\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)"

Transcript

1 \5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του Το 1 2 δεν είναι ακέραιος Μπορεί να γραφτεί και ως εξής: Κανένα A δεν είναι B To c είναι Β To c δεν είναι Α Η εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη γιατί αν το συμπέρασμα ήταν ψευδές αλλά οι υποθέσεις αληθείς τότε το c θα ήταν και A και Β Τι κάνει όμως την εξαγωγή συμπεράσματος έγκυρη; Αν η λέξη «κανένα» αντικαθιστόταν από τη λέξη «κάθε» ή «μερικά» τότε δεν θα ήταν έγκυρη Στον προτασιακό λογισμό δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε προτάσεις της μορφής «κανένα Α δεν είναι Β» Είναι μια αρνητική πρόταση αλλά δεν είναι η άρνηση της πρότασης «όλα τα Α είναι Β» Η άρνηση αυτής θα ήταν «μερικοί ακέραιοι είναι μεγαλύτεροι από το τετράγωνό τους» Άρα θα πρέπει να έχουμε τη δυνατότητα να αναπαριστούμε προτάσεις αυτής της μορφής επίσης Οι φράσεις «ακέραιος» και «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» δηλώνουν ιδιότητες τις οποίες κάποια αντικείμενα μπορούν να έχουν Η πρόταση «κανένα A δεν είναι B» μας λέει ότι κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να έχει τις δύο ιδιότητες συγχρόνως ή διαφορετικά ότι η κλάση των ακεραίων με την κλάση των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι από το τετράγωνό τους δεν έχουν κοινά στοιχεία Τα γράμματα A και Β δηλώνουν λοιπόν ιδιότητες Το γράμμα c είναι διαφορετικό Το 1 2 δεν δηλώνει μια ιδιότητα αλλά ένα συγκεκριμένο αντικείμενο Αντικείμενα μπορεί να έχουν ιδιότητες Πχ το 1 έχει την ιδιότητα ότι είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του αλλά δεν έχει 2 την ιδιότητα του ακέραιου Θεωρείστε τώρα την εξαγωγή συμπεράσματος

2 Ο Αριστοτέλης είναι φιλόσοφος Ο Σοφοκλής είναι ποιητής Ο Αριστοτέλης μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή Κάποιος φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με κάποιον ποιητή η οποία μπορεί να γραφεί και ως α είναι P β είναι Q α είναι R με β κάποιο P είναι R με κάποιο Q Τα αβ είναι αντικείμενα ενώ τα PQ είναι ιδιότητες Το R δεν είναι ιδιότητα Εκφράζει μια σχέση μεταξύ αντικειμένων Μπορούμε να έχουμε και τριαδικές ή n-αδικές σχέσεις Πχ μκδ(αβγ): το γ είναι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης των αβ Χρειαζόμαστε λοιπόν μηχανισμούς αναπαράστασης και λογισμού για αντικείμενα ιδιότητες και σχέσεις Αυτό είναι και το αντικείμενο του Κατηγορηματικού Λογισμού 52 Ονόματα και Κατηγορήματα Τα ονόματα παίζουν το ρόλο περιγραφικών εκφράσεων που υποδεικνύουν κάποιο αντικείμενο Στον κατηγορηματικό λογισμό χρησιμοποιούμε μικρά γράμματα (abcd κλπ) ως ονόματα και τα οποία καλούνται σταθερές αντικειμένων ή απλά σταθερές αν δεν υπάρχει περίπτωση σύγχυσης Για την απόδοση ιδιότητων σε αντικείμενα σε χρησιμοποιούμε σύμβολα κατηγορημάτων (για τις ιδιότητες) και ορίσματα (για τα αντικείμενα) Για παράδειγμα για να αποδώσουμε την ιδιότητα F στο αντικείμενο α γράφομε F(α) Με παρόμοιο τρόπο αναπαριστώνται και οι σχέσεις : χρησιμοποιούμε κατηγορήματα με περισσότερα του ενός ορίσματα Για παράδειγμα Q(ab) αναπαριστά τη σχέση Q μεταξύ των ab Παράδειγμα: Έστω τα κατηγορήματα Ε(_): _είναι άρτιος P(_): _είναι πρώτος Μ( ) o _ είναι πολλαπλάσιο του _ G( ): o _ είναι μεγαλύτερος του _ Αν οι σταθερές abcd συμβολίζουν τους ακέραιους 1234 αντίστοιχα τότε E(b) σημαίνει «ο 2 είναι άρτιος» P(c) σημαίνει «ο 3 είναι πρώτος» M ( b c) σημαίνει «ο 2 δεν είναι πολλαπλάσιο του 3» M( f b) P( f ) σημαίνει «το 6 είναι πολλαπλάσιο του 2 ή το 6 είναι πρώτος» M( h b) P( h) G( h b) σημαίνει «αν το 8 είναι πολλαπλάσιο του 2 τότε το 8 είναι πρώτος ή το 8 είναι μεγαλύτερο του 2» και P( d) E( e) σημαίνει «το 4 είναι πρώτος αν και μόνο αν το 5 είναι άρτιος» 53 Ποσοδείκτες

3 Θεωρείστε ξανά την εξαγωγή συμπεράσματος ο Αριστοτέλης είναι φιλόσοφος ο Σοφοκλής είναι ποιητής ο αριστοτέλης μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή κάποιος φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με κάποιον ποιητή Οι υποθέσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως P( a) Q( b) R( a b ) Πως μπορεί όμως να εκφραστεί το συμπέρασμα; Το συμπέρασμα μπορεί να γραφεί ως : για κάποιο x o x είναι φιλόσοφος και για κάποιο y o y είναι ποιητής και ο x μένει στην ίδια πόλη με τον y Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να εκφράσουμε τη φράση «για κάποιο» Το «για κάποιο» διαβάζεται και ως «υπάρχει κάποιο» Το συμπέρασμα γράφεται ως x( P( x) y( Q( y) R( x y))) Οι μεταβλητές xy ονομάζονται δεσμευμένες μεταβλητές γιατί η ύπαρξή τους στην πρόταση δεσμεύεται από τους ποσοδείκτες Παραδείγματα: Υπάρχει ένας ποιητής - xq( x) Κάποιος ποιητής είναι φιλόσοφος - x( Q( x) P( x)) Κάποιος φιλόσοφος είναι ποιητής - x( P( x) Q( x)) Κάποιος μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή - xr( x b) Ο Σοφοκλής μένει στην ίδια πόλη με κάποιον - xr( b x) Ο Σοφοκλής μένει στην ίδια πόλη με κάποιον φιλόσοφο - x( P( x) R( b x)) Ο Σοφοκλής δεν μένει στην ίδια πόλη με κάποιον φιλόσοφο - x( P( x) R( b x)) Κανένας φιλόσοφος δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή - x( P( x) R( x b)) Παράδειγμα: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι μεγαλύτερο από το τετράγωνό του Το 1 δεν είναι ακέραιος 2 μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής: x( I( x) G( x)) Ga ( ) Ia ( )

