Εαρινό Εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Transcript

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους

2 Πριν: Σύμφωνα με την πυθαγόρεια αντιμετώπιση η διαγώνιος και η ακμή τετραγώνου δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός Ευδόξου: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο) πολλαπλάσιο του ενός ξεπερνά το άλλο. Παράδειγμα: 1. ευθύγραμμα τμήματα και εμβαδά δεν συγκρίνονται μεταξύ τους. 2. Η διαγώνιος και η ακμή του τετραγώνου σχηματίζουν λόγο.

3 Ορισμός (Εύδοξος): δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο) πολλαπλάσιο του ενός ξεπερνά το άλλο, («Στοιχεία» του Ευκλείδη, Βιβλίο 5, ορισμός 4). Θα συμβολίσουμε τον λόγο ανάμεσα στα a καιb με a:b. Πότε είναι δύο λόγοι ίσοι? Πότεείναιδύολόγοιάνισοι? (τι είδους ποσότητες είναι οι λόγοι?)

4 Για να είναι a:b = c:d θα πρέπει για κάθε m, n ακεραίους να ισχύει αν ma<nb τότε mc<nd αν ma=nb τότε mc=nd αν ma>nb τότε mc>nd (Είναι και οι τρεις συνθήκες αναγκαίες? Πότε μπορεί να επιτευχθεί ισότητα (δεύτερη συνθήκη)? Τι σημαίνει ότι a:b > c:d?)

5 Παράδειγμα: 3: 6 = 4:8 αφού αν m 3<n 6 τότε m<2 n και m 4<n 8 αν m 3=n 6 τότε m=2 n και m 4=n 8 αν m 3>n 6 τότε m>2 n και m 4>n 8

6 Παράδειγμα : Έστω κύκλοι c και C, με διαμέτρους d και D, εμβαδά a και A. Τότε a: A= d 2 : D 2 (Για τη πλήρη απόδειξη, βλ. Ευκλείδη, βιβλίο 12)

7 Λήμμα: Αν από ένα μέγεθος αφαιρέσουμε ένα τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο του μισού του, και από το υπόλοιπο αφαιρέσουμε πάλι τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο του μισού του και αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία των αφαιρέσεων, θα καταλήξουμε σε μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμένο μέγεθος του ίδιου είδους. Το Λήμμα αποδίδεται και αυτό στον Εύδοξο και είναι η Πρόταση 1 στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη, βιβλίο 10. (δηλ. Δίνεται με απόδειξη!)

8

9 Πράγματι, το εμβαδό t του Ισοσκελούς Τριγώνου της εικόνας είναι Έτσι αν έχουμε δύο όμοια ισοσκελή τρίγωνα με πλευρές d/2 και D/2 kαι βάσεις 2c και 2C αντίστοιχα, έπεται ότι c/d= C/D και άρα γιαταεμβαδάτουςt και Τ έχουμε τη σχέση Τα κανονικά πολύγωνα που συγκρίνουμε είναι αθροίσματα τέτοιων τριγώνων Άραισχύεικαιοζητούμενοςλόγοςγιαταεμβαδάτους.

10 a: A= d : D 2 2 Για τον λόγο a:a έχουμε τρείς περιπτώσεις Θα αποκλείσουμε τις δύο τελευταίες περιπτώσεις.

11 Έστω ότι Τότε υπάρχει a έτσι ώστε Θέτουμε e=a-a. Εγγράφουμε κανονικά πολύγωνα στους Διπλασιάζουμε ταυτόχρονα τις πλευρές των πολυγώνων. Κάθε φορά που διπλασιάζουμε τον αριθμό των πλευρών, το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα στο κύκλο και στο πολύγωνο μικραίνει. Κάποια στιγμή σύμφωνα με το πρώτο Λήμμα, όταν ο αριθμός ακμών n είναι αρκετά μεγάλος θα ισχύει ότι

12 Όμως Άρα Η άλλη περίπτωση άτοπο. γίνεται με τον ίδιο τρόπο (άσκηση). Να ελεγχθεί επίσης ότι το εμβαδόν ανάμεσα στοκύκλοκαιτοπολύγωνομικραίνει τουλάχιστον κατά το ½ γιαναεφαρμοστεί το Λήμμα του Ευδόξου.

13 Τελικά τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί? Ο ορισμός των λόγων του Ευδόξου ενέπνευσε τον Dedekind στην προσπάθεια της αξιωματικής θεμελίωσης των πραγματικών αριθμών. Πως ορίζονται αξιωματικά από το σύστημα των ρητών αριθμών οι πραγματικοί αριθμοί? Είναι το ρίζα 2 «όμοιο» με το π?

14

15 Ξεκινάμε από το σύνολο των ρητών και φτιάχνουμε τομές. Τομή για την ρίζα του 2: Έστω Α το σύνολο Έστω Β το σύνολο Παρατήρηση: Το σύνολο Α δεν έχει μέγιστο στοιχείο ενώ αν x είναι στο Α και y είναι μικρότερο του x τότε y ανήκει στο A.

16 Τη δυάδα {Α,Β} την ονομάζουμε ρίζα του 2. τετραγωνική Γιακάθεπραγματικόαριθμόμπορούμενα φτιάξουμε τέτοια δυάδα. Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να θεμελιωθούν ως τέτοιες δυάδες, (και οι πράξεις ανάμεσα στις δυάδες? Πως ορίζονται?)

17 Dedekind κόκκινο μπλε

18 μοντέλο για τη σελήνη Καμπύλη ιπποπέδης Σφαίρες που ο άξονας της μίας είναι η διάμετρος της άλλης. Όταν περιστρέφεται η μία, περιστρέφεται και ο άξονας της άλλης.

19 O Αριστοτέλης ήταν κυρίως φιλόσοφος και βιολόγος. Η μεγάλη συνεισφορά του στην εξέλιξη των μαθηματικών είναιοιβάσειςτης λογικής που έθεσε και οι συνεχείς αναφορές σε μαθηματικές έννοιες και θεωρήματα. Η αριστοτέλεια μεθοδολογία (ταξινόμηση, παρατήρηση, ανάλυση) θα υιοθετηθεί απ τον Ευρωπαϊκό Διαφωτισμό