Πιθανότητες και Αλγόριθμοι
|
|
- ŌΣίμων Αυγερινός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
2 Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά εξέλιξή του από αυτές. Κατανομή πιθανότητας πάνω σε ντετερμινιστικούς αλγόριθμους. Πλεονεκτήματα πιθανοτικών αλγόριθμων: Απλότητα και κομψότητα (π.χ. quickselect, primality). Συνήθως ταχύτεροι από ντετερμινιστικούς. Όταν έχουμε μερική γνώση, περιορισμένη μνήμη, κλπ., πρακτικά αποτελούν μόνη αποδοτική λύση. Μειονεκτήματα: Λάθος απάντηση (με μικρή πιθανότητα). Κυμαινόμενος χρόνος εκτέλεσης. ύσκολο debugging. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 2
3 Πώς τα Καταφέρνουν; Εκμεταλλεύονται «εργαλεία» της πιθανότητας. «Αδυνατίζει» (και γίνεται πιο ρεαλιστική) η χειρότερη περίπτωση (π.χ. quicksort). Τυχαία δειγματοληψία: αντιπροσωπευτικό δείγμα και λύση (π.χ. clustering, sublinear algs). Ικανό πλήθος πιστοποιητικών (βλ. property testing). Τυχαία μοιρασιά εργασιών: ισορροπημένη και με ελάχιστο κόστος (υπολογιστικό, επικοινωνιακό). Fingerprinting και hashing. «Σπάσιμο» συμμετρίας (π.χ. Ethernet, leader election). Προσομοίωση διαδικασιών και rapid mixing. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 3
4 Γινόμενο Πολυωνύμων Πολυώνυμα P 1 (x), P 2 (x), P 3 (x) ορισμένα σε field F. Έλεγχος αν P 1 (x) P 2 (x) = P 3 (x) σε χρόνο (σημαντικά) μικρότερο του πολλαπλασιασμού; Ελέγχουμε αν Q(x) = P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) είναι (ταυτ.) 0. Έστω Q(x) βαθμού d και όχι (ταυτοτικά) 0. Για κάθε S F, Pr r S [Q(r) = 0] d/ S. Για S = 100d και 3 ανεξ. δείγματα, πιθαν. λάθους Χρόνος πολ/μού: Θ(d 2 ). Χρόνος ελέγχου: Θ(d). Επεκτείνεται σε πολυώνυμα πολλών μεταβλητών, όπου αντίστοιχη πιθανότητα ορίζεται με συνολικό βαθμό. Θεώρημα Schwartz-Zippel. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 4
5 Γινόμενο Πινάκων ίνονται A, B, C πίνακες n n. Έλεγχος αν AB = C σε χρόνο Ο(n 2 ). Tυχαίο διάνυσμα r {0, 1} n. Απαντ. ΝΑΙ ανν A(Br) = Cr. Ισοδύναμα ανν Dr = 0, όπου D = (AB C). Αν D 0, D έχει μη μηδενικά στοιχεία. Χβτγ., κάποια μη μηδενικά στοιχεία στην 1 η γραμμή του D, ένα μη μηδενικό στοιχείο στην 1 η γραμμή και 1 η στήλη. Για κάθε επιλογή των r 2,, r n, υπάρχει μια (το πολύ) επιλογή για το r 1 τ.ω. Άρα πιθανότητα λάθους 1/2. Με π.χ. 30 ανεξάρτητες επαναλήψεις, πιθ. λάθους < Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 5
6 Γινόμενο Πινάκων: Εργαλείο Ανάλυση βασίζεται σε αρχή αναβολής τυχαίων αποφάσεων (principle of deferred decisions): «Φιξάρουμε» μέρος των τυχαίων επιλογών (συνήθως σε αυθαίρετες τιμές). Υπολογίζουμε πιθανότητα, δεδομένων αυτών των τιμών. Τεχνικά, υπολογίζουμε την πιθανότητα υπό συνθήκη. Επειδή ισχύει για αυθαίρετη συνθήκη, ισχύει χωρίς συνθήκη. Γενικότερα, έστω Ε 1,.., Ε n μια διαμέριση του δειγματοχώρου σε γεγονότα. Τότε: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 6
7 Ελάχιστη Τομή Μη κατευθυνόμενο συνεκτικό πολυγράφημα G(V, E). Πολλαπλές ακμές, όχι χωρητικότητες / βάρη. Τομή: διαμέριση κορυφών (S, V \ S) με S V. Σύνολο ακμών που αφαίρεσή τους δημιουργεί τουλ. 2 συνεκτικές συνιστώσες. Μέγεθος τομής Πρόβλημα: υπολογισμός μιας ελάχιστης τομής. Λύνεται σε χρόνο Ο(n 4 ) με διαδοχικές εφαρμογές αλγόριθμου μέγιστης ροής. Υπάρχουν εξειδικευμένοι αλγόριθμοι με χρόνο Ο(n 3 ). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 7
8 Σύμπτυξη Κορυφών Σύμπτυξη κορυφών u και v: Αντικατάσταση u, v από μία νέα κορυφή uv. Κάθε ακμή {x, u} / {x, v} αντικαθίσταται από ακμή {x, uv}. Ακμές {u, v} παραλείπονται. ιαδοχικές συμπτύξεις κορυφών 1, 2 και 12, 3. Τομή σε γράφημα μετά από διαδοχικές συμπτύξεις αντιστοιχεί σε τομή σε αρχικό γράφημα. Λειτουργία σύμπτυξης δεν μειώνει ελάχιστη τομή.
