Πιθανότητες και Αλγόριθμοι
|
|
- Κλωθώ Βασιλικός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά εξέλιξή του από αυτές. Κατανομή πιθανότητας πάνω σε ντετερμινιστικούς αλγόριθμους. Πλεονεκτήματα πιθανοτικών αλγόριθμων: Απλότητα και κομψότητα (π.χ. quickselect, primality). Συνήθως ταχύτεροι από ντετερμινιστικούς. Όταν έχουμε μερική γνώση, περιορισμένη μνήμη, κλπ., πρακτικά αποτελούν μόνη αποδοτική λύση. Μειονεκτήματα: Λάθος απάντηση (με μικρή πιθανότητα). Κυμαινόμενος χρόνος εκτέλεσης. Δύσκολο debugging. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Πώς τα Καταφέρνουν; Γινόμενο Πολυωνύμων Εκμεταλλεύονται «εργαλεία» της πιθανότητας. «Αδυνατίζει» (και γίνεται πιο ρεαλιστική) η χειρότερη περίπτωση (π.χ. quicksort). Τυχαία δειγματοληψία: αντιπροσωπευτικό δείγμα και λύση (π.χ. clustering, sublinear algs). Ικανό πλήθος πιστοποιητικών (βλ. property testing). Τυχαία μοιρασιά εργασιών: ισορροπημένη και με ελάχιστο κόστος (υπολογιστικό, επικοινωνιακό). Fingerprinting και hashing. «Σπάσιμο» συμμετρίας (π.χ. Ethernet, leader election). Προσομοίωση διαδικασιών και rapid mixing. Πολυώνυμα P 1 (x), P (x), P 3 (x) ορισμένα σε field F. Έλεγχος αν P 1 (x) P (x) = P 3 (x) σε χρόνο (σημαντικά) μικρότερο του πολλαπλασιασμού; Ελέγχουμε αν Q(x) = P 1 (x) P (x) P 3 (x) είναι (ταυτ.) 0. Έστω Q(x) βαθμού d και όχι (ταυτοτικά) 0. Για κάθε S F, Pr r S [Q(r) = 0] d/ S. Για S = 100d και 3 ανεξ. δείγματα, πιθαν. λάθους Χρόνος πολ/μού: Θ(d ). Χρόνος ελέγχου: Θ(d). Επεκτείνεται σε πολυώνυμα πολλών μεταβλητών, όπου αντίστοιχη πιθανότητα ορίζεται με συνολικό βαθμό. Θεώρημα Schwartz-Zippel. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 3 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 4
2 Γινόμενο Πινάκων Γινόμενο Πινάκων: Εργαλείο Δίνονται A, B, C πίνακες n n. Έλεγχος αν AB = C σε χρόνο Ο(n ). Tυχαίο διάνυσμα r {0, 1} n. Απαντ. ΝΑΙ ανν A(Br) = Cr. Ισοδύναμα ανν Dr = 0, όπου D = (AB C). Αν D 0, D έχει μη μηδενικά στοιχεία. Χβτγ., κάποια στην 1 η γραμμή του D, ένα στην 1 η στήλη. Για κάθε επιλογή των r,, r n, υπάρχει μια (το πολύ) επιλογή για το r 1 τ.ω. Άρα πιθανότητα λάθους 1/. Με π.χ. 30 ανεξάρτητες επαναλήψεις, πιθ. λάθους < Ανάλυση βασίζεται σε αρχή αναβολής τυχαίων αποφάσεων (principle of deferred decisions): «Φιξάρουμε» μέρος των τυχαίων επιλογών (συνήθως σε αυθαίρετες τιμές). Υπολογίζουμε πιθανότητα, δεδομένων αυτών των τιμών. Τεχνικά, υπολογίζουμε την πιθανότητα υπό συνθήκη. Επειδή ισχύει για αυθαίρετη συνθήκη, ισχύει χωρίς συνθήκη. Γενικότερα, έστω Ε 1,.., Ε n μια διαμέριση του δειγματοχώρου σε γεγονότα. Τότε: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 5 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 6 Ελάχιστη Τομή Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό πολυγράφημα G(V, E). Πολλαπλές