4 όπου I αναπαριστά την ιδιότητα «ακέραιος» G την ιδιότητα «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» και a το 1 2 Αν αντί του G χρησιμοποιηθεί το κατηγόρημα H( ) που αναπαριστά τη σχέση «μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» τότε η παραπάνω εξαγωγή συμπεράσματος γράφεται ως x( I( x) H( x x)) H( a a) I( a) Έχουμε ήδη εισάγει τον υπαρξιακό ποσοδείκτη Η ύπαρξη ενός ποσοδείκτη σε μια πρόταση δεσμεύει την μεταβλητή που ο ποσοδείκτης εισάγει Για παράδειγμα η μεταβλητή x στην πρόταση x( Q( x) R( a x)) είναι δεσμευμένη από το Η πρόταση αυτή είναι ισοδύναμη με τις προτάσεις y( Q( y) R( a y)) και z( Q( z) R( a z)) Το σύμβολο που χρησιμοποιείται για τη μεταβλητή δεν έχει σημασία εφόσον χρησιμοποιείται σε όλα τα μέρη που εμφανίζεται η δεσμευμένη μεταβλητή Επομένως η παραπάνω πρόταση δεν είναι ισοδύναμη με την πρόταση y( Q( y) R( a z)) Σε περίπτωση που περισσότεροι από έναν ποσοδείκτες είναι απαραίτητοι διαφορετικές μεταβλητές πρέπει να χρησιμοποιηθούν Για παράδειγμα x( P( x) y( Q( y) R( x y))) ή z( P( z) y( Q( y) R( z y))) αλλά όχι x( P( x) x( Q( x) R( x x))) Το πεδίο ενός ποσοδείκτη είναι το (σύνθετο) κατηγόρημα στο οποίο εφαρμόζεται Απλά κατηγορήματα φτιάχνονται από σύμβολα κατηγορημάτων πχ PQ Σύνθετα κατηγορήματα προκύπτουν από τα απλά με χρήση συνδετικών και ποσοδεικτών Πχ P( a) y( Q( y) R( a y)) είναι σύνθετο κατηγόρημα Στην πρόταση x( P( x) y( Q( y) R( x y))) το πεδίο του P x y Q y R x y ενώ το πεδίο του Q y R x y Ο καθολικός ποσοδείκτης συμβολίζεται με το σύμβολο Χρησιμοποιείται για την έκφραση προτάσεων που αποδίδουν μια ιδιότητα σε όλα τα μέλη ενός συνόλου Πχ «κάθε άνθρωπος είναι θνητός» «για κάθε ακέραιο υπάρχει ένας ακέραιος ο οποίος ισούται με το τετράγωνο του πρώτου» Η πρώτη από αυτές τις προτάσεις μπορεί να γραφτεί ως εξής: για κάθε x αν ο x είναι άνθρωπος τότε ο x είναι θνητός» Αντιστοιχεί δηλαδή στη μορφή x( P( x) Q( x)) όπου P σημαίνει «άνθρωπος» και Q σημαίνει «θνητός» Εν γένει καθολικές δηλώσεις χρησιμοποιούν ενώ υπαρξιακές χρησιμοποιούν Η πρόταση «κάποιος άνθρωπος είναι θνητός» γράφεται ως x( P( x) Q( x)) Οι προτάσεις x (P(x) Q(x)) και x (P(x) Q(x)) έχουν διαφορετικό νόημα από τις παραπάνω εκφράσεις Η πρώτη μας λέει ότι «τα πάντα έχουν τις ιδιότητες PQ» ενώ η δεύτερη μας λέει ότι «είτε κάτι δεν είναι άνθρωπος είτε είναι θνητός» Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ των δύο ποσοδεικτών θεωρείστε την πρόταση «κανένας φιλόσοφος δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή» Η πρόταση αυτή αναπαριστάται ως x( P( x) R( x b)) Η ίδια πρόταση μπορεί να γραφεί και ως : για κάθε x αν x είναι φιλόσοφος τότε ο x δεν μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή» που y είναι ( ( ) ( )) ( ) x είναι ( ( ) ( ( ) ( )))

5 αντιστοιχεί στην έκφραση x (P(x) R(xb)) Κάθε ένας από τους ποσοδείκτες μπορεί να εκφραστεί από τον άλλο ποσοδείκτη: x() x () δηλαδή x() x () Παρομοίως x() δηλαδή x() x () Βάσει αυτών των ισοδυναμιών προκύπτει ότι: x( P( x) R( x b)) x ( P( x) R( x b)) x( P( x) R( x b)) x( P( x) R( x b)) Οι ποσοδείκτες μπορούν να συνδυαστούν και να χρησιμοποιηθούν στην ίδια πρόταση Για παράδειγμα «κάθε φοιτητής παρακολουθεί κάποιο μάθημα» εκφράζεται ως x( S( x) y( C( y) A( x y))) «κάποιος φοιτητής παρακολουθεί κάθε μάθημα» εκφράζεται ως x( S( x) y( C( y) A( x y))) «κάθε μάθημα παρακολουθείται από κάποιο φοιτητή» εκφράζεται ως y( C( y) x( S( x) A( x y))) «κάποιο μάθημα παρακολουθείται από κάθε φοιτητή» εκφράζεται ως y( C( y) x( S( x) A( x y))) x () 54 Συναρτήσεις Η χρήση συναρτήσεων μας δίνει ένα τρόπο προσδιορισμού αντικειμένων Ο προσδιορισμός αντικειμένων με σταθερές είναι μερική περίπτωση της χρήσης συναρτήσεων Για παράδειγμα εάν θέλουμε να εκφράσουμε την πρόταση «ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος» θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε μια σταθερά για το «δάσκαλο του Αριστοτέλη» όπως στην έκφραση P(a) Τότε η παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος είναι έγκυρη: Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος Κάθε φιλόσοφος μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη μένει στην ίδια πόλη με το Σοφοκλή Pa ( ) ή x( P( x) R( x b) R( a b ) Θεωρείστε όμως και την ακόλουθη έγκυρη εξαγωγή συμπεράσματος Ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος Ο δάσκαλος κάποιου είναι φιλόσοφος Αυτή η εξαγωγή συμπεράσματος δεν μπορεί να εκφραστεί με το συμβολισμό του Κατηγορηματικού Λογισμού που έχουμε που έχουμε εισάγει μέχρι τώρα Πρέπει να διατυπωθεί ως εξής: «για κάποιο x αν ο x είναι δάσκαλος του Αριστοτέλη τότε ο x είναι φιλόσφος» δηλαδή ως: x( F( x a) P( x)) Αν το F θεωρεί ως κατηγόρημα τότε

6 ενδέχεται να υπάρχουν περισσότεροι από έναν δάσκαλοι του Αριστοτέλη ενώ εμείς υπονοούμε ότι υπάρχει μόνο ένας Χρειαζόμαστε μία συνάρτηση η οποία μας δίνει το μοναδικό δάσκαλο του Αριστοτέλη Τυπικά: αντικείμενα προσδιορίζονται από όρους Οι όροι μπορεί να είναι απλοί ή σύνθετοι Ένα απλός όρος είναι μια σταθερά ή μια μεταβλητή Σύνθετοι όροι σχηματίζονται με τη χρήση συναρτησιακών συμβόλων που εφαρμόζονται σε όρους Ένα συναρτησιακό σύμβολο f και μια σταθερά α σχηματίζουν τον όρο f(a) Οι όροι μπορούν να χρησιμοποιούνται ως ορίσματα κατηγορημάτων Πχ αν η συνάρτηση f δίνει το δάσκαλο ενός ατόμου τότε η έκφραση P(f(a)) σημαίνει «ο δάσκαλος του Αριστοτέλη είναι φιλόσοφος» Άλλα παραδείγματα : «Υπάρχει κάποιος φιλόσοφος» - xp( x) «Ο δάσκαλος κάποιου είναι φιλόσοφος» - xp( f ( x)) «Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του» - x( I( x) G( x sq( x)) 55 Συντακτικό του Κατηγορηματικού Λογισμού Ο Κατηγορηματικός Λογισμός Πρώτης Τάξης είναι ένα τυπικό σύστημα με : 1 Λεξιλόγιο: a ένα σύνολο C πιθανόν κενό από σταθερές αντικειμένων (abcd ) b ένα σύνολο F πιθανόν κενό από συναρτησιακά σύμβολα (fgh ) c ένα σύνολο P μη κενό από σύμβολα κατηγορημάτων (FGPQR ) d ένα σύνολο V μη κενό πιθανόν μη-πεπερασμένο από μεταβλητές (u v w x y ) e ποσοδείκτες ( ) f συνδετικά ( ) g παρενθέσεις και κόμμα () Συναρτησιακά σύμβολα και σύμβολα κατηγορημάτων έχουν μια πληθικότητα (βαθμό) μεγαλύτερη του 0 2 Κανόνες Συντακτικού a Ένας όρος είναι μια σταθερά ή μια μεταβλητή ή f ( t1 t2 tn) όπου f είναι συναρτησιακό σύμβολο βαθμού n και t 1 t 2 t n είναι όροι b Αν t 1 t 2 t n είναι όροι και P είναι ένα σύμβολο κατηγορήματος βαθμού n τότε P( t1 t2 tn ) είναι ένα απλό σχήμα c Αν A και Β είναι σχήματα τότε και τα A A B A B A B A Bείναι σχήματα d Ένα μοναδιαίο σχήμα είναι ένα σχήμα μιας μεταβλητής (πχ P(_) Q(_) R( a _)) e Αν Φ είναι ένα μοναδιαίο σχήμα και x κάποια μεταβλητή που δεν εμφανίζεται στο Φ τότε x ( x) και x ( x) είναι σχήματα

7 56 Σημασιολογία του Κατηγορηματικού Λογισμού Για να αποδοθεί σημασιολογία στις προτάσεις του Σημασιολογικού Λογισμού η έννοια της ερμηνείας πρέπει να επεκταθεί Στον Προτασιακό Λογισμό μια ερμηνεία αποδίδει μια τιμή αλήθειας (αψ) σε μια πρόταση Στην περίπτωση του Κατηγορηματικού Λογισμού για να αποδοθεί μια τιμή αλήθειας σε μια πρόταση πρέπει να ερμηνευθούν κατάλληλα όλα τα σύμβολα της γλώσσας Ο κατηγορηματικός λογισμός είναι μια πρωτοβάθμια γλώσσα Για πρωτοβάθμιες γλώσσες δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό: Ορισμός: Μια ερμηνεία για μια πρωτοβάθμια γλώσσα έχει δύο συστατικά: 1 Το πεδίο της γλώσσας δηλαδή το σύνολο των αντικειμένων στα οποία αναφέρονται τα σύμβολα της γλώσσας 2 μια συνάρτηση ερμηνείας I η οποία παρέχει μια αντιστοίχιση των συμβόλων της γλώσσας στο πεδίο της γλώσσας 3 Σταθερές Αντικειμένων: οι σταθερές αντικειμένων ερμηνεύονται σαν μέλη του πεδίου D Δηλαδή για κάθε a C I( a) D 4 Συναρτησιακά σύμβολα: η ερμηνεία ενός συναρτησιακού λογισμού f είναι μια συνάρτηση I(f) με πεδίο ορισμού το D Αν το συναρτησιακό σύμβολο δέχεται ένα όρισμα τότε I( f ) : D D Αν το συναρτησιακό σύμβολο g δέχεται δυο ορίσματα τότε I( g) : D D D Γενικά αν μια συνάρτηση h είναι βαθμού n n τότε I( h) : D D 5 Ερμηνεία όρων της γλώσσας: για να ερμηνεύσουμε τους όρους της γλώσσας πρέπει να επεκτείνουμε την συνάρτηση ερμηνείας σε μια συνάρτηση η οποία θα περιέχει την ερμηνεία των όρων και των σύνθετων εκφράσεων της γλώσσας Αν ο όρος είναι εφαρμογή μιας συνάρτησης s σε μια σταθερά α τότε I ( s( a)) I( s)( I( a)) Γενικότερα I ( f ( t1 t n )) I( f )( I ( t1 ) I ( t n )) Για σύμβολα κατηγορημάτων : I( P) D αν P είναι βαθμού 1 καθώς το P υποδηλώνει τα αντικείμενα στα οποία αποδίδεται η ιδιότητα P Γενικότερα αν ένα σύμβολο κατηγορήματος Q είναι βαθμού n τότε n I( Q) D Μπορούμε τώρα να ορίσουμε την έννοια της ικανοποίησης ενός απλού σχήματος δεδομένης μιας ερμηνείας: Pa ( ) αν και μόνο αν I( a) I( P) για a C Γενικότερα αν t είναι όρος DI Pt ( ) αν και μόνο αν I ( t) I( P) Για κατηγορήματα μεγαλύτερου βαθμού D I Q( t1 t2 tn ) αν και μόνο αν ( I ( t1) I ( t2) I ( tn )) I( Q) Σύνθετα σχήματα προκύπτουν από τα απλά σχήματα με τη χρήση συνδετικών και ποσοδεικτών Η έννοια της ικανοποίησης σχημάτων είναι ίδια όπως και στην περίπτωση του Προτασιακού Λογισμού για εκείνα τα σχήματα που δεν χρησιμοποιούν ποσοδείκτες Πρέπει να οριστεί η ερμηνεία σχημάτων με ποσοδείκτες Θεωρείστε ότι διευρύνουμε το λεξιλόγιο της γλώσσας L με κάποια σταθερά * και έστω L* η γλώσσα που προκύπτει Επεκτείνουμε κάθε ερμηνεία I της L σε μια ερμηνεία της L* ως εξής: για κάθε d D υπάρχει μια ερμηνεία Id της L* η οποία I