9 Πιθανοτικός Αλγόριθμος [Karger, 93] Ενόσω το γράφημα που απομένει έχει > 2 κορυφές: ιάλεξε μια τυχαία ακμή {u, v}. Αντικατέστησε γράφημα με αυτό που προκύπτει από σύμπτυξη κορυφών u και v. Ακμές τομής αυτές μεταξύ 2 κορυφών που απομένουν. Τομή ορίζεται από κορυφές που συμπτύχθηκαν στις 2 κορυφές που απομένουν. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 9
10 Παράδειγμα Αρχικές συμπτύξεις 1, 2, και 12, 3. Σύμπτυξη 123, 4. Σύμπτυξη 5, 4. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 10
11 Πιθανοτικός Αλγόριθμος [Karger, 93] Βασικές ιδιότητες: Πάντα τερματίζει έπειτα από n 2 συμπτύξεις. Υπολογίζει μία τομή, μπορεί όχι ελάχιστη. Ποια πιθανότητα p να καταλήξει σε ελάχιστη τομή; Αν p όχι αμελητέα, μεγαλώνει γρήγορα με επαναλήψεις. Αν p 2/n 2, πιθανότητα τουλ. μία από n 2 lnn επαναλήψεις να καταλήξει σε ελάχιστη τομή 1 1/n 2. Έστω ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Αλγ. επιστρέφει C ανν καμία από ακμές C δεν επιλεγεί για σύμπτυξη. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 11
12 Πιθανότητα Επιτυχίας Συγκεκριμένη ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Πιθανότητα καμία από ακμές C δεν επιλέγεται για σύμπτυξη. Ελάχιστος βαθμός κορυφής ελάχιστη τομή. G(V, E) έχει ελάχιστο βαθμό κορυφής k. G έχει #ακμών nk/2. Πιθανότητα δεν επιλέγεται ακμή του C στην 1 η σύμπτυξη: Μετά από t συμπτύξεις, γράφημα έχει ελάχιστο βαθμό k. #ακμών (n t)k/2. Πιθανότητα δεν επιλέγεται ακμή C του ούτε στην (t+1) η σύμπτυξη: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 12
13 Πιθανότητα Επιτυχίας Συγκεκριμένη ελάχιστη τομή C = {e 1,, e k } μεγέθους k. Πιθανότητα καμία από ακμές C δεν επιλέγεται για σύμπτυξη: Άρα p 2/n 2, και πιθανότητα τουλ. μία από n 2 logn επαναλήψεις να καταλήξει σε ελάχιστη τομή 1 1/n 2. Χρόνος εκτέλεσης Ο(n 2 ) / επανάληψη. Συνολικός χρόνος Ο(n 4 logn). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 13
14 Χρόνος Εκτέλεσης Όμως (σχετικά) μικρή πιθανότητα αποτυχίας στις πρώτες μισές συμπτύξεις! Π.χ. πιθανότητα να μην συμπτυχθεί καμία ακμή C στις πρώτες (n 3)/2 συμπτύξεις 1/4. «Ακριβές» συμπτύξεις είναι «επιτυχημένες». Αναδρομική υλοποίηση σε φάσεις: Εκτέλεση βασικού αλγόριθμου για n/2 συμπτύξεις 4 φορές. Συνεχίσουμε αναδρομικά για καθένα από τα αποτελέσματα. Χρόνος εκτέλεσης Ο(n 2 log 3 n) για πιθανότητα επιτυχίας = 1 Ο(1/n). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 14
15 Monte Carlo vs Las Vegas Monte Carlo αλγόριθμοι (π.χ. min-cut, max-cut): Μπορεί να δώσουν λάθος απάντηση (με μικρή πιθανότητα), χρόνος εκτέλεσης ντετερμινιστικός (συνήθως!). Πιθανότητα λάθους μπορεί να γίνει πολύ-πολύ μικρή με ανεξάρτητες επαναλήψεις. Προβλήματα απόφασης: οne-sided error και two-sided error. Πολυωνυμικοί one-sided error αλγόριθμοι: RP και corp. Πολυωνυμικοί two-sided error αλγόριθμοι: BPP. Las Vegas αλγόριθμοι (π.χ. quicksort, quickselect): Πάντα σωστή απάντηση, χρόνος εκτέλεσης τυχαία μεταβλητή. Πολυωνυμικοί αλγόριθμοι: ZPP. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 15
16 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας ειγματοχώρος, γεγονός και πιθανότητα, τυχαία μεταβλητή. Pr[A B] = Pr[A] + Pr[B] Pr[A B] (γενικεύεται με μέθοδο εγκλεισμού αποκλεισμού). Union bound: Πιθανότητα Α υπό συνθήκη Β: Γενίκευση: Ανεξάρτητα γεγονότα: Pr[A B] = Pr[A] Pr[B]. Αρνητικά σχετιζόμενα γεγονότα. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 16