ακμές, όχι χωρητικότητες / βάρη. Τομή: διαμέριση κορυφών (S, V \ S) με S V. Σύνολο ακμών που αφαίρεσή τους δημιουργεί τουλ. συνεκτικές συνιστώσες. Μέγεθος τομής Πρόβλημα: υπολογισμός μιας ελάχιστης τομής. Λύνεται σε χρόνο Ο(n 4 ) με διαδοχικές εφαρμογές αλγόριθμου μέγιστης ροής. Υπάρχουν εξειδικευμένοι αλγόριθμοι με χρόνο Ο(n 3 ). Σύμπτυξη Κορυφών Σύμπτυξη κορυφών u και v: Αντικατάσταση u, v από μία νέα κορυφή uv. Κάθε ακμή {x, u} / {x, v} αντικαθίσταται από ακμή {x, uv}. Ακμές {u, v} παραλείπονται. Διαδοχικές συμπτύξεις κορυφών 1, και 1, 3. Τομή σε γράφημα μετά από διαδοχικές συμπτύξεις αντιστοιχεί σε τομή σε αρχικό γράφημα. Λειτουργία σύμπτυξης δεν μειώνει ελάχιστη τομή. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 7 8
3 Πιθανοτικός Αλγόριθμος [Karger, 93] Ενόσω το γράφημα που απομένει έχει > κορυφές: Διάλεξε μια τυχαία ακμή {u, v}. Αντικατέστησε γράφημα με αυτό που προκύπτει από σύμπτυξη κορυφών u και v. Ακμές τομής αυτές μεταξύ κορυφών που απομένουν. Τομή ορίζεται από κορυφές που συμπτύχθηκαν στις κορυφές που απομένουν. Παράδειγμα Αρχικές συμπτύξεις 1,, και 1, 3. Σύμπτυξη 13, 4. Σύμπτυξη 5, 4. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 9 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 10 Πιθανοτικός Αλγόριθμος [Karger, 93] Βασικές ιδιότητες: Πάντατερματίζειέπειτααπόn συμπτύξεις. Υπολογίζει μία τομή, μπορεί όχι ελάχιστη. Ποιά πιθανότητα p να καταλήξει σε ελάχιστη τομή; Αν p όχι αμελητέα, μεγαλώνει γρήγορα με επαναλήψεις. Αν p /n, πιθανότητα τουλ. μία από n lnn επαναλήψεις να καταλήξει σε ελάχιστη τομή 1 1/n. Έστω ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Αλγ. επιστρέφει C ανν καμία από ακμές C δεν επιλεγεί για σύμπτυξη. Πιθανότητα Επιτυχίας Συγκεκριμένη ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Πιθανότητα καμία από ακμές C δεν επιλέγεται για σύμπτυξη. Ελάχιστος βαθμός κορυφής ελάχιστη τομή. G(V, E) έχει ελάχιστο βαθμό κορυφής k. G έχει #ακμών nk/. Πιθανότητα δεν επιλέγεται ακμή του C στην 1 η σύμπτυξη: Μετά από t συμπτύξεις, γράφημα έχει ελάχιστο βαθμό k. #ακμών (n t)k/. Πιθανότητα δεν επιλέγεται ακμή C του ούτε στην (t+1) η σύμπτυξη: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 11 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 1
4 Πιθανότητα Επιτυχίας Χρόνος Εκτέλεσης Συγκεκριμένη ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Πιθανότητα καμία από ακμές C δεν επιλέγεται για σύμπτυξη: Άρα p /n, και πιθανότητα τουλ. μία από n logn επαναλήψεις να καταλήξει σε ελάχιστη τομή 1 1/n. Χρόνος εκτέλεσης Ο(n ) / επανάληψη. Συνολικός χρόνος Ο(n 4 logn). Όμως (σχετικά) μικρή πιθανότητα αποτυχίας στις πρώτες μισές συμπτύξεις! Π.