8 συμπεριφέρεται όπως η I για τις απλές εκφράσεις της L και επιπλέον απεικονίζει το στοιχείο * στο d δηλαδή Τότε για κατηγορήματα βαθμού 1 αν I (*) d d DI P(*) και μόνο αν Αφού το d είναι οποιοδήποτε μέλος του D θα έχουμε ότι I( P) { d D DI d P(*)} Στη συνέχεια θεωρείστε σύνθετα κατηγορήματα πχ Q(_) R( a _) Χρησιμοποιώντας το στοιχείο * μπορούμε να δημιουργήσουμε το σχήμα Q( x) R( a x) Η ερμηνεία αυτού του σχήματος είναι το σύνολο των στοιχείων d για τα οποία Q( x) R( a x) είναι αληθής σύμφωνα με την Δηλαδή I ( Q(_) R( a _)) { DId d I( P) I d d d D Q(*) R( a*) } και γενικότερα για οποιοδήποτε σύνθετο κατηγόρημα Φ I ( ) { d D d (*)} Στην περίπτωση που το σχήμα περιλαμβάνει ποσοδείκτες: 1 d x ( x) αν και μόνο αν 2 d x ( x) αν και μόνο αν Ανακεφαλαιώνοντας μια ερμηνεία της γλώσσας L = (CFPV) είναι ένα ζεύγος (DI) όπου D είναι το πεδίο της ερμηνείας και I είναι μια συνάρτηση ορισμένη στο C F P έτσι ώστε : 1 για κάθε c C I( c) D I ( ) D I ( ) n 2 για κάθε συνάρτηση f βαθμού n I( f ) : D D n 3 για κάθε κατηγόρημα P βαθμού n I( P) D Βάσει της I ορίζεται η I ( f ( t t n )) I( f )( I ( t1) I ( t2) I ( t n )) Ικανοποιησιμότητα: P( t t ) ανν ( I ( t1 ) I ( t )) I( P) A 1 ανν n A Bανν A Bανν A Bανν A A Bανν I ως 1 A και A ή A ή ( A B Β DI Β και n A και Β Β) A Για ένα σύνθετο κατηγόρημα Φ I ( ) { d D d (*)} και : 1 d x ( x) αν και μόνο αν I ( ) D 2 d x ( x) αν και μόνο αν I ( ) Παράδειγμα: L = (CFPV) όπου C = {a} F= {su} P = {ΕG} V = {uwxyz} Έστω D = N όπου Ν το σύνολο των φυσικών αριθμών Μια ερμηνεία Ι για την γλώσσα L ορίζεται ως εξής: Ia ( ) 0 I( s)( n) n 1 I( u)( m n) m n I( E) { n N n' artios} {02468} I( G) {( m n) N N m n}

9 Η εκτεταμένη ερμηνεία ορίζεται ως: I ( a) I( a) 0 I '( s( a)) I( s)( I ( a)) I( s)( I( a)) I '( s( s( a))) I( s)( I ( s( a))) I ( u( s( a) u( a s( a)))) I( u)( I ( s( a)) I ( u( a s( a)))) I ( s( a)) I ( u( a s( a))) 1 I( u)( I ( a) I ( s( a))) 1 (0 1) 2 Ισχύει DI Ea ( ) I ; Ισχύει αν I( a) I( E) δηλαδή αν 0 {0246} Ισχύει DI G( a a) ; Ισχύει αν ( I( a) I( a)) I( G) δηλαδή αν (00) IG ( ) το οποίο δεν ισχύει Ισχύει DI E( s( s( a))) ; Ισχύει αν I ( s( s( a))) I( E) δηλαδή αν 2 {0246} Από τα παραπάνω προκύπτει ότι E( a) E( s( s( a))) και G( a a) G( a a) G( a a) Το σχήμα G(a*) ικανοποιείται από τις ερμηνείες Id για τις οποίες (0 d) I( G) Απαιτείται δηλαδή 0>d Άρα το σχήμα είναι ψευδές για κάθε φυσικό αριθμό d Άρα I ( G( a _)) και επομένως yg( a y) Επίσης x( E( x) E( s( s( x)))) ανν I ( E( x) E( s( s( x)))) D I ( E( x) E( s( s( x)))) { d D E( x) E( s( s(*)))} { d D d DI E(*)} d { d D E(*)} { d D E(*) E( s( s(*)))} {1357} { d D D Id D Id d {0246} d 2 {0246}} {1357} {0246} N D Άρα x( E( x) E( s( s( x)))) 5 7 Λογική Συνέπεια και Ισοδυναμία στον Κατηγορηματικό Λογισμό Μια ερμηνεία (DI) η οποία ικανοποιεί ένα σχήμα Α του κατηγορηματικού λογισμού λέγεται μοντέλο του Α Ορισμός: Ένα σύνολο S από σχήματα του Κατηγορηματικού Λογισμού είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνο αν υπάρχει μια ερμηνεία (DI) για την οποία DI A για κάθε A S Ισοδύναμα ένα σύνολο σχημάτων είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνο αν υπάρχει μοντέλο κάθε μέλους του S Παράδειγμα: S1 { x( P( x) Q( x)) xp( x) x Q( x)} Υπάρχει μοντέλο αυτού του συνόλου; Θεωρείστε D {01} I( P) {0} I( Q) {0} Τότε I ( P(_)) {0} I ( Q(_)) {1} I ( P(_) Q(_)) {1} {0} {01} D