17 Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Μέση τιμή: Ισοδύναμα (ακέραιες τυχαίες μεταβλ.): Γραμμικότητα: Ε[Χ+Υ] = Ε[Χ] + Ε[Υ]. Ανισότητα Jensen: Αν f κυρτή συνάρτηση, E[f(X)] f(e[x]). Αν Χ και Υ ανεξάρτητες: Ε[Χ Υ] = Ε[Χ] Ε[Υ]. ιακύμανση (variance): Var[X] = E[(X E[X]) 2 ] = E[X 2 ] E[X] 2 Τυπική απόκλιση (std deviation): σ X = Var(X) 1/2 Αν Χ και Υ ανεξάρτητες: Var[Χ + Υ] = Var[Χ] + Var[Υ]. Probability generating function: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 17
18 Παραδείγματα Κατανομών Bernoulli μεταβλητή X: 1 με πιθ. p, και 0 διαφ. E[X] = p, Var[X] = p(1 p), G X (z) = 1 p + pz. υωνυμική κατανομή Bin(n, p): Αριθμός επιτυχιών σε n «ρίψεις» με πιθανότητα επιτυχίας p. Άθροισμα n Bernoulli μεταβλητών με παράμετρο p. E[X] = np, Var[X] = np(1 p), G X (z) = (1 p + pz) n Γεωμετρική κατανομή Geo(p): Pr[X = k] = (1 p) k 1 p Αριθμός «ρίψεων» μέχρι την πρώτη επιτυχία (waiting time). E[X] = 1/p, Var[X] = (1 p)/p 2, G X (z) = pz / (1 z + pz) Αμνησία: Pr[X = n+k X > k] = Pr[X = n] Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 18
19 Μπάλες και Κουτιά Έχουμε m μπάλες και n κουτιά. Κάθε μπάλα επιλέγει το κουτί της ισοπίθανα και ανεξάρτητα. Απλό μοντέλο, πλήθος εφαρμογών(!). Μέγιστος #μπαλών σε κάποιο κουτί; Load balancing. Hashing with chains. Ελάχιστο m ώστε να εμφανιστεί κουτί με 2 μπάλες; Birthday paradox. Ελάχιστο m ώστε κανένα κουτί άδειο; Coupon collecting. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 19
20 Μέγιστος #Μπαλών Πιθανότητα να βρεθεί κουτί με 3 lnn/lnlnn μπάλες είναι 1/n. L i = #μπαλών σε κουτί i: Συνεπώς... και (από union bound) Πιο ακριβής ανάλυση είναι εφικτή [Gonnet]. Νδο με πιθανότητα 1/n, υπάρχει κουτί με Ω(lnn/lnlnn). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 20
21 υο Μπάλες στο Ίδιο Κουτί Πιθανότητα όλες οι m (< n) μπάλες σε διαφορετικό κουτί: Πιθανότητα τουλ. 2 μπάλες στο ίδιο κουτί 1 P m Για n = 365 και m = 28: πιθανότητα σε 28 ανθρώπους, κάποιοι να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα > 1 e 1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 21
22 Συλλογή Κουπονιών Ελάχιστο m ώστε κανένα κουτί άδειο. Z k = #μπαλών όταν για πρώτη φορά #γεμάτων κουτιών = k. Χ k = Z k+1 Z k : #μπαλώνγιαναγεμίσειτοk+1 κουτί. Χ k ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο 1 k/n, και έχει Ε[X k ] = n/(n k). Γραμμικότητα μέσης τιμής: Εμφανίζει ισχυρή συγκέντρωση γύρω από την μέση τιμή: Y j,k : κουτί j είναι άδειο μετά τις πρώτες k μπάλες. Για κάθε β > 1, πιθανότητα κάποιο κουτί άδειο μετά από βnlnn μπάλες: Μπορεί ν.δ.ο. για κάθε c, πιθανότητα κάποιο κουτί άδειο μετά από n(lnn + c) μπάλες: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 22
23 Συγκέντρωση στη Μέση Τιμή (Πραγματική τιμή) «ομαλών» συναρτήσεων μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών «κινείται» σε ένα μικρό διάστημα γύρω από την μέση τιμή. Βλ. [Dubhashi and Panconessi, Concentration of Measure for the Analysis of Randomized Algorithms, 2007]. Ανισότητα Markov (γενική, αλλά όχι ιδιαίτερα ισχυρή): Χμη-αρνητική τυχαία μεταβλητή. Για κάθε t > 0, Ανισότητα Chebysev (γενική, ισχυρότερη): Για κάθε t > 0, Απόδειξη εύκολα από ορισμό Var[Χ] και ανισότητα Markov. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 23
24 Chernoff Bounds Έστω X 1,, X n ανεξάρτητες Bernoulli τ.μ. με E[X k ] = p k, Χ = Χ X n, και Ε[Χ] = μ. Για κάθε ε > 0, Για κάθε t > 0, και χρησιμοποιώντας ανισότητα Markov: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 24
