνι t = t + t t =,7 s + s t =,7 s Από τ προηγούμεν ποτελέσμτ κτσκεάζομε το διπλνό διάγρμμ τχύτητς χρόνο,7,7 Πράδειγμ. Διγράμμτ Έν τοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Το διάγρμμ της 3 επιτάχνσης το τοκινήτο σε σνάρτηση με τον χρόνο είνι στο διπλνό σχήμ. Ν σχεδιστούν τ ντίστοιχ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο ν την χρονική στιγμή t = είνι = m/s κι 8 6 x = m. - Δικρίνομε τρεις φάσεις στην κίνηση το σώμτος. Κίνηση με στθερή επιτάχνση 3 m/s Το κινητό τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = s Δt = s. Η επιτάχνση είνι = 3 m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγμή t = s είνι = + Δt = m/s + ( 3 m/s ) ( s ) = 6 m/s Η μεττόπιση το σώμτος είνι : Δx = Δt + Δt Δx = ( m/s)( s ) + ( 3 m/s )( s) Δx = m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = m + m x = 8 m. Κίνηση χωρίς επιτάχνση Το κινητό τη χρονική στιγμή t = s βρίσκετι στη θέση x = 8 m κι έχει στθερή τχύτητ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt = t t Δt = 8 s s Δt = s Η μεττόπιση το σώμτος δίνετι πό την σχέση Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση Δx = Δt ( ) ( ) Δx = 6 m/s s Δx = 6 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 8 m + 6 m x = m. Κίνηση με στθερή επιτάχνση m/s Το κινητό τη χρονική στιγμή t = 8 s βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = 6 m/s. Η χρονική διάρκει της κίνησης είνι Δt 3 = t 3 t Δt 3 = 6 s 8 s Δt 3 = 8 s. Η επιτάχνση είνι 3 = m/s κι η τχύτητ τη χρονική στιγμή t 3 = 6 s είνι 3 = + 3 Δt 3 3 = 6 m/s + ( m/s ) ( 8 s ) 3 =. Η μεττόπιση το σώμτος είνι Δx = Δt + Δt Δx = ( 6 m/s)( 8 s ) + (- m/s )( 8 s) 3 Δx 3 = 6 m. Είνι Δx 3 = x 3 x x 3 = x + Δx 3 x 3 = m + 6 m x 3 = 8 m. Από τ ποτελέσμτ τά έχομε τον πρκάτω πίνκ (m/s )

11 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης Χρόνος t = t = s t = 8 s t 3 = 6 s Τχύτητ = m/s = 6 m/s = 6 m/s 3 = Θέση x = m x = 8 m x = m x 3 = 8 m Από τον πίνκ κτσκεάζομε τ διγράμμτ 6 (m/s) 8 6 διάγρμμ τχύτητς - χρόνο Διάγρμμ θέσης - χρόνο Πράδειγμ. Διγράμμτ ( m/s ) Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σε σνάρτηση με το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Ν γίνον τ ντίστοιχ διγράμμτ της επιτάχνσης κι της θέσης με το χρόνο. Την χρονική στιγμή 5 t = η ρχική θέση το κινητού είνι x = κι η ρχική τχύτητ = 5 m/s. 6 t ( s ) Από το διάγρμμ προκύπτει ότι το κινητό εκτελεί : Από t = έως t = s εθύγρμμ ομλά επιτχνόμενη κίνηση με ρχική τχύτητ = 5 m/s κι Δ - m/s - 5 m/s τελική = m/s. Είνι = = = =,5 m/s. Δt t - t s - Η μεττόπιση το κινητού είνι : Δx = Δt + Δt Δx = 5 m/s s +,5 m/s ( s) Δx = 5 m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = + 5 m x = 5 m. Από t = s έως t = 6 s εθύγρμμ ομλά επιβρδνόμενη κίνηση με ρχική τχύτητ = m/s κι τελική =. Δ - - m/s Είνι = = = = -,5 m/s. Δt t - t 6 s - s Η μεττόπιση