10 Άρα η ερμηνεία (DI) είναι μοντέλο του Παράδειγμα: S2 { x( P( x) Q( x)) xp( x) xq( x)} Υπάρχει μοντέλο αυτού του συνόλου; Έστω (DI) μια ερμηνεία που ικανοποιεί τα δύο πρώτα σχήματα του Εφόσον xp( x) τότε IP ( ) άρα υπάρχει d I( P) Αφού x( P( x) Q( x)) τότε I ( P(_) Q(_)) D και επομένως d I ( P(_) Q(_)) και P(*) Q(*) d Ξέροντας ότι πρέπει να ισχύει ότι Άρα IQ και xq( x) Η ερμηνεία που ικανοποιεί το δεν μπορεί να ικανοποιεί και το Άρα το σύνολο δεν μπορεί να είναι ικανοποιήσιμο Η λογική συνεπαγωγή μπορεί να οριστεί βάσει της ικαποιησιμότητας: για ένα σύνολο σχημάτων S και ένα σχήμα Α αν και μόνο αν είναι μηικανοποιήσιμο σύνολο Επίσης S A αν και μόνο αν το δεν έχει μοντέλο Στο προηγούμενο παράδειγμα δείξαμε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος { x( P( x) Q( x)) xp( x)}/ xq( x) είναι έγκυρη Από αυτό συμπεραίνουμε ότι και η εξαγωγή συμπεράσματος x( P( x) Q( x))/ xp( x) xq( x) είναι έγκυρη άρα x( P( x) Q( x)) xp( x) xq( x) Ισχύει όμως η αντίστροφη λογική συνεπαγωγή Έστω D {01} I( P) {0} I( Q) {1} Τότε xp( x) xq( x) Αλλά I ( P(_) Q(_)) {1} D και επομένως η ερμηνεία (DI) δεν ικανοποιεί την πρόταση x( P( x) Q( x)) Ορισμός: Δύο σχήματα Α και Β λέγονται ισοδύναμα αν ικανοποιούνται από τις ίδιες ακριβώς ερμηνείες δηλαδή αν έχουν τα ίδια μοντέλα Έστω ότι Μ(Α) δηλώνει το σύνολο των μοντέλων του A Τότε για οποιοδήποτε σχήματα Α και Β A B αν και μόνο αν M( A) M( B) και A Bαν και μόνο αν M( A) M( B) Τώρα είμαστε σε θέση να αποδείξουμε την ισοδυναμία x ( x) x ( x) Έστω ότι x ( x) Αυτό σημαίνει ότι I ( ) D Έστω κάποιο d D Τότε d (*) αν και μόνο αν d (*) Ξέρουμε όμως ότι d (*) για κάθε d D επομένως δεν υπάρχει d D για το οποίο d (*) δηλαδή I ( ) Άρα q ( x) και x ( x) Παρόμοια δείχνουμε και το αντίστροφο Ορισμός: ένα σχήμα λέγεται λογικά αληθές αν ικανοποιείται από κάθε ερμηνεία και λογικά ψευδές αν δεν υπάρχει ερμηνεία που να το ικανοποιεί Δηλαδή = Α αν και μόνο αν για κάθε ερμηνεία (DI) DI A και A αν και μόνο αν για κάθε ερμηνεία (DI) DI A d Παράδειγμα: Το σχήμα x( F( x) y( F( y))) είναι λογικά αληθές Έστω μια ερμηνεία (DI) Τότε yf ( y) ανν I ( F) Έστω e D Αν e I( F) τότε F(*) yf( y) Αν e I( F) τότε e DI F(*) οπότε e F(*) yf( y) Σε κάθε περίπτωση I '( F(_) yf ( y)) D άρα e d I( P) xq( x) S 1 d I( Q) S A ( ) S { A} S 2 xq( x) S { A}

11 x( F( x) yf( y)) Η ερμηνεία (DI) επιλέχτηκε αυθαίρετα επομένως το επόμενο συμπέρασμα ισχύει για κάθε ερμηνεία Λογικά αληθείς προτάσεις δεν καλλούνται ταυτολογίες εκτός και αν είναι στιγμιότυπα ταυτολογιών του Προτασιακού Λογισμού Για παράδειγμα η x( F( x) yf( y)) δεν είναι ταυτολογία (παρόλο που είναι λογικά αληθής) ενώ η xf ( x) xf ( x) είναι ταυτολογία Επίσης η πρόταση x( F( x) F( x)) δεν είναι ταυτολογία 58 Συστήματα αποδείξεων για τον Κατηγορηματικό Λογισμό: Μορφολογική Παραγωγή Οι κανόνες της μορφολογικής παραγωγής για τον Προτασιακό Λογισμό χρησιμοποιούνται και για τον Κατηγορηματικό ΛογισμόΧρειαζόμαστε όμως και κανόνες οι οποίοι να αναφέρονται σε σχήματα που χρησιμοποιούν ποσοδείκτες ( t) : ό 1 εισαγωγή - : x ( x) Αιτιολογία: η παραδοχή Φ(t) σημαίνει ότι για να είναι αληθής σε μια ερμηνεία πρέπει I '( t) I '( ) δηλαδή I '( ) Άρα αυτή η ερμηνεία ικανοποιεί και την x ( x) x ( x) 2 Απαλοιφή - : ( t) : ό Αιτιολογία: x ( x) σημαίνει ότι I'( ) D άρα I '( t) D αφού I '( t) I '( ) Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος x R(xa) / x R(ax) είναι έγκυρη με χρήση των κανόνων της μορφολογικής παραγωγής (1) xr( x a) (υπόθεση) (2) R( a a ) (από (1) με απαλοιφή- και a/x) (3) xr( a x) (από (2) με εισαγωγή- και x/a) O συμβολισμός a/x σημαίνει ότι η μεταβλητή x αντικαθίσταται από τη σταθερά α Παράδειγμα: Αποδείξτε ότι εξαγωγή συμπεράσματος { xp( x) x P( x) P( a)}/ P( b) είναι έγκυρη με τη χρήση των κανόνων της μορφολογικής παραγωγής (1) xp( x) x P( x) (υπόθεση) (2) υποπαραγωγή (21 ) xp( x) (υπόθεση υποπαραγωγής) (22) υποπαραγωγή (221) Pb ()(υπόθεση υποπαραγωγής) (222) Pa ( )(από (21) με απαλοιφή- και a/x)