25 Chernoff Bounds Έστω X 1,, X n ανεξάρτητες Bernoulli τ.μ., Χ = Χ X n, και Ε[Χ] = μ. Για κάθε 1 ε 0, Εξαιρετικά ισχυρή συγκέντρωση γύρω από την μέση τιμή! Απαιτούν σύγκριση Χ με λογαριθμική ποσότητα για να «δουλέψουν καλά». Αντίστοιχα φράγματα για τ.μ. X k με πεδίο τιμών το [0, w k ]. Απαιτούν ανεξαρτησία (ή αρνητική εξάρτηση). Αντίστοιχα bounds για τ.μ. με περιορισμένη εξάρτηση. Πολύ σημαντικά για την ανάλυση πιθανοτικών αλγόριθμων. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 25
26 Παραδείγματα Αν μοιράζουμε m = nlnn μπάλες σε n κουτιά, πιθανότητα προκύψει κουτί με > 3lnn μπάλες είναι 1/n. Set Balancing: A 1,, A n υποσύνολα U, U = n και για κάθε j, A j = n/2. Ζητείται διαμέριση U σε B και W που ελαχιστοποιεί: Τυχαία διαμέριση B, W: με πιθανότητα 1 2/n 2. Για κάθε j, X j = A j W με E[X j ] = n/4. Έχουμε: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 26
27 Τυχαία ειγματοληψία Σύνολο Α, A = n, (άγνωστου μεγέθους) σύνολο Χ Α με στοιχεία Α που έχουν κάποια ιδιότητα. Έστω Χ = p n. Θα υπολογίσουμε εκτίμηση p για p. Επιλέγουμε «δείγμα» A, A 3ln(2/δ)/ε 2, και υπολογίζουμε p = A Χ. Με πιθανότητα 1 δ, εκτίμηση p [p ε, p+ε]. Σύνολο Α, A = n, με διαμέριση A 1,, A k, Α j = α j n γn, που ορίζεται από κάποιες ιδιότητες (π.χ. τι ψηφίζουν). Θα εκτιμήσουμε όλα τα α j γνωρίζοντας μόνο ότι είναι γ. Επιλέγουμε «δείγμα» B, B 3ln(2/(δγ))/(γε 2 ). Έστω B j = A j B και β j = B j / Β. Με πιθανότητα 1 - δ, για όλα τα Α j, (1 ε)α j β j (1+ε)α j Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 27
28 VLSI Routing Grid n n και k ζεύγη κορυφών (s j, t j ) που πρέπει να συνδέσουμε με μονοπάτια. ύο μόνο δυνατότητες για κάθε ζεύγος j: r(j): πρώταευθείαμετάκάθετα. c(j): πρώτα κάθετα μετά ευθεία. Συνδέσεις που ελαχιστοποιούν φορτίο (#μονοπατιών) κάθε ακμής. NP-complete. Εκφράζεται ως Ακέραιο Γραμμικό Πρόγραμμα: s j c(j) r(j) t j Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 28
29 VLSI Routing Λύνουμε σε πολυωνυμικό χρόνο το αντίστοιχο (μη Ακέραιο) Γραμμικό Πρόγραμμα: Βέλτιστη κλασματική λύση W * βέλτιστη ακέραια λύση. Ντετερμινιστική στρογγυλοποίηση: Για κάθε j, αν x j* 1/2 στην βέλτιστη ΓΠ-λύση, (s j, t j ) συνδέεται με r(j), διαφορετικά με c(j). Λόγος προσέγγισης 2, επειδή max(x j*, 1 x j* ) 1/2. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 29
30 VLSI Routing Randomized rounding: Για κάθε j, (s j, t j ) συνδέεται με r(j) με πιθανότητα x j*, διαφορετικά συνδέεται με c(j). Τυχαία μετ/τη W: μέγιστοφορτίοακμήςστην(ακέραια) λύση (x 1,, x n ) που προκύπτει. Ε[W e ] W *. Θέτουμε m = 2n(n-1) (#ακμών στο grid). Εφαρμόζοντας Chernoff bounds με έχουμε ότι αν, τότε: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 30
31 Χωροθέτηση Υπηρεσιών (Facility Location) Μετρικός χώρος (μη αρνητικές συμμετρικές αποστάσεις d(i, j) που ικανοποιούν την τριγωνική ανισότητα). Θέσεις υπηρεσιών F με κόστος εγκατάστασης f i, i F. Θέσεις πελατών D, και αποστάσεις d(j, i), j D, i F. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 31
32 Χωροθέτηση Υπηρεσιών (Facility Location) Θέσεις εγκατάστασης υπηρεσιών F * F με ελάχιστο κόστος εγκατάστασης + κόστος εξυπηρέτησης Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 32