το κινητού είνι : Δx = Δt + Δt Δx = m/s s + -,5 m/s s Δx = m m Δx = m. Είνι Δx = x x x = x + Δx x = 5 m + m x = 35 m. ( ) ( ) Η επιτάχνση πό έως s είνι στθερή ίση με =,5 m/s, ενώ πό s έως 6 s είνι στθερή ίση με = -,5 m/s. Οι θέσεις το κινητού είνι : Την t = είνι x =, την t = s είνι x = 5 m την t = 6 s είνι x = 35 m. Τ ντίστοιχ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο είνι :,5 ( m/s ) 35 x ( m ) -,5 6 t ( s ) 5 6 t ( s ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

12 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης Πράδειγμ. Κίνηση σε κάποιο δετερόλεπτο Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύ δρόμο με στθερή επιτάχνση = m/s. Τη χρονική στιγμή t = το τοκίνητο έχει ρχική τχύτητ = m/s. Πόση πόστση δινύει το τοκίνητο στη διάρκει το έκτο δετερόλεπτο της κίνησής το. Το έκτο δετερόλεπτο της κίνησης είνι η χρονική διάρκει πό t = 5 s έως t = 6 s. Η θέση το τοκινήτο δίνετι πό τη σχέση x = t + t άρ: x = t + t x = ( m/s)( 5 s ) + ( m/s )( 5 s) x = 75 m. x = t + t x = ( m/s)( 6 s ) + ( m/s )( 6 s) x = 96 m. Άρ Δx = x x Δx = 96 m 75 m Δx = m... Έν κινητό κινείτι κτά μήκος το άξον x κι έχει τις πρκάτω θέσεις σε διάφορες χρονικές στιγμές : t ( s ) 5 5 x( m ) Ν πολογιστεί η τιμή της μέσης τχύτητς : ) Από έως 5 s, β) πό 5 έως s, γ) πό έως 5 s, δ) πό έως s... Έν τοκίνητο κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο κι δινύει ορισμένη μεττόπιση. Το τοκίνητο δινύει τη μισή μεττόπιση με στθερή τχύτητ = m/s τη δε πόλοιπη μεττόπιση με στθερή τχύτητ = 3 m/s. Αν η σνολική μεττόπιση είνι Δx = m, ν πολογιστούν : ) Οι χρόνοι κίνησης το τοκινήτο σε κάθε κίνηση. β) Η μέση τχύτητ σε όλη τη διδρομή. 3.. Έν τοκίνητο πρέπει ν δινύσει μεττόπιση Δx = km σε χρόνο t = 5 h. Αρχικά μεττοπίζετι κτά Δx = km με τχύτητ = 5 km/h. Με ποι τχύτητ πρέπει ν δινύσει την πόλοιπη μεττόπιση... Ατοκίνητο κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με τχύτητ = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = m κι στη σνέχει με τχύτητ = m/s μεττοπίζετι κτά Δx. Αν ο χρόνος κίνησης το τοκίνητο γι ολόκληρη την διδρομή είνι t = 5 s ν πολογιστούν : ) Οι χρόνοι κίνησης το τοκινήτο σε κάθε κίνηση κι η μεττόπιση Δx. β) Η μέση τχύτητ το τοκίνητο. 5.. Κινητό εκτελεί εθύγρμμη κίνηση στην οποί το διάγρμμ θέσης σε 5 σνάρτηση με τον χρόνο φίνετι στο σχήμ. ) Σε ποιος χρόνος το κινητό κινείτι κτά τη θετική φορά το άξον κι σε ποιος κτά την ρνητική φορά. β) Ν βρεθεί η μεττόπιση το κινητού. -5 γ) Ν βρεθεί το διάστημ πο διήνσε το κινητό. 6.. Κινητό εκτελεί εθύγρμμη κίνηση στην οποί το διάγρμμ της τχύτητς σε σνάρτηση με το χρόνο φίνετι στο σχήμ. ) Ν γίνει το διάγρμμ της μεττόπισης σε σνάρτηση με το χρόνο. β) Ν πολογιστεί η μεττόπιση κι το διάστημ πο διάνσε το κινητό. Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση -5 (m/s)