12 (223) (υπόθεση) (23) Pb ()(από (22) με εισαγωγή- ) (3) υποπαραγωγή (31) x P( x) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) (από (31) με απαλοιφή- και b/x) (4) Pb ()(από (2) (3) με απαλοιφή- ) P() b P( a) Διαδοχικές εφαρμογές των κανόνων της απαλοιφής- μπορούν να συμπτυχθούν σε ένα βήμα Δηλαδή αντί της ακολουθίας (1) x y zp( x y z) (2) y zp( a y z) (3) zp( a b z) (4) μπορούμε να γράφουμε (1) x y zp( x y z) (2) (απαλοιφή- και a/x b/y c/z) Με παρόμοιο τρόπο: (1) P( a b c ) (2) x y z P(xyz) (εισαγωγή- και x/a y/b z/c) P( a b c) P( a b c) και της εισαγωγής- Στη συνέχεια θα εισάγουμε τους κανόνες της εισαγωγής του καθολικού ποσοδείκτη και της απαλοιφής του υπαρξιακού ποσοδείκτη Ας ξεκινήσουμε με ένα παράδειγμα Παράδειγμα: Θεωρείστε την ακόλουθη εξαγωγή συμπεράσματος Κάθε τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο Κάθε παραλληλόγραμμο έχει ίσες διαγωνίους Κάθε τετράγωνο έχει ίσες διαγωνίους η οποία γνωρίζουμε ότι είναι ορθή (άρα και έγκυρη) Η εγκυρότητά της δικαιολογείται από τα ακόλουθα βήματα μιας μη-τυπικής απόδειξης: (1) έστω ΑΒΓΔ ένα τετράγωνο (2) Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο τότε είναι παραλληλόγραμμο (3) Άρα το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο (4) Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο τότε έχει ίσες διαγωνίους (5) Άρα το ΑΒΓΔ έχει ίσες διαγωνίους (6) Αν το ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο τότε έχει ίσες διαγωνίους (7) Κάθε τετράγωνο έχει ίσες διαγωνίους Το τελευταίο βήμα γενικεύει το συμπέρασμα για το ΑΒΓΔ σε όλα τα τετράγωνα Η γενίκευση αυτή είναι έγκυρη εφόσον το ΑΒΓΔ είναι ένα τυχαίο τετράγωνο και δεν συμμετέχει σε καμία από τις υποθέσεις Τυπικά αν σε κάποια παραγωγή έχει γίνει η παραδοχή Φ(α) τότε μπορούμε να συμπεράνουμε x ( x) αν η σταθερά a δεν εμφανίζεται στο Φ(_) ή σε μια υπόθεση της παραγωγής ή στην υπόθεση μιας μη-ολοκληρωμένης υποπαραγωγής

13 ( ) 3 Εισαγωγή: : x ( x) Παράδειγμα: Η προηγούμενη εξαγωγή συμπεράσματος μπορεί να τυποποιηθεί ως εξής: έστω ότι τα κατηγορήματα PQR εκφράζουν τις ιδιότητες «τετράγωνο» παραλληλόγραμμο» και «έχει ίσες διαγωνίους» αντίστοιχα (1) x( P( x) Q( x)) (υπόθεση) (2) x( Q( x) R( x)) (υπόθεση) (3) υποπαραγωγή (31) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) P( a) Q( a) (από την (1) με απαλοιφή- και α/x) (33) (από (31) (32) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (34) Q( a) R( a) (από την (2) με απαλοιφή- και α/x) (35) (από (33) (34) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (4) P( a) R( a) (από (3) με εισαγωγή συνεπαγωγής) (5) x( P( x) R( x)) ( από (4) με εισαγωγή- ) Pa ( ) Qa ( ) Ra ( ) Αν παραβιάζονται οι συνθήκες εφαρμογής του κανόνα της εισαγωγής- μπορούμε να φτάσουμε σε μη-έγκυρες εξαγωγές συμπερασμάτων Παράδειγμα: Παραβίαση της πρώτης συνθήκης (1) xr( x x) (2) R( a a ) (απαλοιφή- και α/x) (3) xr( x a) (εισαγωγή- και x/a) Παραβίαση δεύτερης συνθήκης: (1) R( a b ) (2) yr( a y) (εισαγωγή- και y/b) (3) x yr( x y) (εισαγωγή- και x/α) (4) yr( b y) (απαλοιφή- και b/x) (5) R( b a ) (απαλοιφή- και a/y) Kανόνας απαλοιφής- : Έστω ότι σε μια παραγωγή έχουμε εξάγει x ( x) και έστω α μια σταθερά που ικανοποιεί τις συνθήκες του κανόνα της εισαγωγής- Έστω A ένα σχήμα που δεν περιέχει το α και το οποίο παράγεται από το Φ(α) Τότε μπορούμε να εξάγουμε το Α από το x ( x) x ( x) ( a) 4 Απαλοιφή- : A A

14 Παράδειγμα: Δείξτε ότι { x( P( x) Q( x)) xp( x)} xq( x) (1) x( P( x) Q( x)) (υπόθεση) (2) (υπόθεση) (3) υποπαραγωγή (31) (υπόθεση υποπαραγωγής) (32) P( a) Q( a) (από (1) με απαλοιφή- και α/χ) (33) (από (31) (32) με απαλοιφή συνεπαγωγής) (34) (από (33) με εισαγωγή- και α/χ) (4) xq( x) (από (2) (3) με απαλοιφή- ) xp( x) Pa ( ) Qa ( ) xq( x) Παράδειγμα: Δείξτε ότι το σχήμα x( F( x) yf( y)) είναι λογικά αληθές (1) Υποπαραγωγή (11) (υπόθεση υποπαραγωγής) (12) (από (11) με εισαγωγή- και y/a) (2) F( a) yf( y) (από (1) με εισαγωγή συνεπαγωγής) (3) x( F( x) yf( y)) (από (2) με εισαγωγή- και x/a) Fa ( ) yf ( y)