χ. πιθανότητα να μην συμπτυχθεί καμία ακμή C στις πρώτες (n 3)/ συμπτύξεις 1/4. «Ακριβές» συμπτύξεις είναι «επιτυχημένες». Αναδρομική υλοποίηση σε φάσεις: Εκτέλεση βασικού αλγόριθμου για n/ συμπτύξεις 4 φορές. Συνεχίσουμε αναδρομικά για καθένα από τα αποτελέσματα. Χρόνος εκτέλεσης Ο(n log 3 n) για πιθανότητα επιτυχίας = 1 Ο(1/n). Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 13 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 14 Μέγιστη Τομή Μέγιστη Τομή Μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E) με m ακμές. Αλγόριθμος γενικεύεται και όταν ακμές έχουν βάρη. Τομή: διαμέριση κορυφών (S, V \ S) με S V. Σύνολο ακμών που αφαίρεσή τους δημιουργεί τουλ. συνεκτικές συνιστώσες. Μέγεθος τομής Πρόβλημα: υπολογισμός μιας μέγιστης τομής. NP-complete, αλγόριθμος με λόγο προσέγγισης [Goemans, Williamson, 94], τυχαία στρογγυλοποίηση. (Απλός) αλγόριθμος: κάθε κορυφή v εντάσσεται στο S ανεξάρτητα με πιθανότητα 1/ (διαφορετικά στο V \ S). Χ πλήθος ακμών στην τομή (S, V \ S) (τυχαία μεταβλητή). Ακμή e«διασχίζει» τομή (S, V \ S) με πιθανότητα 1/. Αναμενόμενο πλήθος ακμών στην τομή (S, V \ S): Ε[Χ] = m/ (γραμμικότητα μέσης τιμής). Pr[X m/] /(m+) Πιθανότητα τουλ. μία από (m+)lnn επαναλήψεις να καταλήξεισετομήμετουλ. m/ ακμες 1/n. Βέλτιστη λύση m. Λόγος προσέγγισης 1/, με πιθανότητα 1 1/n. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 15 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 16
5 Monte Carlo vs Las Vegas Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Monte Carlo αλγόριθμοι (π.χ. min-cut, max-cut): Μπορεί να δώσουν λάθος απάντηση (με μικρή πιθανότητα), χρόνος εκτέλεσης ντετερμινιστικός (συνήθως!). Πιθανότητα λάθους μπορεί να γίνει πολύ-πολύ μικρή με ανεξάρτητες επαναλήψεις. Προβλήματα απόφασης: οne-sided error και two-sided error. Πολυωνυμικοί one-sided error αλγόριθμοι: RP και corp. Πολυωνυμικοί two-sided error αλγόριθμοι: BPP. Las Vegas αλγόριθμοι (π.χ. quicksort, quickselect): Πάντα σωστή απάντηση, χρόνος εκτέλεσης τυχαία μεταβλητή. Πολυωνυμικοί αλγόριθμοι: ZPP. Δειγματοχώρος, γεγονός και πιθανότητα, τυχαία μεταβλητή. Pr[A B] = Pr[A] + Pr[B] Pr[A B] (γενικεύεται με μέθοδο εγκλεισμού αποκλεισμού). Union bound: Πιθανότητα Α υπό συνθήκη Β: Γενίκευση: Ανεξάρτητα γεγονότα: Pr[A B] = Pr[A] Pr[B]. Αρνητικά σχετιζόμενα γεγονότα. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 17 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 18 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Παραδείγματα Κατανομών Μέση τιμή: Bernoulli μεταβλητή X: 1 με πιθ. p, και 0 διαφ. Ισοδύναμα (ακέραιες τυχαίες μεταβλ.): Γραμμικότητα: Ε[Χ+Υ] = Ε[Χ] + Ε[Υ]. Ανισότητα Jensen: Αν f κυρτή συνάρτηση, E[f(X)] f(e[x]). Αν Χ και Υ ανεξάρτητες: Ε[Χ Υ] = Ε[Χ] Ε[Υ]. Διακύμανση (variance): Var[X] = E[(X E[X]) ] = E[X ] E[X] Τυπική απόκλιση (std deviation): σ X = Var(X) 1/ Αν Χ και Υ ανεξάρτητες: Var[Χ + Υ] = Var[Χ] + Var[Υ]. Probability generating function: E[X] = p, Var[X] = p(1 p), G X (z) = 1 p + pz. Δυωνυμική κατανομή Bin(n, p): Αριθμός επιτυχιών σε n «ρίψεις» με πιθανότητα επιτυχίας p. Άθροισμα n Bernoulli μεταβλητών με παράμετρο p. E[X] = np, Var[X] = np(1 p), G X (z) = (1 p + pz) n Γεωμετρική κατανομή Geo(p): Pr[X = k] = (1 p) k 1 p Αριθμός «ρίψεων» μέχρι την πρώτη επιτυχία (waiting time). E[X] = 1/p, Var[X] = (1 p)/p, G X (z) = pz / (1 z + pz) Αμνησία: Pr[X = n+k X > k] = Pr[X = n] Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 19 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 0
6 Μπάλες και Κουτιά Μέγιστος #Μπαλών Έχουμε m μπάλες και n κουτιά. Κάθε μπάλα επιλέγει το κουτί της ισοπίθανα και ανεξάρτητα. Απλό μοντέλο, πλήθος εφαρμογών(!). Μέγιστος #μπαλών σε κάποιο κουτί; Load balancing. Hashing with chains. Ελάχιστο m ώστε να εμφανιστεί κουτί με μπάλες; Birthday paradox. Ελάχιστο m ώστε κανένα κουτί άδειο; Coupon collecting. Πιθανότητα να βρεθεί κουτί με 3 lnn/lnlnn μπάλες είναι 1/n. L i = #μπαλών σε κουτί i: Συνεπώς... και (από union bound) Πιο ακριβής ανάλυση είναι εφικτή [Gonnet]. Νδο με πιθανότητα 1/n, υπάρχει κουτί με Ω(lnn/lnlnn). Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 1 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Δυο Μπάλες στο Ίδιο Κουτί Συλλογή Κουπονιών Πιθανότητα όλες οι m (< n) μπάλες σε διαφορετικό κουτί: Ελάχιστο m ώστε κανένα κουτί άδειο. Z k = #μπαλών όταν για πρώτη φορά #γεμάτων κουτιών = k. Χ k = Z k+1 Z k : #μπαλώνγιαναγεμίσειτοk+1 κουτί. Χ k ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο 1 k/n, καιέχειε[x k ] = n/(n k). Γραμμικότητα μέσης τιμής: Πιθανότητα τουλ. μπάλες στο ίδιο κουτί 1 P m Για n = 365 και m = 8: πιθανότητα σε 8 ανθρώπους, κάποιοι να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα > 1 e 1 Εμφανίζει ισχυρή συγκέντρωση γύρω από την μέση τιμή: Y j,k : κουτί j είναι άδειο μετά τις πρώτες k μπάλες. Για κάθε β > 1, πιθανότητα κάποιο κουτί άδειο μετά από βnlnn μπάλες: Μπορεί ν.δ.ο. για κάθε c, πιθανότητα κάποιο κουτί άδειο μετά από n(lnn + c) μπάλες: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 3 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 4
7 Συγκέντρωση στη Μέση Τιμή Chernoff Bounds (Πραγματική τιμή) «ομαλών» συναρτήσεων μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών «κινείται» σε ένα μικρό διάστημα γύρω από την μέση τιμή. Βλ. [Dubhashi and Panconessi, Concentration of Measure for the Analysis of Randomized Algorithms, 007]. Ανισότητα Markov (γενική, αλλά όχι ιδιαίτερα ισχυρή): Χμη-αρνητική τυχαία μεταβλητή. Για κάθε t > 0, Ανισότητα Chebysev (γενική, ισχυρότερη): Για κάθε t > 0, Απόδειξη εύκολα από ορισμό Var[Χ] και ανισότητα Markov. Έστω X 1,, X n ανεξάρτητες Bernoulli τ.