33 Online Facility Location [Meyerson, 01] Απαιτήσεις δεν είναι γνωστές εκ των προτέρων. Απαιτήσεις εμφανίζονται μία-μία και ενσωματώνονται άμεσα στη λύση χωρίς καμία άλλη μεταβολή. Αλλαγή διαμόρφωσης δικτύου: ακριβή ή και μη εφικτή! OFL με τυχαία διάταξη απαιτήσεων. Απαιτήσεις επιλέγονται αυθαίρετα, αλλά εμφανίζονται σε τυχαία σειρά (σύμφωνα με μια τυχαία μετάθεσή τους). Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 33
34 Αλγόριθμος Meyerson ιατηρούμε σύνολο facilities F. Αρχικά F =. Εμφάνιση νέας (τυχαίας) απαίτησης u: Νέο facility στηθέσητουu με πιθανότητα d(f,u)/f. Κόστος εγκατάστασης f. ιαφορετικά, εξυπηρέτηση u από κοντινότερο facility. Κόστος εξυπηρέτησης d(f,u). Απόφαση και κόστος (και δομή λύσης) είναι αμετάκλητα! Γραμμικός χρόνος εκτέλεσης. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 34
35 Ανάλυση Αν απαιτήσεις εμφανίζονται με τυχαία σειρά, ο αλγόριθμος έχει λόγο προσέγγισης Ο(1)! Αναμενόμενο κόστος για απαίτηση u 2d(F,u). Θεωρούμε βέλτιστο facility c που εξυπηρετεί n απαιτήσεις με κόστος Asg(c), και θέτουμε α = Asg(c)/n. Inner απαιτήσ.: n/2 πλησιέστερες σε c εντός Ball(c,2α). Αναμενόμενο συνολικό κόστος μέχρι πρώτη facility σε θέση inner απαίτησης f (εξυπ.) + f (εγκατ.) = 2f. Αναμενόμενο κόστος για κάθε επόμενη inner απαίτηση u 2d(F,u) 2(d * u + 2α). Αναμενόμενο κόστος για inner: c a Ανεξάρτητο από σειρά εμφάνισής τους. Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012)
36 Ανάλυση Outer απαιτήσεις όσες δεν είναι inner. Έστω d(f,c)=β όταν outer απαίτηση u: d(f,u) d * u +β. Για «εκτίμηση» β, χρησιμοποιούμε τυχαία διάταξη απαιτήσεων και αναμενόμενο κόστος inner απαιτήσεων. Έστω v τελευταία inner απαίτηση πριν u: β d(f,v)+d * v v «επιλέγεται» ισοπίθανα μεταξύ inner απαιτήσεων: u a c β Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) v w
37 Ανάλυση Συνολικό αναμενόμενο κόστος για inner απαιτήσεις: Συνολικό αναμενόμενο κόστος για outer απαιτήσεις: Συνολικό αναμενόμενο κόστος: Λόγος προσέγγισης 8 (μπορεί να βελτιωθεί λίγο). Με αυθαίρετη σειρά εμφάνισης, λόγος ανταγωνισμού: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα (ΠΜΣ, Χειμώνας 2012) Πιθανότητες και Αλγόριθμοι 37
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός αλγόριθμος κάνει τυχαίες επιλογές και εξαρτά
Διαβάστε περισσότεραΠιθανοτικοί Αλγόριθμοι
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός
Διαβάστε περισσότεραΠιθανότητες και Αλγόριθμοι
Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΜέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή
Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή,
Διαβάστε περισσότεραApproximation Algorithms for the k-median problem
Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές Διωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραυναμικός Προγραμματισμός
υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Ορισμός Frequency moments
The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Quicksort ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία. Υποπροσθετικότητα. Η Πιθανοτική Μέθοδος (The Probabilistic Method)
Μαθηματικά Πληροφορικής Πιθανοτικά Εργαλεία Δύο βασικά εργαλεία από τη Θεωρία Πιθανοτήτων. 1 Υποπροσθετικότητα (Union Bound). 2 Γραμμικότητα Αναμενόμενης Τιμής (Linearity of Expectation). Τμήμα Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Πρόβλημα Ταξινόμησης. Μέθοδοι Ταξινόμησης. Συγκριτικοί Αλγόριθμοι
Πρόβλημα Ταξινόμησης Quicksort Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1, α 2,..., α n