15 59 Κατασκευή Μοντέλων στον Κατηγορηματικό Λογισμό Οι κανόνες της μεθόδου της Κατασκευής Μοντέλων για τον Προτασιακό Λογισμό μεταφέρονται και στον Κατηγορηματικό Λογισμό Επιπλέον αυτών χρειαζόμαστε ένα σύνολο κανόνων οι οποίοι αφορούν σχήματα τα οποία περιέχουν ποσοδείκτες Οι επιπλέον κανόνες είναι οι ακόλουθοι: Κανόνας X Y [ ] S { x Φ(x)} S {Φ(t) x Φ(x)} όπου t είναι όρος ο οποίος σχηματίζεται από σταθερές οι οποίες εμφανίζονται στο τρέχον σύνολο [ ] S { x Φ(x)} S {Φ(a)} όπου a είναι σταθερά η οποία δεν εμφανίζεται στο τρέχον σύνολο [ ] S { x Φ(x)} S { x Φ(x)} [ ] S { x Φ(x)} S { x Φ(x)} Οι κανόνες [ ] και [ ] βασίζονται στις ισοδυναμίες μεταξύ x με x και x με x αντίστοιχα Οι δύο πρώτοι κανόνες είναι λιγότερο προφανείς Στον κανόνα [ ] το σχήμα x Φ(x) διατηρείται μαζί με το στιγμιότυπό του Φ(t) Ο λόγος είναι ότι το στιγμιότυπο δεν επαρκεί για να αναπαραστήσει την πληροφορία που περιέχεται στο σχήμα x Φ(x) Σε επόμενο βήμα της διαδικασία ενδέχεται να χρειαστεί να δημιουργηθεί ένα νέο στιγμιότυπο Φ(t ) του σχήματος και αυτό θα μπορεί να γίνει μόνο εφόσον το σχήμα διατηρείται στο σύνολο Επειδή το σχήμα μας λέει ότι οποιοδήποτε αντικείμενο έχει την ιδιότητα Φ αλλά δεν προσδιορίζει τα αντικείμενα θεωρούμε ότι τα αντικείμενα στα οποία αναφέρεται είναι μόνο αυτά που προσδιορίζονται από σταθερές που υπάρχουν ήδη στο σύνολο ή από σύνθετους όρους που χρησιμοποιούν αυτές τις σταθερές Στον κανόνα [ ] το σχήμα x Φ(x) εγγυάται μόνο την ύπαρξη ενός αντικειμένου από το πεδίο το οποίο έχει την ιδιότητα Φ Ενδεχομένως να υπάρχουν και άλλα αλλά δεν έχουμε κανένα λόγο να πιστεύουμε ότι υπάρχουν περισσότερα του ενός Επομένως το σχήμα αντικαθίσταται από το στιγμιότυπό του Επειδή μάλιστα δεν μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάποιο από τα αντικείμενα που υποδηλώνονται με σταθερές που εμφανίζονται ήδη στο σύνολο έχει την ιδιότητα Φ απαιτούμε το στιγμιότυπο να χρησιμοποιεί μια νέα σταθερά Παράδειγμα: Θέλουμε να δείξουμε ότι το x R(xa) είναι λογική συνέπεια του x y R(xy) C0 = { { x y R(xy) x R(xa)} } C1 = { { y R(by) x R(xa)} } [ b/x] C2 = { {R(ba) y R(by) x R(xa)} } [ a/y] C3 = { {R(ba) y R(by) x R(xa)} } [ ] C4 = { {R(ba) y R(by) R(ba) x R(xa)} } [ b/x] C5 = { } [del]

16 Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί η εναλλακτική αναπαράσταση της παραγωγής του κενού συνόλου με τη μορφή δέντρου: x (1) x y R(xy) x (2) x R(xa) 1 [b/x] (3) y R(by) 2 (4) x R(xa) 3 [a/y] (5) R(ba) 4 [b/x] (6) R(ba) ================= 5 Παράδειγμα: Δείξτε ότι η εξαγωγή συμπεράσματος { xp(x) x P(x) P(a) } / P(b) είναι έγκυρη x (1) xp(x) x P(x) (2) P(a) (3) P(b) 1 (4) xp(x) (5) x P(x) 4 [a/x] 5 [b/x] (6) P(a) (7) P(b) ========== 2 =========== 3 Παράδειγμα: Δείξτε ότι η πρόταση x (P(x) y P(y)) είναι λογικά αληθής x (1) x (P(x) y P(y)) 1 x (2) x (P(x) y P(y)) 2 [a/x] x (3) (P(a) y P(y)) 3 (4) P(a) x (5) y P(y) 5 (6) y P(y) 6 [a/y] (7) P(a) ============== 4 Ακολουθεί ένα παράδειγμα όπου τα σχήματα περιέχουν σύνθετους όρους

17 Παράδειγμα: Δείξτε ότι η πρόταση x P(f(x)x) λογικά συνεπάγεται την πρόταση x y P(yf(x)) (1) x P(f(x)x) x (2) x y P(yf(x)) 2 x (3) x y P(yf(x)) 3 [a/x] x (4) y P(yf(a)) 4 (5) y P(yf(a)) 5 [f(f(a)) / y] (6) P(f(f(a)) f(a)) 1 [f(a) / x] (7) P(f(f(a)) f(a)) ================ 6 Το τελευταίο παράδειγμα δείχνει ότι η επιτυχία της ανασκευής βασίζεται στην καλή επιλογή των όρων που χρησιμοποιούνται για την παραγωγή στιγμιοτύπων σύνθετων σχημάτων Η μέθοδος χρησιμοποιείται επίσης για να ελέγξουμε μη-έγκυρες εξαγωγές συμπερασμάτων Τα επόμενα παραδείγματα δείχνουν αυτή τη χρήση Παράδειγμα: Ελέγξτε την εγκυρότητα της ακόλουθης εξαγωγής συμπεράσματος { x (P(x) Q(x)) x (Q(x) R(x)) } / x (P(x) R(x)) (1) x (P(x) Q(x)) x (2) x (Q(x) R(x)) x (3) x (P(x) R(x)) 3 (4) x (P(x) R(x)) 2 [a/x] x (5) Q(a) R(a) (6) Q(a) (7) R(a) 1 [a/x] x (8) P(a) Q(a) 4 [a/x] x (9) (P(a) R(a)) 9 (10) P(a) (11) R(a) 8 =========== 7 (12) P(a) (13) Q(a)

18 Το δέντρο είναι πλήρες καθώς δεν μπορούν να εφαρμοστούν άλλοι κανόνες Τα μημαρκαρισμένα ως χρησιμοποιημένα σχήματα (1) και (4) δεν μπορούν να δώσουν νέα στιγμιότυπα Το δέντρο έχει κλαδιά τα οποία δεν έχουν κλείσει Το αποτέλεσμα είναι ένα μοντέλο για το σύνολο των σχημάτων (1) (2) (3) Αυτό το μοντέλο αναπαριστάται από το σύνολο { P(a) Q(a) R(a)} Για να είμαστε πιο ακριβείς θα πρέπει να ορίσουμε τη σχετική ερμηνεία: Θέτουμε D = {I(a)} I(P) = {} I(Q)=I(R) = D Η ερμηνεία (DI) ικανοποιεί τα σχήματα (1) (2) (3) Παράδειγμα: Ελέγξτε την εγκυρότητα της ακόλουθης εξαγωγής συμπεράσματος { x y P(xy) } / P(aa) (1) x y P(xy) (2) P(aa) 1 [a/x] x (3) y P(ay) 3 [b/y] (4) P(ab) 1 [b/x] x (5) y P(by) 5 [c/y] (6) P(bc) 1 [c/x] x (7) y P(cy) 7 [d/y] (8) P(cd) Το δέντρο αναπτύσσεται με αυτό τον τρόπο επ άπειρο και δεν μπορεί να κλείσει καθώς η χρήση του κανόνα [ ] δημιουργεί νέες σταθερές τις οποίες χρησιμοποιεί ο κανόνας [ ] με αποτέλεσμα να προκύπτει ένα νέο σχήμα με Η μέθοδος δεν τερματίζει παρόλο που η εξαγωγή συμπεράσματος είναι όντως μη-έγκυρη

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5

HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 HY 180 Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5 Α) ΘΕΩΡΙΑ Η Μορφολογική Παραγωγή ανήκει στα συστήματα παραγωγής, δηλαδή σε αυτά που παράγουν το συμπέρασμα με χρήση συντακτικών κανόνων λογισμού. Η

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ME ΠΟΛΛΕΣ ΚΑΙ ΕΓΚΑΡΔΙΕΣ ΕΥΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΛΕΣ ΓΙΟΡΤΕΣ, ΥΓΕΙΑ ΚΑΙ ΠΡΟΟΔΟ ΣΕ ΕΣΑΣ ΚΑΙ ΤΙΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΣΑΣ Φυλλάδιο 2: Σχεσιακή Λογική ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2006 ΠΑΡΑΔΟΣΗ: 12/11/2006

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Λύσεις Άσκηση 1 [30 μονάδες] Να αποδείξετε τα πιο κάτω λογικά επακόλουθα χρησιμοποιώντας τα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 5: Προτασιακός Λογισμός: Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης 1. Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/23/2017

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Ασκήσεις στον Κατηγορηματικό Λογισμό Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και ειδικότερα Αναφορά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 21/02/2017 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 2/21/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Πέμπτη, 30 Οκτωβρίου 2014 Διάρκεια : 10:30 12.00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγίες:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Σκελετοί Λύσεων Ημερομηνία : Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Διάρκεια : 11:00 13:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Ένα παράδειγµα... Έχουµε δει. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Πέµπτη, 23/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 23/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2019 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Δευτέρα 2 Νοεμβρίου 2015 Διάρκεια : 10:30 12:00 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 412: Λογική στην Πληροφορική Ενδιάμεση Εξέταση Ημερομηνία : Τετάρτη 24 Οκτωβρίου, 2018 Διάρκεια : 12:00 13:30 Διδάσκουσα : Άννα Φιλίππου Ονοματεπώνυμο: ΠΡΟΧΕΙΡΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις

Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Κατ οίκον Εργασία 2 Λύσεις Άσκηση 1 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον προτασιακό λογισμό. (α) Κάθε ενεργός χρήστης είναι είτε διαχειριστής είτε κανονικός χρήστης του συστήματος. x [Ενεργός (x) Διαχειριστής(x)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις

Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις Άσκηση 1 Ασκήσεις Επανάληψης Λύσεις (α) Το επακόλουθο (A (B C)) ((A C) (A B)) είναι ψευδές. Αυτό φαίνεται στην ανάθεση τιμών [Α] = Τ, [Β] = F, [C] = T. (β) Ακολουθεί η απόδειξη του επακόλουθου. 1. x(p(x)

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Ακολουθεί η διατύπωση των προτάσεων στον Κατηγορηματικό Λογισμό. (α) Δεν υπάρχουν δύο διαφορετικές πτήσεις με τον ίδιο αριθμό. x 1, d 1, a 1, s 1, t 1, x 2, d 2, a 2,

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα

4.3 Ορθότητα και Πληρότητα 4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 08/03/2018 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τα πρώτα μαθήματα, σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών, περιέχουν, ή θεωρούν γνωστές, εισαγωγικές έννοιες που αφορούν σύνολα, συναρτήσεις, σχέσεις ισοδυναμίας, αλγεβρικές δομές, κλπ.

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 2 Λύσεις Άσκηση 1 Χρησιμοποιώντας τα πιο κάτω κατηγορήματα και σταθερές και υποθέτωντας ως σύμπαν το σύνολο όλων των ανθρώπων, να διατυπώσετε τις προτάσεις που ακολουθούν στον Κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας

Διαβάστε περισσότερα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα

Μορφολογική Παραγωγή. 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Μορφολογική Παραγωγή 3 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 15/03/2017 Ζωγραφιστού Δήμητρα Συστήματα Αποδείξεων στον ΠΛ(1/2) Συχνά μας ενδιαφέρει να μπορούμε να διαπιστώσουμε αν μία εξαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013

ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά. Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΗΥ118 - Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2013 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [2 μονάδες] Έστω μεταβλητές και σταθερές στο σύνολο των ανθρώπων και η προτασιακή μορφή Ρ(x, y) με το νόημα "o x αγαπά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Νόµοι ισοδυναµίας. Κατηγορηµατικός Λογισµός. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο Παρασκευή, 24/02/2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Κατηγορηµατικός Λογισµός Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 2 Άσκηση 1 N φιλόσοφοι κάθονται γύρω από ένα τραπέζι με N καρέκλες, N πιάτα και N πιρούνια. Όταν κάποιος φιλόσοφος πεινάσει παίρνει τα δύο πιρούνια που βρίσκονται δίπλα από το πιάτο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση /Πίνακες Αληθείας /Λογική Συνεπαγωγή /Ταυτολογίες /Αντινομίες Πλήρης αλγόριθμος μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 3/3/2016 Κατερίνα Δημητράκη

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης

Λογική. Προτασιακή Λογική. Λογική Πρώτης Τάξης Λογική Προτασιακή Λογική Λογική Πρώτης Τάξης Λογική (Logic) Αναλογίες διαδικασίας επίλυσης προβλημάτων υπολογισμού και προβλημάτων νοημοσύνης: Πρόβλημα υπολογισμού 1. Επινόηση του αλγορίθμου 2. Επιλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης

Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

x < A y f(x) < B f(y).

x < A y f(x) < B f(y). Χειμερινό Εξάμηνο 2016 2017 Ασκήσεις στα Κεφάλαια 5 & 6 1. Αυτή είναι ουσιαστικά η Άσκηση 5.2 (σελ. 119), από τις σημειώσεις του Σκανδάλη. Εστω A, < καλά διατεταγμένο σύνολο και έστω στοιχείο a A. Αποδείξτε

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών. Σχεσιακός Λογισμός Σχεσιακός Λογισμός Γλώσσα βασισμένη στον Κατηγορηματικό Λογισμό 1 ης Τάξης (First Order Predicate Calculus) Οι περισσότερες γλώσσες επερώτησης σχεσιακών βάσεων δεδομένων βασίζονται στον Σχεσιακό Λογισμό

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 24/02/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 2/24/2017

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή. Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 4: Μορφολογική Παραγωγή Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική

Κατηγορηµατική Λογική Προβλήµατα της Προτασιακής Λογικής Γιατί δεν µας αρκεί η Προτασιακή Λογική; Εστω ότι ισχύουν τα P και Q: P : «Ο Σωκράτης είναι άνθρωπος» Q : «Κάθε άνθρωπος είναι ϑνητός» R : «Ο Σωκράτης είναι ϑνητός» Μπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα