ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΛΟΓΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ (II) ΙΖΑΜΠΩ ΚΑΡΑΛΗ ΑΘΗΝΑ 2008

2 Επαγωγικές (συμπερασματικές) βάσεις δεδομένων -datalog Δεδομένα (απλά ή σύνθετα) VS γνώση Συστήματα βασισμένα σε γνώση συστήματα βάσης γνώσης VS συστήματα διαχείρισης βάσης γνώσης (τα τελευταία χρειάζονται, π.χ., αποδοτική προσπέλαση, χειρισμό δοσοληψιών) Δηλωτική γλώσσα Για χειρισμό δεδομένων Σαν φιλόξενη γλώσσα (host language) Οι δηλωτικές γλώσσες συχνά βασίζονται σε κάποια μορφή λογικής, π.χ. SQL βασίζεται στο σχεσιακό λογισμό (relational calculus)

3 ΓΕΓΟΝΟΣ: θετική η ανάμιξη της λογικής και των βάσεων δεδομένων θετική η ανάμιξη της τεχνητής νοημοσύνης και των τεχνολογιών των βάσεων δεδομένων για την ανάπτυξη βάσεων γνώσης Η προσπάθεια στην ενοποίηση εστιάζει σε θέματα: Εκφραστικότητας (expressiveness) και σημασιολογίας (semantics) Βελτιστοποίηση των ερωτήσεων που εκφράζονται σαν λογικά προγράμματα Το πρώτο είναι πολύ κρίσιμο για τις επαγωγικές βάσεις δεδομένων Απευθείας πρόσβαση στα δεδομένα από το σύστημα του λογικού προγραμματισμού: η περίπτωση της datalog

4 Λογικοί κανόνες με συναρτησιακά σύμβολα είναι εξίσου ισχυροί με μια μηχανή Turing Ακόμα και χωρίς συναρτησιακά σύμβολα, οι λογικοί κανόνες έχουν τη δυνατότητα να εκφράσουν υπολογισμούς που δεν εκφράζονται στις συμβατικές γλώσσες χειρισμού δεδομένων, π.χ. τη μεταβατική κλειστότητα μιας σχέσης («Ποιες είναι οι ιεραρχίες managers;») Η λογική πρώτης τάξης (first order logic) μπορεί να αποτελέσει τόσο ένα μέσο αναπαράστασης της γνώσης όσο και μια γλώσσα για την έκφραση πράξεων πάνω σε σχέσεις Υπάρχει μια ιεραρχία μοντέλων δεδομένων καθένα από τα οποία υποστηρίζει δεδομένα παρόμοια με εκείνα του σχεσιακού μοντέλου αλλά με σταδιακά πιο ισχυρές λογικές γλώσσες στις οποίες εκφράζουμε πράξεις στα δεδομένα: το πιο απλό μοντέλο είναι η datalog

5 Σύνταξηπρογραμμάτων datalog l 0 :-l 1 & & ln l 0 : κεφαλή (head) l 1 & & ln: σώμα (body) li: λεκτικό (litteral) της μορφής pi(t 1,, tki) (ατομικός τύπος, atomic formula) pi: σύμβολο κατηγορήματος (predicate symbol) tj: όρος (term) (σταθερά ή μεταβλητή)

6 Προτάσεις datalog Πλήρως αποτιμημένα γεγονότα που φυλάσσονται σε σχεσιακή βάση (άμεση βάση extensional database, EDB) Λογικοί κανόνες (έμμεση βάση intensional database, IDB) Κατηγορήματα IDB κατηγορήματα EDB Παράδειγμα: grandparent(z,x) :-par(y,x) & par(z,y). gather(bob,john).

7 ΣυντακτικοίΠεριορισμοί Κανόνες Ασφάλειας: Κάθε γεγονός πρέπει να είναι πλήρως αποτιμημένο (ground) Κάθε μεταβλητή που εμφανίζεται στην κεφαλή ενός κανόνα πρέπει να εμφανίζεται και στο σώμα του Απαγορεύεται ένα κατηγόρημα EDB να εμφανίζεται σε κεφαλή κανόνα

8 Σημασιολογίατων προγραμμάτων datalog Μοντελοθεωρητική Σημασιολογία (model theoretic semantics) Βασίζεται στις ερμηνείες (interpretations) και τα μοντέλα (models) ενός συστήματος Μια ερμηνεία κάνει άλλους ατομικούς τύπους αληθείς και άλλους ψευδείς (ως προς την ερμηνεία αυτή) Συνήθως, ταυτίζουμε μια ερμηνεία με το σύνολο των πλήρως αποτιμημένων τύπων που κάνει αληθείς (ερμηνεία Herbrand)