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:
Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερες Διαδρομές Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη Διαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Μικροαλλαγές: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Quicksort [Hoare, 6] Στοιχείο διαχωρισμού (pivot),
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[ ] με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k,
Διαβάστε περισσότεραΔυϊκότητα. Δημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Δυϊκότητα Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιστοποίηση Άνω Φράγματος Έχει το ΓΠ εφικτή λύση με κόστος 2; Ναι, π.χ. [0, 1, 3, 0, 2, 0,
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός Προγραμματισμός
Δυναμικός Προγραμματισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Τροποποιήσεις /προσθήκες: Α. Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διωνυμικοί Συντελεστές
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων
Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραQuicksort. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Quicksort ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες Διαδρομές
Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
Διαβάστε περισσότεραn ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 27 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Κατανεμημένα Συστήματα Ι 4η Διάλεξη 1 Συναίνεση χωρίς την παρουσία σφαλμάτων Προηγούμενη
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Επιμέλεια διαφανειών: Δημήτρης Φωτάκης (λίγες προσθήκες: Άρης Παγουρτζής) Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας
Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σκ της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα Χ=(Χ, Χ,, Χ ) από πληθυσμό το
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Επιλογή ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός k, 1 k n. Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση
Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραQuicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1
Quicksort [Hoare, 62] Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Quicksort 1 Quicksort [Hoare, 62] Στοιχείο διαχωρισµού (pivot), π.χ. πρώτο, τυχαίο, Αναδιάταξη και διαίρεση εισόδου σε δύο υπο-ακολουθίες:
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΣυντομότερες ιαδρομές
Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΕπιλογή. Πρόβλημα Επιλογής. Μέγιστο / Ελάχιστο. Εφαρμογές
Επιλογή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πρόβλημα Επιλογής Πίνακας Α[]με n στοιχεία (όχι ταξινομημένος). Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραpdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Διαβάστε περισσότεραΔιδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διμελής Σχέση Διατεταγμένο ζεύγος (α, β):
Διαβάστε περισσότεραLearning k-modal distributions via testing
Μάθηση k-τροπικών κατανομών μέσω δοκιμών Learning k-modal distributions via testing Ιωσήφ Μουλίνος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 8 Ιουνίου 2017 ΕΜΠ Μάθηση k-τροπικών κατανομών 8 Ιουνίου 2017 1 / 20 Επιβλεπόμενη
Διαβάστε περισσότεραΣχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραΓνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός
Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
Διαβάστε περισσότερα