ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΓΕΙΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΥΓΡΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΥΠΟ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΓΕΙΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΥΓΡΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΥΠΟ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΣ ΤΡΥΦΩΝΟΣ Πολιτικός Μηχανικός ΠΑΤΡΑ, 2017 i

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε κατά τα έτη στον Τομέα των Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Πατρών, στα πλαίσια της απόκτησης του Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης, Αντισεισμικός Σχεδιασμός των Κατασκευών. Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καθηγητές μου, για τις γνώσεις και την υποστήριξη που μου παρείχαν καθ όλη τη διάρκεια των Προπτυχιακών και Μεταπτυχιακών μου σπουδών. Θα ήθελα να ευχαριστήσω ιδιαίτερα τον επιβλέποντα καθηγητή κ. Ευστάθιο Μπούσια για τη συνεχή καθοδήγηση και βοήθεια που μου παρείχε κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω τους συμφοιτητές και τους φίλους μου, οι οποίοι με στήριξαν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους γονείς μου και τα αδέλφια μου για τη συνεχή υποστήριξη που μου παρείχαν όλα αυτά τα χρόνια. Θα ήθελα να αφιερώσω τη διατριβή μου στη μνήμη του πατέρα μου Παύλου. ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διατριβή εξετάζεται το πρόβλημα της σεισμικής διέγερσης ενός υπόγειου αγωγού μεταφοράς Υγροποιημένου Φυσικού Αερίου (LNG). Το πρόβλημα αυτό ανήκει στην κατηγορία προβλημάτων Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής, γι αυτό και για την επίλυσή του χρειάζεται ειδική μελέτη. Η παρούσα διατριβή εκπονείται στα πλαίσια ενός Ευρωπαϊκού προγράμματος με την ονομασία Experimental & Computational Hybrid Assessment of Natural Gas Pipelines Exposed to Seismic Risk (EXCHANGE-RISK). Σε αυτό το πρόγραμμα θα εκτελεστούν πειραματικές δοκιμές, αναλυτικές προσομοίωσες και υβριδικές δοκιμές έτσι ώστε να εκτιμηθεί ο σεισμικός κίνδυνος που αντιμετωπίζουν οι αγωγοί μεταφοράς φυσικού αερίου. Στόχος της παρούσας διατριβής είναι απόκτηση των απαραίτητων γνώσεων που αφορούν ένα πρόβλημα σεισμικής διέγερσης υπογείου αγωγού, έτσι ώστε να αξιοποιηθούν σε μεταγενέστερο στάδιο. Στο Κεφάλαιο 1 της διατριβής γίνεται μια παρουσίαση του του προβλήματος του αγωγού, τονίζοντας τη σημασία έργων τέτοιου βεληνεκούς και τις συνέπειες από τυχόν αστοχία. Στη συνέχεια γίνεται μια επεξήγηση του όρου Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής, ενώ παρουσιάζονται οι μέθοδοι αντιμετώπισης τέτοιου είδους προβλημάτων. Το πρόβλημα στη γενική του περίπτωση ξεφεύγει από τα όρια της παρούσας διατριβής, γι αυτό και εξηγούνται οι διάφορες αποποιήσεις και παραδοχές που έγιναν, για να γίνει εφικτή η λύση μέρους του προβλήματος. Τέλος, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια θέματα που θα μελετηθούν μέσα στα πλαίσια του προγράμματος EXCHANGE-RISK, δίνοντας έμφαση στις Υβριδικές Δοκιμές. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται παρουσίαση κάποιων εισαγωγικών εννοιών της Μηχανικής των Υλικών, όπως είναι οι τάσεις και οι ανηγμένες παραμορφώσεις. Εισάγονται έννοιες όπως οι κύριες, εκτροπικές και οκταεδρικές τάσεις-παραμορφώσεις, με σκοπό την καλύτερη κατανόηση του καταστατικού νόμου των εδαφών, ο οποίος παρουσιάζεται στο Κεφάλαιο 4. Επίσης παρουσιάζονται οι σχέσεις τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων και οι διάφορες σταθερές που τις συνδέουν. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζονται οι ίδιες σχέσεις σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης, η οποία μπορεί να θεωρηθεί σε πολλά προβλήματα Εδαφομηχανικής. Το Κεφάλαιο 3 αναφέρεται στις βασικές αρχές της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Αρχικά γίνεται η διατύπωση της βασικής εξίσωσης κίνησης σώματος σύμφωνα με την Αρχή των Δυνατών Έργων. Στη συνέχεια εισάγεται η έννοια των συναρτήσεων μορφής, οι οποίες αποτελούν σημαντικό κριτήριο για την αξιοπιστία της μεθόδου. Παρουσιάζονται επίσης τα Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία, τα οποία χρησιμοποιούνται ευρέως σε προσομοιώσεις εδαφών. Έμφαση δίνεται στο τετράκομβο ισοπαραμετρικό στοιχείο επίπεδης παραμόρφωσης, το οποίο χρησιμοποιήθηκε στις αναλύσεις κατά την παρούσα διατριβή. Τα Ισοπαραμετρικά στοιχεία χρησιμοποιούν συνήθως αριθμητική ολοκλήρωση Gauss για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας. Στο τέλος παρουσιάζεται η μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss, ενώ εξετάζεται και η περίπτωση μειωμένης τάξης ολοκλήρωσης, καθώς και οι συνέπειες της στην αξιοπιστία των αποτελεσμάτων. Στο Κεφάλαιο 4 γίνεται μια αναλυτική περιγραφή των καταστατικών νόμων των εδαφών. Παρουσιάζεται το υλικό προσομοίωσης και οι καταστατικές εξισώσεις για αμμώδη εδάφη, ενώ στη συνέχεια για αργιλικά. Τα αμμώδη υλικά περιγράφονται με υλικά πολλαπλής διαρροής που εξαρτώνται από την ενεργό τάση περίσφιξης, σε αντίθεση με τα αργιλικά που είναι ανεξάρτητα της τάσης αυτής. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζεται ένα απλό αριθμητικό παράδειγμα μη- iii

4 γραμμικής στατικής φόρτισης τύπου Pushover σε ένα τετράκομβο στοιχείο αργιλικού υλικού. Στόχος του παραδείγματος είναι η κατανόηση των καταστατικών εξισώσεων ενός εδαφικού υλικού. Επίσης γίνεται και σύγκριση των αποτελεσμάτων για επιλογή δύο διαφορετικών τιμών των επιφανειών διαρροής. Στο Κεφάλαιο 5 ελέγχεται η αξιοπιστία του πεπερασμένου στοιχείου SSPQuad, το οποίο χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση του εδαφικού υλικού με δύο διαφορετικούς τρόπους. Αρχικά γίνεται ο έλεγχος συρραφής προκειμένου να ελεγχθεί αν το στοιχείο ικανοποιεί τις απαιτήσεις σύγκλισης. Στη συνέχεια αναλύονται οι βασικές εξισώσεις της μονοδιάστατης διάδοσης σεισμικών κυμάτων. Η θεώρηση της μονοδιάστατης διάδοσης σεισμικών κυμάτων αποτελεί μια αρχική απλοποιημένη θεώρηση, έτσι ώστε να γίνει πιο εύκολη η κατανόηση διάδοσης σεισμικών κυμάτων στο χώρο. Στο τέλος του κεφαλαίου παρουσιάζεται ένα μονοδιάστατο παράδειγμα διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων καθ ύψος μιας εδαφικής στήλης. Σε αυτό το παράδειγμα γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων του στοιχείου SSPQuad με δύο άλλα πεπερασμένα στοιχεία, έτσι ώστε να επαληθευτεί η αξιοπιστία του σε ένα μη-γραμμικό δυναμικό πρόβλημα. Στο Κεφάλαιο 6 παρουσιάζεται η θεωρία διάδοσης σεισμικών κυμάτων σε πραγματικά εδάφη, ενώ παράλληλα εξηγείται πώς εφαρμόζεται αυτή η θεωρία στη ΜΠΣ. Αρχικά εισάγονται βασικές έννοιες όπως είναι τα κύματα επιφανείας Rayleigh και Love, ενώ εξηγούνται εν συντομία φαινόμενα όπως η ανάκλαση, η διάθλαση και η διασπορά σεισμικών κυμάτων. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στην απόσβεση των εδαφών. Γίνεται ανάλυση των όρων απόσβεση ακτινοβολίας, ιξώδης απόσβεση, υστερητική απόσβεση και απόσβεση Rayleigh. Ακολούθως αναλύονται οι σημαντικότεροι παράγοντες που επηρεάζουν την ακρίβεια και την ευστάθεια της μεθόδου, δηλαδή το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων και το χρονικό βήμα της ανάλυσης. Επιπλέον εξηγούνται οι συνοριακές συνθήκες Lysmer που υιοθετήθηκαν στην παρούσα διατριβή. Τέλος, δίνονται κάποιες πρόσθετες πληροφορίες για τους παράγοντες που επηρεάζουν την ταχύτητα επίλυσης του συστήματος εξισώσεων με τη ΜΠΣ. Το Κεφάλαιο 7 εστιάζει στην προσομοίωση του μεταλλικού αγωγού. Στην αρχή παρουσιάζεται το προσομοίωμα δοκού DisplacementBeamColumn Element που χρησιμοποιήθηκε κατά μήκος του μέλους και το προσομοίωμα ινών σε επίπεδο διατομής. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά στις προϋπάρχουσες διαμήκεις τάσεις που καταπονούν τον αγωγό κατά τη σεισμική διέγερση. Περιγράφονται οι ιδιότητες των μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler, τα οποία προσομοιώνουν τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στη διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού. Αρχικά περιγράφονται οι ιδιότητες τους σε μονοτονική φόρτιση, ενώ ακολούθως περιγράφεται ο καταστατικός τους νόμος σε ανακυκλιζόμενη φόρτισή. Στο τέλος του κεφαλαίου γίνεται μια αναφορά στη διαφορική εξίσωση κίνησης του αγωγού, ενώ δίνονται κάποιες πληροφορίες για τα είδη και τις ιδιότητες των διαφόρων συνδέσεων που υλοποιούνται στους αγωγούς. Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζεται η κυρίως ανάλυση ενός συνεχούς χαλύβδινου αγωγού που βρίσκεται μέσα σε ένα εδαφικό στρώμα άμμου. Αρχικά παρουσιάζονται τα δεδομένα του προβλήματος και στη συνέχεια ακολουθεί η ανάλυση. Η ανάλυση χωρίζεται σε δύο μέρη, την ανάλυση του εδάφους και την ανάλυση του αγωγού. Στο πρώτο μέρος της ανάλυσης, παρουσιάζεται αναλυτικά η διαδικασία που ακολουθήθηκε για την εύρεση του κατάλληλου μεγέθους του πλέγματος των πεπερασμένων στοιχείων, αλλά και των παραμέτρων της απόσβεσης Rayleigh. Αρχικά εφαρμόζεται η ανάλυση βαρύτητας στο έδαφος και στη συνέχεια η σεισμική iv

5 διέγερση. Η σεισμική διέγερση έγινε για δύο πραγματικές σεισμικές καταγραφές: (1) Αίγιο, 15/06/1995, Μw = 6.2, PGA = 0.50 g, (2) Northridge, California από καταγραφή στο σταθμό Rinaldi, 17/01/1994, Μw = 6.7, PGA = 0.84 g. Στη συνέχεια γίνεται παρουσίαση και σχολιασμός των διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων, αλλά και των οριζόντιων και κατακόρυφων επιταχύνσεων που αναπτύσσονται σε κάποια επιλεγμένα σημεία του εδάφους. Ακολουθεί το δεύτερο μέρος της ανάλυσης που αποτελείται από τη σεισμική διέγερση του αγωγού. Παρουσιάζονται αρχικά οι μετατοπίσεις-επιταχύνσεις στην αρχή και το πέρας του αγωγού. Πριν την πραγματοποίηση της διέγερσης, αναλύονται κάποια στοιχεία για την Κινηματική και την Αδρανειακή αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού. Ακολουθούν τα αποτελέσματα της ανάλυσης. Σχολιάζονται οι μέγιστες τάσεις που καταγράφηκαν κατά μήκος του αγωγού, καθώς και η συμπεριφορά των μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler. Τέλος, πραγματοποιείται μια παραμετρική διερεύνηση της επιρροής του βάθους που βρίσκεται ο αγωγός, αλλά και της διατομής του. Το γενικό συμπέρασμα που προέκυψε από την εκπόνηση της παρούσας διατριβής είναι ότι το πρόβλημα της σεισμικής διέγερσης ενός υπογείου αγωγού αποτελεί ένα πολύ δύσκολο εγχείρημα. Τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την εκπόνηση της διατριβής παρουσιάζονται αναλυτικά στο Κεφάλαιο 9. Οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν τη σεισμική απόκριση ενός υπογείου αγωγού σύμφωνα με την παρούσα διατριβή είναι οι εξής: το είδος και η διεύθυνση των σεισμικών κυμάτων που αναμένεται να επηρεάσουν την τοποθεσία του αγωγού, οι τοπικές εδαφικές συνθήκες, η μέγιστη εδαφική επιτάχυνση και το βάθος που βρίσκεται ο αγωγός. Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων χρησιμοποιείται σε τέτοιου είδους αναλύσεις. Παράγοντες που επηρεάζουν την αξιοπιστία και την ταχύτητα της μεθόδου είναι: το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων, το χρονικό βήμα επίλυσης και το είδος των πεπερασμένων στοιχείων που θα χρησιμοποιηθούν. Θα πρέπει να γίνει σαφές ότι η παρούσα διατριβή δεν αποτελεί μια πλήρη σεισμική μελέτη ενός υπόγειου μεταλλικού αγωγού. Το πρόβλημα που μελετήθηκε, αποτελεί ένα πρόβλημα διάδοσης σεισμικών κυμάτων μέσα σε ένα κατακόρυφο επίπεδο παράλληλο με τον άξονα του αγωγού. Στη γενικότερη περίπτωση, η σεισμική διέγερση θα βρίσκεται σε τυχαία διεύθυνση σε σχέση με τον άξονα του αγωγού. Τέλος, μια πλήρης σεισμική μελέτη του αγωγού θα πρέπει να περιλαμβάνει επίσης, προβλήματα Μόνιμων Εδαφικών Παραμορφώσεων (Permanent Ground Deformation PGD). v

6 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... ii Περίληψη... iii Πίνακας Περιεχομένων... vi Κατάλογος Σχημάτων... x Κατάλογος Πινάκων... xiv 1. Παρουσιαση του προβληματος Μεταφορά διαφόρων μορφών ενέργειας με δίκτυα αγωγών Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής Μέθοδοι προσέγγισης προβλήματος Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής Κινηματική Αλληλεπίδραση (Kinematic Interaction) Αδρανειακή Αλληλεπίδραση (Inertial Interaction) Γενική περιπτωση και απλοποίηση του προβλήματος Γενική περίπτωση του προβλήματος Απλοποίηση του προβλήματος Λογισμικά για την προσομοίωση Πρόγραμμα Exchange-Risk Δοκιμή Snake Test Τοπικές δοκιμές σε συνδέσεις Δοκιμές στο εγγύς πεδίο για ανάπτυξη καμπυλών P-y Ψευδοδυναμικές-Υβριδικές δοκιμές Τάσεις και ανηγμένες παραμορφώσεις Ορθές και διατμητικές τάσεις Κύριες τάσεις και αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων Εκτροπικές τάσεις και αναλλοίωτες του εκτροπικού τανυστή των τάσεων Οκταεδρικά επίπεδα και οκταεδρικές ορθές και διατμητικές τάσεις Ανηγμένες παραμορφώσεις Οκταεδρική ανηγμένη διατμητική παραμόρφωση Σχέσεις τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων Σχέσεις τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων σε προβλήματα Εδαφομηχανικής Επίπεδη παραμόρφωση Η μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) vi

7 3.1 Διατύπωση εξισώσεων ισορροπίας με βάση την Αρχή των Δυνατών Εργων Συναρτήσεις μορφής (σχήματος) και μητρώο παραμορφώσεως Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία και αριθμητική ολοκλήρωση Απεικόνιση του Καρτεσιανού συστήματος στο φυσικό σύστημα Ορθογωνικό στοιχείο επίπεδης παραμόρφωσης τεσσάρων κόμβων και η ισοπαραμετρική του διατύπωση Αριθμητική ολοκλήρωση Καταστατικός νόμος εδαφών Καταστατικός νόμος για αμμώδη εδαφικα υλικα Καταστατικές εξισώσεις αμμώδους υλικού Καταστατικός νόμος για αργιλικά εδαφικά υλικά Καταστατικές εξισώσεις αργιλικού υλικού Παράδειγμα εδαφικού στοιχείου σε μη-γραμμικη στατικη φόρτιση Αποτελέσματα Σύγκριση Αξιοπιστία Τετράκομβου στοιχείου με ένα σταθεροποιημένο σημείο ολοκλήρωσης και μονοδιστατη αναλυση εδαφους Κριτήρια μονοτονικής σύγκλισης Έλεγχος συρραφής Παράδειγμα ελέγχου συρραφής σε τετράκομβο στοιχείο (SSPQuad) Παράδειγμα εδαφικής στήλης υπό οριζόντια σεισμική διέγερση στη βάση της Διάδοση κυμάτων σε μια διάσταση Πρωτεύοντα και Δευτερεύοντα κύματα Εξίσωση διάδοσης κυμάτων σε μια διεύθυνση Συνοριακές συνθήκες στη βάση της στήλης εδάφους Παράδειγμα μονοδιάστατης διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων σε εδαφική στήλη Αποτελέσματα προβλήματος μονοδιάστατης διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων Διάδοση σεισμικών κυμάτων σε πραγματικά εδάφη και προσομοίωση με την ΜΠΣ Εξίσωση διάδοσης κυμάτων στο χώρο Κύματα Rayleigh Κύματα Love Διάδοση κυμάτων σε στρωματωμένο ελαστικό ημιχώρο Απόσβεση εδαφους Απόσβεση ακτινοβολίας (γεωμετρική απόσβεση) Ιξώδης απόσβεση εδαφικού υλικού vii

8 6.3.3 Υστερητική απόσβεση εδαφικού υλικού Απόσβεση Rayleigh Αριθμητική ακρίβεια και ευστάθεια Μετασχηματισμός Fourier Απαιτούμενο μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων Απαιτούμενο χρονικό βήμα Συνοριακές συνθήκες στις δυο διαστασεις Φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης κυμάτων κατά μηκος της επιφάνειας Φαινόμενη ταχύτητα για κύματα S Φαινόμενη ταχύτητα για κύματα Rayleigh Σεισμική διέγερση εισόδου στη βάση λεπτής εδαφικής στήλης στις δύο διαστάσεις Επιπρόσθετες πληροφορίες για την ανάλυση με τη ΜΠΣ Αρίθμηση βαθμών ελευθερίας του συστήματος Η αντίστροφη μέθοδος Cuthill-Mckee Αποθήκευση του μητρώου δυσκαμψίας Αλγόριθμος για εύρεση του μητρώου δυσκαμψίας Αλγόριθμος ολοκλήρωσης Προσομοίωση μεταλλικού αγωγού Στοιχεία δοκού Επιλογή κατάλληλου αριθμού σημείων ολοκληρώσεως και ινών Προυπάρχουσες διαμήκεις τάσεις στον αγωγό Φέρουσα Ικανότητα εδάφους σύμφωνα με τις οδηγίες του American Lifeline Alliance (ALA) 2001 Appendix B Αξονικά ελατήρια (Τ-x) Εγκάρσια ελατήρια (P-y) Κατακόρυφα ελατήρια φέρουσας ικανότητας (Qd-z) Κατακόρυφα ελατήρια ανύψωσης (Qu-z) Φέρουσα Ικανότητα εδάφους υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Αξονικά ελατήρια (t-x) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Εγκάρσια ελατήρια (p-y) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Κατακόρυφα ελατήρια (q-z) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Κινηματική αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού Εξίσωση κίνησης αγωγού viii

9 7.6.1 Διαφορική εξίσωση κίνησης αγωγού στην αξονική διεύθυνση Διαφορική εξίσωση κίνησης αγωγού στην κατακόρυφη διεύθυνση Ταχύτητα διάδοσης κυμάτων στον αγωγό Συνδέσεις αγωγών Συνεχείς αγωγοί Τμηματικοί αγωγοί Προσεγγιστικές σχέσεις για εκτίμηση της διαμήκους παραμόρφωσης Σεισμική διέγερση υπογειου συνεχούς χαλύβδινου αγωγού μεταφοράς υγροποιημένου φυσικού αερίου Πρώτο μέρος ανάλυσης- Ανάλυση εδάφους Εύρεση μεγέθους πεπερασμένων στοιχείων Ανάλυση βαρύτητας Επιλογή παραμέτρων απόσβεσης Rayleigh Σεισμική διέγερση στη βάση του εδάφους Αποτελέσματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων Αποτελέσματα επιταχύνσεων Δευτερο μέρος ανάλυσης - Ανάλυση αγωγου Επιταχύνσεις - Μετατοπίσεις στα διάφορα σημεία του αγωγού Κινηματική Αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού Ιδιότητες μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler Επιτρεπόμενες Τάσεις - Παραμορφώσεις Αποτελέσματα τάσεων στον αγωγό Αποτελέσματα Αδρανειακής Αλληλεπίδρασης εδάφους-αγωγού (Ελατήρια Winkler) Επιρροή βάθους αγωγού Επιρροή της διατομής του αγωγού Συμπεράσματα Περαιτερω διερεύνηση Παράγοντες που επηρεάζουν τη σεισμική απόκριση του αγωγού Παράγοντες που επηρεάζουν την αξιοπιστία και την ταχύτητα ανάλυσης Παράγοντες που επηρεάζουν την ταχύτητα ανάλυσης Περαιτερω διερεύνηση Βιβλιογραφία ix

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Δίκτυο αγωγού μεταφοράς φυσικού αερίου Trans Adriatic Pipeline (TAP) Σχήμα 1.2 Μέθοδος άμεσης ανάλυσης Σχήμα 1.3 Λόγος της κίνησης στο ελεύθερο πεδίο προς την κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης ufim/ug συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης ω και του βάθους έμπηξης D Σχήμα 1.4 Επιρροή της αδρανειακής αλληλεπίδρασης στη φασματική επιτάχυνση (τέμνουσα βάσης) που οφείλεται στην επιμήκυνση της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου και της αύξησης της απόσβεσης Σχήμα 1.5 Τρισδιάστατη προσομοίωση συστήματος εδάφους-αγωγού με πεπερασμένα στοιχεία Σχήμα 1.6 Σχεδιάγραμμα διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την ανάλυση και την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων Σχήμα 1.7 Πειραματική διάταξη Snake Test Σχήμα 1.8 Δοκιμή σε σύνδεση Σχήμα 1.9 Πειραματική διάταξη δοκιμής για ανάπτυξη καμπυλών P-y Σχήμα 1.10 Πλατφόρμα UT-SIM Σχήμα 2.1 Ορθή και διατμητική δύναμη σε ένα εμβαδόν ΔΑ στερεού σώματος Σχήμα 2.2 Σύμβαση προσήμου που χρησιμοποιείται στην κλασσική μηχανική Σχήμα 2.3 Σύμβαση προσήμου που χρησιμοποιείται στη γεωτεχνική μηχανική Σχήμα 2.4 Υδροστατικός άξονας και εκτροπικό επίπεδο στο σύστημα κυρίων αξόνων Σχήμα 2.5 Οκταεδρικά επίπεδα στο σύστημα κυρίων αξόνων Σχήμα 2.6 Παραμορφωμένη μορφή στοιχειώδους ορθογωνίου πλευρών dx και dy Σχήμα 3.1 Απεικόνιση στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου στο Καρτεσιανό σύστημα Σχήμα 3.2 Απεικόνιση στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου στο φυσικό σύστημα Σχήμα 3.3 Τετράκομβο ορθογωνικό πεπερασμένο στοιχείο τύπου Lagrange Σχήμα 3.4 Απεικόνιση ισοπαραμετρικού τετράπλευρου στο Καρτεσιανό σύστημα Σχήμα 3.5 Απεικόνιση ισοπαραμετρικού τετράπλευρου στο φυσικό σύστημα Σχήμα 3.6 Τετράπλευρα στοιχεία: (α) 1 ης, (β) 2 ης και (γ) 3 ης τάξης αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss Σχήμα 3.7 Ακριβής και η μειωμένη ολοκλήρωση σε τετράπλευρα στοιχεία Σχήμα 3.8 Σχηματική απεικόνιση ιδιομορφών τετράκομβου στοιχείου Σχήμα 3.9 Φαινόμενο κλειδώματος τέμνουσας (shear locking) Σχήμα 3.10 Στοιχείο 9 κόμβων με μειωμένη ολοκλήρωση 2 x 2 (εμφάνιση shear locking) Σχήμα 3.11 Στοιχείο 9 κόμβων με πλήρη ολοκλήρωση 3 x 3 (αντιμετώπιση shear locking) Σχήμα 4.1 Υπερβολική καμπύλη-σκελετός τάσεων-παραμορφώσεων εδαφικών υλικών Σχήμα 4.2 Απεικόνιση των καμπυλών διαρροής αμμώδους εδαφικού υλικού στον τρισδιάστατο τασικό χώρο των κύριων ενεργών τάσεων Σχήμα 4.3 Απόκριση αμμώδους υλικού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ και p - τ. Σχήμα 4.4 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης συναρτήσει της διατμητικής παραμόρφωσης για το αργιλικό υλικό Σχήμα 4.5 Απεικόνιση των καμπυλών διαρροής αργιλικού εδαφικού υλικού στον τρισδιάστατο τασικό χώρο των κύριων ενεργών τάσεων Σχήμα 4.6 Απόκριση αργιλικού υλικού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ και p - τ. x

11 Σχήμα 4.7 Τετράκομβο ορθογωνικό στοιχείο υπό μονοτονική φόρτιση τύπου Pushover Σχήμα 4.8 Καμπύλη τoct γoct για 20 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.9 Καμπύλη τoct γoct για 20 επιφάνειες διαρροής (τιμές γoct ως 10-3 ) Σχήμα 4.10 Καμπύλη τoct γoct για 8 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.11 Καμπύλη τoct γoct για 8 επιφάνειες διαρροής (τιμές γoct ως 10-3 ) Σχήμα 4.12 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης για 20 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.13 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης για 8 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 5.1 Έλεγχος συρραφής σε δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων. Φόρτιση συνοριακών κόμβων έτσι ώστε να επικρατεί σε όλο το δίκτυο σταθερή ένταση Σχήμα 5.2 Ισοδύναμη επικόμβια φόρτιση Σχήμα 5.3 (α) Τάση σx = 10 KPa, (β) Τάση σy = 15 KPa, (γ) Τάση τxy = 5 KPa, Σχήμα 5.4 Διάδοση διαμήκων κυμάτων (Primary P-waves) Σχήμα 5.5 Διάδοση εγκαρσίων κυμάτων (Secondary S-waves) Σχήμα 5.6 Εδαφική στήλη ύψους h που εδράζεται σε βράχο ή πολύ σκληρή εδαφική στρώση Σχήμα 5.7 Σχηματική απεικόνιση εδαφικής στήλης Σχήμα 5.8 Οριζόντια επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους για στοιχείο: (α) SSPQuad, (β) Quad, (γ) Nine Four Node Quad-UP Σχήμα 5.9 Σύγκριση αποτελεσμάτων στοιχείων SSPQuad και Quad Σχήμα 5.10 Σύγκριση αποτελεσμάτων στοιχείων SSPQuad και Nine Four Node Quad-UP Σχήμα 5.11 Οριζόντια επιτάχυνση στη βάση εδάφους: (α) Επιθυμητή, (β) Καταγεγραμμένη Σχήμα 5.12 Σύγκριση επιθυμητής και καταγεγραμμένης επιτάχυνσης στη βάση του εδάφους Σχήμα 6.1 (α) Διάδοση κυμάτων Love, (β) Διάδοση κυμάτων Rayleigh Σχήμα 6.2 Πρόσπτωση σε διαχωριστική επιφάνεια: (α) Κύμα P, (β) Κύμα SV, (γ) Κύμα SH Σχήμα 6.3 Λόγος απόσβεσης σε αμμώδη εδαφικά υλικά, συναρτήσει ενεργού τάσης περίσφιξης και διατμητικής παραμόρφωσης (Seed et al. 1986) Σχήμα 6.4 Απαιτούμενος αριθμός πεπερασμένων στοιχείων σε ένα μήκος κύματος Σχήμα 6.5 Περιοδικές συνοριακές συνθήκες Σχήμα 6.6 Αποσβεστήρες τύπου Lysmer στα σύνορα του εδαφικού τομέα Σχήμα 6.7 Θεώρηση κυμάτων ανάλογα με την απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού Σχήμα 6.8 Φαινόμενη ταχύτητα για διάδοση εγκαρσίων κυμάτων S Σχήμα 6.9 Φαινόμενη ταχύτητα για διάδοση κυμάτων Rayleigh Σχήμα 6.10 Αιτίες που μπορεί να προκαλέσουν χωρικά μεταβαλλόμενη εδαφική κίνηση: (α) Wave passage effect, (β) Extended source effect, (γ) Ray path effect Σχήμα 6.11 Κάνναβος με ορθογωνικά πεπερασμένα στοιχεία Σχήμα 6.12 Αρίθμηση κόμβων κατά γραμμές και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας Σχήμα 6.13 Αρίθμηση κόμβων κατά στήλες και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας Σχήμα 6.14 Τυχαία αρίθμηση κόμβων και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας Σχήμα 6.15 Αποθήκευση μητρώου δυσκαμψίας σε: (α) Πλήρη μορφή, (β) Συμμετρική μορφή, (γ) Μορφή λωρίδας, (δ) Μορφή προφίλ, (ε) Αραιή μορφή Σχήμα 7.1 (α) προσομοίωμα δοκού κατανεμημένης πλαστικότητας, (β) προσομοίωμα ινών Σχήμα 7.2 Διαμήκης τάση αγωγού από ανάλυση με στοιχεία κελύφους (Shell MITC4) Σχήμα 7.3 Τάση Δακτυλίου αγωγού από ανάλυση με στοιχεία κελύφους (Shell MITC4) Σχήμα 7.4 Διαμήκης τάση αγωγού από ανάλυση με στοιχεία τύπου Brick xi

12 Σχήμα 7.5 Διγραμμική σχέση δύναμης -παραμόρφωσης εδάφους Σχήμα 7.6 Μη-γραμμικά ελατήρια Winkler σε τρεις κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις Σχήμα 7.7: (α) Ελατήρια για κυκλικούς πασσάλους, (β) ελατήρια για πέδιλα Σχήμα 7.8 Καμπύλες (t-x) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος,(β) για αμμώδες έδαφος Σχήμα 7.9 Καμπύλες (p-y) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος, (β) για αμμώδες έδαφος Σχήμα 7.10 Καμπύλες (q-z) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος, (β) για αμμώδες έδαφος Σχήμα 7.11 Παράδειγμα συνεχούς αγωγού μεταφοράς LNG με συγκολλητές συνδέσεις Σχήμα 7.12 (α) Σύνδεση με λιωμένο μόλυβδο (Lead Caulked Joint), (β) Σύνδεση με ελαστικό περίβλημα (Rubber Gasketed Joint) Σχήμα 7.13 (α) Προσομοίωση σύνδεσης με ελαστικό περίβλημα με αξονικό και στροφικό ελατήριο, (β) Ασύμμετρος νόμος αξονικού ελατηρίου, (γ) Συμμετρικός νόμος στροφικού ελατηρίου Σχήμα 8.1 Σεισμική διέγερση (1) Αίγιο 15/06/1995 Σχήμα 8.2 Σεισμική διέγερση (2) Northridge, California 17/01/1994 Σχήμα 8.3 (α) Ενεργός τάση περίσφιξης, (β) Μέτρο διάτμησης εδάφους, (γ) Ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων και διαμήκων κυμάτων στο έδαφος Σχήμα 8.4 Μετασχηματισμός Fourier της σεισμικής διέγερσης (1) Σχήμα 8.5 Μετασχηματισμός Fourier της σεισμικής διέγερσης (2) Σχήμα 8.6 Κατακόρυφη τάση σz που επικρατεί υπό συνθήκες βαρύτητας Σχήμα 8.7 Πρώτες τέσσερεις ιδιοσυχνότητες του εδάφους Σχήμα 8.8 Διαχωρισμός εδάφους σε τρείς στρώσεις για την επιλογή του λόγου απόσβεσης Σχήμα 8.9 Γραφική απεικόνιση της εφαρμογής της Εξ για την εύρεση της φαινόμενης ταχύτητας διέγερσης για τους δύο σεισμούς Σχήμα 8.10 Διαγράμματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων για σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο 1, (β) Σημείο 2, (γ) Σημείο 3 Σχήμα 8.11 Διαγράμματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων για σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο 1, (β) Σημείο 2, (γ) Σημείο 3 Σχήμα 8.12 Διάγραμμα διατμητικών παραμορφώσεων-χρόνου στο σημείο 1 για διέγερση (1) Σχήμα 8.13 Διάγραμμα διατμητικών παραμορφώσεων-χρόνου στο σημείο 1 για διέγερση (2) Σχήμα 8.14 Οριζόντια επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ Σχήμα 8.15 Κατακόρυφη επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ Σχήμα 8.16 Οριζόντια επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ Σχήμα 8.17 Κατακόρυφη επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ Σχήμα 8.18 Σύγκριση οριζόντιας επιτάχυνσης στην επιφάνεια και τη βάση για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.19 Σύγκριση οριζόντιας επιτάχυνσης στην επιφάνεια και τη βάση για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.20 Οριζόντιες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) xii

13 Σχήμα 8.21 Κατακόρυφες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.22 Οριζόντιες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.23 Κατακόρυφες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.24 Οριζόντιες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.25 Κατακόρυφες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.26 Οριζόντιες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.27 Κατακόρυφες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.28 (α) Ιδιότητες ελατηρίου Τ-x, (β) Ιδιότητες ελατηρίου Q-z Σχήμα 8.29 Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (1) Σχήμα 8.30 Απόκριση ελατηρίου Q-z για σεισμική διέγερση (1) Σχήμα 8.31 (α) Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (2) Σχήμα 8.32 (α) Οριζόντια μετατόπιση εδάφους και αγωγού στο μέσον το αγωγού Σχήμα 8.33 Απόκριση ελατηρίου Q-z για σεισμική διέγερση (2) Σχήμα 9.1 Πρόβλημα Μόνιμης Εδαφικής Παραμόρφωσης: (α) Κανονικό ρήγμα, (β) Οριζόντιο ρήγμα xiii

14 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 2.1 Σχέσεις μεταξύ ελαστικών σταθερών Πίνακας 3.1 Θέσεις και βάρη των σημείων Gauss Πίνακας 3.2 Ιδιομορφές τετράκομβου στοιχείου επίπεδης ελαστικότητας Πίνακας 7.1 Ποσοστό σφάλματος συναρτήσει αριθμού ινών Πίνακας 7.2 Συντελεστής τριβής ανάλογα με το υλικό εξωτερικής επένδυσης του αγωγού Πίνακας 8.1 Σύγκριση τιμών ιδιοσυχνοτήτων που βρέθηκαν διεγείροντας το σύστημα, με αυτές που βρέθηκαν με αυτές που υπολογίστηκαν από την Εξ Πίνακας 8.2 Παράμετροι απόσβεσης Rayleigh Πίνακας 8.3 Αποτελέσματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων Πίνακας 8.4 Τάσεις που αναπτύσσονται στον αγωγό για τις τρεις υποθέσεις βάθους xiv

15 1 1. ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΜΕ ΔΙΚΤΥΑ ΑΓΩΓΩΝ Σήμερα δίκτυα αγωγών χρησιμοποιούνται ευρέως ανά το παγκόσμιο για τη μεταφορά διαφόρων μορφών ενέργειας. Το 2014 το συνολικό μήκος των αγωγών σε όλο το κόσμο ανερχόταν σε περίπου 3.5 εκατομμύρια χιλιόμετρα. Διάφορα υγρά και αέρια όπως νερό, πετρέλαιο και φυσικό αέριο μπορούν να μεταφερθούν στον προορισμό τους μέσω δικτύων αγωγών. Συγκεκριμένα το φυσικό αέριο σήμερα παίζει πολύ σημαντικό ρόλο για την παροχή ενέργειας στην Ευρωπαϊκή Ένωση. Αναμένεται στα επόμενα 25 χρόνια να αυξηθεί από το ένα πέμπτο στο ένα τρίτο της συνολικής παροχής ενέργειας στην Ευρώπη, γι αυτό και δαπανούνται αρκετά εκατομμύρια ευρώ για τη μεταφορά φυσικού αερίου μέσω δικτύων υπογείων αγωγών. Πρόσφατο παράδειγμα είναι το Trans Adriatic Pipeline (TAP), που συνδέεται με το Trans Anatolian Pipeline (TANAP), που μεταφέρει φυσικό αέριο από το Αζερμπαϊτζάν στην Κεντρική Ευρώπη, και για το οποίο δαπανήθηκαν 1.5 δισεκατομμύρια. Έργα υψίστης σημασίας σαν και το TAP πρόκειται να περάσουν από περιοχές που με πολύ υψηλό σεισμικό κίνδυνο όπως η Ελλάδα και η Ιταλία, όπως φαίνεται στο Σχ Πιθανή αστοχία σε αγωγό φυσικού αερίου λόγω σεισμού αναμένεται να έχει τεράστιες επιπτώσεις τόσο οικονομικές όσο και περιβαλλοντικές, αφού πρόκειται για έργα με μεγάλες διαστάσεις που επηρεάζουν πολλά εκατομμύρια πληθυσμό. Σεισμοί μετρίου μεγέθους που αναμένεται να μην δημιουργήσουν μεγάλες ζημίες σε κατοικίες μπορούν να προκαλέσουν διαρροή φυσικού αερίου ή ακόμα και έκρηξη και να θέσουν σε άμεσο κίνδυνο ανθρώπινες ζωές. Συμπέρασμα είναι ότι θα πρέπει να γίνει μια εκτενής μελέτη για τη σεισμική προστασία αγωγών φυσικού αερίου, έτσι ώστε να αποφευχθούν τα πιο πάνω. Στην παρούσα διατριβή μελετάται αγωγός μεταφοράς υγροποιημένου φυσικού αερίου (LNG) υπό υψηλή εσωτερική πίεση, ο οποίος υπόκειται σε ισχυρή σεισμική δόνηση. Ο αγωγός είναι υπόγειος, γεγονός που παίζει σημαντικό ρόλο στην προσέγγιση του προβλήματος. Σε συνήθεις κατασκευές όπως κτίρια, γέφυρες και φράγματα οι οριζόντιες δυνάμεις αδράνειας είναι αυτές που καθορίζουν τη σεισμική απόκρισή τους, γεγονός που δεν ισχύει για υπόγειους αγωγούς. Οι δυνάμεις αδράνειας σε τέτοιες κατασκευές περιορίζονται από το έδαφος [32], όμως σημαντικό ρόλο παίζουν οι διαφορικές παραμορφώσεις του εδάφους που μπορούν να προκαλέσουν μεγάλες ζημίες. Για παράδειγμα η ρευστοποίηση ενός εδάφους ή μεγάλη διαφορά δυσκαμψίας μεταξύ δύο εδαφικών στρώσεων μπορούν να προκαλέσουν μεγάλες μόνιμες παραμορφώσεις στον αγωγό. Οι παράγοντες που επηρεάζουν τη σεισμική απόκριση ενός υπογείου αγωγού είναι το είδος του υλικού του αγωγού, το είδος του εδαφικού υλικού, οι συνθήκες στήριξής του, το βάθος του, η εσωτερική πίεση και φυσικά το είδος της σεισμικής κίνησης [13]. Η περιγραφή του του εδαφικού υλικού δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση αφού το έδαφος αποτελεί ένα κοκκώδες υλικό που δεν έχει σταθερή σύσταση στο χώρο, σε αντίθεση με κάποιο συνεχές δομικό υλικό που έχει γνωστές μηχανικές ιδιότητες. Αυτό σε συνδυασμό με την τυχαιότητα της σεισμικής κίνησης αποτελούν τις μεγαλύτερες προκλήσεις για τον αντισεισμικό σχεδιασμό των υπόγειων αγωγών. Τέτοιου είδους προβλήματα ονομάζονται προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, και για τη λύση τους χρειάζεται ειδική μελέτη. Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία για το φαινόμενο αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής.

16 2 Σχήμα 1.1 Δίκτυο αγωγού μεταφοράς φυσικού αερίου Trans Adriatic Pipeline (TAP) [Διαδίκτυο] 1.2 ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ-ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ Η απόκριση μιας κατασκευής γενικώς επηρεάζεται από την αλληλεπίδραση τριών συζευγμένων συστημάτων, την κατασκευή, τη θεμελίωσή της και το έδαφος. Αυτή η αλληλεπίδραση μεταξύ των τριών αυτών συστημάτων ονομάζεται στη βιβλιογραφία Αλληλεπίδραση Εδάφους-Θεμελίωσης-Κατασκευής (SFSI) ή και Αλληλεπίδραση Εδάφους- Κατασκευής (SSI) εάν η θεμελίωση θεωρείται μέλος της κατασκευής. Το ελεύθερο πεδίο είναι το έδαφος το οποίο δεν επηρεάζεται από τυχών δονήσεις κάποιας κατασκευής ή για παράδειγμα από τη διασκόρπιση κυμάτων (scattering waves) κοντά σε ένα θεμέλιο. Όμως η πραγματική εδαφική κίνηση στη θεμελίωση μιας κατασκευής διαφέρει από την κίνηση ελευθέρου πεδίου. Θεωρητικά αυτή η κίνηση θα ήταν πανομοιότυπη μόνο στην περίπτωση μιας τελείως άκαμπτης αβαρούς θεμελίωσης που στηρίζεται σε ένα άκαμπτο έδαφος. Όμως στην πραγματικότητα η θεμελίωση έχει πεπερασμένη δυσκαμψία και μάζα, όπως και το έδαφος με αποτέλεσμα να υπάρχει απόκλιση μεταξύ της εδαφικής κίνησης στο ελεύθερο πεδίο (Free Field Motion- FFM) και της πραγματικής εδαφικής κίνησης στη στάθμη της θεμελίωσης (Foundation Input Motion FIM) [26]. Οι αποκλίσεις αυτών των δύο κινήσεων χωρίζονται σε δύο ειδών αλληλεπιδράσεις: (i) Κινηματική Αλληλεπίδραση (Kinematic Interaction) και (ii) Αδρανειακή Αλληλεπίδραση (Inertial Interaction).

17 Μέθοδοι προσέγγισης προβλήματος Αλληλεπίδρασης Εδάφους-Κατασκευής Άμεση ανάλυση (Direct analysis) Στην άμεση ανάλυση το έδαφος προσομοιώνεται σαν ένα συνεχές μέσον με πεπερασμένα στοιχεία επιφανειακά ή χωρικά ανάλογα με τις διαστάσεις του προβλήματος (επιφανειακά για 1D και 2D, χωρικά για 3D). To έδαφος συνδέεται στην κατασκευή με κατάλληλα στοιχεία διεπιφάνειας τα οποία αντιπροσωπεύουν την τριβή μεταξύ των επιφανειών. Η κατασκευή προσομοιώνεται με γραμμικά ή επιφανειακά στοιχεία ανάλογα με το φαινόμενο που μελετάται. Επίσης το έδαφος πρακτικά εκτείνεται στο άπειρο, γι αυτό και πρέπει να δοθούν οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες στα σύνορα του υπολογιστικού τομέα για να γίνει σωστή η προσομοίωσή του. Η άμεση ανάλυση μπορεί να δώσει μια πολύ καλή προσέγγιση του πραγματικού προβλήματος, παρ όλα αυτά η χρήση της αποτελεί ένα αρκετά δύσκολο εγχείρημα. Η ενσωμάτωση της κινηματικής αλληλεπίδρασης αποτελεί πρόκληση, αφού χρειάζεται να γίνει προσδιορισμός των χωρικά μεταβαλλόμενων εδαφικών κινήσεων σε τρεις διαστάσεις. Το μεγαλύτερο μειονέκτημα όμως της μεθόδου είναι ο υπολογιστικός χρόνος και χώρος που χρειάζεται για να εφαρμοστεί. Για να γίνει μια σωστή αναπαράσταση ενός σεισμικού γεγονότος σε ένα σύστημα εδάφους-κατασκευής χρειάζονται αρκετές χιλιάδες πεπερασμένα στοιχεία, ενώ το βήματα της χρονοϊστορίας πρέπει να είναι πολύ μικρά, γεγονός που καθιστά τη χρήση της μεθόδου πολύ δύσκολη έως απίθανη σε κάποιες περιπτώσεις. Σχήμα 1.2 Μέθοδος άμεσης ανάλυσης [26]

18 Μέθοδος Υποκατασκευών (Substructure Approach) Η μέθοδος των υποκατασκευών είναι μια προσέγγιση της άμεσης ανάλυσης που πολλές φορές δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα, γεγονός που κάνει τη χρήση της ευρέως διαδεδομένη. Κατά τη μέθοδο αυτή η ανάλυση χωρίζεται σε τέσσερα βήματα: (i) εκτίμηση της εδαφικής κίνησης ελεύθερου πεδίου και των ιδιοτήτων του εδάφους, (ii) εκτίμηση των συναρτήσεων μεταφοράς που θα μετατρέψουν την εδαφική κίνηση στο ελεύθερο πεδίο στην εδαφική κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης, (iii) προσδιορισμός κατάλληλων ελατηρίων και αποσβεστήρων που αντιπροσωπεύουν τη δυσκαμψία και την απόσβεση στη διεπιφάνεια εδάφους-κατασκευής, (iv) ανάλυση χρονοϊστορίας του συστήματος κατασκευής-ελατηρίων/αποσβεστήρων με διέγερση εισόδου την εδαφική κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης Κινηματική Αλληλεπίδραση (Kinematic Interaction) Η κινηματική αλληλεπίδραση προέρχεται από την παρουσία μιας δύσκαμπτης κατασκευής που εδράζεται πάνω σε έδαφος, με αποτέλεσμα η εδαφική κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης να διαφέρει από αυτήν του ελεύθερου πεδίου, δηλαδή απουσίας της κατασκευής. Αυτό το φαινόμενο σχετίζεται μόνο με τη δυσκαμψία μιας κατασκευής και όχι με τη μάζα της. Θεωρητικά αν κάποια κατασκευή είχε μηδενική μάζα θα εμφανιζόταν πάλι το φαινόμενο αυτό. Το φαινόμενο αυτό είναι εξαρτώμενο της συχνότητας διέγερσης. Γενικώς η κινηματική αλληλεπίδραση είναι ευεργετική για την κατασκευή, αφού η εδαφική κίνηση στη βάση της θεμελίωσης είναι μικρότερη από την εδαφική κίνηση στο ελεύθερο πεδίο. Ένας από τους κυριότερους παράγοντες που επηρεάζουν την κινηματική αλληλεπίδραση είναι η δυσκαμψία μιας κατασκευής. Τα προσπίπτοντα κύματα πιθανόν να φτάσουν στα διάφορα σημεία μιας θεμελίωσης σε διαφορετικούς χρόνους με αποτέλεσμα η εδαφική κίνηση να είναι χωρικά μεταβαλλόμενη. Όμως αυτό δεν είναι συμβατό με τις μετακινήσεις μιας πολύ δύσκαμπτης πλάκας θεμελίωσης, αφού αυτή λόγω της μεγάλης δυσκαμψίας της συμπεριφέρεται ως ένα άκαμπτο σώμα. Αποτέλεσμα αυτής της ασυμβατότητας των κινήσεων του εδάφους και της άκαμπτης πλάκας είναι ότι η εδαφική κίνηση καθ όλο το μήκος της θεμελίωσης τροποποιείται. Το φαινόμενο ονομάζεται ομογενοποίηση κυματικού πεδίου κάτω από την πλάκα (base slab averaging). Πολύ σημαντικός παράγοντας που μερικές φόρες παίζει σημαντικότερο ρόλο από το base slab averaging είναι το βάθος έμπηξης της θεμελίωσης. Αναλυτικές σχέσεις αναπτύχθηκαν από τους Kausel et al (1978) και Day (1978) σε θεμελιώσεις εμπηγμένες μέσα στο έδαφος, οι οποίες υπόκεινται σε κατακόρυφα εγκάρσια κύματα [26]. Οι σχέσεις αυτές εκφράζουν την εδαφική κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης συναρτήσει της κίνησης του ελευθέρου πεδίου. Σύμφωνα με αυτές τις σχέσεις η εδαφική κίνηση στη βάση της θεμελίωσης μειώνεται όσο αυξάνεται τη βάθος της θεμελίωσης. Σύμφωνα με το Σχ. 1.3 ο λόγος της κίνησης στο ελεύθερο πεδίο προς την κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης που εκφράζεται σαν μια συνάρτηση μεταφοράς (Hu = ufim/ug), μπορεί να φτάσει μέχρι το 45% για κάποιες ψηλές συχνότητες διέγερσης. Για μεγαλύτερες συχνότητες από το 75% της θεμελιώδους συχνότητας του εδάφους παρατηρείται κορεσμός αυτής της μείωσης αυτής. Με την αύξηση του βάθους έμπηξης εμφανίζεται όμως το φαινόμενο της στροφής της θεμελίωσης γύρω από τον οριζόντιο άξονα γνωστό ως λυκνισμός (rocking). Ό λόγος είναι ότι

19 5 υπάρχουν διαφορικές μετακινήσεις καθ ύψος της θεμελίωσης με αποτέλεσμα αυτή να στρίβει. Κορεσμός της τιμής της στροφής παρατηρείται για συχνότητες μεγαλύτερες της θεμελιώδους συχνότητας του εδάφους σύμφωνα με το Σχ Σχήμα 1.3 Λόγος της κίνησης στο ελεύθερο πεδίο προς την κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης ufim/ug συναρτήσει της συχνότητας διέγερσης ω και του βάθους έμπηξης D [26] Αδρανειακή Αλληλεπίδραση (Inertial Interaction) Ο όρος αδρανειακή αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής σχετίζεται με τις αδρανειακές δυνάμεις που αναπτύσσονται στην κατασκευή λόγω της επιτάχυνσης που αναπτύσσεται σε μια δυναμική φόρτιση όπως ο σεισμός. Διαφορικές μετακινήσεις και στροφές της θεμελίωσης σε σχέση με το έδαφος παράγονται λόγω του φαινομένου αυτού. Κάποιές φορές θεωρείται ότι η θεμελίωση μιας κατασκευής είναι πακτωμένη στο έδαφος. Σε αυτές τις περιπτώσεις αγνοείται το φαινόμενο της αδρανειακής αλληλεπίδρασης. Για να ληφθεί υπόψιν το φαινόμενο θα πρέπει να υιοθετηθούν κατάλληλα ελατήρια και αποσβεστήρες που να προσομοιώνουν τη διεπιφάνεια εδάφους-κατασκευής. Στη γενική περίπτωση η θεώρηση έδρασης μιας κατασκευής σε ελατήρια και ιξώδεις αποσβεστήρες είναι ευεργετική για την κατασκευή λόγω του φαινομένου της επιμήκυνσης της περιόδου (period lengthening). Η θεμελιώδης ιδιοπερίοδος μιας κατασκευής με θεώρηση ελατηρίων στη βάση της θεμελίωσης είναι μεγαλύτερη από την ιδιοπερίοδο της ίδιας κατασκευής που εδράζεται σε πακτωμένη στο έδαφος θεμελίωση. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση της φασματικής επιτάχυνσης για συνήθεις κατασκευές με θεμελιώδη ιδιοπερίοδο που βρίσκεται μετά τον ανιόντα κλάδο του φάσματος επιτάχυνσης. Στην περίπτωση μιας πολύ δύσκαμπτης

20 6 κατασκευής που η θεμελιώδης ιδιοπερίοδος βρίσκεται στον ανιόντα κλάδο το φαινόμενο αυτό οδηγεί στην αύξηση της φασματικής επιτάχυνσης και κατ επέκταση της τέμνουσας βάσης. Εκτός από το φαινόμενο της επιμήκυνσης της περιόδου υπάρχει αύξηση της απόσβεσης της κατασκευής λόγω της αλληλεπίδρασης με το έδαφος. Αυτή η απόσβεση οφείλεται σε δύο παράγοντες, 1) την υστερητική απόσβεση του εδάφους (hysteretic soil damping), και 2) την απόσβεση λόγω ακτινοβολίας (radiation damping). Η απόσβεση είναι εξαρτώμενη της συχνότητας και προσομοιώνεται συνήθως με ιξώδεις αποσβεστήρες. Η αύξηση της απόσβεσης οδηγεί σε περαιτέρω μείωση της φασματικής επιτάχυνσης μιας κατασκευής. Στο Σχ. 1.4 φαίνεται η επιρροή της επιμήκυνσης της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου και της αύξησης της απόσβεσης μιας κατασκευής στη φασματική επιτάχυνση (τέμνουσα βάσης). Σχήμα 1.4 Επιρροή της αδρανειακής αλληλεπίδρασης στη φασματική επιτάχυνση (τέμνουσα βάσης) που οφείλεται στην επιμήκυνση της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου και της αύξησης της απόσβεσης [26] 1.3 ΓΕΝΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Γενική περίπτωση του προβλήματος Όπως προαναφέρθηκε το πρόβλημα της σεισμικής μελέτης ενός υπόγειου αγωγού αποτελεί πρόβλημα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής. Οι διαφορικές κινήσεις του εδάφους αποτελούν τη μεγαλύτερη απειλή για τον αγωγό. Για το λόγο αυτό θε πρέπει να είναι γνωστή η κίνηση του εδάφους σε πολλά σημεία του αγωγού. Η άμεση μέθοδος αποτελεί μια πολύ καλή προσέγγιση του πραγματικού προβλήματος, αλλά μειονεκτεί στο γεγονός ότι χρειάζεται τεράστιο υπολογιστικό χρόνο για την ανάλυση. Το πρόβλημα στη γενική του περίπτωση αποτελεί πρόβλημα διάδοσης σεισμικών κυμάτων σε όλες τις διευθύνσεις. Αναγκαία είναι η τρισδιάστατη ανάλυση για την ακριβής προσομοίωση του προβλήματος (Σχ. 1.5). Το έδαφος, ο αγωγός και η διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού θα πρέπει να προσομοιωθούν με πολλές χιλιάδες χωρικά πεπερασμένα στοιχεία. Η τρισδιάστατη ανάλυση ενός

21 7 τόσο μεγάλου συστήματος απαιτεί τεράστιο υπολογιστικό χρόνο, γι αυτό και η εφαρμογή της είναι σχεδόν απαγορευτική στις περισσότερες περιπτώσεις. Η εφαρμογή της μπορεί να γίνει εφικτή με μια εξειδικευμένη διαδικασία σε σύγχρονους υπολογιστές που ονομάζεται παράλληλη επεξεργασία (multi-processing). Σχήμα 1.5 Τρισδιάστατη προσομοίωση συστήματος εδάφους-αγωγού με πεπερασμένα στοιχεία [Διαδίκτυο] Απλοποίηση του προβλήματος Μια τρισδιάστατη προσομοίωση του συστήματος ξεφεύγει από τα όρια της παρούσας διατριβής. Για τους λόγους που προαναφέρθηκαν αποφασίστηκε να μελετηθεί μόνο ένα μέρος του προβλήματος, έτσι ώστε να είναι εφικτή η ανάλυση στις δύο διαστάσεις. Η σεισμική διέγερση θα είναι εντός ενός κατακόρυφου επιπέδου (επίπεδο yz του Σχ. 1.5) το οποίο θα είναι παράλληλο με τον άξονα του αγωγού. Με αυτήν την απλοποίηση δεν μπορεί να ληφθεί υπόψιν η συμπεριφορά του αγωγού υπό εγκάρσια φόρτιση, αλλά μόνο υπό κατακόρυφη και αξονική φόρτιση. Μια δισδιάστατη προσομοίωση απαιτεί αρκετά μεγάλο υπολογιστικό χρόνο, αλλά πολύ μειωμένο σε σχέση με την τρισδιάστατη. Εάν εφαρμοστεί η άμεση ανάλυση, έδαφος και αγωγός θα πρέπει να προσομοιωθούν ταυτόχρονα στην ίδια ανάλυση έτσι ώστε να αποτυπωθεί σωστά το πρόβλημα της κινηματικής και της αδρανειακής αλληλεπίδρασης. Λόγω του ότι επιλέχθηκε να γίνει δισδιάστατη ανάλυση του εδάφους, θα πρέπει αυτό να προσομοιωθεί με επιφανειακά πεπερασμένα στοιχεία, ο αγωγός με πεπερασμένα στοιχεία τύπου δοκού, ενώ κατάλληλα στοιχεία τριβής για την προσομοίωση της διεπιφάνειας εδάφους-αγωγού. Τελικά έγινε επιλογή να εφαρμοστεί η μέθοδος των υποκατασκευών έναντι της άμεσης ανάλυσης. Αρχικά θα πραγματοποιηθεί μια ανάλυση του εδάφους σε συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης, και στη συνέχεια θα πραγματοποιηθεί μια ανάλυση μόνο με τον αγωγό σύμφωνα με τα αποτελέσματα της πρώτης ανάλυσης. Στη δεύτερη

22 8 ανάλυση οι οριζόντιες και κατακόρυφες επιταχύνσεις (μετατοπίσεις) του εδάφους εφαρμόζονται σε διάφορα σημεία κατά μήκος του αγωγού, ο οποίος προσομοιώνεται με στοιχεία δοκού που εδράζονται σε μη-γραμμικά ελατήρια τύπου Winkler, τα οποία αντιπροσωπεύουν τη διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού (BNWF model). Οι λόγοι που οδήγησαν στην επιλογή της μεθόδου των υποκατασκευών ήταν οι εξής: (1) Ένα σύστημα μη-γραμμικών εξισώσεων με στοιχεία εδάφους, στοιχεία διεπιφάνειας και στοιχεία αγωγού είναι πολύ δύσκολο στην επίλυση του. Τα στοιχεία διεπιφάνειας παρουσιάζουν προβλήματα αστάθειας σε μη-γραμμικές αναλύσεις με αποτέλεσμα αρκετές φορές η λύση του συστήματος να αποκλίνει. (2) Επίσης με αυτό τον τρόπο θα υπάρχει ευελιξία στις αναλύσεις, αφού ο αγωγός δεν έχει συγκεκριμένη θέση, γεωμετρία και συνθήκες στήριξης. Στο δεύτερο μέρος της ανάλυσης θα είναι δυνατή η αλλαγή της θέσης, γεωμετρίας και των συνθηκών στήριξης του αγωγού με μία μόνο επίλυση του εδάφους. Στο παρόν πρόβλημα μεταλλικού αγωγού η κινηματική αλληλεπίδραση για λόγους που θα εξηγηθούν στη συνέχεια είναι αμελητέα και μπορεί να αγνοηθεί. Έτσι η εδαφική κίνηση του ελευθέρου πεδίου συμπίπτει με την κίνηση του εδάφους στη στάθμη του αγωγού. Στην αντίθετη περίπτωση θα έπρεπε να υπολογιστούν οι κατάλληλες συναρτήσεις μεταφοράς για να βρεθεί η εδαφική κίνηση στη στάθμη του αγωγού κατά τη δεύτερη ανάλυση. Σε συνήθεις κατασκευές όπου δεν χρειάζεται να είναι γνωστή η χωρικά μεταβαλλόμενη εδαφική κίνηση, μπορεί να γίνει παράκαμψη της ανάλυσης του εδάφους. Η εδαφική κίνηση συνήθως είναι γνωστή πάνω στο βράχο. Ανάλογα με τον τύπο του εδάφους η κίνηση αυτή μπορεί να αναχθεί προσεγγιστικά στην κίνηση στη στάθμη της θεμελίωσης. Βέβαια σε αυτήν την περίπτωση θα πρέπει να γίνει εισαγωγή κάποιας ιξώδους απόσβεσης στη διεπιφάνεια εδάφους-κατασκευής. Αυτοί οι ιξώδεις αποσβεστήρες αντιπροσωπεύουν την απόσβεση ακτινοβολίας και την υστερητική απόσβεση του εδάφους. Αντίθετα στο παρόν πρόβλημα, η απόσβεση ακτινοβολίας και η απόσβεση του εδάφους λαμβάνονται υπόψιν άμεσα στην πρώτη ανάλυση του εδάφους. Μειονέκτημα της δισδιάστατης ανάλυσης σε σχέση με την τρισδιάστατη, είναι η υπερεκτίμηση τη απόσβεσης ακτινοβολίας, γι αυτό και θα πρέπει να γίνει κατάλληλη επιλογή της απόσβεσης του εδαφικού υλικού για να μην υπάρχει υπερβολική πλασματική διάχυση ενέργειας από το σύστημα. 1.4 ΛΟΓΙΣΜΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Όλες οι αναλύσεις πραγματοποιήθηκαν με το λογισμικό OpenSees (Open System of Earthquake Engineering Simulation), το οποίο αναπτύχθηκε από το University of Berkeley, California. Το συγκεκριμένο λογισμικό δεν διαθέτει γραφικό περιβάλλον (GUI). Έτσι έγινε η οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων μέσω του λογισμικού Pre and Post Processor GID [19], το οποίο χρησιμοποιήθηκε μόνο ως Post Processor. Για να μπορούν τα αποτελέσματα του OpenSees να είναι συμβατά με το GID χρειάζονται κάποια τροποποίηση. Η τροποποίηση των αποτελεσμάτων για να είναι σε μορφή συμβατή με το GID έγινε με τη χρήση του λογισμικού Matlab. Τέλος το Matlab χρησιμοποιήθηκε επίσης στη δημιουργία των καταλλήλων αρχείων διέγερσης εισόδου στα διάφορα σημεία εδάφους και στη συνέχεια στα διάφορα σημεία του αγωγού κατά τη δεύτερη ανάλυση. Στο Σχ. 1.6 παρουσιάζεται συνοπτικά η διαδικασία που ακολουθήθηκε για την εκτέλεση των αναλύσεων. Επίσης στα επόμενα κεφάλαια παρουσιάζεται αναλυτικά το θεωρητικό υπόβαθρό που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα διατριβή.

23 Σχήμα 1.6 Σχεδιάγραμμα διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την ανάλυση και την οπτικοποίηση των αποτελεσμάτων 9

24 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ EXCHANGE-RISK Η παρούσα διατριβή εκπονείται στα πλαίσια ενός Ευρωπαϊκού προγράμματος με την ονομασία Experimental & Computational Hybrid Assessment of Natural Gas Pipelines Exposed to Seismic Risk (EXCHANGE-RISK). Το πρόγραμμα συντονίζεται από το University of Bristol, και έχει ως κύριο σκοπό την προώθηση τεχνογνωσίας ανάμεσα στον ακαδημαϊκό και το βιομηχανικό τομέα για θέματα που αφορούν το σεισμικό κίνδυνο σε αγωγούς μεταφοράς φυσικού αερίου στην Ευρώπη, τις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής και τον Καναδά. Το πρόγραμμα αυτό άρχισε το 2016 και έχει συνολική διάρκεια 48 μήνες. Σε αυτό το πρόγραμμα θα διεξαχθούν μεταξύ άλλων οι εξής δοκιμές: Δοκιμή Snake Test Τοπικές δοκιμές σε συνδέσεις Δοκιμές στο εγγύς πεδίο για ανάπτυξη καμπυλών P-y Υβριδικές δοκιμές στον αγωγό Δοκιμή Snake Test Σκοπός της δοκιμής είναι να βρεθεί το προφίλ των μετακινήσεων στον αγωγό, αλλά και η επαλήθευση των αναλυτικών αποτελεσμάτων. Η δοκιμή αυτή αποτελείται από φυσικό προσομοίωμα του εδάφους και του κοντινού-μέσου πεδίου υπό κάποια κλίμακα. Εγκάρσιες μετατοπίσεις θα επιβληθούν ψευδό-στατικά στον άξονα του αγωγού, οι οποίες θα υπολογιστούν αναλυτικά από ανάλυση στο μακρινό πεδίο. Σχήμα 1.7 Πειραματική διάταξη Snake Test [Διαδίκτυο]

25 Τοπικές δοκιμές σε συνδέσεις Σκοπός των δοκιμών αυτών, είναι να αναγνωριστούν οι κυριότεροι μηχανισμοί αστοχίας σε εύκαμπτες συνδέσεις μεταξύ τμημάτων του αγωγού. Πειράματα εφελκυσμού, τοπικού λυγισμού και εγκάρσιας φόρτισης θα διεξαχθούν έτσι ώστε να βρεθεί αναμενόμενη συμπεριφορά του αγωγού. Σχήμα 1.8 Δοκιμή σε σύνδεση [Διαδίκτυο] Δοκιμές στο εγγύς πεδίο για ανάπτυξη καμπυλών P-y Στόχος αυτών των δοκιμών είναι η ανάπτυξη καμπυλών αλληλεπίδρασης εδάφους-αγωγού P-y για εγκάρσια φόρτιση στον αγωγό, τόσο για μονοτονική αλλά και ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Η δοκιμή θα διεξαχθεί σε ένα πολύ μικρό μέρος του αγωγού, το οποίο θα βρίσκεται ανάμεσα σε δύο πλάκες πακτωμένες σε τοίχο αντίδρασης και συνδεδεμένες με σεισμική τράπεζα. Οι δύο αυτές πλάκες θα είναι συνδεδεμένες στον αγωγό με έμβολα. Με οριζόντια διέγερση της σεισμικής τράπεζας θα προσομοιωθεί η φόρτιση του αγωγού σε οριζόντια εγκάρσια φόρτιση. Σχήμα 1.9 Πειραματική διάταξη δοκιμής για ανάπτυξη καμπυλών P-y [Διαδίκτυο]

26 Ψευδοδυναμικές-Υβριδικές δοκιμές Η Ψευδοδυναμική Μέθοδος (Pseudo-Dynamic Simulation) αποτελεί μια σχετικά πρόσφατη μέθοδο δοκιμών, η οποία προτάθηκε από τους Hakuno et al και εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στην πράξη από τους Takanashi et al Αρχικά η μέθοδος αυτή εφαρμοζόταν μόνο Ψευδοδυναμικά (Pseudo-Dynamic Simulation), αλλά με την πρόοδο της τεχνολογίας η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί και σε πραγματικό χρόνο (Real-Time Simulation). Η υλοποίηση της συμβατικής ψευδοδυναμικής μεθόδου απαιτεί τον ίδιο εξοπλισμό με μια στατική δοκιμή. Περιλαμβάνει ένα τυποποιημένο ελεγκτή τύπου PID (proportional-integralderivative) και σερβοϋδραυλικά έμβολα με σερβοβαλβίδες τροφοδοτούμενα από αντλία παροχής λαδιού υπό υψηλή πίεση. Το προσομοίωμα της κατασκευής και η επίλυση της εξίσωσης κίνησης υλοποιούνται σε υπολογιστή εκτός του ελεγκτή με κατάλληλο λογισμικό. Ένας τρόπος εκτέλεσης της μεθόδου είναι με τη μέθοδο των υποκατασκευών. Συχνά σε κατασκευές προκαλούνται βλάβες μόνο σε συγκεκριμένα σημεία. Το γεγονός αυτό κάνει περιττή τη δοκιμή ολόκληρης της κατασκευής. Έτσι μια αποτελεσματική και οικονομική προσέγγιση, είναι η φυσική προσομοίωση μέρους της κατασκευής το οποίο θεωρείται κρίσιμο, ενώ η υπόλοιπη κατασκευή μπορεί να προσομοιωθεί αναλυτικά εφόσον υπάρχουν αξιόπιστα προσομοιώματα. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Υβριδική Μέθοδος, για το λόγο ότι συνδυάζει φυσικά και αναλυτικά προσομοιώματα. Πρόφτανα άρχισαν να διενεργούνται οι λεγόμενες Γεωγραφικά Κατανεμημένες Υβριδικές Δοκιμές. Οι διάφορες υποκατασκευές δεν είναι ανάγκη να βρίσκονται στο ίδιο εργαστήριο, αλλά με τη βοήθεια της τεχνολογίας και του διαδικτύου είναι δυνατή η διεξαγωγή πειραμάτων από εργαστήρια σε διάφορα μέρη του κόσμου ταυτόχρονα. Με αυτό το τρόπο μπορεί να συνδυαστούν οι δυνατότητες διαφόρων ερευνητικών ομάδων έτσι ώστε να επιτευχθεί το βέλτιστο αποτέλεσμα [3] Πλατφόρμα UT-SIM Η πλατφόρμα UT-SIM αναπτύχθηκε αρχικά από τους Kwon et al στο University of Illinois με αρχική ονομασία UI-SimCor. Η νεότερη έκδοση με την ονομασία UT-SIM Framework, αναπτύχθηκε από τον Kwon et al στο University of Toronto. Το λογισμικό διαχειρίζεται την επικοινωνία των διαφόρων υποκατασκευών (modules), χρησιμοποιώντας διάφορα πρωτόκολλα επικοινωνίας όπως το TCPIP. Το UT-SIM επιλύει τη διαφορική εξίσωση δυναμικής ισορροπίας λαμβάνοντας τα απαραίτητα στοιχεία από τις υποκατασκευές, τόσο για τη δημιουργία του αρχικού μητρώου δυσκαμψίας, όσο και κατά τη δοκιμή. Η αριθμητική ολοκλήρωση μπορεί να γίνει με τα εξής λογισμικά: UI-SimCor v3.0, OpenSees, Cyrus και S-FRAME. Για τις αναλυτικές υποκατασκευές υποστηρίζει διάφορα λογισμικά πεπερασμένων στοιχείων, όπως το Opensees, Zeus-NL, Abaqus, Vector 2,3,4,5 και DynaSSI. Η επικοινωνία με τα διάφορα λογισμικά γίνεται με ένα ειδικό λογισμικό επαφής που ονομάζεται NICA (Network Interface Console Application). Τέλος, η επικοινωνία του με τις πειραματικές υποκατασκευές γίνεται με το αντίστοιχο ειδικό λογισμικό NICON (Network Interface for Controllers) [3].

27 13 Σχήμα 1.10 Πλατφόρμα UT-SIM [Διαδίκτυο] Υβριδικές δοκιμές στα πλαίσια του προγράμματος Exchange-Risk Στα πλαίσια του προγράμματος θα διεξαχθούν υβριδικές δοκιμές στον αγωγό. Ο αγωγός θα αποτελεί φυσική προκατασκευή, ενώ το έδαφος θα προσομοιωθεί αναλυτικά χρησιμοποιώντας τις καμπύλες P-y που θα αναπτυχθούν. Στόχος των υβριδικών δοκιμών είναι να αναγνωριστούν τα κρισιμότερα μοτίβα παραμορφώσεων σε όρους πλάτους, χρόνου και διεύθυνσης όταν ο αγωγός υπόκειται από χωρικά μεταβαλλόμενη εδαφική κίνηση.

28 14 2. ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΗΓΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Στο παρόν κεφάλαιο παρουσιάζεται το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο σχέσεων τάσεωνανηγμένων παραμορφώσεων για την ανάλυση του εδάφους με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Ο καταστατικός νόμος του εδάφους συνήθως εκφράζεται στο λεγόμενο οκταεδρικό επίπεδο, γι αυτό και γίνεται μια επεξήγηση των όρων οκταεδρικών τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων. 2.1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ Τάση ορίζεται ως η ένταση των εσωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε κάποιες φανταστικές επιφάνειες μεταξύ των σωματιδίων ενός σώματος. Έστω ένα τυχαίο επίπεδο Π που χωρίζει κάποιο στερεό σώμα του Σχ. 2.1 σε δύο μέρη. Θεωρώντας ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, η δύναμη F που ασκείται στο εμβαδόν ΔΑ του επιπέδου Π μπορεί να οριστεί ως εξής: F = F x i + F y j + F z k (2.1) Όπου i, j και k τα μοναδιαία διανύσματα αναφοράς κάθε άξονα. Η δύναμη F μπορεί να αναλυθεί ως προς ένα διάνυσμα n κάθετο στο επίπεδο Π και σε ένα διάνυσμα s παράλληλο προς αυτό. Οι συνιστώσες Fn και Fs ονομάζονται ορθή και διατμητική δύναμη στο εμβαδόν ΔΑ αντίστοιχα. Στην περίπτωση που θεωρηθεί αυτό το εμβαδόν απειροστό, τότε ορίζονται αντίστοιχα η ορθή τάση σn και η διατμητική τάση τ ως εξής: F σ n = lim n ΔΑ 0 ΔΑ F τ = lim s ΔΑ 0 ΔΑ (2.2) (2.3) Σχήμα 2.1 Ορθή και διατμητική δύναμη σε ένα εμβαδόν ΔΑ στερεού σώματος [4]

29 15 Σύμφωνα με τη σύμβαση προσήμου που ακολουθείται στην κλασική μηχανική, ως θετική ορθή τάση θεωρείται η εφελκυστική, ενώ η διατμητική τάση έχει θετική φορά στο επίπεδο του οποίου το κάθετο διάνυσμα με κατεύθυνση προς τα έξω είναι επίσης θετικό, όπως αυτές δίνονται στο Σχ Στην κλασική γεωτεχνική μηχανική ακολουθείται συνήθως η αντίθετη σύμβαση προσήμου, όπως σημειώνεται στο Σχ Έτσι, οι αρχικές τάσεις, οι οποίες είναι συνήθως θλιπτικές, ορίζονται ως θετικές. Στην παρούσα διατριβή ακολουθείται η σύμβαση προσήμου της κλασικής μηχανικής για λόγους συμβατότητας με το λογισμικό που πραγματοποιήθηκε η ανάλυση και τις τυπικές εφαρμογές της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Σχήμα 2.2 Σύμβαση προσήμου που χρησιμοποιείται στην κλασσική μηχανική [4] Σχήμα 2.3 Σύμβαση προσήμου που χρησιμοποιείται στη γεωτεχνική μηχανική [4]

30 16 Σύμφωνα με τον τανυστή των τάσεων του Cauchy περιγράφεται πλήρως η εντατική κατάσταση σε ένα σημείο με εννέα συνιστώσες ως εξής: σ x τ xy τ xz σ = [ τ yx τ zx σ y τ zy τ yz ] σ z (2.4) Λαμβάνοντας υπόψιν τη συμμετρία του τανυστή μπορούμε να τον απεικονίσουμε ως ένα διάνυσμα της μορφής: σ = [σ x σ y σ z τ yz τ xz τ xy] T (2.5) 2.2 ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Κύριες τάσεις ονομάζονται οι ορθές τάσεις οι οποίες δρουν σε επίπεδα στα οποία οι αντίστοιχες διατμητικές τάσεις είναι μηδενικές. Οι τιμές των κυρίων τάσεων είναι ανεξάρτητες του συστήματος συντεταγμένων αναφοράς, οι διευθύνσεις τους όμως εξαρτώνται από αυτό. Οι κύριες τάσεις προκύπτουν από την επίλυση του ιδιοπροβλήματος σ x λ τ xy τ xz τ yx σ y λ τ yz = 0 (2.6) τ zx τ zy σ z λ Από την ορίζουσα προκύπτει η χαρακτηριστική εξίσωση: λ 3 + I 1 λ 2 I 2 λ + I 3 = 0 (2.7) Όπου I1, I2 και Ι3 είναι οι αναλλοίωτες του τανυστή των τάσεων και έχουν τις εξής τιμές: I 1 = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 (2.8) I 2 = σ x σ y + σ y σ z + σ z σ z τ 2 xy τ 2 yz τ 2 zx = σ 1 σ 2 + σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 (2.9) I 3 = σ x σ y σ z + 2 τ xy τ yz τ zx τ 2 xy σ z τ 2 yz σ x τ 2 zx σ y = σ 1 σ 2 σ 3 (2.10) Οι κύριες τάσεις ορίζονται ως εξής: σ 1 = max(λ 1, λ 2, λ 3 ) = I ( I 1 2 3I 2 ) cos φ (2.11) σ 3 = min(λ 1, λ 2, λ 3 ) = I ( I 1 2 3I 2 ) cos (φ 2π 3 ) (2.12) σ 2 = I 1 σ 1 σ 3 = I ( I 1 2 3I 2 ) cos (φ 4π 3 ) (2.13)

31 17 Όπου φ = cos 1 ( 2I 1 3 9I 1 I 2 +27I 3 ) (2.14) 2(I I 2 ) 2 Τέλος ορίζεται και η υδροστατική τάση ή μέση τάση ή τάση περίσφιξης ως εξής: p = I 1 = σ x+σ y +σ z = σ 1+σ 2 +σ (2.15) Ο άξονας κατά τον οποίο ισχύει η σχέση σ 1 = σ 2 = σ 3 = p ονομάζεται υδροστατικός άξονας. Η εντατική κατάσταση που αντιστοιχεί στην ισχύ της πιο πάνω σχέσης ονομάζεται υδροστατική εντατική κατάσταση. Σε αυτήν την εντατική κατάσταση δεν αναπτύσσεται καθόλου διατμητική τάση. Η γωνία μεταξύ των κύριων αξόνων και του υδροστατικού όπως είναι αναμενόμενο είναι ίση και ισούται με Τα συνημίτονα κατευθύνσεως μεταξύ των τριών κύριων αξόνων και του διανύσματος n παράλληλου με τον υδροστατικό ισούνται με: ( 1 3, 1 3, 1 3, ) Σχήμα 2.4 Υδροστατικός άξονας και εκτροπικό επίπεδο στο σύστημα κυρίων αξόνων [33] 2.3 ΕΚΤΡΟΠΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΤΟΥ ΕΚΤΡΟΠΙΚΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Εάν αφαιρεθεί η υδροστατική τάση από τις συνολικές ορθές τάσεις τότε προκύπτει ο αποκλίνων ή εκτροπικός τανυστής των τάσεων:

32 18 s x s xy s xz σ x p τ xy τ xz s = [ s yx s zx s y s zy s yz ] = [ s z τ yx τ zx σ y p τ zy τ yz σ z p ] (2.16) και σε μορφή κύριων εκτροπικών τάσεων: σ 1 p 0 0 s = [ 0 σ 2 p 0 ] (2.17) 0 0 σ 3 p Αντίστοιχα με τις κύριες τάσεις μπορούν να βρεθούν οι αναλλοίωτες του εκτροπικού τανυστή των τάσεων λύνοντας το ιδιοπρόβλημα. Όπου: λ 3 J 1 λ 2 + J 2 λ J 3 = 0 (2.18) J 1 = s 1 +s 2 + s 3 = 0 (2.19) J 2 = σ x + σ y + σ z = 1 [(σ 6 x σ y ) 2 + (σ y σ z ) 2 + (σ z σ x ) 2 ] + τ 2 xy + τ 2 2 yz + τ zx (2.20) = 1 6 [(σ 1 σ 2 ) 2 + (σ 2 σ 3 ) 2 + (σ 3 σ 1 ) 2 ] = I I 2 = 1 2 (s s s 3 2 ) (2.21) J 3 = 2 27 I I 1 I 2 + I 3 = s 1 s 2 s 3 (2.22) Κάθε επίπεδο που είναι κάθετο στον υδροστατικό άξονα ονομάζεται εκτροπικό ή αποκλίνον επίπεδο. Σε κάθε αποκλίνον επίπεδο το άθροισμα των κύριων τάσεων Ι1 είναι σταθερό, άρα και η υδροστατική τάση p = Ι 1 3 είναι σταθερή. Αυτό που αλλάζει είναι οι τιμές των κύριων τάσεων του αποκλίνοντα τανυστή των τάσεων s 1, s 2 και s ΟΚΤΑΕΔΡΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΚΑΙ ΟΚΤΑΕΔΡΙΚΕΣ ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ Οκταεδρικό επίπεδο ονομάζεται το επίπεδο που το διάνυσμα που είναι κάθετο σε αυτό σχηματίζει ίσες γωνίες με τους τρείς κύριους άξονες. Υπάρχουν οκτώ τέτοια επίπεδα στον τασικό χώρο όπως φαίνεται στο Σχ. 2.5, γι αυτό και ονομάζονται οκταεδρικά επίπεδα. Ο υδροστατικός άξονας είναι κάθετος στο οκταεδρικό επίπεδο στο οποίο και οι τρείς κύριες τάσεις είναι θετικές. Άρα το συγκεκριμένο οκταεδρικό επίπεδο είναι και αποκλίνων επίπεδο. Εκφράζοντας την εντατική κατάσταση ενός σημείου σε κάποιο οκταεδρικό επίπεδο τότε έχουμε αντίστοιχα την ορθή οκταεδρική σoct και τη διατμητική οκταεδρική τάση τoct. Οι δύο αυτές συνιστώσες ισούνται με: σ oct = σ 1+σ 2 +σ 3 3 = p = I 1 3 (2.23)

33 19 τ oct = 1 [(σ 3 x σ y ) 2 + (σ y σ z ) (σ z σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 2 zx )] (2.24) τ oct = 2 3 J 2 = 2 3 (I I 2 ) 1 2 (2.25) Παρατηρείται ότι η ορθή οκταεδρική τάση ισούται με την υδροστατική τάση, αφού ο υδροστατικός άξονας συμπίπτει με το κάθετο διάνυσμα στο οκταεδρικό επίπεδο. Σχήμα 2.5 Οκταεδρικά επίπεδα στο σύστημα κυρίων αξόνων [Διαδίκτυο] 2.5 ΑΝΗΓΜΕΝΕΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Όταν σε ένα σώμα ασκείται μια δύναμη, τότε το σώμα παραμορφώνεται ή μετακινείται. Αν στο σώμα υπάρχουν περιορισμοί στην κίνησή του, τότε το σώμα παραμορφώνεται υπό την επήρεια των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό. Έστω ένα υλικό υπό καθεστώς μονοαξονικής θλίψης, με το φορτίο να ασκείται στο ένα άκρο του και στο άλλο να μην επιτρέπονται οι μετακινήσεις. Αν ορίσουμε Δl ένα τμήμα του υλικού και δl την αλλαγή του τμήματος, τότε η απειροστή ανηγμένη μετακίνηση ορίζεται ως εξής: δl ε = lim ΔL 0 ΔL (2.26) Ο πιο πάνω ορισμός ονομάζεται ορθή ανηγμένη παραμόρφωση και αναφέρεται στην περίπτωση που αυτή συμβαίνει κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Η διατμητική ανηγμένη παραμόρφωση ορίζεται ως η αλλαγή της ορθής γωνίας ενός στοιχειώδους παραλληλογράμμου πλευρών dx και

34 20 dy. Στο Σχ. 2.6 φαίνεται ένα στοιχειώδες ορθογώνιο ενός επιπέδου σώματος πριν και μετά την παραμόρφωση, ενώ ακολουθούν οι σχέσεις που δίνουν τις παραμορφώσεις στη γενική τρισδιάστατη περίπτωση. Σχήμα 2.6 Παραμορφωμένη μορφή στοιχειώδους ορθογωνίου πλευρών dx και dy [4] ε x = u x, ε y = v y, ε z = w, (2.27 α, β, γ) z γ xy = v x + u y, γ yz = w y + v z, γ zx = u + w z x (2.27 δ, ε, στ) Ο τανυστής των παραμορφώσεων, όπως και αυτός των τάσεων είναι συμμετρικός και έτσι μπορεί να διατυπωθεί στη μορφή: ε = [ε x ε y ε z γ yz γ xz γ xy] T (2.28) 2.6 ΟΚΤΑΕΔΡΙΚΗ ΑΝΗΓΜΕΝΗ ΔΙΑΤΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Με κατάλληλο μετασχηματισμό συντεταγμένων προσδιορίζεται αντίστοιχα η οκταεδρική ανηγμένη διατμητική παραμόρφωση γoct που δρα στο επίπεδο αυτό από την πιο κάτω σχέση: γ oct = 2 3 [(ε x ε y ) 2 + (ε y ε z ) 2 + (ε z ε x ) (( γ xy 2 )2 + ( γ yz 2 )2 + ( γ zy 2 )2 )] 1 2 (2.29)

35 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΑΝΗΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Oι τάσεις συνδέονται με τις παραμορφώσεις μέσω του γενικευμένου νόμου του Hooke: σ ij = Ε ijkl ε kl (2.30) Οι τάσεις και οι παραμορφώσεις είναι τανύστες δευτέρας τάξης, ενώ το Εijkl είναι τανυστής τέταρτης τάξεως και ονομάζεται Τανυστής Ελαστικότητας. Ο τανυστής ελαστικότητας είναι και αυτός συμμετρικός. Στη γενική περίπτωση περιγράφεται από 36 σταθερές λόγω της συμμετρίας του, ενώ διατυπώνεται ως εξής: Ε 11 Ε 12 Ε 13 Ε 14 Ε 15 Ε 16 Ε 21 Ε 22 Ε 23 Ε 24 Ε 25 Ε 26 Ε = Ε 31 Ε 32 Ε 33 Ε 34 Ε 35 Ε 36 Ε 41 Ε 42 Ε 43 Ε 44 Ε 45 Ε 46 Ε 51 Ε 52 Ε 53 Ε 54 Ε 55 Ε 56 [ Ε 61 Ε 62 Ε 63 Ε 64 Ε 65 Ε 66 ] (2.31) Αυτός ο νόμος με τις 36 διαφορετικές σταθερές ισχύει για τα ανισόρροπα υλικά. Τα υλικά όμως συνήθως έχουν κάποια επίπεδα ή άξονες συμμετρίας με αποτέλεσμα ανάλογα με τη συμμετρία τους να περιγράφονται με λιγότερες σταθερές. Οι κυριότερες κατηγορίες υλικών είναι, τα εγκάρσιως ισότροπα υλικά που έχουν ένα επίπεδο συμμετρίας, τα ορθότροπα που έχουν δύο επίπεδα συμμετρίας και τέλος τα ισότροπα που έχουν τις ίδιες μηχανικές ιδιότητες προς όλες τις διευθύνσεις. Αποδεικνύεται ότι τα ισότροπα υπικά περιγράφονται από μόνο δύο σταθερές ανεξάρτητες μεταξύ τους. Η συνηθέστερη μορφή του νόμου εκφράζεται συναρτήσει του μέτρου ελαστικότητας Ε και του λόγου Poisson ν και είναι η ακόλουθη: Ε = E (1+ν)(1 2 ν) 1 ν ν ν 0 0 [ 0 ν 1 ν ν ν ν 1 ν (1 2 ν)/ (1 2 ν)/ (1 2 ν)/2] (2.32) 2.8 ΣΧΕΣΕΙΣ ΤΑΣΕΩΝ-ΑΝΗΓΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω ο νόμος που περιγράφει τα ισότροπα υλικά μπορεί να εκφραστεί με δύο ανεξάρτητες μεταξύ τους σταθερές. Το έδαφος στη γενική περίπτωση δεν είναι ισότροπο υλικό, αλλά αν αναλυθεί σε επιμέρους στρώσεις, θεωρώντας ότι το υλικό κάθε στρώσης είναι ισότροπο. Εκτός από το μέτρο ελαστικότητας και το λόγο Poisson, οι σχέσεις τάσεων παραμορφώσεων περιγράφονται και από άλλες σταθερές που έχουν φυσική σημασία και είναι σημαντικές για προβλήματα Εδαφομηχανικής. Στον Πίν. 2.1 παρουσιάζονται οι σχέσεις μεταξύ των κυριότερων ελαστικών σταθερών.

36 22 Το G είναι το μέτρο διάτμησης, το οποίο συνδέει τις διατμητικές τάσεις με τις ανηγμένες διατμητικές παραμορφώσεις. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι τρείς εξισώσεις που συνδέουν τις διατμητικές τάσεις και παραμορφώσεις δεν είναι πεπλεγμένες, δηλαδή μια διατμητική τάση παράγει μόνο την αντίστοιχη διατμητική παραμόρφωση. Έτσι ισχύει ότι: τ xy = G γ xy τ yz = G γ yz τ zx = G γ zx (2.33 α, β, γ) Το λ είναι η πρώτη σταθερά του Lame, ενώ το G κάποτε συμβολίζεται με μ που είναι η δεύτερη σταθερά του Lame. Τέλος Κ ορίζεται ως το μέτρο διόγκωσης του υλικού, το οποίο εκφράζει τη συμπιεστότητα ενός υλικού. Εάν το μέτρο διόγκωσης ενός υλικού τείνει προς το άπειρο, τότε το υλικό είναι πρακτικά ασυμπίεστο. Πίνακας 2.1 Σχέσεις μεταξύ ελαστικών σταθερών [4] 2.9 ΕΠΙΠΕΔΗ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Πολλές φορές στα προβλήματα Εδαφομηχανικής η εντατική κατάσταση που επικρατεί είναι εντατική κατάσταση επίπεδης παραμόρφωσης. Πρακτικά οι παραμορφώσεις εκτός ενός επιπέδου, (επίπεδο xz όπως συνηθίζεται) είναι μηδενικές ή περίπου μηδενικές, ισχύει δηλαδή: ε y γ yx γ yz 0 (2.34) Μηδενίζοντας αυτές τις παραμορφώσεις προκύπτει εύκολα ότι: τ xy = 0, τ yz = 0 (2.35 α, β) Επομένως οι σχέσεις τάσεων-ανηγμένων παραμορφώσεων μπορούν πλέον να περιγραφούν από την ακόλουθη σχέση:

37 23 σ x [ σ z ] = τ xz 1 ν ν 0 E [ ν 1 ν 0 (1+ν)(1 2 ν) 0 0 (1 2 ν)/2 ε x ] [ εz ] (2.36) γ xz Επίσης η ορθή τάση στη διεύθυνση y δεν είναι μηδενική, αλλά πολύ πιο μικρή από τις υπόλοιπες και προκύπτει ότι ισούται με: σ y = ν(ε x + ε z ) (2.37) Για συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης η σχέση που δίνει την ανηγμένη οκταεδρική παραμόρφωση παίρνει την εξής μορφή: γ oct = 2 3 [(ε x ε z ) 2 + ε x 2 + ε z ( γ xz )2 ] (2.38)

38 24 3. Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (ΜΠΣ) Η Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων (ΜΠΣ) είναι μία αριθμητική μέθοδος που εφαρμόζεται για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων σε προβλήματα διαφορικών εξισώσεων, ενώ τις τελευταίες δεκαετίες χρησιμοποιείται ευρέως στην Επιστήμη του Πολιτικού Μηχανικού και όχι μόνο. Αν και προσεγγιστική μέθοδος μπορεί να δώσει πολύ ικανοποιητικά αποτελέσματα σε απλά έως πολύ σύνθετα προβλήματα. Μειονέκτημα της μεθόδου είναι η μεγάλη απαίτηση σε υπολογιστική ισχύ, γεγονός που έχει ξεπεραστεί τις τελευταίες δεκαετίες λόγω της ραγδαίας ανάπτυξης των Η/Υ. Η μέθοδος αυτή έχει μεγάλη χρήση και σε προβλήματα Εδαφομηχανικής, αφού το έδαφος μπορεί να οριστεί σαν ένα συνεχές μέσον και να διακριτοποιηθεί σε πολλά επιμέρους πεπερασμένα στοιχεία. Επίσης πεπερασμένα στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε προβλήματα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής, όπως για παράδειγμα η έδραση δοκού θεμελίωσης σε έδαφος με προσομοιώματα ελατηρίων Winkler ή έμπηξη πασσάλων σε έδαφος. Το έδαφος μπορεί να αναλυθεί με πεπερασμένα στοιχεία ως ελαστικό μέσο, παρόλα αυτά η μέθοδος έχει επεκταθεί και σε μη-γραμμικά ανελαστικά προβλήματα, στατικά αλλά και δυναμικά. Αποτελεί ένα πολύ δυνατό εργαλείο για το μηχανικό, αφού υπάρχει αρκετά καλή συμφωνία μεταξύ αναλυτικών προσομοιωτών και πειραμάτων. Στην παρούσα διατριβή μελετάται η αλληλεπίδραση εδάφους με μεταλλικό αγωγό μεταφοράς υγροποιημένου φυσικού αερίου υπό υψηλή πίεση. Το έδαφος μπορεί να προσομοιωθεί με στοιχεία τρισδιάστατης ελαστικότητας όπως είναι τα τετράεδρα και τα εξέδρα, ή κάποιες φορές να προσεγγιστεί το πρόβλημα με στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης όπως είναι τα τρίγωνα και τα τετράπλευρα. Ο μεταλλικός αγωγός μπορεί να προσομοιωθεί είτε με γραμμικά στοιχεία δοκού, με στοιχεία κελύφους ή και στοιχεία τρισδιάστατης ελαστικότητας. Ανάλογα με το φαινόμενο που απαιτείται να μελετηθεί, επιλέγεται το κατάλληλο πεπερασμένο στοιχείο προσομοίωσης. Τέλος εάν πρόκειται να προσομοιωθούν ταυτόχρονα η κατασκευή και το έδαφος, θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν κάποια πεπερασμένα στοιχεία που να προσομοιώνουν τις ιδιότητες της διεπιφάνειας μεταξύ των δύο αυτών ανόμοιων υλικών. 3.1 ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Κατά τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων ο φορέας χωρίζεται σε διακριτά πεπερασμένα στοιχεία τα οποία εφάπτονται μεταξύ τους χωρίς να αφήνουν κανένα κενό, ενώ συνδέονται με τους κόμβους που βρίσκονται στα σύνορα τους. Το σύνολο των στοιχείων αυτών ονομάζεται δίκτυο ή πλέγμα. Η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας βασίζεται στην Αρχή των Δυνατών Έργων. Σύμφωνα με αυτήν το δυνατό έργο των εσωτερικών δυνάμεων, δηλαδή των τάσεων είναι ίσο με το δυνατό έργο των εξωτερικών δυνάμεων, δηλαδή [5]: δw int = δw ext (3.1)

39 25 Όπου: δw int = V δ{ε} Τ {σ(t)} dv (3.2) δw ext = V δ {u} Τ {f V (t)} dv + S δ {u} Τ {f S (t)} + δ{u} Τ {f i (t)} V δ {u} Τ ρ {u (t)} dv (3.3) Το δυνατό έργο των εξωτερικών δυνάμεων αποτελείται από το έργο των εξής δυνάμεων: 1) δυνάμεις όγκου ή μάζας f V (t), όπως για παράδειγμα το ίδιο βάρος ενός σώματος 2) δυνάμεις επιφανείας f S (t), όπως για παράδειγμα η υδροστατική πίεση που ασκείται στην επιφάνεια ενός σώματος 3) επικόμβιες εξωτερικές δυνάμεις f i (t) στους πεπερασμένους κόμβους που ορίζονται στο σώμα 4) δυνάμεις αδράνειας ρ u (t), οι οποίες είναι ανάλογες της πυκνότητας ρ του υλικού και είναι αντίθετες στη φορά κίνησης του σώματος (αρνητικό πρόσημο) Οι αδρανειακές δυνάμεις ασκούνται μόνο όταν υπάρχει επιτάχυνση στο σώμα, δηλαδή για δυναμικά προβλήματα όπως ο σεισμός. Στην αντίθετη περίπτωση που το πρόβλημα είναι στατικό δεν υπάρχουν αδρανειακές δυνάμεις και μηδενίζεται ο τελευταίος όρος της Εξ. 3.3, ενώ παράλληλα οι υπόλοιπες δυνάμεις παύουν να είναι συναρτήσεις του χρόνου t. 3.2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΡΦΗΣ (ΣΧΗΜΑΤΟΣ) ΚΑΙ ΜΗΤΡΩΟ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΣ Η βασική παραδοχή που επηρεάζει σημαντικά την αξιοπιστία της μεθόδου εστιάζεται στον ορισμό ενός προσεγγιστικού πεδίου μετατοπίσεων στο εσωτερικό του κάθε πεπερασμένου στοιχείου. Οι μετατοπίσεις u(u,v,w) στο καθολικό σύστημα σε οποιοδήποτε σημείο P(x,y,z) του φορέα συνθέτουν το πεδίο των μετατοπίσεων που εκφράζεται μέσω των επικόμβιων μετατοπίσεων d. Οι καθολικές μετατοπίσεις συνδέονται με τις επικόμβιες μετατοπίσεις όπως φαίνεται στην πιο κάτω Εξ. 3.4 μέσω των συναρτήσεων μορφής ή συναρτήσεων σχήματος N. Οι συναρτήσεις σχήματος είναι συναρτήσεις των συντεταγμένων x, y, z και εξαρτώνται από τον τύπο του πεπερασμένου στοιχείου, ενώ παίζουν σημαντικό ρόλο στην ακρίβεια με την οποία προσδιορίζεται το μητρώο δυσκαμψίας [5]. {u} = [N] {d} (3.4) Επίσης αποδεικνύεται ότι ισχύει η σχέση: [B] = [ e ][N] (3.5) Το μητρώο Β ονομάζεται μητρώο παραμορφώσεως, ενώ το [ e ] είναι ένας διαφορικός τελεστής που αποτελεί ουσιαστικά τη μητρωϊκή μορφή των συντελεστών των σχέσεων 2.27 που συνδέουν τις μετατοπίσεις με τις ανηγμένες παραμορφώσεις. Άρα συνδυάζοντας τις σχέσεις 2.27, 3.4 και 3.5 ισχύει ότι: {ε} = [ e ] {u} = [ e ]([N] {d}) = [B]{d} (3.6)

40 26 / x / y 0 [ e ] = 0 0 / z / y / x 0 0 / z / y [ / z 0 / x] (3.7) Τελικά εκτελώντας κάποιες πράξεις η δυναμική εξίσωση ισορροπίας διατυπώνεται στην εξής μορφή: Όπου: [M] {d (t)} + [C] {d (t)} + [K] {d(t)} = {F(t)} (3.8) Καθολικό μητρώο μάζας: [M] = [N] T ρ [Ν] dv V (3.9) Καθολικό μητρώο δυσκαμψίας: [K] = [B] T [E][B] dv V (3.10) Διάνυσμα επιβαλλόμενων επικόμβιων δυνάμεων: {F(t)} = [N] T f(t) dv (3.11) V [C]: Το μητρώο απόσβεσης που ορίζεται συνήθως σαν γραμμικός συνδυασμός των μητρώων μάζας και δυσκαμψίας στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. 3.3 ΙΣΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Όταν μια κατασκευή παρουσιάζει δύσκολη γεωμετρία που δεν μπορεί να αποτυπωθεί με απλά γεωμετρικά σχήματα όπως είναι τα τρίγωνα και τα ορθογώνια, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθούν ασύμμετρα πεπερασμένα στοιχεία όπως είναι τα τετράπλευρα, τα τετράεδρα και τα εξάεδρα. Τέτοια στοιχεία έχουν συναρτήσεις μορφής πολύπλοκες που δυσχεραίνουν πολύ την αναλυτική ολοκλήρωση για τη μόρφωση του μητρώου δυσκαμψίας. Το ίδιο πρόβλημα παρουσιάζουν και στοιχεία κανονικού σχήματος ανωτέρας τάξεως με πολύπλοκες συναρτήσεις μορφής. Για το λόγο αυτό μπορούμε να καταφύγουμε στην ισοπαραμετρική θεώρηση που βασίζεται στη χρήση ενός δεύτερου συστήματος συντεταγμένων, το οποίο ορίζεται στο Καρτεσιανό σύστημα μέσω μιας απεικόνισης και ονομάζεται φυσικό σύστημα. Η ολοκλήρωση για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας γίνεται πλέον αριθμητικά, ενώ απαιτείται ο υπολογισμός ενός μητρώου μετασχηματισμού [J], το οποίο ονομάζεται Ιακωβιανό μητρώο. Ο όρος ισοπαραμετρικός εξηγείται από το γεγονός ότι όσο οι συνιστώσες της μετακίνησης όσο και οι Καρτεσιανές συντεταγμένες εκφράζονται ως προς τις αντίστοιχες επικόμβιες ποσότητες με τις ίδιες συναρτήσεις παρεμβολής ή συναρτήσεις σχήματος [5].

41 Απεικόνιση του Καρτεσιανού συστήματος στο φυσικό σύστημα Η ορθή απεικόνιση των πραγματικών συντεταγμένων x, y, z συναρτήσει των φυσικών συντεταγμένων ξ, η, ζ ορίζεται ως: x = x(ξ, η, ζ) (3.12) y = y(ξ, η, ζ) (3.13) z = z(ξ, η, ζ) (3.14) Ομοίως η αντίστροφη απεικόνιση των φυσικών συντεταγμένων συναρτήσει των πραγματικών δίνεται ως εξής: ξ = ξ(x, y, z) (3.15) η = η(x, y, z) (3.16) ζ = ζ(x, y, z) (3.17) Η απεικόνιση μεταξύ των φυσικών και των πραγματικών συντεταγμένων θα πρέπει να είναι αμφιμονοσήμαντη έτσι ώστε κάθε σημείο με συντεταγμένες x, y, z να έχει αντίστοιχες συντεταγμένες ξ, η, ζ και το αντίστροφο. Η απεικόνιση του φυσικού στο Καρτεσιανό σύστημα δίνει ένα καμπυλόγραμμο σύστημα συντεταγμένων σε κάθε σημείο όπως φαίνεται στο Σχ. 3.1, στο οποίο γίνεται μια απεικόνιση ενός στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου με πλευρές dξ, dη, dζ. Οι καμπυλόγραμμοι άξονες σε κάθε σημείο προκύπτουν από την ορθή απεικόνιση και ορίζονται από την τροχιά του σημείου όταν μεταβάλλεται μόνο η μια συντεταγμένη, ενώ οι άλλες δύο παραμένουν σταθερές. Σχήμα 3.1 Απεικόνιση στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου στο Καρτεσιανό σύστημα [4]

42 28 Σχήμα 3.2 Απεικόνιση στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου στο φυσικό σύστημα [4] Το Ιακωβιανό μητρώο ορίζεται ως εξής: [J] = (x,y,z) = (ξ,η,ζ) [ x ξ x η x ζ y ξ y η y ζ z ξ y η y ζ] (3.18) Ο όγκος ΔV του στοιχειώδους στοιχείου υπολογίζεται ως εξής; ΔV = det[j] dξ dη dζ = x ξ x η x ζ y ξ y η y ζ z ξ y η y ζ dξ dη dζ (3.19) Εάν πρόκειται για περίπτωση δισδιάστατης απεικόνισης, το εμβαδόν ΔΑ του στοιχειώδους παραλληλογράμμου στο Καρτεσιανό σύστημα δίνεται από τη σχέση: ΔΑ = det[j] dξ dη = x ξ x η y ξ y η dξ dη (3.20) Στην περίπτωση της μονοδιάστατης απεικόνισης, το μήκος dx του στοιχειώδους τμήματος στο Καρτεσιανό σύστημα δίνεται από τη σχέση: dx = det[j] dξ = ( dx ) dξ (3.21) dξ

43 Ορθογωνικό στοιχείο επίπεδης παραμόρφωσης τεσσάρων κόμβων και η ισοπαραμετρική του διατύπωση Στα προβλήματα Εδαφομηχανικής χρησιμοποιείται ευρέως το δισδιάστατο ισοπαραμετρικό τετράκομβο στοιχείο. Αυτό το στοιχείο αποτελεί την επέκταση του ορθογωνικού τετράκομβου στοιχείου. Στην παρούσα διατριβή το έδαφος προσομοιώθηκε με τέτοιου τύπου πεπερασμένα στοιχεία, γι αυτό και θα εξεταστεί αναλυτικότερα. Το κατακόρυφο επίπεδο που εξετάζεται το έδαφος είναι το xz. Παρ όλα αυτά οι εξισώσεις που ακολουθούν εκφράζονται στο επίπεδο xy Συναρτήσεις Μορφής Σχήματος τετράκομβου ορθογωνικού στοιχείου Οι συναρτήσεις μορφής που εκφράζουν το πεδίο των μετατοπίσεων είναι συνήθως πολυωνυμικές και σπανιότερα ημιτονοειδής συναρτήσεις. Οι συναρτήσεις αυτές είναι προσεγγιστικές αφού πολλές φορές αγνοείται η ακριβής λύση, παρ όλα αυτά εάν ικανοποιούνται ορισμένα κριτήρια υπάρχει ένδειξη ότι αυτή η προσεγγιστική λύση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων είναι αρκετά ακριβής. Αναγκαία συνθήκη για τη σύγκλιση της μεθόδου είναι η πληρότητα του προσεγγιστικού πεδίου των μετατοπίσεων. Μια πολυωνυμική σειρά είναι πλήρης εάν δεν παραλείπονται ενδιάμεσοι όροι. Για παράδειγμα μια πολυωνυμική σειρά δευτέρας τάξεως είναι πλήρης εάν υπάρχουν οι όροι 1, x, y, x 2, xy, y 2. Το τετράκομβο ορθογωνικό στοιχείο είναι ακρίβειας πρώτης τάξεως, αφού το πολυώνυμο της παρεμβολής περιέχει όρους ως την πρώτη δύναμη, Επίσης θεωρείται πλήρες πολυώνυμο αφού περιέχει όλους απαιτούμενους όρους (1, x, y και xy). Οι πολυωνυμικές σχέσεις που ορίζουν τις μετατοπίσεις u και v σε οποιοδήποτε σημείο του στοιχείου έχουν τη μορφή: u = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 x y (3.22) v = a 5 + a 6 x + a 7 y + a 8 x y (3.23) Προκύπτουν από αυτές οι τέσσερις συναρτήσεις μορφής (όσοι και οι κόμβοι του στοιχείου) ενός ορθογωνίου διαστάσεων 2a x 2b: N i = 1 (1 x ) (1 y ) με i = 1, 2, 3, 4 (3.24) 4 a b Το στοιχείο αυτό ονομάζεται και πεπερασμένο στοιχείο τύπου Lagrange, αφού οι συναρτήσεις μορφής του προκύπτουν από τα πολυώνυμα παρεμβολής Lagrange. Η συνάρτηση του πολυωνύμου Lagrange είναι η εξής: L n = (x 1 x)(x 2 x) (x n 1 x) (x 1 x n )(x 2 x n ) (x n 1 x n ) (3.25) Κάνοντας χρήση των σχέσεων 3.5 και 3.10 μπορεί εύκολα να υπολογιστεί αναλυτικά το μητρώο παραμορφώσεως και το μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου. Σε οποιοδήποτε σημείο του

44 30 στοιχείου μπορεί να υπολογιστεί η ακριβής τιμή του μεγέθους που ενδιαφέρει ( π.χ. μετακινήσεις, τάσεις, κτλ.). Σχήμα 3.3 Τετράκομβο ορθογωνικό πεπερασμένο στοιχείο τύπου Lagrange Ισοπαραμετρικό τετράπλευρο στοιχείο τεσσάρων κόμβων Ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων ορίζεται από γραμμικά πολυώνυμα ως προς ξ και η. Η πολυωνυμική απεικόνιση των συντεταγμένων x, y θα έχει τη μορφή: x = a 1 + a 2 ξ + a 3 η + a 4 ξ η (3.26) y = a 5 + a 6 ξ + a 7 η + a 8 ξ η (3.27) Οι αντιστοιχίσεις των δύο συστημάτων συντεταγμένων είναι οι εξής: x = a ξ = 1 x = a ξ = 1 y = b η = 1 y = b η = 1 Τελικά οι συναρτήσεις σχήματος ισοπαραμετρικού τετράπλευρου στο φυσικό σύστημα συντεταγμένων του έχουν την ίδια μορφή με αυτές του ορθογωνίου: N i = 1 (1 ξ)(1 η) με i = 1, 2, 3, 4 (3.28) 4 Οι συντεταγμένες ενός τυχαίου σημείου εκφράζονται ως προς τις συντεταγμένες των τεσσάρων κόμβων με τις εξής σχέσεις: x 1 x 2 x = [N 1 N 2 N 3 N 4 ] [ x ] (3.29) 3 x 4

45 31 y 1 y 2 y = [N 1 N 2 N 3 N 4 ] [ y ] (3.30) 3 y 4 Σχήμα 3.4 Απεικόνιση ισοπαραμετρικού τετράπλευρου στο Καρτεσιανό σύστημα Σχήμα 3.5 Απεικόνιση ισοπαραμετρικού τετράπλευρου στο φυσικό σύστημα Στη συνέχεια θα πρέπει να υπολογιστεί το μητρώο παραμορφώσεως [Β]. Υπάρχει το πρόβλημα ότι η παραγώγιση των u και v ως προς x και y δεν μπορεί να γίνει άμεσα, αφού οι δύο αυτές συνιστώσες έχουν εκφραστεί αναλυτικά ως προς τις φυσικές συντεταγμένες ξ και η και όχι ως προς τις καρτεσιανές. Σύμφωνα με τον κανόνα της αλυσίδας ισχύει ότι αν κάποιες συναρτήσεις u και v ορίζονται σε δύο διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων ώστε να ισχύει u=u(x,y), v=v(x,y) και u=u(ξ,η), v=v(ξ,η) οι παραγωγοί τους ως προς x και y ορίζονται με τις παρακάτω σχέσεις: u = u ξ + u η x ξ x η x και u = u ξ + u η y ξ y η y (3.31 α, β)

46 32 v = v ξ + v η x ξ x η x και v = v ξ + v η y ξ y η y (3.32 α, β) Αντίστοιχα παραγωγίζοντας τις u και v oς προς ξ και η ισχύει: u = u x + u y ξ x ξ y ξ και u = u x + u y η x η y η (3.33 α, β) v = v x + v y ξ x ξ y ξ και v = v x + v y η x η y η (3.34 α, β) Εκτελώντας τις πράξεις προκύπτει σε μητρωϊκή μορφή: [ u ξ u η ] = [J] [ και αντίστοιχα: [ v ξ v η ] = [J] [ u x u y v x v y ] (3.35) ] (3.36) Το Ιακωβιανό μητρώο προκύπτει αναλυτικά παραγωγίζοντας τις Εξ και 3.30 ως προς ξ και η: [J] = [ N 1,ξ N 2,ξ N 3,ξ N 4,ξ ] [ N 1,η N 2,η N 3,η N 4,η x 1 x 2 x 3 x 4 = 1 η) (1 η) (1 + η) (1 + η) [ (1 4 (1 ξ) (1 + ξ) (1 + ξ) (1 ξ) ] [ y 1 y 2 y 3 y 4 ] (3.37) x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 ] (3.38) Ζητούμενο εξαρχής ήταν ο υπολογισμός των αγνώστων μερικών παραγώγων u x, u y, v x, v y. Τώρα αυτές μπορούν να υπολογιστούν από τις παρακάτω σχέσεις κάνοντας αντιστροφή των Εξ και [ u x u y ] = [J] 1 [ u ξ u η ] (3.39)

47 33 [ v v x v] = [J] 1 ξ [ v y η ] (3.40) Το μητρώο [J] 1 δίνεται από τη σχέση: [J] 1 = 1 det[j] [ J 22 J 12 J 21 J 11 ] (3.41) Έχοντας τώρα γνωστές όλες τις απαιτούμενες μερικές παραγώγους για τον υπολογισμό των παραμορφώσεων, μπορεί να εφαρμοστεί η Εξ, 3.5 και έτσι καταλήγουμε στη σχέση που δίνει το μητρώο δυσκαμψίας που είναι και το ζητούμενο: [K] = [B] T A [E][B] t da (3.42) Όπου t το πάχος του στοιχείου επίπεδης έντασης-παραμόρφωσης. Αντικαθιστώντας το ΔΑ από τη Εξ στην Εξ προκύπτει η τελική έκφραση του μητρώου δυσκαμψίας: [K] = [B(ξ, η)] T [E][B(ξ, η)] t det[j] dξdη (3.43) Η ορίζουσα det[j] που είναι συνάρτηση των ξ και η παρουσιάζεται στον παρονομαστή κάθε στοιχείου του μητρώου [Β], με αποτέλεσμα ο παρονομαστής κάθε όρου του μητρώου να περιέχει ένα πολυώνυμο της μορφής a 1 + a 2 ξ + a 3 η + a 4 ξ η. Για στοιχείο με περισσότερους κόμβους ανώτερης τάξεως το πολυώνυμο θα είναι μεγαλύτερου βαθμού. Παρατηρούμε ότι πλέον η αναλυτική ολοκλήρωση καθίσταται δυσχερής και γι αυτό το λόγο καταφεύγουμε στην αριθμητική ολοκλήρωση. Η αριθμητική ολοκλήρωση της Εξ για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας γίνεται συνήθως με διάφορες μεθόδους με ποιο γνωστές, τον κανόνα του τραπεζίου, τον κανόνα του Simson, τη μέθοδο Newton-Cotes και τη μέθοδο Gauss. Η μέθοδος Gauss είναι η πιο διαδεδομένη αφού φαίνεται να δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα. Στην επόμενη παράγραφο θα αναλυθεί η μέθοδος αυτή, η οποία εφαρμόστηκε στην παρούσα διατριβή Αριθμητική ολοκλήρωση Όταν δεν είναι δυνατόν να γίνει αναλυτική ολοκλήρωση για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας όπως έχει αναφερθεί στην προηγούμενη παράγραφο, καταφεύγουμε στην αριθμητική ολοκλήρωση. Τα προς ολοκλήρωση μητρώα έχουν τη μορφή [F(ξ,η)] στην περίπτωση των δύο διαστάσεων. Οι σχέσεις της αριθμητικής ολοκλήρωσης έχουν τη μορφή: [F(ξ, η)] dξdη = w ij [F(ξ i, n j )] + [e n ] i,j (3.44) όπου τα αθροίσματα περιλαμβάνουν όλα τα σημεία του στοιχείου που καθορίζονται από τους δείκτες i και j, οι συντελεστές wij ονομάζονται συντελεστές βάρους. Τα μητρώα [F(ξ,η)]

48 34 υπολογίζονται στις θέσεις i και j του στοιχείου, ενώ τέλος τα μητρώα [en] είναι τα μητρώα σφάλματος τα οποία δεν μπορούν να υπολογιστούν στην πράξη, γι αυτό και παραλείπονται. Κάθε στοιχείο του προς ολοκλήρωση μητρώου συμβολίζεται με f(ξ,η). Η αριθμητική ολοκλήρωση κάθε στοιχείου γίνεται με παρεμβολή ενός πολυωνύμου ψ(ξ,η) δια μέσου καθορισμένων τιμών του f(ξ,η). Τα πλέον κατάλληλα πολυώνυμα για τη μείωση του μεγέθους του σφάλματος της αριθμητικής ολοκλήρωσης είναι τα πολυώνυμα παρεμβολής Lagrange Ολοκλήρωση Gauss Κατά τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης f σε δειγματοληπτικά σημεία, τα οποία μπορεί να βρίσκονται οπουδήποτε εντός του στοιχείου και κατ επέκταση σε μη ισαπέχουσες θέσεις. Αυτή τη δυνατότητα χρησιμοποιεί η μέθοδος ολοκλήρωσης Gauss που τόσο οι θέσεις των σημείων ολοκλήρωσης όσο και οι συντελεστές βάρους έχουν βελτιστοποιηθεί. Κατά τη μέθοδο Gauss χρησιμοποιούνται n μη ισαπέχοντα σημεία ολοκλήρωσης για τον υπολογισμό με ακρίβεια πολυώνυμων βαθμού (2n-1). Στον Πίν. 3.1 παρουσιάζονται οι θέσεις και τα βάρη των σημείων Gauss στο διάστημα (-1,1). Πίνακας 3.1 Θέσεις και βάρη των σημείων Gauss [4]

49 Απαιτούμενη τάξη ολοκλήρωσης Σημαντικός παράγοντας στην αξιοπιστία της μεθόδου είναι η τάξη ολοκλήρωσης. Στο Σχ. 3.6, παρουσιάζεται ολοκλήρωση σε δύο διαστάσεις. Τα τρία τετράπλευρα στοιχεία είναι τάξης ολοκλήρωσης 1, 2 και 3 αντίστοιχα. Για πρώτη τάξη ολοκλήρωσης υπάρχει μόνο ένα σημείο Gauss, ενώ για ολοκλήρωση δευτέρας τάξεως υπάρχουν 2 x 2 = 4 σημεία Gauss. Τα σημεία αυτά ακολουθούν τον κανόνα n x n, όπου n η τάξη ολοκλήρωσης. Η βασική αρχή είναι ότι όσο αυξάνει η τάξη της ολοκλήρωσής, αυξάνει και η ακρίβεια υπολογισμού του μητρώου δυσκαμψίας. Επίσης πολλαπλασιάζεται το υπολογιστικό κόστος που είναι τεράστιο σε προσομοιώματα εδαφικού υλικού. Άρα θα πρέπει να επιλεγεί η κατάλληλη τάξη ολοκλήρωσης που να μην επηρεάζει σημαντικά την ακρίβεια των αποτελεσμάτων σε ένα τέτοιο προσομοίωμα στο οποίο πρόκειται να γίνει μη-γραμμική ανάλυση χρονοϊστορίας με χιλιάδες καταγραφές. Όπως αναφέρθηκε στην προηγούμενη παράγραφο κατά τη μέθοδο Gauss, χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση n τάξεως, μπορεί να υπολογιστεί με ακρίβεια ένα πολυώνυμο βαθμού (2n-1). Για παράδειγμα μια ολοκλήρωση δευτέρας τάξεως οδηγεί σε ακριβή αποτελέσματα σε πολυώνυμα τρίτου βαθμού. Στη συνέχεια θα εξεταστεί η πιθανότητα μειωμένης ολοκλήρωσης και οι επιπτώσεις της στα αποτελέσματα. Στο Σχ. 3.7 φαίνεται η ακριβής και η μειωμένη ολοκλήρωση σε τετράπλευρα στοιχεία. Τώρα εξετάζεται τι συμβαίνει σε ένα τετράπλευρο στοιχείο επίπεδης ελαστικότητας με τέσσερεις κόμβους. Το στοιχείο θεωρείται ότι έχει μοναδιαίο μέτρο ελαστικότητας και πάχος, και λόγο Poisson 0.3. Κάθε κόμβος έχει δύο μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας, άρα συνολικά το στοιχείο έχει 8 βαθμούς ελευθερίας και αντίστοιχα 8 πραγματικές ιδιομορφές. Οι 3 από αυτές αντιστοιχούν σε μηδενικές ιδιομορφές για το λόγο ότι αναφέρονται σε κινήσεις στερεού σώματος (δύο μεταφορικές και μια στροφική). Οι 3 αυτές ιδιομορφές αντιστοιχούν σε ιδιομορφές μηδενικής ενέργειας παραμόρφωσης, αφού μέσα στο στοιχείο δεν αναπτύσσονται τάσεις. Οι υπόλοιπες 5 συνεπάγονται σε ενέργεια παραμόρφωσης, γι αυτό και έχουν μη μηδενικές τιμές. Στον Πίν. 3.2 που ακολουθεί φαίνονται οι 8 ιδιομορφές και η παραμορφωσιακή κατάσταση που επικρατεί στην κάθε μια από αυτές, ενώ στο Σχ. 3.8 παρουσιάζονται σχηματικά. Σχήμα 3.6 Τετράπλευρα στοιχεία: (α) 1 ης, (β) 2 ης και (γ) 3 ης τάξης αριθμητικής ολοκλήρωσης Gauss [Διαδίκτυο]

50 36 Σχήμα 3.7 Ακριβής και η μειωμένη ολοκλήρωση σε τετράπλευρα στοιχεία [6] Πίνακας 3.2 Ιδιομορφές τετράκομβου στοιχείου επίπεδης ελαστικότητας Αριθμός Ιδιομορφή Χαρακτηρισμός 1 0 Μετακίνηση κατά x 2 0 Μετακίνηση κατά y 3 0 Στροφή στο επίπεδο Καμπτική Καμπτική Διατμητική Διατμητική Ομοιόμορφη διόγκωση

51 Σχήμα 3.8 Σχηματική απεικόνιση ιδιομορφών τετράκομβου στοιχείου [6] 37

52 38 Στη συνέχεια θα γίνει η υπόθεση μειωμένης ολοκλήρωσης 1 x 1 με ένα μόνο σημείο Gauss στο κέντρο του στοιχείου. Και οι τρεις ανηγμένες παραμορφώσεις εx, εy και γxy στο κέντρο του στοιχείου όπου υπάρχει το μοναδικό σημείο ολοκλήρωσης τυχαίνει να είναι μηδενικές για τις δύο καμπτικές ιδιομορφές 4 και 5. Αυτό έχει αποτέλεσμα να παραμορφώνεται το στοιχείο χωρίς να μπορεί να καταγραφεί ενέργεια παραμόρφωσης, η οποία πρέπει να είναι μη-μηδενική. Αυτό το φαινόμενο δεν παρατηρείται για τέσσερα σημεία ολοκλήρωσης αφού δεν υπάρχει δυνατότητα μηδενισμού των ανηγμένων παραμορφώσεων και στα τέσσερα σημεία ταυτόχρονα. Με τη μειωμένη ολοκλήρωση δίνεται η δυνατότητα στο στοιχείο να παραμορφωθεί ανεξέλεγκτα χωρίς να χρειάζεται ενέργεια παραμόρφωσης. Αυτές οι παραμορφώσεις μηδενικής ενέργειας που δεν αντιστοιχούν σε κινήσεις στερεού σώματος ονομάζονται παραμορφώσεις μορφής αστάθειας (instability modes) ή ασθενούς μορφής ή ψευδούς μορφής (spurious ή hourglass modes) Τετράκομβα στοιχεία μειωμένης ολοκλήρωσης Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκαν για την προσομοίωση του εδάφους τετράκομβα στοιχεία πρώτης τάξεως που χρησιμοποιούν μειωμένη ολοκλήρωση, δηλαδή έχουν μόνο ένα σημείο ολοκλήρωσης. Τα στοιχεία αυτά είναι τροποποιημένα έτσι ώστε να ξεπερνούν το πρόβλημα της ψευδούς μορφής, αλλά και άλλα φαινόμενα που μπορούν να εμφανιστούν όπως είναι το φαινόμενο κλειδώματος τέμνουσας (shear locking) και το ογκομετρικό κλείδωμα (volumetric locking) [15]. Τα στοιχεία αυτά ονομάζονται τετράκομβα στοιχεία ενός μοναδικού σταθεροποιημένου σημείου ολοκληρώσεως (Single Stabilized Point Quadrilaterals SSPquad). H χρήση τους επεκτείνεται και σε κορεσμένα εδάφη όπου σε κάθε σημείο ολοκλήρωσης υπάρχει εκτός από τις τάσεις του εδάφους και πίεση των πόρων του νερού (SSPquad-UP). Τα στοιχεία αυτά χρησιμοποιούν ένα μόνο σημείο ολοκλήρωσης, στο οποίο γίνονται περισσότεροι υπολογισμοί από τα συνηθισμένα στοιχεία, στα οποία πρέπει να γίνουν υπολογισμοί σε τέσσερα σημεία ολοκλήρωσης. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση του υπολογιστικού κόστους, γεγονός που τα κάνει συγκρίσιμα ακόμα και με στοιχεία Lagrange 9 κόμβων μεγαλύτερης τάξεως. Η αξιοπιστία των στοιχείων αυτών εξετάζεται στο Κεφάλαιο Κλείδωμα Τέμνουσας (Shear Locking) Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται κυρίως σε πεπερασμένα στοιχεία τύπου εύκαμπτης δοκού (slender beam) στα οποία κυριαρχούσες παραμορφώσεις είναι οι καμπτικές. Το φαινόμενο εμφανίζεται όταν ο λόγος μεταξύ των πλευρών είναι μεγάλος. Η δυσκαμψία του στοιχείου υπερεκτιμάται, και έχει ως αποτέλεσμα στην υποεκτίμηση των παραμορφώσεων. Οι διατμητικές τάσεις παρουσιάζονται μεγαλύτερες από τις ορθές, γεγονός που είναι αντίθετο με ότι συμβαίνει σε προβλήματα τύπου εύκαμπτης δοκού. Σύμφωνα με τη θεωρία εύκαμπτης δοκού του Bernoulli, θα πρέπει να διατηρείται η καθετότητα των διατομών μετά την παραμόρφωση της. Σε τετράκομβα στοιχεία όσο αυξάνεται ο λόγος πλευρών τόσο περισσότερο παραβιάζεται αυτή η συνθήκη, σύμφωνα με το Σχ Ο λόγος είναι ότι οι τέσσερις πλευρές του στοιχείου πρέπει να παραμείνουν ευθείες και μετά την παραμόρφωσή του στοιχείου, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να αποτυπωθεί η καμπυλότητα του. Άρα καλό θα ήταν να μην χρησιμοποιούνται πεπερασμένα στοιχεία με λόγο πλευρών πολύ μεγαλύτερο του 2. Το φαινόμενο αυτό μπορεί να ξεπεραστεί

53 39 κάνοντας χρήση στοιχείων με 9 κόμβους χρησιμοποιώντας πλήρη ολοκλήρωση 3 x 3. Αυτό μπορεί να φανεί στα Σχ και Τώρα μπορεί να αποτυπωθεί η καμπυλότητα του μέλους, αλλά αποτελεί μειονέκτημα η μεγάλη αύξηση του υπολογιστικού κόστους λόγω της αύξησης του βαθμού του πολυωνύμου παρεμβολής αλλά και της αύξησης των σημείων ολοκλήρωσης. Σχήμα 3.9 Φαινόμενο κλειδώματος τέμνουσας (shear locking) [16] Σχήμα 3.10 Στοιχείο 9 κόμβων με μειωμένη ολοκλήρωση 2 x 2 (εμφάνιση shear locking) [16] Σχήμα 3.11 Στοιχείο 9 κόμβων με πλήρη ολοκλήρωση 3 x 3 (αντιμετώπιση shear locking) [16]

54 40 4. ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΕΔΑΦΩΝ Το έδαφος είναι ένα πολυδιάστατο υλικό το οποίο θεωρείται αρχικά γραμμικά ελαστικό για πάρα πολύ μικρές ανηγμένες διατμητικές παραμορφώσεις έως και Αυτή η τιμή των παραμορφώσεων είναι πολύ μικρή και πρακτικώς το έδαφος συμπεριφέρεται μη-γραμμικά από σχεδόν την αρχή της ιστορίας φόρτισής του. Η ικανοποιητική προσομοίωση ενός τέτοιου πολυδιάστατου μη-γραμμικού υλικού είναι ένα δύσκολο εγχείρημα, αλλά όχι ακατόρθωτο. Κατάλληλα προσομοιώματα έχουν αναπτυχθεί τις τελευταίες δεκαετίες για τη σωστή προσομοίωση τέτοιων υλικών. Το υλικό που χρησιμοποιείται για τέτοιες προσομοιώσεις ονομάζεται πολυδιάστατο υλικό πολλαπλής διαρροής (n-d Multiyield Material), το οποίο είναι κατάλληλο τόσο για μονοτονική όσο και για ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Ο νόμος των υλικών αυτών περιγράφεται συχνά στο οκταεδρικό αποκλίνων επίπεδο σε όρους οκταεδρικής ανηγμένης διατμητικής παραμόρφωσης γoct και διατμητικής οκταεδρικής τάσης τoct. Η εφαπτομένη της καμπύλης αυτής αποτελεί το μέτρο διάτμησης του υλικού G. Το μέτρο διάτμησης είναι αρχικά το ελαστικό για πολύ μικρές παραμορφώσεις, ενώ με την αύξηση τους αυτό αρχίζει να μειώνεται σταδιακά έως ότου η γωνιακή παραμόρφωση φτάσει μια οριακή γmax, κατά την οποία έχει αναπτυχθεί η πλήρης διατμητική αντοχή του εδάφους τf. Από αυτό το σημείο και μετά το έδαφος θεωρείται ότι έχει πλαστικοποιηθεί πλήρως με το μέτρο διάτμησής του είναι σχεδόν μηδενικό. Σημαντική παράμετρος για τη σωστή προσομοίωση του εδαφικού υλικού είναι το πλήθος των επιφανειών διαρροής που θα επιλεχθεί. Θα πρέπει να γίνεται μια ομαλή μείωση του μέτρου διάτμησης, γι αυτό και το πλήθος των καμπυλών θα πρέπει να μην είναι πολύ μικρό. Συνήθως 16 με 20 επιφάνειες διαρροής είναι ικανοποιητικές. Στο Σχ. 4.1 παρουσιάζεται η υπερβολική καμπύλη-σκελετός τάσεωνπαραμορφώσεων του εδάφους που περιεγράφηκε πιο πάνω. Σχήμα 4.1 Υπερβολική καμπύλη-σκελετός τάσεων-παραμορφώσεων εδαφικών υλικών [30]

55 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΓΙΑ ΑΜΜΩΔΗ ΕΔΑΦΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Τα αμμώδη υλικά παρουσιάζουν ευαισθησία στη λεγόμενη ενεργό τάση περίσφιξης p που ασκείται σε αυτά, η οποία αναφέρθηκε στο Κεφ. 2 Ο όρος ενεργός έχει να κάνει με την ύπαρξη νερού στο έδαφος. Στην παρούσα διατριβή το έδαφος θεωρήθηκε ότι είναι πλήρως ξηρό, με αποτέλεσμα η ενεργός τάση περίσφιξης να ισούται με την ολική τάση περίσφιξης. Στην αντίθετη περίπτωση ύπαρξης νερού στο έδαφος, η ενεργός τάση υπολογίζεται με αφαίρεση της πίεσης των πόρων νερού από την ολική. Αφού ο καταστατικός νόμος του υλικού περιγράφεται στο οκταεδρικό αποκλίνων επίπεδο, όπως αναφέρθηκε πιο πάνω, η ενεργός τάση περίσφιξης σε κάθε τέτοιο επίπεδο είναι σταθερή. Έτσι για δεδομένη ενεργό τάση περίσφιξης μπορεί να περιγραφεί ο καταστατικός νόμος του αμμώδους υλικού. Το υλικό προσομοίωσης ονομάζεται πολυδιάστατο υλικό πολλαπλής διαρροής εξαρτώμενο πίεσης (n-d Pressure Depended Multiyield Material) [30]. Οι κυριότερες ιδιότητές του όπως είναι το μέτρο διάτμησης, το μέτρο διόγκωσης, η μέγιστη τάση διατμητική αντοχή του υλικού και η οριακή γωνιακή παραμόρφωση δεν είναι σταθερές, αλλά εξαρτώμενες από την ενεργό τάση περίσφιξης. Αυτό το γεγονός το κάνει ακόμα πιο δύσκολο υλικό στην προσομοίωσή του. Επίσης το υλικό αυτό είναι κατάλληλο για ην περιγραφή του φαινομένου συστολήςδιαστολής που παρατηρείται στα αμμώδη εδάφη όταν αυτά υπόκεινται σε διατμητικές παραμορφώσεις. Οι επιφάνειες διαρροής είναι τύπου Drucker Prager. Τέλος η χρήση αυτού του υλικού επεκτείνεται και για κορεσμένα εδαφικά στρώματα στα οποία υπάρχει πιθανότητα ρευστοποίησης Καταστατικές εξισώσεις αμμώδους υλικού Αφού το υλικό δεν είναι ανεξάρτητο της της ενεργού τάσης περίσφιξης, θα πρέπει οι καταστατικές εξισώσεις να προσδιοριστούν για μία λεγόμενη ενεργό τάση αναφοράς p r. Η τάση αναφοράς είναι περίπου 80 με 100 KPa ανάλογα με το υλικό. Το μέτρο ελαστικότητας και το μέτρο διόγκωσης θα πρέπει να οριστούν αρχικά στην τάση αναφοράς (G r, Κ r ). Οι σχέσεις που συνδέουν τις τιμές αυτές με την ενεργό τάση περίσφιξης είναι οι εξής [30]: G = G r ( p p r ) d Κ = Κ r ( p p r ) d (4.1) (4.2) Ο συντελεστής d είναι μια θετική σταθερά που παίρνει τιμές από 0.5 μέχρι 1.0. Για αμμώδη εδάφη αυτός ο συντελεστής είναι συνήθως 0.5. Οι σχέσεις αυτές δείχνουν ότι υπάρχει αύξηση τις τιμής των ελαστικών σταθερών με την αύξηση της ενεργού τάσης περίσφιξης. Κατ επέκταση αυτή μεταφράζεται ως αύξηση των τιμών των ελαστικών σταθερών με την αύξηση του βάθους. Το έδαφος δηλαδή είναι πιο δύσκαμπτο σε μεγάλα βάθη όπως είναι αναμενόμενο.

56 42 Η ενεργός τάση περίσφιξης υπό τις συνθήκες βαρύτητας μπορεί να υπολογιστεί ευκολά για δεδομένο βάθος, αρκεί να προσδιοριστεί το ειδικό βάρους του ξηρού εδάφους γdry και η γωνία εσωτερικής τριβής φ. H γωνία εσωτερικής τριβής χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του συντελεστή πλευρικής τάσης σε ισορροπία Κ0. Ο συντελεστής Κ0 εκφράζει το λόγο της οριζόντιας προς την κατακόρυφη ενεργό τάση του εδάφους όταν αυτό βρίσκεται υπό συνθήκες στατικής ισορροπίας. Αν σ v η κατακόρυφη ενεργός τάση και σ h οι δύο οριζόντιες ενεργές τάσεις, τότε ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις: σ v = γ dry z (4.3) σ h = K 0 γ dry z (4.4) K 0 = 1 sin φ (4.5) p = σ v +2σ h 3 = σ v (1+2K 0 ) 3 = γ dry z(1+2k 0 ) 3 (4.6) Με γνωστή την ενεργό τάση περίσφιξης μπορεί να προσδιοριστεί από την παρακάτω σχέση η διατμητική αντοχή του εδάφους στο οκταεδρικό επίπεδο, η οποία ισχύει για τη συγκεκριμένη αυτή ενεργό τάση [30]: τ f = 2 2 sin φ 3 sin φ p (4.7) Η υπερβολική καμπύλη-σκελετός που δίνει την οκταεδρική τάση συναρτήσει της παραμόρφωσης για οποιαδήποτε δεδομένη ενεργό τάση περίσφιξης, δίνεται από την σχέση: τ = G γ 1+ γ d γr (p p ) r (4.8) Ο όρος γr είναι η παραμόρφωση αναφοράς και ικανοποιεί την Εξ. 4.9 όταν τεθεί p = p r στην Εξ. 4.7 τ f = Έτσι ισχύει: 2 2 sin φ 3 sin f p r = G γ max 1+ γ r γmax (4.9) γ r = τ f γ max γ max G r τ f (4.10) Στο Σχ. 4.2 παρουσιάζεται μια απεικόνιση των επιφανειών διαρροής του υλικού στον χώρο των κύριων ενεργών τάσεων. Παρατηρείται ότι με την αύξηση της ενεργού τάσης περίσφιξης, οι επιφάνειες διαρροής απομακρύνονται από τον υδροστατικό άξονα. Υπάρχει δηλαδή αύξηση της αντοχής με την αύξηση της υδροστατικής τάσης περίσφιξης. Στο Σχ. 4.3 φαίνεται η απόκριση του υλικού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ όσο και σε όρους p - τ.

57 43 Σχήμα 4.2 Απεικόνιση των επιφανίων διαρροής αμμώδους εδαφικού υλικού στον τρισδιάστατο τασικό χώρο των κύριων ενεργών τάσεων [34] Σχήμα 4.3 Απόκριση αμμώδους υλικού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ και p - τ [34] 4.2 ΚΑΤΑΣΤΑΤΙΚΟΣ ΝΟΜΟΣ ΓΙΑ ΑΡΓΙΛΙΚΑ ΕΔΑΦΙΚΑ ΥΛΙΚΑ Τα αργιλικά εδάφη δεν παρουσιάζουν αυτή την ευαισθησία στην αλλαγή της ενεργού τάσης περίσφιξης. Τέτοιου είδους εδάφη είναι εξαρτόμενα από το λεγόμενο δείκτη πλαστικότητας (Plasticity Index PI). Το υλικό που χρησιμοποιείται για την κατάλληλη προσομοίωση των αργιλικών εδαφών ονομάζεται πολυδιάστατο υλικό πολλαπλής διαρροής ανεξάρτητο πίεσης (n-d Pressure Independed Multiyield Material) [30]. Στο συγκεκριμένο υλικό η καμπύλη μείωσης του αρχικού μέτρου διάτμησης Gmax συναρτήσει των διατμητικών παραμορφώσεων ακολουθεί παρόμοια μορφή με αυτή αργιλικών υλικών που έχουν δείκτη πλαστικότητας PI περίπου 15-30, όπως φαίνεται στο Σχ Οι επιφάνειες διαρροής του υλικού σε αντίθεση με το υλικό για αμμώδη εδάφη είναι τύπου Von-Mises, ενώ και αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί επίσης για κορεσμένες αργίλους.

58 44 Σχήμα 4.4 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης συναρτήσει της διατμητικής παραμόρφωσης για το αργιλικό υλικό [9] Καταστατικές εξισώσεις αργιλικού υλικού Η διατύπωση των καταστατικών εξισώσεων του υλικού είναι απλούστερη από αυτήν των αμμωδών εδαφών αφού τώρα δεν υπάρχει εξάρτηση από την ενεργό τάση περίσφιξης. Οι εξισώσεις έχουν παρόμοια μορφή, ενώ απουσιάζει ο όρος ( p p r ) d. Τα αργιλικά εδάφη είναι συνεκτικά και η διατμητική τους αντοχή εξαρτάται από τη συνοχή c, ενώ συνήθως η γωνία εσωτερικής τριβής είναι μηδενική. Η οκταεδρική διατμητική αντοχή τf που αντιστοιχεί σε οκταεδρική γωνιακή παραμόρφωση γmax ισούται με [30]: τ f = c (4.11) Ενώ ισχύει: τ = G γ 1+ γ γr (4.12) Στο Σχ. 4.5 φαίνεται η αντίστοιχη η απεικόνιση των επιφανειών διαρροής του υλικού για την προσομοίωση αργιλικών εδαφών στον τρισδιάστατο τασικό χώρο των κύριων ενεργών τάσεων. Παρατηρείται ότι οι επιφάνειες διαρροής είναι ανεξάρτητες της ενεργού τάσης περίσφιξης. Στο Σχ. 4.6 φαίνεται η απόκριση του υλικού για ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ όσο και σε όρους p - τ.

59 45 Σχήμα 4.5 Απεικόνιση των επιφανειών διαρροής αργιλικού εδαφικού υλικού στον τρισδιάστατο τασικό χώρο των κύριων ενεργών τάσεων [34] Σχήμα 4.6 Απόκριση αργιλικού υλικού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση σε όρους γ - τ και p - τ [34] 4.3 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΔΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΣΕ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Παρουσιάζεται ένα απλό παράδειγμα μη-γραμμικής στατικής φόρισης τύπου Pushover σε ένα απλό τετράκομβο τετραγωνικό στοιχείο πλευράς 1 m το οποίο αντοιπροσωπεύει ένα αργιλικό εδαφικό υλικό. Το πρόβλημα είναι δισδιάστστο, ενώ θεωρούνται συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης. Οι δύο κόμβοι στη βάση του του στοιχείου είναι περιορισμένοι για μετακίνηση και στις δύο δυευθύνσεις. Το φορτίο εφαρμόζεται στον πάνω αριστερά κόμβο του στοιχείου, ενώ η φόρτιση γίνεται με ελεγχόμενη δύναμη στον κόμβο ελέγχου τύπου Load Control. Η φόρτιση εφαρμόζεται για δύο διαφορετικές τιμές του πλήθους επιφανειών διαρροής, αρχικά για 20 επιφάνειες και στη συνέχεια για 8 επιφάνειες διαρροής.

60 46 Οι ιδιότητες του εδάφους είναι οι εξής: Ξηρό ειδικό ξηρό βάρος: γdry = 1.65 KN/m 3 Λόγος Poisson: ν = 0.4 Μέτρο διάτμησης: G = KPa Μέτρο διόγκωσης: K = KPa Συνοχή: c = 45 KPa Μέγιστη οκταεδρική παραμόρφωση: γmax = 0.1 Σύμφωνα με την Εξ η οκταεδρική διατμητική αντοχή θα πρέπει να είναι τf = KPa. Σχήμα 4.7 Τετράκομβο ορθογωνικό στοιχείο υπό μονοτονική φόρτιση τύπου Pushover Αποτελέσματα Σύγκριση Παρατηρείται ότι υπάρχει πλήρης ταύτιση του ζεύγους τιμών τf και γmax και στις δύο περιπτώσεις φόρτισης. Αξιοσημείωτο είναι ότι το 95% της διατμητικής αντοχής του εδάφους αναπτύσσεται σε παραμόρφωση περίπου 0.01 που είναι μόνο το 10% της γmax. Ουσιαστικά το έδαφος αρχίζει να παρουσιάζει έντονες πλαστικές παραμορφώσεις μετά από αυτή την τιμή, ενώ όπως φαίνεται το μέτρο διάτμησης είναι πρακτικώς μηδενικό. Το ελαστικό μέτρο διάτμησης που είναι και το μέγιστο ισχύει έως τιμές της τάξεως του 10-5 όπως αναμενόταν. Συγκρίνοντας τις δύο περιπτώσεις φόρτισης παρατηρείται ότι η περίπτωση με τις 20 επιφάνειες διαρροής παρουσιάζει μια ομαλότητα τόσο στο διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων, αλλά και στο διάγραμμα μέτρου διάτμησης-παραμορφώσεων, γεγονός που είναι πιο κοντά στην πραγματικότητα. Η περίπτωση με τις 8 επιφάνειες διαρροής παρουσιάζει έντονες αλλαγές στο μέτρο διάτμησης, με αποτέλεσμα να μην προσομοιώνεται επαρκώς το φαινόμενο της σταδιακής πλαστικοποίησης του εδάφους υπό μονοτονική φόρτιση (Σχ ).

61 47 Σχήμα 4.8 Καμπύλη τoct γoct για 20 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.9 Καμπύλη τoct γoct για 20 επιφάνειες διαρροής (τιμές γoct ως 10-3 )

62 48 Σχήμα 4.10 Καμπύλη τoct γoct για 8 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.11 Καμπύλη τoct γoct για 8 επιφάνειες διαρροής (τιμές γoct ως 10-3 )

63 49 Σχήμα 4.12 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης για 20 επιφάνειες διαρροής Σχήμα 4.13 Καμπύλη μείωσης μέτρου διάτμησης για 8 επιφάνειες διαρροής

64 50 5. ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΕΤΡΑΚΟΜΒΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΜΕ ΕΝΑ ΣΤΑΘΕΡΟΠΟΙΗΜΕΝΟ ΣΗΜΕΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΔΙΣΤΑΤΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ Στο παρών κεφάλαιο ελέγχεται η αξιοπιστία του πεπερασμένου στοιχείου που χρησιμοποιήθηκε για την προσομοίωση του εδαφικού υλικού με δύο διαφορετικούς τρόπους. Αρχικά γίνεται ο έλεγχος συρραφής (patch test) που επινοήθηκε από τον Irons [5] προκειμένου να ελεγχθεί αν ένα στοιχείο ικανοποιεί τις απαιτήσεις σύγκλισης. Το κριτήριο συρραφής αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για σύγκλιση των αποτελεσμάτων των πεπερασμένων στοιχείων στην ακριβή λύση με τη βαθμιαία πύκνωση του δικτιού. Στη συνέχεια γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα εδαφικής στήλης που διεγείρεται στη βάση της με οριζόντια κίνηση του υποκείμενου βράχου. Η ανάλυση πραγματοποιείται με τρία διαφορετικά είδη πεπερασμένων στοιχείων τύπου Lagrange, i) τετράκομβα τετράπλευρα στοιχεία με ένα σταθεροποιημένο σημείο ολοκλήρωσης (SSPQuad elements), ii) τετράκομβα τετράπλευρα στοιχεία πρώτης τάξεως με 4 σημεία ολοκλήρωσης (Quad elements), και iii) τετράπλευρα στοιχεία δευτέρας τάξεως εννέα κόμβων με 4 σημεία ολοκληρώσεως (Nine Four Node Quad-UP) [30]. 5.1 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΚΗΣ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ Αν υποθέσουμε ότι το πεδίο των μετατοπίσεων ορίζεται από μια συνάρτηση φ = φ(x,y,z) στην οποία εμπεριέχονται παράγωγοι της φ μέχρι του βαθμού m. Για να έχουμε μονοτονική σύγκλιση στην ακριβή λύση φ καθώς πυκνώνουμε το δίκτυο των πεπερασμένων στοιχείων θα πρέπει να ισχύουν οι παρακάτω συνθήκες: i. Συνθήκη πληρότητας: Το προσεγγιστικό πεδίο των μετατοπίσεων στο εσωτερικό των στοιχείων θα πρέπει να ορίζεται με πλήρη πολυώνυμα βαθμού m. ii. Συνθήκη συμβιβαστού των παραμορφώσεων: Στις διεπιφάνειες των στοιχείων πρέπει να υπάρχει συνέχεια της φ και των παραγώγων της μέχρι βαθμό m-1. iii. Συνθήκη σταθερή παραγώγου της φ: Εάν σε ένα αραιό δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων επικρατήσουν συνοριακές συνθήκες οι οποίες έχουν σταθερή τιμή σε κάθε μια από τις m παραγώγους της φ, τότε με την πύκνωση του δικτύου θα πρέπει σε κάθε στοιχείο να απεικονίζεται αυτή η σταθερή τιμή της παραγώγου της φ. 5.2 ΈΛΕΓΧΟΣ ΣΥΡΡΑΦΗΣ Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω ο έλεγχος συρραφής αποτελεί αναγκαία και ικανή συνθήκη για σύγκλιση των αποτελεσμάτων των πεπερασμένων στοιχείων στην ακριβή λύση με τη βαθμιαία πύκνωση του δικτιού. Ο έλεγχος αυτός αποτελεί μια σχετικά απλή μέθοδο επαλήθευσης της αξιοπιστίας ενός πεπερασμένου στοιχείου. Εάν ένα στοιχείο ικανοποιεί το κριτήριο συρραφής τότε ικανοποιεί και τις συνθήκες σύγκλισης που αναφέρθηκαν πιο πάνω. Ο έλεγχος συρραφής πραγματοποιείται σε ένα κατά το δυνατό αραιό δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων στο οποίο τουλάχιστον ένας κόμβος να είναι κοινός σε περισσότερα από δύο στοιχεία.

65 51 Αυτό το στοιχείο μπορεί να είναι επίπεδης έντασης-παραμόρφωσης, είτε οποιοδήποτε άλλο πεπερασμένο στοιχείο. Κατά τον έλεγχο συρραφής θα πρέπει να πρέπει οι συνοριακοί κόμβοι του δικτύου να φορτιστούν έτσι ώστε στο φορέα να εξασφαλίζεται κατάσταση σταθερής έντασης. Δηλαδή σε ένα πρόβλημα επίπεδης έντασης- παραμόρφωσης σε όλα τα σημεία ολοκλήρωσης του φορέα να είναι σταθερές οι σx, σy και τxy. Υπάρχουν περιπτώσεις που ένα αραιό δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων να μην ικανοποιεί το κριτήριο συρραφής, αλλά ένα πυκνότερο δίκτυο να το ικανοποιεί. Τότε το στοιχείο λέγεται ότι ικανοποιεί ασθενές κριτήριο συρραφής και η σύγκλιση εξασφαλίζεται με την πύκνωση του δικτύου Παράδειγμα ελέγχου συρραφής σε τετράκομβο στοιχείο (SSPQuad) Στο παράδειγμα φαίνεται ο έλεγχος συρραφής σε ένα δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων επίπεδης παραμόρφωσης. Το δίκτυο αποτελείται από 5 τετράπλευρα στοιχειά πρώτης τάξεως με ένα σταθεροποιημένο σημείο ολοκλήρωσης (SSPQuad). Το δίκτυο έχει συνολικά 8 κόμβους και οι συνοριακοί του κόμβοι φορτίζονται έτσι ώστε να δημιουργούνται συνθήκες σταθερής εντατικής κατάστασης σε όλο το δίκτυο. Το υλικό που χρησιμοποιείται είναι Ελαστικό Ισότροπο με Μέτρο Ελαστικότητας: Ε = KPa, λόγο Poisson: ν = 0.3 και Πάχος: t = 1.0 m. Το δίκτυο έχει συνολικές διαστάσεις 2 x 2 m. Στις τέσσερις πλευρές του στοιχείου εφαρμόζονται σταθερές ορθές δυνάμεις tx = 10 KN/m, ty = 15 KN/m, και διατμητική txy = 5 KN/m. Για να ικανοποιείται το κριτήριο συρραφής θα πρέπει σε στα συνολικά 5 σημεία ολοκληρώσεως των στοιχείων του δικτύου να ισχύει: σx = tx, σy = ty και τxy = txy. Σχήμα 5.1 Έλεγχος συρραφής σε δίκτυο πεπερασμένων στοιχείων. Φόρτιση συνοριακών κόμβων έτσι ώστε να επικρατεί σε όλο το δίκτυο σταθερή ένταση Σύμφωνα με το Σχ. 5.3 τηρείται ο έλεγχος συρραφής αφού η ένταση σx, σy και τxy στο φορέα είναι σταθερή σε όλα τα σημεία ολοκληρώσεως του δικτύου.

66 52 Σχήμα 5.2 Ισοδύναμη επικόμβια φόρτιση Σχήμα 5.3 (α) Τάση σx = 10 KPa, (β) Τάση σy = 15 KPa, (γ) Τάση τxy = 5 KPa,

67 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΔΑΦΙΚΗΣ ΣΤΗΛΗΣ ΥΠΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΤΗΣ Στην παρούσα παράγραφο συγκρίνονται τα αποτελέσματα τριών διαφορετικών πεπερασμένων στοιχείων σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων καθ ύψος μιας κατακόρυφης εδαφικής στήλης. Σκοπός του παραδείγματος είναι να εξεταστεί η αξιοπιστία του τετράπλευρου στοιχείου με ένα σημείο ολοκλήρωσης που αναφέρθηκε πιο πάνω, αλλά και να διατυπωθούν κάποιες βασικές εξισώσεις διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων στη μία διάσταση. Οι εξισώσεις αυτές αποτελούν τη βάση για διάδοση κυμάτων σε πιο σύνθετα προβλήματα δύο και τριών διαστάσεων. Το πεπερασμένο στοιχείο πρώτης τάξεως τύπου SSPQuad αποδείχθηκε ότι πληροί τα κριτήρια μονοτονικής σύγκλισης, αφού τηρεί τον έλεγχο συρραφής. Τώρα θα εξεταστεί η αξιοπιστία του σε ένα μη-γραμμικό δυναμικό πρόβλημα όπως είναι η σεισμική διέγερση σε ένα εδαφικό υλικό. Τα αποτελέσματα θα συγκριθούν με δύο άλλα πεπερασμένα στοιχεία. Το ένα είναι ένα τετράκομβο στοιχείο της ίδιας τάξεως που κάνει χρήση πλήρους ολοκληρώσεως με τέσσερα σημεία, ενώ το άλλο είναι ένα στοιχείο εννέα κόμβων δευτέρας τάξεως με επίσης τέσσερα σημεία ολοκλήρωσης. Ως κριτήριο σύγκρισης τέθηκε η οριζόντια επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους Διάδοση κυμάτων σε μια διάσταση Πρωτεύοντα και Δευτερεύοντα κύματα Αρχική παραδοχή του προβλήματος είναι ότι τα σεισμικά κύματα φτάνουν σε μια λεπτή εδαφική στήλη που στη βάση της υπάρχει ένα πολύ πιο δύσκαμπτο εδαφικό υλικό που ονομάζεται βράχος. Ο βράχος δεν είναι πάντα ένα πέτρωμα, αλλά ορίζεται με διαφορετικό τρόπο στη μηχανική, βάση την ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων μέσα σε αυτόν. Κάποτε ως βράχος θεωρείται κάποιο σκληρό εδαφικό υλικό που η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων σε αυτόν να είναι μεγαλύτερη των 800 m/s. Μέσα σε ένα εδαφικό υλικό διαδίδονται τα λεγόμενα κύματα σώματος (Body waves). Αυτά τα κύματα χωρίζονται σε δύο κατηγορίες. Η πρώτη κατηγορία είναι τα διαμήκη κύματα ή πρωτεύοντα κύματα (Primary P-waves). Σε αυτού του τύπου τα κύματα η κίνηση των σωματιδίων του εδάφους είναι παράλληλη με τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η δεύτερη κατηγορία κυμάτων είναι τα εγκάρσια κύματα ή δευτερεύοντα κύματα (Secondary S-waves). Σε αυτά η κίνηση των σωματιδίων του εδάφους είναι εγκάρσια στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Οι όροι πρωτεύοντα και δευτερεύοντα προκύπτουν από την ταχύτητα διάδοσης τους, αφού τα πρώτα διαδίδονται σε ένα μέσο με ταχύτητα περίπου 1.6 με 2 φορές μεγαλύτερη από αυτή των δεύτερων. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων σε ένα έδαφος εξαρτάται από τις ελαστικές σταθερές του εδάφους και την πυκνότητα μάζας. Η διάδοση των δύο τύπων κυμάτων σε ένα έδαφος φαίνεται στα Σχ. 5.4 και 5.5. Οι ταχύτητες διαμήκων Vp και εγκαρσίων κυμάτων Vs σε ένα έδαφος δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις. V p = E(1+ν) ρ(1+ν)(1 2ν) (5.1)

68 54 V s = G ρ (5.2) Σχήμα 5.4 Διάδοση διαμήκων κυμάτων (Primary P-waves) [Διαδίκτυο] Σχήμα 5.5 Διάδοση εγκαρσίων κυμάτων (Secondary S-waves) [Διαδίκτυο] Ο σεισμός προκαλεί κάποιες μετακινήσεις στο βράχο κάτω από μια εδαφική στρώση. Οι κατακόρυφες μετακινήσεις του βράχου έχουν αποτέλεσμα την παραγωγή διαμήκων κυμάτων στο υπερκείμενο έδαφος, ενώ οι οριζόντιες μετακινήσεις παράγουν εγκάρσια κύματα. Στο παρόν μονοδιάστατο πρόβλημα εξετάζεται η περίπτωση οριζόντιας διέγερσης στο βράχο που βρίσκεται στη βάση της εδαφικής στήλης. Η διεύθυνση διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων που παράγονται είναι η κατακόρυφη. Η εξίσωση των οριζόντιων μετατοπίσεων urock στην ανώτερη επιφάνεια του βράχου υπό ημιτονοειδή σεισμική διέγερση είναι η εξής [12]: u rock = u 0 sin ( 2π Τ t Όπου u 0 : Εύρος ταλάντωσης ω: Κυκλική συχνότητα του σεισμικού κύματος Τ: Περίοδος του σεισμικού κύματος λrock: Μήκος του σεισμικού κύματος πάνω στο βράχο 2π x) = u λ 0 sin[ω(t x rock V s rock)] (5.3)

69 55 λ rock = 2π ω V s rock = Τ V s rock = V s rock f (5.4) Η κυριαρχούσα περίοδος των σεισμικών κυμάτων κινείται σε ένα εύρος τιμών : T = 0.1 s 0.5 s. Ισοδύναμα σε όρους συχνότητάς f = 2 Hz 10 Hz. Η τιμή της συχνότητας των σεισμικών κυμάτων μπορεί να φτάσει μέχρι και 20 Hz σε κάποιες περιπτώσεις. Έστω ότι η ταχύτητα διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων σε ένα βράχο είναι V s rock = 2000 m s και η συχνότητα των εγκάρσιων σεισμικών κυμάτων f = 5 Hz, τότε το μήκος κύματος είναι λrock =400 m. Συνήθως οι εδαφικές στρώσεις πάνω από το βράχο είναι τις τάξεως των m. Το μήκος του σεισμικού κύματος πάνω στο βράχο είναι μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερο από το ύψος της εδαφικής στρώσης, με αποτέλεσμα σε μια μεγάλη οριζόντια απόσταση κατά μήκος της βάσης του εδάφους η οριζόντια κίνηση να θεωρείται σταθερή. Αυτό μπορεί να αιτιολογήσει και την υπόθεση διάδοσης κύματος σε μια μόνο διεύθυνση που θεωρείται ικανοποιητική σε κάποια προβλήματα. Βέβαια για βαθύτερες εδαφικές στρώσεις και έδραση σε βράχο με μικρότερη ταχύτητα διάδοσης κυμάτων αυτή η θεωρία της μονοδιάστατης διάδοσης κυμάτων παύει να είναι ακριβής Εξίσωση διάδοσης κυμάτων σε μια διεύθυνση Η βασική διαφορική εξίσωση διάδοσης κυμάτων σε μια διεύθυνση είναι η εξής: τ = ρ 2 u (5.5) z t 2 Όπου τ η διατμητική τάση η οποία ισούται με G γ = G ( u + w z x ) σύμφωνα με τις Εξ και Λόγω της υπόθεσης ότι το μήκος κύματος στο βράχο είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με το πάχος της εδαφικής στρώσης, ο όρος w/ x είναι πολύ μικρός σε σχέση με τον όρο u/ z, έτσι μπορεί να απαλειφτεί από την εξίσωση. Σε προβλήματα Εδαφομηχανικής συνήθως ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας z (κατακόρυφη μετακίνηση w) που έχει αρχή την επιφάνεια του εδάφους και θετική φορά όταν αυξάνεται το βάθος, ενώ ο άξονας x (οριζόντια μετατόπιση u) είναι ο οριζόντιος άξονας που είναι παράλληλος με το επίπεδο που εξετάζεται η εδαφική κίνηση όταν πρόκειται για μονοδιάστατο ή πρόβλημα δύο διαστάσεων. Σχήμα 5.6 Εδαφική στήλη ύψους h που εδράζεται σε βράχο ή πολύ σκληρή εδαφική στρώση [12]

70 56 Η τελική μορφή της εξίσωσης κάνοντας την απλοποίηση και με χρήση της Εξ. 5.2 είναι η εξής: 2 u = V z 2 s 2 2 u (5.6) t 2 Θέτοντας τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες που είναι: 1) ότι στο κάτω άκρο της εδαφικής στήλης που έχει ύψος h ισχύει ότι η μετακίνηση είναι ίση με τη μετακίνηση του βράχου και 2) ότι η διατμητική τάση στην επιφάνεια του εδάφους είναι μηδενική, προκύπτει ότι η λύση της διαφορικής εξίσωσης της μονοδιάστατης διάδοσης κύματος ημιτονοειδούς σήματος: u = u 0 cos(ω z Vs ) cos(ω h Vs ) sin[ω(t x V s rock)] (5.7) Ο όρος x/v s rock είναι σταθερός αφού πρόκειται για διάδοση κύματος κατά τη συνιστώσα z, ενώ εκφράζει τη διαφορά φάσεως του διαδιδόμενου κύματος σε κάποια οριζόντια απόσταση x. Σε κάποιες συγκεκριμένες συχνότητες της διέγερσης το έδαφος φαίνεται να έχει ιδιαίτερα μεγάλη απόκριση, γεγονός που δείχνει ότι υπάρχει συντονισμός. Η μικρότερη συχνότητα που εμφανίζεται το φαινόμενο αυτό, αποτελεί και τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους είναι η: ω 1 = π V s,avg 2h (5.8) Και η αντίστοιχη ιδιοπερίοδος: T 1 = 4h V s,avg (5.9) Οι ανώτερες ιδιοσυχνότητες του εδάφους αποτελούν περιττά πολλαπλάσια της θεμελιώδους, άρα οι ανώτερες ιδιοπερίοδοι n υπολογίζονται από τη σχέση: T n = 1 4h 2n 1 V s,avg (5.10) Όπου: V s,avg : Μέση ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων της εδαφικής στήλης Η μέση ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων δίνεται προσεγγιστικά από την παρακάτω σχέση διακριτοποιώντας το έδαφος σε πολλές μικρές στρώσεις : V s,avg = h n [ Δz i i=1 Vs(z i ) ] (5.11) Όπου: n: Αριθμός στρώσεων του εδάφους Δzi: Πάχος εδαφικής στρώσεως i V s (z i ): Ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων στην εδαφική στρώση i

71 Συνοριακές συνθήκες στη βάση της στήλης εδάφους Μεγάλη δυσκολία στα προβλήματα Δυναμικής του Εδάφους αποτελεί ο χειρισμός των συνοριακών συνθηκών για τη σωστή διάδοση των σεισμικών κυμάτων εκτός του υπολογιστικού τομέα που είναι πεπερασμένος, σε αντίθεση με το έδαφος που είναι αποτελεί έναν άπειρο ημιχώρο. Στην πραγματικότητα ένα μέρος της ενέργειας διαδίδεται εκτός των συνόρων του υπολογιστικού τομέα και δεν ανακλάται ποτέ πίσω στον υπολογιστικό τομέα. Σε περίπτωση που στο σύνορο του υπολογιστικού τομέα υιοθετηθούν συνθήκες είτε ελεύθερου άκρου, είτε δέσμευσης των βαθμών ελευθερίας, αλλά και συνθήκες στήριξης με ελατήρια, η ενέργεια που στην πραγματικότητα πρέπει να εξέλθει από τον υπολογιστικό τομέα, ανακλάται πίσω σε αυτόν με αποτέλεσμα να παράγονται πλασματικά κύματα. Για την αντιμετώπιση του προβλήματος θα πρέπει να υιοθετηθούν οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες. Για να γίνει αυτό θα πρέπει να γίνει η παραδοχή ότι ο υποκείμενος βράχος είναι ένας άπειρος ομογενές ημιχώρος που συμπεριφέρεται γραμμικά ελαστικά. Η γενική λύση της διαφορικής Εξ. 5.7 για τυχαία σεισμική διέγερση μπορεί να διατυπωθεί στη μορφή: u(z, t) = u i (t + z V s ) + u r (t z V s ) (5.12) Η λύση χωρίζεται σε δύο όρους, ο πρώτος όρος αναφέρεται στο προσπίπτων κύμα (incident wave) που διαδίδεται προς τα πάνω παράλληλα με τον αρνητικό άξονα z, ενώ ο δεύτερος όρος αναφέρεται στο ανακλώμενο κύμα (reflected wave) το οποίο προκύπτει από ανάκλαση στην ελεύθερη επιφάνεια του εδάφους και διαδίδεται προς τα κάτω παράλληλά με το θετικό άξονα z. Η συναρτήσεις ui και ur είναι οποιεσδήποτε αυθαίρετες συναρτήσεις των (t + z/vs) και (t - z/vs) αντίστοιχα. Παραγωγίζοντας τη σχέση μια φορά ως προς το χρόνο και πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της με τον όρο ρ Vs προκύπτει ότι: ρ V s u(z,t) t = ρ V s u i (t + z V s ) + ρ V s u r (t z V s ) (5.13) Επίσης κάνοντας χρήση των Εξ. 2.27, 2.33 και παραγώγιση της Εξ ως προς z προκύπτει ότι η διατμητική τάση σε οποιοδήποτε σημείο είναι: τ(z, t) = G u(z,t) z = G V s u i (t + z V s ) G V s u r (t z V s ) (5.14) Συνδυάζοντας τις δύο Εξ και 5.14 προκύπτει ότι : τ(z, t) = 2ρ V s u i (t + z V s ) ρ V s u(z,t) t (5.15) Παρατηρώντας την Εξ. 5.15, ο όρος u(z, t)/ t είναι ουσιαστικά την ταχύτητα των σωματιδίων του εδάφους, ενώ ο όρος u i = u i (t + z/v s )/ t αποτελεί την ταχύτητα των σωματιδίων του εδάφους που προκαλείται από το προσπίπτον κύμα. Τελικά η συνολική δύναμη που ασκείται σε οποιοδήποτε σημείο του εδάφους ανά μονάδα εμβαδού είναι άθροισμα δύο όρων.

72 58 Ο ένας όρος είναι ανάλογος με την ταχύτητα των σωματιδίων που προκαλείται από το προσπίπτων κύμα, ενώ ο δεύτερος αποτελεί μια ιξώδης δύναμη απόσβεσης με σταθερά ρ V s. Αυτός ο τύπος αναπαράστασης των συνοριακών συνθηκών του εδαφικού τομέα ονομάζεται σύνορο Lysmer Kuhlemeyer [2] και αντιμετωπίζει αρκετά καλά το πρόβλημα των πλασματικών κυμάτων που παράγονται στο εσωτερικό του εδαφικού τομέα υπό κάποιες προϋποθέσεις. Αυτές οι προϋποθέσεις θα αναλυθούν σε μεταγενέστερο στάδιο. Η εδαφική κίνηση συνήθως δίνεται υπό τη μορφή κάποιου επιταχυνσιογραφήματος πάνω στον υποκείμενο βράχο. Όμως σύμφωνα με τα πιο πάνω η εδαφική κίνηση θα πρέπει να δοθεί στη βάση της εδαφικής στρώσης σαν ένα άθροισμα ισοδύναμων δυνάμεων που είναι ανάλογες της ταχύτητας. Έχοντας δεδομένη την οριζόντια επιτάχυνση του προσπίπτοντος κύματος πάνω στο βράχο, ολοκληρώνοντάς μια φορά ως προς το χρόνο προκύπτει η αντίστοιχη ταχύτητα. Σε αρκετές περιπτώσεις η επιτάχυνση όταν προκύπτει από πραγματικές καταγραφές έχει ένα θόρυβο μέσα στο σήμα. Αυτός ο θόρυβος θα πρέπει να αφαιρεθεί έτσι ώστε να μην παραχθούν πλασματικές τιμές της ταχύτητας. Λόγω του ότι η ολοκλήρωση ενός σήματος αποτελεί ένα εμβαδόν, οι χαμηλές πλασματικές συχνότητες λόγω θορύβου παράγουν τεράστιες ταχύτητες που δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα. Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται με τη χρήση κατάλληλων υψιπερατών φίλτρων (high pass filters) τα οποία αφαιρούν από το σήμα επιλεγμένες χαμηλές συχνότητες. Για να υπολογιστεί η κατάλληλη δύναμη διέγερσης πολλαπλασιάζονται οι όροι της Εξ με το συνολικό εμβαδόν της βάσης του εδαφικού τομέα που πρόκειται να προσομοιωθεί. Έτσι προκύπτει ότι η δύναμη διέγερσης στη βάση του εδάφους που είναι ανάλογη των ιδιοτήτων του υποκείμενου βράχου: Όπου P eff (t) = A base ρ rock V s rock v in (t) (5.16) Αbase : Συνολικό εμβαδόν της βάσης της εδαφικής στήλης vin(t): Χρονοϊστορία ταχύτητας σωματιδίων εδάφους πάνω στον υποκείμενο βράχο Αντίστοιχα η ιξώδης δύναμη του αποσβεστήρα (η οποία έχει αντίθετο πρόσημο με τη δύναμη διέγερσης) που ονομάζεται αποσβεστήρας Lysmer ισούται με : P viscous (t) = A base ρ rock V s rock v(t) (5.17) Όπου v(t): η συνολική ταχύτητα των σωματιδίων του εδάφους Παράδειγμα μονοδιάστατης διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων σε εδαφική στήλη Εξετάζεται ένα μονοδιάστατο πρόβλημα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων στην κατακόρυφη διεύθυνση σε μια εδαφική στήλη ξηρής αργίλου που εδράζεται πάνω σε βράχο. Η άργιλος προσομοιώνεται με πολυδιάστατο υλικό πολλαπλής διαρροής ανεξάρτητο πίεσης (n-d Pressure Independed Multiyield Material). Η ιδιότητες της αργίλου είναι οι εξής: Ειδικό ξηρό βάρος: γdry = 1.5 KN/m 3, Λόγος Poisson: ν = 0.4, Μέτρο διάτμησης: G = KPa, Μέτρο διόγκωσης: K = KPa, Συνοχή: c = 37 KPa, Μέγιστη οκταεδρική παραμόρφωση γmax = 0.1. Το ύψος της

73 59 εδαφικής στήλης πάνω από το βράχο είναι h = 30 m, ενώ η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στο βράχο είναι V s rock = 1000 m/s. Τα πεπερασμένα στοιχεία επίπεδης παραμόρφωσης που χρησιμοποιήθηκαν έχουν σταθερές διαστάσεις 0.5 x 0.5 m καθ όλο το ύψος του εδάφους. Η οριζόντια κίνηση στη βάση της εδαφικής στήλης εισήχθη με τη μορφή χρονοϊστορίας οριζόντιας δύναμης με τη μέθοδο που περιάφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο σύμφωνα με τις Εξ και Το επιταχυνσιογράφημα της διέγερσης προέρχεται από καταγραφή του σταθμού Gilroy, California και έχει μέγιστη οριζόντια εδαφική επιτάχυνση στο βράχο περίπου 0.45g. Η ανάλυση πραγματοποιήθηκε με τρία διαφορετικά είδη πεπερασμένων στοιχείων τύπου Lagrange: i) με τετράκομβα τετράπλευρα στοιχεία με ένα σταθεροποιημένο σημείο ολοκλήρωσης (SSPQuad elements) ii) με τετράκομβα τετράπλευρα στοιχεία πρώτης τάξεως με 4 σημεία ολοκλήρωσης (Quad elements) iii) με τετράπλευρα στοιχεία δευτέρας τάξεως εννέα κόμβων με 4 σημεία ολοκληρώσεως (Nine Four Node Quad-UP) Τα δύο πρώτα στοιχεία έχουν δύο μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας, ενώ το τρίτο έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο. Ο τρίτος βαθμός ελευθερίας αναφέρεται στην πίεση των πόρων του νερού, αφού η χρήση του στοιχείου αυτού επεκτείνεται και σε κορεσμένο έδαφος σε αντίθεση με τα πρώτα δύο που χρησιμοποιούνται μόνο σε ξηρό έδαφος. Έτσι ο τρίτος βαθμός ελευθερίας δεσμεύεται στην ανάλυση που πραγματοποιήθηκε με το στοιχείο αυτό και έχει μηδενική τιμή, αφού το έδαφος θεωρείται ξηρό. Από τα τρία αυτά πεπερασμένα στοιχεία μόνο το δεύτερο χρησιμοποιεί πλήρη ολοκλήρωση σύμφωνα με το Σχ Το τρίτο στοιχείο με τους εννέα κόμβους χρειάζεται 9 σημεία ολοκλήρωσης για να θεωρείται ότι χρησιμοποιεί πλήρη ολοκλήρωση. Σκοπός του παραδείγματος είναι να εξεταστεί η αξιοπιστία του στοιχείου i) πρώτης τάξεως με ένα σταθεροποιημένο σημείο ολοκλήρωσης. Ως κριτήριο σύγκρισης των τριών αυτών στοιχείων είναι η οριζόντια επιτάχυνση που θα καταγραφεί στην επιφάνεια του εδάφους. Σχήμα 5.7 Σχηματική απεικόνιση εδαφικής στήλης [30]

74 Αποτελέσματα προβλήματος μονοδιάστατης διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων Αξιολόγηση στοιχείου SSPQuad Παρατηρώντας την οριζόντια επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους φαίνεται ότι υπάρχει αρκετά καλή συμφωνία των αποτελεσμάτων των τριών στοιχείων όπως φαίνεται στο Σχ Τα δύο πρώτα στοιχεία με τους τέσσερεις κόμβους φαίνεται να έχουν σχεδόν πλήρη συμφωνία μεταξύ τους (Σχ. 5.9). Το τρίτο στοιχείο ανώτερης τάξεως φαίνεται να δίνει ελαφρώς διαφορετικά αποτελέσματα στην περιοχή του επιταχυνσιογραφήματος μεταξύ 3 και 6 sec όπου παρατηρείται η μέγιστη απόκριση (Σχ. 5.10). Παρ όλα αυτά οι διαφορές αυτές είναι μικρές. Το στοιχείο SSPQuad μειωμένης ολοκλήρωσης που εξετάζεται φαίνεται να είναι αξιόπιστο και σε ένα δυναμικό μη-γραμμικό πρόβλημα χρονοϊστορίας, αφού η καταγεγραμμένη επιτάχυνση που είναι η κύρια απόκριση που ενδιαφέρει συνήθως δεν παρουσιάζει ουσιαστικές διαφορές με αναλύσεις που έγιναν με στοιχεία με ανώτερης τάξεως ή πλήρους ολοκλήρωσης. Μεγάλο πλεονέκτημα της χρήσεως του στοιχείου είναι η μεγάλη εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου. Οι συνολικοί χρόνοι αναλύσεως για τα τρία στοιχεία ήταν, i) SSPQuad: 90 sec, ii) Quad: 125 sec, iii) Nine Four Node Quad-UP: 151 sec. Όπως ήταν αναμενόμενο το πρώτο στοιχείο είναι πιο γρήγορο στην ανάλυση από τα άλλα δύο, με πιο αργό το τρίτο. Ο χρόνος ανάλυσης είναι 40% και 60% μικρότερος από τα άλλα δύο στοιχεία αντίστοιχα. Αυτό το γεγονός του δίνει μεγάλο πλεονέκτημα, γι αυτό και έγινε η επιλογή να γίνουν οι κυρίως αναλύσεις με αυτό στη συνέχεια της διατριβής. Σχήμα 5.8 Οριζόντια επιτάχυνση στην επιφάνεια του εδάφους για στοιχείο: (α) SSPQuad, (β) Quad, (γ) Nine Four Node Quad-UP

75 61 Σχήμα 5.9 Σύγκριση αποτελεσμάτων στοιχείων SSPQuad και Quad Σχήμα 5.10 Σύγκριση αποτελεσμάτων στοιχείων SSPQuad και Nine Four Node Quad-UP Αξιολόγηση μεθόδου εισαγωγής διέγερσης Η οριζόντια επιτάχυνση εισόδου αποτελεί καταγραφή από το σταθμό Gilroy. Ολοκληρώθηκε μια φορά ως προς το χρόνο και προέκυψε η χρονοϊστορία ταχύτητας που πρέπει να επιβληθεί στη βάση του εδάφους. Η ταχύτητα πολλαπλασιάζεται με τον κατάλληλο συντελεστή σύμφωνα με την Εξ και προκύπτει η ισοδύναμη φόρτιση σε όρους δυνάμεων που εφαρμόζεται τελικά στη βάση. Οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες δόθηκαν στους δύο κόμβους της βάσης του εδάφους όπως φαίνεται στο Σχ.5.7. Οι κόμβοι αυτοί είναι ελεύθεροι να μετακινηθούν μόνο κατά την οριζόντια διεύθυνση, ενώ η έξοδος του ανακλώμενου κύματος από τον εδαφικό τομέα γίνεται με τους αποσβεστήρες Lysmer που περιεγράφηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Για να αξιολογηθεί η αποτελεσματικότητα της μεθόδου καταγράφηκε η πραγματική επιτάχυνση στη βάση του εδάφους η οποία συγκρίθηκε με την επιθυμητή. Σύμφωνα με τα

76 62 Σχ και 5.12 υπάρχει πολύ καλή συμφωνία μεταξύ της καταγεγραμμένης τιμής και της επιθυμητής, όμως στο σημείο που το επιταχυνσιογράφημα παίρνει τις μέγιστες τιμές του στο χρόνο 3 5 sec παρουσιάζονται κάποιες αστάθειες. Το επιταχυνσιογράφημα παρουσιάζει κάποιες αστάθειες σ αυτό το εύρος τιμών με αποτέλεσμα να κάνει κάποιες μικρές ταλαντώσεις γύρω από την πραγματική τιμή. Ο πιθανότερος λόγος που παρουσιάζονται αυτές οι αστάθειες είναι ότι ουσιαστικά το έδαφος στηρίζεται πάνω σε κυλίσεις, με αποτέλεσμα η μόνη αντίσταση που έχει κατά την οριζόντια διεύθυνση να είναι η ιξώδης δύναμη από τον αποσβεστήρα Lysmer που είναι ανάλογη τις ταχύτητας. Για χαμηλές όμως οριζόντιες ταχύτητες διέγερσης και κατ επέκταση χαμηλές συχνότητες, το έδαφος είναι ευαίσθητο και παρουσιάζει μεγάλες μετακινήσεις. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να αντιμετωπιστεί σε προβλήματα δύο διαστάσεων όπου υπάρχουν πολλοί κόμβοι στη βάση. Η οριζόντια μετακίνηση του μεσαίου κόμβου της βάσης μπορεί να δεσμευτεί αντιμετωπίζοντας το πρόβλημα της ευαισθησίας του συστήματος σε χαμηλές συχνότητες. Σχήμα 5.11 Οριζόντια επιτάχυνση στη βάση εδάφους: (α) Επιθυμητή, (β) Καταγεγραμμένη Σχήμα 5.12 Σύγκριση επιθυμητής και καταγεγραμμένης επιτάχυνσης στη βάση του εδάφους

77 63 6. ΔΙΑΔΟΣΗ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ ΕΔΑΦΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΜΠΣ 6.1 ΕΞΙΣΩΣΗ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Οι βασικές εξισώσεις διάδοσης κυμάτων της ελαστοδυναμικής είναι οι εξισώσεις Navier: (λ + μ) e x + μ 2 u = ρ 2 u t 2 (6.1) (λ + μ) e y + μ 2 v = ρ 2 v t 2 (6.2) (λ + μ) e z + μ 2 w = ρ 2 w t 2 (6.3) Όπου: e η ογκομετρική παραμόρφωση: e = u + v + w x y z (6.4) Από τις ειδικές λύσεις των εξισώσεων αυτών προκύπτουν οι εξισώσεις των κυμάτων σώματος που παράγονται. Εκτός από τα κύματα σώματος που παράγονται στη διάδοση κυμάτων στη μια διάσταση, τώρα στον ημιχώρο παράγονται και τα λεγόμενα κύματα επιφανείας. Τα κύματα σώματος χωρίζονται όπως προαναφέρθηκε, σε διαμήκη πρωτεύοντα κύματα P και εγκάρσια δευτερεύοντα κύματα S. Κοντά στην επιφάνεια του εδάφους παράγονται τα κύματα επιφανείας που χωρίζονται στα κύματα Rayleigh και τα κύματα Love [2] Κύματα Rayleigh Τα κύματα Rayleigh είναι συνδυασμός των πρωτευόντων και δευτερευόντων κυμάτων όταν αυτά φτάσουν κοντά στην επιφάνεια του εδάφους. Το πλάτος τους μειώνεται εκθετικά με την αύξηση του βάθους, γι αυτό και είναι σημαντικά μόνο σε μικρά βάθη. Η κίνηση των σωματιδίων του εδάφους είναι ελλειπτική μέσα στο επίπεδο που διαδίδεται το κύμα, γι αυτό και συνήθως τα κύματα Ryleigh είναι πολύ καταστρεπτικά για τις κατασκευές. Η ταχύτητα των κυμάτων Rayleigh είναι ελαφρώς μικρότερη από αυτήν των δευτερευόντων κυμάτων Κύματα Love Τα κύματα Love προκαλούνται από διαδοχικές ανακλάσεις διαμήκων και εγκαρσίων κυμάτων στις δύο πλευρές μιας λεπτής μαλακής στρώσης εδάφους που βρίσκεται πάνω από μια άλλη σκληρότερη. Τα σωματίδια εκτελούν εγκάρσιες κινήσεις εκτός του επιπέδου διάδοσης του κύματος. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων Love είναι μεγαλύτερη από αυτήν των κυμάτων Rayleigh, αλλά μικρότερη από αυτήν των δευτερευόντων.

78 64 Σχήμα 6.1 (α) Διάδοση κυμάτων Love, (β) Διάδοση κυμάτων Rayleigh [Διαδίκτυο] 6.2 ΔΙΑΔΟΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΤΡΩΜΑΤΩΜΕΝΟ ΕΛΑΣΤΙΚΟ ΗΜΙΧΩΡΟ Πολλές φορές τα εδάφη στην πραγματικότητα παρουσιάζουν οριζόντιες ή κεκλιμένες διαχωριστικές επιφάνειες ασυνέχειας. Παράδειγμα αποτελεί μια σχετικά μαλακή εδαφική στρώση που εδράζεται σε ένα πολύ πιο δύσκαμπτο βράχο. Όταν ένα κύμα σώματος (εγκάρσιο ή διάμηκες) προσπέσει στη διαχωριστική επιφάνεια που διαχωρίζει δυο ελαστικά μέσα, μέρος από την ενέργεια που μεταφέρει ανακλάται, ενώ το υπόλοιπο διαθλάται και εισχωρεί στο άλλο μέσο. Τα εγκάρσια κύματα συνήθως αναλύονται σε δύο συνιστώσες, τη συνιστώσα SV που περιλαμβάνει κίνηση σε επίπεδο κάθετο πάνω στο επίπεδο πρόσπτωσης και την συνιστώσα SH που περιλαμβάνει κίνηση σε επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο πρόσπτωσης. Όταν ένα προσπίπτον διάμηκες κύμα P προσπέσει πάνω σε μια επιφάνεια ασυνέχειας, παράγει συνολικά τέσσερα κύματα, δύο ανακλώμενα (P-P1, P-SV1) και δύο διαθλώμενα (P-P2, P-SV2). Το καθένα από τα δύο ζεύγη που παράγονται αποτελείται από ένα διάμηκες και ένα εγκάρσιο κύμα. Αντίστοιχα το ίδιο συμβαίνει σε ένα προσπίπτων εγκάρσιο κύμα SV, το οποίο παράγει, δύο ανακλώμενα (SV-P1, SV-SV1) και δύο διαθλώμενα (SV-P2, SV-SV2) κύματα. Στην περίπτωση προσπίπτοντος εγκάρσιου κύματος SH δεν παράγονται κύματα P, αλλά μόνο ένα διαθλώμενο κύμα (SH-SH1) και ένα ανακλώμενο (SH-SH2). Οι γωνίες ανάκλασης και διάθλασης συνδέονται με τη γωνία πρόπτωσης μέσω του Νόμου του Snell [2]: sin a V p1 = sin b V s1 = sin e V p2 = sin f V s2 (6.5)

79 65 Σχήμα 6.2 Πρόσπτωση σε διαχωριστική επιφάνεια: (α) Κύμα P, (β) Κύμα SV, (γ) Κύμα SH Τα πλάτη των ανακλώμενων και διαθλώμενων κυμάτων είναι συναρτήσεις τριών παραγόντων: 1) της γωνίας πρόσπτωσης, 2) του λόγου των ταχυτήτων διάδοσης των κυμάτων στα δύο μέσα, και 3) του λόγου των πυκνοτήτων των δύο μέσων. Εάν η ταχύτητα ενός ανακλώμενου ή διαθλώμενου κύματος είναι μεγαλύτερη από εκείνη του προσπίπτοντος κύματος, τότε υπάρχει μια κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης στην οποία αντιστοιχεί γωνία ανάκλασης ή διάθλασης 90. Η κρίσιμη αυτή τιμή της οριακής γωνίας ονομάζεται οριακή γωνία και συμβολίζεται με ic. Για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της οριακής γωνίας, αντί για ανακλώμενο και διαθλώμενο κύμα δημιουργείται μόνο μια διαταραχή που περιορίζεται στην γειτονιά της διαχωριστικής επιφάνειας. Η τιμή της οριακής γωνίας δίνεται από τη σχέση: V προσπίπτωντος i c = sin 1 (6.6) V ανακλ. ή V διαθλ. 6.3 ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ Απόσβεση ακτινοβολίας (γεωμετρική απόσβεση) Όταν η διάδοση των κυμάτων είναι χωρική, παρατηρείται εξασθένηση του πλάτους ταλαντώσεων όσο αυξάνεται η απόσταση από την πηγή της διαταραχής. Το γεγονός αυτό μπορεί να ερμηνευθεί όταν ληφθεί υπόψιν ότι το ίδιο ποσό της εισερχόμενης στο σύστημα ενέργειας κατανέμεται σε σφαιρικά μέτωπα κυμάτων με ολοένα αυξανόμενη ακτίνα, άρα και με συνεχώς αυξανόμενο εμβαδόν. Επομένως η ποσότητα ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας μειώνεται προκαλώντας έτσι μείωση του πλάτους ταλάντωσης. Η απόσβεση αυτή ονομάζεται απόσβεση ακτινοβολίας ή γεωμετρική απόσβεση και διαχωρίζεται από την απόσβεση του εδαφικού υλικού. Αν r η απόσταση από τη σεισμική πηγή, ο νόμος εξασθένησης για χωρικά κύματα P και S είναι ανάλογος του 1/r, ενώ για τα ίδια κύματα που διαδίδονται κατά μήκος της επιφάνειας 1/r 2. Ο νόμος εξασθένησης των επιφανειακών κυμάτων Rayleigh είναι ανάλογος με τον όρο 1/ r. Παρατηρείται ότι τα κύματα Rayleigh εξασθενούν πολύ πιο αργά από τα υπόλοιπα κύματα. Άρα σε αποστάσεις μακριά από την πηγή που προκάλεσε το σεισμικό κύμα, είναι τα μόνα που έχουν σημαντικό πλάτος, γι αυτό και παρουσιάζουν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον σε προβλήματα Δυναμικής του Εδάφους [2]. Πρέπει να τονιστεί το γεγονός ότι στην προσομοίωση εδάφους με τη ΜΠΣ στις δύο διαστάσεις, η απόσβεση ακτινοβολίας υπερεκτιμάται.

80 Ιξώδης απόσβεση εδαφικού υλικού Εάν θεωρηθεί ότι το έδαφος είναι ένα ιξωελαστικό μέσο διάδοσης, τότε στην Εξ που συνδέει τις διατμητικές τάσεις με τις παραμορφώσεις προστίθεται ακόμη ένας όρος και παίρνει τη μορφή [2]: τ = G γ + μ dγ dt (6.7) Όπου: μ: ισοδύναμο ιξώδες εδαφικού υλικού σε διατμητική φόρτιση. Αυτό το ιξώδες μπορεί να οριστεί με τη βοήθεια ενός μονοβάθμιου ταλαντωτή με σταθερά ελατηρίου k, συντελεστή απόσβεσης c και μάζα m. dγ dt μ = c G k m (6.8) ω : Ρυθμός μεταβολής της διατμητικής παραμόρφωσης Με την πρόσθεση του όρου αυτού στη σχέση διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων, η Εξ. 5.6 διάδοσης ενός μονοδιάστατου εγκάρσιου κύματος που διαδίδεται κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, παίρνει την εξής μορφή: ρ 2 u t 2 = G 2 u z 2 + μ 3 u z 2 t (6.9) H ταχύτητα διάδοσης ιξωελαστικών εγκάρσιων κυμάτων V s,v αποδεικνύεται ότι δίνεται από τη σχέση: V s,v = G ρ [ 2[1+(μ ω G )2 ] [1+( μ ω G )2 ]+1 ] 1 2 (6.10) Το φαινόμενο της εξάρτησης της ταχύτητας διάδοσης των κυμάτων από τη συχνότητα διέγερσης, ονομάζεται διασπορά του κύματος (dispersion of waves). Βέβαια για συνήθη εδάφη ο όρος ( μ ω G ) είναι μικρός, επομένως κατά προσέγγιση ισχύει ότι: V s,v V s (6.11) Η γενική λύση της Εξ. 6.9 έχει τη μορφή: u(z, t) = e Az cos(ω t B z) (6.12) Όπου: A: σταθερά με θετική τιμή, ανάλογη της συχνότητας διέγερσης Β: σταθερά Για σταθερό χρόνο, η συνάρτηση u(z) είναι αρμονική μειούμενου πλάτους, δηλαδή το πλάτος μετακίνησης μειώνεται με την αύξηση της απόστασης. Αυτό είναι αποτέλεσμα της ιξώδους

81 67 απόσβεσης που εισήχθηκε στο σύστημα. Ακόμα μια παρατήρηση είναι ότι για σταθερές τιμές του χρόνου και της απόστασης, το πλάτος ταλάντωσης ελαττώνεται με την αύξηση της συχνότητας διέγερσης. Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι κύματα μεγάλων συχνοτήτων εξασθενούν ταχύτερα σε σχέση με κύματα μικρότερων συχνοτήτων. Αυτό το γεγονός παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον στη διάδοση σεισμικών κυμάτων. Τέλος μπορεί να οριστεί και ο λόγος απόσβεσης ξ του εδαφικού υλικού συναρτήσει του ισοδύναμου ιξώδους από την πιο κάτω σχέση: ξ = μ ω 2G (6.13) Παρόμοιες εξισώσεις ισχύουν και για την διάδοση διαμήκων κυμάτων με τις κατάλληλες τροποποιήσεις Υστερητική απόσβεση εδαφικού υλικού Στην πραγματικότητα η απόσβεση των εδαφικών υλικών δεν είναι ιξώδης, αλλά υστερητικού τύπου. Τα εδαφικά υλικά παρουσιάζουν τη λεγόμενη υστερητική απόσβεση, η οποία είναι ανεξάρτητη της συχνότητας. Για να συνεχίσουν όμως να ισχύουν οι εξισώσεις διάδοσης κυμάτων σε ιξωελαστικά εδάφη, γίνεται η παραδοχή ότι η τιμή του ισοδύναμου ιξώδους μειώνεται με την αύξηση της συχνότητας, έτσι ώστε η τιμή του λόγου απόσβεσης να μένει σταθερή. Η υστερητική απόσβεση σχετίζεται με την απώλεια ενέργειας λόγω δυνάμεων τριβής που προκαλούνται όταν το έδαφος φορτίζεται και αποφορτίζεται. Πειραματικές δοκιμές έχουν δείξει ότι η απόσβεση του εδαφικού υλικού εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως η διατμητική παραμόρφωση του υλικού, ο αριθμός των κύκλων φόρτισης, η ενεργός τάση περίσφιξης, ο δείκτης πλαστικότητας, η γεωλογική ηλικία του εδαφικού υλικού και άλλοι [14]. Η συνολική απόσβεση σε ένα έδαφος είναι προϊόν της γεωμετρικής απόσβεσης ακτινοβολίας και της υστερητικής απόσβεσης του εδαφικού υλικού. Στα αμμώδη εδαφικά υλικά μεγάλη επιρροή έχει η ενεργός τάση περίσφιξης που επικρατεί. Όσο αυξάνεται το βάθος, αυξάνεται και η τάση περίσφιξης με αποτέλεσμα να μειώνεται και ο λόγος απόσβεσης. Ο λόγος είναι ότι σε μεγάλα βάθη το υλικό γίνεται πιο συνεκτικό, με αποτέλεσμα να μπορεί να διαδίδεται ευκολότερα ένα κύμα χωρίς αυτό να χάνει μεγάλο ποσό ενέργειας. Σύμφωνα με τον Seed et al [14], ο λόγος απόσβεσης αμμώδους εδαφικού υλικού προσεγγίζεται με κάποιες καμπύλες που είναι ανάλογες της ενεργού τάσης περίσφιξης (Σχ. 6.3). Επίσης με την αύξηση της διατμητικής παραμόρφωσης παρατηρείται και αύξηση του λόγου απόσβεσης. Αυτό είναι αναμενόμενο, αφού μια μεγάλη σεισμική διέγερση θα προκαλέσει μεγάλες διατμητικές παραμορφώσεις στο εδαφικό υλικό, με αποτέλεσμα να χάνεται περισσότερη ενέργεια για να διαδοθεί το σεισμικό κύμα. Οι σεισμοί προκαλούν διατμητικές παραμορφώσεις σε ένα εύρος τιμών περίπου , έτσι και ο λόγος απόσβεσης του εδάφους κυμαίνεται από 1% μέχρι και 10% για πολύ μεγάλης έντασης σεισμούς.

82 68 Σχήμα 6.3 Λόγος απόσβεσης σε αμμώδη εδαφικά υλικά, συναρτήσει ενεργού τάσης περίσφιξης και διατμητικής παραμόρφωσης (Seed et al. 1986) [14] Απόσβεση Rayleigh Όταν πρόκειται να πραγματοποιηθεί δυναμική ανάλυση εδάφους με τη ΜΠΣ, είναι πολύ δύσκολη η προσομοίωση ενός υστερητικού μοντέλου απόσβεσης στο σύστημα. Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται συνήθως απόσβεση ιξώδους μορφής, που ονομάζεται απόσβεση Rayleigh. Η μέθοδος Rayleigh εισάγει απόσβεση μέσα στο σύστημα που ανάλογη με τα μητρώα μάζας και δυσκαμψίας, δεδομένου ότι ικανοποιεί τις ορθογώνιες ιδιότητες του μητρώου απόσβεσης. Βεβαίως η απόσβεση τύπου Rayleigh αποτελεί τεχνητή απόσβεση και έτσι υστερεί από άποψη φυσικού υπόβαθρου. Το μητρώο απόσβεσης περιγράφεται από την παρακάτω σχέση [10]: [C] = a 0 [M] + a 1 [K] (6.14) Ο συντελεστής a 0 ελέγχει την επίδραση της μάζας στην απόσβεση του συστήματος. Όσο αυξάνεται ο συντελεστής αυτός αποσβένονται περισσότερο οι χαμηλότερες συχνότητες. Ο συντελεστής a 1 καθορίζει την επίδραση της δυσκαμψίας στην απόσβεση του συστήματος, ενώ αντίστοιχα όσο αυξάνεται τόσο αυξάνεται η απόσβεση στις μεγαλύτερες συχνότητες. Ο συντελεστής a 1 μπορεί να είναι ανάλογος με το αρχικό ελαστικό μητρώο δυσκαμψίας, αλλά εναλλακτικά μπορεί να είναι ανάλογος με το τρέχων μητρώο δυσκαμψίας. Η δεύτερη προσέγγιση φαίνεται να είναι πιο ορθή αφού σε μη-γραμμικές αναλύσεις το μητρώο δυσκαμψίας πάει να είναι το ελαστικό, αλλά αλλάζει ανάλογα με τις παραμορφώσεις του συστήματος. Για τον προσδιορισμό των συντελεστών a 0 και a 1 χρειάζονται να δοθούν δύο συντελεστές απόσβεσης σε δύο διαφορετικές συχνότητες σύμφωνα με την παρακάτω εξίσωση:

83 69 ξ n = a ω n + a 1 2 ω n με n = i, j (6.15) Στην περίπτωση όπου τεθεί ίδιος λόγος απόσβεσης ξ = ξ i = ξ j και στις δύο συχνότητες τότε εύκολα οι συντελεστές a 0 και a 1 προσδιορίζονται από τις πιο κάτω σχέσεις: a 0 = ξ 2ω i ω j ω i +ω j a 1 = ξ 2 ω i +ω j (6.16) (6.17) Οι συντελεστές απόσβεσης Rayleigh μπορούν να προσδιοριστούν με τη μέθοδο της διπλής συχνότητας που προτάθηκε από το Lanzo et al [20], [31]. Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή, ο λόγος απόσβεσης του εδάφους είναι σταθερός μεταξύ δυο συχνοτήτων ωi και ωj. Η συχνότητα ωi αποτελεί τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους, ενώ η συχνότητα ωj είναι εξαρτώμενη από την κυριαρχούσα συχνότητα της σεισμικής διέγερσης. Εάν η σεισμική διέγερση έχει κυριαρχούσα συχνότητα μικρότερη από την αντίστοιχη του εδάφους, ισχύει ωi = ωj. Εάν η σεισμική διέγερση έχει μεγαλύτερη ιδιοσυχνότητα, τότε ως ωj ορίζεται η επόμενη ιδιοσυχνότητα του εδάφους που είναι μεγαλύτερη από αυτήν της σεισμικής διέγερσης. Η θεμελιώδης αλλά και οι ανώτερες ιδιοπερίοδοι μιας εδαφικής στήλης μπορούν να υπολογιστούν προσεγγιστικά σύμφωνα με τις Εξ. 5.9 και ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ Κατά την προσομοίωση εδαφικού υλικού με πεπερασμένα στοιχεία σε δυναμική φόρτιση δύο είναι οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν την ακρίβεια των αποτελεσμάτων: 1) το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων Δh και 2) το χρονικό βήμα της ανάλυσης Δt. Υποθέτοντας ότι η αριθμητική λύση συγκλίνει προς την πραγματική λύση εάν τα Δh και Δt τείνουν προς το μηδέν, τότε μπορεί να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια αρκεί να το επιτρέπουν οι διαθέσιμοι υπολογιστικοί πόροι ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Σε αυτό το σημείο εισάγεται ο όρος του Μετασχηματισμού Fourier, ο οποίος αποτελεί σημαντικό εργαλείο σε προβλήματα Σεισμικής Μηχανικής και όχι μόνο. O μετασχηματισμός Fourier είναι ένας αντιστρέψιμος ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο των συχνοτήτων. Με το Μετασχηματισμό Fourier αναλύονται μη περιοδικά σήματα σε εκθετικά, έτσι ώστε να αποκαλύπτεται το φασματικό τους περιεχόμενο. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης f(t) δίνεται από την εξής σχέση: F(ω) = + f(t) e iωt dt (6.18)

84 70 Ο μετασχηματισμός αυτός ονομάζεται Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT), ο οποίος απαιτεί μεγάλο αριθμό αριθμητικών πράξεων. Το 1965 αναπτύχθηκε από τους Cooley και Tukey ένας εξαιρετικά ευφυής και αποδοτικός αλγόριθμος για τον υπολογισμό του DFT. O αλγόριθμος αυτός ονομάζεται Ταχύς Μετασχηματισμός Fourier (FFT), για το λόγο ότι μείωσε δραστικά τον αριθμό των απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο υπολογισμού του DFT Απαιτούμενο μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων Για την αναπαράσταση ενός κύματος δεδομένης συχνότητας με ακρίβεια, θα πρέπει να υπάρχουν 8 κόμβοι τουλάχιστον μέσα σε ένα μήκος κύματος λ. Λιγότεροι από 8 κόμβοι οδηγούν σε αριθμητική απόσβεση, αφού η διακριτοποίηση πιθανόν να χάνει κάποιες κορυφές του κύματος. Για να βρεθεί η μέγιστη συχνότητα του σεισμικού κύματος, θα πρέπει να μεταφερθεί η σεισμική διέγερση εισόδου στο πεδίο των συχνοτήτων με το μετασχηματισμό Fourier. Με τη χρήση του FFT αποκαλύπτεται το περιεχόμενο συχνοτήτων μιας σεισμικής διέγερσης. Συνήθως η μέγιστη συχνότητα μιας σεισμικής διέγερσης κυμαίνεται από 10 μέχρι 15 Hz, ανάλογα με το σεισμό. Βέβαια ο σεισμός περιέχει και μεγαλύτερες συχνότητες οι οποίες όμως δίνουν πολύ μικρή απόκριση και έτσι μπορούν να αμεληθούν. Δεδομένης της ταχύτητας διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων στο εδαφικό υλικό Vs (μικρότερη από Vp) και της μέγιστης συχνότητας της σεισμικής διέγερσης fmax, μπορεί να βρεθεί το απαιτούμενο μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων Δh από την παρακάτω σχέση [25]: Δh λ 8 = V s 8f max (6.19) Παρατηρείται ότι το απαιτούμενο μήκος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μεγαλύτερο όσο αυξάνεται και η ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων. Όπως προαναφέρθηκε η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων δεν είναι σταθερή καθ ύψος μιας εδαφικής στήλης, αλλά αυξάνεται με την αύξηση του βάθους. Αυτό το γεγονός έχει επιρροή στην απαίτηση του μεγέθους των πεπερασμένων στοιχείων. Σε μικρά βάθη τα πεπερασμένα στοιχεία θα πρέπει να έχουν μικρό μέγεθος το οποίο θα αυξάνεται σταδιακά με την αύξηση του βάθους. Σχήμα 6.4 Απαιτούμενος αριθμός πεπερασμένων στοιχείων σε ένα μήκος κύματος [Διαδίκτυο]

85 Απαιτούμενο χρονικό βήμα Το χρονικό βήμα σε μη-γραμμικά προβλήματα διάδοσης κυμάτων θα πρέπει να είναι μικρό για δύο λόγους. Αρχικά για λόγους ευστάθειας θα πρέπει αυτό να είναι μικρό, έτσι ώστε να μπορούν να αναπαρασταθούν σωστά οι μεγαλύτερες ιδιοσυχνότητες του συστήματος. Εάν δεν αποτυπωθούν σωστά οι ανώτερες ιδιοσυχνότητες του συστήματος, πιθανόν η αριθμητική λύση να αποκλίνει προς το άπειρο. Για να δοθεί ένα όριο στις συχνότητες που είναι παρών σε κάποιο σύστημα εισάγεται σε αυτό απόσβεση εξαρτώμενη της συχνότητας. Ο δεύτερος λόγος που πρέπει το χρονικό βήμα να παραμένει μικρό, σχετίζεται με τη φύση των πεπερασμένων στοιχείων. Όταν ένα σεισμικό κύμα διαδίδεται από σημείο σε σημείο, θα πρέπει το χρονικό βήμα να είναι αρκετά μικρό έτσι ώστε αυτό να μην φτάνει σε δύο σημεία ταυτόχρονα. Τέτοιο γεγονός θα παραβίαζε την αρχή διάδοσης ενός κύματος. Εάν ένα κύμα έχει μεγάλη ταχύτητα διάδοσης, ενώ η διάσταση των πεπερασμένων στοιχείων είναι αρκετά μικρή, μπορεί να παρατηρηθεί το πιο πάνω φαινόμενο εάν δεν γίνει σωστή επιλογή του χρονικού βήματος. Για την αποφυγή αυτού του φαινομένου, θα πρέπει να τηρείται η λεγόμενη συνθήκη Courant Friedrichs Lewy (CFL condition). Η συνθήκη CFL είναι η εξής [25]: V s Δt Δh C max = 1 (6.20) Συνήθως το χρονικό βήμα ανάλυσης που υιοθετείται στις δυναμικές αναλύσεις είναι αυτό της καταγραφής των επιταχυνσιογράφων και ισούται με sec. Εάν τηρείται η Εξ και αντικατασταθεί το Δh στην Εξ. 6.20, τότε ισχύει: V s f max V s = 0.04f max 1 f max 25 Hz Παρατηρείται ότι τήρηση της Εξ για συχνότητες μικρότερες των 25 Hz, τηρείται αυτόματα και η Εξ εάν τεθεί χρονικό βήμα sec. 6.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Αντίστοιχα με το μονοδιάστατο πρόβλημα διάδοσης εγκάρσιων κυμάτων σε εδαφική στήλη που περιεγράφηκε στην Παρ , κατάλληλες συνοριακές συνθήκες θα πρέπει να υιοθετηθούν και στο πρόβλημα δύο διαστάσεων. Η λογική που ακολουθείται είναι η ίδια, αφού θα πρέπει να υιοθετηθούν ιξώδεις αποσβεστήρες Lysmer στα τρία σύνορα του εδαφικού τομέα. Τώρα γίνεται διάδοση σεισμικών κυμάτων στο επίπεδο, γι αυτό και εκτός από τη βάση της εδαφικής στήλης θα πρέπει να τοποθετηθούν αποσβεστήρες που να επιτρέπουν την έξοδο της ενέργειας και στα πλαϊνά σύνορα. Τα κύματα που φτάνουν στα πλαϊνά σύνορα είναι ή πρωτεύοντα είτε δευτερεύοντα. Δύο αποσβεστήρες θα πρέπει να τοποθετηθούν σε κάθε κόμβο των ορίων αυτών για να γίνει απορρόφηση των κυμάτων αυτών. Παράλληλος με την κατακόρυφη διεύθυνση θα πρέπει να είναι ο αποσβεστήρας που απορροφάει τα δευτερεύοντα κύματα με σταθερά σύμφωνα με την Εξ Παράλληλα με την οριζόντια διεύθυνση θα πρέπει να τοποθετηθούν οι αποσβεστήρες που να απορροφούν τα πρωτεύοντα κύματα, με τη διαφορά ότι πρέπει να αντικατασταθεί ο όρος Vs με τον όρο Vp στην Εξ Μειονέκτημα της χρήσης αυτών των

86 72 αποσβεστήρων όταν χρησιμοποιούνται σε δισδιάστατη ή τρισδιάστατη ανάλυση είναι ότι τα προσπίπτοντα κύματα προσκρούουν στα όρια με γωνία πρόσπτωσης από 0 μέχρι 180. Οι αποσβεστήρες Lysmer έχουν την ιδιότητα να απορροφούν πλήρως ένα προσπίπτων κύμα μόνο όταν αυτό έχει γωνία πρόσπτωσης 90. Έτσι μεγάλο μέρος της ενέργειας θα ανακλαστεί πίσω στον εδαφικό τομέα αν η γωνία διαφέρει πολύ από τις 90. Εάν τα πλαϊνά όρια τοποθετηθούν αρκετά μακριά, τότε οι γωνίες πρόσπτωσης θα έρθουν κοντά στις 90, με αποτέλεσμα η ενέργεια που θα ανακλαστεί πίσω στον εδαφικό τομέα να είναι πολύ μικρότερη. Βέβαια αυτό αποτελεί μειονέκτημα αφού θα αυξηθεί ο υπολογιστικός χρόνος της ανάλυσης. Σε τέτοιου είδους μη-γραμμικά δυναμικά προβλήματα παρουσιάζονται προβλήματα αστάθειας εάν δεν τοποθετηθούν οι κατάλληλες δεσμεύσεις στους κόμβους του συνόρου. Συνήθως στους κόμβους του συνόρου υιοθετείται οι λεγόμενες περιοδικές συνοριακές συνθήκες (periodic boundary conditions). Οι κόμβοι των δύο πλαϊνών συνόρων που βρίσκονται στο ίδιο ύψος δεσμεύονται να έχουν την ίδια μετατόπιση στην οριζόντια διεύθυνση. Σε περίπτωση που δεν γίνει αυτή η δέσμευση των συνοριακών κόμβων παρατηρούνται προβλήματα αστάθειας, ενώ πολλές φορές η λύση αποκλίνει. Βέβαια αυτές οι συνοριακές δεσμεύσεις υιοθετούνται για σκοπούς ευστάθειας του υπολογιστικού εδαφικού τομέα, ενώ σε ένα πραγματικό έδαφος δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Για παράδειγμα ένα κύμα που διαδίδεται από την αριστερή προς τη δεξιά πλευρά του εδαφικού τομέα, θα φτάσει στη δεύτερη με κάποια διαφορά φάσης λόγω της πεπερασμένης ταχύτητας του. Σε αυτές τις περιοχές κοντά στα σύνορα παρατηρούνται μεγάλες παραμορφώσεις και επιταχύνσεις οι οποίες είναι πλασματικές. Αυτό αποτελεί ένα ακόμη λόγο για την αύξηση του υπολογιστικού χώρου, αφού αυτές οι περιοχές δεν είναι αξιοποιήσιμες. Σχήμα 6.5 Περιοδικές συνοριακές συνθήκες [27]

87 73 Σχήμα 6.6 Αποσβεστήρες τύπου Lysmer στα σύνορα του εδαφικού τομέα 6.6 ΦΑΙΝΟΜΕΝΗ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Η φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης κυμάτων κατά μήκος της επιφάνειας του εδάφους Vapp, είναι μια σημαντική παράμετρος για το σχεδιασμό επιμηκών κατασκευών όπως οι αγωγοί. Το μέγεθος αυτό είναι ουσιαστικά η διαφορά φάσης που φτάνει το προσπίπτων κύμα κατά μήκος του εδάφους. Σε αποστάσεις μικρότερες των 5F (με F το Εστιακό βάθος) από το επίκεντρο του σεισμού, η φαινόμενη ταχύτητα εξαρτάται από τα κύματα σώματος, ενώ για μεγαλύτερες από τα κύματα επιφανείας. Συνήθως μόνο τα κύματα S λαμβάνονται υπόψιν στα κύματα σώματος, αφού παράγουν μεγαλύτερες εδαφικές κινήσεις από τα κύματα P. Για τα κύματα επιφανείας λαμβάνονται υπόψιν συνήθως τα κύματα Rayleigh. Σχήμα 6.7 Θεώρηση κυμάτων ανάλογα με την απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού [22] Φαινόμενη ταχύτητα για κύματα S Όταν σε μια περιοχή αναμένεται να υπάρχουν μόνο εγκάρσια κύματα S, τότε η φαινόμενη ταχύτητα άφιξης των κυμάτων αυτών κατά μήκος του αγωγού είναι αρκετές φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα διάδοσης τους στο εδαφικό υλικό κοντά στην επιφάνεια του εδάφους. Τα κύματα αυτά ξεκινούν από μεγάλα βάθη, με αποτέλεσμα να περνούν από σκληρότερα εδαφικά στρώματα σε πιο μαλακά. Υπόκεινται υπό συνέχεις διαθλάσεις από στρώση σε στρώση με αποτέλεσμα να εκτελούν μια κοίλη τροχιά με συνεχώς μειούμενη γωνία θ σε σχέση με την κατακόρυφη. Η σχέση που δίνει τη φαινόμενη ταχύτητα για εγκάρσια κύματα S είναι η εξής:

88 74 V s,app = V s sin θ (6.21) Σχήμα 6.8 Φαινόμενη ταχύτητα για διάδοση εγκαρσίων κυμάτων S [22] Φαινόμενη ταχύτητα για κύματα Rayleigh Τα κύματα Ryleigh ταξιδεύουν παράλληλα με την επιφάνεια του εδάφους. Η ταχύτητα διάδοσης τους μπορεί να θεωρηθεί περίπου ίση με την ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων. Αφού αυτά ταξιδεύουν κατά γωνία θ = 90 σε σχέση με την κατακόρυφο, η φαινόμενη ταχύτητα V R,app ισούται με την ταχύτητα των κυμάτων Rayleigh V R. Σε εδαφικά στρώματα που εδράζονται σε βράχο, η ταχύτητα αυτή είναι εξαρτώμενη από τη συχνότητα της σεισμικής διέγερσης. Για σχετικά χαμηλές συχνότητες, δηλαδή μεγάλα μήκη κύματος, το σεισμικό κύμα βλέπει τη στρώση αυτή ως λεπτή, με αποτέλεσμα η ταχύτητα αυτή να επηρεάζεται μόνο από τις ιδιότητες του βράχου. Για σχετικά ψηλές συχνότητες, δηλαδή μικρά μήκη κύματος, το σεισμικό κύμα βλέπει τη στρώση αυτή ως χοντρή, με αποτέλεσμα η ταχύτητα αυτή να επηρεάζεται μόνο από τις ιδιότητες του υπερκείμενου εδαφικού υλικού. Σε ενδιάμεσες συχνότητες το σεισμικό κύμα επηρεάζεται από τις ιδιότητες και των δύο αυτών υλικών, με αποτέλεσμα η φαινόμενη ταχύτητα να παίρνει ενδιάμεσες τιμές. Οι σχέσεις που δίνουν τη φαινόμενη ταχύτητα των κυμάτων Rayleigh συναρτήσει της ιδιοσυχνότητας του εδάφους είναι οι εξής [17]: V R,app = 0.9V s rock f D f 1 (6.22 α) V R,app = V s,avg f D 2f 1 (6.22 β) V R,app = 0.9V s rock (0.9V s rock V s,avg )( f D f 1 1) f 1 < f D 2f 1 (6.22 γ) Όπου: f 1 : Θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα εδάφους f D : Κυριαρχούσα ιδιοσυχνότητα σεισμικής διέγερσης

89 75 Σχήμα 6.9 Φαινόμενη ταχύτητα για διάδοση κυμάτων Rayleigh [22] 6.7 ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΙΣΟΔΟΥ ΣΤΗ ΒΑΣΗ ΛΕΠΤΗΣ ΕΔΑΦΙΚΗΣ ΣΤΗΛΗΣ ΣΤΙΣ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Η οριζόντια κίνηση των σωματιδίων του εδάφους στη βάση μιας λεπτής εδαφικής στρώσης που εδράζεται πάνω σε βράχο περιγράφεται από την Εξ Όπως προαναφέρθηκε σε αποστάσεις μακριά από τη σεισμική πηγή, αλλά κοντά στην επιφάνεια του εδάφους επικρατούν τα κύματα επιφανείας Rayleigh. Η ταχύτητα των διάδοσης των κυμάτων αυτών προσεγγιστικά ισούται με την ταχύτητα διάδοσης των δευτερευόντων κυμάτων. Τα οριζόντια διαδιδόμενα κύματα Rayleigh κατά μήκος του βράχου θα προκαλέσουν οριζόντιες και εγκάρσιες μετατοπίσεις σε αυτόν. Σε πολλές περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα το εξεταζόμενο πρόβλημα ενδιαφέρει η χωρικά μεταβαλλόμενη κίνηση των σωματιδίων του εδάφους. Γι αυτό και πάει να ισχύει η προσέγγιση ότι η μετατόπιση του εδάφους είναι η ίδια για κάποια απόσταση. Ο όρος x V s rock στην Εξ. 5.3 εκφράζει τη διαφορά φάσης κατά μήκος της απόστασης διάδοσης ενός κύματος. Αυτό το φαινόμενο καθυστέρησης της άφιξης των σεισμικών κυμάτων που οφείλεται στην πεπερασμένη διάδοση ταχύτητας διάδοσης τους σε ένα μέσο, ονομάζεται Wave passage effect. Άλλο φαινόμενο που πιθανόν να προκαλέσει χωρικά μεταβαλλόμενες κινήσεις του εδάφους είναι ο αριθμός και το μέγεθος των σεισμικών πηγών που αφορούν τη σεισμικότητα μιας περιοχής και ονομάζεται Extended source effect. Επίσης άλλος παράγοντας που προκαλεί αυτό το φαινόμενο αυτό, είναι η αντανάκλαση και διάθλαση των κυμάτων κατά τη διάδοση τους από ανομοιογένεια στις εδαφικές στρώσεις και τοπικές συνθήκες εδάφους και ονομάζεται Ray path effect ή Scattering effect. Στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων η σεισμική διέγερση εισόδου εκφράζεται σαν μια επιβαλλόμενη επιτάχυνση (δύναμη) στους κόμβους της βάσης της εδαφικής στρώσης. Άρα σύμφωνα με τα πιο πάνω, η σεισμική διέγερση θα πρέπει να επιβληθεί στους κόμβους της βάσης με βάση τη διαφορά φάσης που φτάνει σε αυτούς. Η ταχύτητα με την οποία φτάνει στους κόμβους της βάσης δεν είναι άλλη από τη φαινόμενη ταχύτητα των κυμάτων Rayleigh. Έτσι η χρονική διαφορά φάσης μεταξύ δύο κόμβων υπολογίζεται από την Εξ. 5.3 αντικαθιστώντας τον όρο V s rock με τον όρο V R,app. Η κυριαρχούσα ιδιοσυχνότητα της σεισμικής διέγερσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση του V R,app.

90 76 Σχήμα 6.10 Αιτίες που μπορεί να προκαλέσουν χωρικά μεταβαλλόμενη εδαφική κίνηση: (α) Wave passage effect, (β) Extended source effect, (γ) Ray path effect [9] 6.8 ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΤΗ ΜΠΣ Αρκετοί είναι οι παράγοντες που επηρεάζουν το χρόνο επίλυσης του συστήματος εκτός από το μέγεθος του πλέγματος των πεπερασμένων στοιχείων και τον αριθμό των βημάτων. Στην παρούσα παράγραφο παρουσιάζονται κάποιες πληροφορίες σχετικά με τη διαδικασία επίλυσης του του συστήματος εξισώσεων του προβλήματος με σκοπό την ελαχιστοποίηση του χρόνου επίλυσης Αρίθμηση βαθμών ελευθερίας του συστήματος Η αντίστροφη μέθοδος Cuthill-Mckee Κατά την ανάλυση του εδάφους, το πρόβλημα ανάγεται σε πρόβλημα επίπεδης παραμόρφωσης. Το έδαφος προσομοιώνεται σαν ένας κάνναβος από ορθογωνικά τετράκομβα στοιχεία με δύο βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο. Για τη μόρφωση του καθολικού μητρώου δυσκαμψίας, οι τοπικοί βαθμοί ελευθερίας ορίζονται σε κάθε κόμβο και αριθμούνται επί του συνόλου σύμφωνα με κάποιο σχήμα αρίθμησης. Το σχήμα αυτό μπορεί είτε να ακολουθεί μια συνεχόμενη αρίθμηση στους βαθμούς ελευθερίας, ανάλογα με τον κόμβο στον οποίο βρίσκονται, είτε κάποια εντελώς τυχαία διαδικασία. Η μόρφωση του μητρώου δυσκαμψίας οδηγεί συχνά σε δομές μητρώων οι οποίες δεν είναι οι βέλτιστες ούτε όσον αφορά την αποθήκευση του μητρώου αλλά ούτε και στην επίλυση του συστήματος. Διαπιστώνεται ότι το μητρώο δυσκαμψίας αποτελείται πρωτίστως από μηδενικούς όρους, ενώ η αρίθμηση των κόμβων και κατ επέκταση των βαθμών ελευθερίας επηρεάζει σε σημαντικό βαθμό τη δομή του μητρώου δυσκαμψίας και τη μορφή των εξισώσεων του προβλήματος. Στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι επαναρίθμησης που επιδιώκουν να μειώσουν το πλάτος λωρίδας του μητρώου δυσκαμψίας. Ένας από αυτούς τους αλγόριθμους είναι η αντίστροφη μέθοδος Cuthill-Mckee [4]. Πρόκειται για έναν αλγόριθμο που στηρίζεται στη θεωρία των γραφημάτων για να μειώσει το εύρος ενός μητρώου. Θεωρώντας ένα συμμετρικό n x n μητρώο, αρχικά δημιουργείται το γράφημα που αντιστοιχεί στο υπόψη μητρώο και στη συνέχεια γίνεται η επαναρίθμηση του γραφήματος ώστε το μητρώο να έχει το ελάχιστο εύρος. Σε κάποιες περιπτώσεις όμως η εφαρμογή του αλγόριθμου δεν είναι πάντα επιτυχής, καθώς δεν οδηγεί πάντα στο βέλτιστο αποτέλεσμα. Σε ένα πρόβλημα ορθογωνικών πεπερασμένων στοιχείων, τα οποία είναι διατεταγμένα σε έναν κάνναβο μπορεί εύκολα να γίνει βελτιστοποίηση του εύρους το μητρώου εάν από το χρήστη επιλεγεί η σωστή αρίθμηση. Έστω ότι το έδαφος προσομοιώνεται από τον κάνναβο ορθογωνικών

91 77 στοιχείων του Σχ Κάνοντας αρίθμηση των κόμβων του συστήματος κατά γραμμές παρατηρείται στο Σχ η μορφή του μητρώου δυσκαμψίας, η οποία έχει μια μορφή ταινίας με τους μη μηδενικούς όρους γύρω από την κύρια διαγώνιο. Εάν η αρίθμηση γίνει κατά στήλες τότε παρουσιάζεται μια βελτιστοποίηση του εύρους του μητρώου, αφού τώρα αυτή η ταινία έχει μικρότερο πλάτος όπως φαίνεται στο Σχ Τέλος για τυχαία αρίθμηση των κόμβων όπως φαίνεται στο Σχ. 6.14, οι μη μηδενικοί όροι έχουν και αυτοί τυχαία διάταξη με αποτέλεσμα να σχηματίζεται ένα μητρώο δυσκαμψίας με που να είναι πιο δύσκολο στην επίλυση. Σχήμα 6.11 Κάνναβος με ορθογωνικά πεπερασμένα στοιχεία [4] Σχήμα 6.12 Αρίθμηση κόμβων κατά γραμμές και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας [4] Σχήμα 6.13 Αρίθμηση κόμβων κατά στήλες και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας [4]

92 78 Σχήμα 6.14 Τυχαία αρίθμηση κόμβων και παραγόμενο μητρώο δυσκαμψίας [4] Αποθήκευση του μητρώου δυσκαμψίας Όπως φάνηκε στην προηγούμενη παράγραφο σε προβλήματα επίπεδης προσομοίωσης εδάφους, οι περισσότεροι όροι του μητρώου δυσκαμψίας είναι μηδενικοί. Το μέγεθος του συστήματος εξισώσεων καθιστά πολλές φορές δύσκολη την αποθήκευση και χρήση του πλήρους μητρώου δυσκαμψίας. Συνήθως αποθηκεύεται ένα μέρος του μητρώου το οποίο αποτελείται από μη μηδενικούς όρους. Αυτό έχει αποτέλεσμα την εξοικονόμηση μνήμης και κατ επέκταση υπολογιστικού χρόνου. Οι συχνότερες μέθοδοι αποθήκευσης του μητρώου είναι οι εξής: a) Πλήρης μορφή: Αποθηκεύονται όλα τα στοιχεία του μητρώου δυσκαμψίας, ακόμη και στην περίπτωση που αυτά είναι μηδενικά. (Σχ α) b) Συμμετρική μορφή: Γίνεται εκμετάλλευση της συμμετρίας, αποθηκεύοντας μόνο το άνω ή το κάτω τριγωνικό τμήμα του μητρώου. (Σχ β) c) Ταινιωτή μορφή ή μορφή λωρίδας: Αποθηκεύεται το μέρος του μητρώου με τους μη μηδενικούς του όρους συγκεντρωμένους σε μία διαγώνια λωρίδα που περιλαμβάνει την κύρια διαγώνιο του μητρώου και άλλες διαγώνιες από τη μία ή και από τις δύο πλευρές της κύριας διαγωνίου. (Σχ γ) d) Μορφή προφίλ ή μορφή κορυφογραμμής: Αποθηκεύονται ανά στήλη του μητρώου μόνο οι όροι που βρίσκονται μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου μη μηδενικού όρου. (Σχ δ) e) Αραιή μορφή: Σποραδικό ή αραιό ονομάζεται ένα μητρώο το οποίο έχει ένα σχετικά μικρό ποσοστό μη μηδενικών στοιχείων. Ο απαιτούμενος αριθμός των μηδενικών στοιχείων ενός μητρώου ώστε αυτό να αποκαλείται αραιό εξαρτάται από το μέγεθος, τη δομή και χρήση του μητρώου. (Σχ ε)

93 Σχήμα 6.15 Αποθήκευση μητρώου δυσκαμψίας σε: (α) Πλήρη μορφή, (β) Συμμετρική μορφή, (γ) Μορφή λωρίδας, (δ) Μορφή προφίλ, (ε) Αραιή μορφή [4] 79

94 Αλγόριθμος για εύρεση του μητρώου δυσκαμψίας Λόγω του ότι το πρόβλημα σεισμικής διέγερσης του εδάφους είναι ένα μη-γραμμικό πρόβλημα, το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος δεν είναι γνωστό κατά τη διάρκεια της φόρτισης. Αυτό μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της φόρτισης και εξαρτάται από τις μετακινήσεις. Σε τέτοια συστήματα επαναληπτικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση του τρέχοντος μητρώου δυσκαμψίας Μέθοδος Newton-Raphson Πολύ συχνά χρησιμοποιείται ο κλασσικός αλγόριθμος Newton-Raphson [30] για την επίλυση μη-γραμμικών προβλημάτων. Στη γενική του μορφή αντικαθιστώντας τις βαθμωτές εξισώσεις με μητρωϊκές, και απαλείφοντας τους όρους ανώτερης τάξεως διατυπώνεται ως εξής: R(U n + ΔU) = R(U n ) + R(U n) ΔU (6.23) U Όπου: R: Μητρώο εξωτερικών δυνάμεων Un: Μητρώο μετακινήσεων στο βήμα n ΔU: Διαφορά μετατοπίσεων κατά το βήμα n K = R(U n) (6.24) U Όπου το μητρώο δυσκαμψίας Κ ονομάζεται και Ιακωβιανό μητρώο Με μια επαναληπτική διαδικασία που καθορίζεται από κάποια κριτήρια σύγκλισης υπολογίζεται το ΔU σε κάθε βήμα: ΔU = K 1 R(U n ) (6.25) Ενώ στη συνέχεια υπολογίζεται το μητρώο μετακινήσεων στο βήμα n+1: U n+1 = U n + ΔU Το κριτήριο σύγκρισης που χρησιμοποιείται συνήθως είναι αυτό της Ευκλείδειας Νόρμας. Σύμφωνα με το κριτήριο αυτό θα πρέπει η Ευκλείδεια Νόρμα του λεγόμενου μη-ισορροπούντος φορτίου, είτε της μεταβολής των μετατοπίσεων να είναι μικρότερη από μια τιμή αποδεκτού σφάλματος (error). Η τιμή του σφάλματος κυμαίνεται συνήθως σε τιμές R(U i ) < error (6.26) ΔU i < error (6.27) Σε κάποιες περιπτώσεις χρησιμοποιείται ως κριτήριο σύγκλισης η μεταβολή της ενέργειας του συστήματος που αποτελεί γινόμενο των δυο προηγουμένων: R(U i ) ΔU i < error (6.28)

95 81 Οι περισσότερες πράξεις χρειάζονται για την αντιστροφή του Ιακωβιανού μητρώου, το οποίο θα πρέπει να αντιστρέφεται σε κάθε βήμα της επίλυσης Τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson Η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson [30] είναι παρόμοια με την αρχική. Η διαφορά της είναι ότι σε αυτήν χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς το αρχικό μητρώο δυσκαμψίας και όχι το τρέχων. Έτσι ισχύει: ΔU = K 0 1 R(U n ) (6.29) K 0 = R(U n) U (6.30) Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι το Ιακωβιανό μητρώο υπολογίζεται μια φορά στην αρχή και αντιστρέφεται με αποτέλεσμα να μειώνεται ο υπολογιστικός χρόνος. Όμως κάνοντας χρήση του αρχικού μητρώου δυσκαμψίας προκύπτουν περισσότερες επαναλήψεις σε κάθε βήμα. Σε μεγάλα συστήματα όπως είναι εδάφη η τροποποιημένη μέθοδος Newton-Raphson φαίνεται να υπερτερεί σε ταχύτητα έναντι της αρχικής, για το λόγο ότι το μητρώο δυσκαμψίας για να αντιστραφεί χρειάζεται πολλούς υπολογισμούς, αν και χρειάζεται περισσότερες επαναλήψεις σε κάθε βήμα. Σε μικρότερα συστήματα η αρχική μέθοδος φαίνεται να είναι πιο γρήγορη αφού χρειάζεται λιγότερες επαναλήψεις σε κάθε βήμα, ενώ το τρέχων μητρώο δυσκαμψίας μπορεί να βρεθεί και να αντιστραφεί πολύ γρηγορότερα Μέθοδος Krylov-Newton Η μέθοδος Krylov-Newton [30] κάνει χρήση των υποχώρων Krylov για να επιταχύνει τη διαδικασία σύγκλισης της τροποποιημένης μεθόδου Newton-Raphson. Αυτή η μέθοδος φαίνεται να είναι γρηγορότερη στην επίλυση του συστήματος του εδάφους από τις δύο προηγούμενες, γι αυτό και χρησιμοποιήθηκε για τις αναλύσεις Αλγόριθμος ολοκλήρωσης Η αριθμητική επίλυση της διαφορικής εξίσωσης του συστήματος (Εξ. 3.8) πραγματοποιείται συνήθως με τους αλγόριθμους που ανήκουν στην οικογένεια μεθόδων Newmark, οι οποίοι χαρακτηρίζονται σε άμεσους (explicit), έμμεσους (implicit) και υβριδικούς (operator-splitting) [3]. Οι εξισώσεις διαφορών κατά Newmark είναι οι εξής: U i+1 = U i + U i Δt + Δt2 2 [(1 2β)U i + 2βU i+1] (6.31) U i+1 = U i + Δt[(1 γ)u i + γ U i+1] (6.32) Οι παράμετροι β και γ καθορίζουν τη μεταβολή των επιταχύνσεων κατά τη μεταβολή του βήματος. Στην παρούσα διατριβή χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της σταθερής μέσης επιτάχυνσης, κατά την οποία ισχύει ότι: β = ¼ και γ = ½. Η μέθοδος αυτή είναι έμμεση, αφού για την εύρεση

96 82 των μετατοπίσεων στο βήμα i+1 χρειάζονται οι επιταχύνσεις στο ίδιο βήμα i+1 οι οποίες είναι αρχικά άγνωστες. Για να αρχίσει η διαδικασία χρειάζεται μη αρχική υπόθεση της επιτάχυνσης με αποτέλεσμα να χρειάζονται διαδοχικές προσεγγίσεις για την εύρεση λύσης. Η μέθοδος χαρακτηρίζεται ακρίβειας δευτέρας τάξεως αφού ισχύει ότι γ= ½. Επίσης η μέθοδος είναι ευσταθής χωρίς όρους (unconditionally stable) αφού ισχύει ι σχέση: β γ (6.33) Η ευστάθεια χωρίς όρους ισχύει για γραμμικά συστήματα, γεγονός που δεν ισχύει κατ ανάγκη στη γενική περίπτωση μη-γραμμικών συστημάτων. Τέλος η μέθοδος δεν παρουσιάζει αριθμητική απόσβεση. Αριθμητική απόσβεση παρουσιάζεται για τιμές του γ μεγαλύτερες του ½.

97 83 7. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΑΓΩΓΟΥ Ο αγωγός προσομοιώνεται με στοιχεία τύπου δοκού που εδράζεται σε μη-γραμμικά ελατήρια Winkler (BNWF). Τα μεγέθη που ενδιαφέρουν στην ανάλυση, είναι η τάση δακτυλίου (hoop stress) και η διαμήκης τάση (longitudinal stress) στα τοιχώματα του αγωγού. Ο αγωγός μεταφέρει υγροποιημένο φυσικό αέριο (LNG) με αποτέλεσμα τα τοιχώματά του να καταπονούνται με μεγάλες τάσεις και στις δυο κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις που προαναφέρθηκαν. Για να γίνει μια ακριβέστερη αποτύπωση του προβλήματος θα έπρεπε να γίνει προσομοίωση του αγωγού με στοιχειά κελύφους. Με τα στοιχεία κελύφους μπορούν να καταγραφούν οι τάσεις και στις δύο κάθετες διευθύνσεις των τοιχωμάτων με ακρίβεια, για καλύτερη αποτύπωση των συνθηκών εσωτερικής πίεσης που επικρατούν. Παρ όλα αυτά η ανάλυση με στοιχεία κελύφους είναι ανάλυση σε τρείς διαστάσεις. Το έδαφος λόγω του τεράστιου υπολογιστικού κόστους της τρισδιάστατης ανάλυσης, αναλύθηκε στις δύο διαστάσεις, με αποτέλεσμα να γίνει υποχρεωτική η προσομοίωση του αγωγού με στοιχεία δοκού στις δύο διαστάσεις. 7.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΟΚΟΥ Τα στοιχεία δοκού μπορούν να καταγράψουν τάσεις μόνο στη διαμήκη διεύθυνση του στοιχείου, η οποία για την περίπτωση του αγωγού είναι και η πιο κρίσιμη. Ο τύπος στοιχείων που χρησιμοποιήθηκε είναι στοιχεία δοκού βασισμένα στις μετακινήσεις DisplacementBeamColumn Elements [30], τα οποία χρησιμοποιούνται συνήθως για υπόγειες κατασκευές. Τα στοιχεία αυτά είναι κατανεμημένης πλαστικότητας (distributed plasticity), δηλαδή επιτρέπουν διαρροή σε διάφορα σημεία κατά μήκος τους και όχι μόνο στα άκρα τους. Χρησιμοποιούν αριθμητική ολοκλήρωση Gauss - Lobatto ή οποία είναι μια τροποποιημένη μέθοδος Gauss που περιεγράφηκε στην Παρ , με διαφορά ότι υπάρχει σημείο ολοκλήρωσης στα άκρα του μέλους. Σε επίπεδο διατομής επιλέχθηκε προσομοίωμα με ίνες έτσι ώστε να μπορεί να καταγραφεί η τάση και η παραμόρφωση σε οποιοδήποτε σημείο της διατομής. Η διατομή χωρίζεται σε επιμέρους πεπερασμένα εμβαδά που ονομάζονται ίνες, με θεώρηση σταθερής τάσης στην κάθε ίνα. Για να βρεθεί κάποιο εντατικό μέγεθος σε μια διατομή γίνεται άθροιση των τάσεων καθ όλο το ύψος της διατομής. Παρουσιάζονται ενδεικτικά στο Σχ. 7.1 προσομοιώματα δοκού με κατανεμημένη πλαστικότητα σε επίπεδο μέλους και προσομοίωμα ινών σε επίπεδο διατομής. Σχήμα 7.1 (α) προσομοίωμα δοκού κατανεμημένης πλαστικότητας, (β) προσομοίωμα ινών

98 Επιλογή κατάλληλου αριθμού σημείων ολοκληρώσεως και ινών Για να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια, θα πρέπει να γίνει κατάλληλη επιλογή του αριθμού σημείων ολοκληρώσεως κατά μήκος του μέλους, αλλά και του αριθμού ινών σε επίπεδο διατομής. Συνήθως 5 σημεία ολοκληρώσεως κατά μήκος του μέλους δίνουν ικανοποιητική ακρίβεια. Όμως ο αριθμός των ινών προκύπτει ανάλογα με τον τύπο της διατομής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση κυλινδρικού αγωγού με κοίλη διατομή θα πρέπει να γίνει επιλογή του αριθμού ινών στην ακτινική και στην περιφερειακή διεύθυνση. Σε περιπτώσεις απλής γεωμετρίας και φόρτισης η ελαστική λύση είναι γνωστή. Έτσι μπορεί να εφαρμοστεί μια επαναληπτική διαδικασία με αύξηση του αριθμού των ινών έτσι ώστε να επιτευχθεί η επιθυμητή ακρίβεια. Επιλέχθηκε ένα πρόβλημα μιας αμφιέρειστης δοκού με ένα συγκεντρωμένο φορτίο στο μέσον της για να βρεθεί ο κατάλληλος αριθμός ινών που δίνουν ικανοποιητική ακρίβεια. Το ελαστικό βέλος κάμψεως είναι γνωστό για το πρόβλημα αυτό. Με μια επαναληπτική διαδικασία επιλέχθηκε ο κατάλληλος αριθμός ινών στην ακτινική και την περιφερειακή διεύθυνση έτσι ώστε το σφάλμα του βέλους κάμψεως στο μέσον της δοκού να είναι μικρότερο του 1%. Οι τιμές του σφάλματος ανάλογα με τον αριθμό ινών παρουσιάζονται στον πιο κάτω Πίν. 7.1 Πίνακας 7.1 Ποσοστό σφάλματος συναρτήσει αριθμού ινών Σφάλμα Ίνες - Ακτινική διεύθυνση Ίνες - Περιφερειακή διεύθυνση % 1.03% 0.26% % 1.02% 0.25% Λόγω του ότι η διατομή είναι λεπτότοιχη, φαίνεται ότι και μια μόνο ίνα στην ακτινική διεύθυνση είναι αρκετή, αφού ή αύξηση σε δύο ίνες φαίνεται να μην επηρεάζει το σφάλμα. Κατά την περιφέρεια παρατηρείται μείωση του σφάλματος με την αύξηση των ινών. Για 36 ίνες το σφάλμα είναι μόνο 0.25%, άρα η ακρίβεια κρίνεται ικανοποιητική. Έγινε τελικά η επιλογή 36 ινών στην περιφερειακή διεύθυνση και 2 στην ακτινική. 7.2 ΠΡΟΥΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΔΙΑΜΗΚΕΙΣ ΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΑΓΩΓΟ Το υπερκείμενο έδαφος ασκεί κάποιες εξωτερικές κατακόρυφες τάσεις στον αγωγό, οι οποίες λαμβάνονται υπόψιν μόνο όταν ο αγωγός δεν είναι σε λειτουργία. Στην περίπτωση που ο αγωγός βρίσκεται σε λειτουργία, οι τάσεις αυτές λόγω του εδάφους αμελούνται αφού είναι πολύ μικρές σε σχέση με την εσωτερική πίεση. Η διαμήκης προϋπάρχουσα τάση στον αγωγό κατά την ώρα του σεισμικού γεγονότος δεν είναι μηδενική, αλλά αποτελεί το άθροισμα κάποιων επιμέρους τάσεων. Η συνολική προϋπάρχουσα διαμήκης τάση υπολογίζεται ως εξής [11]: S E = S P + S T + S C (7.1) Όπου: SE: Συνολική προϋπάρχουσα διαμήκης τάση

99 85 SP: Προϋπάρχουσα διαμήκης τάση λόγω της εσωτερικής πίεσης SΤ: Προϋπάρχουσα διαμήκης λόγω διαφοράς της θερμοκρασίας λειτουργίας και της θερμοκρασίας την περίοδο που έγινε η εγκατάσταση του αγωγού Sc: Προϋπάρχουσα τάση λόγω αρχικής ελαστικής καμπυλότητας S P = p D ν p 2 t (7.2) S T = E p a (T 1 T 2 ) (7.3) Όπου: p: Εσωτερική πίεση D: Εξωτερική διάμετρος αγωγού t: Πάχος αγωγού νp: Λόγος Poisson αγωγού α: Συντελεστής θερμικής διαστολής του υλικού του αγωγού Τ1: Θερμοκρασία την περίοδο που έγινε η εγκατάσταση του αγωγού Τ2: Θερμοκρασία λειτουργίας τη στιγμή που εξετάζεται η μετακίνηση Παρατηρώντας την Εξ. 7.2 που δίνει τη διαμήκη τάση λόγω εσωτερικής πίεσης, διακρίνεται ότι υπάρχει μια διαφοροποίηση σε σχέση με την τιμή που προκύπτει από τη θεωρία των λεπτότοιχων κελυφών. Σύμφωνα με αυτή τη θεωρία η τάση σ lon αυτή υπολογίζεται ως εξής [1]: σ lon = p D = p D ν p 1 1 = S 4 t 2 t 2 ν P (7.4) p 2 ν p Παρατηρείται ότι η SP δεν είναι ανεξάρτητη του λόγου Poisson, πράγμα που δεν ισχύει στη θεωρία λεπτότοιχων κελυφών. Θεωρώντας ότι ο λόγος Poisson του χάλυβα είναι 0.3, τότε η εφελκυστική διαμήκης τάση στον αγωγό λόγω της εσωτερικής πίεσης είναι: S P = 2 ν p σ lon = 0.6 σ lon (7.5) Σε μια περαιτέρω διερεύνηση του φαινομένου έγιναν δύο προσομοιώσεις ενός λεπτότοιχου αγωγού υπό εσωτερική πίεση, αρχικά με πεπερασμένα στοιχεία κελύφους Shell MITC4 [30] και στη συνέχεια με πεπερασμένα στοιχεία τύπου τρισδιάστατης ελαστικότητας τύπου Brick [30]. Εφαρμόστηκε εσωτερική πίεση 1000 KPa σε ένα μεταλλικό αγωγό με λόγο Poisson ν = 0.3, εξωτερικής διαμέτρου D = 1.0 m και πάχους t = 0.01 m. Η αναμενόμενη διαμήκης εφελκυστική τάση είναι : S P = 0.6 σ lon = 0.6 p D 4 t = α) Προσομοίωμα με πεπερασμένα στοιχεία κελύφους: = KPa Λόγω των συνοριακών συνθηκών πάκτωσης στα άκρα του αγωγού που έπρεπε να υιοθετηθούν για λόγους ευστάθειας της ανάλυσης, η τάση δεν είναι ομοιόμορφη σε όλο το μήκος. Όμως σε κάποιο μήκος όχι μακριά από το άκρο η επιρροή αυτή των συνοριακών συνθηκών παύει

100 86 να υφίστασαι και η τάση είναι σταθερή. Η τάση αυτή είναι ίση KPa, πολύ κοντά στην αναμενόμενη που είναι KPa (Σχ. 7.2). Επίσης παρατηρείται ότι η τάση δακτυλίου σhoop είναι ακριβώς ίση με αυτή που προκύπτει για λεπτότοιχο κέλυφος, δηλαδή σhoop = ( p D)/(2t) = KPa (Σχ. 7.3). Σχήμα 7.2 Διαμήκης τάση αγωγού από ανάλυση με στοιχεία κελύφους (Shell MITC4) Σχήμα 7.3 Τάση Δακτυλίου αγωγού από ανάλυση με στοιχεία κελύφους (Shell MITC4) β) Προσομοίωμα με στοιχεία τρισδιάστατης ελαστικότητας τύπου Brick Και σε αυτήν την περίπτωση φαίνεται να υπάρχει καλή συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων, αφού η διαμήκης τάση σε σημείο μακριά από τις στηρίξεις είναι KPa, λίγο μικρότερη από το προσομοίωμα με πεπερασμένα στοιχεία τύπου κελύφους (Σχ. 7.4).

101 87 Σχήμα 7.4 Διαμήκης τάση αγωγού από ανάλυση με στοιχεία τύπου Brick Από τις τρεις αυτές επιμέρους προϋπάρχουσες τάσεις, η τάση λόγω ελαστικής καμπυλότητας μπορεί να θεωρηθεί μηδενική, διότι ο αγωγός εδράζεται στο έδαφος που είναι ομοιόμορφο, με αποτέλεσμα να μην υπάρχει κάποια αρχική καμπυλότητα. Η προϋπάρχουσα τάση λόγω διαφοράς θερμοκρασίας μπορεί να είναι αρκετά μεγάλη για μεγάλες θερμοκρασιακές μεταβολές, ακόμα και μεγαλύτερη από αυτή που προκαλείται από την εσωτερική πίεση. Αυτή μπορεί εύκολα να υπολογιστεί αν είναι γνωστή η θερμοκρασία κατά την περίοδο εγκατάστασης του αγωγού. Παρ όλα αυτά αν η θερμοκρασία αυτή είναι άγνωστη, θα πρέπει να εκτιμάται με προσοχή η τιμή της για να μην παραχθούν εσφαλμένα αποτελέσματα κατά της ασφάλειας. Συνήθως η θερμοκρασία λειτουργίας είναι μικρότερη από αυτήν της εγκατάστασης με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται εφελκύστηκες τάσεις που θα αθροιστούν με τις τάσεις λόγω εσωτερικής πίεσης. Η εσωτερική πίεση σε αγωγούς μεταφοράς υγροποιημένου φυσικού αερίου κυμαίνεται σε τιμές τάξεως 1-10 MPa, με αποτέλεσμα να αναπτύσσονται αρκετά μεγάλες διαμήκεις και τάσεις δακτυλίου στα τοιχώματα του αγωγού. 7.3 ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΔΑΦΟΥΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΤΟΥ AMERICAN LIFELINE ALLIANCE (ALA) 2001 APPENDIX B Σύμφωνα με τις οδηγίες ALA 2001 [8] μπορεί να υπολογιστεί η μέγιστη δύναμη που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό από το έδαφος ανά μέτρο μήκους του αγωγού. Προσεγγιστικά η κατανομή της δύναμης μπορεί να θεωρηθεί αρχικά ελαστική μέχρι μια τιμή της παραμόρφωσης του εδάφους που αντιστοιχεί στη μέγιστη δύναμη που μπορεί να μεταφερθεί, και μετέπειτα πλήρως πλαστική. Στο Σχ. 7.5 φαίνεται η διγραμμική καμπύλη που είναι προσέγγιση της πραγματικής μη-γραμμικής σχέσης.

102 88 Σχήμα 7.5 Διγραμμική σχέση δύναμης -παραμόρφωσης εδάφους [8] Σύμφωνα με τα ποιο πάνω το έδαφος μπορεί να αντικατασταθεί με κάποια μη-γραμμικά ελατήρια τύπου Winkler, τα οποία έχουν μέγιστη αντίσταση τη μέγιστη δύναμη που μπορεί να μεταφερθεί αυτό στον αγωγό. Η δύναμη αυτή είναι ανάλογη της διεύθυνσης της φόρτισης, της γεωμετρίας του αγωγού και των ιδιοτήτων του εδάφους. Τα ελατήρια αυτά λειτουργούν σε τρεις διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους (αξονικά ελατήρια, κατακόρυφα ελατήρια και εγκάρσια ελατήρια) (Σχ. 7.6). Σχήμα 7.6 Μη-γραμμικά ελατήρια Winkler σε τρεις κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις [22] Αξονικά ελατήρια (Τ-x) Η μέγιστη αξονική δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι η ακόλουθη: Όπου: T u = π D a c + π D H γ 1+Κ 0 tan δ (7.6) 2

103 89 c: η συνοχή του εδάφους Η: To βάθος στο οποίο βρίσκεται ο κεντροβαρικός άξονας του αγωγού γ : Το ενεργό ειδικό βάρος του εδάφους (γd χωρίς παρουσία νερού, γαν = γsat -γw για πλήρως κορεσμένα εδάφη) K0: συντελεστής πλευρικής τάσης σε ισορροπία Κ 0 = 1 sin φ (7.7) φ: γωνία εσωτερικής τριβής εδάφους α: συντελεστής προσκόλλησης α = c c 2 +1 c 3 +1 c σε (KPa/100) (7.8) δ: γωνία τριβής διεπιφάνειας αγωγού-εδάφους δ = f φ (7.9) f: συντελεστής συσχέτισης της εσωτερικής γωνίας τριβής του εδάφους και της διεπιφάνειας εδάφους αγωγού που εξαρτάται από το υλικό του αγωγού, τιμές του οποίου μπορούν να βρεθούν στον Πίν Πίνακας 7.2 Συντελεστής τριβής ανάλογα με το υλικό εξωτερικής επένδυσης του αγωγού Υλικό Εξωτερικής Επένδυσης Αγωγού f Σκυρόδεμα 1.0 Τραχύς Χάλυβας 0.8 Λείος Χάλυβας 0.7 Πολυαιθυλένιο 0.6 Δt : Η μετατόπιση που αντιστοιχεί σε πλήρη ανάπτυξη της Τu = 3 mm για πυκνή άμμο, 5 mm για χαλαρή άμμο = 8 mm σκληρή άργιλο, 10 mm για μαλακή άργιλο Εγκάρσια ελατήρια (P-y) Η μέγιστη εγκάρσια δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι η ακόλουθη: P u = N ch c D + N qh γ H D (7.10) Όπου: Nch: συντελεστής οριζόντιας φέρουσας ικανότητας εδάφους για συνεκτικά εδάφη (0 για c = 0) Nqh: συντελεστής οριζόντιας φέρουσας ικανότητας εδάφους (0 για φ = 0)

104 90 Ν ch = a + b x + c (x+1) 2 + d (x+1) 3 9 (7.11) Ν qh = a + b x + c x 2 + d x 3 + e x 4 (7.12) Όπου: x = H/D και οι συντελεστές a, b, c, d και e είναι συναρτήσεις του Η/D και του φ οι οποίοι μπορούν να βρεθούν από το Appendix B του ALA 2001 Δp: Η μετατόπιση που αντιστοιχεί σε πλήρη ανάπτυξη της Pu Δ p = 0.04 (H + D ) 0.125D (7.13) Κατακόρυφα ελατήρια φέρουσας ικανότητας (Qd-z) Η μέγιστη κατακόρυφη δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό λόγω καθίζησης του εδάφους είναι η ακόλουθη: Q d = N c c D + N q γ H D + N γ γ tot D 2 2 (7.14) Nc, Nq, Νγ: συντελεστές φέρουσας ικανότητας Ν c = [cot(φ )] {exp[π tan(φ )] tan 2 ( π + φ ) 1} (7.15) 4 Ν q = e (π tan φ ) tan 2 ( π 4 + φ 2 ) (7.16) 2 Ν γ = e (0.18φ 2.5 ) (7.17) γtot: Ολικό ειδικό βάρος του εδάφους Δqd: Η μετατόπιση που αντιστοιχεί σε πλήρη ανάπτυξη της Qd = 0.1D για κοκκώδη εδάφη (άμμος) = 0.2D για συνεκτικά εδάφη (άργιλος) Κατακόρυφα ελατήρια ανύψωσης (Qu-z) Η μέγιστη κατακόρυφη δύναμη ανά μέτρο μήκους που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό λόγω ανύψωσης του εδάφους είναι η ακόλουθη: Q u = N cv c D + N qv γ H D (7.18) Ncv: συντελεστής κατακόρυφης ικανότητας ανύψωσης για συνεκτικά εδάφη (0 για c = 0) Nqv: συντελεστής κατακόρυφης ικανότητας ανύψωσης εδάφους (0 για φ = 0) Ν cv = 2 ( H ) 10 ισχύει μόνο για τιμές του D (H ) 10 (7.19) D

105 91 Ν qv = ( φ H 44D ) Ν q (7.20) Για τον υπολογισμό του Ν qv, το φ στην Εξ είναι σε μοίρες Δqu: Η μετατόπιση που αντιστοιχεί σε πλήρη ανάπτυξη της Qu = 0.015H για πυκνή έως χαλαρή άμμο < 0.1D = 0.15H για σκληρή έως μαλακή άργιλο <0.2D Η εξίσωση που καθορίζει την κατακόρυφη ικανότητα ανύψωσης, λόγω του ότι βασίζεται σε μια μικρή κλίμακα πειραμάτων και θεωρητικών μοντέλων μπορεί να εφαρμοστεί για σχετικά μικρά βάθη του αγωγού. Έτσι η εξίσωση μπορεί να εφαρμοστεί για λόγους βάθους προς διάμετρο αγωγού (Η/D) 10, ενώ για μεγαλύτερες τιμές απαιτείται περαιτέρω μελέτη. 7.4 ΦΕΡΟΥΣΑ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΕΔΑΦΟΥΣ ΥΠΟ ΑΝΑΚΥΚΛΙΖΟΜΕΝΗ ΦΟΡΤΙΣΗ Τα ελατήρια που αναπτύχθηκαν πιο πάνω μπορούν να χρησιμοποιηθούν μόνο σε συνθήκες μονοτονικής φόρτισης. Χρησιμοποιούνται κυρίως σε μονοτονικές φορτίσεις όπου είναι γνωστή η παραμένουσα παραμόρφωση του εδάφους (Permanent Ground Deformation PGD), αγνοώντας την αδράνεια και την απόσβεση του συστήματος. Όταν πρόκειται να πραγματοποιηθεί δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας στο σύστημα εδάφους-αγωγού, θα πρέπει να αναπτυχθούν καταστατικοί νόμοι που να περιγράφουν την αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Τέτοιοι νόμοι για περιπτώσεις φόρτισης αγωγού δεν είναι διαθέσιμοι στη βιβλιογραφία, όμως έχουν αναπτυχθεί κατάλληλα προσομοιώματα σε άλλου είδους στοιχεία όπως είναι οι πάσσαλοι και τα πέδιλα. Τα προσομοιώματα αυτά βασίζονται σε πειραματικά δεδομένα, τόσο σε αμμώδη εδάφη αλλά και αργιλικά. Η συμπεριφορά αυτών των μη-γραμμικών ελατηρίων είναι ανάλογη της διεύθυνσης φόρτισης και της γεωμετρίας του στοιχείου. Η γεωμετρία ενός αγωγού είναι η ίδια με αυτή ενός κυλινδρικού πασσάλου, αλλά ο τρόπος φόρτισης του μοιάζει περισσότερο με αυτό των θεμελίων, όπου ο διαμήκης άξονας του στοιχείου είναι παράλληλος με την επιφάνεια του εδάφους όπως φαίνεται στο Σχ Τα ελατήρια Q-z για αγωγούς, που εκφράζουν την αντίσταση του εδάφους στην κατακόρυφη διεύθυνση είναι αντίστοιχα με τα ελατήρια Q-z των πεδίλων αλλά και αυτά των πασσάλων. Αντίστοιχα η αντίσταση σε εγκάρσια φόρτιση περιγράφεται με τα ελατήρια P-y για τους αγωγούς και τους πασσάλους, ενώ για τα πέδιλα P-x. Τέλος η αντίσταση στην αξονική διεύθυνση περιγράφεται με τα ελατήρια Τ-x για τους αγωγούς και τα πέδιλα, ενώ για τους πασσάλους T-z. Με γνωστή την αντίσταση του εδάφους σε κάθε διεύθυνση φόρτισης αλλά και τη μέγιστη μετατόπιση που αντιστοιχεί σε αυτήν σύμφωνα με τις οδηγίες του ALA 2001 που περιεγράφηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν μια προσέγγιση τα προσομοιώματα των αγωγών ή των πεδίλων που αναπτύχθηκαν για ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Να σημειωθεί ότι η συμπεριφορά των ελατηρίων των πασσάλων και των πεδίλων είναι παρόμοια και για τις τρεις διευθύνσεις φόρτισης, γι αυτό και αναμένεται να υπάρχει παρόμοια συμπεριφορά και για τους αγωγούς. Τελικά επιλέχθηκε στην παρούσα διατριβή να γίνει προσομοίωση του εδάφους με τα ελατήρια που αναπτύχθηκαν για κυκλικούς πασσάλους, αφού είναι στοιχεία με την ίδια γεωμετρία με τους αγωγούς σε αντίθεση με τα θεμέλια που είναι ορθογωνικά.

106 92 Σχήμα 7.7: (α) Ελατήρια για κυκλικούς πασσάλους [30], (β) ελατήρια για πέδιλα [28] Αξονικά ελατήρια (t-x) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Τα ελατήρια αυτά περιγράφουν την αντίσταση του εδάφους κατά μήκος του άξονα του αγωγού. Η δυσκαμψία στην αρχή είναι μεγάλη, ενώ μειώνεται σταδιακά έτσι ώστε να περιγράφεται η ολίσθηση του αγωγού σε σχέση με το έδαφος. Τα μη-γραμμικά ελατήρια αποτελούνται από δύο συνιστώσες που δουλεύουν σε σειρά. Η ελαστική συνιστώσα (t-x e ) και η πλαστική συνιστώσα (t-x p ). Έτσι ισχύει [29]: t = t e = t p (7.21) x = x e + x p (7.22) Η ελαστική συνιστώσα περιγράφεται από την εξής σχέση: t e = C e t ult x 50 x e (7.23) Και η πλαστική: t p = t ult (t ult t o p ) [ n c x 50 c x 50 + x p p x o ] (7.24) Όπου: t ult : δίνεται από την Εξ. 7.6 t o p = t p στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης x o p = x p στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης x 50 : η μετατόπιση που αντιστοιχεί στην ανάπτυξη του 50% της t ult

107 93 c, n και C e : είναι σταθερές ανάλογες με το εδαφικό υλικό για το οποίο αναφέρονται. Για αργιλικό έδαφος προτείνονται οι τιμές από τους Reese και Ο Neill s (1987) με c = 0.5, n = 1.5 και C e = Για αμμώδες έδαφος προτείνονται οι τιμές από το Mosher s (1984) με c = 0.6, n = 0.85 και C e = Η απόσβεση ακτινοβολίας (radiation damping) του μακρινού πεδίου μπορεί να προσομοιωθεί με έναν ιξώδη αποσβεστήρα ανάλογο της ελαστικής συνιστώσας (t-x e ). Σχήμα 7.8 Καμπύλες (t-x) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος,(β) για αμμώδες έδαφος [29] Εγκάρσια ελατήρια (p-y) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Τα συγκεκριμένα ελατήρια μπορούν να προσομοιώσουν το φαινόμενο κενού gapping που αναπτύσσεται για εγκάρσια φόρτιση του αγωγού. Όταν η φόρτιση είναι ανακυκλιζόμενη, κατά την αποφόρτιση και φόρτιση στην αντίθετη διεύθυνση οι βρόγχοι παρουσιάζουν στένωση (pinching effect). Τα μη-γραμμικά ελατήρια αποτελούνται από τρεις συνιστώσες που δουλεύουν σε σειρά. Η ελαστική συνιστώσα (p-y e ), την πλαστική συνιστώσα (p-y p ) και τη συνιστώσα gap (p-y g ). Η τρίτη συνιστώσα αποτελείται από δύο μη-γραμμικά ελατήρια που δουλεύουν παράλληλα. Ένα ελατήριο κλεισίματος (closure spring) και ένα ελατήριο (drag spring). Έτσι ισχύει [29]: p = p d + p c (7.25) y = y e + y p + y g (7.26) Η ελαστική συνιστώσα έχει ένα αρχικό εύρος άκαμπτης συμπεριφοράς για τιμές C r p ult < p < C r p ult. Όπου: p ult : δίνεται από τη Εξ. 7.10

108 94 Όταν γίνεται η πρώτη διαρροή στην παρθένα φόρτιση του υλικού ισχύει: C r = p p ult (7.27) Μετά το ελαστικό άκαμπτο τμήμα της καμπύλης ακολουθεί η πλαστική συνιστώσα: p = p ult (p ult p 0 ) [ n c y 50 c y 50 + y p p y o ] (7.28) Όπου: p 0 = p στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης y o p = y p στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης y 50 : η μετατόπιση που αντιστοιχεί στην ανάπτυξη του 50% της p ult c, n, Cr: είναι σταθερές ανάλογες με το εδαφικό υλικό για το οποίο αναφέρονται. Για αργιλικό έδαφος προτείνονται οι τιμές από το Matlock s (1970) με c = 10, n = 5 και C r = Για αμμώδες έδαφος προτείνονται οι τιμές από το API s (1993) με c = 0.5, n = 2 και C r = 0.2. To ελατήριο κλεισίματος (p c -y g ) περιγράφεται από τη σχέση: p c = 1.8 [ y 50 y 50 y (y + o y g ) y 50 50(y o y g ) ] (7.29) y o + και y o : όροι που αναφέρονται στη μνήμη του υλικού στη θετική και στην αρνητική πλευρά του κενού αντίστοιχα, από τους προηγούμενους κύκλους φόρτισης. Οι αρχικές τιμές των όρων αυτών ορίζονται ως y50/100 και -y50/100 αντίστοιχα. To ελατήριο (drag spring) (p d -y g ) περιγράφεται από τη σχέση: y 50 p d = C d p ult (C d p ult p d o ) [ y y g g y o ] (7.30) Όπου: C d : Ο λόγος της μέγιστης δύναμης (drag force) που αναπτύσσεται προς την p ult p o d = p d στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης y o g = y g στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης Η απόσβεση ακτινοβολίας (radiation damping) του μακρινού πεδίου μπορεί να προσομοιωθεί με έναν ιξώδη αποσβεστήρα ανάλογο της ελαστικής συνιστώσας (p-y e ).

109 95 Σχήμα 7.9 Καμπύλες (p-y) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος, (β) για αμμώδες έδαφος [29] Κατακόρυφα ελατήρια (q-z) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση Τα ελατήρια αυτά παρουσιάζουν μια ασύμμετρη συμπεριφορά για να ληφθεί υπόψιν η μειωμένη αντοχή του εδάφους σε εφελκυσμό. Η συμπεριφορά τους είναι πολύ παρόμοια με τα εγκάρσια ελατήρια (p-y). Έτσι ισχύει [29]: q = q d + q c (7.31) z = z e + z p + z g (7.32) Η ελαστική συνιστώσα έχει ένα αρχικό εύρος άκαμπτης συμπεριφοράς για τιμές C r q ult < q < C r q ult. Όπου: q ult : δίνεται από τη Εξ Όταν γίνεται η πρώτη διαρροή στην παρθένα φόρτιση του υλικού ισχύει: C r = q q ult (7.33) Μετά το ελαστικό άκαμπτο τμήμα της καμπύλης ακολουθεί η πλαστική συνιστώσα: q = q ult (q ult q 0 ) [ n c z 50 c z 50 + z p p z o ] (7.34) z 0 = z στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης z o p = z p στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης z 50 : η μετατόπιση που αντιστοιχεί στην ανάπτυξη του 50% της q ult

110 96 c, n, Cr: είναι σταθερές ανάλογες με το εδαφικό υλικό για το οποίο αναφέρονται. Για αργιλικό έδαφος προτείνονται οι τιμές από τους Reese και Ο Neill s (1987) με c = 0.35, n = 1.2 και C r = 0.2. Για αμμώδες έδαφος προτείνονται οι τιμές από το Vijayvergiya s (1977) με c = 12.3, n = 5.5 και C r = 0.3. To ελατήριο κλεισίματος (p c -z g ) είναι ένα διγραμμικό ελατήριο που είναι σχετικά δύσκαμπτο σε θλίψη και εξαιρετικά εύκαμπτο σε εφελκυσμό. To ελατήριο (drag spring) (q d -z g ) περιγράφεται από τη σχέση: z 50 q d = C d q ult (C d q ult q d o ) [ z z g g z o ] (7.35) Όπου: C d : Ο λόγος της μέγιστης δύναμης (drag force) που αναπτύσσεται προς την q ult q o d = q d στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης z o g = z g στην αρχή του τρέχοντος πλαστικού κύκλου φόρτισης Η απόσβεση ακτινοβολίας (radiation damping) του μακρινού πεδίου μπορεί να προσομοιωθεί με έναν ιξώδη αποσβεστήρα ανάλογο της ελαστικής συνιστώσας (q-z e ) Σχήμα 7.10 Καμπύλες (q-z) υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση : (α) για αργιλικό έδαφος, (β) για αμμώδες έδαφος [29] 7.5 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ-ΑΓΩΓΟΥ Όπως προαναφέρθηκε η κίνηση του ελευθέρου πεδίου διαφέρει από την κίνηση του εδάφους στο ίδιο σημείο εάν υπάρχει κάποια σχετικά δύσκαμπτη κατασκευή. Γι αυτό το λόγο θα πρέπει να υπολογιστούν κάποιές συναρτήσεις μεταφοράς που να μετατρέπουν την κίνηση του ελευθέρου πεδίου σε κίνηση του εδάφους στη στάθμη του αγωγού στην προκειμένη περίπτωση. Η κινηματική αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα υπό κάποιές προϋποθέσεις. Εάν ο αγωγός είναι αρκετά εύκαμπτος σε σχέση με το έδαφος μπορεί να θωρηθεί

111 97 ότι δεν επηρεάζει την κίνηση του ελεύθερου πεδίου και έτσι αυτή να μπει απευθείας στη βάση του. Αυτή η σχετική ευκαμψία μιας υπόγειας κυλινδρικής κατασκευής ονομάζεται δείκτης ευκαμψίας Fr και μπορεί να υπολογιστεί από την πιο κάτω σχέση σύμφωνα με το Wang 1993 [18]: F r = E s(1 ν p )( D 2 )3 E p (1+ν s )t 3 (7.36) Όπου: E s : Μέτρο ελαστικότητας εδάφους στη στάθμη του αγωγού ν s : Λόγος Poisson εδάφους Εάν ο δείκτης ευκαμψίας υπερβαίνει το 20 τότε το φαινόμενο της κινηματικής αλληλεπίδρασης εδάφους-αγωγού μπορεί να αμεληθεί. Οι αγωγοί που χρησιμοποιούνται συνήθως στην πράξη είναι λεπτότοιχοι. Έχουν δηλαδή μεγάλη διάμετρο D η οποία βρίσκεται στον αριθμητή της σχέσης, ενώ έχουν μικρό πάχος t που βρίσκεται στον παρονομαστή. Έτσι για συνήθη εδάφη και αγωγούς, η Εξ δίνει τιμές μεγαλύτερες του 20. Εάν όμως ένα έδαφος είναι σχετικά εύκαμπτο η Εξ πιθανόν να δώσει μικρότερες τιμές. 7.6 ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ ΑΓΩΓΟΥ Η εξίσωση κίνησης ενός συνεχούς αγωγού υπό σεισμική διέγερση χωρίζεται σε δύο μέρη. Το ένα μέρος αναφέρεται στην παραμόρφωση του αγωγού στην αξονική διεύθυνση, ενώ το άλλο αναφέρεται στην παραμόρφωση του στην εγκάρσια κατακόρυφη διεύθυνση. Συνδυασμός πρωτευόντων και δευτεροετών κυμάτων φτάνουν στις στηρίξεις του αγωγού (ελατήρια Winkler) με αποτέλεσμα να προκαλούν αξονικές και κατακόρυφες μετατοπίσεις στον αγωγό Διαφορική εξίσωση κίνησης αγωγού στην αξονική διεύθυνση Η οριζόντια συνιστώσα της σεισμικής διέγερσης προκαλεί αξονικές παραμορφώσεις στον αγωγό. Η διαφορική εξίσωση της αξονικής κίνησης του αγωγού χωρίς τον όρο της απόσβεσης ακτινοβολίας του εδάφους είναι η εξής [7]: (Α p ρ p + Α p,in ρ LNG ) 2 u(x,t) t 2 E p Α p 2 u(x,t) x 2 + C a u(x,t) t + K a u(x, t) = K a u g (x, t) Όπου: ρ p : Πυκνότητα μάζας αγωγού ρ LNG : Πυκνότητα μάζας υγροποιημένου φυσικού αερίου Α p : Εμβαδόν διατομής αγωγού Α p,in : Εμβαδόν εσωτερικής διατομής αγωγού ( περιέχει υγροποιημένο φυσικό αέριο) E p : Μέτρο ελαστικότητας αγωγού C a : Συντελεστής απόσβεσης αγωγού στην αξονική διεύθυνση K a : Δυσκαμψία αξονικών ελατηρίων Winkler (7.37)

112 98 u(x, t): Αξονική μετατόπιση αγωγού u g (x, t): Οριζόντια μετατόπιση εδάφους στις στηρίξεις του αγωγού Διαφορική εξίσωση κίνησης αγωγού στην κατακόρυφη διεύθυνση Αντίστοιχα με την αξονική διεύθυνση, μπορεί να μορφωθεί η εξίσωση κίνησης του αγωγού στην κατακόρυφη διεύθυνση που προκαλείται από την κατακόρυφη συνιστώσα της σεισμικής διέγερσης. Η διαφορική εξίσωση της κατακόρυφης κίνησης του αγωγού χωρίς τον όρο της απόσβεσης ακτινοβολίας του εδάφους είναι η εξής [23]: E p Ι p 4 w(x,t) x 4 + (Α p ρ p + Α p,in ρ LNG ) 2 w(x,t) t 2 + C l w(x,t) t Όπου: Ι p : Ροπή αδράνειας του αγωγού C l : Συντελεστής απόσβεσης αγωγού στην κατακόρυφη διεύθυνση K l : Δυσκαμψία κατακόρυφων ελατηρίων Winkler w(x, t): Κατακόρυφη μετατόπιση αγωγού w g (x, t): Κατακόρυφη μετατόπιση εδάφους στις στηρίξεις του αγωγού + K l w(x, t) = K l w g (x, t) (7.38) 7.7 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΚΥΜΑΤΩΝ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΤΟΥ ΑΓΩΓΟΥ Η ταχύτητα διάδοσης διαμήκων κυμάτων V p,l κατά μήκος του ενός αγωγού υπολογίζεται από την εξής σχέση: V p,l = Ε p ρ p (7.39) H ταχύτητα διάδοσης των καμπτικών κυμάτων V p,b κατά μήκος του ενός αγωγού είναι εξαρτώμενη από τη συχνότητα διέγερσης. Παρουσιάζεται δηλαδή το φαινόμενο της διασποράς στη διάδοση καμπτικών κυμάτων κατά μήκος του αγωγού. Μεγαλύτερη συχνότητα διέγερσης μεταφράζεται σε μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης : V p,b = ω E Ι p A p ρ p (7.40)

113 ΣΥΝΔΕΣΕΙΣ ΑΓΩΓΩΝ Συνεχείς αγωγοί Συνεχείς αγωγοί, θεωρούνται οι αγωγοί στους οποίους οι κόμβοι έχουν μεγαλύτερη αντοχή και δυσκαμψία από το υλικό του αγωγού. Η αστοχία επέρχεται από αστοχία του υλικού και όχι από αστοχία στους κόμβους που συνδέονται δυο μέλη. Συνεχής μπορεί να θεωρηθεί για παράδειγμα, χαλύβδινος αγωγός με συγκολλητές συνδέσεις. Συνήθως τέτοιου είδους συνδέσεις υλοποιούνται σε αγωγού μεταφοράς Υγροποιημένου Φυσικού Αερίου (LNG). Σχήμα 7.11 Παράδειγμα συνεχούς αγωγού μεταφοράς LNG με συγκολλητές συνδέσεις [Διαδίκτυο] Τμηματικοί αγωγοί Τμηματικοί αγωγοί, θεωρούνται οι αγωγοί στους οποίους οι κόμβοι έχουν μικρότερη αντοχή και δυσκαμψία από το υλικό του αγωγού. Σε τέτοιου είδους αγωγούς η αστοχία επέρχεται στους κόμβους, πριν να αστοχήσει το ίδιο υλικό του αγωγού. Τέτοιου είδους κόμβοι είναι οι συνδέσεις με λιωμένο μόλυβδο σε παλαιούς αγωγούς από χυτοσίδηρο (Cast Iron Pipes with Lead Caulked Joints), και οι συνέσεις με ελαστικό περίβλημα σε αγωγούς από όλκιμο σίδηρο (Ductile Iron Pipes with Rubber Gasketed Joints) [24]. Οι πρώτοι χρησιμοποιούνταν παλαιότερα για μεταφορά νερού κυρίως, ενώ αντικαταστάθηκαν από τους δεύτερους που έχουν καλύτερες μηχανικές ιδιότητες. Και οι δύο κατηγορίες χρησιμοποιούνται επίσης και για τη μεταφορά LNG. Οι κόμβοι σε τέτοιου είδους αγωγούς, προσομοιώνονται με πολυγαμικά ελατήρια. Συνήθως χρησιμοποιούνται στροφικά ελατήρια για να προσομοιώσουν τη στροφή ανάμεσα σε δύο τμήματα, και αξονικά ελατήρια για την προσομοίωση διαφορικής αξονικής μετατόπισης των τμημάτων. Κατά την κατακόρυφη διεύθυνση θεωρείται συνήθως ότι δεν υπάρχει σχετική

114 100 μετατόπιση των δύο τμημάτων. Τα αξονικά ελατήρια μπορεί να έχουν διαφορετικές ιδιότητες σε εφελκυσμό και θλίψη, ανάλογα με τον τύπο της σύνδεσης. Σχήμα 7.12 (α) Σύνδεση με λιωμένο μόλυβδο (Lead Caulked Joint) [24], (β) Σύνδεση με ελαστικό περίβλημα (Rubber Gasketed Joint) [Διαδίκτυο] Σχήμα 7.13 (α) Προσομοίωση σύνδεσης με ελαστικό περίβλημα με αξονικό και στροφικό ελατήριο, (β) Ασύμμετρος νόμος αξονικού ελατηρίου, (γ) Συμμετρικός νόμος στροφικού ελατηρίου [24]

115 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΔΙΑΜΗΚΟΥΣ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Σύμφωνα με το ALA 2001 [8], η διαμήκης παραμόρφωση σε συνεχή αγωγό μπορεί να εκτιμηθεί προσεγγιστικά, με βάση κάποια βασικά χαρακτηριστικά της σεισμικής διέγερσης. Βέβαια αυτές οι σχέσεις είναι συντηρητικές, αφού παρακάμπτουν τη διαδικασία της δυναμικής ανάλυσης. Η διαμήκης παραμόρφωση στον αγωγό, ο οποίος υπόκειται σε σεισμικά κύματα είναι η εξής: ε lon = I g PGV a e V app (7.41) Όπου: PGV: Μέγιστη ταχύτητα σωματιδίων εδάφους, καταγεγραμμένη πάνω στο βράχο I g : Συντελεστής μεγέθυνσης της ταχύτητας, ο οποίος εξαρτάται από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες a e : Συντελεστής εδαφικών παραμορφώσεων ίσος με 2.0 για κύματα S, και 1.0 για κύματα Rayleigh H V app μπορεί να θεωρηθεί συντηρητικά 2 Km/s για κύματα S, και 0.5 Km/s για κύματα Rayleigh. Η μέγιστη διαμήκης παραμόρφωση που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό από το έδαφος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από τη μέγιστη παραμόρφωση που προκαλείται από τριβή στη διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού. Έτσι υπάρχει ένα ανώτερο όριο στη διαμήκη παραμόρφωση σύμφωνα με την παρακάτω σχέση: ε lon T u λ app (7.42) 4A p E p Όπου: λ app : Φαινόμενο μήκος κύματος στην επιφάνεια του εδάφους. Συντηρητικά μπορεί να θεωρηθεί ως 1.0 Km ελλείψει περισσότερων στοιχείων

116 ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΥΠΟΓΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΧΑΛΥΒΔΙΝΟΥ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΥΓΡΟΠΟΙΗΜΕΝΟΥ ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ Απειρομήκης κυλινδρικός συνεχής αγωγός από λείο χάλυβα, ο οποίος μεταφέρει υγροποιημένο φυσικό αέριο, βρίσκεται σε ένα εδαφικό στρώμα ξηρής μέσης-πυκνής άμμου. Εξετάζεται η απόκριση του αγωγού οριζόντια σεισμική διέγερση του βράχου που βρίσκεται στη βάση της εδαφικής στρώσης. Η σεισμική διέγερση θεωρείται ότι είναι παράλληλη με τον άξονα του αγωγού, γι αυτό και η απόκριση του δεν λαμβάνεται υπόψιν στην οριζόντια διεύθυνση εγκάρσια στον άξονα του. Η διέγερση πραγματοποιήθηκε για δύο διαφορετικές σεισμικές καταγραφές : (1) Αίγιο, 15/06/1995, Μw = 6.2, PGA = 0.50 g, (2) Northridge, California από καταγραφή στο σταθμό Rinaldi, 17/01/1994, Μw = 6.7, PGA = 0.84 g. Η τοποθεσία του αγωγού θεωρείται ότι είναι σε μεγάλη απόσταση από τη σεισμική πηγή που προκάλεσε τη διέγερση. Σχήμα 8.1 Σεισμική διέγερση (1) Αίγιο 15/06/1995 Σχήμα 8.2 Σεισμική διέγερση (2) Northridge, California 17/01/1994

117 103 Χαρακτηριστικά αγωγού Διατομή: CHS 914 x 12.5 Χάλυβας: S275 Εξωτερική διάμετρος: D = 914 mm Πάχος: t = 12.5 mm Κατηγορία διατομής: 3 σε κάμψη και θλίψη Μέτρο Ελαστικότητας: Ep = 200 GPa Λόγος Poisson: νp = 0.3 Πυκνότητα μάζας αγωγού: ρp = 8 Mg/m 3 Συντελεστής θερμικής διαστολής: α = (m/m C) Εσωτερική πίεση υγροποιημένου φυσικού αερίου: p = 3 MPa Πυκνότητα μάζας υγροποιημένου φυσικού αερίου : ρlng= 0.5 Mg/m 3 Θερμοκρασία την περίοδο εγκατάστασης: T1 = 20 C Θερμοκρασία λειτουργίας: T1 = 5 C Βάθος κεντροβαρικού άξονα του αγωγού: H = 2 m Χαρακτηριστικά εδάφους Ξηρό ειδικό βάρος: γdry = 2.0 KN/m 3 Λόγος Poisson: ν = 0.25 Ενεργός τάση αναφοράς: p r = 80 KPa Μέτρο διάτμησης στην τάση αναφοράς: Gr = KPa Μέτρο διόγκωσης στην τάση αναφοράς: Kr = KPa Ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων στην τάση αναφοράς: Vs,r = 230 m/s Γωνία Εσωτερικής Τριβής: φ = 35 Μέγιστη οκταεδρική παραμόρφωση: γmax = 0.1 Ύψος εδαφικής στρώσης πάνω από το βράχο: h = 50 m Ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στο βράχο: V rock s = 1500 m/s

118 ΠΡΩΤΟ ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ- ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ Εύρεση μεγέθους πεπερασμένων στοιχείων Αρχικά, με δεδομένα τα χαρακτηριστικά του εδάφους θα πρέπει να βρεθεί το κατάλληλο μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων. Το μέγεθος αυτό εξαρτάται από την ταχύτητα διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων, η οποία αυξάνεται με το βάθος. Αυτό έχει αποτέλεσμα και την αύξηση του απαιτούμενου μεγέθους των πεπερασμένων στοιχείων με την αύξηση του βάθους σύμφωνα με την Εξ Με γνωστή την ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην τάση αναφοράς και εφαρμόζοντας τις Εξ. 4.1, 4.6, 5.1, 5.2 μπορεί να βρεθεί η ενεργός τάση περίσφιξης, το μέτρο διάτμησης και οι ταχύτητες διάδοσης εγκαρσίων και διαμήκων κυμάτων συναρτήσει του βάθους, όπως φαίνεται στα Σχ. 8.3 α, β και γ. Δεύτερος παράγοντας που παίζει ρόλο στο μέγεθος των πεπερασμένων είναι η μέγιστη συχνότητα που απαιτείται να αναπαρασταθεί με ακρίβεια. Αυτή η συχνότητα εξαρτάται από την κυριαρχούσα συχνότητα της σεισμικής διέγερσης, και για να βρεθεί θα πρέπει να γίνει μεταφορά της στο πεδίο των συχνοτήτων. Αυτό μπορεί να γίνει με τον Ταχύ Μετασχηματισμό Fourier (FFT). Στα Σχ. 8.4 και 8.5 φαίνεται ο μετασχηματισμός Fourier των δύο διεγέρσεων εισόδου. Παρατηρείται ότι και οι δύο σεισμοί περιέχουν συχνότητες από 0 25 Hz περίπου. Όμως οι συχνότητες μεγαλύτερες από τα Hz φαίνεται να δίνουν πολύ μικρή απόκριση σε σχέση με τις άλλες. Τελικά έγινε η επιλογή ως μέγιστη συχνότητα που θα αναπαρασταθεί με ακρίβεια fmax = 18 Hz. Αυτό σημαίνει ότι συχνότητες πάνω από αυτήν θα αποτυπωθούν με μειωμένη ακρίβεια. Σε κάθε μήκος κύματος αντιστοιχούν 8 κόμβοι, γι αυτό και η μέγιστη συχνότητα που μπορεί να αποτυπωθεί μερικώς είναι 4fmax = 72 Hz (2 κόμβοι ανά μήκος κύματος).

119 Σχήμα 8.3 (α) Ενεργός τάση περίσφιξης, (β) Μέτρο διάτμησης εδάφους, (γ) Ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων και διαμήκων κυμάτων στο έδαφος 105

120 106 Σχήμα 8.4 Μετασχηματισμός Fourier της σεισμικής διέγερσης (1) Σχήμα 8.5 Μετασχηματισμός Fourier της σεισμικής διέγερσης (2) Παρατηρείται ότι υπάρχει ένα εύρος τιμών με που δίνει μεγάλη απόκριση. Για αυτό δεν θα ήταν σωστό να επιλεχθεί ως κυριαρχούσα συχνότητα, μόνο η τιμή που δίνει τη μέγιστη απόκριση, αφού έτσι θα αμελούντο γειτονικές συχνότητες που δίνουν μεγάλη απόκριση. Έτσι για κάθε σεισμική διέγερση επιλέχθηκε ως κυριαρχούσα συχνότητα ως ο μέσος όρος των τιμών που δίνουν απόκριση περίπου πάνω από το 90% της μέγιστης. Η κυριαρχούσα συχνότητα του του σεισμού (1) Αίγιο είναι f D(1) = 1.90 Hz, ενώ η αντίστοιχη του σεισμού (2) Northridge είναι f D(2) = 0.90 Hz. Παρατηρείται ότι ο σεισμός (1), έχει τη μέγιστη απόκριση σε ένα εύρος πιο

121 107 ψηλών συχνοτήτων από ότι ο σεισμός (2). Έτσι ό πρώτος μπορεί να χαρακτηριστεί πιο υψίσυχνος σεισμός από το δεύτερο. Το απαιτούμενο μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων σύμφωνα με την Εξ είναι περίπου 1.25 m στην επιφάνεια του εδάφους, και αυξάνεται σταδιακά με την αύξηση του βάθους. Σε βάθος 50 m το απαιτούμενο μέγεθος είναι περίπου 3.00 m. Το απαιτούμενο μέγεθος αυτό εφαρμόστηκε μόνο κατά την κατακόρυφη διάσταση των πεπερασμένων στοιχείων, ενώ κατά την οριζόντια διάσταση κρατήθηκε σταθερό στα 1.25 m. Ο λόγος που έγινε αυτή η επιλογή, ήταν για την ευκολότερη διακριτοποίηση του εδαφικού τομέα, αφού έτσι θα είναι αναγκαίο να αλλάζει συνεχώς ο αριθμός των πεπερασμένων στοιχείων καθ ύψος. Το συνολικό μήκος του εδαφικού τομέα που πρόκειται να προσομοιωθεί, θα πρέπει να είναι αρκετά μεγάλο για τους λόγους που προαναφέρθηκαν πιο πάνω. Η αύξηση του πλάτους έχει αποτέλεσμα και την αύξηση του υπολογιστικού χρόνου, γι αυτό και θα πρέπει να επιλεγεί μια τιμή έτσι ώστε ο χρόνος της ανάλυσης να είναι σε λογικά πλαίσια. Επιλέχθηκε τελικά το συνολικό πλάτος του υπολογιστικού εδαφικού τομέα να είναι 1000 m. Συνολικά προέκυψαν πεπερασμένα στοιχεία και κόμβοι Ανάλυση βαρύτητας Για να μπορεί να εφαρμοστεί η δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας στην εδαφική στρώση, θα πρέπει πρώτα να εφαρμοστούν τα φορτία βαρύτητας. Αυτό γίνεται έτσι ώστε το έδαφος στην αρχή της σεισμικής φόρτισης να έχει τη σωστή ενεργό τάση περίσφιξης, αφού αποτελεί υλικό εξαρτώμενο από αυτήν. Τα φορτία βαρύτητας εφαρμόζονται στο σύστημα σε δυο μέρη για λόγους ευστάθειας. Στο πρώτο μέρος της υλικό του εδάφους θεωρείται γραμμικά ελαστικό. Εφαρμόζεται η βαρύτητα μέχρι αυτό να ισορροπήσει. Στη συνέχεια ενεργοποιούνται οι πλαστικές ιδιότητες του εδάφους και εφαρμόζεται ξανά η βαρύτητα. Τότε το έδαφος ισορροπεί στην νέα του θέση έχοντας αναπτύξει τις τάσεις που επικρατούν υπό συνθήκες βαρύτητας. Εάν εφαρμοζόταν η ανάλυση θεωρώντας το έδαφος αρχικά ικανό να παραμορφωθεί πλαστικά, πιθανόν να παρουσιάζονταν αστάθειες και η λύση να απέκλινε. Επίσης η φόρτιση εφαρμόστηκε σαν δυναμική φόρτιση (transient analysis), με το χρόνο του βήματος πολύ μεγάλο έτσι ώστε να μην δοθεί επιτάχυνση στο σύστημα. Μετά το πέρας της ανάλυσης βαρύτητας το έδαφος έχει αποκτήσει την τάση που επικρατεί σε συνθήκες στατικής ισορροπίας. Παράλληλα όμως δημιουργήθηκαν και κάποιές κατακόρυφες βυθίσεις οι οποίες στην πραγματικότητα δεν υφίστανται. Για το λόγο αυτό αφαιρέθηκαν οι μετακινήσεις που αναπτύχθηκαν λόγω της βαρύτητας, κρατώντας όμως την τάση και την παραμόρφωση του εδάφους. Η σεισμική φόρτιση μπορεί να εφαρμοστεί, αφού τώρα επικρατούν οι σωστές αρχικές συνθήκες.

122 108 Σχήμα 8.6 Κατακόρυφη τάση σz που επικρατεί υπό συνθήκες βαρύτητας Επιλογή παραμέτρων απόσβεσης Rayleigh Η απόσβεση του συστήματος όπως προαναφέρθηκε, είναι ιξώδης απόσβεση τύπου Rayleigh. Για να οριστούν οι συντελεστές α0 και α1, χρειάζονται δύο λόγοι απόσβεσης σε δύο διαφορετικές συχνότητες. Σύμφωνα με τη μέθοδο διπλής συχνότητας που προτάθηκε από το Lanzo, χρειάζεται ένας μόνο λόγος απόσβεσης που παραμένει σταθερός μεταξύ των δύο συχνοτήτων που θα επιλεχθούν. Η πρώτη συχνότητα είναι η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα του εδάφους, ενώ η δεύτερη εξαρτάται από τη σεισμική διέγερση Ιδιοσυχνότητες εδάφους Η θεμελιώδης και οι ανώτερες ιδιοσυχνότητες του εδάφους μπορούν να εκτιμηθούν κάνοντας χρήση των Εξ. 5.9 και Η εκτίμηση βασίζεται στην κατακόρυφη διάδοση κυμάτων στη μία διεύθυνση, γι αυτό και αποτελεί προσέγγιση για ένα δυσδιάστατο πρόβλημα. Λόγω του γεγονότος ότι δεν υπάρχουν οριζόντιες δεσμεύσεις στη βάση του εδάφους, το καθολικό μητρώο δυσκαμψίας είναι ιδιάζων (singular), με αποτέλεσμα να μην μπορούν να υπολογιστούν οι ιδιοσυχνότητες του συστήματος με την τυπική ιδιομορφική ανάλυση. Εναλλακτικά μπορούν να βρεθούν διεγείροντας το σύστημα [21]. Οι ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι αυτές που θα δώσουν μεγάλη απόκριση εξόδου (συντονισμός). Ο λόγος απόκρισης εξόδου σε ένα σημείο στην επιφάνεια της εδαφικής στρώσης προς τη διέγερση εισόδου εκφράζεται σαν μία συνάρτηση μεταφοράς Ηu(f) στο πεδίο των συχνοτήτων με τη χρήση του ταχέως μετασχηματισμού Fourier. Αφού ζητούνται οι ιδιοσυχνότητες του συστήματος όταν αυτό είναι στην ελαστική του περιοχή, θα πρέπει η διέγερση εισόδου να έχει πολύ μικρή τιμή επιτάχυνσης (τάξεως 1 mm/sec 2 ), έτσι ώστε να μην αναπτυχθούν πλαστικές παραμορφώσεις στο έδαφος. Μετά από εφαρμογή της σεισμικής διέγερσης (1), πολλαπλασιασμό της με τον κατάλληλο μειωτικό συντελεστή και μεταφορά στο πεδίο των συχνοτήτων βρέθηκαν οι πρώτες τέσσερις συχνότητες του συστήματος (Σχ. 8.7). Παρατηρείται ότι οι μεγαλύτερες ιδιοσυχνότητες αποσβένονται περισσότερο, γι αυτό και δεν διακρίνονται παραπάνω από τις πρώτες τέσσερεις ιδιοσυχνότητες. Οι ιδιοσυχνότητες

123 109 υπολογίστηκαν επίσης σύμφωνα με την Εξ για λόγους σύγκρισης. Παρατηρείται αρκετά καλή συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων σύμφωνα με τον Πίν Σχήμα 8.7 Πρώτες τέσσερεις ιδιοσυχνότητες του εδάφους Πίνακας 8.1 Σύγκριση τιμών ιδιοσυχνοτήτων που βρέθηκαν διεγείροντας το σύστημα, με αυτές που βρέθηκαν με αυτές που υπολογίστηκαν από την Εξ Συχνότητα (Hz) f1 f2 f3 f4 Διέγερση Εξίσωση Η κυριαρχούσα συχνότητα της σεισμικής διέγερσης (1) (fd(1) = 1.90 Hz) είναι μεταξύ της πρώτης και της δεύτερης ιδιοσυχνότητας του εδάφους, άρα η δεύτερη συχνότητα της απόσβεσης Rayleigh είναι η f2 = 4.35 Hz. Η σεισμική διέγερση (2) έχει κυριαρχούσα συχνότητα (fd(2) = 0.90 Hz) μικρότερη από τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους, άρα θα η δεύτερη συχνότητα της απόσβεσης θα ισούται με την f1 = 1.64 Hz Λόγος Απόσβεσης εδάφους Αφού βρέθηκαν οι δυο συχνότητες, για να οριστούν οι συντελεστές της απόσβεσης Rayleigh, χρειάζεται να βρεθεί ο λόγος απόσβεσης. Ο λόγος αυτός είναι εξαρτώμενος από τη διατμητική παραμόρφωση του εδάφους, και μάλιστα διαφέρει για διαφορετικές τιμές της ενεργού τάσης περίσφιξης (Σχ. 6.3). Οι παραμορφώσεις του εδάφους δεν είναι γνωστές πριν να εφαρμοστεί η σεισμική διέγερση. Σε συνήθεις σεισμούς αυτές κυμαίνονται σε ένα από 10-4 μέχρι Εφαρμόστηκε έτσι μια επαναληπτική διαδικασία για την εύρεση του λόγου απόσβεσης. Αρχικά τέθηκε ένας καθολικός λόγος απόσβεσης ξ= 2% σε όλο το έδαφος. Η τιμή αυτή είναι συνήθης για μετρίου-δυνατού μεγέθους σεισμού και πολλές φορές εφαρμόζεται χωρίς περαιτέρω διερεύνηση. Με βάση τα αποτελέσματα υπολογίστηκαν οι ακριβείς τιμές του λόγου απόσβεσης.

124 110 Η διατμητική παραμόρφωση καταγράφηκε σε τρία διαφορετικά βάθη (z1 = 4.25 m για σ 48 KPa, z2 = 11.5 m για σ 144 KPa, και z3 = 39 m για σ 144 KPa ), έτσι ώστε η ενεργός τάση περίσφιξης σε κάθε σημείο να συμπίπτει με τις καμπύλες του Σχ Το έδαφος χωρίστηκε σε τρεις στρώσεις, έτσι ώστε κάθε στρώση να έχει τον κατάλληλο συντελεστή απόσβεσης. Οι τρεις στρώσεις είναι: m, m και m. Με βάση τα αποτελέσματα της πρώτης ανάλυσης με το λόγο απόσβεσης στο 2%, προέκυψαν τα διαγράμματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων στα τρία σημεία. Με βάση αυτές τις τιμές της παραμόρφωσης επιλέχθηκε ο σωστός λόγος απόσβεσης κάθε στρώσης. Οι τιμές των παραμορφώσεων της δεύτερης επανάληψης δεν διέφεραν πολύ, γι αυτό και δεν χρειάστηκαν περισσότερες επαναλήψεις. Τα τρία αυτά σημεία επιλέχθηκαν να είναι ακριβώς στο μέσον του εδαφικού τομέα κατά την οριζόντια διεύθυνση, έτσι ώστε να μην υπάρχει επιρροή από τα σύνορα. Πίνακας 8.2 Παράμετροι απόσβεσης Rayleigh Διέγερση (1) Διέγερση (2) ωn ξ ωn ξ a0 a1 (rad/sec) (%) (rad/sec) (%) a0 a Στρ Στρ ωm Στρ ωm Στρ (rad/sec) (rad/sec) Στρ Στρ Σχήμα 8.8 Διαχωρισμός εδάφους σε τρείς στρώσεις για την επιλογή του λόγου απόσβεσης

125 Σεισμική διέγερση στη βάση του εδάφους Η σεισμική διέγερση στη βάση του εδάφους θα πρέπει να εφαρμοστεί με μια διαφορά φάσης στους κόμβους της βάσης, λόγω της πεπερασμένης ταχύτητας διάδοσης των κυμάτων Rayleigh που φτάνουν στην περιοχή του αγωγού. Η φαινόμενη ταχύτητα διέγερσης στους κόμβους της βάσης του εδάφους εξαρτάται από τις ιδιότητες του βράχου, αλλά και από αυτές της υπερκείμενης εδαφικής στρώσης σύμφωνα με την Παρ και 6.7. Η ταχύτητα αυτή υπολογίζεται από την Εξ Η μέση ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην εδαφική στρώση είναι V s,avg = 293 m/s σύμφωνα με την Εξ Η σεισμική διέγερση (1) έχει μεγαλύτερη κυριαρχούσα συχνότητα από τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Αυτό έχει αποτέλεσμα να επηρεάζεται και από τις ιδιότητες του εδαφικού υλικού πάνω από το βράχο. Η φαινόμενη ταχύτητα διέγερσης στους κόμβους της βάσης υπολογίζεται από την Εξ γ, και ισούται με V R,app(1) 1200 m/s. Η σεισμική διέγερση (2) έχει πιο χαμηλή συχνότητα από αυτήν του εδάφους, με αποτέλεσμα η φαινόμενη ταχύτητα διέγερσης να προκύπτει από την Εξ α. Για αυτήν τη συχνότητα της σεισμικής διέγερσης, το μήκος κύματος είναι μεγάλο, με αποτέλεσμα η εδαφική στρώση να θεωρείται λεπτή σε σχέση με αυτό. Η φαινόμενη ταχύτητα διέγερσης ισούται με το 90% της ταχύτητας διάδοσης των εγκάρσιων κυμάτων πάνω στο βράχο και είναι V R,app(2) = 1350 m/s. Στο Σχ. 8.9 φαίνεται γραφικά η εφαρμογή την Εξ για την εύρεση της φαινόμενης ταχύτητας διέγερσης για τους δύο σεισμούς. Σχήμα 8.9 Γραφική απεικόνιση της εφαρμογής της Εξ για την εύρεση της φαινόμενης ταχύτητας διέγερσης για τους δύο σεισμούς Αποτελέσματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων Στα Σχ και 8.11 παρουσιάζονται τα διαγράμματα διατμητικών τάσεωνπαραμορφώσεων στα σημεία 1, 2 και 3 για τις δύο διεγέρσεις. Ακολουθούν τα Σχ και 8.13 που παρουσιάζουν τα διαγράμματα διατμητικών παραμορφώσεων συναρτήσει το χρόνου, στο σημείο 1 και για τις δύο διεγέρσεις.