9 Μια ερμηνεία είναι μοντέλο για ένα σύνολο από κανόνες αν κάθε κανόνας είναι αληθής ως προς την ερμηνεία αυτή Θεωρούμε ότι στιγμιότυπο (instance) ενός ατομικού τύπου με κατηγόρημα EDB ισχύει εάν και μόνο εάν η αντίστοιχη σχέση περιέχει αυτό το στιγμιότυπο σα πλειάδα

10 Παραδείγματα p(x) :-q(x). I 1 = {q(a)}, δεν κάνει τον κανόνα αληθή I 2 = {q(a),p(a)}, κάνει τον κανόνα αληθή p(x):-q(x). v(x):-r(x). I 1 = {q(a),p(a)} είναι μοντέλο για τους κανόνες I 2 = {q(a),p(a), r(b),v(b)} είναι μοντέλο για τους κανόνες I 3 = {r(b)} δεν είναι μοντέλο για τους κανόνες

11 p(x):-q(x). q(x):-r(x). και έστω r/1 EDB τέτοιο ώστε r(1) ισχύει από τη βάση I 1 ={r(1),q(1),p(1)}, I 2 ={r(1),q(1),p(1),q(2),p(2)}, I 3 ={r(1),q(1),p(1),q(2),p(2),p(3)}, I 1,I 2,I 3 είναι μοντέλα για το παραπάνω Το I 1 είναι ελάχιστο μοντέλο (minimal model) Το I 1 είναι το ελάχιστο μοντέλο Herbrand (least Herbrand model)

12 Έναγεγονός F έπεται λογικά από ένα σύνολο προτάσεων S εάν και μόνο εάν κάθε ερμηνεία που κάνει αληθές το S κάνει αληθές και το F. Τότε λέμε ότι το F είναι λογικό επακόλουθο του S και γράφουμε S F cons(s) = {I I είναιμοντέλο του S}, όπου cons(s) = {F ϵ HB S F} Πώς μπορεί να υπολογιστεί το cons(s) ;

13 Σημασιολογία Απόδειξης (proof theoretic semantics) Οι κανόνες ερμηνεύονται ως αξιώματα προς χρήση σε αποδείξεις Αντικαθιστούμε αποδεδειγμένα ή δεδομένα γεγονότα στο δεξί τους μέρος και συμπεραίνουμε το γεγονός που προκύπτει από την κεφαλή Χρησιμοποιούνται κατά την εμπρόσθια (forward) φορά

14 L 0 :-L 1 & Ln και F 1,, Fn: πλήρως αποτιμημένα γεγονότα και θ: αντικατάσταση (substitution): Liθ = Fi Τότε, μεέναβήμα, συμπεραίνουμε: L 0 θ Κανόνας συμπερασμού (inference rule)

15 Έστω S ένα σύνολο από προτάσεις datalog. Ένα πλήρως αποτιμημένο γεγονός F συμπεραίνεται (is inferred) από το S (S F) εάν και μόνο εάν είτε F ϵ S είτε μπορεί ναπαραχθεί από πεπερασμένοαριθμό εφαρμογών του κανόνα συμπερασμού. Ηακολουθίατων εφαρμογών του κανόναπροκειμένου νασυμπεράνουμεένα πλήρως αποτιμημένο γεγονός F από το S καλείται απόδειξη (proof) του F από το S. Ισχύει: S F S F Το σύνολο cons(s) μπορεί να προσδιοριστεί ως το ελάχιστο σταθερό σημείο ενός μετασχηματισμού

16 Επεκτάσειςτης datalog (I) Ενσωματωμένα κατηγορήματα: κατηγορήματα αριθμητικών συγκρίσεων (=,,...) Πρόβλημα: ταενσωματωμένακατηγορήματαδεν αναπαριστούν απαραίτηταπεπερασμένες σχέσεις Κατάτον υπολογισμό πρέπει ναέχουν ικανοποιητική αποτίμησηγια ναμην οδηγήσουν σε μηπεπερασμένες σχέσεις (έναπρόγραμμα datalog πρέπειναέχειπεπερασμένηέξοδο) Λύση: Οποτεδήποτε ένας κανόνας περιέχειστο σώματου έναν ατομικό τύπο με ενσωματωμένο κατηγόρημα, το εύρος των τιμών των μεταβλητών του πρέπειναπεριορίζεταιαπό κάποιον άλλο ατομικό τύπο στον κανόνα Ταενσωματωμένακατηγορήματαμπορούν ναθεωρηθούν σαν κατηγορήματα EDB Με βάσητησχεσιακή άλγεβραμπορούν ναδιερμηνευτούν ως επιλογές (selections) πάνω σεμιασχέση ήσυνενώσεις (joins) σχέσεων