μ. με E[X k ] = p k, Χ = Χ X n, και Ε[Χ] = μ. Για κάθε ε > 0, Για κάθε t > 0, και χρησιμοποιώντας ανισότητα Markov: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 5 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 6 Chernoff Bounds Τυχαία Δειγματοληψία Έστω X 1,, X n ανεξάρτητες Bernoulli τ.μ., Χ = Χ X n, και Ε[Χ] = μ. Για κάθε 1 ε 0, Εξαιρετικά ισχυρή συγκέντρωση γύρω από την μέση τιμή! Απαιτούν σύγκριση Χ με λογαριθμική ποσότητα για να «δουλέψουν καλά». Αντίστοιχα φράγματα για τ.μ. X k με πεδίο τιμών το [0, w k ]. Απαιτούν ανεξαρτησία (ή αρνητικήεξάρτηση). Αντίστοιχα bounds για τ.μ. με περιορισμένη εξάρτηση. Πολύ σημαντικά για την ανάλυση πιθανοτικών αλγόριθμων. Σύνολο Α, A = n, (άγνωστου μεγέθους) σύνολο Χ Α με στοιχεία Α που έχουν κάποια ιδιότητα. Έστω Χ = p n. Θα υπολογίσουμε εκτίμηση p για p. Επιλέγουμε «δείγμα» A, A 3ln(/δ)/ε, και υπολογίζουμε p = A Χ. Με πιθανότητα 1 δ, εκτίμηση p [p ε, p+ε]. Σύνολο Α, A = n, με διαμέριση A 1,, A k, Α j = α j n γn, που ορίζεται από κάποιες ιδιότητες (π.χ. τι ψηφίζουν). Θα εκτιμήσουμε όλα τα α j γνωρίζοντας μόνο ότι είναι γ. Επιλέγουμε «δείγμα» B, B 3ln(/(δγ))/(γε ). Έστω B j = A j B και β j = B j / Β. Με πιθανότητα 1 - δ, για όλα τα Α j,(1 ε)α j β j (1+ε)α j Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 7 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 8
8 Παραδείγματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Αν μοιράζουμε m = nlnn μπάλες σε n κουτιά, πιθανότητα προκύψει κουτί με > 3lnn μπάλες είναι 1/n. Set Balancing: A 1,, A n υποσύνολα U, U = n και για κάθε j, A j = n/. Ζητείται διαμέριση U σε B και W που ελαχιστοποιεί: Τυχαία διαμέριση B, W: με πιθανότητα 1 /n. Για κάθε j, X j = A j W με E[X j ] = n/4. Έχουμε:... για NP-hard προβλήματα [Johnson, Sahni and Gonzalez,, 70 s] Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου. Όχι (πάντα) βέλτιστη λύση. Ανάλυσηχειρότερηςπερίπτωσηςωςπροςποιότηταλύσης. Σχεδιασμός poly-time αλγόριθμων που συμπεριφέρονται αποδεδειγμένα καλά για κάθε στιγμιότυπο. Λόγος προσέγγισης Αλγόριθμου Α για πρόβλημα Π (πάντα 1): Προβλήματος Π: Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 9 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 30 VLSI Routing VLSI Routing Grid n n και k ζεύγη κορυφών (s j, t j ) που πρέπει να συνδέσουμε με μονοπάτια. Δύομόνοδυνατότητεςγιακάθεζεύγοςj: r(j): πρώταευθείαμετάκάθετα. c(j): πρώτακάθεταμετάευθεία. Συνδέσεις που ελαχιστοποιούν φορτίο (#μονοπατιών) κάθε ακμής. NP-complete. Εκφράζεται ως Ακέραιο Γραμμικό Πρόγραμμα: s j c(j) r(j) t j Λύνουμε σε πολυωνυμικό χρόνο το αντίστοιχο (μη Ακέραιο) Γραμμικό Πρόγραμμα: Βέλτιστη κλασματική λύση W * βέλτιστη ακέραια λύση. Ντετερμινιστικό στρογγύλεμα: Για κάθε j, αν x j* 1/ στην βέλτιστη ΓΠ-λύση, (s j, t j ) συνδέεται με r(j), διαφορετικά με c(j). Λόγος προσέγγισης, επειδή max(x j*, 1 x j* ) 1/. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 31 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 3