126 Σχήμα 8.10 Διαγράμματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων για σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο 1, (β) Σημείο 2, (γ) Σημείο 3 112

127 Σχήμα 8.11 Διαγράμματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων για σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο 1, (β) Σημείο 2, (γ) Σημείο 3 113

128 114 Σχήμα 8.12 Διάγραμμα διατμητικών παραμορφώσεων-χρόνου στο σημείο 1 για διέγερση (1) Σχήμα 8.13 Διάγραμμα διατμητικών παραμορφώσεων-χρόνου στο σημείο 1 για διέγερση (2) Το έδαφος φαίνεται να αναπτύσσει μεγάλες ανελαστικές παραμορφώσεις σύμφωνα με τους βρόγχους υστέρησης. Οι βρόγχοι αυτοί περικλείουν μεγάλο εμβαδόν, ένδειξη της έντονης ανελαστικής συμπεριφοράς. Παρατηρείται αύξηση των διατμητικών παραμορφώσεων με την αύξηση του βάθους. Η σεισμική διέγερση (1) προκαλεί διατμητικές παραμορφώσεις κοντά στη βάση, περίπου , ενώ όπως ήταν αναμενόμενο η διέγερση (2) προκαλεί μεγαλύτερη μέγιστη παραμόρφωση, περίπου Μετά το πέρας της σεισμικής διέγερσης παρατηρείται ότι υπάρχει μια παραμένουσα διατμητική παραμόρφωση κοντά στην επιφάνεια του εδάφους, περίπου για τη διέγερση (1), και για τη διέγερση (2). Η μέγιστη παραμόρφωση παρατηρείται τη χρονική στιγμή όπου η επιτάχυνση της διέγερσης φτάσει τη μέγιστή της τιμή και στις δύο διεγέρσεις. Οι διατμητικές τάσεις αυξάνονται επίσης με την αύξηση του βάθους, αλλά και η διατμητική αντοχή του εδάφους είναι αυξημένη σε μεγαλύτερα βάθη λόγω της αύξησης της δυσκαμψίας του. Τα αποτελέσματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων στα 3 σημεία παρουσιάζονται συνοπτικά στον Πίν. 8.3.

129 115 Πίνακας 8.3 Αποτελέσματα διατμητικών τάσεων-παραμορφώσεων Διέγερση (1) Διέγερση (2) z(m) τmax (KPa) γmax γπαραμ. τmax (KPa) γmax γπαραμ. Σημείο Σημείο Σημείο Αποτελέσματα επιταχύνσεων Οι επιταχύνσεις καταγράφηκαν σε τέσσερα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ και Δ καθ ύψος της εδαφικής στρώσης. Τα βάθη των τεσσάρων σημείων είναι τα εξής: z A = 2.0 m, z Β = 19.5 m, z Γ = 39.0 m, z Δ = 50.0 m. Κατά τη σεισμική διέγερση (1), η μέγιστη οριζόντια επιτάχυνση PGA στη βάση (σημείο Δ) είναι 5.03 m/s. Όταν το σεισμικό κύμα φτάσει στο σημείο Γ, παρατηρείται μια μικρή μείωση της PGA σε 4.90 m/s. Στη συνέχεια παρατηρείται μια ενίσχυση με PGA 5.39 m/s και 5.51 m/s στα σημεία Β και Α αντίστοιχα. Το σημείο Α βρίσκεται σχεδόν πάνω στην επιφάνεια του εδάφους, γι αυτό και παρουσιάζει μεγαλύτερη επιτάχυνση. Κοντά στην επιφάνεια του εδάφους τα προσπίπτοντα κύματα παρεμβάλλονται με τα ανακλώμενα κύματα, γι αυτό και παρατηρείται μεγαλύτερη επιτάχυνση. Η διέγερση περιέχει μόνο οριζόντια εδαφική κίνηση. Παρ όλα αυτά καταγράφηκε και κατακόρυφη συνιστώσα καθ ύψος της εδαφικής στήλης, η οποία δεν είναι καθόλου αμελητέα. Η τιμή της φτάνει τα 2.52 m/s στο σημείο Α. Η κατακόρυφη αυτή συνιστώσα φαίνεται να είναι προϊόν των διάφορων διαθλάσεων, ανακλάσεων και διαφοράς φάσης κατά τη διάδοση των σεισμικών κυμάτων μέσα στην εδαφική στρώση. Παρόμοια είναι και τα αποτελέσματα της σεισμικής διέγερσης (2). Η PGA στη βάση είναι 8.78 m/s, ενώ στο σημείο Α κοντά στην επιφάνεια του εδάφους 8.23 m/s. Κατά την κατακόρυφη διεύθυνση η PGA στο σημείο Α είναι 3.69 m/s. Σε αυτή την περίπτωση δεν παρατηρείται ενίσχυση της οριζόντιας επιτάχυνσης στην επιφάνεια, αλλά μια μικρή μείωση. Ό λόγος απόσβεσης που επιλέχθηκε στη σεισμική διέγερση (2) είναι μεγαλύτερος από τη διέγερση (1) για τους λόγους που προαναφέρθηκαν. Η μικρότερη απόσβεση της διέγερσης (1) έχει ως αποτέλεσμα την ενίσχυση της εδαφικής κίνησης. Οι σεισμοί που έχουν μεγαλύτερη επιτάχυνση έχουν ένα μικρό θετικό στοιχείο. Παρατηρείται κορεσμός της ενίσχυσης για πολύ ισχυρές εδαφικές κινήσεις, λόγω των μεγάλων παραμορφώσεων που αναπτύσσονται. Οι οριζόντιες και κατακόρυφες επιταχύνσεις για τις δύο διεγέρσεις στα σημεία που αναφέρθηκαν, παρουσιάζονται στα Σχ

130 Σχήμα 8.14 Οριζόντια επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ 116

131 Σχήμα 8.15 Κατακόρυφη επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (1): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ 117

132 Σχήμα 8.16 Οριζόντια επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ 118

133 Σχήμα 8.17 Κατακόρυφη επιτάχυνση για τη σεισμική διέγερση (2): (α) Σημείο Α, (β) Σημείο Β, (γ) Σημείο Γ, (δ) Σημείο Δ 119

134 120 Ακόμη ένας σημαντικός παράγοντας που επηρεάζει την ενίσχυση μιας εδαφικής κίνησης, είναι οι κυριαρχούσες συχνότητες της σεισμικής διέγερσης. Παρατηρώντας την επιτάχυνση στην επιφάνεια καθ όλη τη διάρκεια της διέγερσης, και όχι μόνο την τιμή της μέγιστης επιτάχυνσης, μπορούν να αντληθούν κάποια συμπεράσματα. Η σεισμική διέγερση (1) έχει τις κυριαρχούσες συχνότητες της σε ένα εύρος τιμών κοντά στη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Οι συχνότητες αυτές συντονίζονται, με αποτέλεσμα η επιτάχυνση στην επιφάνεια να πολλαπλασιάζεται. στο Σχ συγκρίνεται η οριζόντια επιτάχυνση της διέγερσης (1) στη βάση με αυτήν κοντά στην επιφάνεια. Παρατηρείται μια μεγάλη ενίσχυση της επιτάχυνσης καθ όλη τη διάρκεια της διέγερσης. Το αντίστοιχο διάγραμμα για τη διέγερση (2) φαίνεται στο Σχ Το φαινόμενο αυτό δεν παρατηρείται τόσο πολύ. Πιθανός λόγος είναι ότι η κυριαρχούσες συχνότητες της είναι μακριά από τη θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα του εδάφους. Σχήμα 8.18 Σύγκριση οριζόντιας επιτάχυνσης στην επιφάνεια και τη βάση για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.19 Σύγκριση οριζόντιας επιτάχυνσης στην επιφάνεια και τη βάση για τη διέγερση (2)

135 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ - ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΓΩΓΟΥ Με τη σεισμική διέγερση του εδάφους, βρέθηκαν οι οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες της εδαφικής κίνησης στα διάφορα σημεία του αγωγού. Ο αγωγός θεωρείται απειρομήκης, αλλά για υπολογιστικούς λόγους θα πρέπει να έχει ένα πέρας στο προσομοίωμα. Το συνολικό μήκος του εδαφικού τομέα είναι 1000 m. Ο αγωγός δεν θα πρέπει να είναι κοντά στα σύνορα του εδάφους, για το λόγο ότι η απόκριση κοντά στα σημεία αυτά δεν είναι σωστή. Έτσι επιλέχθηκε το μήκος του αγωγού να είναι 400 m. Αν ο αγωγός τοποθετηθεί στο κέντρο του εδάφους, θα έχει απόσταση από τα σύνορα 300 m, και έτσι η απόκριση του δεν θα επηρεάζεται από αυτά. Η προσομοίωση των συνοριακών συνθηκών στο υπολογιστικό πέρας του αγωγού, ακολουθεί την ίδια λογική με αυτήν που εφαρμόστηκε για το έδαφος. Αποσβεστήρες τύπου Lysmer εφαρμόστηκαν στα σύνορα του αγωγού. Παράλληλα με την οριζόντια διεύθυνση τοποθετήθηκαν αποσβεστήρες με σταθερά ανάλογη της ταχύτητας των διαμήκων κυμάτων κατά μήκος του αγωγού V p,l. Παράλληλα με την κατακόρυφη διεύθυνση, η σταθερά των αποσβεστήρων είναι ανάλογη με την ταχύτητα των καμπτικών κυμάτων V p,b. Με αυτό το τρόπο εξασφαλίζεται ότι η ενέργεια που στην πραγματικότητα εξέρχεται από το υπολογιστικό πέρας του αγωγού, δεν ανακλάται πίσω σε αυτόν Επιταχύνσεις - Μετατοπίσεις στα διάφορα σημεία του αγωγού Η ανάλυση του αγωγού πραγματοποιήθηκε με διέγερση είσοδού στα διάφορα σημεία του ως τις μετακινήσεις που προέκυψαν από τη σεισμική διέγερση του εδάφους. Στα Σχ παρουσιάζονται οι οριζόντιες και κατακόρυφες μετατοπίσεις- επιταχύνσεις στην αρχή και το πέρας του αγωγού. Τα σημεία αυτά έχουν μια απόσταση μεταξύ τους 400 m. Παρατηρείται από τα διαγράμματα ότι η σεισμική διέγερση φτάνει με μια καθυστέρηση στο δεξιό όριο του αγωγού. Κατά τη σεισμική διέγερση (1) η χρονική καθυστέρηση είναι περίπου 0.33 sec, ενώ για τη σεισμική διέγερση (2) περίπου 0.30 sec. Αυτό σημαίνει ότι η φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης των σεισμικών κυμάτων κατά μήκος του αγωγού είναι περίπου 1200 m/s για την πρώτη περίπτωση, και 1350 m/s για τη δεύτερη. Αυτές οι ταχύτητες συμπίπτουν με τις φαινόμενες ταχύτητες της διέγερσης στους κόμβους της βάσης. Αυτό είναι αναμενόμενο αφού ο άξονας του αγωγού είναι παράλληλος με τε τη βάση του εδάφους. Η διέγερση (1) προκαλεί οριζόντιες μετατοπίσεις στο έδαφος περίπου 13 cm, ενώ οι κατακόρυφες μετατοπίσεις είναι περίπου 3 cm. Η διέγερση (2) προκαλεί πολύ πιο μεγάλες μετατοπίσεις στο έδαφος στη στάθμη του αγωγού. Η μέγιστη οριζόντια μετατόπιση που καταγράφηκε είναι περίπου 49 cm, ενώ η κατακόρυφη περίπου 9 cm.

136 122 Σχήμα 8.20 Οριζόντιες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.21 Κατακόρυφες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1)

137 123 Σχήμα 8.22 Οριζόντιες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1) Σχήμα 8.23 Κατακόρυφες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (1)

138 124 Σχήμα 8.24 Οριζόντιες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.25 Κατακόρυφες επιταχύνσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2)

139 125 Σχήμα 8.26 Οριζόντιες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2) Σχήμα 8.27 Κατακόρυφες μετατοπίσεις σε αρχή και πέρας του αγωγού για τη διέγερση (2)

140 Κινηματική Αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού Η εδαφική κίνηση του ελεύθερου πεδίου μπορεί να εφαρμοστεί κατευθείαν στον αγωγό μόνο αν η κινηματική αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού είναι αμελητέα. Σε αντίθετη περίπτωση, το έδαφος επηρεάζεται από την ύπαρξη του αγωγού, και η εδαφική κίνηση που υπολογίστηκε στο ελεύθερο πεδίο, διαφέρει από την εδαφική κίνηση στη στάθμη του αγωγού. Σύμφωνα με την Παρ. 7.5, η κινηματική αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού μπορεί να αμεληθεί, εάν ο δείκτης ευκαμψίας Fr είναι μεγαλύτερος από το 20. Σύμφωνα με την Εξ στη στάθμη του αγωγού ο δείκτης ευκαμψίας έχει την τιμή Fr = 52. Έτσι μπορεί να αμεληθεί η κινηματική αλληλεπίδραση Ιδιότητες μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler Ο αγωγός προσομοιώθηκε με στοιχεία δοκού που εδράζεται σε μη-γραμμικά ελατήρια τύπου Winkler. Το μήκος των στοιχείων δοκού επιλέχθηκε το ίδιο με αυτό των στοιχείων του εδάφους, και ίσο με 1.25 m. Αξονικά ελατήρια Τ-x προσομοιώνουν την ολίσθηση του αγωγού σε σχέση με το έδαφος. Μη συμμετρικά κατακόρυφα ελατήρια Q - z προσομοιώνουν τη φέρουσα ικανότητα του εδάφους και την ανύψωση του αγωγού. Τα ελατήρια αυτά είναι κατάλληλα για ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Οι ιδιότητες των ελατηρίων ανά μέτρο μήκους του αγωγού παρουσιάζονται στο Σχ Σχήμα 8.28 (α) Ιδιότητες ελατηρίου Τ-x, (β) Ιδιότητες ελατηρίου Q-z Επιτρεπόμενες Τάσεις - Παραμορφώσεις Ο χάλυβας είναι ένα υλικό με μεγάλη πλαστιμότητα σε εφελκυσμό, αλλά παρουσιάζει προβλήματα τοπικού λυγισμού σε θλίψη. Η διατομή του αγωγού είναι Κατηγορίας 3 σύμφωνα με τον EN Αυτό σημαίνει ότι η διατομή μπορεί να αναπτύξει την τάση διαρροή της σε θλίψη, αλλά δεν μπορεί να παραλάβει περαιτέρω παραμορφώσεις λόγω τοπικού λυγισμού. Στη διατομή όμως υπάρχουν κάποιες προϋπάρχουσες εφελκυστικές τάσεις λόγω εσωτερικής πίεσης και μεταβολής της θερμοκρασίας. Αυτές οι τάσεις φαίνεται να είναι ευεργετικές για τον αγωγό, αφού ο πιθανός μηχανισμός αστοχίας του θα είναι σε τοπικό λογισμό και όχι σε θραύση του υλικού από εφελκυσμό. Η προϋπάρχουσα εφελκυστική τάση στον αγωγό λόγω της

141 127 εσωτερικής πίεσης των 3 MPa, είναι S P = 33 MPa σύμφωνα με την Εξ Η προϋπάρχουσα εφελκυστική τάση λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής είναι S T = 36 MPa, σύμφωνα με την Εξ Η συνολική προϋπάρχουσα εφελκυστική τάση είναι S Ε = 69 MPa. Η τάση διαρροής του υλικού είναι fy = 275 MPa, άρα η επιτρεπόμενη θλιπτική τάση που μπορεί να αναπτύξει ο αγωγός κατά τη σεισμική διέγερση είναι 344 MPa. Σε εφελκυσμό μπορεί να αναπτύξει τάση 206 MPa πριν το υλικό διαρρεύσει. Το υλικό στην ανάλυση του αγωγού επιλέχθηκε ως γραμμικό ελαστικό, αφού ενδιαφέρει μόνο η ελαστική απόκριση του αγωγού. Η διαρροή του υλικού σε εκφυλισμό δεν θα προκαλέσει αστοχία, αλλά πιθανόν να δημιουργήσει προσωρινή διακοπή λειτουργίας στον αγωγό, γι αυτό ενδιαφέρει και η διαρροή του υλικού σε εφελκυσμό Αποτελέσματα τάσεων στον αγωγό Οι εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις κατά μήκος του καταγράφηκαν σε όλη τη διάρκεια της σεισμικής διέγερσης. Οι μέγιστες τάσεις που καταγράφηκαν είναι οι εξής. Διέγερση (1): σ c = MPa, σ t = 86.8 MPa. Οι τάσεις αυτές είναι σημαντικές, παρ όλα αυτά το υλικό έχει ακόμα αρκετό περιθώριο για να διαρρεύσει. Διέγερση (2): σ c = MPa, σ t = MPa. Η σεισμική διέγερση (2) όπως είναι αναμενόμενο, προκαλεί μεγαλύτερες τάσεις στον αγωγό. Η εφελκυστική τάση που αναπτύσσεται βρίσκεται πολύ κοντά στην τάση διαρροή του υλικού, αφού απομένουν μόνο 8 MPa μέχρι τη διαρροή. Ο αγωγός έχει όμως αρκετό περιθώριο 144 MPa, για φτάσει την τάση διαρροής σε θλίψη, λόγω της ευεργετικής επιρροής της εσωτερικής πίεσης και της θερμοκρασιακής μεταβολής. Και στις δύο περιπτώσεις, οι μέγιστες τάσεις που αναπτύσσονται στον αγωγό παρατηρούνται τη χρονική στιγμή που η επιτάχυνση αναπτύσσει τη μέγιστη τιμή της κατά μήκος του αγωγού Αποτελέσματα Αδρανειακής Αλληλεπίδρασης εδάφους-αγωγού (Ελατήρια Winkler) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η απόκριση των μη-γραμμικών ελατηρίων Winkler, τα οποία προσομοιώνουν την αδρανειακή αλληλεπίδραση εδάφους-αγωγού. Καταγράφηκε λοιπόν η απόκριση αυτών των ελατηρίων σε όρους δύναμης μετατόπισης στο κέντρο του αγωγού. Κατά τη διέγερση (1), παρατηρείται μια ολίσθηση του αγωγού σε σχέση με το έδαφος, με μέγιστη τιμή 0.18 cm. Αναπτύσσονται δυνάμεις τριβής στη διεπιφάνεια εδάφους αγωγού περίπου 25 KN (ανά μέτρο μήκους του αγωγού), ενώ η μέγιστη δύναμη που μπορεί να μεταφερθεί στον αγωγό είναι KN σε ολίσθηση 0.3 cm (Σχ.8.29). Κατά την κατακόρυφη διεύθυνση φαίνεται ότι δεν υπάρχει σχεδόν καθόλου αλληλεπίδραση, αφού στο ελατήριο αυτό αναπτύσσονται πολύ μικρές δυνάμεις. Το ελατήριο κινείται συνεχώς στην ελαστική του περιοχή, ενώ το έδαφος είναι πολύ μακριά από τη φέρουσα ικανότητα σε κατακόρυφη φόρτιση (Σχ.8.30). Η διέγερση (2) προκαλεί μια τεράστια ολίσθηση του αγωγού με το έδαφος έως και 6 cm (Σχ.8.31). Αυτό σημαίνει πρακτικά ότι εξαντλήθηκε η δύναμη τριβής που μπορεί να μεταφέρει το έδαφος στον αγωγό. Παρατηρώντας το Σχ. 8.32, φαίνεται ότι τη χρονική στιγμή που η μετατόπιση παίρνει τη μέγιστη τιμή της, παρουσιάζεται η αποκόλληση του αγωγού από το έδαφος. Αυτό πιθανόν να αποδειχθεί ενεργητικό για τον αγωγό, αφού το έδαφος δεν μπορεί να μεταφέρει πλέον σε αυτόν περισσότερη

142 128 ένταση. Στην κατακόρυφη διεύθυνση δεν φαίνεται να υπάρχει διαφοροποίηση με τη διέγερση (1) (Σχ.8.33). Σχήμα 8.29 Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (1) Σχήμα 8.30 Απόκριση ελατηρίου Q-z για σεισμική διέγερση (1)

143 129 Σχήμα 8.31 (α) Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (2) Σχήμα 8.32 (α) Οριζόντια μετατόπιση εδάφους και αγωγού στο μέσον το αγωγού Σχήμα 8.33 Απόκριση ελατηρίου Q-z για σεισμική διέγερση (2)

144 Επιρροή βάθους αγωγού Σε μια διερεύνηση της επιρροής του βάθους που βρίσκεται ο αγωγός, έγινε μια παραμετρική ανάλυση. Όπως φαίνεται από τα αποτελέσματα της ανάλυσης του εδάφους, οι οριζόντιες επιταχύνσεις φαίνεται να μεγιστοποιούνται κοντά στην επιφάνεια του εδάφους. Σε μεγαλύτερα βάθη οι επιταχύνσεις είναι μικρότερες, γι αυτό και εξετάστηκε η επιρροή του βάθους στις τάσεις που θα αναπτυχθούν στον αγωγό. Αναμένεται δηλαδή μείωση των τάσεων με την αύξηση του βάθους. Η αρχική υπόθεση είναι ότι ο αγωγός βρίσκεται στα 2 m. Στη συνέχεια έγιναν δύο υποθέσεις με τον αγωγό να βρίσκεται στα 6.00 m και 9.5 m. Οι μέγιστες εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις των τριών αναλύσεων για τις δύο διεγέρσεις φαίνονται στον Πίν Πίνακας 8.4 Τάσεις που αναπτύσσονται στον αγωγό για τις τρεις υποθέσεις βάθους Διέγερση (1) Διέγερση (2) z(m) σc (MPa) σt (MPa) σc (MPa) σt (MPa) Για τη σεισμική διέγερση (1) παρατηρείται όπως είναι αναμενόμενο, μια μείωση της έντασης στον αγωγό με την αύξηση του βάθους. Σε βάθος 9.5 m παρατηρείται μια μείωση περίπου 19.0 MPa στη θλιπτική τάση, και 6.0 MPa στην εφελκυστική. Το ίδιο όμως δεν συμβαίνει για τη σεισμική διέγερση (2). Παρατηρείται μια μεγάλή αύξηση ειδικά της εφελκυστικής τάσης με την αύξηση του βάθους. Παρατηρείται μια μεγάλη αύξηση της έντασης στον αγωγό στα 6.00 m, ενώ στα 9.5 m μια μικρή πτώση. Το αμμώδες εδαφικό υλικό στο οποίο βρίσκεται ο αγωγός παρουσιάζει μια αύξηση της αντοχής του με το βάθος. Στα 2.0 m η αντοχή του υλικού είναι πολύ μικρή, με αποτέλεσμα κατά την σεισμική διέγερση (2) που είναι πολύ μεγάλης έντασης να ξεπερνιέται η αντοχή της διεπιφάνειας εδάφους-αγωγού. Έτσι ο αγωγός ολισθαίνει σε σχέση με το έδαφος, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να μεταφερθεί σε αυτόν περισσότερη ένταση. Όμως στα 6.0 m βάθους, η αντοχή του εδάφους είναι πολύ πιο μεγάλη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της μέγιστης δύναμης τριβής που μπορεί να αναπτυχθεί στη διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού. Έτσι ο αγωγός δεν αποκολλάται από το έδαφος, με αποτέλεσμα η τάση που μεταφέρεται σε αυτόν να είναι πολύ μεγαλύτερη. Αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό και από τα Σχ και 8.35, όπου η μέγιστη ολίσθηση του αγωγού σε σχέση με το έδαφος είναι 0.03 cm στα 6.0 m και cm στα 9.5 m.

145 131 Σχήμα 8.34 Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (2) με βάθος αγωγού 6.0 m Σχήμα 8.35 Απόκριση ελατηρίου Τ-x για σεισμική διέγερση (2) με βάθος αγωγού 9.5 m

146 Επιρροή της διατομής του αγωγού Σε μια περαιτέρω διερεύνηση της επιρροής της διατομής του αγωγού, οι σεισμικές διεγέρσεις πραγματοποιήθηκαν για κάποιες άλλες διατομές. Οι διατομές αυτές είναι επίσης Κατηγορίας 3, και είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με τη διατομή της κυρίως ανάλυσης. Οι διατομές αυτές είναι: CHS 762 x 10, CHS 864 x 12.5 και CHS 1016 x 14.2 με κατηγορία χάλυβα S275. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα των αναλύσεων, δεν φαίνεται κάποια επιρροή της διατομής στην τάση που αναπτύσσεται στο υλικό. Τα αποτελέσματα παρουσίαζαν διαφορές στην τάση του υλικού μικρότερες από το 1%. Ο αγωγός φαίνεται να ακολουθεί τις παραμορφώσεις του εδάφους, γι αυτό και δεν παρουσιάζεται κάποια ευαισθησία των αποτελεσμάτων στην επιλογή της διατομής.

147 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Συνοψίζοντας όλη την έρευνα γύρω από το αντικείμενο της παρούσας διατριβής, αντλείται το γενικότερο συμπέρασμα ότι το πρόβλημα της σεισμικής διέγερσης υπογείου αγωγού αποτελεί ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα. Οι άγνωστες παράμετροι που υπεισέρχονται στο πρόβλημα είναι πολλές, γι αυτό και χρειάζεται μια εκτενής έρευνα για την επαρκή προσέγγιση του. Για να γίνει εφικτή η επίλυση ενός τέτοιου προβλήματος χρειάζονται γνώσεις από πολλούς τομείς της Μηχανικής όπως: Ανάλυση φορέων με τη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων, Εδαφομηχανική, Δυναμική του Εδάφους, Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής, Μηχανική των Υλικών και Προγραμματισμός. 9.1 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΟΥ ΑΓΩΓΟΥ Ένας από τους κυριότερους παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβλημα, είναι η διεύθυνση διάδοσης και το είδος των σεισμικών κυμάτων που αναμένεται να επηρεάσουν την τοποθεσία του αγωγού. Συνήθως το είδος και η διεύθυνση των κυμάτων εξαρτώνται από την απόσταση του αγωγού από τη σεισμική πηγή. Σε αποστάσεις κοντά στη σεισμική πηγή σημαντικά μπορούν να θεωρηθούν τα κύματα σώματος P και S, ενώ μακριά από τη σεισμική πηγή σημαντικά είναι τα κύματα επιφανείας Rayleigh και Love. Ένας αγωγός αποτελεί μια επιμήκη κατασκευή, γι αυτό και πολύ σημαντικός παράγοντας που επηρεάζει τη σεισμική του απόκριση, είναι η χωρική μεταβολή της σεισμικής κίνησης. Αυτή η χωρική μεταβολή της σεισμικής κίνησης μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά με τη φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων κατά μήκος του αγωγού. Η παραμόρφωση που αναπτύσσεται στον αγωγό, μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά αντιστρόφως ανάλογη της φαινόμενης ταχύτητας. Για παράδειγμα, όταν αυτή η ταχύτητα θεωρηθεί άπειρη, το έδαφος κατά μήκος του αγωγού θα κινείται στην ίδια φάση. Ο αγωγός θα κινείται σαν στερεό σώμα μέσα στο έδαφος, με αποτέλεσμα να μην αναπτύσσεται καθόλου ένταση σε αυτόν. Τα κύματα σώματος ταξιδεύουν από τα κάτω εδαφικά στρώματα προς τα πάνω, με αποτέλεσμα να διαθλώνται συνεχώς από στρώση σε στρώση. Έτσι φτάνουν στο έδαφος συνήθως με μια γωνία πρόσπτωσης μικρή σε σχέση με την κατακόρυφη. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να έχουν μεγάλη φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης κατά μήκος του αγωγού. Τα κύματα επιφάνειας διαδίδονται παράλληλα με την επιφάνεια του εδάφους. Η ταχύτητα διάδοσης τους εξαρτάται από τις ιδιότητες του εδαφικού υλικού που διαδίδονται. Αυτά αποτελούν και τη μεγαλύτερη απειλή για επιμήκεις κατασκευές, αφού η φαινόμενη ταχύτητα κατά μήκος τους είναι πολύ μικρότερη. Οι τοπικές εδαφικές συνθήκες αποτελούν και αυτές έναν από τους σημαντικότερούς παραμέτρους που επηρεάζουν το πρόβλημα. Οι τοπικές εδαφικές συνθήκες είναι ουσιαστικά ανώτερη στρώση του εδάφους. Η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα μιας εδαφικής στρώσης ελέγχεται από δύο παραμέτρους, τη μέση ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων μέσα σε αυτήν, και το συνολικό της ύψος. Η επιτάχυνση που καταγράφεται συνήθως από τους επιταχυνσιογράφους αναφέρεται σε βράχο. Μια εδαφική στρώση μπορεί να προκαλέσει μεγάλη μεγέθυνση της επιτάχυνσης αυτής, αν η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα της συμπίπτει με την κυριαρχούσα συχνότητα της σεισμικής διέγερσης. Άρα λοιπόν ο συνδυασμός της των τοπικών εδαφικών συνθήκων και της φύσης της σεισμικής διέγερσης αποτελεί σημαντική παράμετρο για τέτοιου είδους προβλήματα.

148 Η μέγιστη εδαφική επιτάχυνση είναι φυσικά και αυτή ένας από τους σημαντικούς παράγοντες που επηρεάζουν το πρόβλημα. Μεγάλες εδαφικές επιταχύνσεις αναμένεται να προκαλέσουν περισσότερες βλάβες στις κατασκευές. Εάν όμως μια μεγάλη εδαφική επιτάχυνση συνδυαστεί με μεγάλη φαινόμενη ταχύτητα διάδοσης στον αγωγό, πιθανόν να μην προξενήσει καθόλου βλάβες. Το συμπέρασμα είναι ότι αυτή η παράμετρος από μόνη της δεν μπορεί να παράσχει σημαντική πληροφορία για το πρόβλημα, αλλά θα πρέπει να εξεταστεί σε συνδυασμό με άλλα φαινόμενα. Επίσης μεγάλης τιμής επιτάχυνση καταγεγραμμένης πάνω στο βράχο, θα προκαλέσει μεγάλες παραμορφώσεις στο υπερκείμενο εδαφικό στρώμα. Αυτές οι παραμορφώσεις θα αυξήσουν την απόσβεση του, γι αυτό και ισχυροί σεισμοί παρουσιάζουν μικρότερη μεγέθυνση της εδαφικής κίνησης σε σχέση με σεισμούς μέτριας έντασης. Το βάθος που βρίσκεται ο αγωγός επηρεάζει επίσης το πρόβλημα. Η επιτάχυνση του εδάφους συνήθως είναι μέγιστη κοντά στην επιφάνεια του εδάφους, για το λόγο ότι εκεί παρεμβάλλονται τα προσπίπτοντα κύματα με τα ανακλώμενα. Έτσι η τοποθέτηση του αγωγού σε κάποιο βάθος κάτω από την επιφάνεια του εδάφους πιθανόν να μειώσει την ένταση που αναπτύσσεται σε αυτόν. Βέβαια αυτό ισχύει στη γενική περίπτωση. Υπό κάποιες προϋποθέσεις, η αύξηση του βάθους μπορεί να καταστεί αρνητικός παράγοντας για τον αγωγό. Για παράδειγμα, σε αμμώδη εδάφη η αντοχή του εδάφους στην ανώτερη επιφάνεια του εδάφους είναι πολύ μειωμένη. Εάν η σεισμική ένταση είναι πολύ μεγάλη, υπάρχει η πιθανότητα η δύναμη τριβής στη διεπιφάνεια εδάφους-αγωγού να ξεπεραστεί. Ο αγωγός θα αποκολληθεί από το έδαφος, με αποτέλεσμα να μην μπορεί να μεταφερθεί περαιτέρω ένταση σε αυτόν. Σε μεγαλύτερα βάθη, η δύναμη τριβής είναι πολύ μεγαλύτερη, με αποτέλεσμα να μην ξεπερνιέται ακόμη και αν η ένταση του σεισμού είναι πολύ μεγάλη. Έτσι η ένταση που θα αναπτυχθεί στον αγωγό θα είναι μεγαλύτερη με την αύξηση του βάθους. Η διατομή του αγωγού δεν φαίνεται να παίζει καθοριστικό ρόλο στην ένταση που αναπτύσσεται σε αυτόν. Σε συνήθεις κατασκευές, το μέγεθος των στοιχείων και κατ επέκταση το ίδιο βάρος τους είναι σημαντικός παράγοντας για τις αδρανειακές δυνάμεις που θα αναπτυχθούν. Οι διατομές που χρησιμοποιούνται συνήθως στη πράξη για μεταφορά υγροποιημένου φυσικού αερίου είναι λεπτότοιχες. Έτσι αλλαγή της διατομής δεν θα αλλάξει ουσιαστικά το ίδιο βάρος του αγωγού και τις αδρανειακές δυνάμεις που θα αναπτυχθούν. Η εσωτερική πίεση του φυσικού αερίου και η θερμοκρασιακή μεταβολή, φαίνεται να έχουν ενεργητικό ρόλο στην αντοχή του υλικού. Ο μηχανισμός αστοχίας σε λεπτότοιχες διατομές είναι συνήθως ο τοπικός λυγισμός. Η θερμοκρασία λειτουργίας είναι συνήθως χαμηλότερη από τη θερμοκρασία εγκατάστασης του αγωγού. Αυτή η θερμοκρασιακή μεταβολή μαζί με την εσωτερική πίεση, φέρνουν το αγωγό σε κατάσταση εφελκυσμού, με αποτέλεσμα την καθυστέρηση της διαρροής του σε θλίψη και τη μετέπειτα αστοχία του λόγω τοπικού λυγισμού. 134

149 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η ανάλυση προβλημάτων αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής προϋποθέτει χρήση της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Η μη-γραμμική ανάλυση με Πεπερασμένα Στοιχεία αποτελεί ένα δύσκολο εγχείρημα. Η μέθοδος αυτή απαιτεί μεγάλο υπολογιστικό κόστος, ενώ η σύγκλιση προς την πραγματική λύση δεν είναι πάντα δεδομένη. Αρκετοί είναι οι παράγοντες που επηρεάζουν την αξιοπιστία της μεθόδου, αλλά και την ταχύτητα της. Η ταχύτητα και η ακρίβεια θα πρέπει να συνδυαστούν έτσι ώστε να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα μέσα σε λογικά χρονικά πλαίσια. Οι κυριότεροι παράγοντες που επηρεάζουν την ταχύτητα και την αξιοπιστία σε ένα πρόβλημα Δυναμικής του Εδάφους είναι το μέγεθος των πεπερασμένων στοιχείων και το χρονικό βήμα της ανάλυσης. Κάποιες συνθήκες που σχετίζονται με τη φύση του προβλήματος πρέπει να τηρούνται έτσι ώστε η λύση να συγκλίνει προς την πραγματική. Μείωση του χρονικού βήματος ανάλυσης και του μεγέθους των πεπερασμένων στοιχείων αυξάνουν την ακρίβεια της μεθόδου. Αυτό βέβαια επιφέρει και αύξηση της ταχύτητας επίλυσης του συστήματος. Γι αυτό το λόγο θα πρέπει να γίνει κάποιος συμβιβασμός έτσι ώστε να επιτευχθεί το επιθυμητό αποτέλεσμα. Το είδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι ένας ακόμη παράγοντας που επηρεάζει την ταχύτητα και την αξιοπιστία της μεθόδου. Τα στοιχεία τύπου Lagrange φαίνεται να είναι καταλληλότερα για τέτοιου είδους αναλύσεις. Επίσης ο ολοκλήρωση Gauss φαίνεται να είναι η πιο αποδοτική μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης για τον υπολογισμό του μητρώου δυσκαμψίας. Η μέθοδος αυτή έχει βελτιστοποιήσει τη θέση και το βάρος των σημείων ολοκλήρωσης. Ο αριθμός των σημείων ολοκλήρωσης που χρησιμοποιεί κάθε πεπερασμένο στοιχείο επηρεάζει την ακρίβεια. Στοιχεία που χρησιμοποιούν μειωμένη ολοκλήρωση πιθανόν να μην δίνουν σωστά αποτελέσματα, και θα πρέπει να αποφευχθεί η χρήση τους. Ορισμένα πεπερασμένα στοιχεία που χρησιμοποιούν μειωμένη ολοκλήρωση, παρακάμπτουν προβλήματα όπως είναι οι παραμορφώσεις αστάθειας (spurious ή hourglass modes). Αυτού του τύπου πεπερασμένα στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την εξοικονόμηση υπολογιστικού χρόνου, παρ όλα αυτά θα πρέπει πρώτα να εξετάζεται η αξιοπιστία τους. Σε ένα πρόβλημα προσομοίωσης εδάφους, πολύ σημαντική είναι η σωστή προσομοίωση των συνοριακών συνθηκών. Το έδαφος ουσιαστικά είναι ένας άπειρος ημιχώρος, ο οποίος θα πρέπει να έχει ένα πέρας στο προσομοίωμα. Στα όρια του υπολογιστικού εδαφικού τομέα θα πρέπει να εφαρμοστούν οι κατάλληλες συνοριακές συνθήκες, έτσι ώστε να διασφαλίζεται ότι η ενέργεια που εξέρχεται δεν ανακλάται πίσω σε αυτόν. Τυχών ανακλάσεις πίσω στον εδαφικό τομέα παράγουν πλασματικά κύματα, με αποτέλεσμα τα αποτελέσματα της ανάλυσης να είναι λανθασμένα. Κατάλληλες συνοριακές συνθήκες για την αντιμετώπιση του προβλήματος, είναι οι ιξώδεις αποσβεστήρες τύπου Lysmer- Kuhlemeyer. Οριζόντιοι και κατακόρυφοι αποσβεστήρες τοποθετούνται στα σύνορα του εδάφους, έτσι ώστε να απορροφούν τα προσπίπτοντα διαμήκη και εγκάρσια κύματα. Οι αποσβεστήρες αυτοί απορροφούν όλη την ενέργεια εάν το κύμα έχει διεύθυνση διάδοσης κάθετη σε αυτόν. Διαφοροποίηση της γωνίας αυτής από τις 90, έχει αποτέλεσμα την ανάκλαση μέρους της ενέργειας. Έτσι αν τα νοητά όρια του εδαφικού τομέα αυξηθούν, η γωνία πρόσπτωσης θα είναι πιο κοντά στις 90. Αυτή η αύξηση του εδαφικού τομέα

150 136 επιφέρει και αύξηση του υπολογιστικού χρόνου της ανάλυσης, γι αυτό και αποτελεί μειονέκτημα της μεθόδου. 9.3 ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ ΠΟΥ ΕΠΗΡΕΑΖΟΥΝ ΤΗΝ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κάποιοι άλλοι παράγοντες που επηρεάζουν την ταχύτητα επίλυσης του συστήματος εξισώσεων εντοπίστηκαν στην παρούσα διατριβή. Η αρίθμηση των βαθμών ελευθερίας φαίνεται να επηρεάζει την ταχύτητα επίλυσης. Εάν οι κόμβοι των πεπερασμένων στοιχείων αριθμηθούν σωστά από το χρήστη, το μητρώο δυσκαμψίας θα γίνει πολύ πιο εύκολο στην επίλυση του. Η βέλτιστη αρίθμηση των κόμβων ενός εδαφικού προσομοιώματος είναι κατά γραμμές ή κατά στήλες. Η αρίθμηση αυτή μπορεί να γίνει από το χρήστη με σκοπό την ελαχιστοποίηση του εύρους του μητρώου δυσκαμψίας. Ένας αλγόριθμος που αποδεικνύεται πολύ αποδοτικός στη μείωση του εύρους του μητρώου δυσκαμψίας, είναι η αντίστροφη μέθοδος Cuthill-Mckee. Βέβαια αυτός ο αλγόριθμος δεν είναι πάντα επιτυχής. Ο τρόπος αποθήκευσης του μητρώου δυσκαμψίας μπορεί να μειώσει αποτελεσματικά το χρόνο της ανάλυσης. Το μητρώο δυσκαμψίας αποτελείται στην πλειοψηφία του από μηδενικούς όρους. Αποθήκευση μέρους του μητρώου ανάλογα με την περίπτωση του προβλήματος, οδηγεί σε μειωμένους χρόνους ανάλυσης. Τέλος ο αλγόριθμος που χρησιμοποιείται για την επίλυση του μητρώου δυσκαμψίας, αποτελεί σημαντικό παράγοντα που επηρεάζει το χρόνο επίλυσης. Ο αλγόριθμος Krylov-Newton φαίνεται να βελτιστοποιεί το χρόνο επίλυσης σε συστήματα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας όπως είναι τα εδάφη. 9.4 ΠΕΡΑΙΤΕΡΩ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ Στην παρούσα διατριβή εξετάστηκε το δυσδιάστατο πρόβλημα σεισμικής διέγερσης συνεχούς μεταλλικού αγωγού. Βέβαια αυτό αποτελεί μόνο μία ειδική περίπτωση του γενικότερου προβλήματος. Το γενικότερο πρόβλημα της σεισμικής διέγερσης ενός υπογείου αγωγού, αποτελεί πρόβλημα τριών διαστάσεων. Στην παρούσα διατριβή έγινε η θεώρηση για λογούς απλότητας, ότι η σεισμική διέγερση βρίσκεται μέσα σε ένα κατακόρυφο επίπεδο παράλληλο με τον άξονα του αγωγού. Στη γενικότερη περίπτωση, η σεισμική διέγερση βρίσκεται σε τυχαία διεύθυνση σε σχέση με τον άξονα του αγωγού. Αυτό θα προκαλέσει και ένταση εγκάρσια στον αγωγό. Βέβαια αυτή η θεώρηση προϋποθέτει τρισδιάστατη ανάλυση, η οποία ξεφεύγει από τα όρια της παρούσας διατριβής. Παρ όλα αυτά οι γνώσεις που αποκτήθηκαν κατά την παρούσα διατριβή, μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο μέλλον για την επίτευξη του συγκεκριμένου στόχου. Εκτός από το πρόβλημα διάδοσης σεισμικών κυμάτων, υπάρχει και ακόμα μια παράμετρος που είναι σημαντική στη σεισμική μελέτη υπογείων αγωγών. Αυτή η παράμετρος είναι οι Μόνιμες Εδαφικές Παραμορφώσεις (Permanent Ground Deformation PGD). Μεγάλη τοπική παραμόρφωση του εδάφους είναι πολύ πιθανόν να προκαλέσει αστοχία στον αγωγό. Τέτοιες παραμορφώσεις παρατηρούνται πάνω από ρήγματα, κανονικά αλλά και οριζόντια. Επίσης σε εδαφικές ζώνες όπου υπάρχει δυνατότητα ρευστοποίησης του εδαφικού υλικού παρατηρούνται μεγάλες τοπικές εδαφικές παραμορφώσεις. Τέλος σε αγωγούς τοποθετημένους σε πρανή θα πρέπει

151 137 να γίνει έλεγχος ευστάθειας. Αστοχία του πρανούς θα επιφέρει τεράστιες μετακινήσεις και πιθανή αστοχία του αγωγού. Σχήμα 9.1 Πρόβλημα Μόνιμης Εδαφικής Παραμόρφωσης: (α) Κανονικό ρήγμα, (β) Οριζόντιο ρήγμα [Διαδίκτυο]