17 Γράφοςεξαρτήσεων sibling(x,y) :- parent(x,z) & parent(y,z) & X Y. cousin(x,y) :- parent(x,xp) & parent(y,yp) & sibling(xp,yp). cousin(x,y) :- parent(x,xp) & parent(y,yp) & cousin(xp,yp). Κύκλοι στο γράφο δηλώνουν αναδρομή Ένα κατηγόρημα είναι μη αναδρομικό αν δεν εμφανίζεται μέσα σε κάποιο κύκλο Στα κατηγορήματα EDB δε καταλήγει κανένα βέλος

18 Υπολογισμός μη αναδρομικών κανόνων μέσω μετασχηματισμού τους σε εκφράσεις της σχεσιακής άλγεβρας Οι σχέσεις που προκύπτουν για τα κατηγορήματα IDB ταυτίζονται τόσο με το ελάχιστο μοντέλο των κανόνων όσο και με το σύνολο των γεγονότων IDB που συμπεραίνονται από τους κανόνες και τη βάση Για το μετασχηματισμό εκμεταλλευόμαστε τη διάταξη που προκύπτει από το γράφο εξαρτήσεων (έναν υπάρχει ένα βέλος pi pj για δυο κατηγορήματα pi και pj τότε pi < pj). Οπότε, όταν πάμε να υπολογίσουμε τη σχέση που αντιστοιχεί στο σώμα ενός κανόνα, έχουμε υπολογίσει όλες τις σχέσεις που αντιστοιχούν στους διάφορους υποστόχους του κανόνα.

19 Παράδειγμα: p(x,y) :-q(a,x) & r(x,z,x) & s(y,z) Σχέσεις: q Q, r R, s S T(X) = π 2 (σ $1=a (Q)) U(X,Z) = π 1,2 (σ $1=$3 (R) ) B(X,Y,Z) = T(X) join U(X,Z) join S(Y,Z)

20 Γιατον υπολογισμό αναδρομικών κανόνων, ο γράφος εξαρτήσεων δε μας προσφέρει καμιά διάταξη Οπότε, κάνουμε αλλεπάλληλους υπολογισμούς Pi := EVAL(pi,R1,,Rk,P1,,Pm), όπου R1,..,Rk: δεδομένες EDB σχέσειςκαι P1,,Pm: IDB σχέσεις προς υπολογισμό με τα Pj αρχικά κενά, έως ότου να μη παράγονται άλλες πλειάδες, τότε Pi = EVAL(pi,R1,,Rk,P1,,Pm) και πλέον έχουμε τη λύση για τις σχέσεις που αντιστοιχούν στα κατηγορήματα IDB αυτών των εξισώσεων (σταθερό σημείο fixpoint)

21 Ιδιότητεςτων προγραμμάτων datalog Έχουν ένα μοναδικό ελάχιστο σταθερό σημείο Έχουν ένα μοναδικό ελάχιστο μοντέλο Τα παραπάνω ταυτίζονται με το σύνολο των γεγονότων που μπορούμε να παράγουμε χρησιμοποιώντας τους κανόνες για μια δεδομένη βάση Η παραπάνω διαδικασία είναι μονότονη. Αρκεί σε κάθε βήμα να λαμβάνουμε υπόψη μας όχι ολόκληρες τις σχέσεις αλλά τις επαυξήσεις (διαφορές) που προκύψαν από το προηγούμενο

22 Επεκτάσειςτης datalog (II) Άρνηση (negation): Κανόνες με άρνηση στα σώματά τους δεν είναι προτάσεις Horn (χάνουμε πολλά από τα ωραία συμπεράσματα που ισχύουν για τις προτάσεις Horn) truecousin(x,y) :-cousin(x,y) & sibling(x,y) Διαισθητικά μπορούμε να πούμε ότι η άρνηση δίνει το «συμπλήρωμα» μιας σχέσης Προβλήματα: «Συμπλήρωμα» ως προς ποιο πεδίο ορισμού; Τοσυμπλήρωμαμπορείναοδηγείσε μηπεπερασμένησχέση Δεν υπάρχειαπαραίτηταέναελάχιστο σταθερό σημείο γιατο λογικό πρόγραμμα Υπάρχουν πολλάελάχισταμοντέλαγιατο λογικό πρόγραμμα C(X,Y) join compl S(X,Y), όπου compl S είναι το συμπλήρωματου S σε σχέσημε κάποιο σύμπαν U το οποίο περιέχειτουλάχιστο τις πλειάδες του C

23 Πρόβλημα: μεταβλητές που εμφανίζονται ΜΟΝΟ σε υποστόχους με άρνηση bachelor(x) :-male(x) & married(x,y) MRD = {<1,a>, <2,b>} M = {1,2,3,4} compl MRD = {<1,b>,<2,a>,<3,a>, }: δενείναιτο επιθυμητό Λύση: απαγορεύεται ηχρήσημιας μεταβλητής σ έναν υποστόχο με άρνησηεάν αυτήδεν εμφανίζεταισε κάποιον άλλο υποστόχο οοποίος δε πρέπειναπεριέχει άρνηση ήάλλο ενσωματωμένο κατηγόρημα husband(x) :- married(x,y). bachelor(x) :-male(x) & husband(x). H(X) = πx(mrd(x,y)), B(X) = M(X) H(X)

24 Πρόβλημα: δεν υπάρχει ένα μοναδικό ελάχιστο σταθερό σημείο p(x):-r(x)& q(x). q(x):-r(x)& p(x). R{1} S1: P = {1}, Q = empty_set S2: P = empty_set, Q = {1}

25 Στρωματοποιημένη άρνηση (stratified negation) p(x) :- r(x). p(x):-p(x). q(x):-s(x)& p(x). Δεν υπάρχει μονοπάτι από το q στο p: στρωματοποιημένο R{1}, S{1,2} S1: P ={1}, Q={2} S2: P={1,2}, Q = empty_set Και ταδυο είναι ελάχιστα, το S1, όμως, δείχνει πιο «φυσικό»

26 Στρωματοποίηση: Καθορισμός στρωμάτων (strata) Εάν ένα κατηγόρημα p έχει έναν κανόνα που περιέχει υποστόχομε άρνηση με κατηγόρημα q, τότε το q είναι σε χαμηλότερο στρώμα από το p. Εάν ένα κατηγόρημα p έχει έναν κανόνα που περιέχει υποστόχοχωρίς άρνηση που περιέχει το q τότε το στρώμα του p είναι το στρώμα του q ή ψηλότερο. Τα στρώματα μας δίνουν μια σειρά με την οποία μπορούν να υπολογιστούν οι σχέσεις που αντιστοιχούν στα κατηγορήματα IDB Επεξεργαζόμαστε κάθε φορά ένα στρώμα ξεκινώντας από το χαμηλότερο Έτσι, μεταχειριζόμαστε τους υποστόχους με άρνηση σαν να ήταν σχέσεις EDB Η σχέση για έναν υποστόχο με άρνηση q(x1,,xn) είναι: DOM x x DOM Q, n φορές όπου DOM είναι η ένωση όλων των σταθερών που εμφανίζονται στην IDB και στην IDB

27 Κατασκευήστρωμάτων Κατασκευή DOM Υπολογισμός σχέσεων ανά στρώμα, ξεκινώντας από το χαμηλότερο 1. Για τους υποστόχους που δεν περιέχουν άρνηση και τα κατηγορήματά τους περιέχονται σε χαμηλότερα στρώματα, θεωρούμε τις σχέσεις όπως έχουν υπολογιστεί 2. Για τους υποστόχους που περιέχουν άρνηση, θεωρούμε τα συμπληρώματα των σχέσεων οι σχέσεις έχουν ήδη υπολογιστεί 3. Εφαρμόζουμε τον αλγόριθμο κατασκευής των σχέσεων μέσα στο στρώμα, θεωρώντας τις σχέσεις που αναφέρονται στα δυο πρώτα βήματα σαν να ήταν EDB Ο αλγόριθμος αυτός παράγει ένα ελάχιστο σταθερό σημείο (που είναι και ελάχιστο μοντέλο): το τέλειο (perfect)

28 Άλλαθέματα που σχετίζονται με τη datalog Βελτιστοποίησηυπολογισμού ερωτήσεων datalog Επεκτάσεις της datalog(iii): σύνθετα αντικείμενα (complex objects) Επεκτάσεις της datalog(iv): αντικειμενοστραφείς επεκτάσεις (object oriented extensions)

29 Βιβλιογραφία JeffreyD. Ullman, Principles ofdatabaseand knowledge-basesystems, Vol. I, Computer SciencePress, Inc, 1988