9 VLSI Routing Metric Facility Location Πιθανοτικό στρογγύλεμα (randomized rounding): Για κάθε j, (s j, t j ) συνδέεται με r(j) με πιθανότητα x j*, διαφορετικά συνδέεται με c(j). Τυχαία μετ/τη W: μέγιστο φορτίο ακμής στην (ακέραια) λύση (x 1,, x n ) που προκύπτει. Ε[W e ] W *. Θέτουμε m = n(n-1) (#ακμών στο grid). Εφαρμόζοντας Chernoff bounds με έχουμε ότι αν, τότε: Μετρικός χώρος (μη αρνητικές συμμετρικές αποστάσεις που ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα). Θέσεις υπηρεσιών με κόστος εγκατάστασης Ενιαίο κόστος: εγκατάσταση οπουδήποτε με κόστος Θέσεις πελατών και αποστάσεις Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 33 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 34 Χωροθέτηση Υπηρεσιών (Facility Location) Χωροθέτηση Υπηρεσιών Θέσεις εγκατάστασης υπηρεσιών με ελάχιστο κόστος εγκατάστασης + κόστος εξυπηρέτησης Έχει μελετηθεί εκτενώς [MirchaFrancis90], [Shmoys00], [Guha00]: Χωροθέτηση υπηρεσιών κοινής ωφέλειας, εταιρικός σχεδιασμός δικτύων, clustering. NP-hard, λόγος προσέγγισης (πολυων. χρ.) [Guha, Khuller, SODA 98]. Πολυωνυμικόςαλγόριθμοςμελόγοπροσέγγισης1.5 [Byrka, APPROX 07]. Τεχνικές: τοπική αναζήτηση, primal-dual, στρογγύλεμα λύσεων ΓΠ, και συνδυασμοί τους. Επίλυση πολύ μεγάλων στιγμιοτύπων. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 35 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 36
10 Online Facility Location [Meyerson, 01] Αλγόριθμος Meyerson Απαιτήσεις δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων. Απαιτήσεις εμφανίζονται μία-μία και ενσωματώνονται άμεσα στη λύση χωρίς καμία άλλη μεταβολή. Αλλαγή διαμόρφωσης δικτύου: ακριβήήκαιμηεφικτή! OFL με τυχαία διάταξη απαιτήσεων. Απαιτήσεις επιλέγονται αυθαίρετα, αλλά εμφανίζονται σε τυχαία σειρά (σύμφωνα με μια τυχαία μετάθεσή τους). Διατηρούμε σύνολο facilities F. Αρχικά F =. Εμφάνιση νέας (τυχαίας) απαίτησης u: Νέο facility στη θέση του u με πιθανότητα d(f,u)/f. Κόστος εγκατάστασης f. Διαφορετικά, εξυπηρέτηση u από κοντινότερο facility. Κόστος εξυπηρέτησης d(f,u). Απόφαση και κόστος (και δομή λύσης) είναι αμετάκλητα! Γραμμικός χρόνος εκτέλεσης. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 37 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 38 Ανάλυση Ανάλυση Αν απαιτήσεις εμφανίζονται με τυχαία σειρά, ο αλγόριθμος έχει λόγο προσέγγισης Ο(1)! Αναμενόμενο κόστος για απαίτηση u d(f,u). Θεωρούμε βέλτιστο facility c που εξυπηρετεί n απαιτήσεις με κόστος Asg(c), και θέτουμε α = Asg(c)/n. Inner απαιτήσ.: n/ πλησιέστερες σε c εντός Ball(c, α). Αναμενόμενο συνολικό κόστος μέχρι πρώτη facility σε θέση inner απαίτησης f (εξυπ.) + f (εγκατ.) = f. Αναμενόμενο κόστος για κάθε επόμενη inner απαίτηση u d(f,u) (d * u + α). inner demands Αναμενόμενο κόστος για inner: c a Outer απαιτήσεις όσες δεν είναι inner. Έστω d(f,c)=β ότανouter απαίτηση u: d(f,u) d * u +β. Για «εκτίμηση» β, χρησιμοποιούμε τυχαία διάταξη απαιτήσεων και αναμενόμενο κόστος inner απαιτήσεων. Έστω v τελευταία inner απαίτηση πριν u: β d(f,v)+d * v v «επιλέγεται» ισοπίθανα μεταξύ inner απαιτήσεων: a Ανεξάρτητο από σειρά εμφάνισής τους. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων
11 Ανάλυση Multicommodity Rent-or-Buy Συνολικό αναμενόμενο κόστος για inner απαιτήσεις: Συνολικό αναμενόμενο κόστος για outer απαιτήσεις: Συνολικό αναμενόμενο κόστος: Λόγος προσέγγισης 8(μπορεί να βελτιωθεί λίγο). Με αυθαίρετη σειρά εμφάνισης, λόγος ανταγωνισμού: Μετρικός χώρος (π.χ. μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E) με θετικά μήκη c e στις ακμές e E και αποστάσεις κορυφών). Απαιτήσεις σύνδεσης (s 1, t 1 ),, (s k, t k ) και Μ > 1. Δίκτυο ελάχιστου κόστους για σύνδεση όλων των (s j, t j ). Ακμή e «ενοικιάζεται» με κόστος c e #(απαιτήσεων στην e) ή «αγοράζεται» με κόστος c e Μ (οικονομίες κλίμακας). Γενίκευση Steiner forest όπου κόστος ακμών δίνεται από αύξουσα κοίλη συνάρτηση της κυκλοφορίας. Μελετήθηκε εκτενώς λόγω εφαρμογών στον σχεδιασμό δικτύων. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 41 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 4 Connected Facility Location Connected Facility Location MRoB με κοινό s για όλες τις απαιτήσεις σύνδεσης. Δίνεται γράφημα G(V, E, c), s V, T V, και Μ > 1. Ζητούνται Ε b,e r Ε, ώστε (Τ {s}, E b E r ) συνεκτικό, και ελάχιστο. u e = #s-t συνδέσεων που χρησιμοποιούν e. Υπολογισμός (βέλτιστου συνόλου) hubs όπου απαιτήσεις του Τσυνδέονται«ενοικιάζοντας» ακμές. v 1 Hubs συνδέονται στο s 1 t 1 6 t «αγοράζοντας» τις ακμές αντίστοιχου Steiner tree. s 6 7 v 4 7 t 3 t t t 7 9 v 3 t 5 Αλγόριθμος [Gupta, Kumar, Roughgarden, STOC 03]: Κάθε απαίτηση t T γίνεται hub με πιθανότητα 1/Μ. Έστω Τ το σύνολο των hubs που προκύπτει. Υπολογίζουμε Steiner tree για T {s}και «αγοράζουμε» αντίστοιχες ακμές. «Ενοικιάζουμε» ακμές (συντομότερου μονοπατιού) για σύνδεση κάθε t T \ T στο κοντινότερο hub. Έστω Ζ * βέλτιστο κόστος. Αναμενόμενο κόστος βέλτιστου Steiner tree για T {s} Ζ * Αναμενόμενο κόστος για «ενοικίαση» Ζ * Λόγος προσέγγισης 3.55 s v 1 1 t 1 t t v 4 7 t 3 t t 7 9 v 3 t 5 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 43 Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 44