13 . Εθύγρµµη κίνηση ο ΓΕΛ Πετρούπολης γ) Ν πολογιστεί η μέση τχύτητ το κινητού πό έως s. 7.. Μοτοσικλετιστής κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με στθερή τχύτητ μέτρο Μ = m/s. Έν περιπολικό ρχίζει ν κτδιώκει με τχύτητ μέτρο π = 3 m/s το μοτοσικλετιστή τη στιγμή t = πο βρίσκετι σε πόστση d = 5 m πίσω πό το μοτοσικλετιστή. ) Σε ποι χρονική στιγμή κι σε ποι πόστση πό την ρχική το θέση το περιπολικό θ φθάσει τον μοτοσικλετιστή. β) Ν σχεδιστεί το διάγρμμ θέσης χρόνο γι τ δύο σώμτ. 8.. Δο κινητά βρίσκοντι στ σημεί Α κι Β μις εθείς κι πέχον πόστση d = m. Τ δο κινητά ξεκινούν ττόχρον κι κινούντι ομόρροπ με στθερές τχύτητες = m/s κι = m/s ντίστοιχ. Σε πόσο χρόνο τ δο κινητά ) Θ σνντηθούν. β) Θ πέχον πάλι πόστση d. 9.. Έν τοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x =. Τη χρονική στιγμή t = s έχει τχύτητ = 5 m/s. Ν πολογιστεί η επιτάχνση κι η θέση το τοκινήτο τη χρονική στιγμή t = s... Έν εροπλάνο μετκινήθηκε κτά Δx = 8 m στο διάδρομο πριν πογειωθεί. Αν ξεκίνησε πό την ηρεμί, κινήθηκε με στθερή επιτάχνση κι πογειώθηκε σε χρόνο t = s ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση. β) Η τχύτητ τη στιγμή της πογείωσης... Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = κι έχει τχύτητ =. Τη χρονική στιγμή πο βρίσκετι στη θέση x = 3 m έχει τχύτητ = 8 m/s. Ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση β) Η χρονική στιγμή στην οποί βρίσκετι στη θέση x = 3 m... Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = 3 m/s. Τη χρονική στιγμή t = 6 s βρίσκετι στη θέση x = m. Ν πολογιστούν : ) Η επιτάχνση. β) Η θέση το τη χρονική στιγμή t = s 3.. Έν σώμ κινείτι με στθερή επιτάχνση = 3 m/s. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = με τχύτητ = m/s. Σε ποι χρονική στιγμή θ βρίσκετι στη θέση x = 56 m κι ποι τχύτητ θ έχει τότε... Ατοκίνητο κινείτι με στθερή τχύτητ = 3 m/s σε εθύγρμμο δρόμο. Τη στιγμή πο το τοκίνητο βρίσκετι σε πόστση d = 7 m πό έν εμπόδιο ο οδηγός πτάει φρένο κι το τοκίνητο ποκτά στθερή ρνητική επιτάχνση. Σε χρόνο Δt = s το τοκίνητο πέφτει πάνω στο εμπόδιο. Ν βρεθούν : ) Η επιτάχνση το τοκινήτο. β) Η τχύτητ το τοκινήτο τη στιγμή της σύγκροσης. 5.. Ένς δρομές των m ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι με επιτάχνση = 5 m/s μέχρι ν ποκτήσει τχύτητ = m/s. Στη σνέχει κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s. ) Ν πολογιστεί η χρονική διάρκει της κίνησης. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. 6.. Ατοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι σε εθύγρμμο δρόμο με στθερή επιτάχνση = m/s γι χρονική διάρκει Δt = s. Στη σνέχει κινείτι με στθερή τχύτητ γι χρονική διάρκει Δt = 6 s κι μετά με επιτάχνση 3 = 5 m/s μέχρι ν στμτήσει. Ν πολογιστούν : ) Η ολική διάρκει της κίνησης β) Η σνολική μεττόπιση το τοκινήτο γ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο ν γι t = είνι x = Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση

14 . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης 7.. Ο χρόνος πο χρειάζετι γι ν ντιδράσει ένς οδηγός πό την στιγμή πο θ ντιληφθεί τον κίνδνο μέχρι ν πτήσει φρένο είνι,7 s. Το τοκίνητο ποκτά στθερή επιτάχνση = 5 m/s. ) N βρεθεί η ολική μεττόπιση το τοκινήτο μέχρι ν στμτήσει ν η ρχική το τχύτητ είνι = m/s. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο, τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. 8.. Κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι εθύγρμμ με στθερή επιτάχνση = 5 m/s. Το κινητό περνάει πό δο σημεί πο πέχον πόστση d = m με διάφορ χρόνο Δt = s. Ν πολογιστεί η θέση το δεύτερο σημείο πό την ρχή της κίνησης. 9.. Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σνρτήσει το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Τη χρονική στιγμή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο... Κινητό ξεκινάει πό την ηρεμί κι κινείτι εθύγρμμ με στθερή επιτάχνση = 5 m/s γι χρόνο t = s. Στην σνεχεί κινείτι με την τχύτητ πο πέκτησε γι χρόνο t = 6 s. Μετά κινείτι με στθερή επιβράδνση μέχρι ν στμτήσει μετά πό χρόνο t 3 = s. ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: τχύτητς χρόνο, επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο. β) Ποι είνι η θέση το κινητού την χρονική στιγμή t = 5 s... Κινητό κινείτι εθύγρμμ κι η γρφική πράστση της τχύτητς σνρτήσει το χρόνο φίνετι στο σχήμ. Τη χρονική στιγμή t = το κινητό βρίσκετι στη θέση x =. ) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ: επιτάχνσης χρόνο κι θέσης χρόνο... Έν τοκίνητο κινείτι πάνω στον άξον x. Στο διπλνό σχήμ φίνετι το διάγρμμ επιτάχνσης χρόνο το τοκινήτο. Το τοκίνητο την χρονική στιγμή t = βρίσκετι στη θέση x = m κι έχει τχύτητ = m/s. ) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο. β) Ν πολογιστεί η ολική μεττόπιση κι το ολικό διάστημ. 3.. Μοτοσικλετιστής κινείτι με στθερή τχύτητ = m/s σε εθύγρμμο δρόμο. Τη στιγμή πο ο μοτοσικλετιστής περνάει μπροστά πό κίνητο τροχονόμο, ο τροχονόμος ρχίζει ν τον κτδιώκει με στθερή επιτάχνση = m/s. ) Μετά πό πόσο χρόνο κι σε ποι πόστση πό την ρχική το θέση κι με ποι τχύτητ θ φθάσει ο τροχονόμος τον μοτοσικλετιστή. β) Ν σχεδιστούν τ διγράμμτ τχύτητς χρόνο κι θέσης χρόνο γι τ δύο οχήμτ. γ) Αν ο τροχονόμος είχε τη μισή επιτάχνση θ έφτνε τον μοτοσικλετιστή ; Αν νι, μετά πό πόσο χρόνο, σε ποι πόστση κι με ποι τχύτητ... Έν τοκίνητο ξεκινάει πό την ηρεμί τη χρονική στιγμή t = κι κινείτι με στθερή επιτάχνση = m/s. Ποι θ είνι η μεττόπισή το κτά τη διάρκει το τρίτο δετερόλεπτο της κίνησής το. 5.. Έν τοκίνητο κινείτι με στθερή επιτάχνση = m/s κι μεττοπίζετι κτά Δx = 7 m κτά τη διάρκει το τέτρτο δετερόλεπτο της κίνησής το. Ν πολογιστεί η ρχική τχύτητ το τοκινήτο. -5 (m/s) (m/s) (m/s ) Γενική Ενότητ. ύνµη κι Κίνηση