12 Ανάλυση Ανάλυση Αναμεν. κόστος βέλτιστου Steiner tree για T {s} Ζ * Έστω Δ * το Steiner tree που «αγοράζει» η βέλτιστη λύση. Για κάθε t T, δ * (t) ηκορυφήτουδ * όπου συνδέεται το t, και c(δ * (t), t) το κόστος «ενοικίασης» στη βέλτιστη λύση. Άρα Για σύνδεση T {s},«αγοράζουμε» τις ακμές του Δ *, και t T, τις ακμές στο συντομότερο δ * (t) t μονοπάτι. Αφού κάθε t εντάσσεται στο T με πιθανότητα 1/Μ, το αναμενόμενο κόστος δεν ξεπερνά: Σε poly-time, υπολογίζουμε Steiner tree για Τ {s} με αναμενόμενο κόστος 1.55 Ζ * [RobinsZelikovsky, 00]. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 45 Αναμενόμενο κόστος για «ενοικίαση» Ζ * Κόστος «ενοικίασης» εξαρτάται μόνο από Τ και όχι από συγκεκριμένο Steiner tree για σύνδεση T {s}. Θδο αναμενόμενο κόστος ενοικίασης αναμενόμενο κόστος Min Spanning Tree στο T {s} Ζ *. Απόδειξη με προσαρμογή αλγόριθμου Prim με αρχική την s. Πλήρες γράφημα στο T {s}με βάρητιςαποστάσειςστοg. Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 46 s v 1 1 t v 4 7 t 3 t t t t 7 9 v 3 t 5 Ανάλυση Αλγ. Prim: στην επανάληψη j, θεωρούμε t j με ελάχιστη απόσταση προς δέντρο Δ j 1 που έχει ήδη κατασκευαστεί. Με πιθανότητα 1-1/Μ, δεν αλλάζουμε Δ j 1 και «ενοικιάζουμε» συντομότερο t j Δ j 1 μονοπάτι. Αναμενόμενο κόστος (1 1/Μ) c(t j, Δ j 1 ) Με πιθανότητα 1/Μ, «αγοράζουμε» συντομ. t j Δ j 1 μονοπάτι, και προσθέτουμε t j στο Δ j 1. Αναμενόμενο κόστος (1/Μ) Μ c(t j, Δ j 1 ) Αναμ. κόστος «ενοικίασης» αναμ. κόστος δέντρου s που καταλήγουμε Ζ * v 1 1 t v 4 7 t 3 t Προχωρημένα Θέματα Αλγορίθμων Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 47 t t t 7 9 v 3 t 5
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραApproximation Algorithms for the k-median problem
Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή,
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραΔυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Δυϊκότητα Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιστοποίηση Άνω Φράγματος Έχει το ΓΠ εφικτή λύση με κόστος 2; Ναι, π.χ. [0, 1, 3, 0, 2, 0,
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι
Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Ορισμός Frequency moments
The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα
Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση
Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΟυρά Προτεραιότητας: Heap
Ουρά Προτεραιότητας: Heap Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης (λίγες τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δομές Δεδομένων (Αναπαράσταση,)
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές
Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότερα(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις
(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Βάθος. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Αναζήτηση Κατά Βάθος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Συμπληρώσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι
Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότερα